最新-2018届高三数学一轮复习课时作业(18)同角三角函数的基本关系式与诱导公式江苏专版精品

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2018年高三数学(文)一轮复习课件同角三角函数的基本关系及诱导公式

4.2
同角三角函数的基本关系及诱导公式
知识梳理核心考点
-12-
∵α 是三角形内角, ∴
4 sin�� = 5 , ∴tan 3 cos�� = - 5 ,
α=- .
tan2 ��+1 . 1-tan2 ��
4 3
1 (2) 2 cos ��-sin2 ��
思考同角三角函数基本关系式有哪些用途?
解 (1)联立方程
1 sin�� + cos�� = , 5
sin2 �� + cos2 �� = 1.② 由①得 cos α=5-sin α,将其代入②, 整理得 25sin2α-5sin α-12=0.
1
①
第四章
考点1 考点2 考点3
=
2 4 tan2 ��+1 -3 +1 25 = =- 7 . 1-tan2 �� 4 2 1- -3
4
5
5.(教材习题改编P22T3)已知tan θ=2,则sin θcos θ=
.
关闭
sin 2 θcos θ=
5
sin��· cos�� sin2 ��+cos2 ��
=
tan�� tan2 ��+1
=
2 22 +1
= .
解析
2 5
关闭
答案
第四章
知识梳理双基自测自测点评
第四章
考点1 考点2 考点3
4.2
同角三角函数的基本关系及诱导公式
知识梳理核心考点
-11-

