江苏省扬州市高邮中学2015届高三上学期10月月考数学(理)试卷

2014-2015学年江苏省扬州市高邮中学高三（上）月考数学试卷（理科）（10月份）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸上．1．设集合A={2，3，4}，B={2，4，6}，若x∈A且x∉B，则x等于．2．在复平面上，复数z=（﹣2+i）i的对应的点所在象限是第象限．3．已知函数y=lg（4﹣x）的定义域为A，集合B={x|x＜a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围．4．已知命题p：|x﹣2|≥2；命题q：x∈Z．如果“p且q”与“¬q”同时为假命题，则满足条件的x的集合为．5．曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a的值为．6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=﹣f（x），若f（1）=1，则f（3）﹣f（4）= ．7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为．8．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是．9．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为．10．过双曲线的右焦点F和虚轴端点B作一条直线，若右顶点A到直线FB的距离等于，则双曲线的离心率e= ．11．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象经过A（﹣，﹣2）、B（，2）两点，则ω的最小值为．12．如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是．13．若函数f（x）=min{﹣x+2，log2x}，其中min{p，q}表示p，q两者中的较小者，则不等式f（x）＜﹣2的解集为．14．定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b③若a＞0，b＞0，则 b④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2其中的真命题有：．（写出所有真命题的编号）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=，（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=6，求b+c的取值范围．16．已知二次函数f（x）=ax2+bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x﹣1|＜m}，若集合B是集合A的子集，求实数m 的取值范围．17．如图，在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，（1）按下列要求写出函数的关系式：①设PN=x，将y表示成x的函数关系式；②设∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值．18．已知圆C经过点A（1，3）、B（2，2），并且直线m：3x﹣2y=0平分圆C．（1）求圆C的方程；（2）若过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若•=12，求k的值．19．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M（2，t）（t＞0）在椭圆的准线上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程：（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．20．已知函数f（x）=2alnx﹣x+（a∈R，且a≠0）；g（x）=﹣x2﹣x+2b（b∈R）（Ⅰ）若f（x）是在定义域上有极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=时，若对∀x1∈[1，e]，总∃x2∈[1，e]，使得f（x1）＜g（x2），求实数b 的取值范围．（其中e为自然对数的底数）（Ⅲ）对∀n∈N，且n≥2，证明：ln（n！）4＜（n﹣1）（n+2）四、附加题21．已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，7）在矩阵M的变换下得到点P'（15，9）．（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量α．22．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，，且PC⊥AB．（1）求λ的值；（2）求异面直线PC与AC1所成角的余弦值．23．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望Eξ．24．已知数列{x n}中，．（Ⅰ）当p=2时，用数学归纳法证明（Ⅱ）是否存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有x M≥x n．2014-2015学年江苏省扬州市高邮中学高三（上）月考数学试卷（理科）（10月份）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸上．1．设集合A={2，3，4}，B={2，4，6}，若x∈A且x∉B，则x等于 3 ．考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：利用x与集合A和集合B的关系确定x．解答：解：∵x∈{2，3，4}，∴x=2或x=3或x=4．∵x∉{2，4，6}，∴x≠2且x≠4且x≠6，∴x=3．故答案为：3．点评：本题主要考查了元素和集合之间的关系．2．在复平面上，复数z=（﹣2+i）i的对应的点所在象限是第三象限．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：高考数学专题．分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简，求出对应点的坐标，则答案可求．解答：解：z=（﹣2+i）i=﹣1﹣2i，∴复数对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），为第三象限的点．故答案为：三．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知函数y=lg（4﹣x）的定义域为A，集合B={x|x＜a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围a＞4 ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；元素与集合关系的判断；对数函数的定义域．