高考数学一轮复习 配餐作业18 定积分与微积分基本定理(含解析)理
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版
1-定积分与微积分基本定理(理)含答案版本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March定积分与微积分基本定理(理)基础巩固强化1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y－y )d y[答案] B[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数．[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .2．如图，阴影部分面积等于( )A ．2 3B ．2－3[答案]C[解析] 图中阴影部分面积为S ＝⎠⎛-31(3－x 2－2x )d x ＝(3x －13x 3－x 2)|1－3＝323. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π[答案] C[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，∴S ＝14×π×22＝π.4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积分，即速度函数v (t )的图象与t 轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t 0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t 轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.5．向平面区域Ω＝{(x，y)|－π4≤x≤π4，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是()－1[答案]D[解析]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π2，在这个区6．的值是()A．0C．2D．－2 [答案]D[解析]2(cos sin)2x xππ---＝2(cos sin)2x xππ---＝－2.7．⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝________.[答案] 3[解析] ∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 0≤x ≤13－x 1<x ≤2，∴⎠⎛02(2－|1－x |)d x ＝⎠⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝(x ＋12x 2)|10＋(3x －12x 2)|21＝32＋32＝3. 9．已知a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰，则二项式(a x －1x)6的展开式中含x 2项的系数是________．[答案] －192[解析] 由已知得a ＝20(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π20＝(sin π2－cos π2)－(sin0－cos0)＝2，(2x －1x)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r 6×26－r ×x 3－r，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25＝－192.10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a <b ，则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a2b －a(x －a )，即y ＝(a ＋b )x －ab .则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎛ab [(a ＋b )x －ab －x 2]d x ＝(a ＋b 2x 2－abx －x 33)|ba ＝16(b －a )3，∴16(b －a )3＝43，解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，其中⎩⎨⎧x ＝a ＋b 2，y ＝a 2＋b22.将b －a ＝2代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋1，y ＝a 2＋2a ＋2. 消去a 得y ＝x 2＋1.∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.能力拓展提升11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12 D ．－1或－12[答案] C[解析] 因为S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2|30＝18，所以6q ＋6q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12，故选C.12．已知(x ln x )′＝ln x ＋1，则⎠⎛1e ln x d x ＝( )A ．1B ．eC ．e －1D ．e ＋1[答案]A[解析] 由(x ln x )′＝ln x ＋1，联想到(x ln x －x )′＝(ln x ＋1)－1＝ln x ，于是⎠⎛1e ln x d x ＝(x ln x －x )|e 1＝(e ln e －e )－(1×ln1－1)＝1.13．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．[答案] 18[解析] 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ，解得两交点A (2,2)、B (8，－4)，选y 作为积分变量x ＝y 22、x ＝4－y ，∴S ＝⎠⎛-42 [(4－y )－y 22]dy ＝(4y －y 22－y36)|2－4＝18.14.已知函数f (x )＝e x －1，直线l 1：x ＝1，l 2：y ＝e t －1(t 为常数，且0≤t ≤1)．直线l 1，l 2与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S 2表示．直线l 2，y 轴与函数f (x )的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S 1表示．当t 变化时，阴影部分的面积的最小值为________．[答案] (e －1)2[解析] 由题意得S 1＋S 2＝⎠⎛0t (e t －1－e x ＋1)d x ＋⎠⎛t1(e x －1－e t ＋1)d x ＝⎠⎛0t (e t －e x )d x ＋⎠⎛t1(e x －e t )d x ＝(xe t －e x )|t 0＋(e x －xe t )|1t ＝(2t －3)et＋e ＋1，令g (t )＝(2t －3)e t ＋e ＋1(0≤t ≤1)，则g ′(t )＝2e t ＋(2t －3)e t ＝(2t －1)e t，令g ′(t )＝0，得t ＝12，∴当t ∈[0，12)时，g ′(t )<0，g (t )是减函数，当t ∈(12，1]时，g ′(t )>0，g (t )是增函数，因此g (t )的最小值为g (12)＝e ＋1－2e 12＝(e －1)2.故阴影部分的面积的最小值为(e －1)2.15．求下列定积分．(1)⎠⎛1－1|x |d x; (2)⎠⎛0πcos 2x2d x ；(3)∫e ＋121x －1d x . [解析] (1)⎠⎛1－1|x |d x ＝2⎠⎛01x d x ＝2×12x 2|10＝1.(2)⎠⎛0πcos 2x 2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |π0＋12sin x |π0＝π2. (3)∫e ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝1. 16．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，求a 的值．