2019年江苏省高考数学试卷

2019年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合{1A =-，0，1，6}，{|0B x x =>，}x R ∈，则A B = ．2．已知复数(2)(1)a i i ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ． 3．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ．4．函数276y x x =+-的定义域是 ．5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ．6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ．7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是 ．8．已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和．若2580a a a +=，927S =，则8S 的值是 ．9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E BCD -的体积是 ．10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ．11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y lnx =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(e -，1)(e -为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ．12．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点O ．若6AB AC AO EC =，则ABAC的值是 ．13．已知tan 23tan()4απα=-+，则sin(2)4πα+的值是 ． 14．设()f x ，()g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数．当(0x ∈，2]时，2()1(1)f x x =--，(2),01,()1,12,2k x x g x x +<⎧⎪=⎨-<⎪⎩其中0k >．若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若3a c =，2b =，2cos 3B =，求c 的值；（2）若sin cos 2A Ba b=，求sin()2B π+的值． 16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =． 求证：（1）11//A B 平面1DEC ； （2）1BE C E ⊥．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ．过2F 作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，1与圆2222:(1)4F x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D ．连结1AF 并延长交圆2F 于点B ，连结2BF 交椭圆C 于点E ，连结1DF ．已知152DF =．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥(AB AB 是圆O 的直径），规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ，规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和(BD C 、D 为垂足），测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米），求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（16分）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值；（3）若0a =，01b <，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427M ．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”． （1）已知等比数列*{}()n a n N ∈满足：245a a a =，321440a a a -+=，求证：数列{}n a 为“M -数列”；（2）已知数列*{}()n b n N ∈满足：11b =，1122n n n S b b +=-，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和．①求数列{}n b 的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M -数列” *{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m 时，都有1k k k c b c +成立，求m 的最大值．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵3122A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求2A ；（2）求矩阵A 的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点(3,)4A π，B ，)2π，直线1的方程为sin()34πρθ+=．（1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）23．设x R ∈，解不等式|||21|2x x +->．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n ，*n N ∈．已知23242a a a =． （1）求n 的值；（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值． 25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0)n A =，(1,0)，(2,0)，⋯，(,0)}n ，{(0,1)n B =，(,1)}n ，{(0,2)n C =，(1,2)，(2,2)，⋯⋯，(,2)}n ，*n N ∈．令n nn n M A B C =．从集合n M 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离． （1）当1n =时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数(3)n n ，求概率()P X n （用n 表示）．2019年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合{1A =-，0，1，6}，{|0B x x =>，}x R ∈，则A B = {1，6} ．