扬州市2011—2012学年度第二学期第三次调研测试试题(前160分部分)

扬州市 2011—2012 学年度第二学期第三次调研测试试题
高三数学
2012．5 全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分 160 分，考试时间 120 分钟），第 二部分为选修物理考生的加试部分（满分 40 分，考试时间 30 分钟）． 注意事项： 1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效． 3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．
第一部分
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位 置上）
1． 已知集合 A {x | 1 x 2} ， B {x | 3 x 1} ，则 A B ▲ ．
2． 复数 1 2i 的实部与虚部的和是 ▲ ． i
3． 用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为 60 的样本，其中高二年级抽取 20 人. 高三年级抽取 25 人，已知该校高一年级共有 800 人，则该校学生总数为 ▲ 人．
范围；
（Ⅲ）对于给定的实数 a 、b 、c ，函数 f (x) 图象上两点 A(x1, f (x1)) ，B(x2 , f (x2 ))（ x1 x2 ）
处的切线分别为 l1 , l2 ．若直线 l1 与 l2 平行，证明：A、B 关于某定点对称，并求出该定点．
20．（本小题满分 16 分）
已知等差数列{an} 各项均为正数，其前 n 项和为 Sn ，首项 a1 1。
已知函数 f (x) 2sin x cos x 2 cos2 x ， （Ⅰ）求函数 f (x) 的单调递增区间；
（ Ⅱ ） 将 函 数 y f (x) 图 像 向 右 平 移 个 单 位 后 ， 得 到 函 数 y g(x) 的 图 像 ， 若 4
g( ) 2 1 ， 为第一象限角，求 sin 2 值. 3
8． 若 x 0, y 0 ,且 x 2 y 1,则 x2 y2 的取值范围是 ▲ ．
9． 在 ABC 中，边 BC 2 ， AB 3 ，则角 C 的取值范围是 ▲ ．
10． 已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1（a＞0,b＞0）的一条心率等于 ▲ ．
径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，
则球的半径是 ▲ cm ．
7． 已知两条不同的直线 m、n 与两个互异的平面α、β给出下列五个命题： ①若 m∥α，n∥α，则 m∥n； ②若 m∥α，n⊥α，则 m⊥n； ③若 m⊥α，m∥β，则α⊥β； ④若 m⊥α，α⊥β，则 m∥β； 其中真命题的序号是 ▲ ．
（Ⅰ）若 S1 S3 2 S2 ，求 S5 ；
（ Ⅱ ） 若 数 列 {an} 中 存 在 两 两 互 异 的 正 整 数 m 、 n 、 p 同 时 满 足 下 列 两 个 条 件 ：
① m p 2n ；② Sm S p 2 Sn ，求数列的通项 an ；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列{an} ，设 bn
数学试题第 3页（共 4页）
19．（本小题满分 16 分）
已知函数 f (x) 1 x3 1 ax 2 bx c ，其中 a, b, c R ． 32
（Ⅰ）若 a 1 ， b 2 ，求 f (x) 的单调递减区间；
（Ⅱ）若 f (x) 在区间[1,1) 、 (1,3] 内各有一个极值点，且 f (1) 0 恒成立，求 c 的取值
数学试题第 2页（共 4页）
16．（本小题满分 14 分）
如图，矩形 ABCD 所在平面与直角三角形 ABE 所的平面互相垂直， AE BE ，M、
N 分别是 DE、AB 的中点。求证： （Ⅰ）MN∥平面 BCE；
（Ⅱ） AE MN 。
D
C
M
A
N
B
E
17．（本小题满分 14 分） 如图所示的镀锌铁皮材料 ABCD，上沿 DC 为圆弧，其圆心为 A，圆半径为 2 米，AD
A1A 2 A3 A4 及 其 内 部 的 点 构 成 的 点 的 集 合 ， 点 P0 是 四 边 形 对 角 线 的 交 点 ， 若 集 合
S {P D | | PP0 || PAi | , i 1, 2,3, 4} ，则集合 S 所表示的平面区域的面积为 ▲ ．
二、解答题：（本大题共 6 道题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤） 15．（本小题满分 14 分）
3
(
1 2
)
an（
n
N
*
），集合
Tn
{ bi
bj
|1 i
j
n，
i, j N * }，记集合 Tn 中所有元素之和 Bn ，试问：是否存在正整数 n 和正整数 k ，使得不
等式 1
1
0 成立？若存在，请求出所有 n 和 k 的值；若不存在，请说
bn Bn k k bn 1Bn 1
明理由。
切点为 Q，若 PQ PA ，则 P 点坐标是 ▲ ．
13． 设函数
f
(x) ＝ x | x a | ，若对于任意的 x1 ，x2 ∈[2，) ，x1 ≠ x2 ，不等式
f (x1) f (x2 ) x1 x2
＞0 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．
14． 已知平面上四个点 A1(0, 0) ， A2 (2 3, 2) ， A3 (2 3 4, 2) ， A4 (4, 0) ．设 D 是四边形
数学试题第 1页（共 4页）
11． 设 定 义 域 为
R
的函数
f
(x)
| lg x x2
|, x 2x,
x
0
0
,
若关于 x 的函数
y 2 f 2 (x) 3 f (x) 1 的零点的个数为 ▲ ．
12． 已知 A(2,1) ，⊙O： x2 y2 1，由直线 l : x y 3 0 上一点 P 向⊙O 引切线 PQ，
⊥AB，BC⊥AB，且 BC=1 米。现要用这块材料裁一个矩形 PEAF（其中 P 在圆弧 DC 上、E 在线 段 AB 上，F 在线段 AD 上）做圆柱的侧面，若以 PE 为母线，问如何裁剪可使圆柱的体积最 大？其最大值是多少？
D
F
P
C
A
EB
18．（本小题满分 16 分）
x2
已知椭圆
a2
y2 b2
4． 等差数列{an} 中,前 n 项和为 Sn ，若 a7 5 ， S7 21，那么 S10 等于 ▲ ．
5． 若函数 f (x) (1 3 tan x) cos x ， 0 x ，则 f (x) 的最大值为 ▲ ． 2
6． 圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球（球的半
数学试题第 4页（共 4页）
1(a b
0) 的左顶点为 A ，左、右焦点为 F1, F2 ，点 P 是椭圆上
一点，
PA
3 2
PF1
1 2
PF2
，且
PF1F2
的三边构成公差为1的等差数列﹒
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)若 OP 2 7 ，求椭圆方程；
(Ⅲ) 若 c 1 ，点 P 在第一象限，且 PF1F2 的外接圆与 以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，求点 P 的坐标﹒