[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． ∴S 阴影＝⎠⎛a0[0－(－x 3＋ax 2)]d x＝(14x 4－13ax 3)|0a ＝112a 4＝112， ∵a <0，∴a＝－1.1．已知函数f (x )＝sin 5x ＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求22()f x dx ππ-⎰的值，结果是( )＋π2 B ．π C ．1 D ．0 [答案] B[解析] 22()f x dx ππ-⎰＝22ππ-⎰sin 5x d x ＋22ππ-⎰1d x ，由于函数y ＝sin 5x 是奇函数，所以22ππ-⎰sin 5x d x ＝0，而22ππ-⎰1d x ＝x |π2－π2＝π，故选B.2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1 －1≤x <0，cos x 0≤x <π2，的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a ，则a 的值为( )C ．1[答案] D[解析] 由图可知a ＝12＋⎠⎜⎜⎛0π2cos x d x ＝12＋sin x |π20＝32.3．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案] 22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝2>2，∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.4．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．[答案] 33[解析] ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝(ax 33＋cx )|10＝a 3＋c ，故a 3＋c ＝ax 2＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0，所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.故填33.5．设n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ，则(x －2x )n展开式中含x 2项的系数是________．[答案] 40[解析] ∵(x 3－2x )′＝3x 2－2， ∴n ＝⎠⎛12(3x 2－2)d x ＝(x 3－2x )|21＝(23－2×2)－(1－2)＝5.∴(x －2x )5的通项公式为T r ＋1＝C r 5x 5－r(－2x)r＝(－2)r C r 5x5－3r 2，令5－3r2＝2，得r ＝2， ∴x 2项的系数是(－2)2C 25＝40.。
高考数学一轮复习 定积分与微积分基本定理练习含答案
第3讲 定积分与微积分基本定理一、选择题1.(2017·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( ) A.e ＋2 B.e ＋1C.eD.e －1 解析 ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪10)＝1＋e 1－1＝e.故选C. 答案 C2.若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A.2 B.3C.4D.6 解析 ⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )⎪⎪⎪a 1＝a 2＋ln a －1， ∴a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，则a ＝2.答案 A3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )A.12gB.gC.32gD.2g解析 电视塔高h ＝⎠⎛12gt d t ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 221＝32g . 答案 C4.如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )A.⎠⎛02|x 2－1|d x B.⎪⎪⎪⎪⎠⎛02（x 2－1）d x C.⎠⎛02(x 2－1)d x D.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(1－x 2)d x解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即⎠⎛02|x 2－1|d x .答案 A5.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A.S 1<S 2<S 3B.S 2<S 1<S 3C.S 2<S 3<S 1D.S 3<S 2<S 1 解析S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e 2－e ， ∵e 2－e ＝e(e －1)＞e ＞73＞ln 2， ∴S 2＜S 1＜S 3.答案 B二、填空题6.已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝________. 解析 由⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8得，(x 2－2x ) ⎪⎪⎪t0＝t 2－2t ＝8，解得t ＝4或t ＝－2(舍去). 答案 47.已知二次函数y ＝f (x )的图像如图所示，则它与x 轴所围成的面积为________.解析 根据f (x )的图像可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0).因为f (x )的图像过(0，1)点，所以－a ＝1，即a ＝－1. 所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝⎠⎛－11(1－x 2)d x ＝2⎠⎛01(1－x 2)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43. 答案 438.(2017·合肥模拟)设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析 封闭图形如图所示，则⎠⎛0a x d x ＝＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案 49三、解答题9.计算下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x d x ； (2)⎠⎛02－x 2＋2x d x ； (3)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4d x ； (4)⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ； (5)⎠⎛－22|x 2－2x |d x . 解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ln 1＝32－ln 2； (2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由x ＝0，x ＝2，y ＝－x 2＋2x ，以及x 轴围成的图像的面积，即圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的一半，∴⎠⎛02－x 2＋2x＝π2； (3)原式＝ (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x ) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－ (－cos 0＋sin 0)＝2；(4)原式＝⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3)d x ＋⎠⎛－111d x ＝0＋x ⎪⎪⎪1-1＝2； (5)∵|x 2－2x |＝⎩⎨⎧x 2－2x ，－2≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2⎪⎪⎪0-2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2⎪⎪⎪20＝8.10.求曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 围成的图形的面积.解 作出曲线y ＝x 2，直线y ＝x ，y ＝3x 的图像，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，得交点(1，1)， 解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝3x ，得交点(3，9)， 因此，所求图形的面积为S ＝⎠⎛01(3x －x )d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(3x －x 2)d x ＝x 2⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2－13x 3⎪⎪⎪31 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32×32－13×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×12－13×13＝133. 11.若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( ) A.－1B.－13C.13D.1解析 由题意知f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ， 设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，∴f (x )＝x 2＋2m ， ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2mx ⎪⎪⎪10 ＝13＋2m ＝m ，∴m ＝－13.答案 B12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A.1＋25ln 5B.8＋25ln 113C.4＋25ln 5D.4＋50ln 2解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （1＋t ）⎪⎪⎪40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m).答案 C13.(2017·郑州调研)⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝________. 解析 ⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x －1)d x . 因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积，则⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，又⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1 ＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x－1)d x ＝π2＋e －1e －2. 答案 π2＋e －1e －214.在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小，并求最小值. 解 S 1面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 所围成的面积，即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3. S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t 2，1－t 的面积，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1).令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23.所以当t ＝12时，S (t )最小，且最小值为14.。
高考数学一轮复习课时作业18定积分与微积分基本定理理(含解析)新人教版
高考数学一轮复习课时作业18定积分与微积分基本定理理（含解析）新人教版课时作业18 定积分与微积分基本定理一、选择题1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x)d x 的值为( D )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析：⎠⎛01(3x ＋e x)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋e x |10＝32＋e －1＝e ＋12. 2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋sin x ，－1≤x ≤1，3，1<x ≤2，则⎠⎛2－1f (x )d x ＝( D )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-11 (x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛123d x ＝0＋3x|21＝6－3＝3.3．已知a ＝2－13 ，b ＝(2log 23) －12 ，c ＝14⎠⎛0πsin x d x ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( C )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a解析：依题意得，a ＝2－13 ，b ＝3－12 ，c ＝－14cos x|π0＝12，所以a 6＝2－2＝14，b 6＝3－3＝127，c 6＝(12)6＝164，则a >b >c .选C. 4．若⎠⎛01(x 2＋mx )d x ＝0，则实数m 的值为( B )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析：由题意知0(x 2＋mx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋mx 22|10＝13＋m2＝0，解得m ＝－23.5．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( C ) A.103 B ．4 C.163D ．6 解析：作出曲线y ＝x 和直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)．因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04 [x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04 (x －x＋2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x 32 －12x 2＋2x |40＝23×8－12×16＋2×4＝163. 6．抛物线y ＝－x 2＋2x 与x 轴围成的封闭图形的面积是( C ) A.34 B ．1 C.43 D.54解析：令－x 2＋2x ＝0，得x ＝0或x ＝2，所以抛物线y ＝－x 2＋2x 与x 轴围成的封闭图形的面积S ＝⎠⎛02 (－x 2＋2x )d x ＝(－13x 3＋x 2)|20＝－83＋4＝43.故选C.7．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( B )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：设m ＝⎠⎛01f (x )d x ，则f (x )＝x 2＋2m ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2m )d x ＝(13x 3＋2mx )|10 ＝13＋2m ＝m ，所以m ＝－13.故选B. 8．