2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第3讲空间点直线平面之间的位置关系试题理新人教版
(旧教材适用)2023高考数学一轮总复习第八章立体几何第3讲空间点直线平面之间的位置关系课件
精准设计考向，多角度探究突破
考向二 空间两条直线的位置关系
角度
两条直线位置关系的判定
例 2 (1)(2021·邯郸一中模拟)如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E，F 分别在 A1D，AC 上，且 A1E＝2ED，CF＝2FA，则 EF 与 BD1 的位置关 系是( )
2．若直线 a⊥b，且直线 a∥平面 α，则直线 b 与平面 α 的位置关系是( ) A．b⊂ α B．b∥α C．b⊂ α 或 b∥α D．b 与 α 相交或 b⊂ α 或 b∥α
答案 D
解析 b 与 α 相交或 b⊂ α 或 b∥α 都可以．
3．设 A，B，C，D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A．若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面 B．若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC 是异面直线 C．若 AB＝AC，DB＝DC，则 AD⊥BC D．若 AB＝AC，DB＝DC，则 AD＝BC
1．证明点或线共面问题的两种方法 (1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线 (或点)在这个平面内． (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． 2．证明点共线问题的两种方法 (1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上． (2)直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(2) 如图，点 N 为正方形 ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面 ECD ⊥平面 ABCD，M 是线段 ED 的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线 BM，EN 是相交直线 B．BM≠EN，且直线 BM，EN 是相交直线 C．BM＝EN，且直线 BM，EN 是异面直线 D．BM≠EN，且直线 BM，EN 是异面直线 答案 B
2018版高三数学一轮复习第八章立体几何第三讲空间点直线平面之间的位置关系课件理
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数学
考点全通关 10
第八章·第三讲 考点三
空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有以下三种:
位置关系 直线a在 平面α内 直线a与平 图形表示 符号表示 a⊂α 公共点 有无数个 公共点 有且只有
面α相交
直线a与平 面α平行
a∩α=A
一个公共点
a∥α
A1D∥B1C,从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角.
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图8-3-8
数学
题型全突破 11
第八章·第三讲
空间点、直线、平面之间的位置关系
因为AB1=AC=B1C,
所以∠B1CA=60°.
数学
知识全通关
2
第八章·第三讲
空间点、直线、平面之间的位置关系
2.公理2 (1)自然语言:过 不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
图8-3-2 (2)图形语言:如图8-3-2所示. (3)符号语言:A,B,C不共线⇒有且只有一个平面α,使得A∈α,B∈α,C∈α. (4)作用:①确定一个平面的依据;②判断两个平面重合的依据;③证明点、线共面的依据.
目 录 Contents
考情精解读 A.知识全通关 B.题型全突破 C.能力大提升
考点1
考点2
考法1
考法2
方法
考点3
考点4
易错易误
考情精解读
数学
考情精解读
1
第八章·第三讲
空间点、直线、平面之间的位置关系
考纲解读
考试大纲 命题规律
01
1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解有关的可以作为推理依据 的公理和定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简
浙江专用2018年高考数学总复习教师用书：第8章 第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系含解析
第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲 1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.知 识 梳 理1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. (2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2.空间点、直线、平面之间的位置关系平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4.异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角). (2)范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线.( )(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )(4)若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面.( ) 解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误. (4)由于a 不平行于平面α，且a ⊄α，则a 与平面α相交，故平面α内有与a 相交的直线，故错误.答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(必修2P52B1(2)改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.答案 C3.在下列命题中，不是公理的是( )A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的.答案 A4.(2016·山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.答案 A5.若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________. 答案b与α相交或b∥α或b⊂α6.如图所示，平面α，β，γ两两相交，a ，b ，c 为三条交线，且a ∥b ，则a 与c 的位置关系是________；b 与c 的位置关系是________. 答案 a ∥c b ∥c考点一 平面的基本性质及应用【例1】 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AA 1的中点.求证： (1)E ，C ，D 1，F 四点共面； (2)CE ，D 1F ，DA 三线共点.证明 (1)如图，连接EF ，CD 1，A 1B .∵E ，F 分别是AB ，AA 1的中点，∴EF ∥A 1B .又A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1， ∴E ，C ，D 1，F 四点共面. (2)∵EF ∥CD 1，EF <CD 1，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABCD ，得P ∈平面ABCD . 同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD ∩平面ADD 1A 1＝DA ，∴P ∈直线DA .∴CE ，D 1F ，DA 三线共点. 规律方法 (1)证明线共面或点共面的常用方法 ①直接法，证明直线平行或相交，从而证明线共面.②纳入平面法，先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.③辅助平面法，先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合. (2)证明点共线问题的常用方法①基本性质法，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上.②纳入直线法，选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.【训练1】 如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC 綉12AD ，BE 綉12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綉12AD.又BC綉12AD，∴GH綉BC，∴四边形BCHG为平行四边形.(2)解∵BE綉12AF，G为FA的中点，∴BE綉FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面.又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.考点二判断空间两直线的位置关系【例2】(1)(2015·广东卷)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交(2)(2017·嘉兴七校联考)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).解析(1)法一由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若l∥l1，l∥l2，则l1∥l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.法二如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确.(2)在图①中，直线GH∥MN；在图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，N∉GH，因此直线GH与MN异面；在图③中，连接QM，GM∥HN，因此GH与MN共面；在图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，G∉MN，因此GH与MN异面.所以在图②④中GH与MN异面.答案(1)D (2)②④规律方法(1)异面直线的判定方法①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.②定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.(2)点、线、面位置关系的判定，要注意几何模型的选取，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.【训练2】 (1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是( )A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行(2)(2017·武汉调研)a，b，c表示不同的直线，M表示平面，给出四个命题：①若a∥M，b∥M，则a∥b或a，b相交或a，b异面；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确的为( )A.①④B.②③C.③④D.①②解析(1)如图，连接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；∵CC 1⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴CC 1⊥BD ， ∴MN ⊥CC 1，故A 正确；∵AC ⊥BD ，MN ∥BD ，∴MN ⊥AC ，故B 正确； ∵A 1B 1与BD 异面，MN ∥BD ，∴MN 与A 1B 1不可能平行，故选项D 错误.(2)对于①，当a ∥M ，b ∥M 时，则a 与b 平行、相交或异面，①为真命题.②中，b ⊂M ，a ∥b ，则a ∥M 或a ⊂M ，②为假命题.命题③中，a 与b 相交、平行或异面，③为假命题.由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①，④为真命题.答案 (1)D (2)A 考点三 异面直线所成的角【例3】 (1)(2017·浙江五校联考)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________.