高二数学 (112)
高二数学数列公式(201911新)
题型一：已知数列的前几项求其通项公式
1、等差形式的数列：
①３，６，９，１２
②0,-2,-4,-6
③ 2, 5,2 2, 11
④31 ,四、数列的 Nhomakorabea调性:若an1 an对任意的正整数n都成立, 则数列{an }可 称为递增数列;若an1 an对任意的正整数n都成立, 则数列{an }可称为递减数列.若an1 an对任意的正 整数n都成立,则数列{an }可称为常数列
在等差数列中，d>０（d＜０）是递增（减）数 列;d=0是常数列． 在等比数列中,当a1 0且q 1或者 a1 0且0 q 1时是递增数列; 当a1 0且0 q 1或者a1 0且q 1 时是递减数列.
如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用 一个公式来表示, 那么这个公式称为数列的通 项公式.记为: an f (n),n N
等差数列的通项公式是: an a1 (n 1)d am (n m)d
等比数列的通项公式是: an a1qn1 amqnm
期末复习
数列的概念、通项公式和递推公式
一、数列的概念:
1.按一定次序排成的列数称为数列． 2.其实数列中的项是关于项数的一种特殊的函数
关系，只是定义域是自小到大的正整数而已． 3.表示方法主要有：通项公式法，递推公式法，
前n项和法,和图像法等．(图像是自变量取正 整数的一些孤立的点)
二、数列的通项公式:
三、递推公式:
已知数列{an}的第一项(或前几项); 且任一项an与它的前一项an 1 (或前 几项)间的关系可以一个公式来表示
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机械可靠性基础（2学时） 掌握怠速控制阀的结构原理；结合Auto
人教版高二数学第一学期公式定理总结
人教版高二数学第一学期公式定理总结人教版高二数学第一学期公式定理总结1.1-1.3S扇形12lR弧长RS柱2R2RlS锥RRlS台RR"RlR"lS球4RV柱ShV椎V台V 球Sh22222SS"R3SS"hS等边34a22.1-2.33.1-3.3垂直K1K21相交A1A1B1B2B2B2C1C2平行K1K2A1A2(重合都)C1C2AB22平行距离d4.1-4.3标准方程某aybr(某,y)圆上点a,b圆心一般方程某yD某EyF0D,E)圆心(22DE4F半径12某某yyz空间两点距选修1-1扩展阅读：高中数学公式及定理总结乘法与因式分解a^2-b^2=(a+b)(a-b)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b^2-4ac)/2a-b-√(b^2-4ac)/2a根与系数的关系某1+某2=-b/a某1某某2=c/a注：韦达定理判别式b^2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b^2-4ac>0注：方程有两个不等的实根b^2-4ac1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=n2(n+1)2/41某2+2某3+3某4+4某5+5某6+6某7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b^2=a^2+c^2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(某-a)^2+(y-b)^2=^r2注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程某^2+y^2+D某+Ey+F=0注：D^2+E^2-4F>0抛物线标准方程y^2=2p某y^2=-2p某某^2=2py某^2=-2py 直棱柱侧面积S=c某h斜棱柱侧面积S=c"某h正棱锥侧面积S=1/2c某h"正棱台侧面积S=1/2(c+c")h"圆台侧面积S=1/2(c+c")l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi某r2圆柱侧面积S=c某h=2pi某h 圆锥侧面积S=1/2某c某l=pi某r某l弧长公式l=a某ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2某l某r锥体体积公式V=1/3某S某H圆锥体体积公式V=1/3某pi某r2h斜棱柱体积V=S"L注：其中,S"是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s某h圆柱体V=pi某r2h定理86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似（ASA）92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的某某102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的某某103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的某某104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
112 直线的倾斜角、斜率及其关系课件-23学年高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册
