重叠相加法实现卷积

设计任务计算1个给定序列与输入序列的卷积。

功能：对给定的数据进行卷积运算，要求分段卷积由循环卷积实现。

要求设计有数据导入界面，各种参数从软件界面可以输入，其中给定序列可以由界面输入，对运算前后的数据绘制曲线。

要求：1)初步完成总体设计，搭好框架，确定人机对话的界面，确定函数功能，控制参数的输入方法；2)设计线性卷积的实现方案；3)编写两序列作循环卷积的程序；4)通过直接做线性卷积来检验最后结果。

设计步骤：1)用结构化设计方法。

一个程序划分成若干模块，每一个模块的函数功能要划分好，总体设计应画出流程图；2)输入输出界面要友好；3)源程序书写要规范，加必要的注释；4)要提供通过直接卷积进行检验的结果；5)程序一定要要能运行起来。

一、原理1、算法产生背景DFT 是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换频域的采样。

在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的。

DFT 具备明确且合理的物理含义，适合应用于数字系统，同时可以方便地由计算机进行运算。

对于线性非移变离散系统，可由线性卷积表示时域输入输出关系，即y(n)=x(n)*h(n)通常采用循环卷积降低运算量，但实际中往往无法满足对信号处理的实时性要求。

因此，产生了重叠相加法和重叠保留法两种典型的算法，用以快速计算线性卷积，成为了DFT 的一个重要应用。

2、算法基本思想重叠相加法是将待过滤的信号分割成长为 N 的若干段，，每一段都可以和有限时宽单位取样回应作卷积，再将过滤后的各段重叠相加。

在实际应用中利用FFT来计算两个序列的圆周卷积从而实现计算其线性卷积，但是常遇到的问题是参加卷积的两个序列的长度相差较大，这样长度小的序列就需要补很多的零点，这样就需要大的存储量，运算时间也会变长。

所以常用重叠相加法来解决。

如以下情况：h(n)长度为N，x(n)长度为无限长x(n)取M点，且与N尽量接近可采用如下方法来解决重叠相加法的卷积示意图∑∞-∞==k kn x n x )()()()()(kM n R n x n x M k -= x(n)与h(n)的卷积为)(*)()(*)()(n x n h n h n x n y k k ∑∞-∞===)()](*)([n y n h n x k k kk ∑∑∞-∞=∞-∞===重叠相加法的步骤如下（1）将h(n)补零延长到L =M+ N -1，并计算长为L 的FFT ，得到 H(k)。

（2）分别将xk(n)补零延长到L =M+ N -1，并计算长为L 的FFT ，得到 Xk(k) （3）计算)()()(k H k X k Y k k =，并求长为L 的反变换，即)]([)(k Y IFFT n y k k =（4）将yk(n)的重叠部分相加，最后得到结果为∑∞-∞==k kn y n y )()(二、程序设计1、程序设计思路函数juanji(x1,x2,L)设计（1） x1(n)进行N 点快速傅里叶变换得X1k （2） x2(n)进行N 点快速傅里叶变换得X2k （3） 进行频域相乘Yk=X1k*X2k（4） 对Yk 进行反变换得到时域卷积结果y(n)函数chongdie （x,h,N ）设计（1）首先取圆周卷积的周期L （即进行L 点的快速傅里叶变换） （2）计算每一分段的大小N（3）填充序列使得循环中对序列的索引不会超出范围 （4）计算分段数K（5）对序列进行分段调用juanji()函数计算圆周卷积 （6）各段重叠相加 （7）取出实际的输出序列2、程序流程图重叠相卷积三、分析与测试1、循环卷积设计①程序M = length(h);if N <M %为N选择合适的值保证运算正确N = M+1;endL = M+N-1; %循环卷积与线性卷积结果相同时需要进行运算的最少点数Lx = length(x);T = ceil(Lx/N); %确定分段数Tt = zeros(1,M-1); %初始化序列t(n)x = [x,zeros(1,(T+1)*N-Lx)]; %不足的分段补零y = zeros(1,(T+1)*N); %生成输出序列y(n),长度足够长for i=0:1:Txi=i*N+1;x_seg = x(xi:xi+N-1); %选择低点数计算时的分段x(n)X1k = fft(x_seg,L); %x_seg做L点FFTX2k = fft(h,L); %h做L点FFTYk = X1k.*X2k; %频域相乘y_seg = ifft(Yk); %FFT反变换得循环卷积结果y_seg(1:M-1)=y_seg(1:M-1)+t(1:M-1);%完成重叠相加t(1:M-1) = y_seg(N+1:L); %重新对t(n)赋值为保留的后M-1点 y(xi:xi+N-1)=y_seg(1:N); %直接输出前N个点endy=y(1:Lx+M-1); %取出最终的输出序列②测试设N=4h=[1,2,3,4]X=[1,2,3,4,5,6,7,8,9]调用系统函数fftfilt(h,x,N)对比生成图像设计函数图形系统函数fftfilt(h,x,N)③分析设计函数与系统函数前7个点一样，系统函数没有后4-1=3个点，4为h(n)长度。