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛-66f (x )d x 等于( D )A ．0B ．4C ．8D ．16解析：⎠⎛-66f (x )d x ＝⎠⎛-66f (x )d x ＋⎠⎛06f (x )d x ，因为f (x )为偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称， 故⎠⎛-66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝2×8＝16.故选D.二、填空题9．若函数f (x )＝x ＋1x ，则⎠⎛1e f (x )d x ＝12e 2＋12.解析：⎠⎛1e f (x )d x ＝⎠⎛1e ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋ln x |e 1＝12e 2＋12.10．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为36J.解析：由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x |42＝5×2＋⎣⎢⎡32×42＋4×4－⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J)． 11．(2019·安徽二模)计算：⎠⎛01(2x －x 2－x )d x ＝π－24.解析：由定积分的几何意义知⎠⎛012x －x 2d x 是由y ＝2x －x 2与直线x ＝0，x ＝1所围成的图形的面积，即是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的14，故⎠⎛012x －x 2d x ＝π4，⎠⎛01 (－x )d x ＝－12x 210＝－12，∴⎠⎛01 (2x －x 2－x )d x ＝π－24.12．已知直线AB ：x ＋y －6＝0(A ，B 为直线与x 轴、y 轴的交点)与抛物线y ＝x 2及x 轴正半轴围成的图形为Ω，若从Rt △AOB 区域内任取一点M (x ，y )，则点M 取自图形Ω的概率为1627.解析：由定积分可求得阴影部分图形Ω的面积为S＝⎠⎛2x 2d x＋⎠⎛26(6－x)d x＝323.又Rt △AOB的面积为12×6×6＝18，所以P＝32318＝1627.13．若直线y＝1与函数f(x)＝2sin2x的图象相交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且|x1－x2|＝2π3，则线段PQ与函数f(x)的图象所围成的图形面积是( A )A.2π3＋ 3 B.π3＋ 3C.2π3＋3－2 D.π3＋3－2解析：如图，分别画出直线y＝1与函数f(x)＝2sin2x的图象，不妨令P在Q的左边，由|x1－x2|＝2π3可得满足题意的两个交点为P(5π12，1)，Q(13π12，1)，将线段PQ与函数f(x)的图象所围成的图形面积的问题转化为定积分的问题，即S＝ (1－2sin2x)d x＝(x＋cos2x) ＝(13π12＋cos13π6)－(5π12＋cos5π6)＝2π3＋ 3.故选A.14．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))≥1，则实数a 的取值范围是( D )A ．a ≤－1B ．a ≥－1C ．a ≤1D ．a ≥1解析：由题知，f (1)＝0，f (f (1))＝f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3a0＝a 3，所以f (f (1))≥1，即a 3≥1，解得a ≥1.故选D.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·长沙模拟)设a ＝⎠⎛01cos x d x ，b ＝⎠⎛01sin x d x ，则下列关系式成立的是( A )A ．a >bB ．a ＋b <1C ．a <bD ．a ＋b ＝1解析：∵(sin x )′＝cos x ，∴a ＝⎠⎛01cos x d x ＝sin x|10＝sin1.∵(－cos x )′＝sin x ，∴b＝⎠⎛01sin x d x ＝(－cos x )|10＝1－cos1.∵sin1＋cos1>1，∴sin1>1－cos1，即a >b .故选A.16．设M ，m 分别是f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值，则m (b －a )≤⎠⎛ab f (x )d x ≤M (b－a )．根据上述估值定理可知定积分⎠⎛-122－x2d x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤316，3. 解析：因为当－1≤x ≤2时，0≤x 2≤4，所以116≤2－x2≤1.根据估值定理得116×[2－(－1)]≤⎠⎛-122－x 2d x ≤1×[2－(－1)]，即316≤⎠⎛-122－x2d x ≤3.。
高考数学一轮总复习 2.13定积分与微积分基本定理
【答案】 D
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【名师点评】 定积分的主要应用是求曲边形的面积，一般 地，由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)，直线 x＝a，x＝b(a<b)所围成的曲边 形的面积 S＝b|f(x)－g(x)|dx，被积函数中的绝对值是不可少的，
a
在具体解题中就是根据两个函数 y＝f(x)，y＝g(x)图象位置的高低， 用分段的形式将面积表示出来．
S＝1
0
x＋13xdx＋132－x＋13xdx
＝23x
3 2
＋16x201
＋2x－13x231
＝23＋16＋43＝163.
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考点三 定积分在物理中的应用
【例 3】 物体 A 以 v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线 l 上运动，
物体 B 在直线 l 上，且在物体 A 的正前方 5 m 处，同时以 v＝10t(m/s)
A．S＝1(x2－x)dx 0
B．S＝1(x－x2)dx 0
C．S＝1(y2－y)dy 0
D．S＝1(y－ y)dy 0
答案 B
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3.1 －x2＋2xdx＝________. 0 ppt课件
解析 1 －x2＋2x dx表示y＝ －x2＋2x 与x＝0，x＝1及y＝0所围 0
成的图形的面积．
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J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
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知识点一 (1)定积分的定义
知识梳理 定积分的定义及几何意义
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如果函数f(x)在区间[a，b]上 连续
，当n→∞时，和式
n
i＝1
b－n af(ξi)无限接近
某个常数
，
这个常数 叫做函数f(x)在区
高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解