§1.1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系聚焦知识目标1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程.2.理解直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系.3.掌握过两点的直线斜率的计算公式.数学核心素养数学抽象、数学运算、逻辑推理、直观想象环节一情境引入问题哪个山坡较陡？你的依据是什么？yx引入大家知道，在平面直角坐标系上有很多不同的直线①过原点O 的直线有无数多条，如图(1)所示.②与x 轴的正方向所成的角为30度的直线也有无数多条，如图(2)所示.思考那么，它们的区别在哪个地方呢？解答它们的区别在于位置的不同思考1如何确定一条直线在直角坐标系的位置呢?分析由例子得知∶①已知一点的直线是不确定的；②已知直线的方向的直线是不确定的.结论已知两点或已知一点和方向问题2如何表示直线方向(或者倾斜程度呢)?结论用角画环节二倾斜角概念概念定义在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角.α是直线的倾斜角规定当直线与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0°.练习下列图中标出的直线的倾斜角对不对?如果不对，违背了定义中的哪一条?想一想你认为下列说法对吗?1.所有的直线都有唯一确定的倾斜角与它对应.2.每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线.直线的倾斜角范围α是锐角α是直角α是钝角当直线和x 轴平行或重合时,它的倾斜角为0°结论由此我们得到直线倾斜角α的范围为：α∈[0°，180°).环节三斜率问题斜率的引入日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量?坡度（比）=升高量前进量(即坡角的正切值)直线斜率的定义倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.斜率通常用k表示，即：k=tanα,0°≤α<180°且α≠90°注意倾斜角是90°的直线没有斜率.例直线l的倾斜角为45°,则斜为:k=tan45°=1.直线l的倾斜角为120°，则斜率为：k=tan120∘=-.环节四倾斜角与斜率关系关于直线的斜率，注意以下几点：(1)倾斜角是90°的直线没有斜率；(2)倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；(3)所有的直线都有倾斜角，但不一定有斜率；(4)倾斜角α∈[0°,180°),而斜率可为一切实数;(5)倾斜角从几何直观刻画直线的方向，斜率从代数刻画直线的方向.α:0° →90° ,k:0→+∞;(2)当α是钝角时,k<0,且α:90° →180° ,k:-∞ →0;(3)倾斜角互补，斜率互为相反数.斜率与倾斜角的关系辨析练习判断下列命题是否正确：①直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanα.②直线的斜率的范围是(-∞,+∞).③任一条直线都有倾斜角，所以任一条直线都有斜率.④直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大.⑤两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等⑥平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180°.例1.如图，直线 l₁、l₂、l₃的斜率分别是a、b、c，试比较斜率的大小.答案b>c>a 考查了在图象背景下倾斜角与斜率的关系例2.若α=60°,则k= ;若=−s则α=考查了在定值背景下倾斜角与斜率的互求关系例3.若α∈(30°,60°),则k∈ ;若∈ −3,−33,则α∈ .考查了在范围背景下倾斜角与斜率Array的互求关系若k∈(-1,1),则α的取值范围 ;若α∈(60°,150°),则k的取值范围 .环节五两点确定直线斜率探究两点确定的直线斜率如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义k=tanα求出直线的斜率;如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，斜率就是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢?已知两点 P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)(其中x₁≠x₂),求直线 P₁P₂的斜率?当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公1式还适用吗?为什么?=2−12−1 Array斜率不存在，因为分母为0.已知直线上两点Z,a、Z,a运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A、B的顺序有关吗?2B=2−21−1=B=2−21−1与A、B两点的顺序无关.经过两点Z Z,Z,a a,a的直线的斜率公式：=2−12−1(或=1−21−2），1≠2(1)与两点顺序无关；(2)当直线与y轴平行或重合时，直线斜率不存在，公式不适用；(3)直线的斜率可通过直线上任意两点的坐标表示.例3. 已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2),求直线AB、BC、CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是什么角?例4已知直线的斜率为k=2,A(3,5),B(x,7),C(-1,y)在直线上,求x和y.x=4,y=-3自探直线l的倾斜角是连接(3，-5)，(0，-9)两点的直线的倾斜角的两倍，求直线l的斜率.环节六直线的倾斜角、斜率、方向向量的关系直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系由正切函数的概念可知，倾斜角不是2的直线，它的斜率k和它的倾斜角a满足k=tan （其中≠2 .