平行四边形总复习PPT课件
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2024年人教版九年级数学中考总复习《多边形与平行四边形》课件40张(共40张PPT)
___四_____.
考点演练
5. 一个多边形除一个内角外，其余内角的和为1 510°，则这
个多边形的边数是（C）Fra bibliotekA. 九
B. 十
C. 十一 D. 十二
6. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为
A. 五
B. 六
C. 七
（B） D. 八
7. 一个多边形的每个内角均为120°,则这个多边形是（ C ）
即可求得答案.
答案：C
考题再现
1. （2014广东）一个多边形的内角和是900°，则这个多边形
的边数是 A. 10
B. 9
（D）
C. 8
D. 7
2. （2015广东）正五边形的外角和等于___3_6_0_°__. 3. （2016桂林）正六边形的每个外角是___6_0____度.
4. （2014梅州）内角和与外角和相等的多边形的边数为
A. 150°
B. 130°
C. 120° D. 100°
3. （2016丹东）如图1-4-6-4，在□ABCD中，BF平分∠ABC，
交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长
为
（B ）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14
4. （2015梅州）如图1-4-6-5，在□ABCD中，BE平分∠ABC， BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于___2_0____.
第一部分 教材梳理
第四章 图形的认识（一） 第6节 多边形与平行四边形
知识梳理
概念定理
1. 多边形的有关概念 （1）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图 形叫做多边形.
人教版八年级数学下册期末复习课件：平行四边形 (共47张PPT)
论的个数是
()
• A．2
• B．3
• C．4
• D．5
7．如图，在△ABC 中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P 为边 BC 上一动点，PE⊥
AB 于点 E，PF⊥AC 于点 F，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为
(D )
A．54
B．45
C．53
D．65
8．如图，ABCD 是正方形，E、F 分别是 DC 和 CB 的延长
∠CBF，∴BF平分∠ABC．
• (3)解：△BEF是等腰三角形．理由如下：过 点F作FG⊥BE于点G.∵AD∥BC，FG⊥BE，
BE⊥AD，∴FG∥AD∥BC．∵F为CD的中点，
∴EG＝BG，∴EF＝BF，∴△BEF是等腰三
• ★集训2 特殊平行四边形的性质与判定的相 关计算与证明
• 7．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相A 交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是 ()
D．4 个
(B )
• 二、填空题(每小题5分，共20分)
• 9．已知一个菱形的两条对角线的长分别为 5210和24，则这个菱形的周长为______.
• 10．【湖北武汉中考】以正方形ABCD的边 A30D°或作15等0°边△ADE，则∠BEC的度数是 _______________.
• 11．如图，矩形ABCD的对角2线0 BD的中点为 O，过点O作OE⊥BC于点E，连接OA，已知 AB＝5，BC＝12，则四边形ABEO的周长为 ______.
• 4．如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、
DC边上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE 相41交于点Q.若S△APD＝16 cm2，S△BQC＝25 cm2，则图中阴影部分的面积为______cm2.
6.1 平行四边形的性质 课件(共29张PPT)数学北师大版八年级下册
感悟新知
解题秘方：紧扣平行四边形边的性质进行解答 .
知2－练
解：∵平行四边形的对边相等， ∴ CD=AB=5 cm， AD=BC=4 cm. ∴ ▱ ABCD 的周长 =AB+BC+CD+AD=5+4+5+4=18(cm) .
感悟新知
知2－练
2-1. [ 中考·湘潭 ] 在▱ ABCD 中(如图)，连接AC，已知 ∠ BAC ＝40 °， ∠ ACB ＝ 80 °，则∠ BCD ＝ ( C)
解：S 四边形 ABFE=S 四边形 FCDE. 理由如下： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA=OC， AD ∥ BC. ∴∠ 1= ∠ 2. 又∵∠ 3= ∠ 4， ∴△ AOE ≌△ COF(ASA). ∴ S △ AOE=S △ COF.
知3－练
感悟新知
又由 ▱ ABCD 得
知3－练
感悟新知
例4 如图 6-1-8，在▱ ABCD 中，对角线 AC， BD 相
知3－练
交于点 O，过点 O 作直线 EF，分别交 AD， BC 于点 E， F. 判断四边形 ABFE 的面积与四边形 FCDE 的面 积有何关系，试说明理由 .