1. 理解定积分的基本概念并能利用定积分的几何意义解决一些简单的积分计算问题.2. 理解微积分的基本定理，并会用定积分公式解决简单函数的定积分问题. 二、知识要点分析1. 定积分的概念：函数)(x f 在区间［a ，b ］上的定积分表示为：⎰badx x f )(2. 定积分的几何意义：（1）当函数f （x ）在区间[a ，b]上恒为正时，定积分⎰badx x f )(的几何意义是：y=f （x ）与x=a ，x=b 及x轴围成的曲边梯形面积，在一般情形下.⎰badx x f )(的几何意义是介于x 轴、函数f （x ）的图象、以及直线x=a ，x=b 之间的各部分的面积代数和，在x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号.在图（1）中：0s dx )x (f ba>=⎰，在图（2）中：0s dx )x (f ba<=⎰，在图（3）中：dx )x (f ba⎰表示函数y=f （x ）图象及直线x=a ，x=b 、x 轴围成的面积的代数和.注：函数y=f （x ）图象与x 轴及直线x=a ，x=b 围成的面积不一定等于⎰badx x f )(，仅当在区间[a ，b]上f （x ）恒正时，其面积才等于⎰badx x f )(.3. 定积分的性质，（设函数f （x ），g （x ）在区间［a ，b ］上可积） （1）⎰⎰⎰±=±bababadx )x (g dx )x (f dx )]x (g )x (f [（2）⎰⎰=baba dx x f k dx x kf )()(，（k 为常数）（3）⎰⎰⎰+=bcbac adx x f dx x f dx x f )()()(（4）若在区间［a ，b ］上，⎰≥≥badx x f x f 0)(,0)(则推论：（1）若在区间［a ，b ］上，⎰⎰≤≤babadx x g dx x f x g x f )()(),()(则（2）⎰⎰≤babadx x f dx x f |)(||)(|（3）若f （x ）是偶函数，则⎰⎰=-a aadx x f dx x f 0)(2)(，若f （x ）是奇函数，则0)(=⎰-aadx x f4. 微积分基本定理：一般地，若)()()(],[)(),()('a Fb F dx x f b a x f x f x F ba-==⎰上可积，则在且注：（1）若)()('x f x F =则F （x ）叫函数f （x ）在区间［a ，b ］上的一个原函数，根据导数定义知：F （x ）+C 也是f （x ）的原函数，求定积分⎰badx x f )(的关键是求f （x ）的原函数，可以利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求F （x ）.（2）求导运算与求原函数的运算互为逆运算.【典型例题】知识点一：定积分的几何意义例1．根据⎰=π200sin xdx 推断：求直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积下列结论正确的是（ ）A ．面积为0B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积 题意分析：本题考查定积分的几何意义，注意dx x ⎰π20sin 与y=sinx 及直线x=a ，x=b 和x 轴围成的面积的区别.思路分析：作出函数y=sinx 在区间[0，π2]内的图象及积分的几何意义及函数的对称性可判断. 解：对于（A ）：由于直线x=0，x=π2，y=0和正弦曲线y=sinx 所围成的曲边梯形面积为正可判断A 错.对于（B ），（C ）根据y=sinx 在[0，π2]内关于（)0,π对称知两个答案都是错误的. 根据函数y=sinx 的图象及定积分的几何意义可知：答案（D ）是正确的.解题后的思考：本题主要考查定积分的几何意义，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是混淆函数y=sinx 与x 轴、直线x=0，x=π2围成的面积等于⎰π20)(dx x f .例2．利用定积分的几何意义，说明下列等式的合理性 （1）121=⎰xdx（2）⎰=-1241πdx x .题意分析：本题主要考查定积分的几何意义：在区间[0，1]上函数y=2x ，及y=21x -恒为正时，定积分⎰12xdx表示函数y=2x 图象与x=0，x=1围成的图形的面积，dx x ⎰-121表示函数y=21x -图象与x=0，x=1围成的图形的面积.思路分析：分别作出函数y=2x 及y=21x -的图象，求此图象与直线x=0，x=1围成的面积.解：（1）在同一坐标系中画出函数y=2x 的图象及直线x=0，x=1（如图），它们围成的图形是直角三角形.其面积∆S =11221=⨯⨯.由于在区间[0，1]内f （x ）恒为正，故1210=⎰xdx .（2）由]1,0[,11222∈=+⇒-=x y x x y ，故函数y 21x -=（]1,0[∈x 的图象如图所示，所以函数y 21x -=与直线x=0，x=1围成的图形面积是圆122=+y x 面积的四分之一，又y 21x -=在区间［0，1］上恒为正.⎰=-1241πdx x解题后的思考：本题主要考查利用定积分的几何意义来验证函数y=2x 及函数y=21x -在区间［0，1］上的定积分的值，体现了数与形结合的思想的应用，易错点是画函数图象的不准确造成错误的结果.例3．利用定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.题意分析：本题考查定积分的几何意义，⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值是函数|3||1|-+-=x x y 的图象与直线x=0，x=4所围成图形的面积.思路分析：首先把区间［0，4］分割为［0，1］，［1，3］，［3，4］，在每个区间上讨论x －1，x －3的符号，把函数|3||1|-+-=x x y 化为分段函数，再根据定积分的几何意义求⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值.解：函数|3||1|-+-=x x y 化为⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y由于函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈∈+-=]4,3[(,42]3,1[(,2]1,0[(,42x x x x x y 在区间［0，1］，［1，3］，［3，4］都恒为正.设函数y=－2x+4的图象与直线x=0，x=1围成的面积为S 1 函数y=2的图象与直线x=1，x=3围成的面积是S 2 函数y=2x －4的图象与直线x=3，x=4围成的面积是S 3 由图知：S 1=S 3=,31)24(21=⨯+S 2=422=⨯ 由定积分的几何意义知：⎰-+-4|)3||1(|dx x x =10231=++S S S解题后的思考：本题考查的知识点是定积分的几何意义，利用其几何意义求定积分⎰-+-4|)3||1(|dx x x 的值，体现了等价转化的数学思想（把区间［0，4］分割，把函数y=|x －1|+|x －3|化成分段函数）、数与形结合的思想的应用.易错点是：区间［0，4］分割不当及画函数图象不准确，造成错误的结果.当被积函数含有绝对值时，常采用分割区间把函数化为分段函数的方法求定积分的值.小结：本题主要考查定积分的几何意义，要分清在区间［a ，b ］上f （x ）恒为正时，f （x ）在区间[a ，b]上定积分值才等于函数图象与直线x=a ，x=b 围成的面积.在画函数图象时注意x 的取值区间.当被积函数含有绝对值时，恰当的分割区间把函数画为分段函数再求定积分的值.高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫43，169B.⎝⎛⎭⎫45，169 C.⎝⎛⎭⎫43，157D.⎝⎛⎭⎫45，1373．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4B.43C.185D ．64．(2010·湖南省考试院调研)⎠⎛1－1(sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos15．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π2D ．π6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1td t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e )D ．(0，e 11)8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π49．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( ) A.32B ．1C ．4D.1210．(2010·沈阳二十中)设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－7611．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b ，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c (b 、c 可以相等)，若关于x 的方程x 2＋2bx ＋c ＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )A.13B.23C.12D.3412．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25二、填空题13．(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a＝________.14．已知a ＝∫π20(sin x ＋cos x )d x ，则二项式(a x －1x )6的展开式中含x 2项的系数是________．15．抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．17．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．。