如图，结合正切函数的图象与性质，我们不难发现斜率k与倾斜角α有如下关系：当∈ 0,2时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大；当∈2,g时，斜率k<0，且k随倾斜角α的增大而增大；当=2时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在.如图1-9，在直线l 上任取两个不同的点 Z Z ,Z ,a a,y ₂).由平面向量的知识可知，向量 12是直线l 的方向向量，它的坐标是 a −Z ,a −Z ,直线的倾斜角α、斜率k 、方向向量 12分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x 轴的倾斜程度.它们之间的关系是x y l =2−12−1=tan (其中 Z ≠a .12−112= 1,2−12−1 = 1, 结论 1.若直线l 的斜率为k ，则它的一个方向向量的坐标为(1，k).2.若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为(x ，y)(x ≠0)则k=例5 已知直线l的斜率为2，求它的一个方向向量的坐标.设Z Z,Z,a a,a(其中Z≠a 为直线l上的两点，则直线l的一个方向向量=a−Z,a−Z.由经过两点的直线斜率的计算公式，可得2=2−12−1.即a−Z=2a−Z.所以=a−Z,a−Z=a−Z1,2.因此，(1，2)是直线l的一个方向向量的坐标.根据下列条件，求直线l的倾斜角；(1)斜率为−3;(2)经过A(-2,0),B(-5,3)两点;(3)一个方向向量为12= 2,233 .设直线l的倾斜角为a.(1)因为直线l的斜率为3,所以 tan=− 3. 又因为0≤a<π,所以 =23.(2)由经过两点的直线斜率的计算公式，可得直线l的斜率 =3−0−5−−2 =−1,又因为0≤a<π,所以 =34.(3)由直线l的一个方向向量为 12= 2,233, 可得斜率 =2332 =33,环节七学以致用1.已知下列直线的倾斜角α，研究它们的斜率k的取值情况；(1) α=0;3=2;2.已知直线a,b,c的斜率分别为3,1,-2,倾斜角分别为a,β,y.按照从大到小的顺序排列a,β,γ .3.已知直线l的一个方向向量v=(3，1)，求直线l的斜率.4.已知直线l的斜率为-2，求直线l的一个方向向量的坐标.5.已知△A B C的三个顶点分别为A(-1,0),B(1,2),C(2,4),求△ABC的三边所在直线的斜率.。
2021-2022学年高二上学期数学人教A版必修第一册1.1.2空间向量的数量积运算(第二课时)教案
1.1.2空间向量的数量积（第二课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养；2.借助利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求夹角的运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.二、教学重难点1.空间向量的数量积运算2.利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求夹角三、教学过程1.复习回顾1.1复习回顾，巩固新知问题1：前面我们学习了空间向量的数量积的哪些内容？1.两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间 一点，作，则 叫做向量与的夹角，记作 .2. 向量的数量积：已知向量，则 叫做的数量积，记作，即 .规定:零向量与任意向量的数量积等于 .3. 空间向量数量积的性质：（1）设单位向量，则．（2） ．（3） ＝ .【设计意图】通过对平面向量的数量积运算的复习，帮助学生回顾知识点的形成过程，对数量积知识点的复习，巩固学生已学知识点的落实，促进对空间向量数量积运算的理解与掌握.1.2【课前热身--初步应用，理解概念】()()21.303,4,_____,____,2_______.a b a b a b a a b a b ︒==⋅==+⋅-=向量、之间的夹角为，且则O ,OA a OB b ==AOB ∠a b ,a b ,a b a b ⋅a b ⋅=e ||cos ,a e a a e ⋅=<>a b a b ⊥⇔⋅=a a ⋅=【设计意图】创设数学情境，通过简单的实例，让学生运用空间向量数量积的相关知识点解决简单的应用问题2.探究典例，应用知识解决问题例1 如右图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，AB = 5，AD = 3，AA'= 7，∠BAD = 60°，∠BAA'= ∠DAA'= 45°. 求：(1)AB AD；(2) AC'的长（精确到0.1）.【活动预设】学生分析解题思路，教师给出解答示范.【设计意图】巩固空间向量的数量积定义的应用，引导学生思考如何利用空间向量解决立体几何的距离问题，考查学生对空间向量线性运算以及数量积运算律的综合运用，培养学生的数学运算能力，促进数学核心素养的提升.例2 BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，平行四边形ABB1A1、平行四边形BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角.【活动预设】学生先完成分并展示他们的解答，师生共同纠正补充.【设计意图】理解具体的对数符号所表示的含义，并且在探究特例的基础上，遵循从具体到抽象的思路，形成对数概念.例3 在三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，求证：SC⊥AB.【活动预设】学生小组讨论，分析解题思路，然后请小组代表解答，师生共同纠正补充.【设计意图】巩固空间向量的数量积定义的应用，引导学生思考如何利用空间向量解决立体几何的垂直问题，考查学生对空间向量线性运算以及数量积运算律的综合运用，培养学生的数学运算能力，促进数学核心素养的提升。