【思路分析】直接利用交集运算得答案． 【解析】：{1A =-，0，1，6}，{|0B x x =>，}x R ∈， {1AB ∴=-，0，1，6}{|0x x >，}{1x R ∈=，6}．故答案为：{1，6}．【归纳与总结】本题考查交集及其运算，是基础题．2．已知复数(2)(1)a i i ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 2 ． 【思路分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a 值． 【解析】：(2)(1)(2)(2)a i i a a i ++=-++的实部为0， 20a ∴-=，即2a =．故答案为：2．【归纳与总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 5 ．【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解析】：模拟程序的运行，可得 1x =，0S = 0.5S =不满足条件4x ，执行循环体，2x =， 1.5S = 不满足条件4x ，执行循环体，3x =，3S = 不满足条件4x ，执行循环体，4x =，5S =此时，满足条件4x ，退出循环，输出S 的值为5． 故答案为：5．【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．函数276y x x =+-的定义域是 [1-，7] ．【思路分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案． 【解析】：由2760x x +-，得2670x x --，解得：17x -．∴函数276y x x =+-[1-，7]．故答案为：[1-，7]．【归纳与总结】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 2 ．【思路分析】先求出一组数据6，7，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差． 【解析】：一组数据6，7，8，9，10的平均数为：1(678910)85x =++++=，∴该组数据的方差为：2222221[(68)(78)(88)(98)(108)]25S =-+-+-+-+-=．故答案为：2．【归纳与总结】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 710．【思路分析】基本事件总数2510n C ==，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数1123227m C C C =+=，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率． 【解析】：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务， 基本事件总数2510n C ==，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：1123227m C C C =+=，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是710m p n ==．故答案为：710．【归纳与总结】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是y = ．【思路分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b ，则双曲线的渐近线方程可求．【解析】：双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3,4)，∴221631b-=，解得22b =，即b又1a =，∴该双曲线的渐近线方程是y =．故答案为：y =．【归纳与总结】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题． 8．已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和．若2580a a a +=，927S =，则8S 的值是 16 ．【思路分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n 项和求得8S 的值．【解析】：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得152a d =-⎧⎨=⎩． ∴818786(5)152162dS a ⨯=+=⨯-+⨯=．【归纳与总结】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和，是基础题． 9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E BCD -的体积是 10 ．【思路分析】推导出11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=，三棱锥E BCD -的体积：1111133212E BCD BCD V S CE BC DC CE AB BC DD -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，由此能求出结果．【解析】：长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，∴11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=， ∴三棱锥E BCD -的体积：13E BCD BCD V S CE -∆=⨯⨯1132BC DC CE =⨯⨯⨯⨯ 1112AB BC DD =⨯⨯⨯ 10=．故答案为：10．【归纳与总结】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 4 ．【思路分析】利用导数求平行于0x y +=的直线与曲线4(0)y x x x=+>的切点，再由点到直线的距离公式求点P 到直线0x y +=的距离的最小值．【解析】：由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-，设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0(x ，004)x x +，由20411x -=-，解得002(0)x x =>． ∴曲线4(0)y x x =+>上，点(2,32)P 到直线0x y +=的距离最小， |232|42+=．【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y lnx =上，且该曲线在点A 处的切线经过点(e -，1)(e -为自然对数的底数），则点A 的坐标是 (,1)e ．【思路分析】设0(A x ，0)lnx ，利用导数求得曲线在A 处的切线方程，代入已知点的坐标求解0x 即可．【解析】：设0(A x ，0)lnx ，由y lnx =，得1y x'=，∴001|x x y x ='=，则该曲线在点A 处的切线方程为0001()y lnx x x x -=-，切线经过点(,1)e --，∴0011elnx x --=--， 即00elnx x =，则0x e =． A ∴点坐标为(,1)e ． 