四边形复习课概念

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中考数学第十一单元四边形课标解读典例诠释复习1

第十一单元四边形第一节多边形与平行四边形课标解读知识要点1.多边形的内角和与外角和(1)n边形内角和为；多边形外角和为 .(2)如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加，外角和 .2.正多边形定义：各个角，各条边的多边形叫做正多边形.对称性：正多边形都是对称图形，边数为偶数的正多边形也是对称图形.3.平行四边形(1)定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．(2)性质：①平行四边形的对边；②平行四边形的对角，邻角；③平行四边形的对角线；(3)平行四边形的对称性：，是它的对称中心；(4)平行四边形的面积：；同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积．(5)平行四边形的判定方法①两组对边分别的四边形是平行四边形(定义)；②两组对边分别的四边形是平行四边形；③一组对边的四边形是平行四边形；④对角线的四边形是平行四边形.典例诠释考点一多边形的内角和与外角和例1 正十边形的每个外角等于( )A．18°B．36°C．45°D．60°【答案】 B【名师点评】根据正多边形的每一个外角等于多边形的外角和除以边数，计算即可得解．例2 (2016·丰台一模)如图1-11-1，在同一平面内，将边长相等的正三角形、正五边形的一边重合，则∠1= °.图1-11-1【答案】 48【名师点评】此题先要求出正五边形的每个内角度数(利用多边形的内角和或外角和来求，外角和比较简单，学生应掌握)，从而问题得解.例3 (2016·燕山一模)如图1-11-2，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝．图1-11-2【答案】 9考点二平行四边形性质与判定的综合应用，四边形的计算例4 (2016·平谷一模)如图1-11-3，ABCD中点E是BC边的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC=∠DEC，连接CF，DE．(1)求证：四边形DECF是平行四边形；(2)若AB=13，DF=14，tan A=，求CF的长．图1-11-3(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC．∵∠AFC=∠DEC，∴∠AFC=∠ADE，∴DE∥FC．∴四边形DECF是平行四边形．(2)【解】如图1-11-4,过点D作DH⊥BC于点H，图1-11-4∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD=∠A，AB=CD=13.∵ tan A=，AB=13，∴DH=12，CH=5．∵DF=14，∴CE=14，∴EH=9．∴ED==15，∴CF=DE=15．【名师点评】 (1)考查平行四边形的性质和判定，易知AF∥BC，结合条件∠AFC= ∠DEC，可以推导出∠AFC+∠EDF=180°(也可以用内错角和同位角)，从而得到DE∥FC，问题得证，此问解答方法不唯一.(2)将分散的条件集中到一个三角形里，如△DCF中(或△DEC中)，出现了∠A的正切值，考虑要构造直角三角形，故可以过D点作BC的垂线，从而问题得解.基础精练1.(2016·大兴一模)若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为( )【答案】 C2.(2016·东城一模)已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形的边数是 .【答案】 53.(2016·延庆一模)如图1-11-5，AB∥DC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需补充一个．．条件： .图1-11-5【答案】AD∥BC或AB=DC或∠A+∠B=180°等4.(2016·海淀一模)如图1-11-6，在ABCD中，AB=3，BC=5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为( )图1-11-6A．5 B．4 C．3 D．2【答案】 D5.(2014·河南)如图1-11-7，ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,则BD的长是( )图1-11-7【答案】 C6.(2014·昆明)如图1-11-8，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )图1-11-8∥CD，AD∥BC=OC，OB=OD=BC，AB∥CD=CD，AD=BC【答案】 C7.(2014·十堰)如图1-11-9，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分线交AD 于点E，则△CDE的周长是( )图1-11-9【答案】 B8.(2014·临沂)如图1-11-10，在ABCD中，BC=10，sin B=，AC=BC，则ABCD的面积是 .图1-11-10【答案】 189.(2014·自贡)一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则它的边数是 . 【答案】 710.(2016·海淀二模)如图1-11-11，边长相等的正方形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为( )图1-11-11°°°°【答案】 C11.(2016·西城二模)有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B=90°．按如图1-11-12方式剪去它的一个角(虚线部分)，在剩下的四边形ADEC中，若∠1=165°，则∠2的度数为．图1-11-12【答案】105°12.(2016·通州二模)在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图1-11-13，线段AB，BC，求作：平行四边形ABCD.图1-11-13小明的作法如下：如图1-11-14：(1)以点C为圆心，AB长为半径画弧；(2)以点A为圆心，BC长为半径画弧；(3)两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD为所求作平行四边形.图1-11-14老师说：“小明的作法正确.”请回答：小明的作图依据是 .【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形13.(2016·房山一模)如图1-11-15，在ABCD中，E为BC中点，过点E作EG⊥AB于G，连接DG，延长DC，交GE的延长线于点H.已知BC＝10,∠GDH=45°，DG=8.求CD的长.图1-11-15【解】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∵EG⊥AB于点G，∴∠BGE=∠EHC=90°.在△DHG中，∠GHD=90°，∠GDH=45°，DG=8，∴DH=GH=8．∵E为BC中点，BC=10，∴BE=EC=5．∵∠BEG=∠CEH，∴△BEG≌△CEH,∴GE=HE=GH=4．在△EHC中，∠H=90°，CE=5，EH=4，∴CH=3，∴CD=5.14.(2016·怀柔一模)如图1-11-16，在△ABC中，D为AB边上一点，F为AC的中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE．(1)求证：四边形ADCE为平行四边形;(2)若EF=2，∠FCD=30°，∠AED=45°，求DC的长．图1-11-16(1)【证明】∵CE∥AB，∴∠DAF=∠ECF.∵F为AC的中点,∴AF=CF.在△DAF和△ECF中,∴△DAF≌△ECF，∴AD=CE．∵CE∥AB，∴四边形ADCE为平行四边形．(2)【解】如图1-11-17,作FH⊥DC于点H．图1-11-17∵四边形ADCE为平行四边形,∴AE∥DC，DF=EF=2，∴∠FDC=∠AED=45°．在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF=2，∠FDC=45°，∴ sin∠FDC==，得FH=2，tan∠FDC==1，得DH=2．在Rt△CFH中，∠FHC=90°，FH=2，∠FCD=30°，∴FC=4．由勾股定理，得HC=2．∴DC=DH+HC=2+2．15.(2016·昌平二模)在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=4．以OB为边，在△OAB 外作等边△OBC，E是OC上的一点．(1)如图1-11-18，当点E是OC的中点时，求证：四边形ABCE是平行四边形；(2)如图1-11-19，点F是BC上的一点，将四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，求OE的长．图1-11-18 图1-11-19(1)【证明】如图1-11-18，∵△OBC为等边三角形，∴OC=OB，∠COB=60°.∵点E是OC的中点,∴EC=OC=OB.在△OAB中，∠OAB=90°，∵∠AOB=30°，∴AB=OB,∠COA=90°.∴CE=AB，∠COA+∠OAB=180°，∴CE∥AB,∴四边形ABCE是平行四边形.(2)【解】如图1-11-19，∵四边形ABCO折叠，点C与点A重合，折痕为EF，∴△CEF≌△AEF,∴EC=EA.∵OB=4,∴OC=BC=4.在△OAB中，∠OAB=90°，∵∠AOB=30°，∴OA=2.在Rt△OAE中，由(1)知：∠EOA=90°，设OE=x，∵ ,∴ +,解得x=,∴OE=.16.(2016·西城一模)有这样一个问题：如图1-11-20，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究筝形的性质与判定方法．小南根据学习四边形的经验，对筝形的性质和判定方法进行了探究．下面是小南的探究过程：图1-11-20(1)由筝形的定义可知，筝形的边的性质是：筝形的两组邻边分别相等，关于筝形的角的性质，通过测量，折纸的方法，猜想：筝形有一组对角相等，请将下面证明此猜想的过程补充完整.已知：如图1-11-20，在筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD求证：．证明：由以上证明可得，筝形的角的性质是：筝形有一组对角相等．(2)连接筝形的两条对角线，探究发现筝形的另一条性质：筝形的一条对角线平分另一条对角线．结合图形，写出筝形的其他性质(一条即可)：.(3)筝形的定义是判定一个四边形为筝形的方法之一．试判断命题“一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是筝形”是否成立，如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个反例，画出图形，并加以说明．【解】 (1)已知：如图1-11-21，筝形ABCD中，AB=AD，CB=CD.求证：∠B=∠D.图1-11-21【证明】连接AC.如图1-11-21，在△ABC和△ADC中，∴△ABC≌△ADC,∴∠B=∠D.(2)筝形的其他性质：①筝形的两条对角线互相垂直，②筝形的一条对角线平分一组对角，③筝形是轴对称图形，……(写出一条即可)(3)不成立.反例如图1-11-22所示.图1-11-22在平行四边形ABCD中，AB≠AD.对角线AC，BD相交于点O，由平行四边形性质可知此图形满足∠ABC=∠平分BD.但是该四边形不是筝形.(答案不唯一)17.(2014·浙江嘉兴)我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．(1)已知：如图1-11-23，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=70°，∠B=80°．求∠C，∠D的度数．图1-11-23(2)在探究“等对角四边形”性质时：①小红画了一个“等对角四边形”ABCD(如图1-11-24)，其中∠ABC=∠ADC，AB=AD，此时她发现CB=CD成立．请你证明此结论；图1-11-24②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．(3)已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4．求对角线AC的长．【解】 (1)∵等对角四边形ABCD中，∠A≠∠C，∴∠D=∠B=80°，∴∠C=360°－70°－80°－80°=130°.(2)①如图1-11-25，连接BD.图1-11-25∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB.∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC－∠ABD=∠ADC－∠ADB，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD，②不正确.反例：如图1-11-26，∠A=∠C=90°，AB=AD.但CB≠CD.图1-11-26 图1-11-27(3)①如图1-11-27，当∠ADC=∠ABC=90°时，延长AD，BC相交于点E.∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，∴AE=10，∴DE=AE－AD=10－4=6.∵∠EDC=90°，∠E=30°，∴CD=2，∴AC===2，②如图1-11-28，当∠BCD=∠DAB=60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，图1-11-28∵DE⊥AB，∠DAB=60°,AD=4，∴AE=2，DE=2，∴BE=AB－AE=5－2=3.∵四边形BFDE是矩形，∴DF=BE=3，BF=DE=2.∵∠BCD=60°，∴CF=，∴BC=CF+BF=+2=3，∴AC===2.18.(2016·东城一模)在课外活动中，我们要研究一种四边形——筝形的性质.定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形(如图1-11-29①).小聪根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对筝形的性质进行了探究.①②图1-11-29下面是小聪的探究过程，请补充完整：(1)根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是；(2)通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对筝形性质的猜想，并选取其中的一条猜想进行证明；(3)如图1-11-29②，在筝形ABCD中，AB=4，BC=2，∠ABC=120°，求筝形ABCD的面积. 【解】 (1)菱形(正方形).(2)它是一个轴对称图形；一组对角相等；一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线.(写出其中的两条就行)已知：筝形ABCD.求证：∠B=∠D.证明:连接AC,如图1-11-30.