(2)(2016·全国Ⅰ卷)平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( ) A.32B.22C.33D.13解析 (1)取A 1C 1的中点E ，连接B 1E ，ED ，AE ， 在Rt △AB 1E 中，∠AB 1E 为异面直线AB 1与BD 所成的角. 设AB ＝1，则A 1A ＝2，AB 1＝3，B 1E ＝32，故∠AB 1E ＝60°.(2)根据平面与平面平行的性质，将m ，n 所成的角转化为平面CB 1D 1与平面ABCD 的交线及平面CB 1D 1与平面ABB 1A 1的交线所成的角.设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1. ∵平面α∥平面CB 1D 1，∴m 1∥m . 又平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， 且平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1， ∴B 1D 1∥m 1，∴B 1D 1∥m .∵平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1，且平面CB 1D 1∩平面DCC 1D 1＝CD 1，同理可证CD 1∥n . 因此直线m 与n 所成的角即直线B 1D 1与CD 1所成的角. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，△CB 1D 1是正三角形， 故直线B 1D 1与CD 1所成角为60°，其正弦值为32. 答案 (1)60° (2)A规律方法 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.(2)求异面直线所成角的三个步骤①作：通过作平行线，得到相交直线的夹角. ②证：证明相交直线夹角为异面直线所成的角.③求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.【训练3】 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15 B.25 C.35 D.45解析 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角. 连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2， 则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5， 在△A 1BC 1中，由余弦定理得 cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.答案 D[思想方法]1.主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上.2.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相交直线的夹角，体现了化归思想.[易错防范]1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交.2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.3.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015·湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l，l2不相交，则( )1A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析直线l1，l2是异面直线，一定有l1与l2不相交，因此p是q的充分条件；若l1与l2不相交，那么l1与l2可能平行，也可能是异面直线，所以p不是q 的必要条件.故选A.答案 A2.(2017·郑州联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( ) A.相交或平行 B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.答案 D3.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是( )A.①B.①④C.②③D.③④解析显然命题①正确.由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错.命题③中，两个平面重合或相交，③错.三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确.答案 B4.(2017·余姚市统检)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.答案 C5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( ) A.45B.35C.23D.57解析 连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 为异面直线AE 与D 1F 所成的角. 设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a 22·52a ·52a＝35.答案 B 二、填空题6.(2017·金华调研)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，则：(1)直线BN 与MB 1是________直线(填“相交”或“平行”或“异面”)；(2)直线MN 与AC 所成的角的大小为________.解析 (1)M ，B ，B 1三点共面，且在平面MBB 1中，但N ∉平面MBB 1，B ∉MB 1，因此直线BN 与MB 1是异面直线；(2)连接D 1C ，因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°. 答案 (1)异面 (2)60°7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.解析 取CD 的中点H ，连接EH ，FH .在正四面体CDEF 中，由于CD ⊥EH ，CD ⊥HF ，且EH ∩FH ＝H ，所以CD ⊥平面EFH ，所以AB ⊥平面EFH ，则平面EFH 与正方体的左右两侧面平行，则EF 也与之平行，与其余四个平面相交. 答案 48.(2014·全国Ⅱ卷改编)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为________.解析 如图所示，取BC 中点D ，连接MN ，ND ，AD . ∵M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， ∴MN 綉12B 1C 1.又BD 綉12B 1C 1，∴MN 綉BD ，则四边形BDNM 为平行四边形，因此ND ∥BM ， ∴∠AND 为异面直线BM 与AN 所成的角(或其补角). 设BC ＝2，则BM ＝ND ＝6，AN ＝5，AD ＝5，在△ADN 中，由余弦定理得cos ∠AND ＝ND 2＋AN 2－AD 22ND ·AN ＝3010.故异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为3010.答案3010三、解答题9.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点.问：(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由； (2)D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由.解 (1)AM ，CN 不是异面直线.理由：连接MN ，A 1C 1，AC .因为M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1. 又因为A 1A 綉C 1C ，所以四边形A 1ACC 1为平行四边形， 所以A 1C 1∥AC ，所以MN ∥AC ， 所以A ，M ，N ，C 在同一平面内， 故AM 和CN 不是异面直线.(2)直线D 1B 和CC 1是异面直线.理由：因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，所以B ，C ，C 1，D 1不共面.假设D 1B 与CC 1不是异面直线，则存在平面α，使D 1B ⊂平面α，CC 1⊂平面α， 所以D 1，B ，C ，C 1∈α，这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾.所以假设不成立， 即D 1B 和CC 1是异面直线.10.(2017·杭州调研)如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点.已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求： (1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值. 解 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角). 在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2， cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则点A ，B ，C ，D ，E 共面；③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3解析 ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A ，B ，C ，但是若A ，B ，C 共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形. 答案 B12.若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( ) A.l 1⊥l 4 B.l 1∥l 4C.l 1与l 4既不垂直也不平行D.l 1与l 4的位置关系不确定解析 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA .若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若取C 1D 为l 4，则l 1与l 4相交；若取BA 为l 4，则l 1与l 4异面；取C 1D 1为l 4，则l 1与l 4相交且垂直. 因此l 1与l 4的位置关系不能确定. 答案 D13.如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________. 解析 取DE 的中点H ，连接HF ，GH .由题设，HF 綉12AD .∴∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角). 在△GHF 中，可求HF ＝2，GF＝GH＝6，∴cos∠HFG＝2＋6－62×2×6＝36.答案3 614.(2017·宁波十校联考)如图，三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，求异面直线AN，CM所成的角的余弦值.解如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.∵M为AD的中点，∴MK∥AN，∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角.∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝22，∴MK＝ 2. 在Rt△CKN中，CK＝（2）2＋12＝ 3.在△CKM中，由余弦定理，得cos∠KMC＝（2）2＋（22）2－（3）22×2×22＝78.15.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.(1)求四棱锥O－ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.解(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，所以四棱锥O－ABCD的体积V＝13×4×2＝83.(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M 为OA中点，∴ME∥OC，则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝2，EM＝3，MD＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，∴△DEM为直角三角形，∴tan∠EMD＝DEEM＝23＝63.∴异面直线OC与MD所成角的正切值为63.。
最新-2018届高考数学一轮复习 83 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 新人教A版 精品
的公共点，由公理2知，D、E、F共线.