高考一轮作业：3-3定积分与微积分基本定理(理)(含答案)
时间：45分钟 满分：100分 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2018·南京调研)给出如下①⎠⎛b a dx ＝⎠⎛ab dt ＝b －a(a ，b 为常数且a ＜b)；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域的面积之和为2. 其中正确 A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由定积分的性质知①错；对于②，两个积分都表示14个单位圆的面积，答案：B2．(2018·浙江五校联考)已知函数y ＝x 2与y ＝kx(k ＞0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx ，消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为⎠⎛0k (kx －x 2)dx ＝(12kx 2－13x 3)| k0＝92.即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3.故选C. 答案：C3．(2018·广州综合测试)函数F(x)＝⎠⎛0x t(t －4)dt 在[－1，5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最大值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值解析：F(x)＝(13t 3－2t 2)| x 0＝13x 3－2x 2，F′(x)＝x 2－4x ，令F′(x)＝0，得x ＝0或x ＝4， ∵F(－1)＝－13－2＝－73，F(0)＝0，F(4)＝－323，F(5)＝－253，∴F(x)的最大值为0，最小值为－323.故选B.答案：B4．(2018·福建莆田高三质检)如图，由函数f(x)＝e x－e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )A ．e 2－2e －1 B ．e 2－2e C.e 2－e 2D ．e 2－2e ＋1解析：面积S ＝⎠⎛12f(x)dx ＝⎠⎛12(e x－e)dx ＝(e x－ex)|21＝(e 2－2e)－(e 1－e)＝e 2－2e.答案：B5．(2018·山东淄博模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x)dx ，S 20＝17，则S 30为( )A ．15B ．20C ．25D ．30解析：S 10＝⎠⎛03(1＋2x)dx ＝(x ＋x 2)| 30＝12.因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，即12,5，S 30－17成等差数列，易得S 30＝15.答案：A6．(2018·广州海珠区测试)用max{a ，b}表示a ，b 两个数中的最大数，设f(x)＝max{x 2，x }(x≥14)．那么由函数y ＝f(x)的图象、x 轴、直线x ＝14和直线x ＝2所围成的封闭图形的面积是( )A.3512B.5924C.578D.9112答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(2018·山东模拟)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.答案：498．(2018·江西模拟)计算定积分＝__________.答案：239．(2018·中山一模)设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x≤0，若f[f(1)]＝1，则a ＝________. 解析：∵f(1)＝lg 1＝0，∴f[f(1)]＝f(0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2dt ＝t 3| a0＝a 3，∴a 3＝1得a ＝1. 答案：110．(2018·上海模拟)已知函数y ＝f(x)的图像是折线段ABC ，其中A(0,0)、B(12，5)、C(1,0)．函数y ＝xf(x)(0≤x≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．解析：写出函数解析式，再利用定积分求曲边形的面积．由题意可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x≤1210－10x ，12<x≤1，所以y ＝xf(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x≤1210x －10x 2，12<x≤1，与x 轴围成图形的面积为答案：54三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤) 11．(2018·浙江宁波十校联考)求定积分⎠⎛12(x ＋1x －1x 2)dx.解：⎠⎛12(x ＋1x －1x 2)dx＝⎠⎛12xdx ＋⎠⎛121x dx －⎠⎛121x2dx ＝12x 2| 21＋ln x | 21＋1x | 21 ＝12×(4－1)＋ln 2＋(12－1) ＝1＋ln 2.12．(2018·北京东城期末)已知经过原点的直线l 平分抛物线f(x)＝x 2－6x 与x 轴所围成的封闭区域的面积．(1)求抛物线f(x)与x 轴所围成的封闭区域的面积S ； (2)求直线l 的方程．解：(1)由f(x)＝0得x ＝0或x ＝6， ∴S ＝－⎠⎛06(x 2－6x)dx ，令F(x)＝13x 3－3x 2，则F′(x)＝x 2－6x ，∴S ＝－F(6)＋F(0)＝36. (2)设直线l ：y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－6x ，得x 2－(k ＋6)x ＝0，∴x ＝0或x ＝6＋k.∵直线l 平分抛物线f(x)＝x 2－6x 与x 轴所围成的封闭区域的面积， ∴∫k ＋60[kx －(x 2－6x)]dx ＝∫k ＋60[－x 2＋(k ＋6)x]dx ＝18，令G(x)＝－13x 3＋k ＋62x 2，则G′(x)＝－x 2＋(k ＋6)x ，∴－13(k ＋6)3＋12(k ＋6)3＝18，∴k ＝334－6，∴直线l 的方程为y ＝(334－6)x.13．(2018·山东聊城外国语学校二模)已知f(x)＝x 2＋ax ＋a(a≤2，x ∈R)，g(x)＝e －x，φ(x)＝f(x)·g(x)． (1)当a ＝1时，求φ(x)的单调区间；(2)求g(x)在点(0,1)处的切线与直线x ＝1及曲线g(x)所围成的封闭图形的面积． 解：(1)当a ＝1时，φ(x)＝(x 2＋x ＋1)e －x， φ′(x)＝e －x(－x 2＋x)．当φ′(x)>0时，0<x<1；当φ′(x)<0时，x>1或x<0.∴φ(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(－∞，0)，(1，＋∞)． (2)切线的斜率为k ＝g′(0)＝－e －x|x ＝0＝－1， ∴切线方程为y ＝－x ＋1. ∴所求封闭图形的面积为S ＝⎠⎛01[e －x－(－x ＋1)]dx ＝⎠⎛01(e －x＋x －1)dx＝(－e －x ＋12x 2－x) |10＝12－1e .。
一轮复习--定积分与微积分基本定理PPT课件
0
5
所以5
－5
(3x3＋4sin
x)dx＝0－5
(3x3＋4sin
x)dx
＋
0
(3x3
＋
4sin x)dx＝0.
