第十讲 边缘分布与独立性
合集下载
边缘分布随机变量的相互独立性
P0 x 1,0 y 1 (x, y)dxdy ( x, y)A
1
dx
16e2x3ydy (1 e2 )(1 e3 )
0
0
② 边缘密度函数分别为
X (x)
(x, y)dy
当
x0
时
X (x)
6e2x3ydy 2e2x
Y
X
y1 y2 y3 …
x1 p11 p12 p13 … x2 p21 p22 p23 … x3 p31 p32 p33 … ……………
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…………… …
p.j p.1 p.2 p.3 …
1
x2 y2
e 2 dy
1
x2 y2
e 2 sin x sin ydy
2
2
1
x2
e 2
1
y2
e 2 dy
2
2
1 x2
y2
e 2 sin x e 2 sin ydy
2
1
x2
e2
2
所以， X ~ N 0,1
a
a xb
0 otherwise
同理
1
f
y
(
边缘分布与独立分布
离散型随机变量的边缘分布律
X,Y的边缘分布律
pX(xi ) pij P{X xi }, i 1,2, , j 1
pY(yi ) pij P{Y y j }, j 1,2, , i1
离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为
FX ( x) F ( x,)
pij ,
§2.8边缘分布与独立分布
1、边缘分布
问题 :已知( X ,Y )的分布,如何确定X ,Y的分布?
F( x, y) P{X x,Y y} , F( x) P{X x}, P{X x} P{X x,Y } F( x,) FX ( x)
( X ,Y )关于X的边缘分布函数.
定义 设F ( x, y)为随机变量( X ,Y )的分布函数, 则 F( x, y) P{X x,Y y} 令 y , 称
xi x j1
FY ( y) F (, y)
pij .
y j y i1
例1 已知下列分布律求其边缘分布律.
YX
0
1
0 16
12
49
49
12
9
1 49
49
连续型随机变量的边缘分布
定义 对 于 连 续 型 随 机 变 量( X ,Y ), 设 它 的 概 率
密度为 f (x, y),由于
联合分布
边缘分布
例题
例1
设( X ,Y ) ~
p(
x,
y)
e
y
,
0,
0 x y, 其 它.
求 (1) pX ( x); (2) P{ X Y 1}.
2.随机变量的独立性
随机变量的独立性是概率论中的一 个重要概念.两随机变量独立的定义是：
边际分布与随机变量的独立性
(3) X 与Y是独立的其本质是：
对任意实数a, b, c, d，有
P{a X b, c Y d } P{a X b}P{c Y d }.
(4) X 与Y 是独立的，则g(X)与h(Y)也是独立的.
例3.2.6
(X, Y) 的联合分布列为:
问 X与Y 是否独立？ 解: 边际分布列分别为: X 0 1
例3.2.4
设二维随机变量( X , Y )在区域
G {( x, y) | 0 x 1, x 2 y x}
上服从均匀分布，求边缘概率密度f X ( x)，fY ( y)
不难得到( X , Y )的概率密度 解：
6, f ( x, y ) 0, 0 x 1, x 2 y x, 其它.
所有计算结果列表如下 ：
( X,Y )关于Y
的边缘分布律
( X,Y )关于X
的边缘分布律
X 和Y的边缘分布律可由( X , Y )的分布律确定
Y
1 1/10 3/10
0 3/10 3/10
例3.2.2
已知(X,Y)的分布律为
X 1 0
求X、Y的边缘分布律。 解
X Y 1 0
p i·
1
0 p· j
解
f X ( x ) f ( x , y )dy
由于
( y 1 )2 2 ( x 1 )( y 2 ) [ y 2 x 1 ]2 2 ( x 1 )
22
1 2
2
1
12
于是
f X ( x)
1 2 1 2 1
F (,) lim F ( x, y ) A B C 1 x 2 2 y F (,) A B C 0
边缘分布与独立性
PX xi
18 38 38 18
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
联合分布与边缘分布的关系
XY 0 1 2 3
PY y j
13 0 18 38 0 38 0
0 18 68 28
PX xi
18 38 38 18
由联合分布可以确定边缘分布;
但由边缘分布一般不能确定联合分布.
