2014年高中数学通用模型解题精编版

高中数学通用模型解题方法 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合，，，、、AxyxByyxCxyyxABC|lg|lg(,)|lg

中元素各表示什么？ A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹

2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合，AxxxBxax||22301

若，则实数的值构成的集合为BAa

（答：，，）1013

显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。

3. 注意下列性质： （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212aaa

nn

要知道它的来历：若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a2, a3,……an,都有2种选择，所以，总共有2n种选择， 即集合A有2n个子集。 当然，我们也要注意到，这2n种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情

况，故真子集个数为21n，非空真子集个数为22n （）若，；2ABABAABB （3）德摩根定律： CCCCCC

UUUUUUABABABAB，

有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 ,ABABABAB 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式的解集为，若且，求实数xaxxaMMMa50352

的取值范围。

（∵，∴·∵，∴·，，）335305555015392522Maa

Maa

a

注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过； 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在(,1)上单调递减，在(1,)上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程 的2个根

5、熟悉命题的几种形式、 ()()().可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”，“且”和“非”

若为真，当且仅当、均为真pqpq 若为真，当且仅当、至少有一个为真pqpq 若为真，当且仅当为假pp 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

6、熟悉充要条件的性质（高考经常考） xxA|{满足条件}p，xxB|{满足条件}q，

若 ；则p是q的充分非必要条件BA_____； 若 ；则p是q的必要非充分条件BA_____； 若 ；则p是q的充要条件BA_____； 若 ；则p是q的既非充分又非必要条件___________；

7. 对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。

如：若}4,3,2,1{A，},,{cbaB；问：A到B的映射有 个，B到A的映射

有 个；A到B的函数有 个，若}3,2,1{A，则A到B的一一映射有 个。 函数)(xy的图象与直线ax交点的个数为 个。

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数的定义域是yxxx4

32lg （答：，，，）022334

函数定义域求法：  分式中的分母不为零；  偶次方根下的数（或式）大于或等于零；  指数式的底数大于零且不等于一；  对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

 正切函数xytan 

kkxRx,2,且

10. 如何求复合函数的定义域？ 如：函数的定义域是，，，则函数的定fxabbaF(xfxfx())()()0

义域是_____________。 （答：，）aa 复合函数定义域的求法：已知)(xfy的定义域为nm,，求)(xgfy的定义域，可由nxgm)(解出x的范围，即为)(xgfy的定义域。

例 若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为 。

分析：由函数)(xfy的定义域为2,21可知：221x；所以)(log2xfy中有 2log212x。

解：依题意知： 2log212x 解之，得 42x ∴ )(log2xf的定义域为42|xx

11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y=x1的值域 2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=2x-2x+5，x[-1，2]的值域。 3、判别式法 对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

.112..22222222ba y型：直接用不等式性质k+xbxb. y型,先化简，再用均值不等式xmxnx1 例：y1+xx+xxmxnc y型 通常用判别式xmxnxmxnd. y型 xn 法一：用判别式 法二：用换元法，把分母替换掉xx1（x+1）（x+1）+1 1 例：y（x+1）1211x1x1x1

















4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例 求函数y=6543xx值域。 5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例 求函数y=11xxee，2sin11siny，2sin11cosy的值域。

22

2

110112sin11|sin|||1,1sin22sin12sin1(1cos)1cos2sincos114sin()1,sin()41sin()114即又由知解不等式，求出，就是要求的答案xxxeyyeyeyyyyyyyyyxyxyyxyy



















6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容

例求函数y=25xlog31x（2≤x≤10）的值域 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。

例 求函数y=x+1x的值域。 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例：已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上， 2,(2),2(,20, (1)的取值范围 (2)y-2的取值范围 解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线. d为圆心到直线的距离,R为半径) (2)令y-2即也是直线d d yxxykykxxRdxbyxbR



例求函数y=)2(2x+)8(2x的值域。 解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2），B（-8）间的距离之和。 由上图可知：当点P在线段AB上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞）

例求函数y=1362xx+ 542xx的值域

解：原函数可变形为：y=)20()3(22x+)10()2(22x

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2 ，-1 ）的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时，

ymin=∣AB∣= )12()23(22=43，

故所求函数的值域为[43，+∞）。 例求函数y= 1362xx -542xx的值域