高三理三角函数和数列

1.在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c满足b2+c2=bc+a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1cosA=1，且a2，a4，a8成等比数列，求{}的前n项和S n．2.已知，，记函数f（x）=（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及f（x）的对称中心；（Ⅱ）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．3.（2015•贵州二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，且；（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设BC中点为D，且AD=；求a+2c的最大值及此时△ABC的面积．4.已知=（sinx，m+cosx ），=（cosx，﹣m+cosx），且f（x）=（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣，]时，f（x）的最小值是﹣4，求此时函数f（x）的最大值，并求出相应的x的值．5.已知α是锐角，且tan21α=-，函数()2tan2sin(2)4f x xπαα=++，数列{}n a的首项111,()n na a f a+==（1）求函数()f x的表达式；（2）求数列{}n na的前n项和n S。

6.如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别在三边AB、BC和CA上，且D为AB的中点，90,(090)EDF BDEθθ∠=∠=<<（1）当3tan2DEF∠=时，求θ的大小；（2）求DEF∆的面积S的最小值及使得S取最小值时θ的值。

7.（本小题满分12分）已知向量,,实数为大于零的常数，函数,，且函数的最大值为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，分别为内角所对的边，若，,且,求的最小值.8.（本小题满分12分）已知向量，函数，若函数的图象的两个相邻对称中心的距离为.（Ⅰ）求函数的单调增区间；（Ⅱ）若将函数的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域.9.（本小题满分10分）（原创）已知函数2()2sin 23sin sin()2f x x x x π=+⋅+（0>ω）．（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求函数)(x f 在区间]32,0[π上的取值范围．10.已知数列是等差数列，且（1）求{a n }的通项公式 （2）若，求数列{b n }的前n 项和S n ．11.在数列{a n }中，a 1=1，a 1+2a 2+3a 3+…+na n=．（1）求数列{a n }的通项a n ；（2）若存在n ∈N *，使得a n ≤（n+1）λ成立，求实数λ的最小值．12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =23a n ﹣1（n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =2log 32n a +1，求nn b b b b b b 132211 (11)-++． 13.设数列{错误！未找到引用源。

