理论力学 第三章讲解
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理 论 力 学 教学 课程第3章
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第一节 平面静定桁架
• 2 ．截面法 • 当桁架中的杆件比较多，而只需计算其中某几个杆件的内力时，应用
节点法往往比较麻烦，这时采用截面法。截面法是适当选取一截面， 假想地将桁架截开，选取其中的一部分作为研究对象。作用在这部分 桁架上的外力与被截断杆件的内力构成平面一般力系，应用平面一般 力系的平衡条件，可求解三个未知量。因此，在应用截面法时，一般 截断的未知内力的杆件数应不多于三根。假想截面的形状可任意选择， 既可以是平面，也可以是曲面。
• 所有杆件都在同一平面内的桁架，称为平面桁架。桁架中杆件与杆件 的连接处称为节点，节点的构造通常使用铆接、焊接或螺栓连接等形 式。如图 3-2 所示，由基本三角形结构出发，通过增加杆件延拓而成 的平面桁架称为平面简单桁架，图 3-2 （ a ）和（ b ）分别为屋架 和桥梁结构的平面简单桁架。这种结构是静定的几何不变系统。本节 只讨论平面简单桁架的内力计算问题。
• 二、桁架内力的计算方法
• 计算平面简单桁架的内力有两种方法：节点法和截面法。在求解桁架 内力之前，通常先选取整体为研究对象，求出桁架支座的约束力。
• 1 ．节点法 • 节点法求解桁架内力是以桁架的节点为研究对象的。平面桁架的每个
节点都受平面汇交力系的作用，可用平面汇交力系的平衡方程求解。 对于每个节点只能列两个独立的平衡方程，求解两个未知量。因此， 在采用节点法时，选取的节点的未知量应不超过两个。
• Fd=f dFN （ 3-3 ） • 式中： f d 称为动摩擦系数，它与接触物的材料、表面粗糙度及相对
滑动速度等因素有关，其值略小于静摩擦系数，即 f d < f s 。 • 2 ．摩擦角与自锁现象 • 1 ）摩擦角 • 摩擦角是对静摩擦系数的几何描述。
第一节 平面静定桁架
• 2 ．截面法 • 当桁架中的杆件比较多，而只需计算其中某几个杆件的内力时，应用
节点法往往比较麻烦，这时采用截面法。截面法是适当选取一截面， 假想地将桁架截开，选取其中的一部分作为研究对象。作用在这部分 桁架上的外力与被截断杆件的内力构成平面一般力系，应用平面一般 力系的平衡条件，可求解三个未知量。因此，在应用截面法时，一般 截断的未知内力的杆件数应不多于三根。假想截面的形状可任意选择， 既可以是平面，也可以是曲面。
• 所有杆件都在同一平面内的桁架，称为平面桁架。桁架中杆件与杆件 的连接处称为节点，节点的构造通常使用铆接、焊接或螺栓连接等形 式。如图 3-2 所示，由基本三角形结构出发，通过增加杆件延拓而成 的平面桁架称为平面简单桁架，图 3-2 （ a ）和（ b ）分别为屋架 和桥梁结构的平面简单桁架。这种结构是静定的几何不变系统。本节 只讨论平面简单桁架的内力计算问题。
• 二、桁架内力的计算方法
• 计算平面简单桁架的内力有两种方法：节点法和截面法。在求解桁架 内力之前，通常先选取整体为研究对象，求出桁架支座的约束力。
• 1 ．节点法 • 节点法求解桁架内力是以桁架的节点为研究对象的。平面桁架的每个
节点都受平面汇交力系的作用，可用平面汇交力系的平衡方程求解。 对于每个节点只能列两个独立的平衡方程，求解两个未知量。因此， 在采用节点法时，选取的节点的未知量应不超过两个。
• Fd=f dFN （ 3-3 ） • 式中： f d 称为动摩擦系数，它与接触物的材料、表面粗糙度及相对
滑动速度等因素有关，其值略小于静摩擦系数，即 f d < f s 。 • 2 ．摩擦角与自锁现象 • 1 ）摩擦角 • 摩擦角是对静摩擦系数的几何描述。
理论力学 第三章 平面力系
FBl cos M 0
得
M 20 k N m FB 4.62 kN l cos 5 m cos 30
FA FB 4.62kN
故
目录
第三章 平面力系\力的平移定理
3.3 力的平移定理