感悟新知
解题秘方：紧扣平行四边形的对角线性质、全等 三角形的性质进行解答 .
知2－讲
特别提醒
1. 2.
从 从• 边角• 看看• ：：平平行行四四边边形形的的对对角边相平等行、且邻相角等互. 补 注• 意•：•要根据推理证明的需要，合理选用平
.
行四边形的性质 .
感悟新知
知2－练
例2 [母题教材P137随堂练习T1] 如图 6-1-4，在 ABCD 中， AB=5 cm， BC=4 cm，则▱ ABCD 的周长为__1_8___cm.
平行四边形的性质复习课件ppt
分成面积相等的两部分
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
1、 通过本节课的学习，你有什么收获？ 2、 平行四边形的性质共有哪些？
边 角 对角线
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠
合在一起,在它们的中心O 钉一个图钉，将一个
平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么?
A
B
O
D
C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
结论
●1. ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合，这 时我们说 ABCD是 中心对称图形，点O叫对称中心。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
猜一猜 你能证明
根据刚才的旋转，你知道平行四边形的对 它吗?
由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩
子，他是这样分的：
老大
老二
老四
老三
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地 少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
平行四边形复习课件
一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形 。
02
平行四边形的特殊形式
矩形
01 定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
02 性质
矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等。
03 判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相 等的平行四边形是矩形。
菱形
01 定义
矩形、菱形、正方形的判定方法与证明思路
正方形的判定方法与证明思路
正方形是特殊的长方形和菱形，其判 定方法有五种。
正方形的判定方法主要有五种，一是 有一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形是正方形；二是有一个角 是直角的菱形是正方形；三是有一个 角是直角的矩形是正方形；四是有一 组邻边相等的矩形是正方形；五是有 一个角是直角的等腰梯形是正方形。 在证明过程中，需要结合已知条件， 通过全等三角形、平行线的性质等定 理进行证明。
2. 举例说明：例如，我们要证明四边形ABCD是平行 四边形，那么我们需要证明AB//CD且AB=CD。
总结词：如果一个四边形的一组对边平行且相 等，那么这个四边形是平行四边形。
1. 介绍利用一组对边平行且相等证明平行四边形 的方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形。
06
典型例题解析与拓展
矩形、菱形、正方形的判定方法与证明思路
01
菱形的判定方法与证明思路
02
菱形是平行四边形的一个特例，其判定方法有三种。
03
菱形的判定方法主要有三种，一是有一组邻边相等的平行 四边形是菱形；二是有一个角是直角的菱形是菱形；三是 有一组邻边相等的矩形是菱形。在证明过程中，需要结合 已知条件，通过全等三角形、平行线的性质等定理进行证 明。
第一章 特殊平行四边形 小结与复习课件(24张PPT) 北师大版九年级数学上册
九年级上册数学（北师版）
第一章 特殊的平行四边形
小结与复习
要点梳理 一、菱形、矩形、正方形的性质
对边
角
平行
对角相等
且四边相等 邻角互补
平行且相等
四个角 都是直角
平行
四个角
且四边相等 都是直角
对角线
互相垂直且平分， 每一条对角线平分
一组对角
互相平分且 相等
互相垂直平分且相 等，每一条对角线
平分一组对角
∴四边形 CEBO 是矩形.
针对训练
3. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
△ABO 是等边三角形，AB = 4，求□ABCD 的面积.
解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， A
D
∴ OA = OC，OB = OD.
O
又∵△ABO 是等边三角形，
∴ OA = OB = AB = 4，∠BAC = 60°. B
解：四边形 ABCD 是菱形. 理由如下：
过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F.
由 AB∥CD，AD∥BC 知四边形 ABCD 是平
行四边形.
则 S□ABCD = AD ·CF = AB ·CE. 由题意知 CF = CE，∴ AD = AB.
A FD E
BC
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
于点 O，过点 A 作 AE∥BD，过点 D 作 ED∥AC，两
线相交于点 E．
求证：四边形 AODE 是菱形.
证明：∵ AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形 AODE 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD，OA = OC = 1 AC，OB = OD = 1 BD.
