第3章轨道力学分析
轨道力学理论与卫星轨道设计关联性分析
轨道力学理论与卫星轨道设计关联性分析摘要：本文旨在探讨轨道力学理论与卫星轨道设计之间的关联性。
首先，简要介绍了轨道力学理论的基本概念和原理。
然后，讨论了轨道力学理论在卫星轨道设计中的应用和意义。
接着，分析了轨道力学理论对卫星轨道稳定性、卫星机动性能以及卫星轨道遥测和控制等方面的影响。
最后，展望了轨道力学理论和卫星轨道设计在未来的发展方向。
关键词：轨道力学理论、卫星轨道设计、卫星稳定性、卫星机动性能、轨道遥测与控制1. 引言轨道力学理论是研究天体运动规律的理论体系，它不仅适用于天体物理学领域，也在卫星轨道设计中扮演重要角色。
卫星轨道设计是一个复杂而关键的过程，涉及到卫星的轨道稳定性、机动性能以及轨道遥测和控制等方面。
轨道力学理论通过对天体运动规律的研究，为卫星轨道设计提供了理论基础和指导。
2. 轨道力学理论的基本概念和原理轨道力学理论研究的对象是天体的运动规律，其中最基本的概念是轨道和行星运动。
轨道是天体在引力作用下沿着一定轨迹运动的路径，而行星运动则是描述行星绕恒星旋转的运动规律。
轨道力学理论的基本原理包括开普勒三定律和牛顿引力定律。
开普勒三定律描述了天体运动的基本规律，其中包括行星轨道的椭圆形状和行星与恒星之间的相对位置关系。
牛顿引力定律则描述了天体之间的引力作用，可以用来计算天体之间的相对运动。
3. 轨道力学理论在卫星轨道设计中的应用和意义轨道力学理论在卫星轨道设计中起到了重要的作用。
首先，通过对轨道力学理论的研究，可以选择合适的轨道类型和参数来满足卫星任务的需求。
不同的轨道类型包括地球同步轨道、太阳同步轨道和静止轨道等，每种轨道类型都有其特定的应用场景和要求。
其次，轨道力学理论还用于计算卫星的轨道稳定性和机动性能。
轨道的稳定性包括长期稳定性和短期稳定性，需要考虑引力摄动和气动摄动等因素。
卫星的机动性能则涉及到轨道调整、轨道变化和轨道捕获等问题。
此外，轨道力学理论还可以用于卫星碰撞避免和轨道遥测与控制等方面的设计。
铁道工程电子教材-3.轨道结构力学分析
第一节概述轨道结构力学分析，就是应用力学的基本理论，结合轮轨相互作用的原理，分析轨道在机车车辆不同的运营条件下所发生的动态行为，即它的内力和变形分布；对主要部件进行强度检算，以便加强轨道薄弱环节，优化轨道工作状态、提高轨道承载能力，最大眼度地发挥既有轨道的潜能，以尽可能少的投入取得尽可能高的效益。
此项工作还可以对轨道结构参数进行最佳匹配设计，为轨道结构的合理配套和设计开发新型轨道结构类型及材料提供理论依据。
因此，轨道结构力学分析是设计、检算和改进轨道结构的理论基础。
随着铁路运输向高速、重载方向的发展，运量大、密度高的状况都将对轮轨运输系统提出更多、更新的要求。
行车速度愈高，安全问题愈突出，要保证高速列车运行平稳、舒适、不颠覆、不说轨。
运载重量愈大，轮轨之间的动力作用越强，对轨道结构的破坏作用也越严重。
因此，进一步深入研究轮轨相互动力作用规律，寻求降低轮轨相互作用的途径，对于保证轨道的强度和稳定，减少维修工作量，延长设备使用寿命都具有十分重要的现实意义。
分析轮轨相互作用的动力响应，首先应建立一个能较真实地反映轨道结构和机车车辆相互作用基本力学特征的模型，模型的选用取决于研究问题的侧重点及分析的目的，抓住主要环节，略去次要因素，既要求计算简单又要求有必要的精度，历来是简化分析模型的一条根本原则。