2.关于直线和平面的四个命题中不正确的是（C ） A.平行于同一平面的两个平面一定平行 B.平行于同一直线的两条直线一定平行 C.垂直于同一直线的两条直线一定平行 D.垂直于同一平面的两条直线一定平行 解析 垂直于同一直线的两条直线不一定平 行，还可能相交或异面.
①直线BE与直线CF是异面直线；
②直线BE与直线AF是异面直线；
③直线EF∥平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确结论的序号是（B ） A.①② B.②③ C.①④
D.②④
解析 由EF∥AD∥BC，知BE、CF共面，
①错；②正确；③正确；④错.故选B.
（2）如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分 别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论： ①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线. 其中正确的结论为 ③④ （注：把你认为正确
解析 如图所示,三个平面α、β、γ两两相
交，交线分别是a、b、c且a∥b∥c.则α、β、
γ把空间分成7部分.
2.直线a,b,c两两平行，但不共面，经过其中两条
直线的平面的个数为（ B ）
A.1
B.3
C.6
ห้องสมุดไป่ตู้
D.0
解析 以三棱柱为例，三条侧棱两两平行，但
不共面，显然经过其中的两条直线的平面有3个.
3.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是
题型分类 深度剖析
题型一 平面的基本性质 【例1】如图所示，空间四边形ABCD
中,E、F、G分别在AB、BC、CD上, 且满足AE∶EB=CF∶FB=2∶1， CG∶GD=3∶1，过E、F、G的平 面交AD于H，连接EH. （1）求AH∶HD； （2）求证：EH、FG、BD三线共点. 思维启迪 证明线共点的问题实质上是证明点在 线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面 的交线,点看作是两平面的公共点,由公理3得证.
(浙江专用)新高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 3 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置
第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 公理2的三个推论：推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类{共面直线{平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②X 围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．(3)等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)空间中直线和平面的位置关系 位置关系 图形表示符号表示公共点 直线a 在平面α内a ⊂α有无数个公共点 直线直线a 与 平面αa ∥α没有公共点在平面外平行直线a与平面α斜交a∩α＝A有且只有一个公共点直线a与平面α垂直a⊥α(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行α∥β没有公共点两平面相交斜交α∩β＝l有一条公共直线垂直α⊥β且α∩β＝a[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.( )(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( )(3)两个平面ABC与平面DBC相交于线段BC.( )(4)没有公共点的两条直线是异面直线．( )答案：(1)√(2)×(3)×(4)×[教材衍化]1．(必修2P43练习T1改编)下列命题中正确的是( )A．过三点确定一个平面B．四边形是平面图形C．三条直线两两相交则确定一个平面D．两个相交平面把空间分成四个区域解析：选D.对于A，过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，故A错误；对于B，四边形也可能是空间四边形，不一定是平面图形，故B错误；对于C，三条直线两两相交，可以确定一个平面或三个平面，故C错误；对于D，平面是无限延展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故D正确．2．(必修2P52B组T1(2)改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为________．解析：连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C ＝60°.答案：60°[易错纠偏](1)判断直线与平面的位置关系时，忽视“直线在平面内”；(2)对等角定理的应用条件认识不清．1．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面解析：选D.依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．故选D.2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行解析：选D.两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行，故选D.平面的基本性质如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：E 、C 、D 1、F 四点共面．【证明】 如图所示，连接CD 1、EF 、A 1B ，因为点E 、F 分别是AB 和AA 1的中点，所以EF ∥A 1B 且EF ＝12A 1B .又因为A 1D 1綊BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形， 所以A 1B ∥CD 1，所以EF ∥CD 1， 所以EF 与CD 1确定一个平面α，所以E 、F 、C 、D 1∈α，即E 、C 、D 1、F 四点共面．(变问法)若本例条件不变，如何证明“CE ，D 1F ，DA 交于一点”？ 证明：如图，由本例知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1，所以四边形CD 1FE 是梯形，所以CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则P ∈CE ，且P ∈D 1F ，又CE ⊂平面ABCD ，且D 1F ⊂平面A 1ADD 1， 所以P ∈平面ABCD ，且P ∈平面A 1ADD 1. 又平面ABCD ∩平面A 1ADD 1＝AD ，所以P ∈AD ， 所以CE 、D 1F 、DA 三线交于一点．(1)点线共面问题证明的两种方法①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证有关点、线确定平面α，再证其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合．(2)证明多线共点问题的两步 ①先证其中两条直线交于一点；②再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理3证明．如图，空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，AD的中点，点G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线． 证明：(1)因为点E ，F 分别为AB ，AD 的中点， 所以EF ∥BD . 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，所以GH ∥BD ， 所以EF ∥GH .所以E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， 所以P ∈平面ABC . 同理P ∈平面ADC .所以P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点． 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，所以P ∈AC ，所以P ，A ，C 三点共线．空间两直线的位置关系(1)若m ，n 为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( )①若直线m ，n 都平行于平面α，则m ，n 一定不是相交直线；②若直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；③已知平面α，β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；④若直线m，n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.A．②B．②③C．①③D．②④(2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：①AM和是否是异面直线？说明理由；②D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．【解】(1)选A.对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，①错误；对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；对于③，还有可能n∥β或n与β相交，③错误；对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°，故④错误．因此选A.(2)①不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC.如图，因为点M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綊C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和不是异面直线．②是异面直线．理由：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，所以D1，B，C，C1∈α，这与B，C，C1，D1不共面矛盾．所以假设不成立，即D1B和CC1是异面直线．