新课标II 2014届高三名校数学(文)试题分省分项汇编专题10 立体几何学生版Word版无答案
2014年高考数学文科试题分类——立体几何解析
2014年高考数学文科试题分类——立体几何若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥∥则下列结论一定正确的是（ ）A ．14l l ⊥ B.14l l ∥ C.1l 与4l 既不垂直也不平行 D.1l 与4l 的位置关系不确定4.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥6.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ）A.若n m ⊥，α//n ，则α⊥mB.若β//m ，αβ⊥，则α⊥mC.若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥mD.若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m【答案】C【解析】试题分析：对A ，若n m ⊥，α//n ，则α⊂m 或α//m 或α⊥m ，错误；对B ，若β//m ，αβ⊥，则α⊂m 或α//m 或α⊥m ，错误；对C ，若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥m ，正确；对D ，若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m 或α⊂m 或α//m ，错误.故选C.点评：本题考查空间中的线线、线面、面面的闻之关系，容易题.10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π5.将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得集合体的侧面积是（ ）A.4πB.8πC.2πD.π【答案】 C【解析】C r S r 选个圆：，则侧面积为，高为为旋转体为圆柱，半径.2ππ*22112==8.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且4921=S S ，则21V V 的值是 ▲ .以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于A ．π2B ．πC ．2D ．13. 某几何体的三视图（单位：cm ）若图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 372cmB. 390cmC. 3108cmD. 3138cm【答案】B【解析】试题分析：由三视图知，原几何体是由一个长方体与一个三棱柱组成， 其体积为)(90343216432cm V =⨯⨯⨯+⨯⨯=，故选B.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（A ）1727 （B ） 59 （C ）1027 (D) 13（7）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 终点，则三棱锥111A A B C -的体积为（A ）3 （B ）32 （C ）1 （D）8．一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为（ ）A ．233B ．476C ．6D ．7 4、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ） （锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高） A 、3 B 、2 CD 、17. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 侧视图俯视图11222211A ．82π-B ．8π-C ．82π-D ．84π-7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.12B.18C.24D.30（2014•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 _________ ．10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .(13) 一个六棱锥的体积为其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 ．8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱7．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是（0，0，2）， （2，2，0），（1，2，1），（2，2，2）. 给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②20.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2,3AB BAD π=∠=，M 为BC 上一点，且12BM =. （1）证明：BC ⊥平面POM ；（2）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.17、（本小题满分13分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点. （1） 证明平面；（2） 若二面角P-AD-B 为， 图③ 图①图④ 图②第7题图① 证明：平面PBC ⊥平面ABCD② 求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.（18）（本小题满分12分）如图，四凌锥p —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA 上面ABCD ，E 为PD 的点。
专题10 立体几何-2014届高三名校数学(理)试题解析分项汇编
一．基础题组1. 【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】已知n m ,为异面直线，⊥m 平面α，⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（ ）A ．βα//，且α//lB ．βα⊥，且β⊥lC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l2. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】某三棱锥的三视图如所示，该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．340C ．56D ．60 【答案】B 【解析】试题分析：根据三视图可知该三棱锥为一个底面是直角三角形，高为4的棱锥，于是3404542131=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=V ，故选B. 考点：本小题主要考查三视图、体积计算3. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】设n m ,是空间两条直线，α,β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是（ ） A ．当α⊂m 时，“α//n ”是“n m //”的必要不充分条件 B ．当α⊂m 时，“β⊥m ”是“βα⊥”的充分不必要条件 C ．当α⊥n 时， “β⊥n ”是“α∥β”成立的充要条件 D ．当α⊂m 时，“α⊥n ”是“n m ⊥”的充分不必要条件4. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ） A ．23B ．250C ．433D ．5336.【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．64 B．72 C．80 D．1127.【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，则四棱锥P－ABCD的四个侧面中的最大的面积是（）A．3 B．5C．6 D．810.【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】某几何体的三视图如图所示, 则其体积为.【答案】3【解析】试题分析：根据三视图可知该几何体是圆锥的一半，发现底面圆的半径为1，高为2，所以体积32131212ππ=⋅⋅⋅⋅=V . 考点：三视图、圆锥体积公式.11. 【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____.12. 【山西省山大附中2014届高三9月月考数学理】三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为___ ______.【答案】42【解析】试题分析：由主视图知CD ⊥平面ABC ，设AC 中点为E ，则BE AC ⊥，且AE CE 2==；二．