2019年全国各地中考数学试题分类汇编：位似
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（2013•孝感）在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位
似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A． （﹣2，1） B． （﹣8，4） C． （﹣8，4）或（8，﹣4） D． （﹣2，1）或（2，
﹣1）
考点： 位似变换；坐标与图形性质．
专题： 作图题．
分析： 根据题意画出相应的图形，找出点E的对应点E′的坐标即可．
解答： 解：根据题意得：
则点E的对应点E′的坐标是（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故选D．
点评： 此题考查了位似图形，以及坐标与图形性质，位似是相似的特殊形式，位似比等于相
似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
（2013•宁夏）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），
B（﹣3，4）C（﹣2，6）
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1
（2）以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2．
考点： 作图-位似变换；作图-旋转变换．
分析： （1）由A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6），可画出△ABC，然后由旋转的性质，
即可画出△A1B1C1；
（2）由位似三角形的性质，即可画出△A2B2C2．
解答：
解：如图：（1）△A1B1C1 即为所求；
（2）△A2B2C2 即为所求．
点评： 此题考查了位似变换的性质与旋转的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的
应用．
（2013•泰州）如图，平面直角坐标系xOy中，点A， B的坐标分别为（3， 0），(2，-3)，
则△AB' O' 是△ABO关于点A的位似图形，且O'的坐标为(一1, 0)，则点B' 的坐标为
___________.
【答案】：5(,4)3．
（2013•南宁）如图，△ABC三个定点坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，1），C（﹣3，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在第三象
限内画出△A2B2C2，并求出S△A1B1C1：S△A2B2C2的值．
考点： 作图-旋转变换；作图-轴对称变换．
专题： 作图题．
分析：
（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺
次连接即可；
（2）连接A1O并延长至A2，使A2O=2A1O，连接B1O并延长至B2，使B2O=2B1O，
连接C1O并延长至C2，使C2O=2C1O，然后顺次连接即可，再根据相似三角形面积
的比等于相似比的平方解答．
解答：
解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示，
∵△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为，
∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=（）2=．
点评： 本题考查了利用旋转变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出
对应点的位置是解题的关键，还利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方的性
质．
（2013•青岛）如图，△ABO缩小后变为OBA''△，其中A、B的对应点分别为''BA、，
''BA、
均在图中格点上，若线段AB上有一点),(nmP，则点P在''BA上的对应点'P的坐标为
（ ）
A、),2(nm B、),(nm
C、)2,(nm D、)2,2(nm
答案：D
解析：因为AB＝25，''5AB，所以，''12ABAB，所以点P
（m，n）经过缩小变换后点'P的坐标为
2019年全国中考试题汇编知识点35 相似、位似及其应用(通用版全解全析)
2019年全国中考试题汇编知识点35 相似、位似及其应用（通用版全解全析）一、选择题 10．（2019·苏州）如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上的一点．且AD =AB =2，AD ⊥AB ，过点D 作DE ⊥AD ，DE 交AC 于点F ．若DE =1，则△ABC 的面积为 （ ）A ．B ．4C ．D ．8第10题图【答案】B【解析】∵AB ⊥AD ，AD ⊥DE ，∴∠BAD ＝∠ADE ＝90°，∴DE ∥AB ，∴∠CED ＝∠CAB ，∵∠C ＝∠C ，∴△CED ∽△CAB ，∵DE ＝1，AB ＝2，即DE ∶AB ＝1∶2，∴S △DEC ∶S △ACB ＝1∶4，∴S 四边形ABDE∶S △ACB ＝3∶4，∵S 四边形ABDE ＝S △ABD +S △ADE 12=⨯2×212+⨯2×1＝2+1＝3，∴S △ACB ＝4，故选B ．10．（2019·绍兴 ）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为 ( ) A.524 B.532C.173412D.173420【答案】A【解析】如图所示：设DM ＝x ，则CM ＝8﹣x ， 根据题意得：（8﹣x +8）×3×3＝3×3×5，解得：x ＝4，∴DM ＝6，∵∠D ＝90°，由勾股定理得：BM=＝5， 过点B 作BH ⊥AH ，∵∠HBA+∠ABM ＝∠ABM+∠ABM ＝90°， ∴∠HBA+＝∠ABM ，所以Rt △ABH ∽△MBD ， ∴BH BD AB BM =，即385BH =，解得BH ＝524，即水面高度为524． 6.（2019·杭州）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB 和AC 边上，DE ∥BC ，M 为BC 边上一点(不与点B ，C 重合)连接AM 交DE 干点N ，则 （ ） A.AD AN AN AE = B. BD MN MN CE = C. DN NE BM MC = D. DN NEMC BM=【答案】C【解析】根据DE ∥BC ，可得△ADN ∽△ABM 与△ANE ∽△AMC ，再应用相似三角形的性质可得结论.∵DN ∥BM ，∴△ADN ∽△ABM ，∴DN AN BM AM =，∵NE ∥MC ，∴△ANE ∽△AMC ，∴NE AN MC AM =，∴DN NEBM MC=．故选C ．7．（2019·常德）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（ ） A ．20 B ．22 C ．24 D ．26【答案】D【解析】∵图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC 的面积为42，∴最小的三角形与△ABC∵△ADE ∽△ABC ，∴ADE ABC S S V V ＝2DE BC ⎛⎫⎪⎝⎭，∵DE BC ＝4，∴ADE ABC S S V V ＝1642＝821， ∴S △ADE ＝821×42＝16，∴四边形DBCE 的面积＝S △ABC －S △ADE ＝26，故选项D 正确． 5．（2019·陇南）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）BA ．平移变换B ．相似变换C ．旋转变换D ．对称变换【答案】B【解析】由图可知，放大前与放大后图形是相似的，故选：B ．1. (2019·枣庄)如图,将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC 的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'＝1,则A'D 等于A.2B.3C.4D.32【答案】B 【解析】由平移可得,△ABC ∽△A'MN,设相似比为k,∵S △ABC ＝16,S △A'MN ＝9,∴k 2＝16:9,∴k ＝4:3,因为AD 和A'D分别为两个三角形的中线,∴AD:A'D ＝k ＝4:3,∵AD ＝AA'+A'D,∴AA':A'D ＝1:3,∵AA'＝1,则A'D ＝3,故选B.2.（2019·淄博）如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD ＝∠B. 若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为（）A .2aB .52a C .3a D .72a 【答案】C .【解析】在△BAC 和△ADC 中，∵∠C 是公共角，∠CAD ＝∠B.，∴△BAC ∽△ADC ，∴2BCAC=, ∴2AB DA =()4C C S BC S AC=V V ，又∵△ADC 的面积为a ，∴△ABC 的面积为4a ，∴△ABD 的面积为3a . 3. (2019· 巴中)如图，Y ABCD,F 为BC 中点,延长AD 至E,使DE:AD ＝1:3,连接EF 交DC 于点G,则S△DEG:S△BCFG ＝() A.2:3B.3:2C.9:4D.4:9【答案】D【解析】因为DE:AD ＝1:3,F 为BC 中点,所以DE:CF ＝2:3,Y ABCD 中,DE ∥CF,所以△DEG ∽△CFG,相似比为2:3,所以S △DEG :S △CFG ＝4:9.故选D.4.（2019·乐山）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（ ） A ．61 B ．31 C ．51 D ．41【答案】A第8题答图【解析】∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形，∴AD =DC =1，CE =2，AD ∥CE ，∴△ADH ∽△ECF ，∴AD DH CE CH =，∴121DH DH =-，解得DH =13，∴阴影部分面积为12×13×1=16，故选A. 5.（2019·乐山）如图，在边长为3的菱形ABCD 中，︒=∠30B ，过点A 作BC AE ⊥于点E ，现将△ABE 沿直线AE 翻折至△AFE 的位置，AF 与CD 交于点G .则CG 等于（ ） A ．13- B ．1C ．21D ．23第9题图【答案】A【解析】∵BC AE ⊥，∴∠AEB=90°，菱形ABCD 的边长为3，︒=∠30B ，∴AE=12AB=12，BE=CF=22AB AE -=1.5，BF=3，CF=BF -BC=3-3，∵AD ∥CF ，∴△AGD ∽△FGC ，∴DG ADCG CF=，∴3333CG -=-，解得CG =31-，故选A. 6.（2019·凉山）如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD ∶DC = 1∶2，O 是BD 的中点，连接A 0并延长交BC于 E ，则BE ∶EC =（ ▲ ）A. 1∶2 B . 1∶3 C . 1∶4 D . 2∶3 【答案】B【解析】过点D 作DF ∥AE ，则1==OD BO EF BE ,21==CD AD FC EF ，∴BE ∶EF ∶FC =1∶1∶2，∴BE ∶EC =1∶3.故选B .7.（2019·眉山）如图，一束光线从点A （4，4）出发，经y 轴上的点C 反射后，经过点B （1，0），则点C 的坐标是A ．（0，12）B ．（0，45）C ．（0，1）D ．（0，2）【答案】B【解析】解：过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，∵∠ADC=∠COB=90°，∠ACD=∠BCO ，∴△OBA ∽△DAC ，∴OC DC OB AD =，∴414OC OC -=，解得：OC=45，∴点C （0，45），故选B.8.（2019·眉山）如图，在菱形ABCD 中已知AB =4，∠ABC =60°，∠EAF =60°，点E 在CB 的延长线上，点F 在DC 的延长线上，有下列结论：①BE =CF ，②∠EAB =∠CEF ；③△ABE ∽△EFC ，④若∠BAE =15°，则点F 到BC的距离为2，则其中正确结论的个数是A ．1个B ． 2个C ．3个D ． 