(1)异面直线的判定方法(2)构造法判断空间两直线的位置关系对于空间两直线的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断，可避免因考虑不全面而导致错误，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性．1．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )A．相交 B．平行C．异面而且垂直 D．异面但不垂直解析：选D.将展开图还原为正方体，如图所示．AB与CD所成的角为60°，故选D.2．在图中，点G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H ∉平面GMN ，因此GH 与MN 异面．所以在图②④中GH 与MN 异面．答案：②④异面直线所成的角(高频考点)从近几年的高考试题来看，异面直线所成的角是高考的热点，题型既有选择题又有填空题，也有解答题，难度为中低档题．主要命题角度有：(1)求异面直线所成的角或其三角函数值； (2)由异面直线所成角求其他量．角度一 求异面直线所成的角或其三角函数值(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)如图，在三棱锥S ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB＝∠BSC ＝∠CSA ＝π2，点M 、N 分别是AB 和SC 的中点，则异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值为________．【解析】 连接MC ，取MC 中点为Q ，连接NQ ，BQ ， 则NQ 和SM 平行，∠QNB (或其补角)即为SM 和BN 所成的角．设SA ＝SB ＝SC ＝a ，因为∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝π2，则AB ＝BC ＝CA ＝2a ，所以△ABC 是正三角形，因为点M 、N 、Q 是中点， 所以NQ ＝12SM ＝24a ，MC ＝62a ，QB ＝144a ，NB ＝52a ，所以cos ∠QNB ＝105， 所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为105.【答案】105角度二 由异面直线所成角求其他量四面体ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若BD ，AC 所成的角为60°，且BD ＝AC ＝1，则EF 的长为________．【解析】 如图，取BC 的中点O ，连接OE ，OF ， 所以OE ∥AC ，OF ∥BD ，所以OE 与OF 所成的锐角(或直角)即为AC 与BD 所成的角，而AC ，BD 所成角为60°，所以∠EOF ＝60°或∠EOF ＝120°.当∠EOF ＝60°时，EF ＝OE ＝OF ＝12.当∠EOF ＝120°时，取EF 的中点M ，则OM ⊥EF ，EF ＝2EM ＝2×34＝32. 【答案】 12或321．已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32B.155 C.105 D.33解析：选 C.如图所示，将直三棱柱ABC A 1B 1C 1补成直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1，连接AD 1，B 1D 1，则AD 1∥BC 1，所以∠B 1AD 1或其补角为异面直线AB 1与BC 1所成的角．因为∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AB 1＝5，AD 1＝ 2.在△B 1D 1C 1中，∠B 1C 1D 1＝60°，B 1C 1＝1，D 1C 1＝2，所以B 1D 1＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以cos ∠B 1AD 1＝5＋2－32×5×2＝105，选择C.2．(2020·某某模拟)正四面体ABCD 中，点E 、F 分别为AB 、BD 的中点，则异面直线AF 、CE 所成角的余弦值为________．解析：取BF 的中点G ，连接CG ，EG ，易知EG ∥AF ，所以异面直线AF 、CE 所成的角即为∠GEC (或其补角)．不妨设正四面体棱长为2，易求得CE ＝3，EG ＝32，CG ＝132，由余弦定理得cos ∠GEC ＝EG 2＋CE 2－CG 22EG ·CE＝34＋3－1342×32×3＝16，所以异面直线AF 、CE 所成角的余弦值为16. 答案：16空间动点的轨迹判断如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60°，B 为斜足，平面α上的动点P 满足∠PAB ＝30°，则点P 的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支【解析】 因为∠PAB ＝30°，所以点P 的轨迹为以AB 为轴线，PA 为母线的圆锥面与平面α的交线，且平面α与圆锥的轴线斜交，故点P 的轨迹为椭圆．【答案】 C(1)求解立体几何中的轨迹问题时，首先要探究点的轨迹的形成过程，同时还要注意动点的性质以及点、线、面之间的位置关系，若动点的性质满足解析几何中圆锥曲线的定义，也可借助定义求出轨迹．(2)把立体几何中的轨迹问题转化成解析几何中曲线的定义加以求解，求解此类问题时应抓住解析几何中有关曲线的定义，根据解析几何中曲线的定义求解立体几何中的轨迹问题．1．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是( )A．一条直线B．一个圆C．一个椭圆D．双曲线的一支解析：选A.因为l⊥AB，当l变化时，形成的平面记为β，则AB⊥β.因为α与β相交，故只有一条直线，故选A.2．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线解析：选D.如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，DC与A1D1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD过直线DC且平行于A1D1，以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x 轴、y轴建立平面直角坐标系，设点P(x，y)在平面ABCD内且到A1D1与DC的距离相等，所以|x|＝y2＋a2，所以x2－y2＝a2.核心素养系列16 直观想象——构造平面研究直线相交问题设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解析】法一：设α∩β＝a，若直线l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l.又因为l⊥β.所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误．故选B.法二：借助于长方体模型解决本题：对于A，如图①，α与β可相交；对于B，如图②，不论β在何位置，都有α⊥β；对于C，如图③，l可与β平行或l⊂β内；对于D，如图④，l⊥β或l⊂β或l∥β.故选B.【答案】 B在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．【解析】法一：如图，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ(图略)，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD相交．【答案】无数(1)平面几何和立体几何在点、线、面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点、线、面的位置关系在平面和空间中的差异．(2)本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查难度一般都不会太大．(3)注意本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．[基础题组练]1．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( ) A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行解析：选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾．2．如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是( )A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC解析：选C.由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.3．已知AB是平面α的斜线段，A为斜足．若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是( )A．圆B．椭圆C．一条直线D．两条平行直线解析：选B.如图，由于AB的长为定值，且△ABP的面积也是定值，因此空间中点P到直线AB的距离也为定值，从而可以推知点P在空间的轨迹应是以AB为旋转轴的圆柱面，又点P在平面α内，且AB与平面α不垂直，故点P的轨迹应是该圆柱面被平面α截出的椭圆．4．(2020·瑞安四校联考)若平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是( )A．AB∥CD B．AD∥CBC．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面解析：选D.因为平面α∥平面β，要使直线AC∥直线BD，则直线AC与BD是共面直线，即A，B，C，D四点必须共面．5．如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各棱长(包括底面边长)都是2，点E ，F 分别是AB ，A 1C 1的中点，则EF 与侧棱C 1C 所成的角的余弦值是( )A.55B.255C.12D ．2解析：选B.如图，取AC 中点G ，连接FG ，EG ，则FG ∥C 1C ，FG ＝C 1C ；EG ∥BC ，EG ＝12BC ，故∠EFG 即为EF 与C 1C 所成的角，在Rt △EFG 中，cos ∠EFG ＝FG FE＝25＝255.6．(2020·某某模拟)如图所示，ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论正确的是( )A ．A ，M ，O 三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面解析：选A.