第1章 质点运动学

y
路程（path） 质点实际运动轨迹的长度 s 叫路程。 z P 1 Δ s r( t )
0
Δr
P 2
P1
Δr
P2
r(t+Δ t )
r( t )
y
x 注意： s
0
r ( t +Δ t )
p Δr
r , 但 d s d r ； r r ，d r d r r 等的几何意义？ 要分清 r、r、
说明:
1、位移与位矢的区别：
z P 1

a)不同的两概念：
x r 描述质点空间位置变化。
r 确定空间位置；
Δs P 2 Δr r ( t ) r ( t +Δ t )
0
y
b）对于相对静止的不同坐标系： r 与坐标原点位置有关； r 只与起点,终点有关,与原点无关。 2、位移与路程的区别：
平动图例 ◆机械运动的类型：
A A B
平动:连接物体内任意两
转动：(刚体)
C
A B
的直线在运动各个时刻的 B 位置都彼此平行。
C
C
力学中把这种研究物体在空间位置随 时间的变化规律，而不涉及引起这种 变化的原因，这部分称为运动学
3
第一章
质点运动学
（Kinematics of particles）
本章目录
图中 r p1p 2 r= r(t t) r(t) pp 2
P1
Δr
P2
r( t )
0
所以 : Δ r Δ r,
d r dr
r ( t +Δ t )
p Δr
推广：对于大小、方向都随t变化的变化的矢 量（ a , v ... ）都正确。
e t为切向单位矢量，与S的正方向
en 为法向单位矢量，指向轨道的 凹侧。 e n S(t) e t
O
p
en
et
三、质点的运动方程
机械运动是物体（质点）位置随时间的改变。在
坐标系中配上一套同步时钟，可以给出质 点位置坐标和时间的函数关系 —— 运动方程。
直角坐标系： r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k
力
学
（Mechanics）
1
力学（Mechanics）
本篇讨论质点力学和刚体力学
▲
质点力学：复习、提高
1.使知识系统化，条理化； 2.注意定理、定律的条件（不要乱套公式）； 3.数学方法上要有提高（矢量运算，微积分）。
▲ 刚体力学：新内容
要认真体会其思想、观点，掌握其处 理问题的方法。
2
力学 对象 机械运动（最简单、最基本）
b.运动的叠加性
(要符合矢量的运算法则)
二、确定质点空间位置的方法
1、坐标法：
选参考系，建坐标系oxyz， z( t ) P( t ) 则P点的空间位置就由P点 r( t ) 的坐标（x,y,z）来表示。
·
z
●
轨迹
k
x( t )
x
0 i
j
y( t )
y
2、位矢法：
用来确定某时刻 位置矢量（位矢、矢径）： 质点位置的矢量。
三、 速度（velocity） 质点位矢对时间的变化率叫速度。
1.平均速度（average velocity）：
r v t
是矢量，方向与方向 一致，为近似描述。
s 平均速率 v t
是标量
注意：
v v
2.（瞬时）速度（instantaneous velocity）：
当：s 0时,r 方向 r S(t) lim s s 0 s p r O
因此：
Q
ds v dt
ds dt
速度大小：由
决定。
速度方向：沿轨迹切线方向
ds v 是速度矢量沿切线方向 dt 的投影,是代数量.

