最新版精编2019年高中数学单元测试试题-空间向量与立体几何专题完整考题库(含答案)
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11A C 到底面ABCD 的距离为 ( )AB ．1C ．D 北京文)．2．向量=（1，2，0），=（－1，0，6）点C 为线段AB 的中点，则点C 的坐标为( ) (A)(0，2，6) (B)(－2，－2，6)(C)(0，1，3)(D)(－1，－1，3)3．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，则1AC BD ⋅ ( ) (A )1 (B )0(C )3(D )－3第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题4．设点)2,1,12(++a a C 在点)4,1,8(),2,3,1(),0,0,2(--B A P 确定的平面上，则a 的值为 。
5．已知向量),2,3(z a -= ，)1,,1(-=y b ，若b a //，则yz 的值等于 .6．已知空间点），，（和点432)2,1,(B x A ,且62=AB ,则点A 到的平面yoz 的距是 . 【答案】6或2 【解析】试题分析：由62=AB=6x =或2x =-，所以点A 到的平面yoz 的距离是6或2.7．已知△ABC 的三个顶点(3,3,2)A ，(4,3,7)B -，(0,5,1)C ，则BC 边上的中线长等于 ▲ ．8．在空间直角坐标系中，点（4，－1，2）关于原点的对称点的坐标是 ．9．如图所示,在棱长为2的正方体1AC 中,点P Q 、分别在棱BC CD 、上,满足11B Q D P ⊥,且PQ =(1)试确定P 、Q 两点的位置.(2)求二面角1C PQ A --大小的余弦值.DAB 11第22题10．已知空间三点A (0,2,3),B (－2,1,6),C (1,－1,5).(I) 若向量 a ＝(,,1x y )分别与向量,垂直，求向量a 的坐标. (II) 求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积S 的值. （理） 三、解答题11．已知正三棱柱111C B A ABC -的各条棱长都相等，P 为B A 1上的点，A A 11λ=,且AB PC ⊥. (1) 求λ的值；(2) 求异面直线PC 与1AC 所成角的余弦值。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．(2009·全国Ⅰ)设a 、b 、c 是单位向量，有a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) A ．－2 B.2－2 C ．－1 D ．1－ 2解析：解法一：设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a －c )·(b －c )＝(1－cos θ，－sin θ)·(－cos θ，1－sin θ)＝1－sin θ－cos θ＝1－2 sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 因此当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1时，(a －c )·(b －c ) 取到最小值1－ 2. 解法二：(a －c )·(b －c )＝a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝1－(a ＋b )· c ≥1－|a ＋b ||c |＝1－(a ＋b 2) ＝1－ 2.2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为 （ ） A ．21 B ．42C ．22D ．23(2005湖南理)． 3．已知点A (2，－2，4)，B (－1，5，－1)，若AB OC 32=,则点C 的坐标为( ) (A))310,314,2(- (B))310,314,2(-- (C))310,314,2(-- (D))310,314,2(--4．已知α ⊥β ，平面α 与平面β 的法向量分别为m ＝(1，－2，3)，n ＝(2，3λ，4)，则λ＝( ) (A )35 (B )35-(C )37 (D )37-5．已知空间中三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)，若向量a 分别与AC AB ,都垂直，且3||=a ，则a ＝( )(A )(1，1，1) (B )(1，－1，1)(C )(－1，1，1)(D )(－1，－1，－1)或(1，1，1)6．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量BD AD AB 、、11是( ) (A )有相同起点的向量 (B )等长的向量 (C )共面向量(D )不共面向量第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题7．若()()2,1,3,1,3,9,a x b ==且//a b ，则x = ___▲____．8．设异面直线12,l l 的方向向量分别为(1,1,0),(1,0,1)a b =-=-,则异面直线12,l l 所成角的大小为 .9．在空间直角坐标系中，已知点()1,0,2A ，()1,3,1B -，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是 ▲ ；10．（理）在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，已知∠BAD ＝∠A ′AB ＝∠A ′AD ＝60°，AB ＝3，AD ＝4，AA ′＝5，则|AC ′→|＝________.11．已知空间点），，（和点432)2,1,(B x A ,且62=AB ,则点A 到的平面yoz 的距是 . 【答案】6或2 【解析】试题分析：由62=AB =6x =或2x =-，所以点A 到的平面yoz 的距离是6或2.12．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为13．如图，正方体的棱长为1，C ，D 分别是两条棱的中点，A ，B ，M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是______．14．如图AB 是圆O 的直径，P A 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上非A ，B 的任意一点，则图中直角三角形共有______个．15．如图，已知点P 是单位正方体1111D C B A ABCD - 中异于A 的一个顶点，则AB AP ⋅的值为__ _．三、解答题16．（本小题满分14分）在如图所示的空间直角坐标系中，正方体1111ABCD A B C D -的B ACDB 1A 1C 1D 1（第19题理科棱长为2，,E F 分别为11A D 和11A B 的中点． （1）求异面直线AE 和BF 所成角的余弦值； （2）求平面11B BDD 与平面1BFC 所成的锐二面角的余弦值；（3）若点P 在正方形ABCD 内部或其边界上，且//EP 平面1BFC ，求EP 的最大值和最小值．