连接A 1C 1，AC (图略)，则A 1C 1∥AC ， 所以A 1，C 1，A ，C 四点共面，所以A 1C ⊂平面ACC 1A 1. 因为M ∈A 1C ，所以M ∈平面ACC 1A 1. 又M ∈平面AB 1D 1，所以M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理A ，O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上． 所以A ，M ，O 三点共线．7．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上) 解析：直线AM 与CC 1是异面直线，直线AM 与BN 也是异面直线，故①②错误． 答案：③④8．(2020·金丽衢十二校联考)如图所示，在三棱锥A BCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形，当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 是正方形．解析：易知EH ∥BD ∥FG ，且EH ＝12BD ＝FG ，同理EF ∥AC ∥HG ，且EF ＝12AC ＝HG ，显然四边形EFGH 为平行四边形．要使平行四边形EFGH 为菱形需满足EF ＝EH ，即AC ＝BD ；要使四边形EFGH 为正方形需满足EF ＝EH 且EF ⊥EH ，即AC ＝BD 且AC ⊥BD .答案：AC ＝BDAC ＝BD 且AC ⊥BD9．已知三棱锥A BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 所成的角为60°，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AB 和MN 所成的角为________．解析：如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，MN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为AB 与CD 所成的角(或其补角)，则∠MPN ＝60°或∠MPN＝120°.因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或其补角)． ①若∠MPN ＝60°， 因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°， 即AB 与MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形，所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综上，直线AB 和MN 所成的角为60°或30°. 答案：60°或30°10．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD ＝5，∠ADC ＝90°.沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦值的最大值是__________．解析：作BE ∥AC ，BE ＝AC ，连接D ′E ，则∠D ′BE 为所求的角或其补角，作D ′N ⊥AC 于点N ，设M 为AC 的中点，连接BM ，则BM ⊥AC ，作NF ∥BM 交BE 于点F ，连接D ′F ，设∠D ′NF ＝θ，因为D ′N ＝56＝306，BM ＝FN ＝152＝302，所以D ′F 2＝253－5cos θ，因为AC ⊥D ′N ，AC ⊥FN ，所以D ′F ⊥AC ，所以D ′F ⊥BE ，又BF ＝MN ＝63，所以在Rt △D ′FB 中，D ′B 2＝9－5cos θ，所以cos ∠D ′BE ＝BF D ′B ＝639－5cos θ≤66，当且仅当θ＝0°时取“＝”．答案：6611.如图，已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．证明：假设AD与BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内，所以直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，所以AD与BC是异面直线．12．在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若点E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解：(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．因为AB1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)连接BD，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1.因为点E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF⊥AC.所以EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.[综合题组练]1．设A，B，C，D是空间中四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC解析：选C.A中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，若AB ＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.2．(2020·某某市高考数学模拟)棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为棱CC1的中点，点P，Q分别为平面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则△PEQ周长的最小值为( )A ．2 2 B.10 C.11D ．2 3解析：选B.由题意，△PEQ 周长取得最小值时，点P 在B 1C 1上，在平面B 1C 1CB 上，设E 关于B 1C 的对称点为M ，关于B 1C 1的对称点为N ，则EM ＝2，EN ＝2，∠MEN ＝135°，所以MN ＝4＋2－2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝10. 3．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值X 围是________．解析：构造四面体ABCD ，使AB ＝a ，CD ＝2，AD ＝AC ＝BC ＝BD ＝1，取CD 的中点E ，则AE ＝BE ＝22， 所以22＋22>a ，所以0<a < 2. 答案：0<a < 24.如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，E 是PC 的中点．(1)求证：AE 与PB 是异面直线；(2)求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值． 解：(1)证明：假设AE 与PB 共面，设平面为α. 因为A ∈α，B ∈α，E ∈α， 所以平面α即为平面ABE ， 所以P ∈平面ABE ， 这与P ∉平面ABE 矛盾， 所以AE 与PB 是异面直线． (2)取BC 的中点F ， 连接EF 、AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF (或其补角)就是异面直线AE 和PB 所成的角．因为∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ，所以AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2，cos ∠AEF ＝AE 2＋EF 2－AF 22·AE ·EF＝2＋2－32×2×2＝14，所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14.5.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，点G ，H 分别为FA ，FD的中点．(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ， 所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC .所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C ，D ，F ，E 四点共面． 理由如下：由BE 綊12FA ，点G 是FA 的中点知，BE 綊GF ，所以EF 綊BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面． 又点D 在直线FH 上， 所以C ，D ，F ，E 四点共面．。
第3讲 直线平面之间的位置关系(学生版)
第八章 立体几何与空间向量第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系班级__________ 姓名__________一、基础知识：1、空间直线的位置关系(1)位置关系的分类：⎩⎨⎧共面直线⎩⎨⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2．(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． （4）异面直线判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2、平面：（1）平面的概念：平面是一个描述而不定义的概念，立体几何里所说的平面是从生活中常见的平面，如桌子的表面、黑版面、平静的水面等中抽象出来的，生活中的平面是比较平且是有限的，而立体几何中的平面是绝对的平且是无限延展的。
（2）平面的表示：①立体几何中通常画平行四边形来表示平面，且当平面水平放置时，把平行四边形的锐角画成45 ， 横边画成等于邻边的2倍。
②平面通常用一个希腊字母表示。
如平面α、平面β、 平面γ等；也可以用表示平面的平行四边形的两个顶点的字母来表示，如平面AC 等；若用三角形表示平面时，则表示成平面ABC 。
注意：在平面几何里，凡是后引的辅助线都画成虚线，而立体几何里则不然，凡是被遮住的线，都画成虚线，凡是不被遮住的线都画成实线，无论是题中原有的还是后引的辅助线。
