2019-2020学年天津市滨海新区七所学校高三(上)期末数学试卷

2019-2020学年天津市滨海新区七所学校高三（上）期末数学试卷一、选择题（共9小题）1．（3分）记全集U R =，集合2{|16}A x x =…，集合{|22}x B x =…，则()(U A B =I ð ) A ．[4，)+∞B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1,4)2．（3分）已知直线1:(2)30l a x ay -++=，2:(2)40l x a y +-+=，其中a R ∈，则“1a =-”是“12l l ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（3分）已知3log 2a =，5log 6b =，2c ln =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．c b a <<4．（3分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，a =2b =，则ABC ∆的面积为( )A ．2B ．C ．4D ．5．（3分）已知抛物线2120x y =的焦点F 与双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的一个焦点重合，且点F 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为( )A ．221916x y -=B ．2211641x y -=C ．2214116y x -=D ．221916y x -=6．（3分）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍．请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍( )A ．4天B ．5天C ．6天D ．7天7．（3分）已知函数()sin (0,)f x x x x R ωωω=->∈的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移3π个单位，纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的命题中正确的是( ) A ．函数()g x 是奇函数 B ．()g x 的图象关于直线6x π=对称C ．()g x 在[,]312ππ-上是增函数D ．当[,]66x ππ∈-时，函数()g x 的值域是[0，2]8．（3分）在梯形ABCD 中，已知//AB CD ，2AB CD =，2DM MC =u u u u r u u u u r ，2CN NB =u u u r u u u r，若AM AC AN λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，则11(λμ+= )A ．1312B ．6413C ．3512-D ．4013-9．（3分）已知函数2()3323x x f x x -=++-，若函数()|()|log (2)(0a g x f x x a =-+>，1)a ≠在区间[1-，1]上有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．11(,)32B ．(2,)+∞C ．37[3,2)D ．37[3,)+∞二、填空题（共6小题） 10．（3分）已知复数21iz i+=-，则复数z 的虚部为 ．11．（3分）在二项式1022)x 的展开式中，常数项是 ． 12．（3分）已知圆22:2260C x y x y +---=．直线l 过点(0,3)，且与圆C 交于A 、B 两点，||4AB =，则直线l 的方程 ．13．（3分）底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥叫做正四棱锥．已知正四棱锥的高为2，体积为12，则该正四棱锥的外接球的表面积为 ．14．（3分）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 种． 15．（3分）已知0x >，0y >，则2222282xy xyx y x y +++的最大值是 ．三、解答题（共5小题）16．某校高三实验班的60名学生期中考试的语文、数学成绩都在[100，150]内，其中语文成绩分组区间是：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]．其成绩的频率分布直方图如图所示，这60名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如表所示：分组区间[100，110)[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]:x y1:22:13:53:4语文人数x 24 3 数学人数y124（1）求图中a 的值及数学成绩在[130，140)的人数；（2）语文成绩在[140，150]的3名学生均是女生，数学成绩在[140，150]的4名学生均是男生，现从这7名学生中随机选取4名学生，事件M 为：“其中男生人数不少于女生人数”，求事件M 发生的概率；（3）若从数学成绩在[130，150]的学生中随机选取2名学生，且这2名学生中数学成绩在[140，150]的人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2*()n S n n N =∈，数列{}n b 为等比数列，且21a +，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项． （1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式； （2）若数列11n n n n n c a b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ； （2）求二面角11A EB A --的余弦值；（3）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为211，若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由．19．