设计函数符合要求。

2、线性卷积设计①程序Lx=length(A)+length(B)-1; %线性卷积长度l1=length(A)-1;l2=length(B)-1;A=[zeros(1,l2) A zeros(1,l2)]; %A序列前后补零B=fliplr(B); %反转BB=[B,zeros(1,l1+l2)]; %B序列后面补零与A长度相等for i=1:Lx %计算z(i)z(i)=A(1)*B(1);for k=2:length(B)z(i)=z(i)+A(k)*B(k);endt=B(length(B)); %保存B序列最后一个数for j=length(B):-1:2 %B序列依次向后移位B(j)=B(j-1);endB(1)=t;end②测试设h=[1,3,5,7]X=[9,8,7,6,5,4,3,2,1]调用系统函数conv(h,x)对比生成图像设计函数图形系统函数conv(h,x)③分析设计函数与调用系统函数结果完全相同，设计函数符合要求。

四、实验结果1、实验源程序见附录2、实验结果五、总结作为电子信息工程系的学生，数字信号处理这门课程是其他很多课程的基础，所以学好学通数字信号处理这门课程对我们来说是非常重要的。

而MATLAB这款软件对数字信号处理的建模、编程、分析、实现有极大的帮助作用，所以我们应该掌握使用MATLAB编程来实现对数字信号的处理。

此次我得到的课设题目是：通过重叠相加法计算卷积。

拿到课设题目后，我仔细研究了与题目相关的原理，包括线性卷积、周期卷积、圆周卷积、重叠相加法、离散福利叶变换DFT、快速傅里叶变换FFT等原理知识，弄清楚了它们之间的关系。

通过这次课程设计，我不仅顺利完成课程设计的要求，而且在课程设计过程中通过对相关原理的回顾，对各相关原理之间的关系有了脱胎换骨般的认识，让我意识到此前学到的知识是多么的浅薄。

在和同组同学一起讨论研究通基于重叠相加法的圆周卷积原理后，我开始了利用MATLAB来实现这个功能。

在编写程序的过程中，我查阅了很多有关MATLAB的编程知识，通过整合所查阅到的编程知识，结合先前研究的基于重叠相加法的圆周卷积原理，我设计了具有此功能的MATLAB函数。