高考数学科学复习创新方案：同角三角函数的基本关系与诱导公式

同角三角函数的基本关系与诱导公式[课程标准]1.借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式±π2，α±π理解同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：01sin 2α＋cos 2α＝1．(2)商数关系：02sin αcos α＝tan α．2．六组诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α－－口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限同角三角函数基本关系式的常用变形(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α；sin α＝tan αcos ≠π2＋k π，k ∈sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝≠π2＋k π，k ∈cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝≠π2＋k π，k ∈1．(人教B 必修第三册7.2.3练习A T 1(2)改编)若cos α＝13，α－π2，tan α＝()A ．－24B.24C ．－22D ．22答案C解析由已知得sin α＝－1－cos 2α＝－1－19＝－223，所以tan α＝sin αcos α＝－22.故选C.2．已知cos31°＝a ，则sin239°tan149°的值为()A.1－a 2a B.1－a 2C.a 2－1a D ．－1－a 2答案B解析sin239°tan149°＝sin(270°－31°)tan(180°－31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－a 2.3．(人教B 必修第三册第七章复习题A 组T 6改编)已知tan θ＝2，则3sin α＋2cos α4sin α－3cos α＝________．答案85解析∵tan θ＝2，∴原式＝3tan α＋24tan α－3＝3×2＋24×2－3＝85.4．(人教A 必修第一册习题5.2T 12改编)已知αtan α＝2，则cos α＝________．答案55解析∵α∴sin α＞0，cos α＞0，∵tan α＝2＝sin αcos α，sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝55.5．(人教A 必修第一册5.3例4改编)α－π)cos(2π－α)的结果为________．答案－sin 2α解析原式＝sin αcos α(－sin α)cos α＝－sin 2α.角度常规问题例1(1)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝()A.12B ．－12C.32D ．－32答案A解析由三角函数定义，得tan α＝32sin α，所以sin αcos α＝32sin α，则2(1－cos 2α)＝3cos α，所以(2cos α－1)(cos α＋2)＝0，则cos α＝12.(2)(2023·全国乙卷)若θtanθ＝12，则sinθ－cosθ＝________．答案－55解析因为θsinθ>0，cosθ>0，又因为tanθ＝sinθcosθ＝12，则cosθ＝2sinθ，且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝55或sinθ＝－5 5(舍去)，所以sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－55.利用同角三角函数的基本关系式求值的三个基本题型1.(2023·长郡十八校联盟联考)已知第二象限角α的终边上有两点A(－1，a)，B(b，2)，且cosα＋3sinα＝0，则b－3a＝()A．－7B．－5C．5D．7答案A解析因为cosα＋3sinα＝0，所以3sinα＝－cosα，所以tanα＝－13，又因为tanα＝a－1＝2b，所以a＝13，b＝－6，所以b－3a＝－7.故选A.2．(2024·东莞模拟)已知2sin2θ－3sinθ－2＝0，θ－π2，cosθ的值为()A.3 3B.32C.22D.12答案B解析因为θ－π2，sin θ∈(－1，1)，cos θ>0，因为2sin 2θ－3sin θ－2＝(2sin θ＋1)·(sin θ－2)＝0，则sin θ＝－12，因此cos θ＝1－sin 2θ＝32.故选B.角度“1”的变换例2(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则sin θ（1＋sin2θ）sin θ＋cos θ＝()A ．－65B ．－25C.25D.65答案C解析解法一：因为tan θ＝－2，所以sin θ（1＋sin2θ）sin θ＋cos θ＝sin θ（sin θ＋cos θ）2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25.故选C.解法二：sin θ（1＋sin2θ）sin θ＋cos θ＝sin θ（sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ）sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝cos 2θ(tan 2θ＋tan θ)．由tan θ＝sin θcos θ＝－2，sin 2θ＋cos 2θ＝1，解得cos 2θ＝15.所以sin θ（1＋sin2θ）sin θ＋cos θ＝cos 2θ(tan 2θ＋tan θ)＝15×(4－2)＝25.故选C.对于含有sin 2α，cos 2α，sin αcos α的三角函数求值问题，一般可以考虑添加分母1，再将1用“sin 2α＋cos 2α”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的方式将其转化为关于tan α的式子，从而求解．(2023·海口模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，终边上有一点P (1，2)，则sin 2α1－3sin αcos α＝________．答案－4解析因为角α的终边上有一点P (1，2)，所以tan α＝2.所以sin 2α1－3sin αcos α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α－3sin αcos α＝tan 2αtan 2α＋1－3tan α＝2222＋1－3×2＝－4.角度sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系例3(2023·济南模拟)已知α－π2，sin α＋cos α＝55，则tan α的值为________．答案－12解析∵sin α＋cos α＝55，∴sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝15，∴sin αcos α＝－25＜0，∴sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝95＝(sin α－cos α)2，又α－π2，∴sin α＜0，cos α＞0，∴cos α－sin α＝355，∴sin α＝－55，cos α＝255，∴tan α＝－12.(1)已知a sin x ＋b cos x ＝c 可与sin 2x ＋cos 2x ＝1联立，求得sin x ，cos x .(2)sin x ＋cos x ，sin x －cos x ，sin x cos x 之间的关系为(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ，(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ，(sin x ＋cos x )2＋(sin x －cos x )2＝2.因此，已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值．(2024·青岛调研)若sin θ＋cos θ＝233，则sin 4θ＋cos 4θ＝()A.56B.1718C.89D.23答案B解析由sin θ＋cos θ＝233，平方得1＋2sin θcos θ＝43，∴sin θcos θ＝16，∴sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－＝1718.故选B.例4(1)(2023·北京市八一中学模拟)若角α的终边在第三象限，则下列三角函数值中小于零的是()A ．sin(π＋α)B ．cos(π－α)C ．D ．答案D解析因为角α的终边在第三象限，所以sin α<0，cos α<0.对于A ，sin(π＋α)＝－sin α>0；对于B ，cos(π－α)＝－cos α>0；对于C ，sin α>0；对于D ，cos α<0.故选D.(2)化简：tan （π＋α）cos （2π＋α）2cos （－α－3π）sin （－3π－α）＝________．答案－1解析cos （3π＋α）[－sin （3π＋α）]tan αcos αcos α－cos αsin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(3)已知cos(75°＋α)＝513，α是第三象限角，则sin(195°－α)＋cos(α－15°)的值为________．答案－1713解析因为cos(75°＋α)＝513>0，α是第三象限角，所以75°＋α是第四象限角，sin(75°＋α)＝－1－cos 2（75°＋α）＝－1213.所以sin(195°－α)＋cos(α－15°)＝sin[180°＋(15°－α)]＋cos(15°－α)＝－sin(15°－α)＋cos(15°－α)＝－sin[90°－(75°＋α)]＋cos[90°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＋sin(75°＋α)＝－513－1213＝－1713.利用诱导公式化简求值的基本步骤提醒：用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程．常见的互余关系有π3－α与π6＋α，π3＋α与π6－α，π4＋α与π4－α等，常见的互补关系有π6－θ与5π6＋θ，π3＋θ与2π3－θ，π4＋θ与3π4－θ等．1.(2024·江西宜春中学诊断)若α为锐角，且13，则cos ()A.223 B.23C.26D.526答案A解析∵0<α<π2，∴π6<α＋π6<2π3，∴223，∴－π2＝＝223.故选A.2．(2023·咸阳模拟)已知角α终边上一点P (sin1180°，cos1180°)，那么cos(3α＋60°)＝()A．0 B.12C．1 D.32答案D解析∵|OP|＝sin21180°＋cos21180°＝1，∴sinα＝cos1180°＝cos(100°＋3×360°)＝cos100°＝－sin10°＝sin(－10°)，cosα＝sin1180°＝sin(100°＋3×360°)＝sin100°＝cos10°＝cos(－10°)，∴α＝－10°＋k·360°(k∈Z)，cos(3α＋60°)＝cos(－30°＋3k·360°＋60°)＝cos30°＝32.故选D.例5(1)(2023·南京二模)利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为0°～90°之间角的三角函数值，而这个范围内的三角函数值又可以通过查三角函数表得到．如表为部分锐角的正弦值，则tan1600°的值为(小数点后保留两位有效数字)()α10°20°30°40°sinα0.17360.34200.50000.6428α50°60°70°80°sinα0.76600.86600.93970.9848A.－0.42B．－0.36C．0.36D．0.42答案B解析tan1600°＝tan(4×360°＋160°)＝tan160°＝－tan20°＝－sin20°cos20°＝－sin20°sin70°＝－0.34200.9397≈－0.36.故选B.