在研究轨道结构的动力响应时，人们往往以轨道部分为主体，在模型中反映得要详细些，而对机车车辆部分则简化作为一个激扰源向主系统输入，按照激扰输入--传递函数(系统特性)--响应输出的模式来分析轨道系统的振动。
结构物的动力行为根本不同于其静力行为，前考比后者要复杂的多。
由于机车车辆簧上及簧下部分质量的振动而产生的，作用于轨道上的动荷载，其频率较整个轨道，尤其是较钢轨的自振频率低很多，且碎石道床具有很高的阻尼消振作用，故而不能充分激发起轨道的振动，这种动荷载对轨道所产生的作用基本上相当于静荷载，基于这种认识，发展起来的传统的轨道强度计算理论与方法已形成比较成热的体系。
终结版 轨道概念
轨道概念全集2011年3月23日绪论：1、轨道不平顺：轨道几何形位误差。
2、静不平顺：是指钢轨的轮轨接触面不平顺，如钢轨轨面不平顺、不连续（接头、道岔）和几何形位误差。
3、动不平顺：是指轨下基础弹性不均匀，如扣件失效、轨下支承失效、路基不均匀以及桥台与路基、路基与隧道等过渡段的弹性不均匀。
4、轴重：指一个轮对承受的机车或车辆的重量。
5、运量：常用机车车辆的通过总重量表示，它是机车车辆轴重及其通过次数的乘积，是反映轴重，速度，行车密度的一项综合指标。
6、疲劳破坏：在交变应力作用下部件的破坏叫疲劳破坏。
7、无砟轨道：用混凝土整体结构或混凝土基础层和乳化沥青砂浆层取代碎石道床的轨道。
第一章轨道结构1、钢轨伤损：是指钢轨在使用过程中发生钢轨折断、裂纹及其他影响和限制钢轨使用性能的伤损。
2、钢轨裂纹：指除钢轨折断外，钢轨部分材料发生分离，形成裂纹。
3、钢轨磨耗：主要是指侧面磨耗和波浪形磨耗。
波形磨耗指轨道顶面出现的波状不均匀磨耗。
4、钢轨二次使用：是指钢轨在繁忙线路上运营以后经过旧轨整修，再把它铺到运量小的铁路上再次使用。
5、钢轨断面打磨：是通过钢轨打磨改变钢轨的轨头形状，以改善轮轨接触状态。
6、钢轨接头：轨道上钢轨与钢轨之间用夹板和螺栓联结，称为轨道接头。
7、构造轨缝：是指受钢轨、接头夹板及螺栓尺寸限制，在构造上能实现的轨端最大缝隙值。
8、伸缩接头：即温度调节器，用以连接轨端伸缩量相当大的轨道及用于跨度大于100m 的桥上无缝线路的钢轨接头。
9、道床厚度：是指直线上钢轨或曲线上内轨中轴线下轨枕底面至路基顶面的距离。
10、道床肩宽：道床宽出轨枕两端的部分成为道床肩宽。
11、道床顶面宽度：与轨枕长度和道床肩宽有关。
12、沥青道床：是用沥青或其他聚合材料将散粒道砟固化成整体或用沥青混凝土代替碎石道床的一种新型轨下基础。
第二章轨道几何形位1、轨道几何形位：指的是轨道各部分的几何形状、相对位置和基本尺寸。
2、轮缘：为防止车轮脱轨，在踏面内侧制成凸缘，称为轮缘3、轮对的轮背内侧距离：轮对上左右两车轮内侧面之间的距离。
轨道结构力学分析及脱轨原因分析
2）横向水平力 横向水平力包括直线轨道上，因车辆蛇行运动，车轮 轮缘接触钢轨顺产生的往复周期性的横向力；轨道方向不 平顺处，车轮冲击钢轨的横向力，在曲线轨道上，主要是 因转向架转向，车轮轮缘作用于钢轨侧面上的导向力，此 项产生的横向力较其他各项为大。还有未被平衡的离心力 等。
3）纵向水平力 纵向水平力包括列车的起动、制动时产生的纵向水平力； 坡道上列车重力的水平分力；爬行力以及钢轨因温度变化不 能自由伸缩而产生的纵内水平力等，温度对无缝线路的稳定 性来说是至关重要的。
二、基本假设和计算模型
1 基本假设