能力题组1. 【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】正方形AP 1P 2P 3的边长为4，点B ，C 分别是边P 1P 2，P 2P 3的中点，沿AB ，BC ，CA 折成一个三棱锥P －ABC （使P 1，P 2，P 3重合于P ），则三棱锥P －ABC 的外接球表面积为 （ ）A ．24πB ．12πC ．8πD ．4π【结束】2. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD 外接球表面积为____________ . 【答案】133π【解析】试题分析：根据题意可知，三棱锥B ACD -的三条侧棱BD AD DC DA ⊥⊥,，底面是正三考点：表面积计算三．拔高题组1. 【江西师大附中2014届高三年级10月测试试卷理】已知轴对称平面五边形ADCEF （如图1），BC 为对称轴，AD CD ⊥，1AD AB ==，3CD BC ==，将此图形沿BC 折叠成直二面角，连接AF 、DE 得到几何体（如图2）． （I ）证明：AF ∥平面DEC ； （II ）求二面角E AD B --的余弦值．由已知易得平面ABCD的一个法向量为1(1,0,0)n ，∴121cos ,7n n <>=，∴二面角E-AD-B 的余弦值为21． 考点：立体几何线面平行的证明、二面角的求解，考查学生的空间想象能力和空间向量的使用.2. 【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB ．（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD ； （Ⅱ）求二面角D -A 1C -E 的正弦值．以C 为坐标原点，→CA 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz ．考点：线面平行关系，二面角，空间向量的求解.3. 如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，2===CA BC PB ，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且FA PF =2.(Ⅰ)求证：平面PAC ⊥平面BEF ；(Ⅱ)求平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.4. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，CD AB CD AD //,⊥，221===CD AD AB ，点M 在线段EC 上且不与C E ,重合。
(辽宁版02期)高三数学 名校试题分省分项汇编专题10 立体几何(含解析)理 新人教B版
（辽宁版02期）2014届高三数学名校试题分省分项汇编专题10 立体几何（含解析）理新人教B版一．基础题组1.【辽宁省五校协作体2014届高三摸底考试数学（理）】一个正三棱柱的三视图如右图所示，其俯视图为正三角形，则该三棱柱的体积是 cm3．2.【辽宁省抚顺市六校联合体2014届高三上学期期中考试理】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积为( )A.13B.3C.1D.33【答案】D【解析】试题分析：原几何体为直三棱锥，如图所示：二．能力题组1.【辽宁省五校协作体2014届高三摸底考试数学（理）】一个所有棱长均为1的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为（）A．68πB．23πC．2πD．23π【答案】D 【解析】三．拔高题组1.【辽宁省五校协作体2014届高三摸底考试数学（理）】如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，90=∠BAC ，异面直线B A 1与11C B 所成的角为 60.（Ⅰ）求证：B A AC 1⊥；（Ⅱ）设D 是1BB 的中点，求1DC 与平面11BC A 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）26.【解析】（Ⅱ）如图，2.【辽宁省抚顺市六校联合体2014届高三上学期期中考试理】(本小题共12分)如图，BCD △是等边三角形， AB AD =，90BAD ∠=︒，将BCD △沿BD 折叠到BC D '△的位置，使得AD C B '⊥．(1)求证：AD AC '⊥；(2)若M ，N 分别是BD ,C B '的中点，求二面角N AM B --的余弦值．题.令1x =，则1y z ==-，。
(新课标I 第03期)2014届高三数学 试题分省分项汇编 专题10 立体几何 文(含解析)
新课标I （第03期）-2014届高三名校数学（文）试题分省分项汇编专题10 立体几何（解析版）Word 版含解析一．基础题组1. 【某某省某某中学2014届高三上学期四调考试】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是（ ）A ． MN 与CC 1垂直B ． MN 与AC 垂直 C ． MN 与BD 平行 D ． MN 与A 1B 1平行2. 【某某省某某市第四高级中学2014届高三综合测试一】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．43πC ．3πD ．123π宽、高补体成正方体，正方体与-P ABCD 是同一个外接球，2=3R l =3R 2234432S R πππ===.考点：1.几何体与球的组合体问题；2.球的相关问题求解.3. 【某某省某某市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为（ ）A ．33B ．93C ．63D ．1834. 【某某省某某市某某五中2014届高三12月月考】若某空间几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积是（）A.23B. 43C. 2D. 65. 【某某省某某市某某五中2014届高三12月月考】一个三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且长度分别为1、6、3，则这个三棱锥的外接球的表面积为 （ ）A.π16B.π32C.π36D.π646. 【某某省某某中学2014届高三上学期四调考试】如图所示的几何体ABCDFE 中，△ABC ，△DFE 都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED 是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC ．（Ⅰ）求几何体ABCDFE 的体积；（Ⅱ）证明：平面ADE ∥平面BCF ；7. 【某某省某某市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，1AB =，12AA ，D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，CO ⊥侧面11ABB A .（1）证明：1BC AB ⊥；（2）若OC OA =，求三棱锥1C ABC -的体积.8. 【某某省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱与底面垂直，AB BC ⊥，12AB BC BB ===，,M N 分别是1,AB A C 的中点（1）求证：MN ∥平面11BCC B ；（2）求证：MN ⊥平面11A B C ；（3）求三棱锥的体积11M A B C 的体积．9. 【某某市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】（本题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB AB BC ===，090PBC ∠=，D 为AC 的中点，AB PD ⊥.（1）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）如果三棱锥P BCD -的体积为3，求PA .333=解得3a =3PA =12分 考点：1.线面垂直的判定和性质；2.面面垂直的判定；3.锥体的体积公式.二．能力题组1. 【某某省某某中学2014届高三上学期四调考试】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A.3160B. 160 C. 23264+ D.2888+2.【某某省某某市一中2014届高三12月月考试卷】长方体1111ABCD A B C D -的各个顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，其中1::23AB AD AA =，则四棱锥O ABCD -的体积为( )63263 C.233 【答案】B【解析】试题分析：设2AB a =，AD a =，13AA a ，则22224322R l a a a a ==++=，则2R a =，24(2)16S a ππ=⨯=球，即2a =22AB =2AD =16AA =，∴1626(222)323O ABCD V -=⨯⨯⨯=. 考点：1.长方体外接球问题；2.