3、平面的基本性质：公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示：或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈.推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面公理3：如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线。
【高考数学】2018最新高三数学课标一轮复习课件：8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系(PPT课件)
如图,把展开图中的各正方形按图(1)所示的方式分别作为正方体的 前、后、左、右、上、下面还原,得到图 (2)所示的直观图,可见选项 A,B,C 不正确.图(2)中,BE∥CD,∠ABE 为 AB 与 CD 所成的角,△ABE 为等边三角形,∴∠ABE=60°.∴正确选项为 D.
A.AB∥CD B.AB与CD相交 C.AB⊥CD D.AB与CD所成的角为60° 图 (1) B
第八章
8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
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2017 2016 2015 2014 2013 空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论 基础,高考对本节知识的直接考查主要以选择题形式 考向分析 出现,常常涉及多种位置关系.也经常结合在立体几何 解答题中考查. 年份
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知识梳理 双击自测
8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
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1.平面的基本性质 (1)公理1:如果一条直线上的 两点 在一个平面内,那么这条直 线在此平面内. 作用:可用来证明点、直线在平面内. (2)公理2:过 不在一条直线上 的三点,有且只有一个平面. 公理2的推论如下: ①经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面; ②经过两条相交直线,有且只有一个平面; ③经过两条平行直线,有且只有一个平面. 作用:①可用来确定一个平面;②证明点线共面. (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只 有 一条 过该点的公共直线.
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空间点、直线、平面之间 的位置关系
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8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
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2018版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关
第八章 立体几何与空间向量 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系教师用书 理 新人教版1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【知识拓展】 1．唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 2．异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.( √)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( ×)(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( ×)(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．( √)(5)没有公共点的两条直线是异面直线．( ×)1．下列命题正确的个数为( )①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．2．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n答案 C解析由已知，α∩β＝l，∴l⊂β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确．3．(2017·合肥质检)已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α答案 C解析m，n可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；根据线面平行的性质可知C正确；若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.4.(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD －EFGH 中，AB ＝23，AD ＝23，AE ＝2，则BC 和EG 所成角的大小是______，AE 和BG 所成角的大小是________．答案 45° 60°解析 ∵BC 与EG 所成的角等于EG 与FG 所成的角即∠EGF ，tan∠EGF ＝EF FG ＝2323＝1，∴∠EGF＝45°，∵AE 与BG 所成的角等于BF 与BG 所成的角即∠GBF ，tan∠GBF ＝GF BF ＝232＝3，∴∠GBF ＝60°.5．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．答案 4解析 EF 与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF 相交的侧面有4个.题型一 平面基本性质的应用例1 (1)(2016·山东)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A.(2)已知空间四边形ABCD (如图所示)，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC .求证：①E 、F 、G 、H 四点共面； ②三直线FH 、EG 、AC 共点． 证明 ①连接EF 、GH ，如图所示，∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点， ∴EF ∥BD .又∵CG ＝13BC ，CH ＝13DC ，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH ， ∴E 、F 、G 、H 四点共面．②易知FH 与直线AC 不平行，但共面，∴设FH ∩AC ＝M ，∴M ∈平面EFHG ，M ∈平面ABC . 又∵平面EFHG ∩平面ABC ＝EG ， ∴M ∈EG ，∴FH 、EG 、AC 共点．思维升华 共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC .∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 ∵BE 綊12AF ，G 是FA 的中点，∴BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面． 题型二 判断空间两直线的位置关系例2 (1)(2015·广东)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A ．l 与l 1，l 2都不相交 B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交(2)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列判断错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行 D ．MN 与A 1B 1平行(3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)答案(1)D (2)D (3)②④解析(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l 至少与l1，l2中的一条相交．(2)连接B1C，B1D1，如图所示，则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，又BD∥B1D1，∴MN∥BD.∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，故选D.(3)图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以图②④中GH与MN异面．思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3(2)(2016·南昌一模)已知a、b、c是相异直线，α、β、γ是相异平面，则下列命题中正确的是( )A ．a 与b 异面，b 与c 异面⇒a 与c 异面B ．a 与b 相交，b 与c 相交⇒a 与c 相交C ．α∥β，β∥γ⇒α∥γD ．a ⊂α，b ⊂β，α与β相交⇒a 与b 相交 答案 (1)B (2)C解析 (1)在空间中，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ，c 可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．(2)如图(1)，在正方体中，a 、b 、c 是三条棱所在直线，满足a 与b 异面，b 与c 异面，但a ∩c ＝A ，故A 错误；在图(2)的正方体中，满足a 与b 相交，b 与c 相交，但a 与c 不相交，故B 错误；如图(3)，α∩β＝c ，a ∥c ，则a 与b 不相交，故D 错误．题型三 求两条异面直线所成的角例3 (2016·重庆模拟)如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成的角为________．答案π3解析 如图，将原图补成正方体ABCD －QGHP ，连接GP ，则GP ∥BD ，所以∠APG 为异面直线AP 与BD 所成的角， 在△AGP 中，AG ＝GP ＝AP ， 所以∠APG ＝π3.引申探究在本例条件下，若E ，F ，M 分别是AB ，BC ，PQ 的中点，异面直线EM 与AF 所成的角为θ，求cos θ的值．