4个【答案】B 【解析】连接AC ，在菱形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°，即∠EAB=∠CAF ，∵∠ABE=∠ACF=120°，∴△ABE ≌△ACF ，∴BE=CF ，故①正确；由△ABE ≌△ACF ，可得AE=AF ，∵∠EAF=60°，∴△AEF 是等边三角形，∴∠AEF=60°，∴∠AEB+∠CEF=60°，∵∠AEB+∠EAB=60°，∴∠CEF=∠EAB ，故②正确；在△ABE 中，∠AEB ＜60°，∠ECF=60°，∴③错误；过点A 作AG ⊥BC 于点G ，过点F 作FH ⊥EC 于点H ，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在Rt △AGB 中，∵∠ABC=60°，AB=4，∴BG=12AB=2，Rt △AEG 中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=，∴EB=EG-BG=-2，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF ，∵∠ABC=∠ACD=60°，∴∠ABE=∠ACF=120°在△AEB 和△AFC 中，⎧⎪⎨⎪⎩∠∠∠∠︒EAB FAC AB AC ABE ACF 120＝＝＝＝，∴△AEB ≌△AFC ，∴AE=AF ，EB=CF=-2，在Rt △CHF 中，∵∠HCF=180°-∠BCD=60°，CF=，∴FH=CF •sin60°=（-2∴点F 到BC 的距离为故④错误.故选B.9.（2019·重庆B 卷）下列命题是真命题的是（ ）A.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为2:3B.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9C.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个全角形的面积比为2:3D.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为4:9 【答案】Ｂ【解析】如果两个三角形相似,那么这两个三角形的周长比等于相似比，面积比是相似比的平方.即如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9；面积比是相似比的平方，即16:81.故选Ｂ．10.（2019·重庆A卷）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C．【解析】∵△ABO∽△CDO，∴AB BOCD DO=．∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴623AB=．∴AB＝4．故选C．11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题16．（2019·滨州）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（－2，4），B（－4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是________________________．【答案】（－1，2）或（1，－2）【解析】点A的对应点C的坐标是（－2×12，4×12）或（－2×（－12），4×（－12）），即（－1，2）或（1，－2）．2.（2019·滨州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有____________．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③④【解析】在Y ABCD中，AB∥DC，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°．∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=60°，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC=CE，∠BEC=60°．∵AB=2BC，∴AE=BE=CE，∴∠EAC=∠ACE=30°，∴∠ACB=90°．在Y ABCD 中，AO=CO，BO=DO，∴OE是△ACB的中位线，∴OE∥BC，∴OE⊥AC，故①正确；∵OE是△ACB的中位线，∴OE=12BC，∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴OF：BF=OE：BC=1：2，∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②错误；在Rt△ABC中，∵AB=2BC，∴，∴OC=2BC．在Rt△BCO中，BC，∴BC，∴AC：BC =：7，故③正确；∵OF：BF=1：2，∴BF=2OF，OB=3OF，∵OD=OB，∴DF=4OF，∴BF2=（2OF）2=4OF2，OF·DF=OF·4OF=4OF2，∴BF2=OF·DF，故④正确．3.（2019·凉山）在□ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2∶3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF∶S△CBF是▲.【答案】4：25或9∶25【解析】在□ABCD中，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF.如答图1，当AE∶DE=2∶3时，AE∶AD=2∶5,∵AD=BC，∴AE∶BC=2∶5,∴S△AEF∶S△CBF=4∶25；如答图2，当AE∶DE=3∶2时，AE∶AD=3∶5,∵AD=BC，∴AE∶BC=3∶5,∴S△AEF∶S△CBF=9∶25.故答案为4∶25或9∶25.（第16题图答图1） （第16题图答图2）4. （2019·自贡）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC于点E ，DE =.【答案】95√5.【解析】∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD =∠CBD ， ∵AB ∥CD , ∴∠D =∠ABD , ∴∠CBD =∠D ， ∴CD =BD =6.在Rt △ABC 中，AC =√AB 2−BC 2=√102−62=8. ∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ， ∴CEAE =DEBE =CDAB =610=35, ∴CE =35AE ，DE =35BE .即CE =38AC =38×8=3.在Rt △BCE 中，BE =√BC 2+CE 2=√62+32=3√5. ∴DE =35BE =35×3√5=95√5.5.（2019·衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。
2019年中考数学真题汇编----图形的相似与位似(含解析)
2019年中考数学真题汇编----图形的相似与位似一.选择题1. （2019•浙江杭州•3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（ ）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】先证明△ADN∽△ABM得到＝，再证明△ANE∽△AMC得到＝，则＝，从而可对各选项进行判断．【解答】解：∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴＝，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴＝，∴＝．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：三在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．2. （2019•广西贺州•3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD＝2，AB＝3，DE＝4，则BC等于（ ）A．5B．6C．7D．8【分析】由平行线得出△ADE∽△ABC，得出对应边成比例＝，即可得出结果．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，即＝，解得：BC＝6，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．3. （2019•甘肃省庆阳市•3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）A．平移变换B．相似变换C．旋转变换D．对称变换【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选：B．【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．二.填空题1. （2019•江苏无锡•2分）如图，在△ABC中，AC：BC：AB＝5：12：13，⊙O在△ABC内自由移动，若⊙O的半径为1，且圆心O在△ABC内所能到达的区域的面积为，则△ABC的周长为 25 ．【分析】如图，由题意点O所能到达的区域是△EFG，连接AE，延长AE交BC于H，作HM⊥AB于M，EK⊥AC于K，作FJ⊥AC于J．利用相似三角形的性质以及三角形的面积公式求出EF，再证明△HAC≌△HAM（AAS），推出AM＝AC＝5m，CH＝HM，BM＝8m，设CH＝HM＝x，在Rt△BHM中，则有x2+（8m）2＝（12m图x）2，推出x＝m，由EK∥CH，推出＝，推出＝，可得AK＝，求出AC即可解决问题．【解答】解：如图，由题意点O所能到达的区域是△EFG，连接AE，延长AE交BC于H，作HM⊥AB于M，EK⊥AC于K，作FJ⊥AC于J．∵EG∥AB，EF∥AC，FG∥BC，∴∠EGF＝∠ABC，∠FEG＝∠CAB，∴△EFG∽△ACB，∴EF：FG：EG＝AC：BC：AB＝5：12：13，设EF＝5k，FG＝12k，∵×5k×12k＝，∴k＝或图（舍弃），∴EF＝，∵四边形EKJF是矩形，∴KJ＝EF＝，设AC＝5m，BC＝12m，AB＝13m，∵∠ACH＝∠AMH＝90°，∠HAC＝∠HAM，AH＝AH，∴△HAC≌△HAM（AAS），∴AM＝AC＝5m，CH＝HM，BM＝8m，设CH＝HM＝x，在Rt△BHM中，则有x2+（8m）2＝（12m图x）2，∴x＝m，∵EK∥CH，∴＝，∴＝，∴AK＝，∴AC＝AK+KJ+CJ＝++1＝，∴BC＝××12＝10，AB＝××13＝，∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝+10+＝25，故答案为25．【点评】本题考查动点问题，轨迹，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．2. （2019•江苏无锡•2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为 8 ．【分析】过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．由AB＝AC＝5，BC＝4，得到BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，求得GB＝8，设BD ＝x，则DG＝8图x，易证△EDH≌△DCG，EH＝DG＝8图x，所以S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．【解答】解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，∴，即∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8图x，易证△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8图x，∴S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．故答案为8．【点评】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质与相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．3. （2019•江苏扬州•3分）如图，在△ABC 中，AB =5，AC =4，若进行一下操作，在边BC 上从左到右一次取点D 1、D 2、D 3、D 4…；过点D 1作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 与点E 1、F 1；过点D 2作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 于点E 2、F 2；过点D 3作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 于点E 3、F 3…，则4（D 1E 1+D 2E 2+…+D 2019E 2019）+5（D 1F 1+D 2F 2+…+D 2019F 2019）= 40380 ．