高二上册数学知识点归纳(非常实用)
高二上册数学学问点归纳（特别好用）从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。
不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。
下面我为大家带来高二上册数学学问点归纳，盼望大家宠爱!高二上册数学学问点一、集合、简易逻辑(14课时，8个)1.集合;2.子集;3.补集;4.交集;5.并集;6.逻辑连结词;7.四种命题;8.充要条件二、函数(30课时，12个)1.映射;2.函数;3.函数的单调性;4.反函数;5.互为反函数的函数图象间的关系;6.指数概念的扩大;7.有理指数幂的运算;8.指数函数;9.对数;10.对数的运算性质;11.对数函数.12.函数的应用举例三、数列(12课时，5个)1.数列;2.等差数列及其通项公式;3.等差数列前n 项和公式;4.等比数列及其通顶公式;5.等比数列前n项和公式四、三角函数(46课时17个)1.角的概念的推广;2.弧度制;3.随意角的三角函数;4，单位圆中的三角函数线;5.同角三角函数的根本关系式;6.正弦、余弦的诱导公式’7.两角和与差的正弦、余弦、正切;8.二倍角的正弦、余弦、正切;9.正弦函数、余弦函数的图象和性质;10.周期函数;11.函数的奇偶性;12.函数的图象;13.正切函数的图象和性质;14.确定三角函数值求角;15.正弦定理;16余弦定理;17斜三角形解法举例五、平面对量(12课时，8个)1.向量2.向量的加法与减法3.实数与向量的积;4.平面对量的坐标表示;5.线段的定比分点;6.平面对量的数量积;7.平面两点间的距离;8.平移六、不等式(22课时，5个)1.不等式;2.不等式的根本性质;3.不等式的证明;4.不等式的解法;5.含确定值的不等式七、直线和圆的方程(22课时，12个)1.直线的倾斜角和斜率;2.直线方程的点斜式和两点式;3.直线方程的一般式;4.两条直线平行与垂直的条件;5.两条直线的交角;6.点到直线的距离;7.用二元不等式表示平面区域;8.简洁线性规划问题.9.曲线与方程的概念;10.由确定条件列出曲线方程;11.圆的标准方程和一般方程;12.圆的参数方程八、圆锥曲线(18课时，7个)1椭圆及其标准方程;2.椭圆的简洁几何性质;3.椭圆的参数方程;4.双曲线及其标准方程;5.双曲线的简洁几何性质;6.抛物线及其标准方程;7.抛物线的简洁几何性质九、(B)直线、平面、简洁何体(36课时，28个)1.平面及根本性质;2.平面图形直观图的画法;3.平面直线;4.直线和平面平行的判定与性质;5，直线和平面垂直的判与性质;6.三垂线定理及其逆定理;7.两个平面的位置关系;8.空间向量及其加法、减法与数乘;9.空间向量的坐标表示;10.空间向量的数量积;11.直线的方向向量;12.异面直线所成的角;13.异面直线的公垂线;14异面直线的`距离;15.直线和平面垂直的性质;16.平面的法向量;17.点到平面的距离;18.直线和平面所成的角;19.向量在平面内的射影;20.平面与平面平行的性质;21.平行平面间的距离;22.二面角及其平面角;23.两个平面垂直的判定和性质;24.多面体;25.棱柱;26.棱锥;27.正多面体;28.球.十、排列、组合、二项式定理(18课时，8个)1.分类计数原理与分步计数原理.2.排列;3.排列数公式’4.组合;5.组合数公式;6.组合数的两特性质;7.二项式定理;8.二项绽开式的性质十一、概率(12课时，5个)1.随机事务的概率;2.等可能事务的概率;3.互斥事务有一个发生的概率;4.相互独立事务同时发生的概率;5.独立重复试验.选修Ⅱ(24个)十二、概率与统计(14课时，6个)1.离散型随机变量的分布列;2.离散型随机变量的期望值和方差;3.抽样方法;4.总体分布的估计;5.正态分布;6.线性回来十三、极限(12课时，6个)1.数学归纳法;2.数学归纳法应用举例;3.数列的极限;4.函数的极限;5.极限的四那么运算;6.函数的连续性.十四、导数(18课时，8个)1.导数的概念;2.导数的几何意义;3.几种常见函数的导数;4.两个函数的和、差、积、商的导数;5.复合函数的导数;6.根本导数公式;7.利用导数探究函数的单调性和极值;8函数的最大值和最小值十五、复数(4课时，4个)1.复数的概念;2.复数的加法和减法;3.复数的乘法和除法提高数学成果的方法一、课内重视听讲，课后刚好复习承受一种新的学问，主要实在课堂上进展的，所以要重视课堂上的学习效率，找到适合自己的学习方法，上课时要跟住老师的思路，踊跃思索。
高二数学几何概型试题
高二数学几何概型试题1.如图，EFGH是以O为圆心，1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形HOE（阴影部分）内”，则P （B|A）=（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由条件概率及几何概率可知：P（B|A），故选Ａ．【考点】条件概率及几何概率．2.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．【答案】【解析】阴影部分面积为，∴所求概率为.【考点】定积分计算曲边图形的面积，几何概型.3.如图所示的“赵爽弦图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是______________．【答案】【解析】观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为，面积为，故飞镖落在阴影区域的概率．【考点】几何概率．4.已知，直线和曲线有两个不同的交点，他们围成的平面区域为，向区域上随机投以点,点落在内的概率为，若，则实数的取值范围是：【答案】【解析】将直线变形为，可知此直线过定点，为直线的斜率.曲线表示圆心在原点半径为2的上半个圆。