图1-11-30∵AB=AD,CB=CD,AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠B=∠D.(3)过点C作CE⊥AB交AB的延长线于E.∵∠ABC=120°，∴∠EBC=60°.又∵BC=2，∴BE=1，CE=.∴=2××AB·CE=2××4×=4.真题演练1.(2016·北京)内角和为540°的多边形是( )A B C D【答案】 C2.如图1-11-31，四边形ABCD是平行四边形，AE平分∠BAD，交DC的延长线于点E.求证：DA=DE.图1-11-31【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴AB∥DE，∴∠AED=∠BAE.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠EAD，∴∠EAD=∠AED，∴DA=DE.3.(2015·北京)图1-11-32是由射线AB，BC，CD，DE组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+ ∠4+∠5= ．图1-11-32【答案】360°第二节特殊的平行四边形课标解读知识要点1.矩形(1)定义：有一个角是直角的叫做矩形．(2)性质：①具有平行四边形的所有性质; ②对角线 ;③四个角都是直角.(3)矩形的对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，它有对称轴．(4)矩形的面积： .(5)矩形的判定方法①的平行四边形；②对角线的平行四边形；③有三个角是直角的四边形．图1-11-332.菱形(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)性质：①具有平行四边形的一切性质;②都相等;③两条对角线，并且 .(3)菱形的对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线．(4)菱形的面积:方法1：= ; 方法2：= .(5)菱形的判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等的四边形．图1-11-343.正方形(1)定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．拓展: 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．(2)性质：①边——四条边都相等，邻边垂直，对边平行;②角——四个角都是直角;③对角线——相等;互相垂直平分；每一条对角线平分一组对角．(3)正方形的对称性：是轴对称图形，有___条对称轴；又是中心对称图形，对称中心就是两条对角线的交点．(4)正方形的面积:方法1：= ; 方法2：= .(5)正方形的判定方法：①根据定义；②有一组邻边相等的矩形是正方形；③有一个角是直角的菱形是正方形.图1-11-35典例诠释考点一特殊平行四边形的对称性例1 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A.等边三角形B.平行四边形C.梯形D.矩形【答案】 D【点评】本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的概念，找轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；找中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．例2 (2016·房山一模)有五张形状、大小、质地都相同的卡片，这些卡片上面分别画有下列图形：①正方形；②等边三角形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤圆.将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，抽出的纸片正面图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的概率是( )A. B. C. D.【答案】 B【名师点评】准确理解轴对称图形和中心对称图形的概念和性质，注意②不是中心对称图形，③不是轴对称图形.考点二运用特殊平行四边形性质进行简单计算例3 如图1-11-36,菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝ .图1-11-36【答案】【名师点评】此题考查菱形的性质、勾股定理、“双垂直”的基本图形，学生要熟练掌握，求OH的长可利用“等面积法”求解.学生最好能记住“双垂直图形”中的四个常见等积式. 考点三特殊平行四边形性质与判定的综合应用例4 (2016·东城一模)如图1-11-37，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留在图中了)，连接EF．图1-11-37(1)求证：四边形ABEF为菱形；(2)AE，BF相交于点O，若BF=6，AB=5，求AE的长．【证明】由尺规作∠BAD的平分线的过程可知，AB=AF，且∠BAE=∠FAE.又∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠FAE=∠AEB.∴∠BAE=∠AEB.∴AB=BE.∴BE=FA.∴四边形ABEF为平行四边形.∴四边形ABEF为菱形.(2)【解】∵四边形ABEF为菱形，∴AE⊥BF，OB=BF=3，AE=2AO.在Rt△AOB中，AO==4.∴AE=2AO=8.【名师点评】此题结合尺规作图，考查了菱形的判定和性质，准确记忆和应用菱形的判定和性质是关键.考点四利用特殊平行四边形性质简拼图形例5 问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1-11-38，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．图1-11-38小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x>0). 依题意，割补前后图形面积相等, 有=5, 解得x=．由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图1-11-39所示的分割线，拼出如图1-11-40所示的新正方形．图1-11-39 图1-11-40请你参考小东同学的做法，解决如下问题：(1) 如图1-11-41是由边长为1的5个小正方形组成，请你通过分割，把它拼成一个正方形(在图1-11-41上画出分割线，并在图1-11-41的右侧画出拼成的正方形简图)；(2)如图1-11-42，是由边长分别为a和b的两个正方形组成，请你通过分割，把它拼成一个正方形(在图1-11-42上画出分割线，并在图1-11-42的右侧画出拼成的正方形简图).图1-11-41 图1-11-42【答案】如图1-11-43所示.图1-11-43【名师点评】分割图形和图形的重新组合问题由于解题策略多样，方法多样，剪裁线的不定性，使得组合图形变得多姿多彩，对于图形面积的思考是解题关键.基础精练1.(2016·顺义二模)四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图1-11-44所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是轴对称图形的概率为( )图1-11-44A. B. C.【答案】 A2.(2016·平谷二模)如图1-11-45，已知：矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，E是AD中点，连接OE.若OE=3，AD=8，则对角线AC的长为( )图1-11-45【答案】 D3.