解 设N 为BF 的中点，连接EN ，MN ，则∠MEN 是异面直线EM 与AF 所成的角或其补角． 不妨设正方形ABCD 和ADPQ 的边长为4， 则EN ＝5，EM ＝26，MN ＝33. 在△MEN 中，由余弦定理得cos ∠MEN ＝EM 2＋EN 2－MN 22EM ·EN＝24＋5－332×26×5＝－130＝－3030. 即cos θ＝3030. 思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三步法 (1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A.16B.36C.13D.33 答案 B解析 画出正四面体ABCD 的直观图，如图所示．设其棱长为2，取AD 的中点F ， 连接EF ，设EF 的中点为O ，连接CO ， 则EF ∥BD ，则∠FEC 就是异面直线CE 与BD 所成的角． △ABC 为等边三角形， 则CE ⊥AB ， 易得CE ＝3， 同理可得CF ＝3， 故CE ＝CF .因为OE ＝OF ，所以CO ⊥EF . 又EO ＝12EF ＝14BD ＝12，所以cos ∠FEC ＝EOCE＝123＝36.16．构造模型判断空间线面位置关系典例 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ③若m ⊥α，n ∥β，m ⊥n ，则α∥β； ④若m ⊥α，n ∥β，α∥β，则m ⊥n . 其中所有正确的命题是________．思想方法指导 本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误．对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．解析借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α、β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．答案①④1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则“α∥β”是“a⊥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若a⊂α，b⊥β，α∥β，则由α∥β，b⊥β⇒b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；若a⊥b，a⊂α，b⊥β，则b⊥α或b∥α或b⊂α，此时α∥β或α与β相交，所以“α∥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.2．(2016·福州质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线( )A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条答案 D解析在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1、EF、BC分别有交点P、M、N，如图，故有无数条直线与直线A1B1、EF、BC都相交．3．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l ( ) A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．互为异面直线答案 C解析 不论l ∥α，l ⊂α，还是l 与α相交，α内都有直线m 使得m ⊥l .4．在四面体ABCD 的棱AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如果EF 与HG 交于点M ，则( )A ．M 一定在直线AC 上B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在AC 上，也可能在BD 上 D ．M 既不在AC 上，也不在BD 上 答案 A解析 由于EF ∩HG ＝M ，且EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ACD ，所以点M 为平面ABC 与平面ACD 的一个公共点，而这两个平面的交线为AC ，所以点M 一定在直线AC 上，故选A.5．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与PA 所成角的余弦值为( ) A.255B.55C.45D.35答案 B解析 因为四边形ABCD 为正方形，故CD ∥AB ，则CD 与PA 所成的角即为AB 与PA 所成的角，即为∠PAB .在△PAB 内，PB ＝PA ＝5，AB ＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22×PA ×AB ＝5＋4－52×5×2＝55，故选B. 6．下列命题中，正确的是( )A ．若a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 是异面直线B ．若a ，b 是两条直线，且a ∥b ，则直线a 平行于经过直线b 的所有平面C ．若直线a 与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D ．若直线a ∥平面α，点P ∈α，则平面α内经过点P 且与直线a 平行的直线有且只有一条答案 D解析对于A，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故A错误．对于B，设a，b确定的平面为α，显然a⊂α，故B错误．对于C，当a⊂α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误．易知D正确．故选D.7．(2016·南昌高三期末)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形．∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝2，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值为________．答案5 2解析连接A1B，将△A1BC1与△CBC1同时展平形成一个平面四边形A1BCC1，则此时对角线CP ＋PA1＝A1C达到最小，在等腰直角三角形△BCC1中，BC1＝2，∠CC1B＝45°，在△A1BC1中，A1B ＝40＝210，A1C1＝6，BC1＝2，∴A1C21＋BC21＝A1B2，即∠A1C1B＝90°.对于展开形成的四边形A1BCC1，在△A1C1C中，C1C＝2，A1C1＝6，∠A1C1C＝135°，由余弦定理有，CP＋PA1＝A1C ＝2＋36－122cos 135°＝50＝5 2.8.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC 的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.9．(2015·浙江)如图，三棱锥ABCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．答案 78解析 如图所示，连接DN ，取线段DN 的中点K ，连接MK ，CK .∵M 为AD 的中点， ∴MK ∥AN ，∴∠KMC 为异面直线AN ，CM 所成的角． ∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点，由勾股定理求得AN ＝DN ＝CM ＝22， ∴MK ＝ 2. 在Rt△CKN 中，CK ＝22＋12＝ 3.在△CKM 中，由余弦定理，得cos∠KMC ＝CM 2＋MK 2－CK 22CM ×MK＝22＋22－322×22×2＝78. *10.(2017·郑州质检)如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是________．①BM 是定值；②点M 在某个球面上运动； ③存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE . 答案 ③解析 取DC 中点F ，连接MF ，BF ，MF ∥A 1D 且MF ＝12A 1D ，FB ∥ED 且FB ＝ED ，所以∠MFB ＝∠A 1DE .由余弦定理可得MB 2＝MF 2＋FB 2－2MF ·FB ·cos∠MFB 是定值，所以M 是在以B 为圆心，MB 为半径的球上，可得①②正确；由MF ∥A 1D 与FB ∥ED 可得平面MBF ∥平面A 1DE ，可得④正确；A 1C 在平面ABCD 中的投影与AC 重合，AC 与DE 不垂直，可得③不正确．11.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．证明 如图，连接BD ，B 1D 1，则BD ∩AC ＝O ， ∵BB 1綊DD 1，∴四边形BB 1D 1D 为平行四边形，又H ∈B 1D ，B 1D ⊂平面BB 1D 1D ，则H ∈平面BB 1D 1D ，∵平面ACD 1∩平面BB 1D 1D ＝OD 1，∴H ∈OD 1.即D 1、H 、O 三点共线．12.如图所示，等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝2，DA ⊥AC ，DA ⊥AB ，若DA ＝1，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．解 如图所示，取AC 的中点F ，连接EF ，BF ，在△ACD 中，E 、F 分别是AD 、AC 的中点， ∴EF ∥CD .∴∠BEF 或其补角即为异面直线BE 与CD 所成的角． 在Rt△EAB 中，AB ＝AC ＝1，AE ＝12AD ＝12，∴BE ＝52. 在Rt△EAF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，∴EF ＝22. 在Rt△BAF 中，AB ＝1，AF ＝12，∴BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，cos∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010.∴异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. *13.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q .求证：(1)D 、B 、F 、E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线． 证明 (1)如图所示，因为EF 是△D 1B 1C 1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面．即D、B、F、E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，则R∈α且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．。