当直线与轴重合时平面区域和区域重合，此时；当直线位置时，区域的面积为,区域面积为，此时。
所以。
【考点】1不等式表示平面区域；2直线过定点问题及直线的斜率；3几何概型概率。
5.如图，在棱长为2的正方体内（含正方体表面）任取一点，则的概率 .【答案】【解析】以为原点为轴建立空间直角坐标系，则，设，则,则，从而.【考点】1.空间向量的数量积；2.几何概型.6.四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点。
在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据几何概型得,取到的点到O的距离大于2的概率：，选C.【考点】几何概型7.有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点，则点到点的距离大于1的概率为．【答案】【解析】空间内到点的距离等于1的点，是在以点为球心，1为半径的球面上，那么距离比1大的点在球的外部，因为基本事件总数是无限的，可以考虑几何概型，即圆柱内半球外部的体积与圆柱的体积比【考点】1、几何体的体积；2、几何概型.8.如图所示的矩形内随机撒芝麻，若落入阴影内的芝麻是628粒，则落入矩形内芝麻的粒数约是【答案】800【解析】由已知中矩形的长和宽可知，长是宽的2倍，根据随机模拟实验的概念，我们易得阴影部分的面积与矩形面积的比例约为芝麻落在阴影区域中的频率，由此我们构造关于S的方程，阴影解方程即可求矩形区域的粒数，故答案为800．【考点】几何概型点评：本题考查的知识点是几何概型与随机模拟实验，利用阴影面积与矩形面积的比例约为黄豆的方程，是解答本题的关键．落在阴影区域中的频率，构造关于S阴影9.取一根长度为米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长度都不小于1米，且以剪得的两段绳为两边的矩形的面积都不大于平方米的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设剪断后的两段绳长分别为x,y，那么可知的概率即为矩形区域的面积为25，那么满足题意的区域为，那么可知由几何概型概率可知为10：25=2：5，故答案为C.【考点】几何概型点评：主要是考查了几何概型的运用，分析区域长度和面积来求解，属于基础题。
高二数学教材中有关距离的问题练习
高二数学教材中有关距离的问题练习题1〔第111页练习第2题)如图,两条异面直线所成的角为θ,在直线a 、b 上分别取E 、F ,A ’E =m ,AF =n ,EF =l ,求公垂线A A ′的长d .解：AF A A EA EF +'+'=,)()(2AF A A EA AF A A EA EF +'+'⋅+'+'=.AF AF A A AF EA AF AF A A A A A A EA A A AF EA A A EA EA EA ⋅+'⋅+'⋅+⋅'+'⋅'+'⋅'+⋅'+'⋅'+'⋅'= ∵ AF AA EA AA ⊥''⊥',, <AF EA ,'>=π—θ〔或θ〕,∴AF EA AF A A EA l ⋅'++'+'=222222222cos m d n mn θ=++, 当E,F 在公垂线同一侧时取负号 当d 等于0是即为“余弦定理〞∴ 2222cos d l m n mn θ=--±. 变式1.:两条异面直线a 、b 所成的角为θ,它们的公垂线段AA 1的长度为d ,在直线a 、b 上分别取点E 、F ,设A 1E ＝m ,AF ＝n ,求证:EF ＝d 2＋m 2＋n 2±2mncosθ(92(26))证实:设经过b 与a 平行的平面为α,经过a 和AA 1的平面为β, α∩β＝c ,那么c ∥a ,因而b ,c 所成的角等于θ,且AA 1⊥c , 又∵AA 1⊥b ⇒AA 1⊥α,由两个平面垂直的性质定理有EG ⊥α.连结FG ,那么EG ⊥FG ,在Rt △EFG 中,EF 2＝EG 2＋FG 2 ∵AG ＝m ,∴在△AFG 中,FG 2＝m 2＋n 2－2mncosθ ∵EG ＝d ,∴EF 2＝d 2＋m 2＋n 2－2mncosθ 如果点F (或E )在点A (或A 1)的另一侧,那么 EF 2＝d 2＋m 2＋n 2＋2mncosθ 因此EF ＝d 2＋m 2＋n 2±2mncosθ.变式2:(P92练习第3题)如图,线段AB,BD 在平面内,B D ⊥AB,线段AC ⊥α,且AB=a,BD=b,AC=c,求C,D 间的距离.222CD a b c =++.变式3: (P106例2)：如图3,甲站在水库底面上的点A 处,乙站在水坝斜面上的点B 处.从A,B 到直线 〔库底与水坝的交线〕的距离AC 和BD 分别为a 和b ,CD 的长为c , AB 的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.解：如图, .AC a BD b CD c AB d ====，，， AB AC CD DB =++222()d AB AC CD DB ==++2222()AB CD BD AC CD AC DB CD DB =+++⋅+⋅+⋅ 2222a c b AC DB =+++⋅2222a c b CA DB =++-⋅αβbaA 1 A E Fdmn GDCB A于是,得22222CA DB a b c d ⋅=++-设向量 CA 与DB 的夹角为θ, 就是库底与水坝所成的二面角. 因此, =++-22222cos .ab a b c d θ库底与水坝所成二面角的余弦值为2222.2a b c d ab++- 变式4: (P107练习第2题)在一个60的二面角的棱长有两点,A B ,,AC BD 分别是在这个二面角的两个平面内,且垂直于线段AB ,又知4,6,8AB cm AC cm BD cm ===,求CD 的长解：由,,CA AB AB BD ⊥⊥,18060120CA BD <>=-=,∴22||()CD CA AB BD =++222||||||268cos120CA AB BD =+++⨯⨯⨯22216482682=++-⨯⨯⨯68=, ||217()CD cm =.