(2)(2023·聊城模拟)已知角α为锐角，且2tan(π－α)－5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα＝()A.355B.377C.31010D.13答案C解析β－2tan α＋5＝0，α－6sin β－1＝0，消去sin β，得tan α＝3，所以sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1，化简得sin 2α＝910，因为α为锐角，所以sin α＝31010.(1)利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．1.(2023·吉安模拟)已知＝－35，且α是第四象限角，则cos(－3π＋α)的值为()A.45B ．－45C ．±45 D.35答案B解析∵＝－35，∴sin α＝－35.∵α是第四象限角，∴cos(－3π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α＝－45.故选B.2．(2023·黄山模拟)已知＝1cos x ，则sin x ＝()A.3－12B.5－12C.1－52D.－1±52答案B解析由1cos x ，可得cos x sin x ＝1cos x，即cos 2x －sin x ＝0，即sin 2x ＋sin x －1＝0，解得sin x故选B.课时作业一、单项选择题1．(2024·衡阳月考)若角α的终边在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为()A ．3B ．－3C ．1D ．－1答案B解析因为角α的终边在第三象限，所以sin α<0，cos α<0，所以原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.2．设sin25°＝a ，则sin65°cos115°tan205°＝()A.a 21－a 2B ．－a 21－a 2C ．－a 2D ．a 2答案C解析因为sin65°＝cos25°，cos115°＝cos(90°＋25°)＝－sin25°，tan205°＝tan(180°＋25°)＝tan25°＝sin25°cos25°，所以sin65°cos115°tan205°＝－sin 225°＝－a 2.3．(2023·湖北四校联考)已知角α是第二象限角，且满足3cos(α－π)＝1，则tan(π＋α)＝()A.3B ．－3C ．－33D ．－1答案B解析由3cos(α－π)＝1，得cos α－3cos α＝1，∴cos α＝－12，∵角α是第二象限角，∴sin α＝32，∴tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－3.4．(2024·泰安质检)已知＝13，则cos ()A.13B.223C ．－13D ．－223答案A解析－π12＋＝13.5．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (3)＝3，则f (2024)的值为()A ．－1B ．1C ．3D ．－3答案D解析∵函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，∴f (3)＝a sin(3π＋α)＋b cos(3π＋β)＝－(a sin α＋b cos β)＝3，∴a sin α＋b cos β＝－3.∴f (2024)＝a sin(2024π＋α)＋b cos(2024π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－3.故选D.6．(2023·辽宁校考一模)已知角αsin4π5，α的最小正值为()A.π5B.3π10C.4π5D.17π10答案D解析因为4π5＝π2－所以sin 4π5＝sin π2－而cos4π5＝cos π2－＝sin，所以角α终边上的点的坐标可写为α＝－3π10＋2k π，k ∈Z ，因此α的最小正值为－3π10＋2π＝17π10.故选D.7．(2023·益阳模拟)若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝()A.110B.310C.910D ．－32答案C 解析由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得tan α＋1tan α－1＝12tan α＝－3，∴sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝sin 2α－sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan α－3tan 2α＋1＝910.故选C.8．(2024·青岛模拟)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想运用的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜，从而获胜．在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为a ＝cos θ，b ＝sin θ＋cos θ，c ＝cos θ－sin θ，对方的三个数以及排序如表：第一局第二局第三局2tan θsin θ若0<θ<π4，则我方必胜的排序是()A ．a ，b ，cB ．b ，c ，aC ．c ，a ，bD ．c ，b ，a答案D解析因为当0<θ<π4时，sin θ>0，cos θ>0，tan θ>0，sin θ－tan θ＝sinθ（cosθ－1）cosθ<0，所以sinθ<tanθ<2，cosθ－sinθ<cosθ<sinθ＋cosθ，即c<a<b.又b2＝(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ>1，所以b＝sinθ＋cosθ>1>tanθ，a＝cosθ>sinθ，c＝cosθ－sinθ<2，故类比“田忌赛马”，我方必胜的排序是c，b，a.故选D.二、多项选择题9．在△ABC中，下列结论正确的是()A．sin(A＋B)＝sin C B．sin B＋C2＝cos A2C．tan(A＋B)＝－tanD．cos(A＋B)＝cos C答案ABC解析在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C；sin B＋C2＝cos A2；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tancos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C.10．(2024·淄博调研)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝15，则下列结论正确的是()A．θB．cosθ＝－35C．tanθ＝－34D．sinθ－cosθ＝75答案ABD解析因为sinθ＋cosθ＝15，所以1＋2sinθcosθ＝125，所以2sinθcosθ＝－2425<0，又θ∈(0，π)，所以θA正确；进而可得sinθ>cosθ，因为(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝4925，所以sinθ－cosθ＝75，D正确；θ＋cosθ＝15，θ－cosθ＝75，解得sinθ＝45，cos θ＝－35，进而得tan θ＝－43，故B 正确，C 错误．故选ABD.11．(2023·宜昌高三模拟)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－14，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是()A ．sin β＝154B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155答案AC解析∵sin(π＋α)＝－sin α＝－14，∴sin α＝14，若α＋β＝π2，则β＝π2－α.sin β＝cos α＝±154，故A 符合条件；cos(π＋β)＝－sin α＝－14，故B 不符合条件；tan β＝15，即sin β＝15cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，∴sin β＝±154，故C 符合条件；tan β＝155，即sin β＝155cos β，又sin 2β＋cos 2β＝1，∴sin β＝±64，故D 不符合条件．故选AC.三、填空题12．(2023·西安调研)sin(－570°)＋cos(－2640°)＋tan1665°＝________．答案1解析原式＝sin(－570°＋720°)＋cos(－2640°＋2880°)＋tan(1665°－1620°)＝sin150°＋cos240°＋tan45°＝sin30°－cos60°＋1＝12－12＋1＝1.13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (sin138°，cos138°)，则tan(α＋18°)＝________．答案－33解析因为cos138°<0，sin138°>0，所以点P 在第四象限，即α为第四象限角，由三角函数定义得tanα＝cos138°sin138°＝cos（90°＋48°）sin（90°＋48°）＝－sin48°cos48°＝sin（－48°）cos（－48°）＝tan(－48°)，所以α＝－48°＋k·360°，k∈Z，所以tan(α＋18°)＝tan(－48°＋k·360°＋18°)＝tan(－30°)＝－33.14．(2023·浙江名校协作体检测)已知π2－－7π2＋＝1225，且0<α<π4，则sinα＝________，cosα＝________．答案354 5解析－π2－－7π2＋cosα(－sinα)＝sinαcosα＝1225.∵0<α<π4，∴0<sinα<cosα.αcosα＝1225，2α＋cos2α＝1，得sinα＝35，cosα＝45.四、解答题15．已知tanαtanα－1＝－1，求下列各式的值．(1)sinα－3cosαsinα＋cosα；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.解由已知得tanα＝12.(1)sinα－3cosαsinα＋cosα＝tanα－3tanα＋1＝－53.(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＋2＝tan2α＋tanαtan2α＋1＋2＋12＋1＋2＝13 5 .16．(2023·郴州质检)已知－π2<α<0，且函数f (α)＝sin α·1＋cos α1－cos α－1.(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin αcos α和sin α－cos α的值．解(1)∵－π2<α<0，∴sin α<0，∴f (α)＝sin α－sin α·（1＋cos α）21－cos 2α－1＝sin α＋sin α·1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)解法一：由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝125，即2sin αcos α＝－2425，∴sin αcos α＝－1225.又－π2<α<0，∴sin α<0，cos α>0，∴sin α－cos α<0.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925，∴sin α－cos α＝－75.α＋cos α＝15，2α＋cos 2α＝1，α＝－35，α＝45α＝45，α＝－35.∵－π2<α<0，α＝－35，α＝45，∴sin αcos α＝－1225，sin α－cos α＝－75.17．是否存在α－π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos 3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．解存在．由sin(3π－α)＝2cos sin α＝2sin β，①由3cos(－α)＝－2cos(π＋β)得3cos α＝2cos β，②∴sin 2α＋3cos 2α＝2(sin 2β＋cos 2β)＝2，∴1＋2cos 2α＝2，∴cos 2α＝12，又α－π2，∴cos α＝22，从而α＝π4或－π4，当α＝π4时，由①知sin β＝12，由②知cos β＝32，又β∈(0，π)，∴β＝π6，当α＝－π4时，由①知sin β＝－12，与β∈(0，π)矛盾，舍去．∴存在α＝π4，β＝π6，符合题意．。