第一章 特殊的平行四边形
小结与复习
要点梳理 一、菱形、矩形、正方形的性质
对边
角
平行
对角相等
且四边相等 邻角互补
平行且相等
四个角 都是直角
平行
四个角
且四边相等 都是直角
对角线
互相垂直且平分， 每一条对角线平分
一组对角
互相平分且 相等
互相垂直平分且相 等，每一条对角线
平分一组对角
∴四边形 CEBO 是矩形.
针对训练
3. 如图，在□ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，
△ABO 是等边三角形，AB = 4，求□ABCD 的面积.
解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， A
D
∴ OA = OC，OB = OD.
O
又∵△ABO 是等边三角形，
∴ OA = OB = AB = 4，∠BAC = 60°. B
解：四边形 ABCD 是菱形. 理由如下：
过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F.
由 AB∥CD，AD∥BC 知四边形 ABCD 是平
行四边形.
则 S□ABCD = AD ·CF = AB ·CE. 由题意知 CF = CE，∴ AD = AB.
A FD E
BC
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
于点 O，过点 A 作 AE∥BD，过点 D 作 ED∥AC，两
线相交于点 E．
求证：四边形 AODE 是菱形.
证明：∵ AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形 AODE 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD，OA = OC = 1 AC，OB = OD = 1 BD.
《认识平行四边形》PPT-完美版
•
1、学生自读。指名读。
•
2、理解重点词语：
•
3、有感情地朗读、背诵。
•
课外再搜集一些鲁迅先生的名言。
•
趣味语文
•
1、过渡：鲁迅先生的童年发生过许多 故事， 这节课 我们就 来读一 个鲁迅 巧对先 生的故 事。
•
2、学生自读。指名读。
•
周樟寿的对子妙在哪里？他为什么对 得好？
•
文人巧对对联的故事还有很多，课后 搜集此 类故事 ，与同 学们交 流。
《认识平行四边形》PPT-完美版
典题精讲
照下面的样子做一做。
课件PPT
你发现了什么？
《认识平行四边形》PPT-完美版
《认识平行四边形》PPT-完美版
典题精讲
形状改变了， 边的长短没变
长方形的对边相 等，平行四边形
的对边也相等
《认识平行四边形》PPT-完美版
课件PPT
《认识平行四边形》PPT-完美版 《认识平行四边形》PPT-完美版
《认识平行四边形》PPT-完美版
第五单元 四边形的认识
第 3 课时 认识平行四边形
《认识平行四边形》PPT-完美版
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学习目标
课件PPT
1、认识四边形，能辨认平行四边形。
《认识平行四边形》PPT-完美版
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情景导入
课件PPT
《认识平行四边形》PPT-完美版
《认识平行四边形》PPT-完美版
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•
1、谈谈心目中的பைடு நூலகம்迅
•
（1）学了本单元的课文，我们被鲁迅 先生的 才学和 人格魅 力所折 服，这 节课我 们就来 谈谈自 己心目 中的鲁 迅。
《平行四边形》期末复习 —初中数学课件PPT
∴△ODE≌△FCE（AAS）． （2）∵△ODE≌△FCE，∴OD＝FC． ∵CF∥BD，∴四边形ODFC是平行四边形． 在矩形ABCD中，OC＝OD，∴ ODFC是菱形．
6.如图M-55-10，四边形ABCD是正方形，E,F分别是DC和CB的 延长线上的点，且DE=BF，连接AE,AF,EF． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）若BC=8，DE=3，求△AEF的面积.
21.如图M-55-22，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上
一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不
一定正确的是
（ B）
A．△AFD≌△DCE
B．AF= AD
C．AB=AF
D．BE=AD-DF
22.如图M-55-23，在△ABC中，CD⊥AB于
点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD=BC. ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴AE= AD，CF= BC. ∴AE=CF. ∴四边形AFCE是平行四边形.
综合提升
20.如图M-55-21，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， BD=6，AC=8，直线OE⊥AB交CD于点F，则AE的长为（ D ） A．4 B．4.8 C．2.4 D．3.2
14.如图M-55-16，在△ABC中，已知AB=8， ∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE 的长为____2____.
15. 已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个 菱形的边长为____5______cm. 16. 如图M-55-17，矩形ABCD的对角线AC=8 cm，∠AOD=120°， 则AB的长为_____4_____cm.