① 轨道和机车车辆均处于正常良好状态，符合铁路技术 管理规程和有关的技术标推。 ② 钢轨视为支承在弹性基础上的等载面无限长梁；轨枕 视为支承在连续弹性基础上的短梁。基础或支座的沉落值与 它所受的压力成正比。 ③ 轮载作用在钢轨的对称面上，而且两股钢轨上的荷载 相等；基础刚度均匀且对称于轨道中心线。 ④ 不考虑轨道本身的自重。
由于钢轨的抗弯刚度很大，而轨枕铺的相对较密，这样 就可近似地把轨枕的支承看作是连续支承、从面进行解析 性的分析。图中的u＝D/a，即把离散的支座刚度D折合成连 续的分布支承刚度u，称之为钢轨基础弹性模量。
三、轨道的基本力学参数
1 钢轨的抗弯刚度EI 2 钢轨支座刚度D
采用弹性点支承梁模型时，钢轨支座刚度表示支座的 弹性持征，定义为使钢轨支座顶面产生单位下沉时，所需 施加于座顶面的力。量纲为力／长度。可把支座看成为 一个串联弹簧。
u=D/a
5 轨道刚度Kt 整个轨道结构的刚度Kt定义为使钢轨产生单 位下沉所需的竖直荷载。
四、结构动力分析的准静态计算
所谓结构动力分析的准静态计算，名义上是动力计算， 而实质上则是静力计算。当由外荷载引起的结构本身的惯 性力相对较小(与外力、反力相比)，基本上可以忽略不计， 而不予考虑时，则可基本上按静力分析的方法来进行，这 就是准静态计算，而相应的外荷载则称为准静态荷载。 由于机车车辆的振动作用，作用在钢轨上的动荷载要 大于静荷载，引起动力增值的主要因素是行车速度、钢轨 偏载和列车通过曲线的横向力，分别用速度系数、偏载系 数和横向水平力系数加以考虑，统称为荷载系数。
轨道结构理论与轨道力学(钢轨))
(2)非金属夹杂物
非金属夹杂物的危害： 夹杂物的硬度不可能与钢材一样，非软即硬。 硬的夹杂物如流水中的石头，在金属发生塑性变 形时会在其周边形成微裂纹。 软的夹杂物如空洞，其周边产生应力集中，也会 出现微裂纹。 夹杂物较多时严重影响钢材的疲劳寿命。
钢中夹杂物分为四类： 氧化物（铁、锰、铝、铬、硅）：氧化亚铁软脆，三 氧化二铝质硬 硫化物：热脆，液态铁中溶解性大，冷却会析于金属 晶粒周边 硅酸盐：质软
合金轨的可焊性问题
钢轨强度等级
80kg / mm2强度等级： U71 、U74普通碳素轨
90kg / mm2强度等级： U71Mn 、U71Cu、 U71MnSi、U71MnSiCu 低合金轨
100kg / m m2强度等级： PD2全长淬火轨、 PD3高碳微钒轨
130kg / mm2强度等级： PD3全长淬火轨
对于锥形踏面，忽略钢轨弯曲，忽略轮轨间的 冲角，简化成为两个垂直圆柱的接触。
1 1 1 B A ( ) 2 Rw Rr
1 1 1 B A ( ) 2 Rr Rw
轮轨接触椭园的长短半轴计算公式为：
3kP a m3 2( B A)
1 2 E
k
3kP bn3 2( B A)
轨高(mm)
比例 底宽(mm) 比例
192
1.26 150 1.14
176
1.16 150 1.14
152
1 132 1
140
0.92 114 0.86
(2)垂向及横向抗弯刚度均有增加， 但垂向抗弯增加更大
型号 垂向
75 4490
60 3217
50 2037
43 1489
【2019年整理】第3章轨道力学分析
k的引进既是为了方程的解表达式简便，又 有明显的物理意义。它叫作钢轨基础与钢轨的 刚比系数。轨道的所有力学参数及相互间的关 系均反映在k中。任何轨道参数的改变都会影响 k，而k的改变又将影响整个轨道的内力分布和 部件的受力分配，因此k又可称为轨道系统特性 参数。 则方程的通解为： y＝C1ekxcoskx＋C2ekxsinkx ＋C3e-kxcoskx＋C4e-kxsinkx 式中C1～C4为积分常数，由边界条件确定。
