线段和差最值问题-经典模型(新)
线段和(差)最值问题
中考热点：线段和（差）最值问题专题精讲：最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．一．求两线段和的最小值问题(运用三角形两边之和大于第三边，也可归入“两点之间的连线中，线段最短”)几何模型：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小．模型应用：1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是．2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．3．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N 分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．4．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．5．已知：如图所示，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．第1题第2题第3题第4题二．求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边) 几何模型：在一条直线m 上，求一点P ，使PA －PB 的差最大；（1）点A 、B 在直线m 同侧： （2）点A 、B 在直线m 异侧：模型应用：1. 如图，抛物线y ＝－14x2－x ＋2的顶点为A ，与y 轴交于点B ． (1)求点A 、点B 的坐标；(2)若点P 是x 轴上任意一点，当PA －PB 最大时，求点P 的坐标.2. 如图，直线y ＝21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝21x2＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1，0)． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |的值最大，求出点M 的坐标．。
初中几何中线段和差最大值最小值典型分析最全
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
mmm mABm（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：nmnnmnnnm（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：m nmnmnm（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度mmmm恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：QQP练习题1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值为．Q2、如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．3、如图，在锐角三角形ABC中，AB=52，∠BAC=45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 .5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC 上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC 上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2(B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC 绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大；（1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
线段和差的最值问题解题策略
当Q运动到E时，PQ+QA最小
CB 32 32 3 2
小结
E? F!
09北京25 设G为y轴上一点，点P从 点M出发，先沿y轴到达 G点，再沿GA到达A点． P点在y轴上运动的速度 是它在直线GA上运动速 度的2倍．
试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间 最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）
09内江27
对于动点Q（1，n），求PQ+QB的最小值 .
第一步 寻找、构造几何模型
要求PQ+QB的最小值？
经典模型：牛喝水！
第二步 计算——勾股定理
把PQ+QB转化为PQ+QA ！ 当Q运动到E时，PQ+QA最小
AP 32 32 3 2
第二步 计算——勾股定理
把PQ+QB转化为PQ+QA ！
第一步 寻找、构造几何模型
08福州22
要求四边形MNFE 的周长最小？
把三条线段转移到同 一条直线上就好了！
第二步 计算——勾股定理
E' F ' 3 4 5
2 2
EF 1 2 5
2 2
因此四边形 MNFE的周经典模型：台球两次碰壁问题
经验储存：没有经验，难有思路
09济南24
已知在对抛物线的称轴上存在一点P，使得△PBC的周长 最小，请求出点P的坐标 .
第一步 寻找、构造几何模型
要求△PBC的周长最小？ 只要PB+PC最小就好了！
经典模型：牛喝水！
第二步 计算——勾股定理
把PB+PC转化为PA+PC ！
当P运动到H时，PA+PC最小
几何图形中线段和差的最值问题
（2）平移抛物线ｙ＝ａｘ２ ，记平移后点Ａ的对应点为Ａˊ，点Ｂ的 对应点为Ｂˊ，点Ｃ（-2，0）和Ｄ（-4，0）是Ｘ轴上的两个定点．
①当抛物线向左平移到某个位置
时，ＡˊＣ＋ＣＢˊ最短，求
此时抛物线的函数解析式； ②当抛物线向左或向右平移时，
y A
8
是否存在某个位置，使四边
6
形ＡˊＢˊＣＤ的周长最短？若 存在求出此时抛物线的解析式；
确定使点M运动的总路径最短的点E、点F的位置，并求出这个最
短路程的长
y
(0,2)A •
(0,1)P•1
F
oC E
P’ -1
A’(5,2) X
课堂练习 2
• 在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原 点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3， OB=4，D为边OB的中点.
• （Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长 最小时，求点E的坐标；
• （Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当 四边形的周长最小时，求点E、F的坐标.
课堂练习 2
课堂练习 2
课堂练习 3
如图：已知点Ａ（-4，8）和点Ｂ（2，ｎ）在抛物线ｙ＝ａｘ２ 上，
（1)求ａ的值及点Ｂ关于Ｘ轴对称点Ｐ的坐标，并在Ｘ轴上找一点Ｑ， 使得ＡＱ＋ＱＢ最短，求出点Ｑ的坐标；
课本例题或常见题
考题
1.分清定点、动点、对称轴 2.利用对称性构造三点共线
09济南24
已知在对抛物线的称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小， 请求出点P的坐标 .
