统计学知识简介

统计学知识简介
五、几个重要的连续型随机变量的分布
1 e 若随机变量ξ的密度函数 f ( x ) 2
f(x)
1、正态分布
( x ) 2 22
μ
x
其中μ、σ为常数，σ >0，则称ξ服从正态分布，记为ξ ~ N(μ，σ2)
当μ=0，σ=1时，称ξ服从标准正态分布，记为ξ ~ N(0，1)
统计推断中包括参 数估计和假设检验。 参数估计又分为点 估计和区间估计。
ˆ ，把其观测值作为未知参数θ 选择一个适当的统计量 的估计值，称为点估计。统计量的选取有不同的方法。
(1)矩估计法 随机变量x 的r阶原点矩定义为E(xr)，r阶中心矩定义为 E[(x-E(x))r]。 特例：一阶原点矩为数学期望E(x)，二阶中心距为方差 Var(x)，即E[(x-E(x))2]。
1 n 2 2 2 若S ( X X ) ，则 E ( S ) i n 1 i 1
2
1 n 2 若S (Xi X) 2，则E(S0 ) 2 n i 1
2 0
3、样本协方差
1 n (Xi X)(Yi Y) 无偏 n 1 i 1 1 n (Xi X)(Yi Y) 有偏 n i 1


2
由期望值的性质，可得：Var () E(2 ) 方差满足：
E()
2
Var()
(1)若a为常数，ξ随机变量，则Var(a)=0， Var(aξ)= a2 Var(ξ)， Var(a+ξ)= Var(ξ)
为总体标准差， 与总体的数量指 标有相同的量纲。
(2)若ξ、η为相互独立的随机变量，a、b为常数，则 Var(aξ+bη)=a2 Var(ξ)+b2 Var(η)
统计学知识简介
四、样本分布的数字特征——统计量 1、样本平均数
样本分布的数字特征 称为统计量。
n 1 样本平均数表示样本的平均水平。 X Xi 若 x1 , , x n 为一个样本，定义为： n i 1
n 1 2 2 S ( X X ) 样本方差表示样本相对其样本 i n 1 i 1 平均数的离散程度，定义为：
显然，参数不是随机变量。
统计学知识简介
三、总体分布的数字特征——参数
总体分布是由它的某些 数字特征决定 Nhomakorabea，称之 为参数。常用的参数有 期望值、方差、协方差
3、协方差(Covariance) 是两个随机变量与各自数学期望离差之积的期望， 记为：
Cov(, ) E E() E()
统计学知识简介
二、随机变量的分布
随机变量是用它的 分布来表示的。
对离散型随机变量 ξ，可以用概率函数Pi =P( ξ =xi )表示， 即ξ = xi的概率，其中i=1,2, „。P满足：Pi ≥0，∑Pi =1 对连续型随机变量 ξ，可以用密度函数f(x)表示，近似于ξ 在x附近单位长区间上取值的概率。f(x)满足：f(x)≥0，
ˆ ) ，则称 ˆ 为θ的无偏估计量。 若 E(
通常称
ˆ ) 为系统误差，无偏估计意味着无系统误差。 E(
如：E(x) , E(S2 ) 2
在样本容量相同的情 况下，有效估计量的 值在θ的附近最为集中
2、有效性 ˆ 为θ的所有无偏估计量中方差 若 ˆ 为θ的有效估计量。 最小的，则称
若ξ为随机变量，η=f(ξ)称为随机变量函数，通常也是一 个随机变量。
统计学知识简介
三、总体分布的数字特征——参数
总体分布是由它的某些 数字特征决定的，称之 为参数。常用的参数有 期望、方差、协方差
1、数学期望(Mathematical Expectation) 也称均值，表示总体的平均水平，记为μ或E(•) 离散型随机变量ξ的期望值定义为：E() 连续型随机变量ξ的期望值定义为：E() 期望值满足： (1)若a为常数，ξ随机变量，则E(a)=a，E(aξ)=aE(ξ) (2)若ξ、η为随机变量，a、b为常数，则E(aξ+bη)=aE(ξ)+bE(η) (3)若ξ、η为相互独立的随机变量，则E(ξ•η)=E(ξ)•E(η)
P x
i
i