【考点】：相似三角形，比例性质【解析】：∵D 1E 1∥AB D 1F 1∥AC ∴CB CD AB E D 111=BCBD AC F D 11=∵AB =5 AC =4∴CB CD E D 1115=BCBD F D 114=∴14511111==+=+BCBCBC BD CB CD F D E D ∴4D 1E +5D 1F =20有2019组，即2019×20=40380【答案】：403804. （2019•江西•3分）在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点的坐标分别为（4，0）， （4，4），（0，4），点P 在x 轴上，点D 在直线AB 上，DA =1， CP ⊥DP 于点P ，则点P 的坐标为P (2，0）， P (，0）， P (，0） .x图2图1解析：设P (m ,0）如图1，∠CPD=90°，△OCP∽△PAD∴即：∴m=2 ∴P(2，0）如图2，∠CPD=90°，△OCP∽△APD ∴即：∴m=∴P(，0）P(，0）综上分析可知：P(2，0），P(，0），P(，0）5. （2019•浙江杭州•4分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于 2（5+3） ．【分析】设AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，由△A′EP∽△D′PH，推出＝，推出＝，可得x＝2a，再利用三角形的面积公式求出a即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，∵△A′EP∽△D′PH，∴＝，∴x2＝4a2，∴x＝2a或图2a（舍弃），∴PA′＝PD′＝2a，∵•a•2a＝1，∴a＝1，∴x＝2，∴AB＝CD＝2，PE＝＝2，PH＝＝，∴AD＝4+2++1＝5+3，∴矩形ABCD的面积＝2（5+3）．故答案为2（5+3）【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．6.（2019•四川自贡•4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝ ．【分析】由CD∥AB，∠D＝∠ABE，∠D＝∠CBE，所以CD＝BC＝6，再证明△AEB∽△CED，根据相似比求出DE的长．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC＝8，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CDE，∵CD∥AB，∴∠D ＝∠CBE ，∴CD ＝BC ＝6，∴△AEB ∽△CED ，∴，∴CE ＝AC ＝×8＝3，BE ＝，DE ＝BE ＝×＝，故答案为．【点评】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．7.（2019•天津•3分）如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，E 是边CD 上一点，连接AE ，折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若DE =5，则GE 的长为.【答案】1349【解析】因为四边形ABCD 是正方形，易得△AFB ≌△DEA ，∴AF =DE =5，则BF =13.又易知△AFH ∽△BFA ，所以，即AH =，∴AH =2AH =，∴由勾股定理BF AF BA AH136013120得AE =13，∴GE =AE -AG =13498.（2019•河南•3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，点E 在边BC 上，且BE ＝a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a 的值为 或 ．【分析】分两种情况：①点B′落在AD边上，根据矩形与折叠的性质易得AB＝BE，即可求出a的值；②点B′落在CD边上，证明△ADB′∽△B′CE，根据相似三角形对应边成比例即可求出a的值．【解答】解：分两种情况：①当点B′落在AD边上时，如图1．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在AD边上，∴∠BAE＝∠B′AE＝∠BAD＝45°，∴AB＝BE，∴a＝1，∴a＝；②当点B′落在CD边上时，如图2．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a．∵将△ABE沿AE折叠，点B的对应点B′落在CD边上，∴∠B＝∠AB′E＝90°，AB＝AB′＝1，EB＝EB′＝a，∴DB′＝＝，EC＝BC图BE＝a图a＝a．在△ADB′与△B′CE中，，∴△ADB′∽△B′CE，∴＝，即＝，解得a1＝，a2＝0（舍去）．综上，所求a的值为或．故答案为或．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键．9.10.三.解答题1. （2019•江苏宿迁•12分）如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．【分析】（1）如图①利用三角形的中位线定理，推出DE∥AC，可得＝，在图②中，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相似即可．（2）利用相似三角形的性质证明即可．（3）点G的运动路程，是图③图1中的的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可．【解答】解：（1）如图②中，由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，∴DE∥AC，∴＝，∴＝，∵∠DBE＝∠ABC，∴∠DBA＝∠EBC，∴△DBA∽△EBC．（2）∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．理由：如图③中，设AB交CG于点O．∵△DBA∽△EBC，∴∠DAB＝∠ECB，∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，∴∠G＝∠ABC＝30°．（3）如图③图1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向右作等边△ACO，连接OG，OB．以O为圆心，OA为半径作⊙O，∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°，∴∠AGC＝∠AOC，∴点G在⊙O上运动，以B为圆心，BD为半径作⊙B，当直线与⊙B相切时，BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∵BK＝AK，∴DK＝BK＝AK，∵BD＝BK，∴BD＝DK＝BK，∴△BDK是等边三角形，∴∠DBK＝60°，∴∠DAB＝30°，∴∠DOG＝2∠DAB＝60°，∴的长＝＝，观察图象可知，点G的运动路程是的长的两倍＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，弧长公式，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会正确寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题．2. （2019•江西•9分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下研究：如图1，将长为12cm的铅笔AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的边沿上，一端A 固定在桌面上，图2是示意图活动一如图3，将铅笔AB绕端点A顺时针旋转，AB与OF交于点D，当旋转至水平位置时铅笔AB的中点C与点O重合。
2019中考数学分类汇编汇总 知识点38 相似、位似及其应用(第二期) 解析版
一、选择题1. （2019广西省贵港市，题号11，分值3分）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，//DE BC ，ACD B ∠=∠，若2AD BD =，6BC =，则线段CD 的长为( )A ．B ．C ．D ．5【答案】C ．【思路分析】设2AD x =，BD x =，所以3AB x =，易证ADE ABC ∆∆∽，利用相似三角形的性质可求出DE 的长度，以及23AE AC =，再证明ADE ACD ∆∆∽，利用相似三角形的性质即可求出得出AD AE DE AC AD CD==，从而可求出CD 的长度．【解题过程】解：设2AD x =，BD x =， 3AB x ∴=， //DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽， ∴DE AD AEBC AB AC ==， ∴263DE xx=， 4DE ∴=，23AE AC =， ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，ADE ACD ∴∠=∠，A A ∠=∠，ADE ACD ∴∆∆∽，∴AD AE DEAC AD CD==， 设2AE y =，3AC y =，∴23AD yy AD=，AD ∴=，∴4CD=，CD ∴=，故选：C ．【知识点】相似三角形的判定与性质2. （2019贵州省毕节市，题号15，分值3分）如图，在一块斜边长30cm 的直角三角形木板（Rt △ACB ）上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC ＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（ ）A．100cm2B．150cm2C．170cm2D．200cm2【答案】A．【思路分析】设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解题过程】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC＝AFAC＝13，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，解得，x＝∴AC＝BC＝∴剩余部分的面积＝12×100（cm2），故选：A．【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用．3.（2019贵州黔西南州，10，4分）如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．200cm2B．170cm2C．150cm2D．100cm2【答案】D【解析】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB3x，∴3 x ＝30，解得x ＝2 ， ∴AC ＝6 ，BC ＝12 ， ∴剩余部分的面积6 12 （4 ）2＝100（cm 2）． 故选：D ．【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用4. ．(2019海南,12题,3分)如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝5,BC ＝4,点P 是边AC 上一动点,过点P 作PQ ∥AB 交BC 于点Q,D 为线段PQ 的中点,当BD 平分∠ABC 时,AP 的长度为( )A.813B.1513C.2513D.3213第12题图 【答案】B【思路分析】根据平行和平分线得到等腰三角形,作DE ⊥BC,得到相似三角形,结合中点和相似比,得到线段关系,列出方程,进而求得AP 长度. 【解题过程】在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝5,BC ＝4,∴AC ＝3,过点D 作DE ⊥BC 于点E,易证△ABC ∽△DQE,∵BD 平分∠ABC,PQ ∥AB,∴BQ ＝QD,设QD ＝BQ ＝4x,则AP ＝3x,DP ＝4x,∴PQ ＝8x,CP ＝245x,∴AC ＝395x ＝3,∴x ＝513,AP ＝3x ＝1513,故选B.第12题答图【知识点】等腰三角形,相似三角形,一元一次方程5. （2019黑龙江哈尔滨，10，3分）如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在对角线BD 上,EM ∥AD,交AB 于点M,EN ∥AB,交AD 于点N,则下列式子一定正确的是（ ）。
2019年中考数学试题汇编—— 相似、位似及其应用2019 (2)