作用于刚体上的力，可平行移动到刚体内任一指定点，但必须 在该力与指定点所决定的平面内同时附加一力偶，此附加力偶的矩 等于原力对指定点之矩。 平面一般力系向一点简化的理论基础是力的平移定理。
设平面汇交力系F1、F2、…、Fn中各力在x、y轴上的投影分 别为Xi、Yi，合力FR在x、y轴上的投影分别为XR、YR，利用公式
F Fx Fy Xi Yj
分别计算式FR=F1+F2+…+Fn=ΣF 等号的左边和右边，可得 FR = XR i+YR j 以及 F1+F2+…+Fn=(X1i+Y1j)+（X2i+Y2j）+…+（Xni+Ynj） =（X1+X2+…+Xn）i+（Y1+Y2+…+Yn）j 比较后得到 X R X1 X 2 X n X YR Y1 Y2 Yn Y 目录
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第三章 平面力系
如图(a)所示水坝，通常取单位长度坝段进行受力分析，并将坝 段所受的力简化为作用于坝段中央平面内的一个平面力系［图(b)］。
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第三章 平面力系
第三章 平面力系
3.1 平面汇交力系的合成与平衡 3.2 平面力偶系的合成与平衡 3.3 力的平移定理 3.4 平面一般力系向一点简化 3.5 平面一般力系的平衡方程及其应用
第三章 平面力系\平面力偶系的合成与平衡
理论力学第三章
Fx 0 Fy 0
Mz 0
五、力偶
； 两个大小相等，方向相反且不共线的平行力，就叫做力偶。
a、力偶不存在合力。 力偶作用的效果不能改变刚体平动，只能改变刚体转动。 b、力偶矩 力偶对力偶面内任一点的力矩。
M r2 F2 r1 F1 (r2 r1 ) F r F
x0 ( x)
(a)
x0
(b)
初始时刻
z0 z2
：进动角，
y2
z0
：进动角，
：章动角，
z
y
确定刚体绕这轴线所转过 的角度
：自转角。
y0
O
O
y0
x2 ( N )
x0
N (d)
x
x0
(c)
：章动角，
：自转角。
欧勒动力学方程
k0 k
x i y j z k '
这里只是把 n 看成一个有方向的量，并不确定它是矢量。
O
假设刚体相继完成两次无限小的转动，先绕瞬时轴L1 转过一微小角位移n1
相继绕 L2 瞬时轴再转过一角位移n2 ， 看一下P点的位移
第一次转过后 第二次转过后
r1 n1 r
r2 n2 (r n1 r ) n2 r
P点的总位移
r1 r2 (n1 n2 ) r
表明P点经两个分转动而产生的位移之和等价于一个合转动产生的位移， n n 而这个合转动的角位移是两个分转动的角位移之和 1 。 2
将转动的次序换一下，用同样道理可以得到
理论力学周衍柏第三章
一、基础知识 1. 力系：作用于刚体上里的集合. 平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系. 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同. 二、公理： 1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作 用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原 力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，幵不改变其作用 效果，F与F’等效。 注：1）以上公理适用于刚体, 2) 力的作用线不可随便平移
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
(e) dT Fi dri
(e) 若 Fi dri dV 则 T V E
为辅助方程，可代替上述6个方程中任何一个
§3.5 转动惯量
一、刚体的动量矩 1. 某时刻刚体绕瞬轴OO’转动,则pi点的速度为
vi rii
动量矩为 2. 坐标表示
R Fi Fi 0 M M i ri Fi 0
2. 几种特例 1）汇交力系（力的作用线汇交于一点）：取汇交点为 简化中心，则
Fix 0 R Fi 0 Fiy 0 Fiz 0