下面我们介绍两个常见的二维分布.
设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二 维随机变量（ X,Y）具有概率密度
f
(
x,
y)
1 A
,
(x, y) G
0, 其它
则称（X,Y）在G上服从均匀分布.
例
向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落 在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比， 而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标 (X,Y)在G 上服从均匀分布.
则 (X,Y) 关于X 的边缘分布律为
P X xi P X xi ,Y y j pij pi.
j1
j1
i 1,2,
X
xi
j 1
X xi ,Y y j
(X,Y) 关于 Y 的边缘分布律为
P Y y j P X xi ,Y y j pij p. j
变量 (X,Y) 关于 X 和 Y的边缘分布函数.
FX x PX x PX x,Y F x, FY y PY y PX ,Y y F , y
二、离散型随机变量的边缘分布律
一般地，对离散型 r.v ( X,Y )， X和Y 的联合分布律为
P(X xi ,Y y j) pij, i, j 1,2,
y x
R2
1
《概率论》课程PPT：边缘分布及随机变量的相互独立性
F(x, y) FX (x) FY ( y)
例1 设（X，Y）的概率分布（律）为
y x
1/2 1 2
p .j
-1 2/20 2/20 4/20 2/5
0 1/20 1/20 2/20 1/5
2
pi.
2/20 1/4
2/20 1/4
4/20 2/4 2/5
证明：X、Y相互独立。
逐个验证等式 pij pi p j
即
Y
X
y1 y2 y3 …
x1 p11 p12 p13 … x2 p21 p22 p23 … x3 p31 p32 p33 … ……………
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…………… …
p.j p.1 p.2 p.3 …
依次称为二维随机变量 (X ,Y )关于 X 和关于 Y
的边缘分布函数．
FX (x) F(x, ) FY ( y) F(, y)
二维离散型R.v.的边缘分布
如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
P{X xi ,Y y j} pij i, j 1, 2,3,
关于Y的边缘分布
Y 0 1 1/3 概率 7/12 1/3 1/12
（X，Y）的联合分布列
Y
X
0
1 1/3
-1 0 1/3 1/12 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0
例1 设（X，Y）的概率分布（律）为
y x
1/2 1 2
p .j
-1 2/20 2/20 4/20 2/5
0 1/20 1/20 2/20 1/5
2
pi.
2/20 1/4
2/20 1/4
4/20 2/4 2/5
证明：X、Y相互独立。
逐个验证等式 pij pi p j
即
Y
X
y1 y2 y3 …
x1 p11 p12 p13 … x2 p21 p22 p23 … x3 p31 p32 p33 … ……………
二维离散型R.v.的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…………… …
p.j p.1 p.2 p.3 …
依次称为二维随机变量 (X ,Y )关于 X 和关于 Y
的边缘分布函数．
FX (x) F(x, ) FY ( y) F(, y)
二维离散型R.v.的边缘分布
如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
P{X xi ,Y y j} pij i, j 1, 2,3,
关于Y的边缘分布
Y 0 1 1/3 概率 7/12 1/3 1/12
（X，Y）的联合分布列
Y
X
0
1 1/3
-1 0 1/3 1/12 0 1/6 0 0 2 5/12 0 0
10条件分布与独立性
f (x,y)=fX(x)fY(y).
特别地,令x = μ1,y = μ2, 由上述等式得到
1
1,
2 1 2 1 2 2 1 2
从而ρ = 0.
综上所述, 得到以下的重要结论: 定理2 对于二维正态随机变量(X, Y), X与 Y相互独立的充要条件是参数ρ = 0.
讲评 随机变量的独立性往往由实际问题
PX≤ x Y y为随机变量X在条件Y= y下的条件
分布函数, 记作 FX Y ( x y).
即
x f (x, y)
FX Y ( x y)
dx. fY ( y)
则上式就是在给定条件Y= y下, 随机变量X的
条件分布函数.
