初中数学 第七章 多边形的内角和
初中数学专项多边形内角和的计算方法
初中数学专项多边形内角和的计算方法在初中数学的学习中，多边形内角和的计算是一个重要的知识点。
掌握好这个知识点，不仅能够帮助我们解决各种数学问题，还能培养我们的逻辑思维和空间想象能力。
接下来，让我们一起深入探讨多边形内角和的计算方法。
首先，我们来了解一下什么是多边形。
多边形是由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的封闭图形。
常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等等。
对于三角形，它的内角和是 180°，这是一个基本的常识，也是我们后续推导其他多边形内角和的基础。
那四边形的内角和是多少呢？我们可以通过将四边形分割成两个三角形来计算。
连接四边形的一条对角线，就可以把四边形分成两个三角形。
因为每个三角形的内角和是 180°，所以四边形的内角和就是180°×2 ＝ 360°。
按照同样的方法，我们来计算五边形的内角和。
连接五边形的一个顶点和其他不相邻的顶点，可以把五边形分成三个三角形。
所以五边形的内角和就是 180°×3 ＝ 540°。
通过上面的推导，我们可以发现一个规律：从 n 边形的一个顶点出发，可以引出（n 3）条对角线，把 n 边形分成（n 2）个三角形。
因为每个三角形的内角和是 180°，所以 n 边形的内角和就是（n 2）×180°。
接下来，我们通过几个例子来巩固一下这个公式的应用。
例 1：求六边形的内角和。
根据公式：（n 2）×180°，其中 n ＝ 6，所以六边形的内角和为（6 2）×180°＝ 720°。
例 2：如果一个多边形的内角和是 1080°，那么这个多边形是几边形？设这个多边形是 n 边形，由内角和公式可得：（n 2）×180°＝ 1080°n 2 ＝ 1080°÷180°n 2 ＝ 6n ＝ 8所以这个多边形是八边形。
第七章 第8课时 多边形的内角和与外角和(2)
第8课时多边形的内角和与外角和(2)【基础巩固】1．下列度数可能成为某个多边形的内角和的是( )A．240°B．600°C．1980°D．2180°2．一个六边形，每一个内角都相等，则每个内角的度数为( )A．100°B．120°C．135°D．150°3．五边形的内角和是_______，六边形的内角和是_______．4．一个多边形的内角和为1800°，它是_______边形．5．多边形的边数每增加一条，则它的内角和就增加_______°．6．五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4．求∠CAD的度数．【拓展提优】7．如果一个多边形的内角和是1080°，那么这个多边形是( )A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形8．一个四边形的四个内角中，钝角的个数最多有( )A．1个B．2个C．3个D．4个9．(2012．深圳)如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2的度数为( )A．120°B．180°C．240°D．300°10．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝2∠A，则∠A＝_______度．11．若一个多边形每一个内角都是120°，则这个多边形的边数是_______．12．用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图，用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为．13．若把一个多边形的边数减少一半后，它的内角和是900°，求原来多边形的内角和．14．(1)小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为2012°，小芳立即判断他的结果是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍．你认为正确的内角和应该是多少度？(2)一个多边形除一个内角外，其余各角的和为2012°，则这个内角是多少度？这个多边形的边数是多少？15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，E是BC边上的一点，且∠AEC＝∠BAD．试说明：AE∥DC．16．(2012．青岛)问题提出：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶点，可把原n边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以△ABC的3个顶点和它内部的1个点P，共4个点为顶点，可把△ABC分割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把△ABC分割成3个互不重叠的小三角形．