变式5:(P113习题3.2A 组第9题)正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,点M 是棱1AA 的中点,点O 是1BD 的中点,求证:OM 是异面直线1AA 与1BD 的公垂线,并求OM 的长.解: 以A 为原点建立坐标系,得以下坐标:111(0,0,0),(0,1,0),(,,)222A B O -,111(0,0,1),(1,0,1),(0,0,)2A D M -.由于110,0OM AA OM BD ⋅=⋅=,所以11,OM AA OM BD ⊥⊥.||OM ==题2 (P119复习参考题B 组第3题)如图,在四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 是直角梯形,AB垂直于AD 和AC,侧棱S A ⊥底面ABCD,且SA=AB=BC=1,AD=0.5.(1)四棱锥S-ABCD 的体积；〔2〕求面SCD 与面SAB 所成二面角的大小.解：〔1〕直角梯形ABCD 的面积为110.53()1224S BC AD AB +=+=⨯=底面.∴四棱锥S-ABCD 的体积为113113344V SA S =⋅⋅=⨯⨯=底面.(2)建立如图空间直角坐标系Axyz,那么1(0,1,0),(,0,0),(1,1,0),(0,0,1)2B DC S ,11(,0,0),(1,1,0),(,0,1)22AD SC SD ===-.∵SA ⊥平面ABCD,AD ⊥AB, ∴向量AD 是面SAB 的一个法向量. 设平面SCD 的一个法向量为(,,)n x y z =,由,n SC n SD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩0,0n SC n SD ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩0,2,102x y z x z y z x z +-=⎧=⎧⎪⇒⇒⎨⎨=--=⎩⎪⎩ 令1z =,那么(2,1,1)n =-.S CADB120(1)012cos,13||||2AD nn nAD n⨯+⨯-+⨯⋅<>===⋅.∴面SCD与面SAB所成二面角的大小cos3arc.变式1:如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中, 90ABC∠=,SA ABCD⊥面，11,.2SA AB BC AD====(1)求证：面SAB⊥面SBC;(2)E点是SC的中点,求证：DE⊥面SBC.变式2:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝90°,AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsin55,又PA⊥平面ABCD,PA＝a,求：(94上海)⑴二面角P－CD－A的大小(用反三角函数表示)；⑵点A到平面PBC的距离.解:如图,在平面ABCD内,过点A作AE⊥CD,垂足为E,连结PE,有PA⊥平面ABCD,由三垂线定理知PE⊥CD,故∠PEA是二面角P－CD－A的平面角在Rt△DAE中,AD＝3a,∠ADC＝arcsin55那么AE＝ADsin∠ADC＝355a在Rt△PAE中,tan∠PEA＝PAAE＝53故二面角P－CD－A的大小为arctan53⑵在平面PAB中,过点A作AH⊥PB,垂足为H,有PA⊥平面ABCD,AB⊥BC,PA⊥BC,那么有BC⊥平面PAB.又AH∩平面PAB,因此BC⊥AH.又AH⊥PB,故AH⊥平面PBC.因此线段AH的长即为点A到平面PBC的距离.在等腰直角△PAB中,AH＝22a,即点A到平面PBC的距离为22a.题3(P114习题3.2B组第3题)如图,在棱长为a的正方体''''OABC O A B C-中,点E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF.(1)求证''A F C E⊥;(2)当三棱锥'B BEF-的体积取得最大时,求二面角'B EF B--的正切值.解:(1)以C为坐标原点,以CO、CB、'CC为x、y、z轴建立空间直角坐标系C-xyz,设AE BF m==,那么''(,,0),(0,,0),(,,),(0,0,)E a m aF a m A a a a C a--,''(,,),(,,)A F a m a C E a m a a=---=--,''220A F C E a am am a⋅=-+-+=,∴''A F C E⊥,即''A F C E⊥.(2)'2111[()]()326B BEFV a a m m a m am-=⋅⋅-⋅=-+PAB CDPAB CDEH当且仅当2am =时,即E,F 分别为AB,BC 中点时, 'B BEF V -最大. 取EF 的中点G,连结BG, 'B G ,那么3(,,0)44a a G ,BG ⊥EF, 'B G ⊥EF,即'BGB ∠是二面角'B EF B --的平面角.又'(,,0),(,,)4444a a a a GB GB a =-=-,∴'''1cos 3||||GB GB BGB GB GB ⋅∠==⋅.即'tan BGB ∠=∴二面角'B EF B --的正切值是题4:(P114习题3.2B 组第2题)在如图的实验装置中,正方形框架的边长都是1, 且平面ABCD 与平面互相垂直.活动弹子M, N 分别在正方形的对角线AC 和BF 上移动,且CM 和BN 假设的长度相等,记CM ＝BN ＝a (0＜a ＜2). (1)求MN 的长； (2)当a 为何值时,MN 的长最小；(3)当MN 长最小时,求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的余弦值.