锥体体积公式. 3. 【某某省某某市一中2014届高三12月月考试卷】右图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积等于( )A ．3465+B ．66543++C ．663413++D ．1765+4. 【某某省曲沃中学2014届高三上学期期中考试】空间几何体的三视图如所示,则该几何体的体积为 ( )A ．223π+B ．423π+C ．323π+D ．343π+5. 【某某省某某一中、康杰一中、某某一中、某某二中四校2014届高三第二次联考】如图是一几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A.35+B. 325+C. 422+D. 423+考点：1.三视图；2.几何体的体积.6. 【某某市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．816π+B ．816π-C ．88π+D ．168π-7. 【某某省某某市一中2014届高三12月月考试卷】（本题满分12分）右图为一组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===（Ⅰ）求证：//BE 平面PDA ；（Ⅱ）求四棱锥B CEPD -的体积；（Ⅲ）求该组合体的表面积．∵11()32322PDCCE S PD EC DC =+⨯=⨯⨯=梯形， ∴四棱锥B CEPD -的体积1132233B CEPD PDCE V S BC -=⨯⨯=⨯⨯=梯形， （Ⅲ）∵5BE PE ==，23PB =，8. 三．拔高题组 1.【某某省某某市某某五中2014届高三12月月考】如图，将边长为5+2的正方形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面和底面的展开图，则圆锥的体积是（ ）.A π3302B π362C π330 D π360 211230230333V R h πππ==⨯=. 考点：圆锥的体积公式.2. 【某某市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试】如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为（ ）A ．2B ．1C ．2D ．223. 【某某省某某中学2014届高三上学期四调考试】如图，已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为.4. 【某某省某某市2014届高中毕业年级第一次质量预测试题】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各项点都在同一球面上，若12AA =，2AB =，1AC =，060BAC ∠=，则此球的表面积等于.5. 【某某省某某一中、康杰一中、某某一中、某某二中四校2014届高三第二次联考】已知正四棱锥ABCD S -的所有棱长均为2，则过该棱锥的顶点S 及底面正方形各边中点的球的体积为.6. 【某某省某某一中、康杰一中、某某一中、某某二中四校2014届高三第二次联考】（本小题满分12分）已知梯形ABCD 中//AD BC ，2π=∠=∠BAD ABC ，42===AD BC AB ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，//EF BC ，x AE =．沿EF 将梯形AEFD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图)．G 是BC 的中点．（1）当2=x 时，求证：BD ⊥EG ；（2）当x 变化时，求三棱锥D BCF -体积的最大值．7.。
(完整版)新课标II2014届高三名校数学(文)试题分省分项汇编专题10立体几何学生版Word版无答案
一．基础题组1. 【张掖二中2013—2014学年度高三月考试卷(11月)高三数学（文科）】设,,αβγ是三个互不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ）A ．若,αββγ⊥⊥，则αγ⊥B ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m βC ．若αβ⊥，m α⊥，则//m βD ．若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥2. 【黑龙江省大庆实验中学2013--2014学年度上学期期中考试高三文科数学试题】已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α； ②若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n ∥α； ③若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n ；④若m ，n 是异面直线，m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，则n ∥α. 其中正确的命题有( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④3. 【黑龙江省大庆实验中学2013--2014学年度上学期期中考试高三文科数学试题】已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．143 B ．173C ．203D ．84. 【黑龙江省大庆实验中学2013--2014学年度上学期期中考试高三文科数学试题】用一个边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，半径为1的鸡蛋（视为球体）放入其中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为5. 【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试卷】如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 162π+B. 82π+C. 16π+D. 8π+6. 【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试卷】如图，E,F 分别是三棱锥P ABC -的棱AP BC 、的中点，1067PC AB EF ===，，,则异面直线AB 与PC 所成的角为( )A.30oB. 45oC. 60oD. 90o7. 【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（文）试题】如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( )A ．15 B ．25 C ．35 D ．458. 【张掖二中2013—2014学年度高三月考试卷(11月)高三数学（文科）】有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（ ）A.2324,12cm cm ππB. 2315,12cm cm ππ C. 2324,36cm cm ππD. 2312,12cm cm ππ9. 【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试卷】在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1A B 和平面11A B CD 所成角的余弦值大小为（ ）A B C D10. 【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（文）试题】已知直角梯形的上底和下底长分别为1和2，较短腰长为1，若以较长的底为旋转轴将该梯形旋转一周，则该旋转体的体积为( ) A ．π4 B ．π3 C ．34π D ．32π11. 【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（文）试题】已知直线,l m ，平面,αβ，且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题：①若α∥β，则l m ⊥； ②若l m ⊥，则α∥β； ③若αβ⊥，则l ∥m ； ④若l ∥m ，则αβ⊥． 其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．412. 【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试卷】四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面是侧棱长为3的等腰三角形，则二面角V AB C --的余弦值的大小为( ) A ．23B ．24C ．73D ．22313.【银川九中2014届第一学期第四次月考（文科试卷）】某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（ ） A ．72πB ．48πC ．30πD ． 24π14.