三、力偶力偶矩 1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。
力 偶 所在平面角力偶面. 2. 力偶矩: 对任意一点O M rA F rB F (rA rB ) F r F M Fd
方向 : 右手法则 上式表明:
J z x mi zi xi y mi zi yi z mi ( xi2 yi2 )
I yy mi ( zi2 源自xi2 ) I zy mi zi yi I yz mi yi zi I xz mi xi zi
I zz mi ( xi2 yi2 )
理论力学第三章力矩与平面力偶理论（H）
理论⼒学第三章⼒矩与平⾯⼒偶理论（H）第3章⼒矩与平⾯⼒偶理论※平⾯⼒对点之矩的概念及计算※⼒偶及其性质※平⾯⼒偶系的合成与平衡※结论与讨论§3-1 平⾯⼒对点之矩的概念及计算1.⼒对点之矩AFBhhF M O ?±=)(F h ——⼒臂O ——矩⼼OABM O Δ±=2)(F M O (F ) ——代数量（标量）“＋”——使物体逆时针转时⼒矩为正；“－”——使物体顺时针转时⼒矩为负。
2. 合⼒之矩定理平⾯汇交⼒系合⼒对于平⾯内⼀点之矩等于所有各分⼒对于该点之矩的代数和。
3. ⼒矩与合⼒矩的解析表达式xA FF xF yOαyx yx y y O x O O yF xF M M M ?=+=)()()(F F F )()()()()(21i O n O O O R O M M M M M F F F F F ∑=+++=")()(ix i iy i R O F y F x M ?∑=FF nαOrF rF 已知：F n ，α，r求：⼒F n 块对轮⼼O 的⼒矩。
h解：（1）直接计算αcos )(r F h F M n n n O ==F （2）利⽤合⼒之矩定理计算αcos )()()()(r F M M M M n O O r O n O ==+=F F F F 例题1§3-2 ⼒偶及其性质1.⼒偶与⼒偶矩⼒偶——两个⼤⼩相等、⽅向相反且不共线的平⾏⼒组成的⼒系。
⼒偶臂——⼒偶的两⼒之间的垂直⼒偶的作⽤⾯——⼒偶所在的平⾯。
（1）⼒偶不能合成为⼀个⼒，也不能⽤⼀个⼒来平衡。
⼒和⼒偶是静⼒学的两个基本要素。
（2）⼒偶矩是度量⼒偶对刚体的转动效果；它有两个要素：⼒偶矩的⼤⼩和⼒偶矩的转向。
F′FABOdx FdFxxdFMMMOOO=+′=′+=′)()()(),(FFFF⼒偶矩±=FdM2.平⾯⼒偶的等效定理1F ′F ′2F ′0F ′F 00F ′F 0ABDCdF F 1F 2★在同平⾯内的两个⼒偶，如果⼒偶矩相等，则两⼒偶彼此等效。
理论力学03力矩力偶与平面力偶系
本章讨论平面力偶系的合成与平衡问题
一、平面力偶系的合成 平面力偶系可合成为一个合力偶； 合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即
M1
M2 M3
M4
M Mi
二、平面力偶系的平衡方程
Mi 0
M
说明：根据平面力偶系的平衡方程，可解 一个未知量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[例2] 已知梁长 l = 5 m，M = 100 kN·m ；若不计梁的自重，试求 铰支座 A 、B 处的约束力。
2. 力偶中的两个力对任一点的矩的代数和 恒等于力偶矩，与矩心位置无关。
dF F
3. 作用于刚体同一平面内两个力偶等效的充要条件为其力偶矩 相等。
结论：力偶矩唯一决定了力偶对刚体的作用效应。
◆ 通常用力偶矩符号来代表力偶：
F
d
M Fd
F
M 或M
第三节 平面力偶系
平面力偶系：由位于同一平面内的一群力偶所组成的力系
构平衡。试求作用于摆杆 BO1上的力偶矩 M2 （各构件的自重不计）
解： 1）首先研究曲柄 AO与套筒A 的组合 画受力图 列平衡方程
Mi 0, M1 FA r sin 30 0
解得
FA
FO
2M1 r
M1
O
FO
FA
FA
FO
2M1 r
2）再选取摆杆 BO1 为研究对象
画受力图
列平衡方程
Mi 0, M 2 FA AO1 0
的平行力称为一个力偶，记作 F, F。
dF F