(2016·昌平二模)为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具(如图1-11-46中左图)：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定. 课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC(如图1-11-46中右图). 观察所得到的四边形，下列判断正确的是图1-11-46A．∠BCA＝45°B．BD的长度变小C．AC＝BD D．AC⊥BD【答案】 C4.(2016·石景山一模)如图1-11-47，方格纸中有一四边形ABCD(A，B，C，D四点均为格点)，若方格纸中每个小正方形的边长为1，则该四边形的面积为 .图1-11-47【答案】 125.(2014·西城一模)如图1-11-48，菱形ABCD中，∠DAB=60°，DF⊥AB于点E，且DF=DC，连接FC，则∠ACF的度数为度.图1-11-48【答案】 156.(2014·房山一模)如图1-11-49,在边长为9的正方形ABCD中, F为AB上一点,连接CF.过点F作FE⊥CF,交AD于点E，若AF＝3,则AE等于( )图1-11-49【答案】 C7.(2014·大兴一模)若菱形两条对角线的长分别为10 cm和24 cm，则这个菱形的周长为( )cm cm cm cm【答案】 D8.(2014·大兴一模)已知正方形ABCD的边长为2，E为BC边的延长线上一点，CE＝2，连接AE与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 .【答案】9.(2014·海淀二模)已知一个菱形的周长是20 cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是( )【答案】 B10.(2014·珠海)边长为3 cm的菱形的周长是( )cm cm cm cm【答案】 C11.(2014·娄底)如图1-11-50，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是(添加一个条件即可)．图1-11-50【答案】AC=BD12.(2014·陕西)如图1-11-51，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为( )图1-11-51B. C.【答案】 C13.(2014·淄博)如图1-11-52，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C，则矩形的一边AB的长度为( )图1-11-52B. C.【答案】 C14.(2014·兰州)下列命题中正确的是( )A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】 B15.(2014·吉林)如图1-11-53，四边形ABCD、AEFG是正方形，点E、G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC，交BC于点H.若AB=4，AE=1，则BH的长为( )图1-11-53【答案】 C16.(2014·青岛)如图1-11-54，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，若AB＝6，BC＝9，则BF的长为( )图1-11-54【答案】 A17.(2016·房山二模)已知，如图1-11-55，四边形ABCD是平行四边形，延长边AB到点E，使BE＝AB，连接DE、BD和EC，设DE交BC于点O，∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．图1-11-55【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥CD，∠A＝∠BCD.∵BE=AB，∴BE∥CD，BE=DC.∴四边形BECD为平行四边形．∴OD=DE，OC=BC.又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD＋∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD.∴DE=BC.∴平行四边形BECD为矩形．18.(2016·丰台一模)如图1-11-56，在ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，AE与BF相交于点O，连接EF．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AE=6，BF=8，CE=3，求ABCD的面积．图1-11-56(1)【证明】在ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB.∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE=∠BAE.∴∠BAE=∠BEA.∴AB=BE.同理可得AB=AF.∴AF=BE.∴四边形ABEF是平行四边形.∴ABEF是菱形.(2)【解】如图1-11-57，过F作FG⊥BC于G.图1-11-57∵ABEF是菱形，AE=6，BF=8，∴AE⊥BF，OE=AE=3，OB=BF=4.∴BE==5.∵ =AE·BF=BE·FG,∴FG=，∴ =BC·FG=.19. (2016·海淀一模)如图1-11-58，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC 的平行线交DC的延长线于点E.(1)求证：BD=BE；(2)若BE=10，CE=6，连接OE，求tan∠OED的值.图1-11-58(1)【证明】∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD,AB∥DC.∵AC∥BE，∴四边形ABEC为平行四边形.∴AC=BE，∴BD=BE.(2)【解】如图1-11-59，过点O作OF⊥CD于点F.图1-11-59∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD=90°.∵BE=BD=10，∴CD=CE=6.同理，可得CF=DF=CD=3，∴EF=9.在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC=8.∵OB=OD，∴OF为△BCD的中位线.∴OF=BC=4.∴在Rt△OEF中，tan∠OED==.20.(2016·海淀二模)如图1-11-60，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于E，过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF，AE．(1)求证：四边形BDCF为菱形；(2)若四边形BDCF的面积为24，tan∠EAC=，求CF的长.图1-11-60(1)【证明】∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC．∵DE⊥BC，∴AC∥DE．又∵CF∥AD，∴四边形ACFD为平行四边形，∴AD=CF.∵CD为AB边上的中线，∴AD=BD，∴BD=CF.∴四边形BDCF为平行四边形.∵DE⊥BC，∴四边形BDCF为菱形.(2)【解】在Rt△ACE中，∵ tan∠EAC==，∴设CE=2x,AC=DF=3x.∵菱形BDCF的面积为24，∴DF·BC=24,∴DF·EC=24,∴ 3x·2x=24,∴ =2,=－2(舍去).∴CE＝4，EF＝DF＝3，∴CF=5.21.