【云南省昆明市2014届高三上学期第一次摸底调研测试（文科试卷）】已知,l m 是两条不同的直线，a 是个平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若//,//l a m a ，则//l m (B) 若,//l m m a ⊥，则l a ⊥ (C) 若,l m m a ⊥⊥，则//l a (D) 若//,l a m a ⊥，则l m ⊥15．【云南省昆明市2014届高三上学期第一次摸底调研测试（文科试卷）】一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，且该几何体的四个点在空间直角坐标系O xyz -中构坐标分别是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)，则第五个顶点的坐标可能为（）（A）（1，1，1）（B）(1,12)(C) 3)(D) 3)16.【云南省昆明市2014届高三上学期第一次摸底调研测试（文科试卷）】一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为_____________.二．能力题组1.【张掖二中2013—2014学年度高三月考试卷(11月)高三数学（文科）】（本小题满分12分）-中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底在四棱锥V ABCD面ABCD．VA平面PBD；（Ⅰ）如果P为线段VC的中点,求证：//-的体积（Ⅱ）如果正方形ABCD的边长为2, 求三棱锥A VBD2. 【黑龙江省大庆实验中学2013--2014学年度上学期期中考试高三文科数学试题】（本小题满分12分）如图,直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中,AB //CD ,AD ⊥AB ,AB =2,AD =错误!未找到引用源。
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题10：立体几何1(体积与表面积)带详细答案
2014-2019年高考数学真题分类汇编专题10：立体几何（体积与表面积）选择题1．（2014•新课标Ⅱ文）正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为( )A ．3B ．32C ．1D 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意求出底面11B DC 的面积，求出A 到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．【解答】解：正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，∴底面11B DC 的面积：122⨯A三棱锥11A B DC -的体积为：113．故选：C ．【点评】本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．2．（2014•福建文）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( ) A ．2πB ．πC ．2D ．1【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积． 【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 则所得几何体的侧面积为：1212ππ⨯⨯=， 故选：A ．【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．3．（2014•湖北文）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为() A ．227B ．258C ．15750D ．355113【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】根据近似公式2275V L h ≈，建立方程，即可求得结论． 【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则2L r π=，∴2212(2)375r h r h ππ=， 258π∴=． 故选：B ．【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．4．（2014•陕西文）将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是() A ．4πB ．3πC ．2πD ．π【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积． 【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱， 则所得几何体的侧面积为：1212ππ⨯⨯=， 故选：C ．【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．5．（2015•新课标Ⅰ文理）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，则82r π=，解得16r π=，故米堆的体积为21116320()5439ππ⨯⨯⨯⨯≈，1斛米的体积约为1.62立方，∴3201.62229÷≈， 故选：B ．【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．6．（2015•山东文）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A B C ． D ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可． 【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体． 2112233V S h R h π=⨯=⨯2123π=⨯⨯． 故选：B ．【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题． 7．（2015•山东理）在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===，将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A ．23πB ．43π C ．53π D ．2π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：2215121133πππ-⨯⨯=．故选：C ．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．8．（2018•新课标Ⅰ文）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．B ．12πC ．D ．10π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】利用圆柱的截面是面积为8的正方形，求出圆柱的底面直径与高，然后求解圆柱的表面积． 【解答】解：设圆柱的底面直径为2R ，则高为2R ， 圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，可得：248R =，解得R ，则该圆柱的表面积为：2(2)212ππ⨯+⨯． 故选：B ．【点评】本题考查圆柱的表面积的求法，考查圆柱的结构特征，截面的性质，是基本知识的考查．填空题1．（2014•福建理）要制作一个容器为34m ，高为1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 160 （单位：元） 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a ，b ，成本为y ，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求． 【解答】解：设池底长和宽分别为a ，b ，成本为y ， 则长方形容器的容器为34m ，高为1m ，故底面面积4S ab ==，2010[2()]20()80y S a b a b =++=++，4a b +=…，故当2a b ==时，y 取最小值160， 即该容器的最低总造价是160元， 故答案为：160【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题．2．（2014•江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为1S ，2S ，体积分别为1V ，2V ，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12V V 的值是32． 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比． 【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R ，r ；高分别为H ，h ； 1294S S =， ∴32R r =，它们的侧面积相等，212RH rhππ= ∴23H h =， ∴22122323()232V R H V r h ππ===． 