一、选择题1. （2019广西省贵港市，题号11，分值3分）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，//DE BC ，ACD B ∠=∠，若2AD BD =，6BC =，则线段CD 的长为( )A ．B ．C ．D ．5【答案】C ．【思路分析】设2AD x =，BD x =，所以3AB x =，易证ADE ABC ∆∆∽，利用相似三角形的性质可求出DE 的长度，以及23AE AC =，再证明ADE ACD ∆∆∽，利用相似三角形的性质即可求出得出AD AE DE AC AD CD==，从而可求出CD 的长度．【解题过程】解：设2AD x =，BD x =，3AB x ∴=，//DE BC Q ，ADE ABC ∴∆∆∽， ∴DE AD AE BC AB AC ==， ∴263DE x x=， 4DE ∴=，23AE AC =， ACD B ∠=∠Q ，ADE B ∠=∠，ADE ACD ∴∠=∠，A A ∠=∠Q ，ADE ACD ∴∆∆∽， ∴AD AE DE AC AD CD==， 设2AE y =，3AC y =， ∴23AD y y AD=，AD ∴， ∴4CD=，CD ∴=C ．【知识点】相似三角形的判定与性质2. （2019贵州省毕节市，题号15，分值3分）如图，在一块斜边长30cm 的直角三角形木板（Rt △ACB ）上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC ＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（ ）A ．100cm 2B ．150cm 2C ．170cm 2D ．200cm 2【答案】A ．【思路分析】设AF ＝x ，根据正方形的性质用x 表示出EF 、CF ，证明△AEF ∽△ABC ，根据相似三角形的性质求出BC ，根据勾股定理列式求出x ，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解题过程】解：设AF ＝x ，则AC ＝3x ，∵四边形CDEF 为正方形，∴EF ＝CF ＝2x ，EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴EF BC ＝AF AC ＝13， ∴BC ＝6x ，在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2+BC 2，即302＝（3x ）2+（6x ）2，解得，x ＝∴AC ＝BC ＝∴剩余部分的面积＝12×100（cm 2），故选：A ． 【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用．3. （2019贵州黔西南州，10，4分）如图，在一斜边长30cm 的直角三角形木板（即Rt △ACB ）中截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC ＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（ ）A ．200cm 2B ．170cm 2C ．150cm 2D ．100cm 2 【答案】D【解析】解：设AF ＝x ，则AC ＝3x ，∵四边形CDEF 为正方形，∴EF ＝CF ＝2x ，EF ∥BC ，∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC =AF AC =13， ∴BC ＝6x ，在Rt △ABC 中，AB =√(3x)2+(6x)2=3√5x ， ∴3√5x ＝30，解得x ＝2√5，∴AC ＝6√5，BC ＝12√5，∴剩余部分的面积=12×6√5×12√5−（4√5）2＝100（cm 2）．故选：D ．【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用4. ．(2019海南,12题,3分)如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝5,BC ＝4,点P 是边AC 上一动点,过点P 作PQ ∥AB 交BC 于点Q,D 为线段PQ 的中点,当BD 平分∠ABC 时,AP 的长度为( )A.813B.1513C.2513D.3213第12题图【答案】B【思路分析】根据平行和平分线得到等腰三角形,作DE ⊥BC,得到相似三角形,结合中点和相似比,得到线段关系,列出方程,进而求得AP 长度.【解题过程】在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AB ＝5,BC ＝4,∴AC ＝3,过点D 作DE ⊥BC 于点E,易证△ABC ∽△DQE,∵BD 平分∠ABC,PQ ∥AB,∴BQ ＝QD,设QD ＝BQ ＝4x,则AP ＝3x,DP ＝4x,∴PQ ＝8x,CP ＝245x,∴AC ＝395x ＝3,∴x ＝513,AP ＝3x ＝1513,故选B.第12题答图【知识点】等腰三角形,相似三角形,一元一次方程5. （2019黑龙江哈尔滨，10，3分）如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在对角线BD 上,EM ∥AD,交AB 于点M,EN ∥AB,交AD 于点N,则下列式子一定正确的是（ ）。
2019中考数学试题分类汇编 知识点38 相似、位似及其应用
知识点38 相似、位似及其应用一、选择题1. （2018山东滨州，6，3分）在平面直角坐标系中，线段AB 两个端点的坐标分别为A （6，8）、B （10，2）．若以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩短为原来的12后得到线段CD ，则点A 的对应点C 的坐标为（ ） A ．（5，1） B ．（4，3） C ．（3，4） D ．（1，5） 【答案】C【解析】根据题意：点C 的坐标为(6×12，8×12)，即C (3，4)， 【知识点】以原点为位似中心的两个位似图形的坐标特征2. （2018四川泸州，10题，3分）如图4，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若AE=3ED ，DF=CF ，则AGGF的值是（ ） A.43 B.54 C.65 D.76GFE DCB A第10题图 【答案】C【解析】因为正方形中，AE=3ED ，DF=CF ，所以设边长为4a ，则AE=3a ，ED=a ，DF=CF=2a ，延长BE 、CD 交于点M ，易得△ABE ∽△MDE ，可得MD=a 34，因为△ABG ∽△MFG ，AB=4a ，MF=a 310，所以56==MF AB GF AG第10题解图【知识点】相似三角形3. （2018四川内江，8，3）已知△ABC 与△A 1B 1C 1相似，且相似比为1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为（ ） A ．1：1 B ．1：3 C ．1：6 D ．1：9 【答案】D【解题过程】解：∵△ABC ∽△A 1B 1C 1相似，∴ABCA B C S S '''＝(13)2＝19．故选择D ．【知识点】相似三角形的性质4. （2018山东潍坊，8，3分）在平面直角坐标系中，点P （m ，n ）是线段AB 上一点，以原点O 为位似中心把△AOB 放大到原来的两倍，则点P 的对应点的坐标为（ ） A ．（2m ，2n ）B ．（2m ，2n ）或（－2m ，－2n ）C ．（12m ，12n ）D ．（12m ，12n ）或（12m -，12n -） 【答案】B【解析】当放大后的△A ′OB ′与△AOB 在原点O 同侧时，点P 对应点坐标为（2m ，2n ），当放大后的△A ′OB ′与△AOB 在原点O 两侧时，点P 对应点坐标为（－2m ，－2n ），故选择B. 【知识点】图形的位似5. （2018四川省达州市，9，3分）如图，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE ＝CF ＝14AC ，连接DE 、DF 并延长，分别交AB 、BC 于点G 、H ，连接GH ，则ADG BGHSS的值为（ ）．A ．12 B ．23 C ．34D ．1第9题图【答案】C ．【解析】如图，过点H 作HM ∥AB 交AD 于M ，连接MG ． 设S 平行四边形ABCD ＝1．∵AE ＝CF ＝14AC ， ∴S △ADE ＝14S △ADC ＝18S 平行四边形ABCD ＝18，S △DEC ＝38． ∴S △AEG ＝19S △DEC ＝124．∴S △ADG ＝S △ADE ＋S △AEG ＝18＋124＝16．∵CH AD ＝13，∴S △AMG ＝23S △ADG ＝19．∵AG CD ＝13，∴S △GBH ＝2 S △AMG ＝29．∴ADG BGHSS＝1629＝34． 故选C.【知识点】相似三角形的性质；同底等高面积相等6.（2018四川省南充市，第10题，3分）如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为CD 的中点，连结AP ，过点B 作BE AP ⊥于点E ，延长CE 交AD 于点F ，过点C 作CH BE⊥于点G ，交AB 于点H ，连接HF .下列结论正确的是（ ）A ．CE =．EF =C ．cos 5CEP ∠=D ．2HF EF CF =⋅ 【答案】D【思路分析】1.利用平行四边形的判定和性质，求得AH 的值，再利用平行线分线段成比例，得到BG =EG ，利用垂直平分线的性质，可得CE =BC ；2.根据角之间的关系，推出AE =EF ，设AB =EF =x ，进而利用勾股定理求出EF 的长度；3.利用∠7=∠1，易得cos ∠CEP =cos ∠1，在Rt △BDP 中，求得cos ∠CEP ；4.在Rt △FAH 中，利用勾股定理求出HF 2，在Rt △CDF 中，求得CF 的长度，即可得证.【解题过程】解：由BE ⊥AP ，BE ⊥CH ，可证AP ∥CH ，又∵CP ∥AH ，∴四边形CPAH 是平行四边形，∴AH =CP =12CD =1，∴BH =1，又∵BH =AH ，GH ∥AP ，∴BG =EG ，∴BC =CE =2，故A 错误；∵CH ∥AP ，∴∠2=∠4，∵∠2+∠1=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠5，由BC =CE ，BG ⊥CG ，可知∠5=∠6，又∵CH ∥AP ，∴∠6=∠7=∠8，∴∠1=∠8，∴AF =EF ，设AF =EF =x ，则由勾股定理，可知CD 2+DF 2=CF 2，即22+(2－x)2=(2+x)2，解得：x =12，即EF =AF =12，故B 错误；在Rt △ADP 中，AP ,由∠7=∠1，可得：cos ∠CEP =cos ∠1=ADAP ，故C 错误；在Rt △FAH 中，AH =1，AF =12，∴HF 2=AH 2+AF 2=1+14=54，在Rt △CDF 中，CD =2，DF =32，∴CF 52，∴CF •EF =52×12=54=HF 2.故D 选项正确.故选D.【知识点】平行线的性质和判定；平行四边形的判定；平行线分线段成比例；勾股定理；三角函数7. （2018浙江绍兴，7，3分）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B ，D ，4AO m =， 1.6AB m =，1CO m =，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为（ ）（第7题图）A ．0.2mB ．0.3mC ．0.4mD ．0.5m 【答案】C【解析】由题意可知△ABO ∽△CDO ，根据相似三角形的性质可得AO ABCO CD=，4AO m =， 1.6AB m =，1CO m =，CD6.114=，4.0416.1=÷⨯=CD ，故选C 。
2019年全国中考数学真题分类汇编24：相似、位似及其应用(K12教育文档)
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相似、位似及其应用一、选择题1．（2019·苏州）如图,在△ABC 中,点D 为BC 边上的一点．且AD =AB =2，AD ⊥AB ,过点D 作DE ⊥AD ,DE 交AC 于点F ．若DE =1,则△ABC 的面积为（ ）A ．42B ．4C ．25D ．8【答案】B【解析】∵AB ⊥AD ，AD ⊥DE ，∴∠BAD ＝∠ADE ＝90°，∴DE ∥AB ,∴∠CED ＝∠CAB ，∵∠C ＝∠C ，∴△CED ∽△CAB ，∵DE ＝1，AB ＝2，即DE ∶AB ＝1∶2，∴S △DEC ∶S △ACB ＝1∶4，∴S 四边形ABDE ∶S △ACB ＝3∶4，∵S 四边形ABDE ＝S △ABD +S △ADE 12=⨯2×212+⨯2×1＝2+1＝3,∴S △ACB ＝4，故选B ．2.（2019·杭州）如图，在△ABC 中，点D,E 分别在AB 和AC 边上，DE ∥BC ，M 为BC 边上一点(不与点B,C 重合）连接AM 交DE 干点N ，则（ ）A.AD AN AN AE = B 。
2019年中考数学试题汇编—— 相似、位似及其应用2019