故答案为：(,1)e ．【归纳与总结】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．12．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，2BE EA =，AD 与CE 交于点O ．若6AB AC AO EC =，则ABAC的值是 3 ．【思路分析】首先算出12AO AD =，然后用AB 、AC 表示出AO 、EC ，结合6AB AC AO EC =得221322AB AC =，进一步可得结果． 【解析】：设()2AO AD AB AC λλ==+，()AO AE EO AE EC AE AC AE μμ=+=+=+-1(1)3AE AC AB AC μμμμ-=-+=+∴1232λμλμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1214λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴11()24AO AD AB AC ==+，13EC AC AE AB AC =-=-+，1166()()43AO EC AB AC AB AC =⨯+⨯-+22312()233AB AB AC AC =-++221322AB AB AC AC =-++，221322AB AC AB AB AC AC =-++，∴221322AB AC =，∴223AB AC =，∴AB AC【归纳与总结】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．13．已知tan 23tan()4απα=-+，则sin(2)4πα+的值是 10 ． 【思路分析】由已知求得tan α，分类利用万能公式求得sin 2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin(2)4πα+的值．【解析】：由tan 23tan()4απα=-+，得tan 23tan tan 41tan tan4απαπα=-+-， ∴tan (1tan )21tan 3ααα-=-+，解得tan 2α=或1tan 3α=-．当tan 2α=时，22tan 4sin 215tan ααα==+，2213cos2tan αα-==-+， 43sin(2)sin 2cos cos2sin 44455πππααα∴+=+=-=； 当1tan 3α=-时，22tan 3sin 215tan ααα==-+，2214cos21tan αα-==+， 34sin(2)sin 2cos cos2sin 4455πππααα∴+=+=- 综上，sin(2)4πα+．．【归纳与总结】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．14．设()f x ，()g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数．当(0x ∈，2]时，()f x =，(2),01,()1,12,2k x x g x x +<⎧⎪=⎨-<⎪⎩其中0k >．若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ． 【思路分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案． 【解析】：作出函数()f x 与()g x 的图象如图，由图可知，函数()f x 与1()(122g x x =-<，34x <，56x <，78)x <仅有2个实数根；要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则2()1(1)f x x =--，(0x ∈，2]与()(2)g x k x =+，(0x ∈，1]的图象有2个不同交点， 由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为1211k =+，解得0)22k k =>，两点(2,0)-，(1,1)连线的斜率13k =，∴1322k <． 即k 的取值范围为1[3)22．故答案为：1[3)22．【归纳与总结】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若3a c =，2b =，2cos 3B =，求c 的值；（2）若sin cos 2A Ba b=，求sin()2B π+的值． 【思路分析】（1）由余弦定理得：222221022cos 263a cbc B ac c +--===，由此能求出c 的值．（2）由sin cos A Ba =，利用正弦定理得2sin cos B B =，再由22sin cos 1B B +=，能求出5sin B =，25cos B =，由此利用诱导公式能求出sin()2B π+的值． 【解析】：（1）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．3a c =，2b =，2cos 3B =，∴由余弦定理得：222221022cos 263a cbc B ac c +--===，解得3c =． （2）sin cos 2A Ba b=， ∴由正弦定理得：sin sin cos 2A B Ba b b==， 2sin cos B B ∴=， 22sin cos 1B B +=，5sin B ∴=，25cos B =， 25sin()cos 2B B π∴+==． 【归纳与总结】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB BC =． 求证：（1）11//A B 平面1DEC ；（2）1BE C E ⊥．【思路分析】（1）推导出//DE AB ，11//AB A B ，从而11//DE A B ，由此能证明11//A B 平面1DEC ．（2）推导出1BE AA ⊥，BE AC ⊥，从而BE ⊥平面11ACC A ，由此能证明1BE C E ⊥． 【解答】证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点， //DE AB ∴，11//AB A B ，11//DE A B ∴， DE ⊂平面1DEC ，11A B ⊂/平面1DEC ， 11//A B ∴平面1DEC ． 解：（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，E 是AC 的中点，AB BC =． 1BE AA ∴⊥，BE AC ⊥，又1AA AC A =，BE ∴⊥平面11ACC A ，1C E ⊂平面11ACC A ，1BE C E ∴⊥．【归纳与总结】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的焦点为1(1,0)F-，2(1,0)F．过2F作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆2222:(1)4F x y a-+=交于点A ，与椭圆C交于点D．连结1AF并延长交圆2F于点B，连结2BF交椭圆C于点E，连结1DF．已知152DF=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．