而 f (x, y) 称为在给定条件
fY ( y)
Y= y下X的条件概率密度,
L
f (x1, x2,L , xn)dx2dx3L dxn,
(3.5)
fX1,X2 (x1, x2)
L
f (x1, x2,L , xn)dx3dx4L dxn.
(3.6)
定义2 若对于所有的实数x1,x2,…, xn有
F(x1, x2,L , xn) FX1 (x1)FX 2 (x2)L FXn (xn) (3.7) ，
随机变量的独立性是概率论与数理统计 中的一个很重要的概念,它是由随机事件的相 互独立性引申而来的.我们知道,两个事件A与B 是相互独立的,当且仅当它们满足条件 P(AB)=P(A)P(B).
由此, 可引出两个随机变量的相互独立性.
设X,Y为两个随机变量,于是{X≤x},{Y≤y}为 两个随机事件, 则两事件{X≤x},{Y≤y}相互独立, 相当于下式成立 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x} P{Y≤y}, 或写成 F(x,y)=FX(x)FY(y).
概率论与数理统计3.2 边缘分布与独立性
p·
j
p2 j . . . pij . . . p· j
例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个 是次品，每次从袋中任意抽取一个， 抽取两次，定义随机变量X、Y如下
1, 第一次抽取的产品是正品 X 0, 第一次抽取的产品是次品
1, 第二次抽取的产品是正品 Y 0, 第二次抽取的产品是次品
2 R2 x2 , R x R 2 R 0y R 2 fY ( y ) R 0, 其它
1 2 f (0, 0) , f X (0) fY (0) 2 R R
因此， X与Y不独立。
随机变量的独立性
如果二维随机变量(X,Y)满足, 对任意x,y, 有
P( X x, Y y ) P ( X x ) P (Y y ) 即 F ( x, y ) FX ( x) FY ( y )
则称X与Y相互独立 .
连续型 离散型
f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y )
1y 1 2dx ,0 y0 1,x 1 2 dx , 0 y fY ( y ) f ( x, y )dx 其它 0, 其它 0, 2( y2 y1), 0 1y 1 2 , 0 y , 0, 其它 其它 0,
对下面两种抽取方式：(1) 有放回抽取； (2)无放回抽取，求(X,Y)的边缘分布律。
(1) 有放回抽取
Y XY 0 X 0 4 0 1
(2) 无放回抽取
pi· 2/5 3/5 1
X X Y
01
1
Y 0 0 X
01 1
1pi·
46 6 25 25 25 25 69 9 1 6 25 25 25 25
边缘分布律
边缘分布律摘要：边缘分布律是概率论和统计学中的一个重要概念，用于描述多维随机变量中各个维度的分布情况。
本文将介绍边缘分布律的定义、性质以及应用，并举例说明其在实际问题中的应用。
1. 引言在概率论和统计学中，边缘分布律是研究多维随机变量的重要工具。
多维随机变量是指具有两个或更多维度的随机变量。
通过研究各个维度上的分布情况，我们可以更好地理解随机变量之间的关系以及它们对整体随机过程的影响。
2. 边缘分布律的定义设有一个二维随机变量(X,Y)，其边缘分布函数分别为F(x)和G(y)。
那么X的边缘分布律可以定义为P(X=x)，表示随机变量X等于x的概率。
类似地，Y的边缘分布律可以定义为P(Y=y)。
边缘分布律可以通过边缘分布函数来推导得到。
3. 边缘分布律的性质边缘分布律具有以下性质：(1) 非负性：边缘分布律是非负的，即P(X=x)和P(Y=y)大于等于零。
(2) 归一性：边缘分布律的和等于1，即∑P(X=x)=1和∑P(Y=y)=1。
(3) 独立性：如果X和Y是相互独立的，那么X的边缘分布律和Y的边缘分布律也是相互独立的。
这些性质使得边缘分布律成为研究多维随机变量的重要工具，可以用于计算随机变量的期望、方差等统计量。
4. 边缘分布律的应用边缘分布律在实际问题中有广泛的应用。
在金融领域中，我们经常需要分析多个金融指标之间的关系，如股票价格与利率之间的关系。
通过计算这些指标的边缘分布律，可以更好地理解它们各自的走势以及它们之间的相关性。