二、力偶矩 定义
M Fd
为平面内力偶 F, F 的矩，简称力偶矩。
说明： 1）平面内力偶矩为代数量，其正负号表转向，一般规定 逆时针转向为正，反之为负。
理论力学第三章 刚体力学-2
y Ay ( x xA ) 0
Ay x xC xA y y y Ax C A
x Ax y 0 ( S系中) y Ay x 0 Ay x xC ( S 系中) y y Ax C
n J o ri mii i 1
ri mi ( ri )
i 1 n
n
mi [ri ( ri )]
i 1
n J o mi [ri ( ri )] i 1
mi [ri ( ri )ri ]
②瞬心的速度为零
③瞬心可以在刚体上、也可以在刚体外。 ④对瞬心而言，刚体上任一点P的速度都垂直 于瞬心c与该点p的连线CP。
P
p
C
瞬心的求法
方法一：由刚体上任一点速度公式求。
x Ax ( y y A ) 0 A r
第三章 刚体力学
• 刚体运动方程与平衡方程 • 刚体的定轴转动 • 刚体的平面平行运动
• 刚体的定点转动
§3.3 刚体的平动与绕固定轴的转动
一、 刚体的平动 运动分析：各点运动情况相同，自由度为3。 平动
z
转动
o y
z
x
z
o x
z
y
xo y
xo y
结论可用一点（常用质心）的运动代表刚体的整 体运动，由质心运动定理(固定坐标系中)
y
r xi yj
z
S
y P S r r x
A rA
x Ax ( y y A ) y Ay ( x x A )
Ay x xC xA y y y Ax C A
x Ax y 0 ( S系中) y Ay x 0 Ay x xC ( S 系中) y y Ax C
n J o ri mii i 1
ri mi ( ri )
i 1 n
n
mi [ri ( ri )]
i 1
n J o mi [ri ( ri )] i 1
mi [ri ( ri )ri ]
②瞬心的速度为零
③瞬心可以在刚体上、也可以在刚体外。 ④对瞬心而言，刚体上任一点P的速度都垂直 于瞬心c与该点p的连线CP。
P
p
C
瞬心的求法
方法一：由刚体上任一点速度公式求。
x Ax ( y y A ) 0 A r
第三章 刚体力学
• 刚体运动方程与平衡方程 • 刚体的定轴转动 • 刚体的平面平行运动
• 刚体的定点转动
§3.3 刚体的平动与绕固定轴的转动
一、 刚体的平动 运动分析：各点运动情况相同，自由度为3。 平动
z
转动
o y
z
x
z
o x
z
y
xo y
xo y
结论可用一点（常用质心）的运动代表刚体的整 体运动，由质心运动定理(固定坐标系中)
y
r xi yj
z
S
y P S r r x
A rA
x Ax ( y y A ) y Ay ( x x A )
理论力学 第三章
于静止状态，已知作用在滑块B的水平力F，角度θ、β和曲
柄长r，不计机构重量、摩擦和滑块尺寸，求作用在曲柄OA上
的力偶M。
MA
r
Oθ
β
B
F
(a)
解：连杆AB为二力体。
MA
取曲杆OA为研究对象，由
于力偶只能与力偶平衡，受
r
Oθ
B F
β
力如图b所示。
M A θ+β
由 Mi 0
r
θ
FAB
得 r ·FAB sin(θ+β) M = 0
z
F2 F2
O
F3 y
F3
F1
x
F1
z
M1
M3
45°
M2
45° y
O
x
3.合力偶矩矢MR 的大小和方向余弦。
MR
M
2 Rx
M
2 Ry
M
2 Rz
42.7
N m
cosMR , i
M Rx MR
0
cosMR ,
j
M Ry MR
0.262
cosMR , k
M Rz MR
0.965
4. 为使这个刚体平衡，需加一力
M = F1 ·d=F' 1·d'
F2
d
F1
F2
=
d
F1
F
=
M
F
因此，可用圆箭头来表示力偶。
三.平面力偶系的合成和平衡条件
已知：M1, M2 , Mn;
任选一段距离d
M1 d
F1
M1 F1d
M2 d
F2
M2 F2d
Mn d
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11
例3-3
已知：P=1000N ,各杆重不计.
求：三根杆所受力.