探究二：以△ABC的3个顶点和它内部的2个点P、Q，共5个点为顶点，可把△ABC 分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况：一种情况，点Q在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点Q在△P AC的内部，如图②；另一种情况，点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上．不妨设点Q在P A上，如图③．显然，不管哪种情况，都可把△ABC分割成5个互不重叠的小三角形．探究三：以△ABC的三个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共6个点为顶点，可把△ABC 分割成个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．探究四：以△ABC的三个顶点和它内部的m个点，共(m＋3)个点为顶点，可把△ABC分割成个互不重叠的小三角形．探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共(m＋4)个点为顶点，可把四边形分割成个互不重叠的小三角形．问题解决：以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共(m＋n)个点作为顶点，可把原n边形分割成个互不重叠的小三角形．实际应用：以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？(要求列式计算)参考答案【基础巩固】1．C2．B 3．540°720°4．十二5．180 6．36°【拓展提优】7．B8．C 9．C10．6011．612．613．2160°14．(1)1980°(2)148°，14 15．略16．。
初中数学知识归纳正多边形的内角与外角
初中数学知识归纳正多边形的内角与外角在初中数学中，我们学习了许多有关正多边形的知识，其中包括正多边形的内角与外角。
本文将对这方面的内容进行归纳与解析。
一、正多边形简介正多边形是指所有边长相等、所有内角相等的多边形。
最常见的正多边形是三角形、四边形、五边形等。
二、正多边形的内角正多边形的内角是指多边形内部的角度。
以正n边形为例，其中每个内角都可以用公式(180° x (n-2))/n来表示。
三、正多边形的外角正多边形的外角是指多边形外部的角度。
以正n边形为例，其中每个外角都可以用公式360°/n来表示。
四、内角与外角的关系在正多边形中，内角和外角之间存在一定的关系。
以正n边形为例，内角和外角的关系可以用以下公式表示：内角+外角=180°五、举例说明我们以三角形、四边形和五边形为例，来进一步说明正多边形的内角与外角的计算方法。
1. 三角形：三角形是最简单的正多边形，它的内角和外角可以很容易地计算出来。
内角：(180° x (3-2))/3 = 60°外角：360°/3 = 120°根据内角和外角的关系，我们可以验证：60°+120°=180°2. 四边形：四边形也是一个常见的正多边形，它的内角和外角可以通过相似的方法进行计算。
内角：(180° x (4-2))/4 = 90°外角：360°/4 = 90°根据内角和外角的关系，我们可以验证：90°+90°=180°3. 五边形：五边形是稍微复杂一些的正多边形，但同样可以使用相同的公式进行计算。
内角：(180° x (5-2))/5 = 108°外角：360°/5 = 72°根据内角和外角的关系，我们可以验证：108°+72°=180°通过以上三个例子的计算，可以发现无论是三角形、四边形还是五边形，它们的内角和外角之和都是180°，验证了内角和外角的关系公式的正确性。
初中数学多边形内角和的知识点归纳分析多边形内角和公式
初中数学多边形内角和的知识点归纳分析多边形内角和公式组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形。
多边形内角和n边形的内角和等于180°×(n-2)。
可逆用：n边形的边=(内角和÷180°)+2 过n边形一个顶点有(n-3)条对角线· n边形共有n×(n-3)÷2个对角线· n边形过一个顶点引出所有对角线后，把多边形分成n-2个三角形推论：1.任意凸形多边形的外角和都等于360°。
2.多边形对角线的计算公式：n边形的对角线条数等于1/2·n(n-3) 3.在平面内，各边相等，各内角也都相等的多边形叫做正多边形。
多边形外角和定理：n边形外角和等于n·180°-(n-2)·180°=360°多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n·180°1、先从三角形这一简单图形介绍外角定义。
多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫这个多边形的外角，(这样的产生外角有两个，由于他们相等，但我们通常只取其中一个)，一个保安员拿着一手电筒，直照前方，巡视一个三角形街道，走完一圈回到出发点，他的身体一共转动了多少度?(1)保安每从一条街道转入下一街道时，手电筒的光柱转动的角是哪个?在图中标出它们。
(2)问它们的度数之和是多少?第一种方法：射线平移法，如教材介绍。