ds 0 , 切线正向； dt ds 0 , 切线负向。 dt
（1）由原点O P的 有向线段 r
位置矢量（位矢、矢径）
z( t )
z
·
P( t )
●
轨迹
x( t )
x
0 i
r( t ) k y( t )
j
y
与位矢法的关系：
r r ( x, y, z ) xi yj zk
(i , j , k为单位矢量)
▲ 太阳参考系（太阳 ─ 恒星参考系） ▲ 地心参考系（地球 ─ 恒星参考系） ▲ 地面参考系或实验室参考系
为定量描述运动，需在参考系上固结坐标系。 2、坐标系： 固结在参考系上的一组有刻
度的射线、曲线或角度。
参考系选定后，坐标系还可任选。 不同坐标系中，运动的数学表述可以不同。
常用的坐标系：
▲ ▲ ▲ ▲
例 有一质点沿ｘ轴作直线运动，ｔ时刻的坐标为 ｘ＝4.5ｔ2－2ｔ3 （ＳＩ）．试求： （１）第２秒内的平均速度； （２）第２秒末的瞬时速度； （３）第２秒内的路程．
解1x x2 x1 2 2.5 0.5
x 1 v |t 2 0.5m s t
大小： v2
2 4 4.47 m / s
2 2
方向： arctan 4 63 26 2 为v 2与x 轴的夹角
31
由题意可知质点的位矢为 r xi yj 2ti 6 2t 2 j
则有
r1 2i 4 j m, r2 4i 2 j m r r2 r1 2i 6 j m
位矢的大小
r r
x
2

y
2
z
2
位矢的方向余弦
z x y cos , cos , cos r r r
, , 为 r 与x , y , z轴
间的夹角 注意：
z'
z
轨迹

o'
P(x,y,z)


r( t )
y'
·
位矢 r 的大小、方
x'
0
y
向及P点坐标的取值， x 依赖于坐标系的选 取。 若为o’x’y’z’坐标系，其值不同。
一、 位移（displacement）
位移 —— 质点在一段时间内位置的改变。 z P

1
r( t )
0
Δr
P 2
r(t+Δ t )
轨迹
x r P1 P2 大小： 位移： r r ( t t ) r ( t ) P1 P2 方向：
即位移等于同一时间内位矢的增量
由速度的定义：
r r s v lim lim( ) t 0 t t 0 s t s 0
s r lim( ) lim ( ) t 0 t s 0 s ds r ( lim ) dt s 0 s
§1.3 加速度（acceleration） 表示速度变化(大小、方向）的快慢 质点速度对时间的变化率叫加速度
z P 1
·
v
(t )
·
v
P 2
(t )

r( t ) x
0
v
(t+Δ t )
Δv v
( t +Δ t )
r(t+Δ t )
y
一、平均加速度、瞬时加速度
t 内速度增量为：v v (t t ) v (t )
物体不为质点时，可视为许多质点组成。
二、参考系和坐标系（reference system and coordinate system) 运动的绝对性：运动作为物质存在的形 式，也和物质本身一样是客观存在的。 运动的相对性：对于同一个物体的运动， 选择不同的参考对象，描述的运动图像 和结果就不同。 七律 送瘟神毛泽东（1958.07.01）
zzຫໍສະໝຸດ ●直角坐标系（ x , y , z ）
P(x,y,z)
极坐标系（ r,θ , ）
柱坐标系（ , , z ）
x
r
y
自然“坐标系”（本章§1.2） x

y
三、确定质点空间位置的方法 ①瞬时性：运动随时间t而变；
（需借助微积分数学分析工具）
②矢量性：含义

a.运动的方向性
（要用矢量表示）
2 2 2 2


r r2 r1 4 2 m 2 4 m 0
r -1 v = 2i 6 j m s t dr 又由 v = 2i 4tj m s -1 dt -1 -1 可得 v1 = 2i 4 j m s ， v1 = 2i 8j m s
2、位移与路程的区别：
a) r 为矢量，反映一段时间内质点
始末位置的变化，与路径无关；
s 为标量，反映一段时间内质点 实际经过的那段运动轨道的长度 。
b) t 内位移的大小
r 不一定等于路程s
只有t 0时,s与 r 相等即ds= dr
3、r的大小 r 与位矢r的大小 r 的增量r的区别
进一步说明运动描述的相对性的特征
3、自然法：
已知质点运动的轨道——选自然坐标系
（描写速度和加速度更方便、直观）
建自然坐标的方法： S(t)
p
（1）选O为坐 O 标原点，沿轨 n 道某一方向量 得曲线长度S，取为正值，即为自然坐标 的正向，反之为负。

n


（2）任一时刻，在质点处取两 相互垂直的单位矢量 et , en 一致。