另一个应用领域是医学研究。
我们经常需要研究多种因素对人体健康的影响，如饮食习惯、运动量和遗传因素等。
通过分析这些因素的边缘分布律，可以更好地理解它们对健康状况的影响程度，从而为制定健康政策和预防措施提供科学依据。
此外，边缘分布律还可以应用于气候模拟、经济预测等领域。
通过分析多个变量的边缘分布律，可以为决策者提供更准确的信息，从而做出更合理的决策。
5. 示例应用为了更好地理解边缘分布律的应用，我们举一个简单的例子。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0.5 y
e
0.5 ( x y )
,
x 0, y 0
0,
其它
求(X, Y)关于X, Y的边缘分布函数。 问X和Y是否独立？
例2 r.v.X在1，2，3，4四个数中等可能地
取值，而r.v.Y在1~ X中等可能取值。 求： （1）(X, Y)的联合分布率。 （2）(X, Y)关于X, Y的边缘分布率 （3）判断X, Y的独立性
例3 设(X,Y)的概率密度为
6, x y x f ( x, y) 其它 0,
2
求关于X和Y的边缘密度函数，并判断X和Y 是否独立？ 并判断X和Y是否独立？ 注意： X和Y范围的确定和积分上下限的确 定
例4 见课本54页 结论：对于 ( X , Y ) ~ N ( , , , , )
j
i 1,2,
关于Y的边缘分布率为：
P(Y yi ) p j pij ,
i
j 1,2,
可列表如ห้องสมุดไป่ตู้：
或者：
（3）边缘密度函数
设 f ( x , y ) 是二维连续型随机变量（X,Y）
的联合密度函数
关于X的边缘密度函数为：
f ( x)
X
f ( x , y )dy
1 2 1 2
f ( x)
X
1 2
1
( x 1 )
2
e
2 21
f ( y)
Y
1 2
2
( y 2 ) 2 2
2
2
e
X,Y相互独立
0
P( X x, Y y ) P ( X x ) P (Y y )
则称X,Y相互独立 .
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
随机变量独立的等价条件是： (1) 若 (X,Y)是一般二维r.v X,Y相互独立
F ( x , y ) F ( x )F ( y )
X
关于Y的边缘分布函数为：
F ( y ) P ( X , Y y ) F ( , y )
Y
（2） 边缘分布率
设 P ( X x ,Y y ) p
i j
ij
是 二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布率 关于X的边缘分布率为：
P( X xi ) pi pij ,
取值，而r.v.Y在1~ X中等可能取值。 求： （1）(X, Y)的联合分布率。 （2）(X, Y)关于X, Y的边缘分布率
例3 设(X,Y)的概率密度为
6, x y x f ( x, y) 其它 0,
2
求关于X和Y的边缘密度函数。
二、r.v.的独立性 两随机变量独立的定义是： 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
第十讲 边缘分布与r.v.的独立性
边缘分布
随机变量的独立性
一、边缘分布的概念 二维随机变量（X,Y）分量X或Y的概率分布 称为（X,Y）关于X或Y的边缘分布。
（1）边缘分布函数
设 F ( x , y ) 是 （X,Y）的联合分布函数
关于X的边缘分布函数为：
F ( x ) P ( X x , Y ) F ( x , )
关于Y的边缘密度函数为：
f ( y)
Y
f ( x , y )dx
例1 设(X,Y)的联合分布函数为
1 e F ( x, y)
0.5 x
e
0.5 y
e
0.5 ( x y )
,
x 0, y 0
0,
其它
求(X, Y)关于X, Y的边缘分布函数。
例2 r.v.X在1，2，3，4四个数中等可能地
X Y
(2) 若 (X,Y)是二维离散型r.v X,Y相互独立
P PP
ij i j
(3) 若 (X,Y)是二维连续型r.v X,Y相互独立
f ( x, y ) f ( x ) f ( y )
X Y
例1 设(X,Y)的联合分布函数为
1 e F ( x, y)
0.5 x
e