故答案为：32． 【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．3．（2014•山东文）一个六棱锥的体积为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 12 ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．【解答】解：一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h ，则2162233h ⨯=，1h ∴=，2=， 该六棱锥的侧面积为：1622122⨯⨯⨯=．故答案为：12．【点评】本题考查了棱锥的体积，侧面积的求法，解答的关键是能够正确利用体积与表面积公式解题． 4．（2014•山东理）三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =14． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．【解答】解：如图，三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点， 三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，A ∴到底面PBC 的距离不变，底面BDE 底面积是PBC 面积的14BDE PBC S S ∆∆=， ∴12113143BDE PBC SV V S ∆∆==． 故答案为：14．【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题．5．（2015•上海文理）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为，则a = 4 ． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意可得1(sin 60)1632a a a ︒=a 的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a 的等边三角形，面积为1sin 602a a ︒，正棱柱的高为a ，1(sin 60)1632a a a ∴︒=4a ∴=， 故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．6．（2015•上海理）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 3π． 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得2l h =，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案． 【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ， 则圆锥的侧面积为：rl π，过轴的截面面积为：rh ， 圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π， 2l h ∴=，设母线与轴的夹角为θ， 则1cos 2h l θ==， 故3πθ=，故答案为：3π． 【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键． 7．（2015•四川文）在三棱住111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M ，N ，P 分别是AB ，BC ，11B C 的中点，则三棱锥1P A MN -的体积是124． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥P AMN -的体积即可．【解答】解：由三视图可知，可知几何体的图形如图：几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，底面积为12，所求三棱锥的高为1NP =，三棱锥底面积是三棱柱底面三角形的14， 所求三棱锥1P A MN -的体积是：111111134224⨯⨯⨯⨯⨯=．故答案为：124．【点评】本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．8．（2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意求出原来圆柱和圆锥的体积，设出新的圆柱和圆锥的底面半径r ，求出体积，由前后体积相等列式求得r ．【解答】解：由题意可知，原来圆锥和圆柱的体积和为：11962544833πππ⨯⨯+⨯=．设新圆锥和圆柱的底面半径为r ，则新圆锥和圆柱的体积和为：2221284833r r r πππ⨯+=．∴22819633r ππ=，解得：r【点评】本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．9．（2016•浙江理）如图，在ABC ∆中，2AB BC ==，120ABC ∠=︒．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD DA =，PB BA =，则四面体PBCD 的体积的最大值是12．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意，ABD PBD ∆≅∆，可以理解为PBD ∆是由ABD ∆绕着BD 旋转得到的，对于每段固定的AD ，底面积BCD 为定值，要使得体积最大，PBD ∆必定垂直于平面ABC ，此时高最大，体积也最大． 【解答】解：如图，M 是AC 的中点．①当AD t AM =<时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AE ，DM t ，由ADE BDM ∆∆∽，可得1h=，h ∴=，2221113(3)(23)1326(3)1(3)t V t t t --=-=-+-+t ∈②当AD t AM =>P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AH ，DM t =1122AD BM BD AH =，∴111(22t t =h ∴=2221113(3)(23)1326(3)1(3)t V t t t --∴=-=-+-+t ∈综上所述，213(36(3)V t --=-，(0t ∈，令[1m =，2)，则2146m V m -=，1m ∴=时，12max V =．另解：由于PD DA =，PB BA =，则对于每一个确定的AD ，都有PDB ∆绕DB 在空间中旋转，则PD AC ⊥时体积最大，则只需考察所有PD AC ⊥时的最大，设PD DA h ==，则()111302332V S h h sin h ==⋅︒⋅⋅底，二次函数求最值可知h =12． 故答案为：12． 【点评】本题考查体积最大值的计算，考查学生转化问题的能力，考查分类讨论的数学思想，对思维能力和解题技巧有一定要求，难度大．10．（2017•新课标Ⅰ理）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥．当ABC ∆的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：3)cm 的最大值为 3 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】法一：由题，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD BC ⊥，OG =，设O G x =，则BC =，5DG x =-，三棱锥的高h =，求出2ABC S ∆=，451325103ABC V S h x ∆=⨯-，令45()2510f x x x =-，5(0,)2x ∈，34()10050f x x x '=-，()f x f …（2）80=，由此能求出体积最大值．法二：设正三角形的边长为x ，则1336O G x =，5FG SG ==，SO h ==【解答】解法一：由题意，连接OD ，交BC 于点G ，由题意得OD BC ⊥，OG =， 即OG 的长度与BC 的长度成正比，设OG x =，则BC =，5DG x =-，三棱锥的高h =，221)2ABC S ∆==，则2451325103ABC V S h x ∆=⨯-令45()2510f x x x =-，5(0,)2x ∈，34()10050f x x x '=-，令()0f x '…，即4320x x -…，解得2x …， 则()f x f …（2）80=，3V ∴…，∴体积最大值为3．故答案为：3．解法二：如图，设正三角形的边长为x ，则13OG x =，5FG SG x ∴==，SO h === ∴三棱锥的体积13ABC V S h ∆=13==，令45()5b x x =，则34()20b x x x '=，令()0b x '=，则4340x =，解得x =，∴348)max V cm =．故答案为：3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．11．