(2016·门头沟一模)如图1-11-61，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，过E作EF⊥AD于F，连接BF交AE于P，连接PD．图1-11-61(1)求证：四边形ABEF是正方形；(2)如果AB=4，AD=7，求tan∠ADP的值．(1)【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE．又∵EF⊥AD，∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°,∴四边形ABEF是矩形．又∵AE平分∠BAD，AF∥BE，∴∠FAE=∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．∴四边形ABEF是正方形．(2)【解】如图1-11-62，过点P作PH⊥AD于H．图1-11-62∵四边形ABEF是正方形，∴BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°．∴AB∥PH．∵AB=4，∴AH=PH=2．∵AD=7，∴DH=AD－AH=7－2=5．在Rt△PHD中，∠PHD=90°,∴ tan∠ADP==．22.(2016·石景山一模)如图1-11-63，在△ABC中，∠ABC=90°，过点B作AC的平行线交∠CAB的平分线于点D，过点D作AB的平行线交AC于点E，交BC于点F，连接BE，交AD于点G．(1)求证：四边形ABDE是菱形；(2)若BD=14，cos∠GBH=，求GH的长．图1-11-63(1)【证明】∵AC∥BD，AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形．∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD．∵AC∥BD，∴∠CAD=∠ADB．∴∠BAD=∠ADB，∴AB=BD．∴四边形ABDE是菱形．(2)【解】∵∠ABC=90°，∴∠GBH+∠ABG=90°．∵AD⊥BE，∴∠GAB+∠ABG=90°,∴∠GAB=∠GBH,∵ cos∠GBH=，∴ cos∠GAB=．∴ ==．∵四边形ABDE是菱形，BD=14,∴AB=BD=14,∴AH=16，AG=,∴GH=AH－AG=.23.(2016·石景山二模)如图1-11-64，CD垂直平分AB于点D，连接CA，CB，将BC沿BA 的方向平移，得到线段DE，交AC于点O，连接EA，EC．图1-11-64(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若CD=1，AD=2，求sin∠COD的值．(1)【证明】由已知得BD∥CE，BD=CE．∵CD垂直平分AB，∴AD=BD，∠CDA=90°．∴AD∥CE，AD=CE．∴四边形ADCE是平行四边形．∴平行四边形ADCE是矩形．(2)【解】如图1-11-65，过D作DF⊥AC于F，图1-11-65在Rt△ADC中，∠CDA=90°，∵CD=1，AD=2，由勾股定理可得AC=．∵O为AC中点，∴OD=．∵AC·DF=AD·DC，∴DF=．在Rt△ODF中，∠OFD=90°，∴ sin∠COD==.24.(2016·东城二模)如图1-11-66，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的等腰三角形．(要求：画出三个．．大小不同，符合题意的等腰三角形，只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)图1-11-66【解】满足条件的所有图形如图1-11-67所示：①②③④⑤图1-11-6725.(2016·石景山二模)阅读下面材料：小骏遇到这样一个问题：画一个和已知矩形ABCD面积相等的正方形．小骏发现：如图1-11-68，延长AD到E，使得DE=CD，以AE为直径作半圆，过点D作AE的垂线，交半圆于点F，以DF为边作正方形DFGH，则正方形DFGH即为所求．请回答：AD，CD和DF的数量关系为 .图1-11-68参考小骏思考问题的方法，解决问题：画一个和已知ABCD面积相等的正方形，并写出画图的简要步骤．【解】 =AD·CD.解决问题：方法一：过点A作AM⊥BC于点M，延长AD到E，使得DE=AM，以AE为直径作半圆，过点D作AE的垂线，交半圆于点F，以DF为边作正方形DFGH，正方形DFGH即为所求．如图1-11-69.图1-11-69方法二：如图1-11-70，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC交BC延长线于点N，将平行四边形转化为等面积矩形后同小骏的画法．图1-11-70真题演练1.(2015·北京)如图1-11-71，在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB.图1-11-71【证明】 (1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB,即DF∥BE.又∵DF=BE,∴四边形DEBF为平行四边形.又∵DE⊥AB,即∠DEB=90°,∴四边形BFDE为矩形.(2)∵四边形BFDE为矩形，∴∠BFD=90°.∵∠BFC+∠BFD=180°,∴∠BFC=90°.在Rt△BFC中，∵CF=3,BF=4,∴BC===5.∴AD=BC=5.∵DF=5,∴AD=DF=5,∴∠DAF=∠DFA.∵∠DFA=∠FAB,∴∠DAF=∠FAB,即AF平分∠DAB.2.(2014·北京)如图1-11-72，在ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°，求tan∠ADP的值.图1-11-72(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,∴∠FAE=∠AEB.∵AE平分∠BAD,∴∠FAE=∠BAE,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE.同理可得AF=AB.∴AF=BE.∵AD∥BC,∴四边形ABEF是平行四边形.又∵AB=BE，∴平行四边形ABEF是菱形.(2)【解】如图1-11-73，作PH⊥AD于H.图1-11-73∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，∴△ABE是等边三角形.∴∠PAH=60°，∴PA=AE=AB=2.在Rt△PAH中，PH=2sin 60°=，AH=2cos 60°=1,∴DH=AD－AH=6－1=5.∴ tan∠ADP==.3.(2013·北京)如图1-11-74，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF.(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长.图1-11-74(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AD=BC.∵F是AD的中点，∴FD=AD.∵CE=BC,∴FD=CE.∵FD∥CE,∴四边形CEDF是平行四边形.(2)【解】如图1-11-75，过点D作DG⊥CE于点G.图1-11-75∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,CD=AB=4,BC=AD=6.∴∠1=∠B=60°.在Rt△DGC中，∠DGC=90°,∴CG=CD·cos∠1=2,DG=CD·sin∠1=2.∵CE=BC=3,∴GE=1.在Rt△DGE中，∠DGE=90°,∴DE==.4.(2013·北京)如图1-11-76，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为 .图1-11-76【答案】 20。

