重叠相加法和重叠保留法的原理与实现

重叠相加法与重叠保存法的原理实现
侯凯
（吉林大学 通信工程学院 吉林 长春 130012）
0概述
线性卷积是求离散系统响应的主要方法之一，许多重要应用都建立在这一理论基础上，如卷积滤波等。

用圆周卷积计算线性卷积的方法归纳如下:
将长为N 2的序列x(n)延长到L,补L -N 2个零，将长为N 1的序列h(n)延长到L,补L -N 1个零。

如果L ≥N1+N2-1,则圆周卷积与线性卷积相等，此时,可有FFT 计算线性卷积，方法如下：
a.计算X(k)=FFT[x(n)]
b.求H(k)=FFT[h(n)]
c.求Y(k)=H(k)Y(k) k=0～L -1
d.求y(n)=IFFT[Y(k)] n=0～L -1
可见，只要进行二次FFT,一次IFFT 就可完成线性卷积计算。

上述结论适用于x(n)、h(n)两序列长度比较接近或相等的情况，如果x(n)、h(n)长度相差较多。

例如，h(n)为某滤波器的单位脉冲响应,长度有限，用来处理一个很长的输入信号x(n)，或者处理一个连续不断的信号，按上述方法，h(n)要补许多零再进行计算，计算量有很大的浪费，或者根本不能实现。

为了保持快速卷积法的优越性，可将x(n)分为许多段后处理，每小段的长与h(n)接近，其处理方法有两种：重叠相加法和重叠保留法。

1重叠相加法——由分段卷积的各段相加构成总的卷积输出
假定x i (n)表示图中第i 段x(n)序列如下图：
22()(1)1()0
i x n iN n i N x n ≤≤+-⎧=⎨⎩
则输入序列可表为：()()i i x n x n ∞
=-∞=∑
图1 长序列分段滤波
于是输出可分解为： ()()*()()*()()i i i i i y n x n h n x n h n y n ∞∞
=-∞=-∞==
=∑∑
其中 ()()*()i i y n x n h n =
由此表明，只要将x(n)的每一段分别与h(n)卷积，然后再将这些卷积结果相加起来就可得到输出序列，这样，每一段的卷积都可用上面讨论的快速卷积来计算。

先对h(n)及x i (n)补零，补到具有N 点长度，N=N1+N2-1。

一般选择N=2M ，然后用基2 FFT 算法通过正反变换计算 ()()*()i i y n x n h n =
由于y i (n)长度为N ，而x i (n)的长度为N 2，因此相邻两y i (n)序列必然有N -N 2=N 1-1点发生重叠，这个重叠部分应该相加起来才能构成最后的输出序列。

计算步骤：
a. 事先准备好滤波器参数()[()]H k DFT h n =,N 点
b.用N 点FFT 计算[()]i i X DFT x n =
c.()()()i i Y k X k H k =
d.用N 点IFFT 求()[()]i i y n IDFT Y k =
e.将重叠部分相加 ()()i i y n y n ∞
=-∞=
∑
图2 重叠相加法示意图
2重叠保存法
这种方法和第一种方法稍有不同，即将上面分图序列中补零的部分不是补零，而是保留原来的输入序列值，且保留在各段的前端，这时，如利用DFT 实现h(n)和x i (n)的圆周卷积，则每段卷积结果的前N 1-1个点不等于线性卷积值需舍去。

为了清楚地看出这点，研究一下x(n)中一段长为N 的序列x i (n)与h(n)（长为N1）的圆周卷积情况： 1
0()()()()(())()N i i i N N m y n x n h n x m h n m R n -==⊗=-∑
由于h(n)的长度为N 1，当0≤n ≤N 1-2时，h((n -m))N 将在x i (m)的尾部出现有非零值，所以0≤n ≤N 1-2这部分y i (n)值中将混入x i (m)尾部与h((n -m))N 的卷积值，从而使y i (n)不同于线性卷积结果，但当n=N 1-1～N -1时，则有h((n -m))N =h （n -m ），
因此从n=N 1-1点开始圆周圈卷积值完全与线性卷积值一样，y i (n)的后面N 2点才是正确的卷积值，而每一段卷积运算结果的前N 1-1点个值需去掉。

图2 重叠保留过程
为了不造成输出信号遗漏，对x(n)分段时，需使相邻两段有N 1-1个点的重叠（对于第一段，x(n)由于没有前一段保留信号，在其前填补N 1-1点个零点）。

为此将x i (n)定义为
21(1)01()0i x n iN N n N x n +-+≤≤-⎧=⎨⎩其它
每段和h(n)的圆周卷积以y i (n)表示，()()()i i y n x n h n =⊗ ,由FFT 算出，去掉y i (n)的前N 1-1点，再把相邻各段输出顺次连接起来就构成了最终的输出序列y(n)。

重叠保留法每一输入段均由N -N 1+1=N 2个新点和前一段保留下来的N 1-1个点所组成。

值得注意的是，对于有限长时间序列x(n)（长度为L=MN 2），在结束段（i=M -1）做完后，我们所得到的只是L 点的线性卷积，还少了N 1-1点，实际上就是h(-n)移出x(n)尾部时的不完全重合点，或者说是最后一段的重叠部分N 1-1少做了一次卷积，为此，因再补做这一段N 1-1点，在其后填补N 2点个零点保证长度仍为N 点，一样舍去前取N 1-1点，并从N 1-1点开始，保留N 1-1点。

重叠保留法与重叠相加法的计算量差不多，但省去了重叠相加法最后的相加运算。

一般来说，用FFT 作信号滤波，只用于FIR 滤波器阶数h （n ）大于32的情况下，且取N 2=（5～10）N 1，这样可接近于最高效的运算。

3应用举例
例：已知有长序列X=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,], h=[3,2,1,4,5]，求线性卷积。

解：重叠相加法得：
Y=[3,8,14,24,39,54,69,84,99,87,84,90,69,39,54,69,84,99,84,76,79,53,14,24,39,54,69,84,99,84,76,76,45,0]
程序：function [Y]=overpl(x,h,N)
%N 为分段段长度；x 为长序列;h 为短序列
Lx=length(x);
M=length(h);
x=[x,zeros(1,N)];
t=zeros(1,M -1);
Y=zeros(1,Lx+M-1);
a=floor(Lx/N);
y2=fft(h,N+M-1);
for K=0:a %循环a+1次
A=x(K*N+1:K*N+N);
y1=fft(A,N+M-1);
y3=y1.*y2;
q=ifft(y3,N+M-1);
Y(K*N+1:K*N+M-1)=q(1:M-1)+t(1:M-1);
Y(K*N+M:K*N+N)=q(M:N);
t(1:M-1)=q(N+1:N+M-1);
end
Y=Y(1:Lx+M-1);
重叠保留法：结果与上述相同，程序如下：function [Y]=overlpsav(x,h,N)
%N为分段长度；x为输入长序列；h为短序列Lx=length(x);
M=length(h);
L=M+N-1; %分段后的总长度
x=[zeros(1,M-1),x,zeros(1,N)];
a=floor((Lx+M-1)/N);
c=fft(h,L);
for K=0:a
xk=x(K*N+1:K*N+L);
b=fft(xk,L);
H=ifft(b.*c,L);
Y(K*N+1:K*N+N)=H(M:L);
end
Y=Y(1:Lx+M-1);。