2018届高三数学一轮复习课时作业18同角三角函数的基本

课时作业(十八) [第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式][时间：35分钟分值：80分]基础热身1．cos(－2040°)＝( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－322．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝( )A ．－1213 B.1213 C ．±1213 D.5123.1－π＋π＋等于( ) A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±(sin2－cos2) D ．sin2＋cos24．[2018·泰安期末] 已知tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝( )A.53 B ．－134 C.135 D.134 能力提升5．已知sin θ－cos θ＝13，则sin2θ的值为( )A ．－23 B.23 C ．－89 D.896.⎝⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝( ) A ．tan x B ．sin xC ．cos x D.1tan x7．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝( )A ．2B ．－2C ．0 D.238．[2018·福建六校联考] 已知－π2<θ<π2，且sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )A ．－3B ．3或13C ．－13D ．－3或－139．[2018·全国卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 10．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是________．11．[2018·苏州五市三区期中] 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝________.12．(13分)已知f (α)＝π－απ－α⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－π－α.(1)化简f (α)；(2)若α为第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－32π＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－313π，求f (α)的值．难点突破 13．(6分)(1)已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2x cos 2x －sin2x＝( ) A.195 B ．－195 C.113 D ．－113(6分)(2)在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于( ) A ．30° B．150°C ．30°或150° D．60°或120°课时作业(十八)【基础热身】1．B [解析] cos(－2040°)＝cos2040°＝cos(6×360°－120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－12.2．A [解析] 由cos(α－π)＝－513得，cos α＝513，而α为第四象限角，∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1213.3．A [解析] 1－2sin(π＋2)cos(π＋2)＝sin 22＋cos 22－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2，又∵sin2－cos2>0，故选A.4．D [解析] ∵tan α＝2，∴2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝32tan α＋12tan α＝3＋14＝134，选择D. 【能力提升】5．D [解析] 将sin θ－cos θ＝13两边平方得：1－2sin θcos θ＝19，sin2θ＝2sin θcos θ＝89.6．D [解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos x sin x cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.7．B [解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－π－θsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－π－θ＝cos θ－－cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.8．C [解析] 因为sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0,1)，平方可得sin θcos θ＝a 2－12<0，因为－π2<θ<π2，故－π2<θ<0，且cos θ>－sin θ，∴|cos θ|>|sin θ|，∴|tan θ|<1，－1<tan θ<0，满足题意的值为－13.9．－55[解析] ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 10.12 [解析] 1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1， ∴cos x sin x －1＝12. 11.13 [解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝13.12．[解答] (1)f (α)＝sin αcos α－sin αsin α·sin α＝－cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－32π＝－sin α＝15，∴sin α＝－15. 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.(3)∵－313π＝－6×2π＋53π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－313π＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋53π ＝－cos 53π＝－cos π3＝－12.【难点突破】13．(1)B (2)A [解析] (1)f ′(x )＝cos x ＋sin x ，∵f ′(x )＝2f (x )，∴cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，∴tan x ＝3，∴1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x ＝－195.故选B. (2)两式平方再相加得sin(A ＋B )＝12，∴A ＋B ＝30°或150°，又∵3sin A ＝6－4cos B >2，∴sin A >23>12，∴A >30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°，故选A.。

下学期高三数学课时作业18：同角三角函数的基本关系式与诱导公式(附答案)

课时作业18同角三角函数的基本关系式与诱导公式时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．已知cos α＝45，α∈(－π4，0)，则sin α＝( )A ．－35B.35C ．±35D ．以上都不对解析：∵cos α＝45，α∈(－π4，0)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－452＝－35.答案：A 2.1－＋＋等于( )A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±(sin2－cos2)D ．sin2＋cos2解析：原式＝1－2－sin2－cos2 ＝1－2sin2cos2＝|sin2－cos2|， ∵sin2>0，cos2<0，∴原式＝sin2－cos2. 答案：A3．记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A.1－k 2kB ．－1－k 2kC.k1－k 2D ．－k1－k 2解析：由cos(－80°)＝k ，得cos80°＝k ， ∴sin80°＝1－k 2，∴tan100°＝tan(180°－80°)＝－tan80°＝－1－k 2k .答案：B4．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：由⎩⎨⎧ cos α＋2sin α＝－5，sin 2α＋cos 2α＝1，①②将①代入②得(5sin α＋2)2＝0， ∴sin α＝－255，cos α＝－55.∴tan α＝2. 答案：B5．(2013·东莞模拟)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( ) A ．－43B.54 C ．－34D.45解析：sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45.答案：D6．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (2 011)＝3，则f (2 012)的值是( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3D ．1 解析：∵f (2 011)＝a sin(2 011π＋α)＋b cos(2 011π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝3. ∴a sin α＋b cos β＝－3，∴f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝－3. 答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)7．(tan x ＋1tan x )cos 2x 化简的结果是__________．解析：(tan x ＋1tan x )cos 2x ＝(sin x cos x ＋cos xsin x )cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.答案：1tan x8．(2013·德州模拟)已知角α终边上一点P (－4,3)，则π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α的值为__________．解析：∵tan α＝y x ＝－34，∴π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α＝－34.答案：－349．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为__________．解析：sin(3π4－α)＝sin(π4＋α)＝32.答案：32三、解答题(共55分) 10．(15分)已知sin(3π＋θ)＝13，求＋θcos θ－θ－1]＋θ－θ－3π2θ－－3π2＋θ的值．解：∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝13，∴sin θ＝－13，∴原式＝－cos θcos θ－cos θ－＋－θ－3π2－θ－θ＋cos θ＝11＋cos θ＋cos θ－cos 2θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ ＝21－cos 2θ＝2sin 2＝2－132＝18.11．(20分)已知：sin α＋cos α＝13.(1)求sin2α的值．(2)求sin 4α＋cos 4α的值．解：(1)sin α＋cos α＝13，两边平方得：1＋sin2α＝19，sin2α＝－89.(2)sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－3281＝4981.12．(20分)(2013·常州模拟)已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两根． (1)求cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2＋θ)的值；(2)求tan(π－θ)－1tan θ的值．解：由已知，原方程判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.∵⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a 2－2a －1＝0，∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)， ∴sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2. (1)cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2＋θ)＝sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ) ＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2. (2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ＝－(tan θ＋1tan θ)＝－(sin θcos θ＋cos θsin θ)＝－1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1.。