6.如图M-55-10，四边形ABCD是正方形，E,F分别是DC和CB的 延长线上的点，且DE=BF，连接AE,AF,EF． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）若BC=8，DE=3，求△AEF的面积.
21.如图M-55-22，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上
一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不
一定正确的是
（ B）
A．△AFD≌△DCE
B．AF= AD
C．AB=AF
D．BE=AD-DF
22.如图M-55-23，在△ABC中，CD⊥AB于
点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE=5，
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD=BC. ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴AE= AD，CF= BC. ∴AE=CF. ∴四边形AFCE是平行四边形.
综合提升
20.如图M-55-21，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， BD=6，AC=8，直线OE⊥AB交CD于点F，则AE的长为（ D ） A．4 B．4.8 C．2.4 D．3.2
14.如图M-55-16，在△ABC中，已知AB=8， ∠C=90°，∠A=30°，DE是中位线，则DE 的长为____2____.
15. 已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC=6cm，则这个 菱形的边长为____5______cm. 16. 如图M-55-17，矩形ABCD的对角线AC=8 cm，∠AOD=120°， 则AB的长为_____4_____cm.
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四边形复习集锦
一般的平行四边形
菱形
四 边
平行四边形 特 殊 的 平行四边形
一般梯形
矩形 正方形
形梯
形
等腰梯形
特殊梯形 直角梯形
一般四边形
D
C 文字语言叙述
几何符号表述
O
①两组对边互相平行∵在在 四AB边CD形中 ABCD中
A
平
B
性质
②③两一组组对 对边 边分 平别 行相 且等 相等 ∴四A∠AO边ABBA形=∥=∠COACDCBCD是
形
C. 矩形的对角线相等
D. 对角线相等的四边形是矩形
A 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则
BD的长为（
）
A.4
B.3
C.2
D.1
3.如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，
B 则矩形的对角线AC的长是（
）
A.2
B.4
C.2 3 D.4 3
F
D
B
C
B
C
证法1：∵四边形ABCD是平行四 边形
∴BC=AD，∠1=∠2 在△BCE与△DAF中
BC=AD
证法2： 连接BD，交AC于点O， 连接DE,BF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=OD, AO=CO
∠1=∠2 CE=AF ∴ △BCE≌△DAF ∴BE=DF， ∠3=∠4 ∴BE∥DF
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
⑴菱形是特殊的平行四边形，具有 D
性质 平行四边形的所有性质
⑵菱形的特殊性质：
A
菱
①菱形的四条边都相等
O
C
②菱形的对角线互相垂直平分 B
每一条对角线平分一组对角
形
③菱形是轴对称图形；有两
条对称轴
⑴四条边都相等的四边形
判别 ⑵对角线互相垂直平分的四边形 菱 ⑶有一组邻边相等的平行四边形 形
（1）求证：△BDF≌△CDE； （2）当AB=AC时，试判断四边形BFCE的形状，
并说明理由。
典例1 如图，E，F是平行
四边形ABCD的对角线AC上
的点，CE=AF，请你猜想：
A
D
BE与DF有怎样的关系？ E
并对你的猜想加以证明
F
B
C
A
2
E 3
4
1F
D 猜想： BE∥DF, BE=DF
A E
o
又∵AF=CE
∴AE=CF
∴EO=FO
∴四边形BEDF是平行四边形
∴ BE=DF， BE∥DF
典例2 如图1，2所示，将一张长方形的纸片 对折两次后，沿图3中的虚线AB剪下， 将△AOB完全展开． (1)画出展开图形，判断其形状， 并证明你的结论；
(2)若按上述步骤操作，展开图形 是正方形时，请写出△AOB应满足的条件．
D
C
O
性质 A
B
Байду номын сангаас
菱形的所有性质
正
⑴正方形同时具有 矩形的所有性质
方
⑵正方形是轴对称图形；有4条对称轴
形
⑴先判定四边形是矩形；
判别 再判定这个矩形是菱形
⑵先判定四边形是菱形； 再判定这个菱形是矩形
双基训练：
D 1.下列命题中，真命题是 （
）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
行
④两组对角分别相等 ABA∠CAOBDDB=∥=∠BBODCCD
四
⑤对角线互相平分
边
①两组对边分别平行的
平
形
②两组对边分别相等的 四 行
判别 ③一组对边平行且相等的 边 四
④两组对角分别相等的 ⑤对角线互相平分的
形边 形
定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形
⑴矩形是特殊的平行四边形，具有 平
性质 行四边形的所有性质 D
⑷对角线互相垂直的平行四边形
双基训练：
1、已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是_4_c__m__. 60° 2、菱形ABCD中∠BAD＝60度，则∠ABD＝_______.