17．（本题满分10分）在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝a ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点. （1）若AC 1⊥D 1F ，求a 的值；（2）若a ＝2，求二面角E －FD 1－D 的余弦值.18．（理科做）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD是直角梯形，90ABC ∠=，//BC AD ，且2AB AD BC ==，顶点P 在底面ABCD 内的射影恰好落在AB 的中点O 上.（1）求证：PD AC ⊥；（2）若PO AB =，求直线PD 与AB 所成角的 余弦值；（3）若平面APB 与平面PCD 所成的二面角为 45，求POBC的值.yx（第17题）A BC D C 1B 1A 1D 1EF（第17题图）19．如图5，在椎体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的棱形，且060DAB ∠=,PA PD ==2,PB =,E F 分别是,BC PC 的中点，（1） 证明：AD DEF ⊥平面（2）求二面角P AD B --的余弦值。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．(2009·全国Ⅰ)设a 、b 、c 是单位向量，有a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) A ．－2 B.2－2 C ．－1 D ．1－ 2解析：解法一：设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a －c )·(b －c )＝(1－cos θ，－sin θ)·(－cos θ，1－sin θ)＝1－sin θ－cos θ＝1－2 sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 因此当sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1时，(a －c )·(b －c ) 取到最小值1－ 2. 解法二：(a －c )·(b －c )＝a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2＝1－(a ＋b )· c ≥1－|a ＋b ||c |＝1－(a ＋b 2) ＝1－ 2.2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为 （ ） A ．21 B ．42C ．22D ．23(2005湖南理)． 3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 是棱A 1A 的中点，O 是BD 1的中点，则MO 的长为( )(A )33 (B )22 (C )2(D )364．平面α 的法向量为m ，若向量m ⊥，则直线AB 与平面α 的位置关系为( ) (A )AB ⊂α (B )AB ∥α(C )AB ⊂α 或AB ∥α (D )不确定第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．已知平行六面体1111D C B A ABCD - 中，4=AB ，3=AD ，51=AA ，90=∠BAD ， 6011=∠=∠DAA BAA ，则1AC6．（理）已知(213)(142)(75)a b c λ=-=--=，，，，，，，，，若a b c ，，三向量共面，则λ等于7． 已知直线12l l ，的方向向量分别为(1,2,2)(2,3,)a b k =-=-，，若12l l ⊥，则实数k = ▲ ．8． 点()1,1,2P -关于xoy 平面的对称点的坐标是 。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，则P 到矩形对角线BD 的距离( ) (A )513 (B )517 (C )2921(D )129512．平面α 的法向量为m ，若向量m ⊥，则直线AB 与平面α 的位置关系为( ) (A )AB ⊂α (B )AB ∥α(C )AB ⊂α 或AB ∥α (D )不确定3．已知α ⊥β ，平面α 与平面β 的法向量分别为m ＝(1，－2，3)，n ＝(2，3λ，4)，则λ＝( ) (A )35 (B )35-(C )37 (D )37-第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题4．（5分）直三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，若=，=，=，则=﹣﹣+．5．（理）设点C(2a＋1，a＋1,2)在点P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1,4)确定的平面上，则a＝____________.6．（理）已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、、三向量共面，则实数λ等于____________；7．已知点)1,2,1(A，B)4,3,1(-，且2=，则P点的坐标是。
8．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF,∠BCF=2π，AD=3，EF=2.（1）求证：AE∥平面DCF；（2）设(0)ABBEλλ=>，当λ为何值时，二面角A—EF—C的大小为3π。
9．如图，在长方体1111ABCD A BC D-中，3cmAB AD==，12cmAA=，则四棱锥11A BB D D-的体积为▲ cm3．ABCDEF10．如图，正方体的棱长为1，C ，D 分别是两条棱的中点，A ，B ，M 是顶点，那么点M 到截面ABCD 的距离是______．11．已知i ，j ，k 是两两垂直的单位向量，且a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a ·b ＝______．三、解答题12．如图，ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2,OA OD ==OAB V ,△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．过点（1，0）且与直线220x y --=的法向量垂直的直线方程是[答]（ ） （A ）210x y -+=． (B) 210x y --=． (C) 220x y +-=． （D ）210x y +-=．2．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为 （ ） A ．21 B ．42C ．22D ．23(2005湖南理)． 3．下列条件中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( ) (A )DM --=2(B )213151++=(C )=+-MC MB MA 20 (D )=+++OC OB OA OM 04．