第一步 寻找、构造几何模型
要求△PBC的周长最小？ 只要PB+PC最小就好了！
经典模型：建水站！
第二步 计算——勾股定理
经典几何中线段和差最值含答案
何中线段和差最值冋题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键•通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段.几何最值问题中的基本模型举例般处理方法:平移平移转化使点在线异侧_ I使点在线同侧II使目标线段与定常用两点之间，线段最三角形三边关系定两点之间，线段最短（已知两个定点时）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）M N分别在边OA 0B上运动，若/ AOB45°, OP=3、、2，则△ PMN勺周长的最小值为62.如图，当四边形PABN勺周长最小时，a=_7____________—43. 如图，AB两点在直线的两侧，点A到直线的距离AM4,点B到直线的距离BN=1,且MN4，P为直线上的动点，| PA- PB的最大值为__5 __________ .4. 动手操作：在矩形纸片ABC［中，AB=3, AD=5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P Q也随之移动•若限定点P、Q分别在AB AD边上移动，则点A在BC边上可移动的最大距离为_2 1.如图：点P是/ AOB^一定点，点________________ .5. 如图，直角梯形纸片ABCD ADLAB AB=8，AD=CDM，点E、F分别在线段AB AD上，将△ AEF沿EF翻折，点A的落点记为P.当P落在直角梯形ABC［内部时，PD的最小值等于 4 5-8 .6. 如图，/ MON900,矩形ABC啲顶点A B分别在边OM 0N±，当B在边0N±运动时，A随之在OMh运动，矩形ABCD勺形状保持不变，其中AB=2，BC=1,运动过程中，点D到点O的最大距离为-.：:'2 17. 如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ ACD和等腰直角厶BCE那么DE长的最小值是 2 ________ .8. 如图，菱形ABCDK AB=2，Z A=120°，点P, Q K分别为线段BC C［ BD上的任意一点，贝y PK+QK勺最小值为______ _2 _____ .9•如图所示，正方形ABC啲边长为1,点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过BCD作射线AP的垂线，垂足分别为B'、C、D‘，则BB +CC +DD 的取值范围是 ____________ 期JBB +CC +DD 2 .10 .如图，菱形ABCD^,/ A=60°, AB=3,O A O B的半径分别为2和1, P、E、F分别是边CD O A和O B上的动点，贝9 PE+PF的最小值是 ____________ .11. 点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示.若P是x轴上使得PA PB的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值A最小的点，贝V OP OQ = 3F .12. 如图，在厶ABC中, AB=6, AC=8, BC=10, P 为边BC上一动点，PEI AB 于E, PF 丄AC于F, M为EF中点，贝9 AM勺最小值为_2.4 _____ .13. 如图，点P在第一象限，△ ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是1 ____________ .若将△ ABP中边PA的长度改为2匹，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为V5 1 ___________ .14. 动手操作：在矩形纸片ABCDK AB=3,AD=5 .如图所示，折叠纸片，使点A落在BC 边上的A处，折痕为PQ当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之解答题：1. 如图，直角梯形纸片ABCD ADLAB AB=8, A[=C[=4,点E、F分别在线段ABAD上，将△ AEF沿EF翻折，点A的落点记为P.(1)当P落在线段CD上时，PD的取值范围为8-4 3 PD」_ ;(2)当P落在直角梯形ABCD3部时，PD的最小值等于多少？ 4 5-82. 如图，四边形ABC兎正方形，△ ABE是等边三角形，M为对角线BD (不含B点) 上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60。
(完整版)初中几何中线段和与差最值问题
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：一）、已知两个定点：1、在一条直线m上，求一点P,使PA+PB最小; （1 ）点A B在直线m两侧：■: m（2）点A B在直线同侧:2、在直线m n上分别找两点P、Q,（1）两个点都在直线外侧: 使PA+PQ+Q最小。
BPA'B(2)一个点在内侧，一个点在外侧:Q (3)两个点都在内侧:B'B'* 2（4 ）、台球两次碰壁模型变式一：已知点 A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得 围成的四边形ADEB 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线 m 上找一点P ,使PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点B ） 1两点在直线两侧：（二）动点在圆上运动点B 在O O 上运动，在直线 m 上找一点P ,使PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点B ） 1点与圆在直线两侧：变式二：已知点 A 位于直线m,n 的内侧，在直线 m n 分别上求点 周长最短.P 、Q 点 PA+PQ+QA 2、两点在直线同侧:-：mP'A"B'2、点与圆在直线同侧:三)、已知A B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+Q的值最小。
(原理用平移知识解)(1 )点A、B在直线m两侧:A■作法：过A点作AC// m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
B'(2)点A B在直线m同侧：1.如图1, / AOB45。
，P是/ AOB^一点，PO10, Q R分别是OA 0B上的动点，求厶PQR周长的最小值为______________________________2、如图2，在锐角三角形ABC中，AB=4』^, / BAC=45，/ BAC的平分线交BC于点D, M,N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+M的最小值为 ___________________________ .3、如图3,在锐角三角形ABC中，AB=5j2，/ BAC=45 BAC的平分线交BC于D, M N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN勺最小值是______________ 。
初中几何中线段和差的最大值与最小值模型解析学习资料
精品文档初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：一）已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：mmB mA Bmn mnnmnnnm（4）台球两次碰壁模型变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.二）一个动点，一个定点：（一）动点在直线上运动：点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）1、点与圆在直线两侧：mnmnmnmm m精品文档2、点与圆在直线同侧：（三）已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大；（1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
经典几何中线段和差最值含答案