在设计时我遇到了不少的问题，刚开始时我先设定分段长度N，然后由N来求卷积周期L。

但是在程序运行过程中我发现算法具有很大的局限性。

通过仔细揣摩这其中的问题，原来是我忽略了FFT 运算的条件。

所以我制定了第二个方案，先设定卷积的周期L，然后由L来求分段长度N，这样程序的适用范围就扩大了。

为了提高程序的适用性，我不断的对程序进行修改和测试，以求能够达到更好的效果，这个过程让我体会到了编程解决问题的乐趣。

通过这次课程设计，让我加深了对书本知识的理解，并应用课本的理论知识，结合相关软件，设计解决问题的算法。

从而提高了由知识转换为技能的能力，提高了自己的实践能力。

通过与同学的互相沟通，不仅使各自的知识得到了扩充，而且从中得到了很多的启示，这次课程设计让人受益匪浅。

六、参考文献【1】高西全、丁玉美.数字信号处理第三版.西安电子科技大学出版社.2008.【2】罗建军、杨琦.精讲多练MATLAB.西安：西安交通大学出版社.2002.【3】刘泉、阙大顺、郭志强.数字信号处理.电子工业出版社.2009.【4】程卫国.MATLAB53精要编程及高级应用.北京：机械工业出版社.2000.【5】李正周.MATLAB数字信号处理与应用.北京: 清华大学出版社.2008.【6】周建兴、岂兴明等编. MATLAB从入门到精通.人民邮电出版社.2008【7】徐金明、张孟喜、丁涛编. Matlab实用教程.清华大学出版社,北京交通大学出版社.2007.附录:源程序function varargout = zc(varargin)%ZC M-file for% ZC, by itself, creates a new ZC or raises the existing% singleton*.%% H = ZC returns the handle to a new ZC or the handle to% the existing singleton*.%% ZC('Property','Value',...) creates a new ZC using the% given property value pairs. Unrecognized properties are passed via% varargin to zc_OpeningFcn. This calling syntax produces a % warning when there is an existing singleton*.%% ZC('CALLBACK') and ZC('CALLBACK',hObject,...) call the% local function named CALLBACK in with the given input% arguments.%% *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI allows only one% instance to run (singleton)".%% See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES% Edit the above text to modify the response to help zc% Last Modified by GUIDE 30-Jun-2010 22:11:29% Begin initialization code - DO NOT EDITgui_Singleton = 1;gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ...'gui_Singleton', gui_Singleton, ...'gui_OpeningFcn', @zc_OpeningFcn, ...'gui_OutputFcn', @zc_OutputFcn, ...'gui_LayoutFcn', [], ...'gui_Callback', []);if nargin && ischar(varargin{1})= str2func(varargin{1});endif nargout[varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:});elsegui_mainfcn(gui_State, varargin{:});end% End initialization code - DO NOT EDIT% --- Executes just before zc is made visible.function zc_OpeningFcn(hObject, eventdata, handles, varargin)% This function has no output args, see OutputFcn.% hObject handle to figure% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% varargin unrecognized PropertyName/PropertyValue pairs from the % command line (see VARARGIN)% Choose default command line output for zc= hObject;% Update handles structureguidata(hObject, handles);% UIWAIT makes zc wait for user response (see UIRESUME)% uiwait;% --- Outputs from this function are returned to the command line.function varargout = zc_OutputFcn(hObject, eventdata, handles)% varargout cell array for returning output args (see VARARGOUT);% hObject handle to figure% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB% handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Get default command line output from handles structurevarargout{1} = ;function aa_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to aa (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of aa as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of aa as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties.function aa_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to aa (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles empty - handles not created until after all CreateFcns called% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispcset(hObject,'BackgroundColor','white');elseset(hObject,'BackgroundColor',get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) ;endfunction bb_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to bb (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of