专题：计算题．分析：先利用对数函数的性质求出集合A，再根据集合之间的关系结合数轴看端点坐标之间的大小关系即可．解答：解：∵A={x|x＜4}，∵P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，∴集合A是集合B的子集，由图易得a＞4．故答案为：a＞4．点评：本题主要考查了元素与集合关系的判断、必要条件、充分条件与充要条件的判断，以及对数函数的定义域，属于基础题．4．已知命题p：|x﹣2|≥2；命题q：x∈Z．如果“p且q”与“¬q”同时为假命题，则满足条件的x的集合为{1，2，3} ．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：由题设条件先求出命题P：x≥4或x≤0．由“p且q”与“¬q”同时为假命题知0＜x＜4，x∈Z．由此能得到满足条件的x的集合．解答：解：由命题p：|x﹣2|≥2，得到命题P：x﹣2≥2或x﹣2≤﹣2，即命题P：x≥4或x≤0；∵¬q为假命题，∴命题q：x∈Z为真翕题．再由“p且q”为假命题，知命题P：x≥4或x≤0是假命题．故0＜x＜4，x∈Z．∴满足条件的x的集合为{1，2，3}．故答案为：{1，2，3}．点评：本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．5．曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a的值为﹣2 ．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题；综合题．分析：先求出函数 y的导数，函数 y在点（3，2）处的导数值就是曲线y=在点（3，2）处的切线斜率，再利用两直线垂直，斜率之积等于﹣1求出a的值．解答：解：函数 y==1+的导数为 y′=，∴曲线y=在点（3，2）处的切线斜率为﹣，由﹣×（﹣a）=﹣1 得，a=﹣2，故答案为：﹣2．点评：本题考查函数在某点的导数值与曲线在此点的切线的斜率的关系，以及两直线垂直的性质．6．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=﹣f（x），若f（1）=1，则f（3）﹣f（4）= ﹣1 ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根号函数的奇函数得f（0）=0，然后再根据f（x+2）=﹣f（x）和f（1）=1，求f （3）即可．解答：解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，又f（x+2）=﹣f（x），f（1）=1，故f（3）=f（1+2）=﹣f（1）=﹣1，f（4）=f（2+2）=﹣f（2）=﹣f（0+2）=f（0）=0，∴f（3）﹣f（4）=﹣1点评：本题主要考查函数的奇函数的性质f（0）=0和函数的新定义，属于基础题．7．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为9 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．解答：解：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）．设N（x，y），N为菱形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为菱形ABCD及其内部区域．因为，=（x，y），则=2x+y，令z=2x+，则，由图象可得当目标函数z=2x+y 过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值，此时=9．故答案为9．点评：本题主要考查向量在几何中的应用，以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于中档题．8．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是 4 ．考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质．专题：计算题．分析：由对数的运算性质，lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，结合题意可得，x+3y=1；再利用1的代换结合基本不等式求解即可．解答：解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+≥2+2=4，当且仅当x=3y时取等号，故答案为：4．点评：本题考查基本不等式的性质与对数的运算，注意基本不等式常见的变形形式与运用，如本题中，1的代换．9．由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程为x2+y2=4 ．考点：轨迹方程；圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题；压轴题．分析：先设点P的坐标为（x，y），则可得|PO|，根据∠APB=60°可得∠AP0=30°，判断出|PO|=2|OB|，把|PO|代入整理后即可得到答案．解答：解：设点P的坐标为（x，y），则|PO|=∵∠APB=60°∴∠AP0=30°∴|PO|=2|OB|=2∴=2即x2+y2=4故答案为：x2+y2=4点评：本题主要考查了求轨迹方程的问题．属基础题．10．过双曲线的右焦点F和虚轴端点B作一条直线，若右顶点A到直线FB的距离等于，则双曲线的离心率e= 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先根据三角形面积公式求得a，b和c的关系式，进而根据a=求得a和c 的关系式，进而求得e．解答：解：∵S△ABF=××|FB|=b•|AF|，∴=（c﹣a）b∴b2+c2=7（c﹣a）2，整理得5e2﹣14e+8=0，解得e=2故答案为：2点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是找到a和c的关系，进而求得双曲线的离心率．11．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象经过A（﹣，﹣2）、B（，2）两点，则ω的最小值为．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由已知得到半个周期的最大值为，结合周期公式可得ω的最小值．解答：解：∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象经过A（﹣，﹣2）、B（，2）两点，∴，则，ω．∴ω的最小值为．故答案为：．点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，关键是对题意的理解，是基础题．