一、选择题1. (2019山东枣庄,12,3分)如图,将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC 的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'＝1,则A'D 等于A.2B.3C.4D.32第12题图 【答案】B【思路分析】根据平移得到相似,由相似三角形面积比等于相似比的平方,得到相似比,进而得到两中线的比,求出A'D 的长【解题过程】由平移可得,△ABC ∽△A'MN,设相似比为k,∵S △ABC ＝16,S △A'MN ＝9,∴k 2＝16:9,∴k ＝4:3,因为AD和A'D 分别为两个三角形的中线,∴AD:A'D ＝k ＝4:3,∵AD ＝AA'+A'D,∴AA':A'D ＝1:3,∵AA'＝1,则A'D ＝3,故选B第12题答图【知识点】图形的平移,相似三角形的性质2. （2019山东淄博，8，4分） 如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD ＝∠B. 若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为（ ）A .2aB .52a C .3a D .72a 【答案】C .【思路分析】在△BAC 和△ADC 中，∠C 是公共角，∠CAD ＝∠B .，则△BAC ∽△ADC ，根据相似三角形的性质求出△ABC 的面积，进而求出△ABD 的面积.【解题过程】在△BAC 和△ADC 中，∵∠C 是公共角，∠CAD ＝∠B.，∴△BAC ∽△ADC ，∴2BCAC,B∴2ABDA=()4CCS BCS AC=VV，又∵△ADC的面积为a，∴△ABC的面积为4a，∴△ABD的面积为3a.【知识点】相似三角形的判定和性质3. (2019四川巴中,8,4分)如图Y ABCD,F为BC中点,延长AD至E,使DE:AD＝1:3,连接EF交DC于点G,则S△DEG:S△CFG＝( )A.2:3B.3:2C.9:4D.4:9第8题图【答案】D【解析】因为DE:AD＝1:3,F为BC中点,所以DE:CF＝2:3,YABCD中,DE∥CF,所以△DEG∽△CFG,相似比为2:3,所以S△DEG:S△CFG＝4:9.故选D.【知识点】相似三角形,相似比4. （2019四川省乐山市，8，3）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）A．61B．31C．51D．41【答案】A【思路分析】先根据正方形性质与相似三角形的判定与性质求得DH的长，再求得阴影部分面积.第8题答图【解题过程】∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，∴AD=DC=1，CE=2，AD∥CE，∴△ADH∽△ECF，∴AD DHCE CH=，∴121DHDH=-，解得DH=13，∴阴影部分面积为12×13×1=16，故选A.【知识点】正方形性质；相似三角形的判定与性质；三角形面积12第8题图5. （2019四川省乐山市，9，3）如图，在边长为3的菱形ABCD 中，︒=∠30B ，过点A 作BC AE ⊥于点E ，现将△ABE 沿直线AE 翻折至△AFE 的位置，AF 与CD 交于点G .则CG 等于（ ） A ．13- B ．1 C ．21D ．23第9题图【答案】A【思路分析】先根据菱形性质以及锐角三角函数求BE 、EF 、CF 、DC ，再利用相似三角形求CG 的长.【解题过程】∵ BC AE ⊥， ∴∠AEB=90°，菱形ABCD 的边长为3，︒=∠30B ， ∴AE=12AB=12，BE=CF==1.5，BF=3，CF=BF -BC=3-，∵AD ∥CF ，∴△AGD ∽△FGC ，∴DG ADCG CF=，∴=CG1，故选A. 【知识点】菱形性质；锐角三角函数；相似三角形的判定与性质；轴对称性质6.（2019四川省凉山市，10，4）如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD ∶DC = 1∶2，O 是BD 的中点，连接A 0并延长交BC 于 E ，则BE ∶EC =（ ▲ ） A. 1∶2 B . 1∶3 C . 1∶4 D . 2∶3 【答案】B【思路分析】过点D 作DF ∥AE ，利用平行线分线段成比例定理求BE ∶EF , EF ∶FC ，再求BE ∶EC . 【解题过程】过点D 作DF ∥AE ，则1==OD BO EF BE ,21==CD AD FC EF ，∴BE ∶EF ∶FC =1∶1∶2，∴BE ∶EC =1∶3.故选B .【知识点】平行线分线段成比例定理7. （2019四川省眉山市，9，3分） 如图，一束光线从点A （4，4）出发，经y 轴上的点C 反射后，经过点B （1，0），则点C 的坐标是A ．（0，12）B ． （0，45）C ． （0，1）D ． （0，2）【答案】B【思路分析】过点A作AD⊥y轴于点D，利用△OBA∽△DAC，求出OC的长即可.【解题过程】解：过点A作AD⊥y轴于点D，∵∠ADC=∠COB=90°，∠ACD=∠BCO，∴△OBA∽△DAC，∴OC DCOB AD=，∴414OC OC-=，解得：OC=45，∴点C（0，45），故选B.【知识点】相似三角形的性质和判定8. （2019四川省眉山市，12，3分）如图，在菱形ABCD中已知AB=4，∠ABC=60°，∠EAF=60°，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE=CF，②∠EAB=∠CEF；③△ABE∽△EFC，④若∠BAE=15°，则点F到BC的距离为232-，则其中正确结论的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【思路分析】连接AC，易得△ABC是等边三角形，利用△ABE≌△ACF，可得BE=CF；由△ABE≌△ACF，可得AE=AF，进而可得△AEF是等边三角形，进而可得∠EAB=∠CEF；求出△ABE和△EFC的角的度数，即可判断；过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF•cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题.【解题过程】解：连接AC，在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°，即∠EAB=∠CAF，∵∠ABE=∠ACF=120°，∴△ABE≌△ACF，∴BE=CF，故①正确；由△ABE≌△ACF，可得AE=AF，∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=60°，∴∠AEB+∠CEF=60°，∵∠AEB+∠EAB=60°，∴∠CEF=∠EAB，故②正确；在△ABE中，∠AEB＜60°，∠ECF=60°，∴③错误；过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH D⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在Rt△AGB中，∵∠ABC=60°，AB=4，∴BG=12AB=2，AG=3BG=23，在Rt△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=23，∴EB=EG-BG=23-2，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，∵∠ABC=∠ACD=60°，∴∠ABE=∠ACF=120°在△AEB和△AFC中，⎧⎪⎨⎪⎩∠∠∠∠︒EAB FACAB ACABE ACF120＝＝＝＝，∴△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=23-2，在Rt△CHF中，∵∠HCF=180°-∠BCD=60°，CF=23-2，∴FH=CF•sin60°=（23-2）•3=3-3.∴点F到BC的距离为3-3.故④错误.故选B.【知识点】菱形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，锐角三角形函数9.（2019重庆市B卷，3，4）下列命题是真命题的是（）A.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为2:3B.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9C.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个全角形的面积比为2:3D.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为4:9【答案】Ｂ【解析】如果两个三角形相似,那么这两个三角形的周长比等于相似比，面积比是相似比的平方.即如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9；面积比是相似比的平方，即16:81. 故选Ｂ．【知识点】真命题，假命题，相似比10.（2019重庆A卷，3，4）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C．O DCBA第3题图【解析】∵△ABO ∽△CDO ，∴AB BO CD DO =．∵BO ＝6，DO ＝3，CD ＝2，∴623AB =．∴AB ＝4．故选C ． 【知识点】图形的相似；相似三角形的性质11. （2019安徽省，7，4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，12BC =，点D 在边BC 上，点E 在线段AD 上，EF AC ⊥于点F ，EG EF ⊥交AB 于点G ．若EF EG =，则CD 的长为( )A ．3.6B ．4C ．4.8D ．5【答案】B【解析】解：作//DH EG 交AB 于点H ，则AEG ADH ∆∆∽， ∴AE EGAD DH=， ∵EF AC ⊥，90C ∠=︒， 90EFA C ∴∠=∠=︒， //EF CD ∴， AEF ADC ∴∆∆∽，∴AE EFAD CD =， ∴EG EFDH CD=， EG EF =Q ， DH CD ∴=，设DH x =，则CD x =， 12BC =Q ，6AC =， 12BD x ∴=-，EF AC ⊥Q ，EF EG ⊥，//DH EG ， ////EG AC DH ∴， BDH BCA ∴∆∆∽，∴DH BD AC BC =，即12612x x-=，解得，4x =，∴4CD =， 故选B ．【知识点】相似三角形的判定与性质12. （2019四川南充，8，4分）已知ABC ∆∽△A B C '''，8AB =，6A B ''=，则(BCB C ='') A ．2 B ．43C ．3D ．169【答案】B【解析】解：ABC ∆Q ∽△A B C '''，∴8463BC AB B C A B ===''''．故选：B ． 【知识点】相似三角形的性质13. （2019甘肃武威，5，3分）如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )A ．平移变换B ．相似变换C ．旋转变换D ．对称变换【答案】B.【解析】由相似图形的定义，得用放大镜将图形放大，图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换，故选B ．【知识点】几何变换14. （2019广东广州，7，3分）如图，▱ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，对角线AC ，BD 相交于点O ，且E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．EH ＝HGB ．四边形EFGH 是平行四边形C ．AC ⊥BD D ．△ABO 的面积是△EFO 的面积的2倍【答案】B【解析】解：∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，在▱ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，∴EH=12AD＝2，HG=12CD=12AB＝1，∴EH≠HG，故选项A错误；∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴EH=12AD=12BC=FG，∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；∵点E、F分别为OA和OB的中点，∴EF=12AB，EF∥AB，∴△OEF∽△OAB，∴S△AEFS△OAB=(EFAB)2=14，即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，故选：B．【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质15.