(个人认为：要理解为什么能用平移法，可以先用两条相交线作说明，两线平移后不改变他们的相交角大小。
)第二种方法：推导法。
利用一个外角与它相邻的内角是邻补角的关系，以及多边形内角和公式。
(这种方法应该是重点，难点，这种方法详细介绍)其实多边形还可以分为正多边形和非正多边形。
正多边形各边相等且各内角相等。
平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
初中数学 7.3.2 多边形的内角和(含答案)
7．3．2 多边形的内角和课前感悟（课前自主预习，先试试你的身手）1．一个五边形的所有内角都相等，它的每个内角等于______°，每个外角等于______°．2．一个多边形每增加一条边，内角和增加______°，外角和______．3．如果一个多边形的每个外角是30°，那么这个多边形是_____边形，它的内角和等于______°．4．如果一个多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形是（ ）．A ．三角形B ．四边形C ．六边形D ． 八边形5．下面哪一个度数是某个多边形的内角和（ ）．A ．270°B ．630°C ．1920°D ．720°6．一个多边形的内角和是三角形外角和的3倍，则这个多边形为（ ）．A ．五边形B ．六边形C ．八边形D ．九边形举一反三（典型例题引路，探求规律方法技巧）【例1】 （2003盐城）一个正多边形，它的一个外角等于它的相邻的内角的41，则这个多边形是（ ）．A ． 正十二边形B ． 正十边形C ．正八边形D ．正六边形分析 不知道多边形内角和的情况下要求多边形的边数，直接运用多边形内角和公式较困难．但这是一个正多边形，每个内角相等，每个外角也相等，可以求出外角的大小，再根据多边形外角和是360°求出多边形的边数．解 设这个n 边形外角为x °，有x ＋4x ＝180°，x ＝36，1036360==n ．选C ． 点评 多边形的外角和为360°，与边数无关．正多边形的每个外角相等，所以也可以根据外角的大小确定正多边形的边数．【例2】如果一个多边形的所有内角与某一个外角的和为1350°，则这个多边形的边数为 ，这个外角的度数为 ．分析 多边形的内角一定是180°的整数倍，又因为每一个外角都小于180°，1350°＝7×180°＋90°，90°必为多出的外角．解 设此多边形为n 边形，n －2＝7，n ＝9，所求外角为90°．点评 根据多边形的内角和公式：n 边形的内角和等于（n －2）·180°，多边形的内角和必定是180°的整数倍．当告诉我们添上一个角或少了一个角一个后多边形的内角和是多少度，我们就能根据这个规律确定出这个多出的角或者缺少的角的大小．潜能开发（当堂学习巩固，训练重点、难点、考点）7．四边形ABCD 中，（1）∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，∠D ＝108°，则∠A ＝______．（2）∠A ＋∠C ＝160°，则∠B ＋∠D ＝________．8．四边形的四个内角之比是1：2：3：4，那么，这四个角分别是_________________．9．n 边形内角和与外角和之比是5：2，则n ＝ ．10．四边形的四个内角中，最多有____个锐角，在四边形的四个外角中，最多有_____个锐角．11．两个多边形的边数之比为1：2，内角和度数之比为1：3，这两个多边形分别是_____边形和_____边形．12．一个多边形的内角和是1260°，多边形的内角和的边数是（ ）．A ．9B ．8C ．7D ．613．一个多边形的内角和的度数是外角和的2倍，这个多边形是（ ）．A ．三角形B ．四边形C ．六边形D ．八边形14．（2004天津） 若一个正多边形的每一个内角都等于120°，则它是（ ）．A ．正方形B ． 正五边形C ． 正六边形D ．正八边形15．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2000°，则这个内角是（ ）．A ．20°B ．160°C ．200°D ．140°16．如图，四边形ABCD 中，∠A = 50︒，∠ABC = 105︒，∠BCD = 90︒，∠1、∠2、∠3、∠4中哪个角是四边形ABCD 的外角？求出它的度数．图7－6117．已知四边形的一个外角等于它不相邻的三个内角之和的41，求这个外角的大小．18．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为1800°，你知道原多边形有ABCD 1234A B C DE F多少条边吗？19．一个多边形除一个内角外，其余各内角和是2500 ，这个多边形有多少条边？这个内角是多少度？探究创新（拓展视野，迁移发散，开发智力、潜力、能力）20．设凸（4n +2）边形A 1 A 2 A 3… A 4n+2（n 为自然数）的每个内角都是30°的整数倍，且∠A 1＝∠A 2＝∠A 3＝90°，那么n ＝__________.21．阅读材料，再画图回答问题．多边形上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形．