解： 各杆均为二力杆，取球铰O，画受
力图。
Fx 0
FO B sin 4 5 FO C sin 4 5 0
Fy 0
FOB c os45 FOC c os45 FOA c os45 0
Fz 0
FOA sin 45 P 0
1
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力 系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。
迎面 风力
侧面 风力
b
2
第三章 空间力系 §3–1 空间汇交力系 §3–2 力对点的矩与力对轴的矩 §3–3 空间力偶系 §3–4 空间一般力系向一点的简化 §3–5 空间一般力系的平衡方程 §3–6 重心
Fz F cosg F sin
5
4、力沿坐标轴分解：
若以 Fx ,Fy ,Fz 表示力沿直角
坐标轴的正交分量，则：
而：F Fx Fy Fz
Fz
Fx Fxi , Fy Fy j, Fz Fz k
Fx
所以：
F Fxi Fy j Fz k
F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx ,cos Fy ,cosg Fz
F
F
F
Fy
6
二、空间汇交力系的合成：
1、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多 边形方法求合力。
FR F1 F2 F3 Fn
F
i
即：合力等于各分力的矢量和 2、解析法：
由于 Fi Fx i i Fyi j Fzi k 代入上式
合力：FR Fxii Fyi j Fzik
由图可知：
Fx F cos , Fy F cos , Fz F cos g
3、二次投影法（间接投影法）
当力与各轴正向夹角不易
确定时，先将 F 投影到xy面上，
然后再投影到x、y轴上，
即
Fx Fxy cos F sin g cos F cos cos
Fy Fxy sin F sin g sin F cos sin
FOA 1414 N FOB FOC 707 N（拉）
§3-2 力对点的矩与力对轴的矩
一、力对点的矩的矢量表示-----力矩矢 在平面中：力对点的矩是代数量。 在空间中：力对点的矩是矢量。
mO (F ) Fd 2AOB面积
r 表示A点的矢径
13
三要素： (1）大小:ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ F与 力臂的乘积 （2）方向:转动方向 （3）作用面：力矩作用面.
所以：
FR x Fxi
FR y Fyi
FR z Fzi
7
3、合力投影定理： 空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴
上投影的代数和。
大小: FR
FR
2 x
FR
2 y
FR
2 z
(
Fx )2 (
Fy )2 (
Fz )2
方向：cos FRx , cos FRy , cosg FRz
MO (F)x yFz zFy M x (F) MO (F ) y zFx xFz M y (F ) MO (F)z xFy yFx M z (F)
17
定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力 对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。
MO(F) r F
14
r xi yj zk F Fxi Fy j Fzk
i jk M O (F ) r F x y z ( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
Fx Fy Fz [MO (F )]x i [MO (F )]y j [MO (F )]z k
对于这个平面与该轴的交点的矩.
16
三.力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 Mx (F) Mx (Fx ) Mx (Fy ) Mx (Fz ) Fz y Fy z
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx z Fz x Mz (F) Fy x Fx y
解： Fz Fn sin Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn co s sin
F y Fxy c os Fn c os c os
10
例3-2 已知：物重P=10kN，CE=EB=DE； 3 0 0
求：杆受力及绳拉力
解： 1)画受力图
2)列平衡方程
Fx 0 : F1 sin 4 5 F2 sin 4 5 0
力对点 O的矩在三个坐标轴上的投影为
MO (F )x yFz zFy
MO (F ) y zFx xFz
MO (F )z xFy yFx
15
二、力对轴的矩
定义： M z (F ) M O (Fxy ) Fxy d 它是代数量，方向规定 + –
力与轴相交或与轴平行（力与轴共面时）,力对该轴之矩为零. 力对轴的矩其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影
习题课
3
§3-1 空间汇交力系
当空间力系中各力作用线汇交于一点时，称其为空间汇交力系.
一、力在空间轴上的投影与分解：
1.力在空间的表示：
力的三要素：
大小、方向、作用点(线)
g
O
Fxy
大小： F F
作用点：在物体的哪点就是哪点 方向：
由、、g三个方向角确定 由仰角 与俯角 来确定。
4
2、一次投影法（直接投影法）
Fy 0 : F A sin 3 0 F1 co s 4 5 co s 3 0 F2 co s 4 5 co s 3 0 0
Fz 0 : F1 co s 4 5 sin 3 0 F2 co s 4 5 sin 3 0 F A co s 3 0 P 0
F1 F2 3.54 kN FA 8.66 kN
FR
FR
FR
8
三、空间汇交力系的平衡 空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
FR Fi 0
∴几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
∴解析法平衡充要条件为：
Fx 0 Fy 0
Fz 0
称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
9
例3-1 已知： Fn , , ,求：力 Fn在三个坐标轴上的投影.
例3-3
已知：P=1000N ,各杆重不计.
求：三根杆所受力.