高考数学大一轮复习课时作业18同角三角函数的基本关系式与诱导公式理95

课时作业(十八) 第18讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式时间 / 45分钟分值 / 100分基础热身1.sin 585°的值为 ( ) A .√22B .-√22C .√32 D .-√322.已知sin (π3-α)=13,则cos (5π6-α)= ( )A .13B .-13C .2√23D .-√233.[2018·湖北八校联考] 已知sin(π+α)=-13,则tan (π2-α)的值为 ( ) A .2√2 B .-2√2 C .√24D .±2√24.[2018·重庆一中月考] 已知2sin α-cos α=0,则sin 2α-2sin αcos α的值为( )A .-35 B .-125 C .35D .1255.已知θ∈(-π2,0),若cos θ=√32,则sin θ= .能力提升6.在△ABC 中,若sin(A+B-C )=sin(A-B+C ),则△ABC 必是 ( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰三角形或直角三角形D .等腰直角三角形7.[2018·湖北七市联考] 已知α∈(0,π),且cos α=-513,则sin (π2-α)·tan α=( )A .-1213B .-513C .1213 D .5138.[2018·柳州联考] 已知tan θ=4,则sin α+cos α17sin α+sin 2α4的值为 ( )A .1468 B .2168 C .6814 D .68219.[2019·安阳一模] 若1+cos αsin α=3,则cos α-2sin α= ( )A .-1B .1C .-25D .-1或-2510.[2018·合肥质检] 在平面直角坐标系中,若角α的终边经过点P (sin 5π3,cos5π3),则sin(π+α)=( ) A .-√32B .-12C .12D .√3211.[2018·贵州凯里一中月考] 若sin θ-cos θ=43,且θ∈(34π,π),则sin(π-θ)-cos(π-θ)= ( )A .-√23B .√23C .-43 D .4312.[2019·咸宁联考] 已知cos(π-α)=15,则sin (α+π2)= . 13.已知α∈(0,π2),tan α=3,则sin 2α+2sin αcos α= .14.已知α为第二象限角,则cos α√1+tan 2α+sin α√1+1tan 2α= .15.(10分)已知-π<x<0,sin(π+x )-cos x=-15.(1)求sin x-cos x 的值; (2)求sin2α+2sin 2α1−tan α的值.16.(10分)已知关于x 的方程2x 2-(√3+1)x+m=0的不相同的两根为sin θ和cos θ,θ∈(0,2π).(1)求sin 2αsin α-cos α+cos α1−tan α的值; (2)求m 的值;(3)求方程的两根及此时θ的值. 难点突破17.(5分)[2018·浙江名校协作体模拟] 已知sin -π2-αcos (-7π2+α)=1225,且0<α<π4,则sinα= ,cos α= .18.(5分)设函数f (x )(x ∈R)满足f (x+π)=f (x )+sin x ,当0≤x<π时,f (x )=0,则f (23π6)= .课时作业(十八)1.B [解析] sin 585°=sin(360°+225°)=sin(180°+45°)=-sin 45°=-√22,故选B . 2.B [解析] 由题意知cos (5π6-α)=cos [π2+(π3-α)]=-sin (π3-α)=-13.故选B .3.D [解析] ∵sin(π+α)=-13,∴sin α=13,∴cos α=±2√23,∴tan (π2-α)=cos αsin α=±2√2,故选D .4.A [解析] 由2sin α-cos α=0,得tan α=12,所以sin 2α-2sin αcosα=sin 2α-2sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan 2α-2tan αtan 2α+1=(12)2-2×12(12)2+1=-35.故选A .5.-12[解析] 因为sin 2θ+cos 2θ=1,所以sin 2θ=1-cos 2θ=1-34=14.因为θ∈(-π2,0),所以sin θ=-12.6.C [解析] ∵A+B=π-C ,A+C=π-B ,∴sin(A+B-C )=sin(π-2C )=sin 2C ,sin(A-B+C )=sin(π-2B )=sin 2B ,则sin 2B=sin 2C ,∴B=C 或2B=π-2C ,即B=C 或B+C=π2,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形,故选C .7.C [解析] 由α∈(0,π),且cos α=-513,可得sin α=1213,α∈(π2,π),故sin (π2-α)·tanα=cos α·sin αcos α=sin α=1213.8.B [解析]sin α+cos α17sin α+sin 2α4=tan α+117tan α+sin 2α4(sin 2α+cos 2α)=tan α+117tan α+tan 2α4(tan 2α+1)=4+168+1668=2168,故选B .9.C [解析] 由已知得3sin α=1+cos α>0,∴cos α=3sin α-1,两边平方得cos 2α=1-sin 2α=(3sin α-1)2,解得sin α=35,∴cos α-2sin α=3sin α-1-2sin α=sin α-1=-25,故选C .10.B [解析] 因为sin5π3=sin (2π−π3)=-sin π3=-√32,cos5π3=cos (2π−π3)=cos π3=12,所以P (-√32,12),所以sin α=12√(-√32)2+(12)2=12,则sin(π+α)=-sin α=-12.11.A [解析] 由sin θ-cos θ=43,得1-2sin θcos θ=169,所以2sin θcos θ=-79<0. 因为θ∈(34π,π),所以sin(π-θ)-cos(π-θ)=sin θ+cos θ=-√(sin α+cos α)2=-√1+2sin αcos α=-√23.故选A .12.-15 [解析] ∵cos(π-α)=15,∴cos α=-15,∴sin (α+π2)=cos α=-15.13.32 [解析] sin 2α+2sin αcos α=sin 2α+2sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tan αtan 2α+1=9+69+1=32.14.0 [解析] 原式=cos α√sin 2α+cos 2αcos 2α+sin α√sin 2α+cos 2αsin 2α=cos α|cos α|+sin α|sin α|,因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以cos α|cos α|+sin α|sin α|=-1+1=0. 15.解:(1)由已知得sin x+cos x=15,两边同时平方得sin 2x+2sin x cos x+cos 2x=125,整理得2sin x cos x=-2425,∴(sin x-cos x )2=1-2sin x cos x=4925.由-π<x<0知sin x<0, 又sin x+cos x>0,∴cos x>0,∴sin x-cos x<0,故sin x-cos x=-75. (2)sin2α+2sin 2α1−tan α=2sin α(cos α+sin α)1−sin αcos α=2sin αcos α(cos α+sin α)cos α-sin α=-2425×1575=-24175.16.解:(1)由题意知,sin θ≠cos θ, 且sin θ+cos θ=√3+12, 所以原式=sin 2αsin α-cos α+cos α1−sin αcos α=sin 2αsin α-cos α+cos 2αcos α-sin α=sin 2α-cos 2αsin α-cos α=sin θ+cos θ=√3+12. (2)由题意知,sin θ+cos θ=√3+12,sin θ·cos θ=α2.因为sin 2θ+2sin θcos θ+cos 2θ=1+2sin θcos θ=(sin θ+cos θ)2, 所以1+m=(√3+12)2, 解得m=√32.(3)由{sin α+cos α=√3+12,sin α·cos α=√34,得{sin α=√32,cos α=12或{sin α=12,cos α=√32.又θ∈(0,2π),所以θ=π3或θ=π6.17.35 45 [解析] 易知sin (-π2-α)cos (-7π2+α)=-cos α·(-sin α)=sin αcos α=1225.因为0<α<π4,所以0<sin α<cos α,故由{sin αcos α=1225,sin 2α+cos 2α=1,可得{sin α=35,cos α=45. 18.12 [解析] 由f (x+π)=f (x )+sin x ,得f (x+2π)=f (x+π)+sin(x+π)=f (x )+sin x-sinx=f (x ),所以f (23π6)=f (11π6+2π)=f (11π6)=f (π+5π6)=f (5π6)+sin5π6.因为当0≤x<π时,f (x )=0,所以f (23π6)=0+12=12.。