图7－62（1）给出了五边形的具体分割方法，分别将五边形分割成了3个、4个、5个三角形．请你按照上述方法将图7－62（2）中的六边形进行分割，并分别写出得到的三角形的个数．说出分割的三角形的个数与多边形的内角和有什么关系．图7－62（1） 图7－62（2）22.已知，如图7－63中，∠A ＝∠C ＝90°，对角线BE 、DF 分别平分∠ABC 和∠ADC ，BE 和DF 平行吗？说明你的理由．图7－63参考答案1.108°、72°2.180°、不变3.十二、18004.B5.D6.C7. 43°8. 36°、72°、108°、144°9. 7 10.3、3 11.四、八 12.C 13.C 14.C 15.B 16. 17. 60° 18. 11或12或13 19.16、20° 20. 1 21.4、5、6、从多边形一顶点引出的连线，将多边形分割成的三角形的个数乘以180°正好等于多边形的内角和；从多边形一边上引出的连线，将多边形分割成的三角形的个数减去1，再乘以180°正好等于多边形的内角和；从多边形内一点引出的连线，将多边形分割成的三角形的个数减去2，再乘以180°正好等于多边形的内角和 22.平行。
正多边形的内角和外角
正多边形的内角和外角正多边形是初中数学中的一个重要概念，它具有许多有趣的特性。
其中之一就是正多边形的内角和外角的关系。
在本文中，我将为大家详细介绍正多边形的内角和外角的性质和计算方法。
一、正多边形是指所有边相等、所有内角相等的多边形。
在正多边形中，每个内角都相等，记为α，每个外角也相等，记为β。
我们可以通过以下公式计算正多边形的内角和外角：内角和：S = (n - 2) × 180°外角和：T = n × 180° - S其中，n代表正多边形的边数。
根据这两个公式，我们可以得出以下结论：1. 内角和：正多边形的内角和等于(n - 2) × 180°。
这个公式的推导可以通过将正多边形分割成n个三角形，然后计算每个三角形的内角和得到。
例如，一个正五边形的内角和为(5 - 2) × 180° = 540°。
2. 外角和：正多边形的外角和等于n × 180° - 内角和。
这个公式的推导可以通过将正多边形的内角和与每个内角的补角相加得到。
例如，一个正五边形的外角和为5 × 180° - 540° = 900°。
二、内角和和外角和的性质正多边形的内角和和外角和具有一些重要的性质，我们可以通过以下例子来说明：例子1：考虑一个正六边形，每个内角为120°。
根据内角和的公式，我们可以计算出内角和为(6 - 2) × 180° = 720°。
根据外角和的公式，我们可以计算出外角和为6 × 180° - 720° = 720°。
可以看出，正六边形的内角和和外角和相等。
例子2：考虑一个正四边形，每个内角为90°。
根据内角和的公式，我们可以计算出内角和为(4 - 2) × 180° = 360°。
初中数学：多边形的内角和与外角和题型总结
1、多边形的内角和等于（n-2）180˚，n是多边形的边数。
2、多边形的外角和等于360˚。
这两个结论的证明也比较简单，在这里简单说明一下。
1、一个多边形，边数为n，将一个顶点与其它顶点相连，可以把这个多边形分割成（n-2）个三角形，每个三角形的内角和是360˚，所以多边形的内角和就是（n-2）180˚。
2、一个多边形，边数为n，每一个内角和它相邻的外角构成一个平角，n条边就构成n 个平角。
外角和就等于n个平角减去多边形的内角和，也就是360˚。
这两个知识在考查时，主要有四种类型，我们来看一下。
1、考查多边形边数和内角和的关系。
这类型题主要是知道边数求出内角和，或者知道内角和求出边数。
第（1）题，知道边数，求内角和。
第（2）题，知道内角和，求边数。
第（3）题，稍微复杂，两个多边形，知道边数之比和内角和之比，列方程求出边数。
第（4）、（5）、（6）题，稍为复杂，知道边数，先求出内角和，再去求多边形中的某个内角。
这些题型都比较简单。
这里还有一道题比较复杂一点，同学们可以尝试做一下。
2、外角和与内角和相结合这类型的关键点是，要知道多边形的内角和是隐藏的已知量，它等于360˚。
这类题型都是根据多边形内角和与外角和的关系，列一个方程，求出边数。
3、多边形，少一个角，其余内角和是一定值。
这种题型，运用到了不等式，是一个难点和重点。
它的运用的知识是，多边形的一个内角，它的取值范围是大于0，小于180。
除去的这个角的度数等于内角和减去其余内角和，据此，可以列一个不等式组，进行求解。
下面有练习，大家可以试一下。
4、正多数形正多边形的内角相等，边相等。
考查类型，1、知道边数，求内角；2、知道内角，求边数；3、知道外角，求边数。
在考试中，经常考察的方式是这样的。
第七章 第9课时 多边形的内角和与外角和(3)