【思路分析】（1）由题意得到12//F D BF，然后求AD，再由152AD DF==求得a，则椭圆方程可求；（2）求出D的坐标，得到2133224BF DFk k===，写出2BF的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．【解析】：（1）如图，22F A F B=，22F AB F BA∴∠=∠，22212F A a F D DA F D F D==+=+，1AD F D∴=，则11DAF DF A∠=∠，12DF A F BA∴∠=∠，则12//F D BF，1c=，221b a∴=-，则椭圆方程为222211x ya a+=-，取1x=，得21Daya-=，则22112a aAD aa a-+=-=．又152DF=，∴2152aa+=，解得2(0)a a=>．∴椭圆C的标准方程为22143x y+=；（2）由（1）知，3(1,)2D，1(1,0)F-，∴2133224BF DFk k===，则23:(1)4BF y x=-，联立223(1)4143y xx y⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22118390x x--=．解得11x=-或2137x=（舍)．∴132y =-．即点E 的坐标为3(1,)2--．【归纳与总结】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明12//DF BF 是解答该题的关键，是中档题．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥(AB AB 是圆O 的直径），规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ，规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和(BD C 、D 为垂足），测得10AB =，6AC =，12BD =（单位：百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由； （3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米），求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【思路分析】（1）设BD 与圆O 交于M ，连接AM ，以C 为坐标原点，l 为x 轴，建立直角坐标系，则(0,6)A -，(8,12)B --，(8,0)D -设点1(P x ，0)，PB AB ⊥，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1-，求得P 的坐标，可得所求值；（2）当QA AB ⊥时，QA 上的所有点到原点O 的距离不小于圆的半径，设此时2(Q x ，0)，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1-，求得Q 的坐标，即可得到结论；（3）设(,0)P a ，(,0)Q b ，则17a -，92b -，结合条件，可得b 的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ ．【解析】：设BD 与圆O 交于M ，连接AM ， AB 为圆O 的直径，可得AM BM ⊥， 即有6DM AC ==，6BM =，8AM =，以C 为坐标原点，l 为x 轴，建立直角坐标系，则(0,6)A -，(8,12)B --，(8,0)D - （1）设点1(P x ，0)，PB AB ⊥， 则1BP AB k k =-， 即10(12)6(12)1(8)0(8)x -----=-----，解得117x=-，所以(17,0)P -，22(178)(012)15PB =-+++=；（2）当QA AB ⊥时，QA 上的所有点到原点O 的距离不小于圆的半径，设此时2(Q x ，0)，则1QA AB k k =-，即20(6)6(12)100(8)x -----=----，解得292x =-，9(2Q -，0)，由91782-<-<-，在此范围内，不能满足PB ，QA 上所有点到O 的距离不小于圆的半径，所以P ，Q 中不能有点选在D 点；（3）设(,0)P a ，(,0)Q b ，则17a -，92b -，22(8)144225PB a =++，2236225QA b =+，则321b ，当d 最小时，17321PQ =+．【归纳与总结】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为1-，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．19．（16分）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值；（3）若0a =，01b <，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427M ．【思路分析】（1）由a b c ==，可得3()()f x x a =-，根据f （4）8=，可得3(4)8a -=，解得a ．（2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--．令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或x b =．()()(32)f x x b x b a '=---．令()0f x '=，解得x b =，或23a bx +=．根据()f x 和()f x '的零点均在集合{3A =-，1，3}中，通过分类讨论可得：只有3a =，3b =-，可得263133a b A +-==∈，可得：2()(3)(3)f x x x =-+．利用导数研究其单调性可得1x =时，函数()f x 取得极小值．（3）0a =，01b <，1c =，()()(1)f x x x b x =--．2()3(22)f x x b x b '=-++．△0>．令2()3(22)0f x x b x b '=-++=．解得：21111(0,]3b b b x +--+，2211b b b x ++-+．12x x <，可得1x x =时，()f x 取得极大值为M ，通过计算化简即可证明结论．【解析】：（1）a b c ==，3()()f x x a ∴=-，f （4）8=，3(4)8a ∴-=， 42a ∴-=，解得2a =．（2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--． 令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或x b =．2()()2()()()(32)f x x b x a x b x b x b a '=-+--=---．令()0f x '=，解得x b =，或23a bx +=．()f x 和()f x '的零点均在集合{3A =-，1，3}中，若：3a =-，1b =，则2615333a b A +-+==-∉，舍去．1a =，3b =-，则2231333a b A +-==-∉，舍去．3a =-，3b =，则263133a b A +-+==-∉，舍去．． 3a =，1b =，则2617333a b A ++==∉，舍去．