高三一轮复习精题组同角三角函数基本关系与诱导公式(有详细的答案解析)..

§4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2．下列各角的终边与角α的终边的关系3.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )(2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．( × )(3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.( × ) (4)已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5，其中θ∈[π2，π]，则m <－5或m ≥3.( × )(5)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为－3或－33.( × )(6)已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是－13.( √ )2．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－255B.255C ．±255D.52答案 B解析 sin(π－α)＝sin α＝log 814＝－23，又α∈(－π2，0)，得cos α＝1－sin 2α＝53， tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255.3．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为________．答案 34解析原式＝2tan α－1tan α＋2＝34.4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝23，则sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝________. 答案－23解析 sin ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤－π2－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－23. 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π3x ，x ≤2 000，x －15，x >2 000，则f [f (2 015)]＝________.答案－1解析 ∵f [f (2 015)]＝f (2 015－15)＝f (2 000)， ∴f (2 000)＝2cos 2 000π3＝2cos 23π＝－1.题型一同角三角函数关系式的应用例1 (1)已知cos(π＋x )＝35，x ∈(π，2π)，则tan x ＝________.(2)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43B.54C ．－34D.45思维启迪 (1)应用平方关系求出sin x ，可得tan x ； (2)把所求的代数式中的弦转化为正切，代入可求．答案 (1)43(2)D解析 (1)∵cos(π＋x )＝－cos x ＝35，∴cos x ＝－35.又x ∈(π，2π)， ∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－1－(－35)2＝－45，∴tan x ＝sin x cos x ＝43. (2)sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θcos 2θ＋sin θcos θcos 2θ－2sin 2θcos 2θ＋1＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝22＋2－222＋1＝45. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化．(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.(1)已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos xsin x －1的值是( )A.12B ．－12C ．2D ．－2(2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________. 答案 (1)A (2)25解析 (1)由于1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x ＝－1，故cos xsin x －1＝12.(2)sin θcos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝222＋1＝25.题型二诱导公式的应用例2 (1)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值； (2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π的值．思维启迪 (1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系．(2)先化简已知，求出cos α的值，然后化简结论并代入求值．解 (1)∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33，即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33. (2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α) ＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35.∴sin(3π＋α)·tan ⎝⎛⎭⎫α－72π ＝sin(π＋α)·⎣⎡⎦⎤－tan ⎝⎛⎭⎫72π－α ＝sin α·tan ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α·cos αsin α＝cos α＝35.思维升华熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．(1)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值为________． (2)已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin (－α－32π)cos (32π－α)cos (π2－α)sin (π2＋α)·tan 2(π－α)＝________.答案 (1)－13 (2)－916解析 (1)cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. (2)∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2，又α是第三象限角，∴sin α＝－35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝－35－45＝34，∴原式＝cos α(－sin α)sin α·cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－916.题型三三角函数式的求值与化简例3 (1)已知tan α＝13，求12sin αcos α＋cos 2α的值；(2)化简：tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos (－α－π)sin (－π－α).思维启迪三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式．解 (1)因为tan α＝13，所以12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝23.(2)原式＝－tan α·cos α·(－cos α)cos (π＋α)·(－sin (π＋α)) ＝tan α·cos α·cos α－cos α·sin α＝sin αcos α·cos α－sin α＝－1.思维升华在三角函数式的求值与化简中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简．(1)若α为三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形(2)已知tan α＝2，sin α＋cos α<0，则sin (2π－α)·sin (π＋α)·cos (π＋α)sin (3π－α)·cos (π－α)＝________.答案 (1)D (2)－255解析 (1)∵(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝49，∴sin αcos α＝－518<0，∴α为钝角．故选D.(2)原式＝－sin α·(－sin α)·(－cos α)sin α·(－cos α)＝sin α，∵tan α＝2>0，∴α为第一象限角或第三象限角．又sin α＋cos α<0，∴α为第三象限角，由tan α＝sin αcos α＝2，得sin α＝2cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝－255.方程思想在三角函数求值中的应用典例：(5分)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝________.思维启迪利用同角三角函数基本关系，寻求sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ和sin θcos θ的关系．规范解答解析方法一因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，所以sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0. 所以sin θ＝1213，cos θ＝－513.所以tan θ＝sin θcos θ＝－125.方法二同法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169.弦化切，得tan θtan 2θ＋1＝－60169，即60tan 2θ＋169tan θ＋60＝0，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512.又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0. 所以θ∈(π2，3π4)，所以tan θ＝－125.方法三解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713sin 2θ＋cos 2θ＝1得，⎩⎨⎧sin θ＝1213cos θ＝－513或⎩⎨⎧sin θ＝－513cos θ＝1213(舍)．故tan θ＝－125.答案－125温馨提醒三种解法均体现了方程思想在三角函数求值中的应用．利用已知条件sin θ＋cos θ＝713和公式sin 2θ＋cos 2θ＝1可列方程组解得sin θcos θ，sin θ－cos θ，也可以利用一元二次方程根与系数的关系求sin θ、cos θ.各解法中均要注意条件θ∈(0，π)的运用，谨防产生增解.方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式．1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin xcos x 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sinθcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2θ⎝⎛⎭⎫1＋1tan 2θ＝tan π4＝…. 失误与防范1．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于 ( )A.15B ．－15C.513D ．－513答案 D解析 ∵tan α＝sin αcos α＝－512，∴cos α＝－125sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋14425sin 2α＝16925sin 2α＝1.又sin α<0，∴sin α＝－513.2．已知α和β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α等于( ) A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )．又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.3．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α等于( )A.25B ．－25C.25或－25D ．－15答案 B解析由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)得sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，∴sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25，故选B. 4．已知f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)cos (－π－α)·tan (π－α)，则f ⎝⎛⎭⎫－25π3的值为( )A.12B ．－12C.32D ．－32答案 A解析 ∵f (α)＝sin αcos α－cos α·(－tan α)＝cos α，∴f ⎝⎛⎭⎫－25π3＝cos ⎝⎛⎭⎫－25π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＝cos π3＝12.5．已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是 ( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2} 答案 C解析当k ＝2n (n ∈Z )时，A ＝sin (2n π＋α)sin α＋cos (2n π＋α)cos α＝2；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，A ＝sin (2n π＋π＋α)sin α＋cos (2n π＋π＋α)cos α＝－2. 故A 的值构成的集合为{－2,2}．二、填空题6．化简：sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·tan (α＋π)sin (π－α)＝________. 答案－1解析原式＝－cos α·tan αsin α＝－sin αsin α＝－1. 7．如果cos α＝15，且α是第一象限的角，那么cos(α＋3π2)＝________. 答案 265 解析 ∵cos α＝15，α为第一象限角， ∴sin α＝1－cos 2α＝ 1－(15)2＝265， ∴cos(α＋3π2)＝sin α＝265. 8．化简：sin 2(α＋π)·cos (π＋α)·cos (－α－2π)tan (π＋α)·sin 3(π2＋α)·sin (－α－2π)＝________.答案 1解析原式＝sin 2α·(－cos α)·cos αtan α·cos 3α·(－sin α)＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 三、解答题9．已知sin θ＝45，π2<θ<π. (1)求tan θ的值；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．解 (1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝925. 又π2<θ<π，∴cos θ＝－35. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－43. (2)由(1)知，sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857. 10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根，求cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)的值．解由已知原方程的判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，∴a ≥4或a ≤0.又⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝asin θcos θ＝a，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，则a 2－2a －1＝0，从而a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)，因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.∴cos 3(π2－θ)＋sin 3(π2－θ)＝sin 3θ＋cos 3θ ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.B 组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)1．已知sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)，则sin(θ－5π)sin(32π－θ)的值是 ( ) A.229B ．－229C ．－19 D.19 答案 B解析 ∵sin θ＝－13，θ∈(－π2，π2)， ∴cos θ＝1－sin 2θ＝223. ∴原式＝－sin(π－θ)·(－cos θ)＝sin θcos θ＝－13×223＝－229. 2．当0<x <π4时，函数f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x的最小值是 ( )A.14B.12 C ．2 D ．4 答案 D解析当0<x <π4时，0<tan x <1， f (x )＝cos 2x cos x sin x －sin 2x ＝1tan x －tan 2x，设t ＝tan x ，则0<t <1，y ＝1t －t 2＝1t (1－t )≥1[t ＋(1－t )2]2＝4. 当且仅当t ＝1－t ，即t ＝12时等号成立． 3．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是________．答案 0解析 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－θ ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝－a .sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ＝0. 4．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )． (1)化简f (x )的表达式； (2)求f (π2 014)＋f (503π1 007)的值．解 (1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时，f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f (π2 014)＋f (503π1 007) ＝sin 2π2 014＋sin 21 006π2 014 ＝sin 2π2 014＋sin 2(π2－π2 014) ＝sin 2π2 014＋cos 2π2 014＝1. 5．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15. (1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，①∴两边平方得1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225. (2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75.② ∴由①，②可得sin A ＝45，cos A ＝－35， ∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.。