已知椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的离心率2e =，左、右焦点分别是1F 、2F ，且椭圆上一动点M 到2F 21+，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）当△1F AB 以1F AB ∠为直角时，求直线AB 的方程；（3）直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由． 20．已知函数()sin(1)f x m x lnx =-+．（1）当1m =时，求函数()f x 在(0,1)的单调性；（2）当0m =且1a e -…时，1()()g x af x x =-+，求函数()g x 在(0，]e 上的最小值；（3）当0m =时，1()()2h x f x b x=+-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>．2019-2020学年天津市滨海新区七所学校高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共9小题）1．（3分）记全集U R =，集合2{|16}A x x =…，集合{|22}x B x =…，则()(U A B =I ð ) A ．[4，)+∞B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1,4)【解答】解：Q 全集U R =，集合2{|16}{|4A x x x x ==厖或4}x -„， 集合{|22}{|1}x B x x x ==厖， {|44}U C A x x ∴=-<<，(){|14}[1U A B x x ∴=<=I „ð，4)．故选：C ．2．（3分）已知直线1:(2)30l a x ay -++=，2:(2)40l x a y +-+=，其中a R ∈，则“1a =-”是“12l l ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由2(2)0a a a -+-=，解得2a =或1a =-．∴ “1a =-”是“12l l ⊥”的充分必要条件，故选：A ．3．（3分）已知3log 2a =，5log 6b =，2c ln =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a c b <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【解答】解：3log 221ln <<，5log 61b =>，a cb ∴<<，故选：A ．4．（3分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，a =2b =，则ABC ∆的面积为( )A ．2 B．C ．4 D．【解答】解：22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-Q ， 222sin sin 2sin sin sin sin sin B C B C A B C ∴+-=-，∴由正弦定理可得2222b c bc a bc +-=-，可得222b c a bc +-=，∴由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，由(0,)A π∈，可得3A π=，sin A Q ，Q a =，2b =，∴由正弦定理可得2sin 1sin 2b A B a ==g ，由b a <，B 为锐角，可得6B π=， 2C A B ππ∴=--=，ABC ∴∆的面积11222S ab ==⨯2=故选：B ．5．（3分）已知抛物线2120x y =的焦点F 与双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的一个焦点重合，且点F 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为( )A ．221916x y -=B ．2211641x y -=C ．2214116y x -=D ．221916y x -=【解答】解：抛物线2120x y =的焦点坐标为(0,5)， 双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线的方程为0by ax +=，Q 抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，∴4b ==，即4b =，5c =Q ，3a ∴=，∴双曲线方程为：221916y x -=．故选：D ．6．（3分）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍．请问第几天，莞的长度是蒲的长度的4倍( )A ．4天B ．5天C ．6天D ．7天【解答】解：根据题意，设蒲的长度组成数列{}n a ，莞的长度组成数列{}n b ，第t 天莞的长度是蒲的长度的4倍，则数列{}n a 为等比数列，其首项14a =，公比为12，其前n 项和为n A ，则14(1)128(1)1212n n nA ⨯-==⨯--，数列{}n b 为等比数列，其首项11b =，公比为2，其前n 项和为n B ，则1(21)2121n n n B ⨯-==--，若第t 天莞的长度是蒲的长度的4倍，则有14[8(1)]212t t ⨯⨯-=-；解可得：5t =， 故选：B ．7．（3分）已知函数()sin (0,)f x x x x R ωωω=->∈的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移3π个单位，纵坐标扩大到原来的2倍得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的命题中正确的是( ) A ．函数()g x 是奇函数 B ．()g x 的图象关于直线6x π=对称C ．()g x 在[,]312ππ-上是增函数D ．当[,]66x ππ∈-时，函数()g x 的值域是[0，2]【解答】解：函数()sin 2sin()3f x x x x πωωω==-，由题意知22T π=，解得T π=， 所以22Tπω==， 所以()2sin(2)3f x x π=-；把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移3π个单位，得()2sin[2()]2sin(2)3333y f x x x ππππ=+=+-=+；纵坐标扩大到原来的2倍，得4sin(2)3y x π=+；则函数()4sin(2)3g x x π=+；所以()g x 不是定义域R 上的奇函数，A 错误；6x π=时，22236332x k ππππππ+=⨯+=≠+，k Z ∈， 所以()g x 的图象不关于直线6x π=对称，B 错误；[,]312x ππ∈-时，2[33x ππ+∈-，]2π，所以()g x 是增函数，C 正确；[,]66x ππ∈-时，2[03x π+∈，2]3π，4sin(2)[03x π+∈，4]， 所以函数()g x 的值域是[0，4]，D 错误． 