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2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系试题理新人教版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015·湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则( )A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析直线l1，l2是异面直线，一定有l1与l2不相交，因此p是q的充分条件；若l1与l2不相交，那么l1与l2可能平行，也可能是异面直线，所以p不是q的必要条件.故选A. 答案 A2.(2017·郑州联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.答案 D3.给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是( ) A.① B.①④ C.②③ D.③④解析显然命题①正确.由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错.命题③中，两个平面重合或相交，③错.三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确.答案 B4.(2017·济南模拟)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( )A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c解析 若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 相交、平行或异面；若a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交、平行或异面；若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ，c 相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C 正确.故选C.答案 C5.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( )A.45B.35C.23D.57解析 连接DF ，则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 为异面直线AE 与D 1F 所成的角.设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a 22·52a ·52a ＝35. 答案 B二、填空题6.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论： ①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________(填序号).解析 A ，M ，C 1三点共面，且在平面AD 1C 1B 中，但C ∉平面AD 1C 1B ，C 1∉AM ，因此直线AM 与CC 1是异面直线，同理AM 与BN 也是异面直线，①②错；M ，B ，B 1三点共面，且在平面MBB 1中，但N ∉平面MBB 1，B ∉MB 1，因此直线BN 与MB 1是异面直线，③正确；连接D 1C ，因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.答案 ③④7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.解析 取CD 的中点H ，连接EH ，FH .在正四面体CDEF 中，由于CD ⊥EH ，CD ⊥HF ，且EH ∩FH ＝H ，所以CD ⊥平面EFH ，所以AB ⊥平面EFH ，则平面EFH 与正方体的左右两侧面平行，则EF 也与之平行，与其余四个平面相交.答案 48.(2014·全国Ⅱ卷改编)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为________.解析 如图所示，取BC 中点D ，连接MN ，ND ，AD .∵M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，∴MN 綉12B 1C 1.又BD 綉12B 1C 1， ∴MN 綉BD ，则四边形BDNM 为平行四边形，因此ND ∥BM ，∴∠AND 为异面直线BM 与AN 所成的角(或其补角).设BC ＝2，则BM ＝ND ＝6，AN ＝5，AD ＝5，在△ADN 中，由余弦定理得cos ∠AND ＝ND 2＋AN 2－AD 22ND ·AN ＝3010. 故异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为3010. 答案 3010 三、解答题9.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点.问：(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由；(2)D 1B 和CC 1是否是异面直线？说明理由.解 (1)AM ，CN 不是异面直线.理由：连接MN ，A 1C 1，AC .因为M ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1.又因为A 1A 綉C 1C ，所以四边形A 1ACC 1为平行四边形，所以A 1C 1∥AC ，所以MN ∥AC ，所以A ，M ，N ，C 在同一平面内，故AM 和CN 不是异面直线.(2)直线D 1B 和CC 1是异面直线.理由：因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，所以B ，C ，C 1，D 1不共面.假设D 1B 与CC 1不是异面直线，则存在平面α，使D 1B ⊂平面α，CC 1⊂平面α，所以D 1，B ，C ，C 1∈α，这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾.所以假设不成立，即D 1B 和CC 1是异面直线.10.(2017·成都月考)如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点.已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求： (1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值.解 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23， 三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝43 3.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE 是异面直线BC 与AD 所成的角(或其补角).在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝22＋22－22×2×2＝34. 故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则点A ，B ，C ，D ，E 共面；③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 解析 ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A ，B ，C ，但是若A ，B ，C 共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.答案 B12.若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A.l 1⊥l 4B.l 1∥l 4C.l 1与l 4既不垂直也不平行D.l 1与l 4的位置关系不确定 解析 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，记l 1＝DD 1，l 2＝DC ，l 3＝DA .若l 4＝AA 1，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，此时l 1∥l 4，可以排除选项A 和C.若取C 1D 为l 4，则l 1与l 4相交；若取BA 为l 4，则l 1与l 4异面；取C 1D 1为l 4，则l 1与l 4相交且垂直.因此l 1与l 4的位置关系不能确定.答案 D13.如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________.解析 取DE 的中点H ，连接HF ，GH .由题设，HF 綉12AD . ∴∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角).在△GHF 中，可求HF ＝2，GF ＝GH ＝6，∴cos ∠HFG ＝2＋6－62×2×6＝36. 答案36 14.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点.(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值.解 (1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4，所以四棱锥O －ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83. (2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE .又M 为OA 中点，∴ME ∥OC ， 则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5， ∵(2)2＋(3)2＝(5)2，∴△DEM 为直角三角形，∴tan ∠EMD ＝DE EM ＝23＝63. ∴异面直线OC 与MD 所成角的正切值为63.。