（2019广东省，10，3分）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB，AM交于点N、K：则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AF=√2FG=√2AH，∴∠AFH≠∠AHF，∴∠AFN≠∠HFG，故②错误；∵△ANH≌△GNF，∴AN=12AG＝1，∵GM＝BC＝4，∴AHAN=GMAG=2，∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AHN∽△GMA，∴∠AHN＝∠AMG，∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG，∴∠AHK＝∠HAK，∴AK＝HK，∴AK＝HK＝NK，∵FN＝HN，∴FN＝2NK；故③正确；∵延长FG交DC于M，∴四边形ADMG是矩形，∴DM＝AG＝2，∵S△AFN=12AN•FG=12×2×1＝1，S△ADM=12AD•DM=12×4×2＝4，∴S△AFN：S△ADM＝1：4故④正确，故选：C．【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质16.（2019贵州黔东南，10，4分）如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．200cm2B．170cm2C．150cm2D．100cm2【答案】D【解析】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=AFAC=13，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB=√(3x)2+(6x)2=3√5x，∴3√5x＝30，解得x＝2√5，∴AC＝6√5，BC＝12√5，∴剩余部分的面积=12×6√5×12√5−（4√5）2＝100（cm2）．故选：D．【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用17.（2019江苏连云港，6，3分）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似()A．①处B．②处C．③处D．④处（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由网格得，帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②，“车”②之间的距离为12==，∴马应该落在②的位置，故选B．【知识点】相似三角形的判定与性质18.（2019山东德州，12，4分）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且:1:2AF FB=，CE DF⊥，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使12BG BC=，连接CM．有如下结论：①DE AF=；②AN AB；③ADF GMF∠=∠；④:1:8ANF CNFBS S∆=四边形．上述结论中，所有正确结论的序号是()A．①②B．①③C．①②③D．②③④【答案】C【解析】Q四边形ABCD是正方形，AD AB CD BC∴===，90CDE DAF∠=∠=︒，CE DF⊥Q，90DCE CDF ADF CDF∴∠+∠=∠+∠=︒，ADF DCE∴∠=∠，在ADF∆与DCE∆中，90DAF CDEAD CDADF DCE∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ADF DCE ASA∴∆≅∆，DE AF∴=；故①正确；//AB CDQ，∴AF ANCD CN=，:1:2AF FB =Q ，::1:3AF AB AF CD ∴==， ∴13AN CN =， ∴14AN AC =，AC =Q ， ∴14=，AN AB ∴=；故②正确；作GH CE ⊥于H ，设AF DE a ==，2BF a =，则3AB CD BC a ===，EC =，由CMD CDE ∆∆∽，可得CM ，由GHC CDE ∆∆∽，可得CH =， 12CH MH CM ∴==， GH CM ⊥Q ，GM GC ∴=，GMH GCH ∴∠=∠，90FMG GMH ∠+∠=︒Q ，90DCE GCM ∠+∠=︒，FEG DCE ∴∠=∠，ADF DCE ∠=∠Q ，ADF GMF ∴∠=∠；故③正确，设ANF ∆的面积为m ，//AF CD Q ， ∴13AF FN CD DN ==，AFN CDN ∆∆∽， ADN ∴∆的面积为3m ，DCN ∆的面积为9m ，ADC ∴∆的面积ABC =∆的面积12m =，:1:11ANF CNFB S S ∆∴=四边形，故④错误，故选C ．【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质19.（2019四川绵阳，12，3分）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5，CD ＝AD ＝3，点E 是线段CD 的三等分点，且靠近点C ，∠FEG 的两边与线段AB 分别交于点F 、G ，连接AC 分别交EF 、EG 于点H 、K ．若BG =32，∠FEG ＝45°，则HK ＝（ ）A ．2√23B ．5√26C ．3√22D ．13√26【答案】B【解析】解：∵∠ADC ＝90°，CD ＝AD ＝3，∴AC ＝3√2，∵AB ＝5，BG =32，∴AG =72，∵AB ∥DC ，∴△CEK ∽△AGK ，∴CE AG=CK AK =EK KG ， ∴172=CK AK =EK KG ， ∴CK AK =EK KG =27，∵CK +AK ＝3√2，∴CK =2√23，过E 作EM ⊥AB 于M ，则四边形ADEM 是矩形，∴EM ＝AD ＝3，AM ＝DE ＝2，∴MG =32，∴EG =√EM 2+MG 2=3√52，∵EK KG =27， ∴EK =√53，∵∠HEK ＝∠KCE ＝45°，∠EHK ＝∠CHE ，∴△HEK ∽△HCE ，∴HE HK =√53=√5，∴设HE ＝3x ，HK =√5x ，∵△HEK ∽△HCE ，∴EH HC =HK EH ， ∴√5x+2√23=√5x 3x ， 解得：x =√106，∴HK =5√26，故选B ．【知识点】勾股定理；相似三角形的判定和性质；等腰直角三角形的性质；矩形的判定和性质，20. （2019四川南充，9，3分）如图，正方形MNCB 在宽为2的矩形纸片一端，对折正方形MNCB 得到折痕AE ，再翻折纸片，使AB 与AD 重合，以下结论错误的是( )A ．210AB =+B ．CD BC = C ．2BC CD EH =g D ．sin AHD ∠=【答案】A【解析】解：在Rt AEB ∆中，AB//AB DH Q ，//BH AD ，∴四边形ABHD 是平行四边形，AB AD =Q ，∴四边形ABHD 是菱形，AD AB ∴==1CD AD AD ∴===，∴CD BC =，故选项B 正确，24BC =Q ，1)4CD EH ==g ，2BC CD EH ∴=g ，故选项C 正确，Q 四边形ABHD 是菱形，AHD AHB ∴∠=∠，sin sin AE AHD AHB AH ∴∠=∠===，故选项D 正确， 故选：A ．【知识点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；正方形的性质；解直角三角形；相似三角形的判定与性质21. （2019浙江绍兴，10，4分）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为( )A ．245B ．325CD 【答案】A 【解析】解：过点C 作CF BG ⊥于F ，如图所示：设DE x =，则8AD x =-， 根据题意得：1(88)333362x -+⨯⨯=⨯⨯， 解得：4x =，4DE ∴=，90E ∠=︒Q ，由勾股定理得：5CD ==，90BCE DCF ∠=∠=︒Q ，DCE BCF ∴∠=∠，90DEC BFC ∠=∠=︒Q ，CDE BCF ∴∆∆∽， ∴CE CD CF CB=， 即358CF =， 245CF ∴=． 故选：A ．【知识点】认识立体图形；勾股定理；相似三角形的判定与性质22. （2019浙江温州，10，4分）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 中点，以BE 为边作正方形BEFG ，边EF 交CD 于点H ，在边BE 上取点M 使BM BC =，作//MN BG 交CD 于点L ，交FG 于点N ，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了22()()a b a b a b +-=-，现以点F 为圆心，FE 为半径作圆弧交线段DH 于点P ，连结EP ，记EPH ∆的面积为1S ，图中阴影部分的面积为2S ．若点A ，L ，G 在同一直线上，则12S S 的值为( )ABCD【答案】C【解析】解：如图，连接ALGL ，PF ．由题意：22AMLD S S a b ==-矩形阴，PH =，Q 点A ，L ，G 在同一直线上，//AM GN ，AML GNL ∴∆∆∽， ∴AM ML GN NL =， ∴a b a b a b b+-=-， 整理得3a b =，∴12221()2a b S S a b -===-g ， 故选：C ．【知识点】平方差公式；正方形的性质；矩形的性质；扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质；相似三角形的判定与性质23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题1. （2019山东滨州，16，5分）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（－2，4），B（－4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是________________________．【答案】（－1，2）或（1，－2）【解析】点A的对应点C的坐标是（－2×12，4×12）或（－2×（－12），4×（－12）），即（－1，2）或（1，－2）．【知识点】位似2. （2019山东滨州，19，5分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD ＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有____________．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③④【思路分析】由平行四边形的性质求出∠BCD的度数，再由角平分线的定义得出∠BCE的度数，进而得出△BCE 是等边三角形，再由AB=2BC，得出△ACE是等腰三角形，可得△ABC为直角三角形，由中位线定理得出OE ⊥AC，故①正确；或由等腰三角形的性质得出OE⊥AC；由中位线定理得出OF：BF=1：2，则S△AOD=S△BOC=3S △OCF，可得②错误；利用锐角三角函数或勾股定理得出AC与BC的关系，再用勾股定理得出OB与BC的关系，可得AC：BD=7，故③正确；由OF：BF=1：2，将BF和DF都化成OF，可得④正确．【解题过程】在Y ABCD中，AB∥DC，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°．∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=60°，∴△BCE 是等边三角形，∴BE=BC=CE，∠BEC=60°．∵AB=2BC，∴AE=BE=CE，∴∠EAC=∠ACE=30°，∴∠ACB=90°．在Y ABCD中，AO=CO，BO=DO，∴OE是△ACB的中位线，∴OE∥BC，∴OE⊥AC，故①正确；∵OE是△ACB的中位线，∴OE=12BC，∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴OF：BF=OE：BC=1：2，∴S△AOD=S△BOC=3S△OCF，故②错误；在Rt△ABC中，∵AB=2BC，∴BC，∴OC=2BC．在Rt△BCO中，=2BC，BC，∴AC：BC ：7，故③正确；∵OF：BF=1：2，∴BF=2OF，OB=3OF，∵OD=OB，∴DF=4OF，∴BF2=（2OF）2=4OF2，OF·DF=OF·4OF=4OF2，∴BF2=OF·DF，故④正确．【知识点】角平分线的定义；平行四边形的性质；等边三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；中位线定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数3. （2019四川省凉山市，16，4）在□ABCD中，E是AD上一点，且点E将AD分为2∶3的两部分，连接BE、AC相交于F，则S△AEF∶S△CBF是▲ .【答案】4：25或9∶25【思路分析】分AE∶DE=2∶3与AE∶DE=3∶2两种情况讨论，借助相似三角形的性质求出面积比.【解题过程】在□ABCD中，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF.如答图1，当AE∶DE=2∶3时，AE∶AD=2∶5,∵AD=BC，∴AE∶BC=2∶5, ∴S△AEF∶S△CBF=4∶25；如答图2，当AE∶DE=3∶2时，AE∶AD=3∶5,∵AD=BC，∴AE∶BC=3∶5, ∴S△AEF∶S△CBF=9∶25.故答案为4∶25或9∶25.（第16题图答图1）（第16题图答图2）【知识点】三角形相似的判定与性质；分类讨论思想17．（2019四川省凉山市，17，4）将抛物线y=(x-3)2-2向左平移个单位后经过点A(2，2)．【答案】3【思路分析】先假设平移后抛物线解析式，再代入A(2，2)求参数m.【解题过程】设抛物线向左平移m个单位，则平移后的解析式为y=（x-3+m）2-2，将A（2，2）代入，有2=（2-3+m）2-2，解得：m1=-1（舍去），m2=3，∴m=3.故答案为3.【知识点】抛物线的平移规律；待定系数法4.（2019四川省自贡市，17，4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE= .√5.【答案】95【解题过程】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠CBD=∠D，∴CD=BD=6.在Rt △ABC 中，AC =√AB 2−BC 2=√102−62=8.∵AB ∥CD ，∴△ABE ∽△DCE ，∴CE AE =DE BE =CD AB =610=35,∴CE =35AE ，DE =35BE . 即CE =38AC =38×8=3.在Rt △BCE 中，BE =2+CE 2=√62+32=3√5.∴DE =35BE =35×3√5=95√5.【知识点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线性质5. （2019浙江省衢州市，16，4分）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。