（2017•江苏）如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 32．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积 【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果． 【解答】解：设球的半径为R ，则球的体积为：343R π，圆柱的体积为：2322R R R ππ=． 则313223423V R R V ππ==． 故答案为：32． 【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（2018•天津文11）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则四棱锥111A BB D D -的体积为 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积．【解答】解：由题意可知四棱锥111A BB D D -的底面是矩形，边长：1，四棱锥的高：1112AC则四棱锥111A BB D D -的体积为：11133⨯=．故答案为：13．【点评】本题考查几何体的体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．13．（2018•天津理11）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M （如图），则四棱锥M EFGH -的体积为112．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】求出四棱锥中的底面的面积，求出棱锥的高，然后利用体积公式求解即可．【解答】解：正方体的棱长为1，M EFGH -， 四棱锥是正四棱锥，棱锥的高为12，四棱锥M EFGH -的体积：2111(32212⨯⨯=．故答案为：112．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（2018•江苏10）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可．【解答】解：正方体的棱长为2， 八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的中心为顶点的多面体的体积为：142133⨯=．故答案为：43．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．15．（2019江苏9）如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E BCD -的体积是 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】推导出11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=，三棱锥E BCD -的体积：1111133212E BCD BCD V S CE BC DC CE AB BC DD -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，由此能求出结果．【解答】解：长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，∴11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=⨯⨯=， ∴三棱锥E BCD -的体积：13E BCD BCD V S CE -∆=⨯⨯1132BC DC CE =⨯⨯⨯⨯ 1112AB BC DD =⨯⨯⨯ 10=．故答案为：10．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．16．（2019•新课标Ⅲ文理16）学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型，如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -，挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，6AB BC cm ==，14AA cm =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】该模型体积为1111311664(46432)3132()32ABCD A B C D O EFGH V V cm ---=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，再由3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，能求出制作该模型所需原料的质量．【解答】解：该模型为长方体1111ABCD A B C D -，挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，6AB BC cm ==，14AA cm =，∴该模型体积为：1111ABCD A B C D O EFGH V V ---11664(46432)332=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯⨯314412132()cm =-=，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，∴制作该模型所需原料的质量为：1320.9118.8()g ⨯=．故答案为：118.8．【点评】本题考查制作该模型所需原料的质量的求法，考查长方体、四棱锥的体积等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查数形结合思想，属于中档题．17．（2019•天津文理12．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 ．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可．【解答】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分， 由勾股定理得：正四棱锥的高为2，由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于12； 由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1， 则该圆柱的体积为：21()124v sh ππ==⨯=；故答案为：4π 【点评】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题．解答题1．（2014•上海理）底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是三角形123P P P ，如图，求△123P P P 的各边长及此三棱锥的体积V ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△123P P P 是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．【解答】解：根据题意可得：1P ，B ，2P 共线，112ABP BAP CBP ∠=∠=∠，60ABC ∠=︒， 11260ABP BAP CBP ∴∠=∠=∠=︒， 160P ∴∠=︒，同理2360P P ∠=∠=︒，∴△123P P P 是等边三角形，P ABC -是正四面体， ∴△123P P P 的边长为4，3P ABC V AB -==【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法．2．（2016•江苏）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍． （1）若6AB m =，12PO m =，则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【考点】组合几何体的面积、体积问题；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）由正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍，可得12PO m =时，18O O m =，进而可得仓库的容积；（2）设1PO xm =，则14O O xm =，11A O =，21136A B x m =-，代入体积公式，求出容积的表达式，利用导数法，可得最大值． 【解答】解：（1）12PO m =，正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．18O O m ∴=，答：仓库的容积223162683123V m =⨯⨯+⨯=，（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ， 设1PO xm =，则14O O xm =，11A O =，211236A B x m =-，则仓库的容积22223126236)(236)431233V x x x x x x =⨯-+-=-+，(06)x <<， 226312V x ∴'=-+，(06)x <<，当0x <<0V '>，()V x 单调递增；当6x <<时，0V '<，()V x 单调递减；故当x=()V x取最大值；答：当PO=时，仓库的容积最大．1【点评】本题考查的知识点是棱锥和棱柱的体积，导数法求函数的最大值，难度中档．。