2018高三数学(理)一轮复习课时作业(十九) 同角三角函数的基本关系及诱导公式

三角形的一个内角，∴sinθ＝，
解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，
得sinα＋cosα＝①
将①两边平方得1＋2sinα·cosα＝，
故2sinαcosα＝－.
∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－＝，
又∵<α<π，∴sinα>0，cosα<0.
∴sinα－cosα＝.
答案：
9．(2017·福建漳州二模)已知θ是三角形的一个内角，且sinθ、cosθ是关于x的方程4x2＋px－2＝0的两根，则θ等于________．
课时作业
[授课提示：对应学生用书第221页]
一、选择题
1．若α∈，sinα＝－，则cos(－α)＝()
A．－B.
C.D．－
解析：因为α∈，sinα＝－，所以cosα＝，即cos(－α)＝.
答案：B
2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于()
A．－B．－
C.D.
解析：∵sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
＝＝＝.
答案：D
5．(2017·江西赣中南五校联考)已知倾斜角为α的直线l与直线x＋2y－3＝0垂直，则cos的值为()
A.B．－
C．2D．－
解析：由题意可得tanα＝2，所以cos＝－sin2α＝＝＝－.故选B.
答案：B
6．已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，若f(2 016)＝5，则f(2 017)的值是()
∴－sinθ＝－cosθ，∴tanθ＝.∵|θ|<，∴θ＝.
答案：D
3．已知sin＝，则cos＝()
A.B．－
C.D．－
解析：∵cos＝sin

高三江苏专版数学一轮复习课时作业(18)同角三角函数的基本关系式与诱导公式.pdf

速度（第1课时）班级姓名【学习目标】 1．知道比较物体运动快慢的基本方法。

通过比较物体运动快慢不同，理解速度概念。

2．能从速度的意义出发，理解速度公式的构建过程，并能利用公式进行简单的计算。

3．知道速度单位的建立过程，能进行速度单位的换算。

4.会利用刻度尺和秒表测物体的速度；【课前准备】请你通过阅读课本，看看能否回答： 1．物理上的速度与你以前所学的速度相同吗？（从“定义”、“公式的写法”、“单位”等方面说说看） 2．物理上与速度有关的计算与你以前所学的相同吗？（从写法上找找看）【课堂学习】问题1 怎样比较物体的运动快慢？活动5.5 比较纸片下落的快慢(课本P110~) 方法一：相同,比 , 运动的快; 方法二：相同,比 , 运动的快; 例1．在日常生活中，我们常用两种方法来比较物体运动的快慢。