2019年中考数学模拟试卷分类汇编：图形的相似与位似(含答案)
D.C.B.A.图形的相似与位似一.选择题1. （2018·吉林长春·二模）答案：C2．（2018·江苏江阴长泾片·期中）如图，在8×4的矩形格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D 、点E 、点F 也都在格点上，则下列与△ABC 相似的三角形是 （ ）A ．△ACDB ．△ADFC ．△BDFD ．△CDE 答案：C3. (2018·屯溪五中·3月月考)一个三角形三边之比为3:5:7，与它相似的三角形的最长边为21cm ，则其余两边之和为【 】A.24cmB.21 cmC.13 cmD.9cm 、 答案：A4. (2018·屯溪五中·3月月考)下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ） 答案：B5. (2018·安徽省蚌埠市经济开发·二摸)如图，在ABC ∆中，DE ∥BC ，12AD DB =，4DE =，则BC 的长是【 】第6题图第1题图·D·F·E图1图2A ．8B ．10C ．11D ．12 答案：D6．（2018•山东滕州羊庄中学•4月模拟）如图1，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的 A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁答案： C ；7．（2018•山东潍坊广文中学、文华国际学校•一模）如图2，点D 在△ABC 的边AC 上，要 判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABD=∠CB ．∠ADB=∠ABC C ．AB CB BD CD = D ．AD ABAB AC= 答案：C ；8．（2018·山东省枣庄市齐村中学二模）在直角坐标系中，已知点A （－2，0）、B （0，4）、C （0，3），过点C 作直线交x 轴于点D ，使得以D 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似，这样的直线最多可以作（ ）A ．2条B ．3条C ．4条D ．6条答案： C9．（2018·山东枣庄·二模）如图，四边形ABCD 是平行四边形，点N 是AB 上一点，且BN = 2AN ，AC 、DN 相交于点M ，则ADM CMNB S S ∆四边形∶的值为（ ）A ．3∶11B ．1∶3C ．1∶9D ．3∶10答案：A10.（2018山东·枣庄一摸）如图，为测量池塘边上两点A 、B 之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O ，测得OA 、OB 的中点分别是点D 、E ，且DE ＝14米，则A 、B 间的距离是（ ）．A ．18米B ．24米C ．28米D ．30米答案：C11．(2018·江苏南京溧水区·一模)如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE//BC ，若S △ADE ：S △ABC＝4︰9，则AD ：AB ＝( ▲ )A ．1∶2B ．2∶3C ．1∶3D ．4∶9答案: B二.填空题1. （2018·湖南岳阳·调研）如图，△ABC 中，如果AB AC =，AD BC ⊥于点D ，M 为AC 中点，AD 与BM 交于点G ，那么:GDM GAB S S ∆∆的值为 ；答案：142．（2018·江苏江阴·3月月考）如图，正方形ABCD 的边长为3，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AE=BF=1，小球P 从点E 出发沿直线向点F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P 第一次碰到点E 时，小球P 所经过的路程长为______________．答案：BFEDCBA第1题图图23．（2018·江苏江阴青阳片·期中）如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，P 是BC 上一点，BP=2，将一个大小与∠B 相等的角的顶点放在P 点，然后将这个角绕P 点转动，使角的两边始终分别与AB 、AC 相交，交点为D 、E.若△PDE 为直角三角形，则BD 的长为 ▲ .答案：512或320 4. (2018·屯溪五中·3月月考)若0435≠==c b a ，则bcb a ++＝___________. 答案：45. (2018·合肥市蜀山区调研试卷)如图，直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、B 、C 、D 、E 、F ，若AB=6，DE=3，EF=4，则BC= .答案： 8 14.6.（2018·福建漳州·一模）如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD ＝3，AB ＝5，则DE∶BC 的值是 . 答案：357．（2018•山东滕州张汪中学•质量检测二）如图2，在△ABC 中，若DE∥BC，DB AD =12，DE=4cm ，则BC 的长为 _________ ． 答案：12；. 8．（2018·辽宁东港市黑沟学校一模，3分）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P 是边AB 上一点，若△APD 与△BPC 相似，则满足条件的点P 有___________个．PEAD第2题图a b cAD BE CFm n 第11题图答案： 39．(2018·江苏无锡北塘区·一模)已知，如图，△ABC 中，DE ∥FG ∥BC ，AD ∶DF ∶FB ＝1∶2∶3，若EG ＝3，则AC ＝ ▲ ．答案: 910．（2018·无锡市南长区·一模）如图,△ABC 中,AB=5,BC=3,CA=4,D 为AB 的中点,过点D 的直线与BC 交于点E,若直线DE 截△ABC 所得的三角形与△ABC 相似,则DE=_________. 答案： 2三.解答题1. （2018·江苏常州·一模）（本题满分10分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，动点E 在边BC 上，与点B 、C 不重合，过点A 作DE 的垂线，交直线CD 于点F ．设DF ＝x ，EC ＝y ． ⑴ 求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围． ⑵ 当CF ＝1时，求EC 的长．⑶ 若直线AF 与线段BC 延长线交于点G ，当△DBE 与△DFG 相似时，求DF 的长．FD⑴ 如图1，x y 21=（80<<x ） -------------------------------------------- 2′ ⑵ DF＝1或DF ＝3，相应地，21=EC 或23=EC ------------------------------- 4′⑶ 由∠DEC＝∠AFD 得，∠BED＝∠DFG．DF ＝x ，FG ＝1622+-x x x ，DE ＝16212+x ，BE ＝4－21x -------------- 6′ FGBCD E A （第16题）CAD · 第16题图当∠DBE＝∠GDF 时，x·16212+x ＝1622+-x x x ·（4－21x ）， ----- 7′解得x ＝58．当∠BDE＝∠GDF 时，x （4－21x ）＝1622+-x x x ·16212+x ， ------- 8′ 解得x ＝34（x ＝－4舍去） 即DF 的长为58或34． 10′2．（2018·江苏江阴长泾片·期中）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4㎝，BC=5㎝，D 是BC 边上一点，CD=3㎝，点P 为边AC 上一动点（点P 与A 、C 不重合），过点P 作PE// BC ，交AD 于点E ．点P 以1㎝/s 的速度从A 到C 匀速运动。
2019年中考数学试题分类汇编专项46相似和位似(K12教育文档)
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2019年中考数学试题分类汇编专项46相似和位似注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足!重在审题,多思考，多理解!专题46：相似和位似【一】选择题1.〔2018海南省3分〕如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不．正确的选项是．．．．．．【】A 、∠ABD =∠CB 、∠ADB =∠ABCC 、AB CB BDCD=D 、AD AB ABAC=【答案】C 。
【考点】相似三角形的判定.【分析】由∠ABD =∠C 或∠ADB =∠ABC ，加上∠A 是公共角,根据两组对应相等的两三角形相似的判定,可得△ADB ∽△ABC ；由AD AB ABAC=,加上∠A 是公共角,根据两组对应边的比相等，且相应的夹角相等的两三角形相似的判定,可得△ADB ∽△ABC ；但AB CB BD CD=，相应的夹角不知相等，故不能判定△ADB 与△ABC 相似。
应选C 。
2。
〔2018陕西省3分〕如图,在△ABC 中，AD ，BE 是两条中线，那么EDCABC SS :∆∆=【】A 、1∶2B 、2∶3C 、1∶3D 、1∶4【答案】D 。
【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。
新课标版2019年全国各地中考真题分类详解 - ——相似、位似及其应用