}的前错误！未找到引用源。

项和为错误！未找到引用源。

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.（Ⅰ）求{错误！未找到引用源。

}的通项公式；（Ⅱ）设错误！未找到引用源。

，求数列错误！未找到引用源。

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项和错误！未找到引用源。

.14.已知数列{a n }中，有a n+1=a n +4，且a 1+a 4=14．（1）求{a n }的通项公式a n 与前n 项和公式S n ；（2）令b n=，若{b n }是等差数列，求数列{}的前n 项和T n ．15.已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4=14，且a 1，a 3，a 7成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设T n 为数列{}的前n 项和，若T n ≥λ对∀n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值．16.已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足4S n ＝(a n ＋1)2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的范围．17.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n+1=2S n +1，数列{b n }满足a 1=b 1，点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上，n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （Ⅱ）设，求数列{c n }的前n 项和T n ．18.已知数列{a n }满足a n+2=qa n （q 为实数，且q≠1），n ∈N *，a 1=1，a 2=2，且a 2+a 3，a 3+a 4，a 4+a 5成等差数列（1）求q 的值和{a n }的通项公式； （2）设b n =，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．19.（12分）（2015秋•哈尔滨校级月考）已知数列{a n}中，．（Ⅰ）记b n=a n﹣2n，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项的和为S n，数列{c n}满足，若对任意的正整数n，当m∈[﹣2，4]时，不等式6t2﹣12mt+1＞6c n恒成立，求实数t的取值范围．试卷答案1.【考点】数列的求和；等比数列的性质；余弦定理． 【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出=，所以cosA=，由此能求出A=．（Ⅱ）由已知条件推导出（a 1+3d ）2=（a 1+d ）（a 1+7d ），且d≠0，由此能求出a n =2n，从而得以==，进而能求出{}的前n 项和S n ．【解答】解：（Ⅰ）∵b 2+c 2﹣a 2=bc ，∴=，∴cosA=，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）设{a n }的公差为d ，∵a 1cosA=1，且a 2，a 4，a 8成等比数列， ∴a 1==2，且=a 2•a 8，∴（a 1+3d ）2=（a 1+d ）（a 1+7d ），且d≠0，解得d=2， ∴a n =2n ，∴==，∴S n =（1﹣）+（）+（）+…+（）=1﹣=．【点评】本题考查角的大小的求法，考查数列的前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用． 2.【考点】平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（I ）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得：f （x ）=+，可得周期T，令=0，即可解出对称中心．（II ）利用正弦函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）， f （x ）==+=+，∴=π．令=0，解得=k π，解得x=﹣（k ∈Z ）．∴f（x）的对称中心为，（k ∈Z ）．（Ⅱ）解不等式得：．令k=0，∴，∴，，∴，∴函数f （x ）在[0，π]上的单调递增区间为．【点评】本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3.【考点】正弦定理． 【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由条件利用两个向量共线的性质、正弦定理、余弦定理可得cosB 的值，从而求得B 的值． （Ⅱ）设∠BAD=θ，则在△BAD中，可知，利用正弦定理求得BD 、AB 的值，可得a+2c 的值，再利用正弦函数的定义域和值域求得a+2c 的最大值及此时△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为，故有（a+b ）（sinA+sinB ）﹣c （sinA ﹣sinC ）=0，由正弦定理可得（a ﹣b ）（a+b ）﹣c （a ﹣c ）=0，即a 2+c 2﹣b 2=ac ，由余弦定理可知，因为B ∈（0，π），所以．（Ⅱ）设∠BAD=θ，则在△BAD中，由可知，由正弦定理及有，所以，所以，从而，由可知，所以当，即时，a+2c的最大值为，此时，所以S=ac•sinB=．【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，正弦定理和余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题． 4.【考点】三角函数的最值；平面向量数量积的运算． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（1）f （x ）=×=（sinx ，m+cosx ）×（cosx ，﹣m+cosx ）=． （2）函数f （x ）=，根据，求得，得到，从而得到函数f （x ）的最大值 及相应的x 的值．【解答】解：（1）f （x ）=×=（sinx ，m+cosx ）×（cosx ，﹣m+cosx ）， 即=，（2）=，由，∴，∴，∴，∴m=±2，∴f max （x ）=1+﹣4=﹣，此时，．【点评】本题考查两个向量的数量积公式，三角函数性质及简单的三角变换，根据三角函数的值求角，化简函数f （x ）的解析式，是解题的关键，属于中档题． 5.6.7.（Ⅰ）由已知5分因为，所以的最大值为，则6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以化简得因为，所以，解得 8分因为，所以则，所以 10分则所以的最小值为 12分8.（Ⅰ），由题意知，，，.由，解得：,的单调增区间为.（Ⅱ）由题意，若的图像向左平移个单位，得到，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到，，，，函数的值域为.9.：（1）()1cos223sin cosf x x x x=-+⋅3sin2cos21x x=-+2sin(2)16xπ=-+………………………………4分所以)(xf的最小正周期为22Tππ==…………5分（2）解：()2sin(2)16f x xπ=-+因为]32,0[π∈x，所以72[,]666xπππ-∈-，………………7分所以2sin(2)[1,2]6xπ-∈-所以()[0,3]f x∈……………………9分即)(xf在区间]32,0[π上的取值范围是[0,3]. ……………………10分10.【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）由于为等差数列，若设其公差为d，则，∴，，解得，于是=2+3（n﹣1），整理得a n=．（2）由（1）得b n=a n a n+1==，∴．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了变形能力与计算能力，属于中档题． 11.【考点】数列与不等式的综合；数列递推式． 【专题】计算题．【分析】（1）把已知等式中的n 换成n ﹣1，再得到一个式子，两式想减可得=，求得 a 2=1，累乘化简可得数列{a n }的通项a n ． （2），由（1）可知当n≥2时，，，可证{}是递增数列，又及，可得λ≥，由此求得实数λ的最小值．【解答】解：（1）当n≥2时，由a 1=1及①可得②．两式想减可得 na n=﹣，化简可得=，∴a 2=1．∴••…==×××…×==．综上可得，．…（2），由（1）可知当n≥2时，，设，…则，∴，故当n≥2时，{}是递增数列．又及，可得λ≥，所以所求实数λ的最小值为．…【点评】本题主要考查利用数列的递推关系求数列的通项公式，数列与不等式综合，数列的函数特性的应用，属于难题． 12.【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 分析：（1）由S n=a n ﹣1（n ∈N *），可得当n=1时，﹣1，解得a 1．当n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1．再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =2log3+1=2n ﹣1，可得==．即可得出．解：（1）∵S n=a n ﹣1（n ∈N *），∴当n=1时，﹣1，解得a 1=2． 当n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣1﹣，化为a n =3a n ﹣1，∴数列{a n }是等比数列，首项为2，公比为3．∴a n =2×3n ﹣1．（2）b n =2log3+1=2n ﹣1，∴==．++…+=++…+==．【点评】本题考查了等比数列的通项公式、递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.解：（Ⅰ）当错误！未找到引用源。