专题10 立体几何-2014届高三名校数学(理)试题解析分项汇编(第02期) Word版含解析
一．基础题组1. 【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】已知n m ,为异面直线，⊥m 平面α，⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄，则（ ） A ．βα//，且α//lB ．βα⊥，且β⊥lC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l2. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】某三棱锥的三视图如所示，该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．340C ．56D ．60 【答案】B 【解析】试题分析：根据三视图可知该三棱锥为一个底面是直角三角形，高为4的棱锥，于是3404542131=⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=V ，故选B. 考点：本小题主要考查三视图、体积计算3. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】设n m ,是空间两条直线，α,β是空间两个平面，则下列选项中不正确．．．的是（ ） A ．当α⊂m 时，“α//n ”是“n m //”的必要不充分条件 B ．当α⊂m 时，“β⊥m ”是“βα⊥”的充分不必要条件 C ．当α⊥n 时， “β⊥n ”是“α∥β”成立的充要条件 D ．当α⊂m 时，“α⊥n ”是“n m ⊥”的充分不必要条件4. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．0C D6.【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．64 B．72 C．80 D．1127.【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，则四棱锥P－ABCD的四个侧面中的最大的面积是（）A．3 B．．6 D．810.【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】某几何体的三视图如图所示, 则其体积为.【答案】3【解析】试题分析：根据三视图可知该几何体是圆锥的一半，发现底面圆的半径为1，高为2，所以体积32131212ππ=⋅⋅⋅⋅=V . 考点：三视图、圆锥体积公式.11. 【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____.12. 【山西省山大附中2014届高三9月月考数学理】三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为___ ______.【答案】【解析】试题分析：由主视图知CD ⊥平面ABC ，设AC 中点为E ，则BE AC ⊥，且AE CE 2==；二．能力题组1. 【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】正方形AP 1P 2P 3的边长为4，点B ，C 分别是边P 1P 2，P 2P 3的中点，沿AB ，BC ，CA 折成一个三棱锥P －ABC （使P 1，P 2，P 3重合于P ），则三棱锥P －ABC 的外接球表面积为 （ ）A ．24πB ．12πC ．8πD ．4π【结束】2. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为1，此时四面体ABCD 外接球表面积为____________ . 【答案】133π【解析】试题分析：根据题意可知，三棱锥B ACD -的三条侧棱BD ADDC DA ⊥⊥,，底面是正三考点：表面积计算三．拔高题组1. 【江西师大附中2014届高三年级10月测试试卷理】已知轴对称平面五边形ADCEF （如图1），BC 为对称轴，AD CD ⊥，1AD AB ==，CD BC ==BC 折叠成直二面角，连接AF 、DE 得到几何体（如图2）． （I ）证明：AF ∥平面DEC ； （II ）求二面角E AD B --的余弦值．由已知易得平面ABCD 的一个法向量为1(1,0,0)n，∴1cos ,7n n <>=，∴二面角E-AD-B 的余弦值为7． 考点：立体几何线面平行的证明、二面角的求解，考查学生的空间想象能力和空间向量的使用.2. 【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB ．（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD ； （Ⅱ）求二面角D -A 1C -E 的正弦值．以C 为坐标原点，→CA 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz ．考点：线面平行关系，二面角，空间向量的求解.3. 如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠= ，2===CA BC PB ，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且FA PF =2.(Ⅰ)求证：平面PAC ⊥平面BEF ；(Ⅱ)求平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.4. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，CD AB CD AD //,⊥，221===CD AD AB ，点M 在线段EC 上且不与C E ,重合。
2014年普通高等学校招生全国统一考试分类汇编12—立体几何(文科)
2014年普通高等学校招生全国统一考试分类汇编（12）立体几何2014年高考数学试题汇编 立体几何一．选择题1. （2014福建）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱A2. (2014新课标I)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A. B. C .6 D .4【答案】：C【解析】：如图所示，原几何体为三棱锥D ABC -，其中4,AB BC AC DB DC =====6DA ==，故最长的棱的长度为6DA =，选C3. (2014新课标II)如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 13【答案】 C..2710π54π34-π54π.342π944.2342π.546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==∴=•+•=∴=•=∴π 4（2014浙江）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是A. 902cmB. 1292cmC. 1322cmD. 1382cmD5. (2014江西)一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）【答案】B【解析】俯视图为在底面上的投影，易知选：B6(2014重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.54B.60C.66D.72 【答案】B 【解析】BS S S S S S 选，，，何体表的面积的上部棱锥后余下的几；截掉高为，高原三棱柱：底面三角形侧上下侧上下∴60s 2273392318152156344*3=++=+=•++===7. （2014辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．82π-B ．8π-C ．82π-D ．84π-【答案】B 【解析】..π-82)21*π-2*2(2B sh V 选几何体为直棱柱，体积===8(2014湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.49(2014安徽)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18 7 A10. (2014湖北)在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②点评：本题考查空间由已知条件 ，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图，容易题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一．基础题组