3边、长菱是形的两5条cm对角线长. 分别为6cm和8cm，则菱形的
4、若菱形的边长为1cm，其中一个内角为60°，
则它的面积S = 3 cm 2 。 2
且MA=NC，问BM和DN存在 怎样的关系？说明理由。 证明：
4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D， AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一 个正方形？并给出证明．
MM
AA
EE
NN
BB
DD
CC
5、如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别 在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF 。
(1)展开图如图所示，它是菱形． 证明：由操作过程可知 OA=OC，OB=OD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形． 又∵ OA⊥OB，
即AC⊥BD， ∴ 四边形ABCD是菱形．
(2)△AOB中，∠ABO=45° (或∠BAO=45°或OA=OB)．
典例3 如图，在平行四边形ABCD中，
AB //CD，M、N在直线AC上，
第3题图
第4题图
4.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩
D 形，需要添加的条件是（
）
A.AB=CD B.AD=BC
C.AB=BC
D.AC=BD
5.已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形
D ADBC一定是（
）
A.等腰梯形 B.正方形 C.菱形 D.矩形
6.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F 是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩 形ABCD的周长为32cm，求AE的长.
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D 2.正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线相等
C．对角线平分一组对角
D．对角线垂直且互相平分
3、如图，边长为2 cm的正方形ABCD的顶点B在x轴上，C 在y轴上，且∠OBC = 30°，求A、D两点的坐标 。
C
⑵矩形的特殊性质：
矩
①矩形的四个角都是直角 ②矩形的两条对角线相等
A
O B
形
③矩形是轴对称图形；有两
条对称轴
⑴有三个角都是直角的四边形
⑵对角线互相平分且相等的四边形 判别 ⑶有一个角是直角的平行四边形
矩 形
⑷对角线相等的平行四边形
双基训练：
D 1.下列命题中错误的是（
）
A. 平行四边形的对边相等 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边
D 5、菱形具有而矩形没有的是（ ）
A．对角线相等
B．对角线互相平分
C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线互相垂直
D 6、能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直且相等 C．邻边相等 D．对角线互相垂直平分
定义：或一组有邻一边个相内等角的是矩直形角叫的正菱方形形叫正方形
一般的平行四边形
菱形
四 边
平行四边形 特 殊 的 平行四边形
一般梯形
矩形 正方形
形梯
形
等腰梯形
特殊梯形 直角梯形
一般四边形
D
C 文字语言叙述
几何符号表述
O
①两组对边互相平行∵在在 四AB边CD形中 ABCD中
A
平
B
性质
②③两一组组对 对边 边分 平别 行相 且等 相等 ∴四A∠AO边ABBA形=∥=∠COACDCBCD是
形
C. 矩形的对角线相等
D. 对角线相等的四边形是矩形
A 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则
BD的长为（
）
A.4
B.3
C.2
D.1
3.如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，
B 则矩形的对角线AC的长是（
）
A.2
B.4
C.2 3 D.4 3
F
D
B
C
B
C
证法1：∵四边形ABCD是平行四 边形
∴BC=AD，∠1=∠2 在△BCE与△DAF中
BC=AD
证法2： 连接BD，交AC于点O， 连接DE,BF
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BO=OD, AO=CO
∠1=∠2 CE=AF ∴ △BCE≌△DAF ∴BE=DF， ∠3=∠4 ∴BE∥DF
定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形
⑴菱形是特殊的平行四边形，具有 D
性质 平行四边形的所有性质
⑵菱形的特殊性质：
A
菱
①菱形的四条边都相等
O
C
②菱形的对角线互相垂直平分 B
每一条对角线平分一组对角
形
③菱形是轴对称图形；有两
条对称轴
⑴四条边都相等的四边形
判别 ⑵对角线互相垂直平分的四边形 菱 ⑶有一组邻边相等的平行四边形 形
（1）求证：△BDF≌△CDE； （2）当AB=AC时，试判断四边形BFCE的形状，
并说明理由。