[方法技巧] 1．利用定积分几何意义求定积分的策略 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直 线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，利 用定积分的几何意义求定积分． 2．两个常用结论 设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则由定积分的几 何意义和奇、偶函数图象的对称性可得两个结论： (1)若f(x)是偶函数，则a－af(x)dx＝2af(x)dx；
图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．
由yy＝ ＝x－x，2 得交点A(4,2)．
因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为
＝
4
0
x－x＋2dx
＝
2 3x
3 2
－12x2＋2x
4 0
＝23×8－12×16＋2×4＝136.
[答案] C
[方法技巧] 利用定积分求平面图形面积的步骤
3.在区间[0,1]上给定曲线 y＝x2，试在此区间内确定点 t 的值，使图 4－5－4 中阴影部分的面积 S1 与 S2之和最小．
图 4－5－4
解：S1 面积等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 y＝x2 与 x 轴、直线 x＝t 所围成的面积，即
t
S1＝t·t2－ 0
x2dx＝23t3.
当 t＝12时，S 最小，
∴最小值为 S12＝14.
kbf(x)dx
(1)bkf(x)dx＝___a______ (k 为常数)；
a
bf1(x)dx±bf2(x)dx
2018届高考数学一轮复习配餐作业18定积分与微积分基本定理(含解析)理
配餐作业(十八) 定积分与微积分基本定理(时间：40分钟)一、选择题1.⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝( )A ．56B ．28 C.563D ．14解析 ⎠⎛24(x 2＋x 3－30)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋14x 4－30x |42＝13(43－23)＋14(44－24)－30(4－2)＝563。
故选C 。
答案 C 2． (1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2解析 (1＋cos x )d x ＝2(1＋cos x )d x ＝2(x ＋sin x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1＝π＋2。
故选D 。
答案 D3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－2≤x ≤0，x ＋1，0＜x ≤2，则f (x )d x 的值为( )A.43 B ．4 C ．6D.203解析＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋83＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4＋2－0＝203。
故选D 。
答案 D4．如图所示，曲线y ＝x 2－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即|x 2－1|d x ，故选A 。
答案 A5．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋m (m ，x ∈R )的最小值为－1，则⎠⎛12f (x )d x 等于( )A ．2 B.163C ．6D ．7解析 f (x )＝(x ＋1)2＋m －1，∵f (x )的最小值为－1， ∴m －1＝－1，即m ＝0。
∴f (x )＝x 2＋2x 。
∴⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(x 2＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2|21＝13×23＋22－13－1＝163。
故选B 。
答案 B6.e |x |d x 值等于( )A ．e 2－e －2B ．2e 2C ．2e 2－2D ．e 2＋e －2－2解析＝－1＋e 2＋e 2－1 ＝2e 2－2。
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配餐作业(十八) 定积分与微积分基本定理
(时间：40分钟)
一、选择题
1.⎠⎛2
4(x 2
＋x 3
－30)d x ＝( )
A ．56
B ．28 C.
56
3
D ．14
解析 ⎠⎛2
4(x 2＋x 3
－30)d x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 3＋14x 4－30x |42
＝13(43－23)＋14(44－24)－30(4－2)＝56
3。
故选C 。
答案 C 2． (1＋cos x )d x 等于( )
A ．π
B ．2
C ．π－2
D ．π＋2
解析 (1＋cos x )d x ＝2
(1＋cos x )d x ＝2(x ＋sin x )
＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋1＝π＋2。
故选D 。
答案 D
3．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
，－2≤x ≤0，x ＋1，0＜x ≤2，则f (x )d x 的值为( )
A.43 B ．4 C ．6
D.20
3
解析
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋83＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4＋2－0＝20
3。
故选D 。
答案 D
4．如图所示，曲线y ＝x 2
－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( )
解析 由曲线y ＝|x 2－1|的对称性，所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等，即
|x 2－1|d x ，故选A 。
答案 A
5．若函数f (x )＝x 2
＋2x ＋m (m ，x ∈R )的最小值为－1，则⎠⎛1
2f (x )d x 等于( )
A ．2 B.