解:以B 为坐标原点,以BA 、BE、BC 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,那么(0,0,0),(1,0,0),(,0,),(,,0)2222B A M a a N a a -, 〔1〕∵(0,,1)22MN a a =-, ∴1||2MN ==. (2) ∵2||MN a ==, ∴当2a =时, min 1||2MN =. (3)由(2)知当M, N 分别为AC 、BF 中点时MN 的长最小,那么1111(,0,),(,,0)2222M N .取MN 的中点G,连结AG , BG ,那么111(,,)244G . ∵AM=AN,BM=BN, G 为MN 中点,∴A G ⊥MN ,BG ⊥MN,即∠AGB 即为二面角α的平面角.∵111111(,,),(,,)244244GA GB =--=---,1cos 3||||GA GB GA GB α⋅==-⋅.所求二面角α的余弦值为13-.AEDA ED变式:如图,正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直.点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动,假设CM ＝BN ＝a (0＜a ＜2)(2022年全国(18)、天津(18乙)) 1．求MN 的长；2．当a 为何值时,MN 的长最小；3．当MN 长最小时,求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小.本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等根底知识,考查空间想象水平和推理论证水平. 解：〔1〕作MP ∥AB 交BC 于点P ,NQ ∥AB 交BE 于点Q ,连接PQ ,依题意可得MP ∥NQ ,且MP ＝NQ ,即MNQP 是平行四边形. ∴MN ＝PQ ,由,CM ＝BN ＝a ,CB ＝AB ＝BE ＝1, AC ＝BF ＝ 2. ∴CP 1＝a 2,BQ 1＝a 2,即CP ＝BQ ＝a 2.MN ＝PQ ＝(1－CP )2＋BQ 2＝(1－a 2)2＋(a2)2＝(a －22)2＋12(0＜a ＜2) ∴MN ＝(a －22)2＋12(0＜a ＜2)〔2〕由〔1〕MN ＝(a －22)2＋12所以,当a ＝22时,MN min ＝22即当M 、N 分别移动到AC 、BF 的中点时,MN 的长度最小,最小值为22〔3〕取MN 的中点G ,连接AG 、BG ,∵AM ＝AN ,BM ＝BN ,∴AG ⊥MN ,BG ⊥MN ,∴∠AGB 即为二面角α的平面角.又AG ＝BG ＝64,所以由余弦定理有cosα＝(64)2＋(64)2－12·64·64＝－13.故所求二面角α＝arccos (－13).题5:(P114习题3.2B 组第1题)如图,四面体DABC 中,AB,BC,BD 两两垂直,且AB=BC=2,点E 是AC 中点;异面直线AD 与BE 所成角为θ,且cos θ=,求四面体DABC 的体积. 解:以B 为坐标原点,以BC 、BA 、BD 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系Bxyz,那么(2,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,1,0)C A E BE =,设(0,0,),(0,2,)D z DA z =-cos ,24DA BE z <>==⋅+. 216, 4.||4z z BE =∴=∴=.∴118(22)2323D ABC V -=⋅⋅⋅⋅=.题6:(P112习题3.2A 组第5题)如图,空间四边形OABC 各边以及AC,BO 的长都是1,点D,E 分别是边OA,BC 的中点,连结DE.(1)计算DE 的长;E(2)求点O 到平面ABC 的距离.解:(1) 22DE DE DE DE ==⋅211()22DE AB AC AB =++- 2111()222OA AC AB =++12(11111)44=++-+=,2DE =. (2) 11111()(),22222AE AO AC AB AO ⋅=+⋅=+=3||||,2AE AO⋅=1cos θθ===. 点O 到平面ABC 的距离是sin 133OH OA θ==⨯=. 题7如图,设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直,且AB ＝BC ＝BD ,∠CBA ＝∠DBC＝120°,求：(91上海)⑴AD 的连线与平面BCD 所成的角； ⑵AD 得连线与直线BC 所成的角； ⑶二面角A －BD －C 的大小 解:⑴过A 在平面ABC 内作AO ⊥BC 于O ,连接DO , ∵ 面ABC ⊥面BCD ,∴ AO ⊥面BCD , 于是∠ADO 就是所求AD 与平面BCD 所成的角,且∠AOD ＝90°.设AB ＝BC ＝BD ＝2,那么AO ＝DO ＝3,△AOD 为等腰直角三角形, ∠ADO ＝45°.⑵注意到BC ⊥AO ,BC ⊥DO ,∴ BC ⊥面AOD.∴ BC ⊥AD ,即BC 与AD 所成交为90°⑶在平面BCD 内作OM ⊥BD 于M ,连接AM∵ AO ⊥面BCD ,由三垂线定理知：AM ⊥BD∴∠AMO 即为二面角A －BD －C 的平面角的补角,计算可得：OM ＝32,又∠AOM ＝90°,AO ＝ 3∴∠AMO ＝arctan 2.于是二面角A －BD －C 的大小为π－arctan 2.A CB D AC BD O M。
2024学年山东省枣庄市第三中学高二上数学期末学业质量监测试题含解析
可得 a8 a16 16, a8a16 14 ，根据等比数列的性质，可得 a6a18 a4a20 a8a16 14
则 a6a18 a8
a4a20 a16
14 a8
14 a16
14(a8 a16 ) a8a16
16 .