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于( ) (A )2 (B )－2(C )－2或552 (D )2或552-5．已知空间的基底{i ，j ，k }，向量a ＝i ＋2j ＋3k ，b ＝－2i ＋j ＋k ，c ＝－i ＋mj －nk ，若向量c 与向量a ，b 共面，则实数m ＋n ＝( ) (A )1 (B )－1(C )7(D )－76．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若c b a ===1,,AA AD AB ，则下列式子中与M B 1相等的是( )(A )c b a ++-2121 (B )c b a -+2121 (C )c b a -+-2121(D )c b a +--2121第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题7．（5分）直三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1 中，若 =，=，=，则= ﹣﹣+ ．8．（理）设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1,4)确定的平面上，则a ＝____________.9．设点)2,1,12(++a a C 在点)4,1,8(),2,3,1(),0,0,2(--B A P 确定的平面上，则a 的值为 。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为 A ．252 B ．216 C ．72 D ．422．过点（1，0）且与直线220x y --=的法向量垂直的直线方程是[答]（ ） （A ）210x y -+=． (B) 210x y --=． (C) 220x y +-=． （D ）210x y +-=．3．设平面α 内两个向量的坐标分别为(1，2，1)，(－1，1，2)，则下列向量中是平面α 的法向量的是( ) (A )(－1，－2，5) (B )(－1，1，－1) (C )(1，1，1)(D )(1，－1，－1)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题4．（理）在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，已知∠BAD ＝∠A ′AB ＝∠A ′AD ＝60°，AB ＝3，AD ＝4，AA ′＝5，则|AC ′→|＝________.5．（理科）空间直角坐标系中，点4sin ,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ．6．（理科）如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是→a =（1，0，1），→b =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 .7． 空间直角坐标系中，已知)2,0,1(A ，)1,3,1(-B ，点P 在Z 轴上，且PB PA =,则点P 的坐标为 ▲ .8．点(2,1,2)P -关于坐标原点的对称点的坐标为____________．9．二面角α －l －β 为60°，点A ∈α ，且点A 到平面β 的距离为3，则点A 到棱l 的距离为10．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是______．11．如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为______．12．如图AB 是圆O 的直径，P A 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上非A ，B 的任意一点，则图中直角三角形共有______个．三、解答题13．如图1，45ACB ∠=，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使90BDC ∠=（如图2所示）． （Ⅰ）当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在 棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．【2012高考真题湖北理19】（本小题满分12分）第19题图14．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -底面边长2AB =，侧棱1BB 的长为4，过点B 作1B C 的垂线交侧棱1CC 于点E ，交线段1B C 于点F ．以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -,如图． （Ⅰ）求证：1A C ⊥平面BED ；（Ⅱ）求1A B 与平面BDE 所成角的正弦值的大小． （理）15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，E 为CC 1中点，(1)求⋅1；DABCACD B图2图1ME. ·(2)求><⋅AB ,cos ,11．16．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝22，M ，N 分别为AB ，SB 的中点．(1)证明：AC ⊥SB ；(2)求二面角N －CM －B 的余弦值； (3)求点B 到平面CMN 的距离．17．在三棱锥ABCD 中，平面DBC ⊥平面ABC ，△ABC 为正三角形， AC=2，， （1）求DC 与AB 所成角的余弦值；（2）在平面ABD 上求一点P ，使得CP ⊥平面AB D ．ABCDMDBCAO(第22题图) 18．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形， ∠ABC ＝45°，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点． （1）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（2）求平面OAB 与平面OCD 所成二面角的余弦值．19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =，E ，F 分别是棱AB ，BC 上的点，且1EB FB ==．（1）求异面直线1EC 与1FD 所成角的余弦值；（2）试在面1111A B C D 上确定一点G ，使DG ⊥平面EF D 1．(江苏省苏北四市2011届高三第一次调研)（本小题满分10分）20．如图，边长为2的正方形11A ACC 绕直线1CC 旋转90°得到正方形11B BCC ，D 为1CC 的中点，E 为1A B 的中点，G 为△ADB 的重心． (Ⅰ）求直线EG 与直线BD 所成的角；(Ⅱ）求直线1A B 与平面ADB 所成的角的正弦值．21．已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，1O 是11A C 和11B D 的交点。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．