1a =，3b =，则2533a b A +=∉，舍去．3a =，3b =-，则263133a b A +-==∈，． 因此3a =，3b =-，213a bA +=∈，可得：2()(3)(3)f x x x =-+． ()3[(3)](1)f x x x '=---．可得1x =时，函数()f x 取得极小值，f （1）22432=-⨯=-． （3）证明：0a =，01b <，1c =， ()()(1)f x x x b x =--．2()()(1)(1)()3(22)f x x b x x x x x b x b x b '=--+-+-=-++．△22214(1)124444()332b b b b b =+-=-+=-+．令2()3(22)0f x x b x b '=-++=．解得：11(0,]3x =，2x =．12x x <，12223b x x ++=，123b x x =， 可得1x x =时，()f x 取得极大值为M ，2111()3(22)0f x x b x b '=-++=，可得：2111[(22)]3x b x b =+-，1111()()(1)M f x x x b x ==--222211111111(22)1()()()()[(21)2]33b x b x b x x x b x b x b x b +-=--=--=--+2222111(22)11[(21)2][(222)]339b x b b b x b b b x b b +-=--+=-+-++， 22132222()022b b b -+-=---<，M ∴在1(0x ∈，1]3上单调递减，2221252524()932727b b b b M b b -+-+-∴++=．427M∴． 【归纳与总结】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”． （1）已知等比数列*{}()n a n N ∈满足：245a a a =，321440a a a -+=，求证：数列{}n a 为“M -数列”；（2）已知数列*{}()n b n N ∈满足：11b =，1122n n n S b b +=-，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和．①求数列{}n b 的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M -数列” *{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m 时，都有1k k k c b c +成立，求m 的最大值．【思路分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，然后根据245a a a =，321440a a a -+=列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出2b ，3b ，4b 猜想n b ，然后用数学归纳法证明；（3）设{}n c 的公比为q ，将问题转化为[][]1max min lnk lnkk k -，然后构造函数()(3)lnx f x x x =，()(3)1lnx g x x x =-，分别求解其最大值和最小值，最后解不等式331ln lnmm -，即可．【解析】：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则 由245a a a =，321440a a a -+=，得244112111440a q a qa q a q a ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩∴112a q =⎧⎨=⎩， ∴数列{}n a 首项为1且公比为正数即数列{}n a 为“M -数列”；（2）①11b =，1122n n n S b b +=-，∴当1n =时，11121122S b b b ==-，22b ∴=， 当2n =时，212231122S b b b b ==-+，33b ∴=，当3n =时，3123341122S b b b b b ==-++，44b ∴=， 猜想n b n =，下面用数学归纳法证明； ()i 当1n =时，11b =，满足n b n =，()ii 假设n k =时，结论成立，即k b k =，则1n k =+时， 由1122k k k S b b +=-，得 1(1)2221(1)222k k k k k k k kb S b k k k S b k++===++--， 故1n k =+时结论成立，根据()()i ii 可知，n b n =对任意的*n N ∈都成立． 故数列{}n b 的通项公式为n b n =； ②设{}n c 的公比为q ，存在“M -数列” *{}()n c n N ∈，对任意正整数k ，当k m 时，都有1k k k c b c +成立， 即1k kq k-对k m 恒成立，当1k =时，1q ，当2k =2，当3k ，两边取对数可得，1lnk lnkk k -对k m 有解，即[][]1max min lnk lnk k k -，令()(3)lnx f x x x =，则21()lnxf x x -'=， 当3x 时，()0f x '<，此时()f x 递增，∴当3k 时，3[]3max lnk ln k =， 令()(3)1lnx g x x x =-，则211()lnxx g x x --'=， 令1()1x lnx x φ=--，则21()xx xφ-'=，当3x 时，()0x φ'<，即()0g x '<， ()g x ∴在[3，)+∞上单调递减，即3k 时，[]11min lnk lnmk m =--，则 331ln lnmm -，下面求解不等式331ln lnmm -，化简，得3(1)30lnm m ln --，令()3(1)3h m lnm m ln =--，则3()3h m ln m'=-，由3k 得3m ，()0h m '<，()h m ∴在[3，)+∞上单调递减，又由于h （5）3543125810ln ln ln ln =-=->，h （6）36532162430ln ln ln ln =-=-<， ∴存在0(5,6)m ∈使得0()0h m =， m ∴的最大值为5，此时13[3q ∈，145]．【归纳与总结】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵3122A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． （1）求2A ；（2）求矩阵A 的特征值． 【思路分析】（1）根据矩阵A 直接求解2A 即可；（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--，解方程()0f λ=即可．【解析】：（1）3122A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦231312222A ⎡⎤⎡⎤∴=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 115106⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）矩阵A 的特征多项式为：231()5422f λλλλλ--==-+--，令()0f λ=，则由方程2540λλ-+=，得1λ=或4λ=，∴矩阵A 的特征值为1或4．