1. 【张掖二中2013—2014学年度高三月考试卷(11月)高
三数学
（文科）
】设,,αβγ
是三个互不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A ．若,αββγ⊥⊥，则αγ⊥
B ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m β
C ．若αβ⊥，m α⊥，则//m β
D ．若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥
2. 【黑龙江省大庆实验中学2013--2014学年度上学期期中考试高三文科数学试题】已知
m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α； ②若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n ∥α； ③若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n ；
④若m ，n 是异面直线，m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，则n ∥α. 其中正确的命题有
( ) A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②④
3. 【黑龙江省大庆实验中学2013--2014学年度上学期期中考试高三文科数学试题】已知
一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．
143 B ．173
C ．203
D ．8
4. 【黑龙江省大庆实验中学2013--2014学年度上学期期中考试高三文科数学试题】用一
个边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，半径为1的鸡蛋（视为球体）放入其中，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为
5. 【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试卷】
如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A. 162π+
B. 82π+
C. 16π+
D. 8π+
6. 【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试卷】
如图，E,F 分别是三棱锥P ABC -的棱AP BC 、的中点，1067PC AB EF ===，，,则异面直线AB 与PC 所成的角为( )
A.30o
B. 45o
C. 60o
D. 90o
7. 【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（文）试题】如图，正四棱柱
1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为( )
A ．
15 B ．25 C ．35 D ．45
8. 【张掖二中2013—2014学年度高三月考试卷(11月)高
三数学
（文科）
】有一个几
何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（ ）
A.2
3
24,12cm cm ππ
B. 23
15,12cm cm ππ C. 2
3
24,36cm cm ππ
D. 2
3
12,12cm cm ππ
9. 【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试卷】
在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1A B 和平面11A B CD 所成角的余弦值大小为（ ）
A B C D
10. 【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（文）试题】已知直角梯形
的上底和下底长分别为1和2，较短腰长为1，若以较长的底为旋转轴将该梯形旋转一周，则该旋转体的体积为( ) A ．π4 B ．π3 C ．34π D ．3
2π
11. 【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（文）试题】已知直线,l m ，
平面,αβ，且l α⊥，m β⊂，给出下列四个命题：
①若α∥β，则l m ⊥； ②若l m ⊥，则α∥β； ③若αβ⊥，则l ∥m ； ④若l ∥m ，则αβ⊥． 其中真命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12. 【黑龙江省佳木斯市第一中学
2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试
卷】四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，其他四个侧面是侧棱长为3的等腰三角形，则二面角V AB C --的余弦值的大小为( )
A B ．
4
C ．
3
D
13.【银川九中2014届第一学期第四次月考（文科试卷）】某几何体的三视图如图1所示,
它的体积为（ ） A ．72π
B ．48π
C ．30π
D ． 24π
14.【云南省昆明市2014届高三上学期第一次摸底调研测试（文科试卷）】已知,l m 是两
条不同的直线，a 是个平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若//,//l a m a ，则//l m (B) 若,//l m m a ⊥，则l a ⊥ (C) 若,l m m a ⊥⊥，则//l a (D) 若//,l a m a ⊥，则l m ⊥
15．【云南省昆明市2014届高三上学期第一次摸底调研测试（文科试卷）】一个几何体的
三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，且该几何体的四个点在空间直角坐标系
O xyz -中构坐标分别是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)，则第五个顶点的坐
标可能为（）
（A）（1，1，1）
（B）
(C)
(D) (2,
16.【云南省昆明市2014届高三上学期第一次摸底调研测试（文科试卷）】一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的表面积与球O的表面积的比值为_____________.
二．能力题组
1.【张掖二中2013—2014学年度高三月考试卷(11月)高三数学（文科）】（本小题满分12分）
-中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底在四棱锥V ABCD
面ABCD．
VA平面PBD；
（Ⅰ）如果P为线段VC的中点,求证：//
-的体积
（Ⅱ）如果正方形ABCD的边长为2, 求三棱锥A VBD
2. 【黑龙江省大庆实验中学2013--2014学年度上学期期中考试高三文科数学试题】（本小
题满分12分）
如图,直四棱柱ABCD – A 1B 1C 1D 1中,AB //CD ,AD ⊥AB ,AB =2,AD =错误！未找到引用源。
,AA 1=3,E 为CD 上一点,DE =1,EC =3
(1) 证明:BE ⊥平面BB 1C 1C ; (2) 求点1B 到平面EA 1C 1 的距离
3. 【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试卷】
已知空间4个球，它们的半径均为2，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为( )
A. 2
B.
3 D. 2
4.【黑龙江省佳木斯市第一中学2013—2014年度高三第三次调研试卷数学（文科）试卷】
如图，E 是矩形ABCD 中AD 边上的点，F 为CD 边的中点，2
43
AB AE AD ===，现将ABE ∆沿BE 边折至PBE ∆位置，且平面PBE ⊥平面BCDE .
⑴ 求证：平面PBE ⊥平面PEF ； ⑵ 求四棱锥P BEFC -的体积.
5. 【银川九中2014届第一学期第四次月考（文科试卷）】如图,斜三棱柱ABC-A'B'C'中,底面
是边长为a 的正三角形,侧棱长为b ,侧棱AA'与底面相邻两边AB ,AC 都成45°角. (Ⅰ)求此斜三棱柱的表面积. (Ⅱ)求三棱锥B'-ABC 的体积.
6. 【云南省昆明市2014届高三上学期第一次摸底调研测试（文科试卷）】如图，在直三棱
柱111ABC A B C -中，,D E 分别为1CC 、AD 的中点，F 为1BB 上的点，且13B F BF =
(I)证明：EF ∥平面ABC ；
(Ⅱ)若12,AC CC BC ===
3
ACB π
∠=
，求三棱锥F ABD -的体积.
三．拔高题组
1.【黑龙江省双鸭山一中2014届高三上学期期中考试数学（文）试题】直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥B1C；
（2）求证：AC1∥平面B1CD；。