计算假设： (1)标准结构
(2)对称结构
假设结构和受力均对称，即假设轨道 刚度均匀且对称于轨道中心，机车车辆不 偏载，从而两股钢轨上的静轮载相等，因 此模型都只取轨道的一半 (3)不考虑轨道结构本身的自重
二、计算参数 1.道床系数C
道床系数是表征道床及路基的弹性特 征，定义为使道床顶面产生单位下沉时所 需施加于道床顶面的单位面积上的压力， 量纲为力/长度3。 2.钢轨支座刚度D 钢轨支座刚度表示钢轨支座下扣件和 枕下基础的等效支承刚度，定义为使钢轨 支座顶面产生单位下沉时，所需施加于支 座顶面的力，其量纲为力/长度。
整理得：
； ；
uቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr EI
4
由复变函数理论，此代数方程有四个根，
分别为：
r1
24 u (1 i) 2 EI
r2
24 u (1 i) 2 EI
r3
24 u (1 i) 2 EI
r4
24 u (1 i) 2 EI
令
24 u u 4 k 2 EI 4EI
u D/a
C 、 D 两个参数随轨道类型，路基、道床状 况及环境因素而变化，离散性很大，在进行设计 计算时，应尽可能采用实测值或应用规范。
轨道力学分析
EIy(x)(4) uy(x)
即
y (4)＋ u y＝0
Байду номын сангаас
EI
这是一个四阶常系数线性齐次微分方程。
➢ 2．边界条件
•
在单个荷载作用下，由于假定钢轨无
限长，总可把荷载作用点看作是对称点，
边界条件为
• ① 在钢轨两端无穷远处位移有界
• ② 在荷载作用点钢轨无转角：dy/dx=0
• ③ 轨下基础反力的总和与钢轨荷载相等
• 枕上压力变化曲线与钢轨位移一样。
• 在荷载作用点，各函数取最大值，分别为：
ymax
P0 k 2u
M max
P0 4k
Rm ax
aP0 k 2
➢ 4．轨道刚度Kt
•
轨道刚度Kt定义为使钢轨产生单位下
沉所需的竖直荷载。在荷载作用点，令钢
轨的位移y＝1cm，则所需荷载即为Kt， 由式（3-19）可得：
轨道力学分析
本章要求： ������ 了解轨道结构力学分析的目的、意义和轨 道结构的受力特点； 掌握轨道强度理论（主要是连续弹性基础梁 理论及准静态计算方法）以及轨道部件的强度计 算原理。 了解列车脱轨条件； 了解轨道动力学的发展动态。 重点：轨道强度理论（主要是连续弹性基础梁 理论）
• ������ 难点：轨道强度理论。
上，增加了120km/h<V≤160km/h和
160km/h<V≤200km/h两种情况速度修正系
数。
速度系数
1
2
速度系数
速度范围
牵引种类
电力
内燃
v 120
0.6V/100 0.4V/100
120 v 160
轨道力学(3)
圆，且纯滚线总是在曲线中心线外侧，相距为 y0 。
J
可以证明
y0
r0b0
R
对于一定的轮对
踏面斜率和一定的曲
线半径，纯滚线位置
确定。
轮对中心线与纯滚线间的相对位移 y* 蠕滑力的大小及方向由相对位移 y* y y0 决定。
y是轮对中心线相对线路中心线向外移动的距离。
由于本方法应用于所有曲线，故必须考虑蠕滑力的 非线性特性，具体计算可参考相关资料。
车辆稳态通过曲线的计算理论