新课标版2019年全国各地中考真题分类详解相似、位似及其应用一、选择题 10．（2019·苏州）如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上的一点．且AD =AB =2，AD ⊥AB ，过点D 作DE ⊥AD ，DE 交AC 于点F ．若DE =1，则△ABC 的面积为 （ ）A ．B ．4C ．D ．8第10题图【答案】B【解析】∵AB ⊥AD ，AD ⊥DE ，∴∠BAD ＝∠ADE ＝90°，∴DE ∥AB ，∴∠CED ＝∠CAB ，∵∠C ＝∠C ，∴△CED ∽△CAB ，∵DE ＝1，AB ＝2，即DE ∶AB ＝1∶2，∴S △DEC ∶S △ACB ＝1∶4，∴S 四边形ABDE ∶S △ACB ＝3∶4，∵S 四边形ABDE ＝S △ABD +S △ADE 12=⨯2×212+⨯2×1＝2+1＝3，∴S △ACB＝4，故选B ．10．（2019·绍兴 ）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为 ( ) A.524 B.532C.173412D.173420【答案】A【解析】如图所示：设DM ＝x ，则CM ＝8﹣x ， 根据题意得：（8﹣x +8）×3×3＝3×3×5， 解得：x ＝4，∴DM ＝6，∵∠D ＝90°，由勾股定理得：BM=＝5， 过点B 作BH ⊥AH ，∵∠HBA+∠ABM ＝∠ABM+∠ABM ＝90°， ∴∠HBA+＝∠ABM ，所以Rt △ABH ∽△MBD ， ∴BH BD AB BM =，即385BH =，解得BH ＝524，即水面高度为524． 6.（2019·杭州）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB 和AC 边上，DE ∥BC ，M 为BC 边上一点(不与点B ，C 重合)连接AM 交DE 干点N ，则 （ ） A.AD AN AN AE = B. BD MN MN CE = C. DN NE BM MC = D. DN NEMC BM=【答案】C【解析】根据DE ∥BC ，可得△ADN ∽△ABM 与△ANE ∽△AMC ，再应用相似三角形的性质可得结论.∵DN ∥BM ，∴△ADN ∽△ABM ，∴DN ANBM AM=，∵NE ∥MC ，∴△ANE ∽△AMC ，∴NE AN MC AM =，∴DN NEBM MC=．故选C ． 7．（2019·常德）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC 的面积为42，则四边形DBCE 的面积是（ ） A ．20 B ．22 C ．24 D ．26B【答案】D【解析】∵图中所有三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC 的面积为42，∴最小的三角形与△ABCADE ∽△ABC ，∴ADE ABCSS ＝2DE BC ⎛⎫⎪⎝⎭，∵DE BC ＝4ADE ABCSS＝1642＝821， ∴S △ADE ＝821×42＝16，∴四边形DBCE 的面积＝S △ABC －S △ADE ＝26，故选项D 正确． 5．（2019·陇南）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）A ．平移变换B ．相似变换C ．旋转变换D ．对称变换【答案】B【解析】由图可知，放大前与放大后图形是相似的，故选：B ．1. (2019·枣庄)如图,将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC 的面积为16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'＝1,则A'D 等于A.2B.3C.4D.32【答案】B【解析】由平移可得,△ABC ∽△A'MN,设相似比为k,∵S △ABC ＝16,S △A'MN ＝9,∴k 2＝16:9,∴k ＝4:3,因为AD 和A'D 分别为两个三角形的中线,∴AD:A'D ＝k ＝4:3,∵AD ＝AA'+A'D,∴AA':A'D ＝1:3,∵AA'＝1,则A'D ＝3,故选B.2.（2019·淄博）如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD ＝∠B. 若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为（）A .2aB .52a C .3a D .72a 【答案】C .【解析】在△BAC 和△ADC 中，∵∠C 是公共角，∠CAD ＝∠B.，∴△BAC ∽△ADC ，∴2BCAC=, ∴2AB DA =()4C CS BC SAC=，又∵△ADC 的面积为a ，∴△ABC 的面积为4a ，∴△ABD 的面积为3a .3. (2019· 巴中)如图，ABCD,F 为BC 中点,延长AD 至E,使DE:AD ＝1:3,连接EF 交DC 于点G,则S △DEG :S △CFG ＝( )A.2:3B.3:2C.9:4D.4:9【答案】D【解析】因为DE:AD ＝1:3,F 为BC 中点,所以DE:CF ＝2:3,ABCD 中,DE ∥CF,所以△DEG ∽△CFG,相似比为2:3,所以S △DEG :S △CFG ＝4:9.故选D.4.（2019·乐山）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（ ） A ．61 B ．31C ．51D ．41B【答案】A第8题答图【解析】∵四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形，∴AD =DC =1，CE =2，AD ∥CE ，∴△ADH∽△ECF ，∴A D D HC E C H=，∴121DH DH =-，解得DH =13，∴阴影部分面积为12×13×1=16，故选A.5.（2019·乐山）如图，在边长为3的菱形ABCD 中，︒=∠30B ，过点A 作BC AE ⊥于点E ，现将△ABE 沿直线AE 翻折至△AFE 的位置，AF 与CD 交于点G .则CG 等于（ ） A ．13-B ．1C ．21D ．23第9题图【答案】A【解析】∵BC AE ⊥，∴∠AEB=90°，菱形ABCD 的边长为3，︒=∠30B ，∴AE=12AB=12，BF=3，CF=BF -BC=3，∵AD ∥CF ，∴△AGD ∽△FGC ，∴D G A DC G C F=，=，解得CG1-，故选A. 6.（2019·凉山）如图，在△ABC 中，D 在AC 边上，AD ∶DC = 1∶2，O 是BD 的中点，连接A 0并延长交BC 于 E ，则BE ∶EC =（ ▲ ） A. 1∶2 B . 1∶3 C . 1∶4 D . 2∶3【答案】B【解析】过点D 作DF ∥AE ，则1==OD BO EF BE ,21==CD AD FC EF ，∴BE ∶EF ∶FC =1∶1∶2，∴BE ∶EC =1∶3.故选B .7.（2019·眉山）如图，一束光线从点A （4，4）出发，经y 轴上的点C 反射后，经过点B （1，0），则点C 的坐标是A ．（0，12）B ．（0，45）C ．（0，1）D ．（0，2）【答案】B【解析】解：过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，∵∠ADC=∠COB=90°，∠ACD=∠BCO ，∴△OBA∽△DAC ，∴OC DC OB AD =，∴414OC OC -=，解得：OC=45，∴点C （0，45），故选B.8.（2019·眉山）如图，在菱形ABCD 中已知AB =4，∠ABC =60°，∠EAF =60°，点E 在CB 的延长线上，点F 在DC 的延长线上，有下列结论：①BE =CF ，②∠EAB =∠CEF ；③△ABE ∽△EFC ，④若∠BAE =15°，则点F 到BC 的距离为2，则其中正确结论的个数是A ．1个B ． 2个C ．3个D ． 4个【答案】B 【解析】连接AC ，在菱形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∠BAC=60°，∵∠EAF=60°，∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF=60°，即∠EAB=∠CAF ，∵∠ABE=∠ACF=120°，∴△ABE ≌△ACF ，∴BE=CF ，故①正确；由△ABE ≌△ACF ，可得AE=AF ，∵∠EAF=60°，∴△AEF 是等边三角形，∴∠AEF=60°，∴∠AEB+∠CEF=60°，∵∠AEB+∠EAB=60°，∴∠CEF=∠EAB ，故②正确；在△ABE 中，∠AEB ＜60°，∠ECF=60°，∴③错误；过点A 作AG ⊥BC 于点G ，过点F 作FH ⊥EC 于点H ，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在Rt △AGB 中，∵∠ABC=60°，AB=4，∴BG=12AB=2，，在Rt △AEG 中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=，∴EB=EG-BG=，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF ，∵∠ABC=∠ACD=60°，∴∠ABE=∠ACF=120°在△AEB 和△AFC 中，⎧⎪⎨⎪⎩∠∠∠∠︒EAB FAC AB AC ABE ACF 120＝＝＝＝，∴△AEB ≌△AFC ，∴AE=AF ，EB=CF=，在Rt △CHF 中，∵∠HCF=180°-∠BCD=60°，CF=，∴FH=CF •sin60°=（-2∴点F到BC 的距离为故④错误.故选B.9.（2019·重庆B 卷）下列命题是真命题的是（ ）A.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为2:3B.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9C.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个全角形的面积比为2:3D.如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为4:9 【答案】Ｂ【解析】如果两个三角形相似,那么这两个三角形的周长比等于相似比，面积比是相似比的平方.即如果两个三角形相似，相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9；面积比是相似比的平方，即16:81.故选Ｂ．10.（2019·重庆A卷）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C．【解析】∵△ABO∽△CDO，∴AB BOCD DO=．∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴623AB=．∴AB＝4．故选C．二、填空题16．（2019·滨州）在平面直角坐标系中，△ABO三个顶点的坐标分别为A（－2，4），B（－4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是________________________．【答案】（－1，2）或（1，－2）【解析】点A的对应点C的坐标是（－2×12，4×12）或（－2×（－12），4×（－12）），即（－1，2）或（1，－2）．2.（2019·滨州）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD＝：7；④FB2＝OF•DF．其中正确的结论有____________．（填写所有正确结论的序号）【答案】①③④【解析】在Y ABCD中，AB∥DC，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°．∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=60°，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC=CE，∠BEC=60°．∵AB=2BC，∴AE=BE=CE，∴∠EAC=∠ACE=30°，∴∠ACB=90°．在Y ABCD中，AO=CO，BO=DO，∴OE是△ACB的中位线，∴OE ∥BC ，∴OE ⊥AC ，故①正确；∵OE 是△ACB 的中位线，∴OE=12BC ，∵OE ∥BC ，∴△OEF ∽△BCF ，∴OF ：BF=OE ：BC=1：2，∴S △AOD =S △BOC =3S △OCF ，故②错误；在Rt △ABC 中，∵AB=2BC ，∴，∴OC=2BC ．在Rt △BCO 中，2BC ，∴BC ，∴AC ：：7，故③正确；∵OF ：BF=1：2，∴BF=2OF ，OB=3OF ，∵OD=OB ，∴DF=4OF ，∴BF 2=（2OF ）2=4OF 2，OF ·DF=OF ·4OF=4OF 2，∴BF 2=OF ·DF ，故④正确．3.（2019·凉山）在□ABCD 中，E 是AD 上一点，且点E 将AD 分为2∶3的两部分， 连接BE 、AC 相交于F ，则S △AEF ∶S △CBF 是▲. 【答案】4：25或9∶25【解析】在□ABCD 中，∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF .如答图1，当AE ∶DE =2∶3时，AE ∶AD =2∶5,∵AD =BC ，∴AE ∶BC =2∶5,∴S △AEF ∶S △CBF =4∶25；如答图2，当AE ∶DE =3∶2时，AE ∶AD =3∶5,∵AD =BC ，∴AE ∶BC =3∶5,∴S △AEF ∶S △CBF =9∶25.故答案为4∶25或9∶25.（第16题图答图1） （第16题图答图2）4. （2019·自贡）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，BC =6，CD ∥AB ，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点E ，DE =.【答案】.【解析】∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD =∠CBD ， ∵AB ∥CD , ∴∠D =∠ABD , ∴∠CBD =∠D ，∴CD=BD=6.在Rt△ABC中，AC==8.∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴,∴CE=AE，DE=BE.即CE=AC=×8=3.在Rt△BCE中，BE=.∴DE=BE=×3=.5.（2019·衢州）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。