下面是在校运动会上，某同学观察百米赛跑，借助于这两个图来说明这两种方法。

甲图表明：_________________________；乙图表明：_________________________。

如果路程、时间都不同，怎样比较运动的快慢？问题2 物理学中是用什么来表示(描述)物体运动快慢的? 读课文，做填空： (1)物理学中用描述物体运动的快慢; (2)速度(大小)定义:速度大小等于物体 ; (3)速度的公式: (v表示 ; s表示 ; t表示 ) (4)速度的单位: (主要) ; 、 (常用) 换算:1m/s=km/h.1cm/s= m/s，例2．甲物体的速度是18 km/h.，乙物体的速度是6m/s，哪个物体运动得快？读课文，“一些速度”：思考：（1）小汽车正常行驶的速度是多大？怎样知道行驶中汽车的速度？（2）人正常步行的速度是多少？怎样测量人正常步行的速度？例4．如图3所示是公路旁常见的路牌标志牌，“60”表示：； “68km”表示：。

问题3 怎样测量物体的速度？一般原理是：测量的物理量是：测量工具是：活动5.6 测量纸片下落的速度(课本P110~) 问题4 怎样用速度公式计算简单问题？例 5．课本例题（P110）例6．连云港市东海县毛北村的科学钻井工程被誉为“亚洲第一井”。

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课时作业(十八) [第18讲同角三角函数的基本关系式与诱
导公式]
[时间：45分钟分值：100分]
基础热身
1．化简：cos αtan α＝________.
2．cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－353π的值是________． 3．若tan α＝2，则sin α－3cos αsin α＋cos α
的值是________． 4．计算：sin315°sin(－1260°)＋cos570°sin(－840°)＝________. 能力提升
5．计算：cos(－2180°)＝________.
6．已知cos(α－π)＝－513
，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝________. 7．已知sin θ－cos θ＝13
，则sin2θ的值为________． 8．若tan α＝3，则4sin α－2cos α5cos α＋3sin α
的值等于________． 9．[2018·全国卷] 已知α∈⎝
⎛⎭⎪⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 10．已知f (cos x )＝cos3x ，则f (sin30°)的值为________．
11．已知1＋sin x cos x ＝－12，那么cos x sin x －1
的值是________．
12．当k ∈Z 时，k π－αk π＋αk ＋π＋αk ＋π－α]
＝________. 13．(8分)(1)已知sin α＝45
，且α是第二象限的角，求cos α，tan α的值； (2)已知tan α＝512
，求sin α，cos α的值．
14．(8分)化简：
(1)－＋α＋－α－＋αα＋＋－α＋－α
；
(2)sin120°·cos330°＋sin(－690°)·cos(－660°)＋tan675°＋1tan765°
.
15．(12分)已知sin(θ＋k π)＝－2cos(θ＋k π)(k ∈Z )．
求：(1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ
；
(2)14sin 2θ＋25
cos 2θ.
16．(12分)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2<α<π.求下列各式的值： (1)sin α－cos α；
(2)sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos 3⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α.
课时作业(十八)
【基础热身】
1．sin α [解析] 由商数关系tan α＝sin αcos α
易得． 2.12 [解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－353π＝cos 35π3＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π3＝cos π3＝12. 3．－13 [解析] 原式分子与分母同除以cos α得：tan α－3tan α＋1＝2－32＋1＝－13
. 4.34
[解析] sin315°sin(－1260°)＋cos570°sin(－840°)＝(－sin45°)(－sin180°)＋(－cos30°)(－sin60°)＝34
. 【能力提升】
5．－12
[解析] cos(－2180°)＝cos2180°＝cos(6×360°－120°)＝cos120°＝cos(180°－60°)＝－cos60°＝－12
. 6．－1213 [解析] 由cos(α－π)＝－513得，cos α＝513
，而α为第四象限角， ∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－1－cos 2α＝－1213
. 7.89 [解析] 将sin θ－cos θ两边平方得：1－2sin θcos θ＝19
，sin2θ＝2sin θcos θ＝89
. 8.57 [解析] 4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4tan α－23tan α＋5＝57
. 9．－
55
[解析] ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，又α∈⎝
⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－55. 10．－1 [解析] f (sin30°)＝f (cos60°)＝cos180°＝－1. 11.12 [解析] 1＋sin x cos x ·sin x －1cos x ＝sin 2x －1cos 2x
＝－1. ∴cos x sin x －1＝12
. 12．－1 [解析] 若k 为偶数，则原式＝－ααπ＋απ－α＝－sin αcos α－sin α－cos α
＝－1；若k 为奇数，则
原式＝π－απ＋α
sin α－α＝sin α－cos αsin αcos α
＝－1. 13．[解答] (1)因为sin 2α＋cos 2α＝1，
所以cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝925
. 又α是二象限角，因此cos α＜0，
故cos α＝－35，tan α＝sin αcos α＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－43.
(2)由sin αcos α＝tan α＝512，可得sin α＝512
cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫5122cos 2α＋cos 2α＝1. 解得cos 2α＝144169
. 又tan α＞0，所以α是第一或第三象限角．
若α是第一象限角，
则cos α＝1213，sin α＝513
；若α是第三象限角，
则cos α＝－1213，sin α＝－513
. 14．[解答] (1)原式＝sin α－sin α－tan αtan α＋cos α－cos α＝－tan αtan α
＝－1. (2)原式＝sin(180°－60°)·cos(360°－30°)＋sin(720°－690°)·cos(720°－
660°)＋tan(720°－45°)＋1
＋
＝sin60°cos30°＋sin30°cos60°＋tan(－45°)＋1＝1.
15．[解答] 由已知得cos(θ＋k π)≠0(k ∈Z )，
∴tan(θ＋k π)＝－2(k ∈Z )，即tan θ＝－2.
(1)4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ＝4tan θ－25＋3tan θ
＝10. (2)14sin 2θ＋25cos 2θ＝14sin 2θ＋25cos 2θsin 2θ＋cos 2θ
＝ 14tan 2θ＋25tan 2θ＋1＝725
. 16．[解答] 由sin(π－α)－cos(π＋α)＝
23
，得sin α＋cos α＝23.① 将①式两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29
，故2sin α·cos α＝－79
，又π2
＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0. ∴sin α－cos α＞0.
(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－79＝169
， ∴sin α－cos α＝43
. (2)sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos 3⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝cos 3α－sin 3α ＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α)
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－718＝－2227.。