bb as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of bb as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties.function bb_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to bb (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles empty - handles not created until after all CreateFcns called% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispcset(hObject,'BackgroundColor','white');elseset(hObject,'BackgroundColor',get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) ;endfunction ll_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to ll (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)% Hints: get(hObject,'String') returns contents of ll as text% str2double(get(hObject,'String')) returns contents of ll as a double% --- Executes during object creation, after setting all properties.function ll_CreateFcn(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to ll (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles empty - handles not created until after all CreateFcnscalled% Hint: edit controls usually have a white background on Windows.% See ISPC and COMPUTER.if ispcset(hObject,'BackgroundColor','white');elseset(hObject,'BackgroundColor',get(0,'defaultUicontrolBackgroundColor')) ;end% --- Executes on button press in tt.function tt_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to tt (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)N=str2num(get,'string'));a=str2num(get,'string'));b=str2num(get,'string'));h=a;x=b;M = length(h);if N <M %为N选择合适的值保证运算正确N = M+1;endL = M+N-1; %循环卷积与线性卷积结果相同时需要进行运算的最少点数Lx = length(x);T = ceil(Lx/N); %确定分段数Tt = zeros(1,M-1); %初始化序列t(n)x = [x,zeros(1, (T+1)*N-Lx)]; %不足的分段补零y = zeros(1, (T+1)*N); %生成输出序列y(n),长度足够长for i=0:1:Txi=i*N+1;x_seg = x(xi:xi+N-1); %选择低点数计算时的分段x(n)X1k = fft(x_seg,L); %x_seg做L点FFTX2k = fft(h,L); %h做L点FFTYk = X1k.*X2k; %频域相乘y_seg = ifft(Yk); %FFT反变换得循环卷积结果y_seg(1:M-1) = y_seg(1:M-1)+t(1:M-1);%完成重叠相加t(1:M-1) = y_seg(N+1:L); %重新对t(n)赋值为保留的后M-1点y(xi:xi+N-1) = y_seg(1:N); %直接输出前N个点endy=y(1:Lx+M-1); %取出最终的输出序列%------------------------线性卷积程序------------------------------A=a;B=b;Lx=length(A)+length(B)-1; %线性卷积长度l1=length(A)-1;l2=length(B)-1;A=[zeros(1,l2) A zeros(1,l2)]; %A序列前后补零B=fliplr(B); %反转BB=[B,zeros(1,l1+l2)]; %B序列后面补零与A长度相等for i=1:Lx %计算z(i)z(i)=A(1)*B(1);for k=2:length(B)z(i)=z(i)+A(k)*B(k);endt=B(length(B)); %保存B序列最后一个数for j=length(B):-1:2 %B序列依次向后移位B(j)=B(j-1);endB(1)=t;endxx=conv(a,b);yy=fftfilt(a,b,N);axesplot(a)axesplot(b)axesplot(y)axesplot(z)axesplot(yy)axesplot(xx)% --- Executes on button press in tt2.function tt2_Callback(hObject, eventdata, handles)% hObject handle to tt2 (see GCBO)% eventdata reserved - to be defined in a future version of MATLAB % handles structure with handles and user data (see GUIDATA)N=str2num(get,'string'));a=str2num(get,'string'));b=str2num(get,'string'));h=a;x=b;M = length(h);if N <MN = M+1;endL = M+N-1;Lx = length(x);T = ceil(Lx/N);t = zeros(1,M-1);x = [x,zeros(1, (T+1)*N-Lx)];y = zeros(1, (T+1)*N);for i=0:1:Txi=i*N+1;x_seg = x(xi:xi+N-1);X1k = fft(x_seg,L);X2k = fft(h,L);Yk = X1k.*X2k;y_seg = ifft(Yk);y_seg(1:M-1) = y_seg(1:M-1)+t(1:M-1);t(1:M-1) = y_seg(N+1:L);y(xi:xi+N-1) = y_seg(1:N);endy=y(1:Lx+M-1);A=a;B=b;Lx=length(A)+length(B)-1;l1=length(A)-1;l2=length(B)-1;A=[zeros(1,l2) A zeros(1,l2)];B=fliplr(B);B=[B,zeros(1,l1+l2)];for i=1:Lxz(i)=A(1)*B(1);for k=2:length(B)z(i)=z(i)+A(k)*B(k);endt=B(length(B));for j=length(B):-1:2 B(j)=B(j-1);endB(1)=t;endxx=conv(a,b);yy=fftfilt(a,b,N);axesstem(a)axesstem(b)axesstem(y)axesstem(z)axesstem(yy)axesstem(xx)。