复习课特殊的四边形说课课件

敬请指教
六、教学过程 1 知识重温
【设计意图】提出这一问题意在让学生回顾一下前面所学的有关平行四边形、菱形、矩形、正方形的相关知识也让学生初步的感受到这几种特殊的平行四边形之间存在的联系。
六、教学过程
【设计意图】动点题目一直是学生头疼的题目也是教学的难点。其根本原因在于无法将静止的图形与动态的图形之间建立起联系,通过课件的展示形象的将点动、线动、图形动展示给学生帮助学生建立动态发展的思维模式学生在观察之后能够以动态的思想来解决动点问题容易得多。
六、教学过程
【设计意图】把学生头脑中的零散的知识系统化，形成知识网络。
六、教学过程
依次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。
【设计意图】对于中点四边形规律的探索和归纳由学生独立完成，学生在此过程中能够更加深刻的体会特殊四边形的判定方法。突出本课重点，提高学生的思维能力。
六、教学过程
特殊的四边形复习课（一）
盘锦市四完中马英欣
一、教材分析
1.说课内容：人教版数学八年级下册第十九章四边形复习第一课时。四边形和三角形一样是基本的平面图形也是第三学段中第二领域——空间与图形部分的重要组成部分，平行四边形、菱形、矩形、正方形之间的区别与联系对灵活的掌握及运用四边形的知识起着重要的作用。
【设计意图】探究一、二、拓展一都是动点四边形问题，而且难度是层层深入。此类问题是中考中的热点问题，也是中考压轴题的常见类型。此系列探究题即能使学生体会分类的思想，又能提高学生思维的全面性。是本课的难点内容。通过几何画板的动态演示，能使学生很快地发现规律，归纳解题方法。
六、教学过程
课题小结Βιβλιοθήκη 二、学情分析授课对象是九年级的学生，经过初中两年多的学习学生已经掌握了四边形的基础知识，但是对于四边形知识的综合运用是学生的弱点，尤其是与四边形有关的动点问题是学生已有知识体系中的最薄弱的地方。

平行四边形复习课优课教学课件

A x D 2x
E
3X
3x
B
C
B
C
如图，Rt△OAB的两条直角边在坐标轴上，已知
点A（0，2），点B（3，0），则以点O,A,B为其
中三个顶点的平行四边形的第四个顶点C的坐标
为。 _________________
y
(-3,2)
3
2A
(3,2 )
O
B
7
-4 -3 -2 -1
12 34 x
-1
1
-2
证法2：连接BD，交AC于点O ，连接DE,BF
∵四边形ABCD是平行四边形
BC=AD
∴BO=OD, AO=CO
∠1=∠2 CE=AF ∴ △BCE≌△DAF ∴BE=DF， ∠3=∠4 ∴BE∥DF
又∵AF=CE
∴AE=CF
∴EO=FO
∴四边形BEDF是平行四边形
∴ BE=DF， BE∥DF
课堂小结
5矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ B）
A、对角线相等
B、对角线互相平分
C、对角线互相垂直 D、四条边都相等
6.已知矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，
则两条对角线所成的锐角的度数（ D ）
A、50° B、60° C、70° D、80°
7、已知菱形ABCD的周长为20cm。∠A： ∠ABC=1：2 ，则对角线BD的长等于 _____5_____cm。
四边形知识结构（定义）图
两组对边平行
角90° 个一
矩形
一组邻边相等
四边形
平行四边
一角为直角且一组邻边相等
形
正方形
一组邻边相等
菱形

四边形复习课

从小红家到学校有两条路可以走。你能说出哪条路近，哪条路远吗？一样远近
小红家
学校
从小红家到学校有两条路可以走。你能说出哪条路近，哪条路远吗？一样远近
小红家
学校
从小红家到学校有两条路可以走。你能说出哪条路近，哪条路远吗？一样远近
小红家
学校
从小红家到学校有两条路可以走。你能说出哪条路近，哪条路远吗？一样远近
②
6厘米
6厘米
比一比，谁最聪明
用四个边长1厘米的正方形拼成下面的图形。哪个图形的周长最短？
10厘米
10厘米
8厘米
球赛前的训练：
篮球运动员要参加比赛了，赛前每天锻炼身体，绕着篮球场跑5圈，已知篮球场长为28米，宽比长少 13米，运动员每天要跑了多少米？
2、智力冲浪
正六边形
正八边形
解决问题（1）一块长方形菜地，长6米，宽3米。四周围上篱笆，篱笆长多少米？如果一面靠墙，篱笆至少要多少米？（画出示意图）
（2）用一根铁丝正好围一个长8厘米，宽4厘米的框架，如果改围成一个正方形，这个正方形的边长是多少厘米？
（3）一张长方形纸的长是10厘米，宽是6厘米，如果用它撕一个最大的正方形，这个正方形的周长是多少厘米？剩余部分的周长是多少厘米？
1
2
3
平行四边形：两组对边分别平行且相等的四边形 8 6 7 9
4
5
特殊
四边形
平行四边形
长方形正方形
请估计下面这两个图形，哪个周长长？
3厘米
5厘米 4厘米
（3+5）×2 =16（厘米）
4 ×4=16（厘米）
按要求解决问题。单位（厘米）
周长12

四边形复习课1

B
2. 两组对角相等的四边形是平行四边形。 3. 两组对边相等的四边形是平行四边形。 4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 5. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
知识联系：1.平行线的性质与判定。2.全等三角形（四对）。
3. ⊿ABO、⊿ BCO、 ⊿ CDO、 ⊿ DAO等面积。
矩
对角线互相平分
四条边相等四个角相等对角线互相垂直对角线相等对角线平分一组对角