将机车车辆简化为平面内的刚体和弹簧模型，求 解列车稳态通过曲线时，作用在轨道上的横向力和 轮对位置等。
假定列车速度恒定不变，曲线半径、超高值、轨 距等轨道几何参数不变，则机车车辆作稳态运动。
将动力学问题简化为静力学问题来分析研究。 （1）大半径蠕滑导向 （2）轮缘力导向
2、动位移、动弯矩和枕上动压力——准静态法
二、轨道力学参数 钢轨支座刚度 D 钢轨基础弹性模量 u 道床系数 C 刚比系数 k
三、钢轨荷载影响系数 速度系数 α 偏载系数 β
第三节 轨道强度检算
一、钢轨强度检算 钢轨应力：动弯应力、温度应力、局部应力、
残余应力、制动应力和附加应力等。 二、轨枕强度检算
二、蠕滑中心法
在摩擦中心法基础上，作了重要改进： （1）采用了锥形踏面 （2）计入轮对的偏载效应 （3）引入蠕滑理论，并考虑了蠕滑系数的非线性
（一）蠕滑率和蠕滑力分析
在20世纪20年代由Carter首先认识并应用于轮轨 动力学中。
蠕滑：转向架通过曲线时，其轮对不可能总是实 现纯滚动，亦即车轮的前进速度不等于其滚动形成的 前进速度，车轮相对于钢轨会产生很微小的滑动。
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我国规范轨道竖向静力分析两种： 弹性点支承梁模型、弹性连续支承梁模型 1.点支承梁模型 点支承梁模型中钢轨是按轨枕間距支承于轨 枕上，故称弹性点支承连续梁计算模型
钢轨
D
P 钢轨支点 弹性系数
a
a
2.连续支承梁模型
若近似地把轨枕的支承看作均匀分布在轨枕 间距内连续支承的钢轨梁，则为连续支承梁模型， 其支承刚度为钢轨基础弹性模量。 模型中钢轨视为支承在弹性基础上的等载面 无限长欧拉梁 。
由材料力学可得：
EIy( x) ( 4) q( x)
将q(x)的表达式代入得连续支承梁模型的 微分方程：
EIy( x) ( 4) uy( x)
即
u y ＋ y＝0 EI
84～120 0.4
混凝土枕轨道D值
特重型、重型
次重型及以下
轨道类型及检算部件
D/ (kN/cm)
钢轨
300 500
轨枕、道床 及基床
700 1200
钢轨
220
轨枕、道床及 基床
420
混凝土枕、橡胶垫板 宽枕、橡胶垫板
注：对于检算钢轨或检算轨枕、道床及路基分别采用不同的最不利的D值。
第二节 钢轨位移、弯矩和枕上压力计算
一、单个静轮载作用下的解 1．微分方程 在连续支承梁模型中，钢轨是连续弹性支 承上的梁，在静载作用下设位移曲线（以下为正）为q(x)。 根据文克尔假定，基 础反力与位移成正比，有 q( x) uy( x) 即假设x坐标处的轨下基础反力与x处的钢 轨位移成正比。这相当于基础是由连续排列， 但相互独立的线性弹簧所组成，每个弹簧的变 形仅决定于作用在其上的力，而与相邻弹簧的 变形无关。
扣件和轨下基础等效刚度相当于两根串联
弹簧。不难得到钢轨支座刚度为：
DP Db D DP Db
一般轨道的扣件刚度远大于枕下基础等效刚 度，这时可近似的得到：
D Db
3. 钢轨基础弹性模量u
采用连续基础梁模型时，钢轨基础弹性模量 表示钢轨基础的弹性特征，定义为使单位长度的 钢轨基础产生单位下沉所需施加在其上的分布力， 量纲为力/长度2。可由钢轨支座刚度除以轨枕间 距a得到：
(1)轨下基础等效刚度： 轨枕相当于由一系列刚度为c的
并联弹簧支承，因此，枕下基础可 等效为一根弹簧，其值为： 考虑到轨枕挠曲变形会降低轨下 l Db cb 基础刚度，引进轨枕挠曲系数α 2 修正。 混凝土枕可看是作刚性的，取＝1； 木枕的弹性很好，取＝0.81～0.92。