解： 各杆均为二力杆，取球铰O，画受
力图。
Fx 0
FO B sin 4 5 FO C sin 4 5 0
Fy 0
FOB c os45 FOC c os45 FOA c os45 0
Fz 0
FOA sin 45 P 0
1
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力 系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。
迎面 风力
侧面 风力
b
2
第三章 空间力系 §3–1 空间汇交力系 §3–2 力对点的矩与力对轴的矩 §3–3 空间力偶系 §3–4 空间一般力系向一点的简化 §3–5 空间一般力系的平衡方程 §3–6 重心
Fz F cosg F sin
5
4、力沿坐标轴分解：
若以 Fx ,Fy ,Fz 表示力沿直角
坐标轴的正交分量，则：
而：F Fx Fy Fz
Fz
Fx Fxi , Fy Fy j, Fz Fz k
Fx
所以：
F Fxi Fy j Fz k
F Fx2 Fy2 Fz2
cos Fx ,cos Fy ,cosg Fz
F
F
F
Fy
6
二、空间汇交力系的合成：
1、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多 边形方法求合力。
FR F1 F2 F3 Fn
F
i
即：合力等于各分力的矢量和 2、解析法：
由于 Fi Fx i i Fyi j Fzi k 代入上式
合力：FR Fxii Fyi j Fzik
由图可知：
Fx F cos , Fy F cos , Fz F cos g
3、二次投影法（间接投影法）
当力与各轴正向夹角不易
确定时，先将 F 投影到xy面上，
然后再投影到x、y轴上，
即
Fx Fxy cos F sin g cos F cos cos
Fy Fxy sin F sin g sin F cos sin
FOA 1414 N FOB FOC 707 N（拉）
§3-2 力对点的矩与力对轴的矩
一、力对点的矩的矢量表示-----力矩矢 在平面中：力对点的矩是代数量。 在空间中：力对点的矩是矢量。
mO (F ) Fd 2AOB面积
r 表示A点的矢径
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三要素： (1）大小:ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ F与 力臂的乘积 （2）方向:转动方向 （3）作用面：力矩作用面.
所以：
FR x Fxi
FR y Fyi
FR z Fzi
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3、合力投影定理： 空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴
上投影的代数和。
大小: FR
FR
2 x
FR
2 y
FR
2 z
(
Fx )2 (
Fy )2 (
Fz )2
方向：cos FRx , cos FRy , cosg FRz
MO (F)x yFz zFy M x (F) MO (F ) y zFx xFz M y (F ) MO (F)z xFy yFx M z (F)
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定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力 对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。
MO(F) r F
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r xi yj zk F Fxi Fy j Fzk
i jk M O (F ) r F x y z ( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
Fx Fy Fz [MO (F )]x i [MO (F )]y j [MO (F )]z k
对于这个平面与该轴的交点的矩.
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三.力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 Mx (F) Mx (Fx ) Mx (Fy ) Mx (Fz ) Fz y Fy z
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx z Fz x Mz (F) Fy x Fx y
解： Fz Fn sin Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn co s sin
F y Fxy c os Fn c os c os
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例3-2 已知：物重P=10kN，CE=EB=DE； 3 0 0
求：杆受力及绳拉力
解： 1)画受力图
2)列平衡方程
Fx 0 : F1 sin 4 5 F2 sin 4 5 0
力对点 O的矩在三个坐标轴上的投影为
MO (F )x yFz zFy
MO (F ) y zFx xFz
MO (F )z xFy yFx
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二、力对轴的矩
定义： M z (F ) M O (Fxy ) Fxy d 它是代数量，方向规定 + –
力与轴相交或与轴平行（力与轴共面时）,力对该轴之矩为零. 力对轴的矩其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影
习题课
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§3-1 空间汇交力系
当空间力系中各力作用线汇交于一点时，称其为空间汇交力系.
一、力在空间轴上的投影与分解：
1.力在空间的表示：
力的三要素：
大小、方向、作用点(线)
g
O
Fxy
大小： F F
作用点：在物体的哪点就是哪点 方向：
由、、g三个方向角确定 由仰角 与俯角 来确定。
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2、一次投影法（直接投影法）
Fy 0 : F A sin 3 0 F1 co s 4 5 co s 3 0 F2 co s 4 5 co s 3 0 0
Fz 0 : F1 co s 4 5 sin 3 0 F2 co s 4 5 sin 3 0 F A co s 3 0 P 0
F1 F2 3.54 kN FA 8.66 kN
FR
FR
FR
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三、空间汇交力系的平衡 空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
FR Fi 0
∴几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
∴解析法平衡充要条件为：
Fx 0 Fy 0
Fz 0
称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
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例3-1 已知： Fn , , ,求：力 Fn在三个坐标轴上的投影.