【归纳与总结】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识，考查运算与求解能力，属基础题．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点(3,)4A π，B ，)2π，直线1的方程为sin()34πρθ+=．（1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离．【思路分析】（1）设极点为O ，则由余弦定理可得2222?cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠，解出AB ；（2）根据直线l 的方程和点B 的坐标可直接计算B 到直线l 的距离． 【解析】：（1）设极点为O ，则在OAB ∆中，由余弦定理，得 2222?cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠，AB ∴=（2）由直线1的方程sin()34πρθ+=，知直线l过)2π，倾斜角为34π，又B )2π，∴点B 到直线l的距离为3?()242sin ππ-=．【归纳与总结】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）23．设x R ∈，解不等式|||21|2x x +->．【思路分析】对|||21|x x +-去绝对值，然后分别解不等式即可．【解析】：131,21|||21|1,0231,0x x x x x x x x ⎧->⎪⎪⎪+-=-+⎨⎪-+<⎪⎪⎩，|||21|2x x +->，∴31212x x ->⎧⎪⎨>⎪⎩或12102x x -+>⎧⎪⎨⎪⎩或3120x x -+>⎧⎨<⎩， 1x ∴>或x ∈∅或13x <-，∴不等式的解集为1{|3x x <-或1}x >．【归纳与总结】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设2012(1)n n n x a a x a x a x +=+++⋯+，4n ，*n N ∈．已知23242a a a =．（1）求n的值；（2）设(1n a =+a ，*b N ∈，求223a b -的值．【思路分析】（1）运用二项式定理，分别求得2a ，3a ，4a ，结合组合数公式，解方程可得n 的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a ，b ，计算可得所求值；方法二、由于a ，*bN ∈，求得5(1a -=-，再由平方差公式，计算可得所求值．【解析】：（1）由0122(1)n n nnn n n x C C x C x C x +=+++⋯+，4n ， 可得22(1)2n n n a C -==，33(1)(2)6n n n n a C --==，44(1)(2)(3)24n n n n n a C ---==， 23242a a a =，可得2(1)(2)(1)(1)(2)(3)()26224n n n n n nn n n ------=，解得5n =；（2）方法一、502233445555555(1C C C C C C a +=++++=+由于a ，*b N ∈，可得024555391304576a C C C =++=++=，1355553944b C C C =++=， 可得222237634432a b-=-⨯=-；方法二、502233445555555(1C C C CC C a +=++++=+50122334455555555(1(((((C C C CC C -=+++++02233445555555C C CC C C =--+-，由于a ，*b N∈，可得5(1a =-可得225553(1(13)(13)32a b -=+-=-=-．【归纳与总结】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0)n A =，(1,0)，(2,0)，⋯，(,0)}n ，{(0,1)n B =，(,1)}n ，{(0,2)n C =，(1,2)，(2,2)，⋯⋯，(,2)}n ，*n N ∈．令n nn n M A B C =．从集合n M 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离． （1）当1n =时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数(3)n n，求概率()P X n （用n表示）．【思路分析】（1）当1n =时，X 的所有可能取值为1，2，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值；（2）设(,)A a b 和(,)B c d 是从n M 中取出的两个点，因为()1()P X n P X n =->，所以只需考虑X n >的情况，分别讨论b ，d 的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．【解析】：（1）当1n =时，X 的所有可能取值为1，2，2，5，X 的概率分布为2677(1)15P X C ===；2644(2)15P X C ===；2622(2)15P X C ===；2622(5)15P X C ===； （2）设(,)A a b 和(,)B c d 是从n M 中取出的两个点，因为()1()P X n P X n =->，所以只需考虑X n >的情况， ①若b d =，则AB n ，不存在X n >的取法；②若0b =，1d =，则22()11AB a c n =-++，所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0a =．c n =或a n =，0c =，有两种情况；③若0b =，2d =，则22()44AB a c n =-++，所以X n >当且仅当24AB n =+，此时0a =．c n =或a n =，0c =，有两种情况；④若1b =，2d =，则22()11AB a c n =-++，所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0a =．c n =或a n =，0c =，有两种情况； 综上可得当X n >，X 的所有值是21n +或24n +，且22244(1)n P X n C +=+=，22242(4)n P X n C +=+=，可得222246()1(1)(4)1n P X n P X n P X n C+=-=+-=+=-．【归纳与总结】本题考查随机变量的概率的分布，以及古典概率公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于难题．————————————————————————————————————《高中数学教研微信系列群》简介：目前有6个群，共2000多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！ 特别说明：1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三 编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图————————————————————————————————————。