典例1 如图，E，F是平行
四边形ABCD的对角线AC上
的点，CE=AF，请你猜想：
A
D
BE与DF有怎样的关系？ E
并对你的猜想加以证明
F
B
C
A
2
E 3
4
1F
D 猜想： BE∥DF, BE=DF
A E
o
又∵AF=CE
∴AE=CF
∴EO=FO
∴四边形BEDF是平行四边形
∴ BE=DF， BE∥DF
典例2 如图1，2所示，将一张长方形的纸片 对折两次后，沿图3中的虚线AB剪下， 将△AOB完全展开． (1)画出展开图形，判断其形状， 并证明你的结论；
(2)若按上述步骤操作，展开图形 是正方形时，请写出△AOB应满足的条件．
D
C
O
性质 A
B
Байду номын сангаас
菱形的所有性质
正
⑴正方形同时具有 矩形的所有性质
方
⑵正方形是轴对称图形；有4条对称轴
形
⑴先判定四边形是矩形；
判别 再判定这个矩形是菱形
⑵先判定四边形是菱形； 再判定这个菱形是矩形
双基训练：
D 1.下列命题中，真命题是 （
）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
行
④两组对角分别相等 ABA∠CAOBDDB=∥=∠BBODCCD
四
⑤对角线互相平分
边
①两组对边分别平行的
平
形
②两组对边分别相等的 四 行
判别 ③一组对边平行且相等的 边 四
④两组对角分别相等的 ⑤对角线互相平分的
形边 形
定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形
⑴矩形是特殊的平行四边形，具有 平
性质 行四边形的所有性质 D
⑷对角线互相垂直的平行四边形
双基训练：
1、已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是_4_c__m__. 60° 2、菱形ABCD中∠BAD＝60度，则∠ABD＝_______.
3边、长菱是形的两5条cm对角线长. 分别为6cm和8cm，则菱形的
4、若菱形的边长为1cm，其中一个内角为60°，
则它的面积S = 3 cm 2 。 2
且MA=NC，问BM和DN存在 怎样的关系？说明理由。 证明：
4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D， AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一 个正方形？并给出证明．
MM
AA
EE
NN
BB
DD
CC
5、如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别 在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF 。
(1)展开图如图所示，它是菱形． 证明：由操作过程可知 OA=OC，OB=OD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形． 又∵ OA⊥OB，
即AC⊥BD， ∴ 四边形ABCD是菱形．
(2)△AOB中，∠ABO=45° (或∠BAO=45°或OA=OB)．
典例3 如图，在平行四边形ABCD中，
AB //CD，M、N在直线AC上，
第3题图
第4题图
4.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩
D 形，需要添加的条件是（
）
A.AB=CD B.AD=BC
C.AB=BC
D.AC=BD
5.已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形
D ADBC一定是（
）
A.等腰梯形 B.正方形 C.菱形 D.矩形
6.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F 是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩 形ABCD的周长为32cm，求AE的长.
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
D 2.正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．四条边都相等 B．对角线相等
C．对角线平分一组对角
D．对角线垂直且互相平分
3、如图，边长为2 cm的正方形ABCD的顶点B在x轴上，C 在y轴上，且∠OBC = 30°，求A、D两点的坐标 。
C
⑵矩形的特殊性质：
矩
①矩形的四个角都是直角 ②矩形的两条对角线相等
A
O B
形
③矩形是轴对称图形；有两
条对称轴
⑴有三个角都是直角的四边形
⑵对角线互相平分且相等的四边形 判别 ⑶有一个角是直角的平行四边形
矩 形
⑷对角线相等的平行四边形
双基训练：
D 1.下列命题中错误的是（
）
A. 平行四边形的对边相等 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边
D 5、菱形具有而矩形没有的是（ ）
A．对角线相等
B．对角线互相平分
C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线互相垂直
D 6、能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）
A．对角线互相平分且相等 B．对角线互相垂直且相等 C．邻边相等 D．对角线互相垂直平分
定义：或一组有邻一边个相内等角的是矩直形角叫的正菱方形形叫正方形