i

xf (x)dx
统计学知识简介
三、总体分布的数字特征——参数
总体分布是由它的某些 数字特征决定的，称之 为参数。常用的参数有 期望值、方差、协方差
2、方差(Variance) 表示总体相对均值的离散程度，记为σ2或Var(ξ) 定义为： Var () E E()
F分布的上侧分位数
易知，若F~ F(n1，n2)， 则1/F ~ F(n2，n1)。
α
0
Fα(n1,n2) x
统计学知识简介
六、正态总体的样本平均数和样本方差 (1)若总体服从N(μ，σ2)，x1 , „ , xn为一个样本，则
x x ~ N( , / n ) ， ~ N(0 , 1) / n
i
中心极限定理说明，当样本容量n充分大时，相互独立 随机变量和的分布将是正态的，即：
2 2 x ~ N ( n , n ) 或 x ~ N ( , / n) i i 1 n
统计学知识简介
七、估计量的评价标准 1、无偏性
利用统计量的信息 可以对未知参数进 ˆ 作为θ的 行估计， 估计量，其优劣有 一些评价的标准。
正态分布满足： (1)E(ξ) = μ，Var(ξ) = σ2
(2)若ξ ~ N(μ，σ2)，则 ( ) ~ N(0, 1)
(3)若随机变量1， , n 相互独立，i ~ N( i , 2 ，a 1 , , a n 不全为0， i ) 则 a i i ~ N( a i i , a )
其中，S12、S22分别为两个样本的样本方差。
统计学知识简介
六、正态总体的样本平均数和样本方差 (3)中心极限定理：若随机变量x1 , „ , xn相互独立， 且服从同一分布，则
随机变量y n
x
i 1
n
n 的极限分布(n→∞)为标准正态分布， 其中μ、σ2分别为xi的均值和方差。 n
可简化为：Cov(, ) E() E()E() 协方差满足：
协方差可用于度 量两个随机变量 之间相关关系的 密切程度。
(1)若ξ和η独立，则Cov(ξ , η)=0 (2) Cov(ξ , ξ)= Var(ξ)
(3) Cov(a+bξ , c+dη)= bdCov(ξ , η)
显然，参数不是随机变量。



f (x)dx 1，P(a x b) f (x)dx
a
b
若ξ为随机变量，x为任意实数，则称F( x )=P( ξ ≤ x )为 随机变量ξ的分布函数，即ξ ≤ x的概率。 分布函数F (x )满足：0 ≤ F( x ) ≤ 1，F( -∞)=0，F(+∞)=1， P(x1 ≤ ξ ≤ x2)=F( x2 )- F( x1 )
i 1 i 1
统计学知识简介
五、几个重要的连续型随机变量的分布 3、t分布
若随机变量ξ ~ N(0，1)，η ~ χ2(n)，ξ与η相互独立，则称
t 为服从自由度为n的t分布，记为t ~ t(n)。 / n
可以 (1)E(t) = 0 证明： (2)Var(t)随着n的增加而减少，且Var(+∞)=1 (3)当n>30时，t(n)近似于N(0,1) 。
2
x ~ t (n 1) S/ n
(n 1)S2 2 2 ~ ( n 1 ) ，且 x 与 S 相互独立 2
(2)若x1 , „ , xn和y1 , „ , yn是分别取自正态总体N(μ1，σ12)、 N(μ2，σ22)的样本，则
2 2 S1 / 1 F 2 2 ~ F(n1 1 , n 2 1) S2 / 2
2、样本方差
S S2
为样本标准差，它与样本观测值的数量指标有相同的量纲。
显然，由不同的样本可以得到不同的样本平均数和样本方差，因此统 计量是随机变量。可以证明： 2 2
E(X) , E(S )
统计学知识简介
四、样本分布的数字特征——统计量 2、样本方差
样本分布的数字特征 称为统计量。
i 1 i 1 i 1 2 i 2 i n n n
正态分布在统计中具有重要的理论和实践意 义，现实中的许多随机现象都服从或近似服 从正态分布；随着样本容量的增大，很多统 计量近似于正态分布(如 t分布)；许多离散型 随机变量可用正态分布来近似(如二项分布)。
统计学知识简介
五、几个重要的连续型随机变量的分布 2、χ2分布
(2)若随机变量1， , n 相互独立，i ~ N(0 , 1)， 1 n 则 (i ) ~ (n 1)，其中 i n i 1 i 1
2 2 n
f(x)
n=4
n=10
0
2 n 2 n
x
(3)若随机变量1， , n 相互独立，i ~ (n i )，则 i ~ ( n i )
正态分布 t分布
f(x)
0
x
统计学知识简介
五、几个重要的连续型随机变量的分布 4、F分布 若随机变量ξ ~ χ2(n1) ，η ~ χ2(n2)，且ξ与η相互独立，则称
/ n1 为服从第一个自由度为n 、第二个自由 F 1 / n 2 度为n2的F分布，记为F~ F(n1，n2)。
f(x)
统计学知识简介
一、总体、样本与随机变量 二、随机变量的分布 三、总体分布的数字特征——参数 四、样本分布的数字特征——统计量
统计学是研究随机现象的统 计规律的一门科学，已被广 泛地应用于自然科学和社会 科学的各个领域中，成为定 量分析的一种有力工具。