故选：C ．8．（3分）在梯形ABCD 中，已知//AB CD ，2AB CD =，2DM MC =u u u u r u u u u r ，2CN NB =u u u r u u u r，若AM AC AN λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，则11(λμ+= )A ．1312B ．6413C ．3512-D ．4013-【解答】解：由向量的运算法则知，AM AC CM =+u u u u r u u u r u u u u r，Q 2,2DM MC AB DC ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r∴111()366CM DC AB AC CB =-=-=-+u u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r∴151()666AM AC AC CB AC CB =-+=-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u rQ 223CN NB CB ==u u u r u u u r u u u r∴5164AM AC CN =-u u u u r u u u r u u u r51131()64124AC AN AC AC AN =--=-u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴131,124λμ==- ∴11124041313λμ+=-=-．故选：D ．9．（3分）已知函数2()3323x x f x x -=++-，若函数()|()|log (2)(0a g x f x x a =-+>，1)a ≠在区间[1-，1]上有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．11(,)32B ．(2,)+∞C ．37[3,2)D ．37[3,)+∞【解答】解：函数()|()|log (2)a g x f x x =-+的零点即为函数|()|y f x =与函数()log (2)a g x x =+在[1-，1]上有四个交点，易知偶函数2()3323x x f x x -=++-在(0,)+∞单调递增，且7(0)1,(1)3f f =-=，故在(0,1)上存在唯一的零点，又函数()f x 为偶函数，故其在(1,0)-上有另一个零点，作图象如下，函数log (2)a y x =+恒过点(1,0)-，若01a <<时，函数log (2)a y x =+在定义域上单调递减，此时不可能满足函数|()|y f x =与函数()log (2)a g x x =+在[1-，1]上有四个交点， 故1a >，假设2a =，如图，显然此时满足函数|()|y f x =与函数()log (2)a g x x =+在[1-，1]上有四个交点，即2a =满足条件，观察选项可知，只有选项D 含2， 故选：D ．二、填空题（共6小题）10．（3分）已知复数21i z i +=-，则复数z 的虚部为 32 ． 【解答】解：2(2)(1)131(1)(1)22i i i z i i i i +++===+--+Q ， ∴复数z 的虚部为32． 故答案为：32．11．（3分）在二项式1022)x的展开式中，常数项是 180 ．【解答】解：二项式1022)x+的展开式的通项公式为5521102r r r r T C x -+=g g ，令5502r -=，则2r =，∴常数项是22102180C =g ， 故答案为：180．12．（3分）已知圆22:2260C x y x y +---=．直线l 过点(0,3)，且与圆C 交于A 、B 两点，||4AB =，则直线l 的方程 3y =或433y x =+ ． 【解答】解：根据题意，圆22:2260C x y x y +---=即22(1)(1)8x y -+-=，圆心(1,1)C ，半径r =，又由直线l 与圆C 交于A 、B 两点，||4AB =，则点C 到直线l 的距离2d ==， 若直线l 的斜率不存在，直线l 的方程为0x =，点C 到直线l 的距离1d =，不符合题意； 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为3y kx =+，即30kx y -+=， 则有2d =，解可得0k =或43； 故直线l 的方程为3y =或433y x =+； 故答案为：3y =或433y x =+． 13．（3分）底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱锥叫做正四棱锥．已知正四棱锥的高为2，体积为12，则该正四棱锥的外接球的表面积为1694π．【解答】解：做PO'⊥面ABCD于O'，由题意知O'为正方形ABCD的中心，则外接球的球心在PO'所在的直线上，设外接球的半径为R，底面外接圆的半径为r，高2h PO'==，设底面正方形的边长为a，由题意知：21123a h=g，解得32a=，所以23r a==g，所以222()R r R h=+-，或222()R r h R=+-，解得：134R=，所以正四棱锥的表面积216944S Rππ==，故答案为：1694π．14．（3分）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有36种．【解答】解：由题意知本题需要分类，若小张或小赵只有一人入选，则有选法11322324C C A=；若小张、小赵都入选，则有选法222312A A=，根据分类计数原理知共有选法241236+=种．故答案为：36．15．（3分）已知0x>，0y>，则2222282xy xyx y x y+++的最大值是23．