第9课时 多边形的内角和与外角和(3)【基础巩固】1．若一个多边形每一个外角都与它的相邻的内角相等，则这个多边形的边数是 ( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形2．一个多边形的每个外角都等于72°，则此多边形是 ( )A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形3．十边形的每一个外角都相等，则一个外角等于_______度．4．若多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形的边数是_______．5．如图，小明在操场上从A 点出发，沿直线前进10米后向左转40°，再沿 直线前进10米后，又向左转40°，……，照这样走下去，他第一次回到出发 地A 点时，一共走了_______米．6．一个多边形所有的内角与其中一个外角的和是1780度，则这个多边形的这个外角是多少度？边数n 的值是多少？【拓展提优】7．内角和与外角和相差180°的多边形是 ( )A ．三角形B ．三角形或五边形C ．四边形D ．四边形或五边形8．一个三角形的3个外角的度数之比为2：3：4，则与之相应的3个内角度数之比为( )A ．4：3：2B ．3：2：4C ．5：3：1D ．3：1：559．一个多边形的内角和与某一外角之和为1100°，这个多边形是 ( )A ．六边形B ．七边形C ．八边形D ．不能确定10．一个四边形的四个外角的比是1： 2：3：4，则这个四边形四个外角的度数分别是_______．11．如图所示，分别以n 边形的顶点为圆心，以1 cm 为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为_______cm 2．（结果保留π）12．(1)一个多边形的外角和是内角和的27，求这个多边形的边数；(2)一个多边形的外角和与内角和共1800°，求这个多边形的边数．13．一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角比相邻的外角大60°，求这个多边形的边数．14．用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为x．(1)上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表：请写出S与x之间的关系式．答：S＝________________；(2)请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2个格点，如图形⑤．此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和x之间的关系式是：S＝_______．15．（2012．南昌）如图，有两个边长为2的正方形，将其中一个正方形沿对角线剪开成两个全等的等腰直角三角形，用这三个图片分别在网格备用图的基础上（只要再补出两个等腰直角三角形即可），分别拼出一个三角形、一个四边形、一个五边形、一个六边形．参考答案【基础巩固】1．B 2．A3．364．6 5．906．160，11【拓展提优】7．B 8．C 9．C 10．36°，72°，108°，144°11．Π12．(1)9 (2)10 13．614．(1)12x (2)12(x＋2)15．。
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义务教育课标实验教科书数学七年级（下册）
第七章第七课时7.3.2 多边形的内角和
了解多边形的内角和与外角和公式,进一步了解转化的数学思想
过程与方法：
1、让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表
达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。
2、通过把多边形转化为三角形,体会转化思想在几何中的运用,让学生体会从特殊到一般的
认识问题的方法。
3、通过探索多边形的内角和与外角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，
并能有效地解决问题。
分成2个三角形180°×2=360°
3、由各小组成员汇报
探索的思路与方法，讲
明理由。
4、教师汇总学生所探
索出的不同方法，除测
量与拼凑法外，并提出
疑问：你们添加辅助线
的目的是什么？说一
说你的想法。
5、教师在学生回答的
360°。
“解放学生的
手，解放学生的大
脑”，鼓励学生积极
参与，合作交流，
用自己的语言表达
解决问题的方式方
法，发展学生的语
言表达能力与推理
能力。
C
B
A
B
O
问题2：你知道n 边形的内角和吗？
(n-2)·180°
180°n-360°
5、根据以上分割三角形的方法，引导学生归纳n
边形内角和公式及不同公式间的联系，指明为了书写整齐，便于记忆，我们选择(n-2)·180°
这个公式。
纳总结出多边形内角和公式，体会数形间的联系，感受从特殊到一般的数学推理过程和数学思考方法。
E
C
B D P
问题2：n边形外角和等于多少度？n边形外角和等于360°3、进行类比推理并小
结：n边形外角和等于n
个平角减去n边形内角
和，与边数无关。
180°n-（n-2）·180°
=360°
掌握复杂问题化为
简单问题，化未知
为已知的
法。
（3）一个多边形的内角和与外角和相等，它是几边形？
探究题：小明有一个设想:2008年奥运会在北京召开，他设计一个内角和是2008°的多边。