向量OA =（1，2，0），OB =（－1，0，6）点C 为线段AB 的中点，则点C 的坐标为( ) (A)(0，2，6) (B)(－2，－2，6)(C)(0，1，3)(D)(－1，－1，3)2．平面α 的法向量为m ，若向量m ⊥，则直线AB 与平面α 的位置关系为( ) (A )AB ⊂α (B )AB ∥α (C )AB ⊂α 或AB ∥α (D )不确定3．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1，2)，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于( ) (A )2 (B )－2(C )－2或552 (D )2或552-第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题4．已知O 为坐标原点，(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OC =，若点M 在直线OC 上运动，则AM BM ⋅的最小值为 ▲ .5．已知(2,5,1),(2,2,4),(1,4,1)A B C ---，则向量AB 与AC 的夹角等于 _▲ 6．线段AB 在平面α 外，A ，B 两点到平面α 的距离分别为1和3，则线段AB 的中点C 到平面α 的距离为______．7．若向量a ＝(2，1，－2)，b ＝(6，－3，2)，则cos<a ，b>＝______．8．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，所有棱长均为1，且∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，AB ⊥AD ，则AC 1的长度为______.9．如图，已知点P 是单位正方体1111D C B A ABCD - 中异于A 的一个顶点，则⋅的值为__ _．三、解答题10．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，11 (01)A P A C λλ=<<． （1）若12λ=，求直线PB 与PD 所成角的正弦值；（2）是否存在实数λ，使得直线1A C ⊥平面PBD ？并说明理由．BACDB 1A 1C 1D 1ABCD 1A1B11DP（第2211．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，E 为CC 1中点，(1)求BC AB ⋅1；(2)求><⋅BE AB BE AB ,cos ,11．12．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AB ，A 1D 1的中点，求证：MN ∥平面BB 1D 1D ．13．1．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为AB 中点，求二面角A 1－EC －B 的余弦值．14．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1＝1，点D 是A 1C 的中点．(1)求A 1B 1与AC 所成的角的大小； (2)求证：BD ⊥平面AB 1C ； (3)求二面角C －AB 1－B 的余弦值．15．在三棱锥S ABC -中,ABC ∆是边长为4的正三角形,平面SAC ⊥平面ABC,SA SC ==M 、N 分别为AB 、SB 的中点.⑴证明：AC SB ⊥；⑵(理)求二面角N CM B --的正切值； ⑶求点B 到平面CMN 的距离. (本题满分14分)16．已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，1O 是11A C 和11B D 的交点。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何专题（含答案）学校：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．已知直线a ∥平面α ，且a 与平面α 的距离为d ，那么到直线a 的距离与到平面α 的距离都等于d 的点的集合是( ) (A )一条直线 (B )三条平行直线 (C )两条平行直线 (D )两个平面2．距离(选学)一、选择题1．已知a ⊂α ，A ∉α ，点A 到平面α 的距离为m ，点A 到直线a 的距离为n ，则( ) (A )m ≥n (B )m ＞n(C )m ≤n(D )m ＜n3．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，则异面直线OE 与FD 1所成角的余弦值为( )(A )510 (B )515 (C )54 (D )324．已知α ⊥β ，平面α 与平面β 的法向量分别为m ＝(1，－2，3)，n ＝(2，3λ，4)，则λ＝( ) (A )35 (B )35-(C )37 (D )37-5．与向量(－1，－2，2)共线的单位向量是( )(A ))32,32,31(-和)32,32,31(-- (B ))32,32,31(- (C ))32,32,31(和)32,32,31(---(D ))32,32,31(--6．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，则1AC ⋅ ( ) (A )1 (B )0(C )3(D )－37．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若c b a ===1,,，则下列式子中与B 1相等的是( )(A )c b a ++-2121 (B )c b a -+2121 (C )c b a -+-2121(D )c b a +--2121第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题8．在空间直角坐标系O xyz -中，过点(4,2,3)M --作直线OM 的垂线l ，则直线l 与平面Oxy 的交点(,,0)P x y 的坐标满足条件．9． 点()1,1,2P -关于xoy 平面的对称点的坐标是 。
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2019年高中数学单元测试试题 空间向量与立体几何
专题（含答案）
学校：__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．平面α 的法向量为m ，若向量m ⊥AB ，则直线AB 与平面α 的位置关系为( ) (A )AB ⊂α (B )AB ∥α
(C )AB ⊂α 或AB ∥α (D )不确定
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
2．在空间直角坐标系O xyz -中，过点(4,2,3)M --作直线OM 的垂线l ，则直线l 与平面Oxy 的交点(,,0)P x y 的坐标满足条件
．
3．（理科）如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是→a =（1，0，1），→b =（0，1，1），
那么这条斜线与平面所成的角是 .