二、选择题
“ 的四边形是正方形 ” 中下列不正确的是（）
A. 对角线互相垂直平分且相等；B. 四边相等且一角为直角； C. 三角为直角且邻边相等； D. 一组邻边相等，一角为直角。
一、理论复习
矩形
平行四边形一角为直角且一组邻边相等
正方形
菱形
四边形
关系图
梯形
二、综合应用
平行四边形定义：两组对边都平行的四边形叫平行四边形。性质：1. 平行四边形的对角相等。（邻角互补）
2. 平行四边形的对边相等。（且对边平行） 3. 平行四边形的对角线互相平分。
A
O C
D
判定: 1. 定义判定法。
D
C
菱
形
A
O
定义：一组邻边相等的平行四边形叫菱形。性质：1. 菱形具有平行四边形的一切性质。 2. 菱形的四条边都相等。 B
D
3. 菱形的对角线互相垂直（平分）
且一条对角线平分一组对角。判定：1. 定义判定法：一组邻边相等 + 平行四边形=菱形 2. 四条边都相等的四边形是菱形。 3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。知识联系：等腰三角形，直角三角形 C

平行四边形复习课件

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
02
平行四边形的特殊形式
矩形
01 定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
02 性质
矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等。
03 判定
有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形
01 定义
矩形、菱形、正方形的判定方法与证明思路
正方形的判定方法与证明思路
正方形是特殊的长方形和菱形，其判定方法有五种。
正方形的判定方法主要有五种，一是有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；二是有一个角是直角的菱形是正方形；三是有一个角是直角的矩形是正方形；四是有一组邻边相等的矩形是正方形；五是有一个角是直角的等腰梯形是正方形。在证明过程中，需要结合已知条件，通过全等三角形、平行线的性质等定理进行证明。
2. 举例说明：例如，我们要证明四边形ABCD是平行四边形，那么我们需要证明AB//CD且AB=CD。
总结词：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。
1. 介绍利用一组对边平行且相等证明平行四边形的方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
06
典型例题解析与拓展
矩形、菱形、正方形的判定方法与证明思路
01
菱形的判定方法与证明思路
02
菱形是平行四边形的一个特例，其判定方法有三种。
03
菱形的判定方法主要有三种，一是有一组邻边相等的平行四边形是菱形；二是有一个角是直角的菱形是菱形；三是有一组邻边相等的矩形是菱形。在证明过程中，需要结合已知条件，通过全等三角形、平行线的性质等定理进行证明。

人教版三年级上册数学第七单元复习四边形课件

两副同样的三角尺，分别拼成一个长方形和一个正方形。
①
②
③
④
用两副同样的三角尺，分别拼成一个长方形和一个正方形。
两两副副两可同三副能样角同拼的尺样成三一的一角定三个尺能角正一拼尺方定成可形能一能。拼个拼成长成一方一个形个长。长方方形形。，也
周长
封闭图形一周的长度，是它的周长。
思考2：要算正方形的边长知道些什么条件？你能算吗？
探究1.用16厘米的铁丝围成一个长是5 厘米的长方形，问宽是多少厘米？
5厘米
16-5-5=6（厘米） 6÷2=3（厘米）
5厘米
探究1.用16厘米的铁丝围成一个宽是3 厘米的长方形，问长是多少厘米？
16-3-3=10（厘米）
3厘米
3厘米
10÷2=5（厘米）
正方方形形5的+的5周+边5长+长5==边是2长多0（+少边厘。长米+）边长+边长
5正×方4形= 的20周（长厘=米边）长×4
长+长+宽+宽
长+宽+长+宽
长×2+宽×2
（长+宽）×2
你认为哪一种计算方法更简便？
思考1：算长方形的长，要知道些什么条件？你能算吗？算长方形的宽，要知道些什么条件？你能算吗？
我们用到了哪些工具可以得到周长？软尺绳子化曲为直直尺、三角尺
组合图形的周长
沿着这个组合图形边缘一周的长度。
下面每组图形的周长一样吗？你是怎样想的？
一样
平移不一样
.下图的长方形纸片被分成了两个部分，哪个部分的周长长？
一样长
6 厘长米
4 厘宽米
长思方考形：和正要方算形长的方周形长的周长必须6 厘要米知道4 厘些米什么6 厘条米件？4 厘米

初中数学四边形复习教案

初中数学四边形复习教案1. 知识与技能目标：使学生掌握四边形的定义和性质，能够识别和判断各种四边形，了解四边形在实际生活中的应用，提高学生的空间想象能力和抽象思维能力。

2. 过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，培养学生的探究能力和合作能力，使学生在解决实际问题中能够灵活运用四边形的性质。

3. 情感、态度与价值观目标：学生在学习过程中能够积极参与，勇于尝试，体验数学学习的乐趣，增强自信心，培养克服困难的勇气和信心。

二、教学内容1. 四边形的定义和性质2. 四边形的分类和特点3. 四边形在实际生活中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：四边形的定义和性质，四边形的分类和特点。