【解答】解：33222242242312821016xy xy x y xyx y x y x x y y++=++++222443()3()4()16()10()2x y x yy x y xx y x yy x y x++==++++，342()4x y x y y x y x=+++，令4x y t y x=+，则424x yt y x =g …， 当且仅当2x y =时取等号， Q 函数2y t t=+，在[4，)+∞上单调递增， 2y t t ∴=+的最小值为：92， 292y t t ∴=+…，∴3324223()4x y t x y y x ty x=++++„． ∴2222282xy xy x y x y +++的最大值为：23． 故答案为：23． 三、解答题（共5小题）16．某校高三实验班的60名学生期中考试的语文、数学成绩都在[100，150]内，其中语文成绩分组区间是：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]．其成绩的频率分布直方图如图所示，这60名学生语文成绩某些分数段的人数x 与数学成绩相应分数段的人数y 之比如表所示：分组区间[100，110)[110，120)[120，130)[130，140)[140，150]:x y1:2 2:1 3:5 3:4（1）求图中a 的值及数学成绩在[130，140)的人数；（2）语文成绩在[140，150]的3名学生均是女生，数学成绩在[140，150]的4名学生均是男生，现从这7名学生中随机选取4名学生，事件M 为：“其中男生人数不少于女生人数”，求事件M 发生的概率；（3）若从数学成绩在[130，150]的学生中随机选取2名学生，且这2名学生中数学成绩在[140，150]的人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ．【解答】解：（1）(0.0050.200.0400.005)101a ++++⨯=Q ， 解得0.030a =，语文成绩在[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150)中的人数分别为3，24，18，12，3，数学成绩在[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150)中的人数分别为6，12，30，8，4，∴数学成绩在[130，140)的人数为8人．（2）语文成绩在[140，150]的3名学生均是女生，数学成绩在[140，150]的4名学生均是男生，现从这7名学生中随机选取4名学生，基本事件总数4735n C ==， 事件M 为：“其中男生人数不少于女生人数”，则事件M 包含的基本事件个数223144343431m C C C C C =++=， ∴事件M 发生的概率为3135m P n ==． （3）由题意得X 的可能取值为0，1，2，208421214(0)33C C P X C ===，118421216(1)33C C P X C ===，02842121(2)11C C P X C ===，X ∴的分布列为：141612()0123333113E X ∴=⨯+⨯+⨯=． 17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2*()n S n n N =∈，数列{}n b 为等比数列，且21a +，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项． （1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式； （2）若数列11n n n n n c a b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）因为：数列{}n a 的前n 项和为n S ，2*()n S n n N =∈， 11,11,121,221,2n nn S n n a n S S n n n -==⎧⎧∴===-⎨⎨--⎩⎩……；Q 数列{}n b 为等比数列，且21a +，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项； 24b ∴=，38b =；2q ∴=；12b =；2n n b ∴=；（2）Q 数列111111(21)2(21)2()(21)(21)22121n n n n n n n c a b n n a a n n n n +=+=-⨯+=-⨯+--+-+；令123123252(21)2n A n =⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯； ①23412123252(21)2n A n +∴=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯，②①-②得：12312222222(21)2n n A n +-=+⨯+⨯+⋯+⨯--⨯2122222(21)212n n n +-⨯=+⨯--⨯-；1(32)26n n +=-⨯-． 1(23)26n A n +∴=-⨯+．令1111111111(1)()()(1)232352212122121n B n n n n =-+-+⋯+-=-=-+++；∴数列{}n c 的前n 项和1(23)2621n nnT n n +=-⨯+++． 18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ； （2）求二面角11A EB A --的余弦值；（3）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为211，若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：1BC =Q ，12CC =，13BCC π∠=，13BC ∴=22211BC BC CC ∴+=，1BC BC ∴⊥， 又AB ⊥侧面11BB C C ，1AB BC ∴⊥， 又AB BC B =I ，1C B ∴⊥平面ABC ；（2）以B 为原点，BC ，1BC ，BA 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0B ，0，0)，(0A ，0，2)，1(1B -30)，1(1A -32)，1(2E 3，0)，(1C ，0，0)； 则1(2EA =-u u u r ，3，2)，13(2EB =-u u u r 3，0)，11(0B A =u u u u r ，0，2)；设平面1AEB 的法向量为(n x =r ，y ，)z ，则10n EA n EB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，即132023302x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令1x =，得y =1z =，所以(1n =r1)；设平面11A EB 的法向量为(m x =r ，y ，)z ，则11100m EB m B A ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g，即30220x y z ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩， 令1x =，求得(1m =r0)；cos n <r，||||n m m n m >===⨯r r g r r r ， ∴二面角11A EB A --的余弦值为； （3）假设在棱CA 上存在一点M ，使得EM 与平面11A B E， 不妨设CM CA λ=u u u u r u u u r，[0λ∈，1]；又(1CM x =-u u u u r ，y ，)z ，(1CA =-u u u r，0，2)；即10,2x y z λλ-=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1M λ-，0，2)λ； 所以1(2EM λ=-u u u u r，，2)λ，平面11A B E 的法向量为(1m =r0)；则EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为： |cos EM <u u u u r，13|||||11||||EM m m EM m λ-->===⨯u u u u r rg ru u u u r r ， 化简得2693850λλ-+=，解得13λ=或523λ=；所以在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E， 此时13CM CA =或523．19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率22e =，左、右焦点分别是1F 、2F ，且椭圆上一动点M 到2F 21+，过2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）当△1F AB 以1F AB ∠为直角时，求直线AB 的方程；（3）直线l 的斜率存在且不为0时，试问x 轴上是否存在一点P 使得OPA OPB ∠=∠，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意，可得 221c aa c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得21a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故22a =，21c =，21b =．∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）由题意，可知当直线l 斜率不存在时，△1F AB 不符合题意， 故直线l 斜率存在，设斜率为k ，很明显0k ≠．则直线:(1)AB l y k x =-．直线11:(1)AF l y x k =-+．联立(1)1(1)y k x y x k =-⎧⎪⎨=--⎪⎩，可得22(1)1k x k +=-． A ∴点坐标为221(1k k -+，22)1kk -+． 将点A 坐标代入椭圆C 方程，可得2222212()2()211k k k k --+=++g ． 整理，得42210k k -+=， 解得21k =，即1k =±．∴直线AB 的方程为1y x =-+或1y x =-．（3）由题意，假设点P 存在，设点P 坐标(P x ，0)． Q 直线l 的斜率存在且不为0，∴可设斜率为k ，且0k ≠．OPA OPB ∠=∠Q ，0PA PB k k ∴+=．11PA P y k x x =-Q ，22PB Py k x x =-． ∴12120P Py y x x x x +=--， 化简整理，得122112P x y x y x y y +=+122112(1)(1)(2)x k x x k x k x x -+-=+-g g121212()2x x x x x x -+=+-2222222(1)421214221k k k k kk --++=-+ 21k =+．Q 斜率k 存在，21k ∴+存在，即P x 存在．∴存在一点P ，使得OPA OPB ∠=∠，且P 点坐标为2(1k +，0)．20．已知函数()sin(1)f x m x lnx =-+．（1）当1m =时，求函数()f x 在(0,1)的单调性；（2）当0m =且1a e -…时，1()()g x af x x =-+，求函数()g x 在(0，]e 上的最小值；（3）当0m =时，1()()2h x f x b x=+-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>． 【解答】解：（1）当1m =时，()sin(1)f x x lnx =-+，则1()cos(1)f x x x'=--+， 当(0,1)x ∈，()f x '在(0,1)上单调递减，()f x f '∴>（1）0=，∴当(0,1)x ∈时，()f x 在(0,1)上单调递增．（2）当0m =时，11()(g x alnx a x e =-+-…，0)x e <„，则2211()a ax g x x x x+'=--=-，Q 1a e-…，()0g x '∴<，()g x ∴在(0，]e 上单调递减，∴1()()min g x g e a e==-+． （3）当0m =时，1()(0)2h x lnx b x x=+->， 1x Q ，2x 是函数1()2h x lnx b x=+-的两个零点， ∴11102lnx b x +-=，22102lnx b x +-=，． 两式相减，可得12211122x lnx x x =-，即1122212x x x ln x x x -=， ∴1212122x x x x x ln x -=，∴1211212x xx x lnx -=，2121212xx x x ln x -=．令12(01)x t t x =<<，则121111222t t t t x x lnt lnt lnt ---+=+=． 记1()2(01)F t t lnt t t=--<<，则22(1)()t F t t -'=．01t <<Q ，()0F t '∴>恒成立，()F t F ∴<（1）， 即120t lnt t--<．∴112t t lnt ->， 故121x x +>．。