4．（理）如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，
若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →
用a ，b ，c 表示为________
5．已知O 为坐标原点，(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OC =，若点M 在直线
OC 上运动，则AM BM ⋅的最小值为 ▲ .
6．已知点(3,2,1)A -，(2,4,0)B -，则向量AB 的坐标为 ▲ .
7．已知点)1,2,1(A ，B )4,3,1(-，且2=，则P 点的坐标是 。
8． 点()1,1,2P -关于xoy 平面的对称点的坐标是 。
9．在空间直角坐标系中，点（4，－1，2）关于原点的对称点的坐标是 ．
10．二面角α －l －β 为60°，点A ∈α ，且点A 到平面β 的距离为3，则点A 到棱l 的距离为
11．若直线l 1∥l 2，且它们的方向向量分别为a ＝(2，y ，－6)，b ＝(－3，6，z )，则实数y ＋z ＝______
12．在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA ，OB ，OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 的中点，则OM 与平面ABC 所成角的余弦值是______．
13．正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为______．
14．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，P 是棱CC 1上一点，CP ＝m ，且直线AP 与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为3
2
2，则m ＝______．
15．已知空间三点A (0,2,3),B (－2,1,6),C (1,－1,5).
(I) 若向量 a ＝(,,1x y )分别与向量,垂直，求向量a 的坐标. (II) 求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积S 的值. （理）
三、解答题
16．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上． （1）若P 是DF 的中点， 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D -AP -C
PF 的长度．
17．（14分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N 在'AC 上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．
P
F
E
D
C
A
B
18．正三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都为4，D 为的1CC 中点。
(1)求证：
1AB ⊥平面BD A 1； (2)求二面角B D A A --1的余弦值。
19．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为BAD ＝120°，且PA ⊥平
面ABCD ，PA ＝M ，N 分别为PB ，PD 的中点． (Ⅰ)证明：MN ∥平面ABCD ；
(Ⅱ) 过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A —MN —Q 的平面角的余弦值．【2012高考真题浙江理20】(本小题满分15分)
【命题立意】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，二面角所成角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。
20．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11
2
AC BC AA ==
，
D 是棱1AA 的中点，BD
DC ⊥
1
（1）证明：BC DC ⊥1
（2）求二面角11C BD A --的大小. 【2012高考真题新课标理19】（本小题满分12分）
21．已知正三棱柱111C B A ABC -的各条棱长都相等，P 为B A 1上的点，A A 11λ=,且AB PC ⊥. (1) 求λ的值；
(2) 求异面直线PC 与1AC 所成角的余弦值。
22． 如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，11A E CF ==. ⑴求两条异面直线1AC 与1D E 所成角的余弦值； ⑵求直线1AC 与平面1BED F 所成角的正弦值.
P
1
C 1
B 1
A C
B
A
23．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝1，点D是A1C 的中点．
(1)求A1B1与AC所成的角的大小；
(2)求证：BD⊥平面AB1C；
(3)求二面角C－AB1－B的余弦值．
24．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AD，AB的中点，求BC1与平面A1EF所成角的大小．
25．已知向量a＝(－2，1，－2)，b＝(1，2，－1)，c＝(x，5，2)，若c与向量a，b共面，求实数x的值．
26．已知向量a＝(2，－1，0)，b＝(1，2，－1)，
(1)求满足m ⊥a 且m ⊥b 的所有向量m ． (2)若302||=m ，求向量m ．
27．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过11A C B 、、三点的的平面截去长方体的一个角后.得到如图所示的几何体111ABCD A C D -，且这个几何体的体积为40
3
. （1）求1A A 的长；
（2）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直， 如果存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由.
28．如图，已知三棱锥。
O 一ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA=0B=OC=2，E 是OC 的中点．
(1) 求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； (2) 求二面角B —AE —C 的余弦值．
A 1
D
D 1
C 1
A
C
B
A
B
C
D P
A 1
B 1
D 1
C 1
29．如图，边长为2的正方形11A ACC 绕直线1CC 旋转90°得到正方形11B BCC ，D 为1CC 的中点，E 为1A B 的中点，G 为△ADB 的重心． (Ⅰ）求直线EG 与直线BD 所成的角；
(Ⅱ）求直线1A B 与平面ADB 所成的角的正弦值．
30．如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，
P 是侧棱1CC 上的一点，CP m =．
（1）试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60º； （2）在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ， 1D Q ⊥AP ，并证明你的结论．。