故选：B.
10、B
【解题分析】根据正弦定理直接计算可得答案.
a2 b2
∴ x2 a2b2 c2 ， a2 b2
可得 b2 ac ， c2 ac a2 0 ，即 e2 e 1 0 ，又 e 1
解得 5 1 e 1. 2
故选：C. 8、B 【解题分析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.
详解】对于 A，如 a 5,b 10 ，满足条件，但 b2 a2 不成立，故 A 不正确；
A.54
B.71
C.81
D.80
4．焦点坐标为（1，0） 抛物线的标准方程是（ ）
A.y2=-4x
B.y2=4x
的 C.x2=-4y
D.x2=4y
5．已知 F1 ，F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 PF1 PF2 ，线段 PF1 的垂直平分线过 F2 ，
若椭圆的离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2 ，则
x y 4
15．若
x,
y
满足约束条件
x
y
2
，则
z
2x
y
的最小值为________.
y 3
16．已知函数 f（x）=ex-2x+a 有零点，则 a 的取值范围是___________ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12
分）已知椭圆 C :
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一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
（1） ，
（2） .
2．二项展开式的通项公式：
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
4_ 二项式系数表（杨辉三角）
展开式的二项式系数，当 依次取 …时，二项式系数表，表中每行两端都是 ，除 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
课题：10．4二项式定理(四)
教学目的：
1 掌握二项式定理和二项式系数的性质，
2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
5．在 的展开式中，奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则 等于（）
A.0B. C. D.
6．求和： ．
7．求证：当 且 时， ．
8．求 的展开式中系数最大的项
答案：1.45, 02.0．提示：
3.B4.C5.D6.
7. (略) 8.
四、小结：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用
5．二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是 ， ， ，…， ． 可以看成以 为自变量的函数 ，定义域是 ，例当 时，其图象是 个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵ ）．
直线 是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值：当 是偶数时，中间一项 取得最大值；当 是奇数时，中间两项 ， 取得最大值．
，
∴ ．
例3．已知： 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大 ．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项
解：令 ，则展开式中各项系数和为 ，
又展开式中二项式系数和为 ，
∴ ， ．
（1）∵ ，展开式共 项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴ ， ，
（2）设展开式中第 项系数最大，则 ，
1． 展开式中 的系数为，各项系数之和为．
2．多项式 （ ）的展开式中， 的系数为
3．若二项式 （ ）的展开式中含有常数项，则 的最小值为（）
A.4B.5C.6D.8
4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（）
A.低于5％B.在5％～6％之间
C.在6％～8％之间D.在8％以上
∴ ，∴ ，
即展开式中第 项系数最大， ．
例4．已知 ，
求证：当 为偶数时， 能被 整除
分析：由二项式定理的逆用化简 ，再把 变形，化为含有因数 的多项式
∵ ，
∴ ，∵ 为偶数，∴设 （ ），
∴
（ ），
当 = 时， 显然能被 整除，
当 时，（ ）式能被 整除，
所以，当 为偶数时， 能被 整除
三、课堂练习：
五、课后作业：
1．已知 展开式中的各项系数的和等于 的展开式的常数项，而 展开式的系数的最大的项等于 ，求 的值
答案：
2．设求：① ② ．答案① ；②3．求值： ．
答案：
4．设 ，试求 的展开式中：
（1）所有项的系数和；
（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和
答案：（1） ；
（2）所有偶次项的系数和为 ；
（3）各二项式系数和：
∵ ，
令 ，则
二、讲解范例：
例1．设 ，
当 时，求 的值
解：令 得：
，
∴ ，
点评：对于 ，令 即 可得各项系数的和 的值；令 即 ，可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例2．求证： ．
证（法一）倒序相加：设 ①
又∵ ②
∵ ，∴ ，
由①+②得： ，
∴ ，即 ．
（法二）：左边各组合数的通项为
所有奇次项的系数和为
六、板书设计（略）
七、课后记：