2. 教学难点：四边形性质的探究和应用。

四、教学过程1. 导入新课通过展示一些生活中的四边形物体，如梯子、窗户、自行车等，引导学生关注四边形，激发学生学习四边形的兴趣。

然后提出问题：“你们知道四边形有哪些性质吗？”从而导入新课。

2. 探究四边形的性质（1）小组合作，观察探究将学生分成若干小组，每组发一些四边形的图片，让学生观察四边形的特点，探讨四边形的性质。

（2）汇报交流各小组汇报探究成果，教师引导学生总结四边形的性质，如对边相等、对角相等、对边平行等。

3. 四边形的分类和特点（1）长方形、正方形、梯形的定义和性质引导学生了解长方形、正方形、梯形是特殊的四边形，掌握它们的定义和性质。

（2）四边形的分类根据四边形的性质，引导学生对四边形进行分类，了解各种四边形的特点。

4. 四边形在实际生活中的应用通过一些实际问题，让学生运用四边形的性质解决问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

5. 总结与反思本节课我们学习了四边形的定义、性质和分类，以及四边形在实际生活中的应用。

请大家回顾一下，我们是如何得出四边形的性质的？这个过程中，我们运用了哪些数学方法？通过这个问题，引导学生总结本节课的学习内容，提高学生的反思能力。

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D
P
C
∴ CO=DO ∴ 四边形COPD是菱形
本题既用到平行四边形和菱形的判定，又用到了矩形的性质,有一定的综合性。如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应变为什么？如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又应变为什么？
图一
图二
正
方
形
定义：一个角为直角 + 一组邻边相等 + 平行四边形 =
正方形（又叫正四边形）。性质：1. 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。
2. 正方形四个角都是直角，四条边都相等。
3. 正方形的两条对角线相等，并且互相垂 A
直平分, 每一条对角线平分一组对角。判定：1. 定义判定法：一个角为直角 + 一组邻边相等 + 平行四边形
D
C
菱
形
A
O
定义：一组邻边相等的平行四边形叫菱形。性质：1. 菱形具有平行四边形的一切性质。 2. 菱形的四条边都相等。 B
D
3. 菱形的对角线互相垂直（平分）
且一条对角线平分一组对角。判定：1. 定义判定法：一组邻边相等 + 平行四边形=菱形 2. 四条边都相等的四边形是菱形。 3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。知识联系：等腰三角形，直角三角形 C
D O
= 正方形
2. 一组邻边相等 + 矩形 = 正方形 3. 一角为90°+ 菱形 = 正方形 2. 等腰直角三角形
B
C
知识联系：1. 类比等边三角形
等腰梯形
定义：两腰相等的梯形是等腰梯形。性质：1. 等腰梯形同一底的两底角相等。
2.等腰梯形的对角线相等。
判定：1. 定义判定法：
2、同一底的两底角相等的梯形是等腰梯形。 3、对角线相等的梯形是等腰梯形。
四、证明题
分析：OC与OD的双重角色证明: ∵ CP∥DB, DP∥AC
已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O，CP∥DB, DP∥AC, CP与DP相交于P点，求证：四边形CODP是菱形。 B A
O
∴ 四边形CODP是平行四边形
又∵ 在矩形ABCD中
CO
1 1 CA, DO DB , CA=DB 2 2
关系
图
峰高
攀
勇
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一、选择题
“ 的四边形是正方形 ” 中下列不正确的是（）
A. 对角线互相垂直平分且相等；B. 四边相等且一角为直角； C. 三角为直角且邻边相等； D. 一组邻边相等，一角为直角。
（答案: D ）反例
二、填空题
1.对角线 2.
3.对角线
的四边形是平行四边形。（互相平分）
B
2. 两组对角相等的四边形是平行四边形。 3. 两组对边相等的四边形是平行四边形。 4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 5. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
知识联系：1.平行线的性质与判定。2.全等三角形（四对）。
3. ⊿ABO、⊿ BCO、 ⊿ CDO、 ⊿ DAO等面积。
矩
（一角为直角或对角线相等）的平行四边形是矩形。（互相垂直且平分）的四边形是菱形。（8cm2）。
4.正方形的对角线为4cm，它的面积为 5.菱形的对角线长为6和8，则其周长为
（20，24）
，面积为
。
三、解答题
如图，甲、乙为两边平行的两张纸条，①将它们按如图（一）放置，则重叠部分是什么图形？并证明你的猜想。②将两纸条按什么位置放置，重叠部分是矩形？③两张纸条满足什么关系时，重叠部分是菱形？④怎样使重叠部分为正方形？答：① 平行四边形（如图一）；② 垂直放置（如图二）； ③ 两张纸条宽度相等（如图三），证明如下；
形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。性质：1. 矩形具有平行四边形的一切性质。 A 2. 矩形的四个角都是直角。 3. 矩形的对角线相等。（互相平分） B 判定：1. 定义判定法：90°+ 平行四边形=矩形 2. 有三个角是直角的四边形是矩形。 3. 对角线相等的平行四边形是矩形。知识联系：1. 等腰三角形 2. 直角三角形 O
一、理论复习
矩形
平行四边形一角为直角且一组邻边相等
正方形
菱形
四边形关ຫໍສະໝຸດ 图梯形二、综合应用
平行四边形定义：两组对边都平行的四边形叫平行四边形。性质：1. 平行四边形的对角相等。（邻角互补）
2. 平行四边形的对边相等。（且对边平行） 3. 平行四边形的对角线互相平分。
A
O C
D
判定: 1. 定义判定法。
④ 两张宽度相同的纸条垂直放置（如图四）。
甲乙（图一）乙
甲
（图二）
A
甲
D F
甲乙（图四）
B
乙
E
C
（图三）
（二）证明：作AE⊥BC,AF⊥CD 则AE=AF ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∠B = ∠D ∴ Rt⊿ABE ≌Rt ⊿ADF ∴ AB=AD ∴ 平行四边形ABCD为菱形。