几何中线段和，差最值问题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键.通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段. 几何最值问题中的基本模型举例一般处理方法: 线段和（周长）最小线段差最大H线段最大（小）值平移平移转化使点在线异侧使点在线同侧使目标线段与定长两点之间，线段最短三角形三边关系定理常I用定理:_- __________ ______________________两点之间，线段最短（已知两个定点时）垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定时）1 .如图：点P 是/AOB 内一定点，点 M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若/ AOB=45OP=3应，则4PMN 的周长的最小值为 6 2.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a= 743 .如图，A 、B 两点在直线的两侧，点 A 到直线的距离AM=4,点B 到直线的距离BN=1, 且MN=4 , P 为直线上的动点，| PA - PB|的最大值为 5.4 .动手操作：在矩形纸片 ABCD 中，AB=3, AD=5.如图所示，折叠纸片，使点 A 落在 BC 边上的A'处，折痕为PQ,当点A'在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动.若 限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A'在BC 边上可移动的最大距离为—2.5 .如图，直角梯形纸片 ABCD, AD ±AB, AB=8 , AD = CD=4,点E 、F 分别在线段 AB 、 AD 上，将^AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P.当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 4瓜8.需转化,6.如图，/ MON =90 ° ,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM , ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2, BC=1 ,运动过程中，点D到点O的最大距离为J2 1 .7.如图，线段AB的长为4, C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角^ ACD和等腰直角△ BCE,那么DE长的最小值是 2 .8.如图，菱形ABCD中，AB=2, /A=120°，点P, Q, K分别为线段BC, CD, BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为时 .9.如图所示，正方形ABCD的边长为1,点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B'、C'、D',则BB' +CC' +DD' 的取值范围是V2 BB Z + CC' + DD ' 2.10.如图，菱形ABCD中，/A=60° , AB=3, OA> OB的半径分别为2和1, P、E、F 分别是边CD、OA和。
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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
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线段和（差）的最值问题
此类问题特点：1.两个定点，一个定点； 2. 线段和最小值，线段差最大值
一、线段和最小值问题
若在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）两侧/异侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：直接连接A、B两点交直线m于一点P，该点P即
为所求点。（PA+PB=AB）
（2）同侧型：定点A、B在动点P所在直线m同侧：（方法：一找二作三连）：
一找：找定点A、B，动点P及动点所在的直线m；二作：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其
连线交动点所在直线于一点P，该点P即为所求。（PA+PB=PA’+PB=A’B）
m
A
B
P
m
A
B
A'
二、线段差最大值问题
若在一条直线m上，求一点P，使得最大
（1）同侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：直接连接A、B两点交直线m于一点P，该点P即为所
求点。
()
（2）两侧/异侧型：定点A、B在直线m（动点P所在直线）两侧：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个
定点，其连线交动点所在直线m于一点P，该点P即为所求点。
()
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放弃很简单，但你坚持到底的样子一定很酷！
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线段和最小值练习题
1．如图1，在锐角三角形ABC中，AB=,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，
则BM+MN的最小值为 ．
2. 如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小
值为 .
3.如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的
和最小时，PB的长为__________．
图1 图2 图3 图4
4. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值
为 ．
5. 如图5，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好
在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．
6.已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB +PE的最小值是
7. 如图6，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值
为 ．
8.如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ
周长的最小值为 cm．（结果不取近似值）
图5 图6 图7
9. 如图8，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是 ．
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10. 如图9，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则
PA＋PB的最小值为______.
如图8 如图9
解答题
1.如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点B，C
的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；
（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．
2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，） ，△AOB的面积是.
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请
说明理由；
3. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，
D为边OB的中点.
（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
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4. 如图，已知直线y＝x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝x 2＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x
轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标．
5.抛物线的解析式为，交x轴与A与B,交y轴于C。
⑴ 在其对称轴上是否存在一点P，使⊿APC周长最小，若存在，求其坐标。
⑵ 在其对称轴上是否存在一点Q，使∣QB—QC∣的值最大，若存在求其坐标。