163
C ．6
D ．7
解析 f (x )＝(x ＋1)2
＋m －1，∵f (x )的最小值为－1， ∴m －1＝－1，即m ＝0。
∴f (x )＝x 2
＋2x 。
∴⎠⎛12
f (x )d x ＝⎠⎛1
2
(x 2
＋2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2|21＝13×23＋22
－13－1＝163。
故选B 。
答案 B
6.
e |x |d x 值等于( )
A ．e 2
－e －2
B ．2e 2
C ．2e 2－2
D ．e 2＋e －2－2
解析
＝－1＋e 2＋e 2－1 ＝2e 2
－2。
故选C 。
答案 C
7．(2016·南昌一模)若⎠⎛1a ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2(a >1)，则a 的值是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
解析 由题意可知⎠⎛1a ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1＝a 2
＋ln a －1＝3＋ln2，解得a ＝2。
故选
A 。
答案 A
8．一物体受到与它运动方向相反的力：F (x )＝110e x
＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x
＝1时F (x )所做的功等于( )
A.e 10＋25
B.e 10－25
C ．－e 10＋25
D ．－e 10－25
解析 由题意知W ＝－⎠⎛01⎝
⎛⎭⎪⎫110
e x ＋x d x ，
因为⎝ ⎛⎭⎪⎫110e x ＋12x 2′＝110e x ＋x ，所以原式＝－e 10－25。
故选D 。
答案 D 二、填空题
9．(2016·陕西五校二联)定积分 (|x |－1)d x 的值为________。
解析
答案 －1
10．设函数f (x )＝(x －1)x (x ＋1)，则满足⎠⎛0
a f ′(x )d x ＝0的实数a ＝________。
解析 ⎠⎛0
a f ′(x )d x ＝f (a )＝0，得a ＝0或1或－1，又由积分性质知a ＞0，故a ＝1。
答案 1
11．函数y ＝x －x 2
的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于________。
解析 由x －x 2
＝0，得x ＝0或x ＝1，因此所围成的封闭图形的面积为
(x －x 2
)d x
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 3
3|10＝12－13＝1
6。
答案 16
12．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π
2所围成的平面图形(图中的阴影部分)
的面积是________。
解析 由图可得阴影部分面积S ＝
2 (cos x －sin x )d x ＝2(sin x ＋cos x
) ＝
2(2－1)。
答案 22－
2
(时间：20分钟)
1．已知f (x )为偶函数且⎠
⎛06
f (x )d x ＝8，则
f (x )d x 等于( )
A ．0
B ．4
C ．8
D ．16
解析 因为原函数为偶函数，即在y 轴两侧的图象对称，所以对应的面积相等，
∴
f (x )d x ＝2⎠⎛0
6
f (x )d x ＝8×2＝16。
故选D 。
答案 D
2．若f (x )＝x 2
＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛0
1f (x )d x 等于( )
A ．－1
B ．－13
C.1
3
D ．1
解析 ∵f (x )＝x 2
＋2⎠⎛0
1f (x )d x ，
∴⎠⎛01
f (x )d x ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫13x 3＋2x ⎠⎛
1f x
x |10
＝1
3＋2⎠
⎛0
1f (x )d x ，
∴⎠
⎛0
1f (x )d x ＝－1
3。
故选B 。
答案 B
3．(2017·泰安模拟)若f (x )＝则f (2 014)＝( )
A.1
3 B.16 C.56
D.12
解析 f (2 014)＝f (2 014－5×402)＝f (4)＝f (4－5)＝f (－1)＝2－1
＋cos3t d t 。
因为⎝ ⎛⎭⎪⎫13sin3t ′＝cos3t ，
所以
cos3t d t ＝1
3sin3t
＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2－sin0＝13，
所以f (2 014)＝2－1
＋13＝56。
故选C 。
答案 C
4．(2016·滨州模拟)已知正方形ABCD ，点M 是DC 的中点，由AM →＝mAB →＋nAC →
确定m ，n
的值，计算定积分⎠⎛m π
n πsin x d x ＝________。
解析 如图，AM →＝mAB →＋nAC →
＝－12AB →＋AC →，
因为(－cos x )′＝sin x ，
答案 1
5．(2017·安徽合肥一模)已知函数f (x )＝ln x ＋x 2
－3x ，则其导函数f ′(x )的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为________。
解析 因为f ′(x )＝1
x
＋2x －3，令f ′(x )＝0，
得x ＝1
2
或x ＝1，
所以f ′(x )的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积S ＝－f ′(x )d x ＝－f (x )
＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
ln 12＋14－32－(ln1＋1－3)＝ln 12＋34＝34－ln2。
答案 3
4
－ln2。