l Db cb 2
轨道结构的设计、养护和维修都需要了解
轨道结构各部件的应力和变形。 虽然轨道结构是在动荷载作用下工作，应 力和变形都是动态的，但目前的计算是在 静力分析的基础上再考虑动力因素的影响。 现有的轨道结构设计实质上还是静力强度 设计。 本章主要介绍静力分析理论。
第一节 轨道结构竖向静力分析模型
机车车辆通过时，车轮依次通过，轨 道受轮群的作用。为了求解轮群作用下钢 轨的位移和弯矩，可先求出单个静轮载作 用下的解，再通过叠加原理求轮群作用下 的静力解，然后用速度系数和偏载系数修 正静力分析结果得到动力解。 这种利用静力计算结果乘以大于1的系 数后得到动力计算结果的计算方法称为准 静态计算。其实质是静力计算，而非真正 的动力计算。
计算假设： (1)标准结构
(2)对称结构
假设结构和受力均对称，即假设轨道 刚度均匀且对称于轨道中心，机车车辆不 偏载，从而两股钢轨上的静轮载相等，因 此模型都只取轨道的一半 (3)不考虑轨道结构本身的自重
二、计算参数 1.道床系数C
道床系数是表征道床及路基的弹性特 征，定义为使道床顶面产生单位下沉时所 需施加于道床顶面的单位面积上的压力， 量纲为力/长度3。 2.钢轨支座刚度D 钢轨支座刚度表示钢轨支座下扣件和 枕下基础的等效支承刚度，定义为使钢轨 支座顶面产生单位下沉时，所需施加于支 座顶面的力，其量纲为力/长度。
轨道结构力学分析： ������ （1）（整体结构）应用力学的基本理论，结 合轮轨相互作用的原理，分析轨道在机车车辆不 同的运营条件下所发生的动态行为，即它的内力 和变形分布； ������ （2）（部件）对主要部件进行强度核算，以 便加强轨道薄弱环节，优化轨道工作状态，提高 轨道承载能力，最大限度地发挥既有轨道的潜能， 提高效益。 ������ （3）对轨道结构参数进行最佳匹配设计，为 轨道结构的合理配套和设计开发新型轨道结构类 型及材料提供理论依据。 ������ 因此，轨道结构力学分析是设计、检算和改 进轨道结构的理论基础。(导弹发射、提速、重载 等)
P
u
两种理论变形等计算结果相差不大，但二者
的计算结果相差5～10%，均可满足工程需要。 弹性点支承模型一般须采用以下方法求解： ������ (1)连续梁的三弯矩方程 ������ (2)差分方程（现解方程组方法很多） ������ (3)有限元方法 由于点支承模型求解方法较繁，因此使用较 少，而连续弹性支承模型可求得解析解，计 算方法简单直观，方便实用，故使用较多 （具体求解见后文）。
u D/a
C 、 D 两个参数随轨道类型，路基、道床状 况及环境因素而变化，离散性很大，在进行设计 计算时，应尽可能采用实测值或应用规范。
木枕轨道C、D值
轨道类型 参 数 D (kN/cm) C (MPa/cm)
特重型、重型
150～190 0.6～0.8
次重型
120～150 0.4～0.6
中型、轻型
第三章 轨道力学分析
本章要求： ������ 了解轨道结构力学分析的目的、意义和轨道 结构的受力特点； ������ 掌握轨道强度理论（主要是连续弹性基础梁 理论及准静态计算方法）以及轨道部件的强度计 算原理。 ������ 了解列车脱轨条件； ������ 了解轨道动力学的发展动态。 ������ 重点：轨道强度理论（主要是连续弹性基础 梁理论） ������ 难点：轨道强度理论。