12．如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值是﹣．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由向量的加法，可得，将其代入中，变形可得=﹣2（||﹣）2﹣，由二次函数的性质，计算可得答案．解答：解：根据题意，O为圆心，即O是AB的中点，则，则≥﹣，即的最小值是﹣；故答案为﹣．点评：本题考查数量积的运算，关键是根据O是AB的中点，得到，将求的最小值转化为一元二次函数的最小值问题．13．若函数f（x）=min{﹣x+2，log2x}，其中min{p，q}表示p，q两者中的较小者，则不等式f（x）＜﹣2的解集为．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；数形结合．分析：先根据“min{p，q}表示p，q两者中的较小的一个”求得函数f（x），再按分段函数的图象解得用满足f（x）＜﹣2时x的集合．解答：解：根据min{p，q}表示p，q两者中的较小者，得到函数f（x）=min{﹣x+2，log2x}的图象，如图所示：当x=或4时，y=﹣2，由图象可知：f（x）＜﹣2的解集为．故答案为：点评：本题考查了其他不等式的解法，是一道新定义题，首先要根据新定义求得函数图象，再应用函数图象解决相关问题，这类问题的解决，正确转化是关键．14．定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（a b）=bln+a②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b③若a＞0，b＞0，则 b④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2其中的真命题有：①③④．（写出所有真命题的编号）考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：对于①，由“正对数”的定义分别对a，b从0＜a＜1，b＞0；a≥1，b＞0两种情况进行推理；对于②，通过举反例说明错误；对于③④，分别从四种情况，即当0＜a＜1，b＞0时；当a ≥1，0＜b＜1时；当0＜a＜1，b≥1时；当a≥1，b≥1时进行推理．解答：解：对于①，当0＜a＜1，b＞0时，有0＜a b＜1，从而ln+（a b）=0，bln+a=b×0=0，∴ln+（a b）=bln+a；当a≥1，b＞0时，有a b＞1，从而ln+（a b）=lna b=blna，bln+a=blna，∴ln+（a b）=bln+a；∴当a＞0，b＞0时，ln+（a b）=bln+a，命题①正确；对于②，当a=时，满足a＞0，b＞0，而ln+（ab）=ln+=0，ln+a+ln+b=ln++ln+2=ln2，∴ln+（ab）≠ln+a+ln+b，命题②错误；对于③，由“正对数”的定义知，ln+x≥0且ln+x≥lnx．当0＜a＜1，0＜b＜1时，ln+a﹣ln+b=0﹣0=0，而ln+≥0，∴b．当a≥1，0＜b＜1时，有，ln+a﹣ln+b=ln+a﹣0=ln+a，而ln+=ln=lna﹣lnb，∵lnb＜0，∴b．当0＜a＜1，b≥1时，有0＜，ln+a﹣ln+b=0﹣ln+b=﹣ln+b，而ln+=0，∴b．当a≥1，b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=ln，则b．∴当a＞0，b＞0时，b，命题③正确；对于④，由“正对数”的定义知，当x1≤x2时，有，当0＜a＜1，0＜b＜1时，有0＜a+b＜2，从而ln+（a+b）＜ln+2=ln2，ln+a+ln+b+ln2=0+0+ln2=ln2，∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当a≥1，0＜b＜1时，有a+b＞1，从而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+a）=ln2a，ln+a+ln+b+ln2=lna+0+ln2=ln2a，∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当0＜a＜1，b≥1时，有a+b＞1，从而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+b）=ln2b，ln+a+ln+b+ln2=0+lnb+ln2=ln2b，∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），∵2ab﹣（a+b）=ab﹣a+ab﹣b=a（b﹣1）+b（a﹣1）≥0，∴2ab≥a+b，从而ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．命题④正确．∴正确的命题是①③④．故答案为：①③④．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了新定义，解答的关键是对“正对数”定义的理解与应用，考查了学生的运算能力和逻辑推理能力，是压轴题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知=，（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若a=6，求b+c的取值范围．考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理把原等式转化为关于A的等式，求得tanA的值，进而求得A．（Ⅱ）先根据三角形三边的关系求得b+c的一个范围，进而利用余弦定理求得b+c的关系式，利用基本不等式求得b+c的范围，最后取交集即可．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理知==，∴sinA=cosA，即tanA=，∵0＜A＜π，∴A=．（Ⅱ）由已知：b＞0，c＞0，b+c＞a=6，由余弦定理得36=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣（b+c）2=（b+c）2，（当且仅当b=c时取等号），∴（b+c）2≤4×36，又b+c＞6，∴6＜b+c≤12，即b+c的取值范围是（6，12]．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．结合了基本不等式知识的考查，综合性较强．16．已知二次函数f（x）=ax2+bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x﹣1|＜m}，若集合B是集合A的子集，求实数m 的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）先求出f（x+1）的解析式，再根据f（x+1）为偶函数，列出相应的等式，再结合函数f（x）的图象与直线y=x相切，导数即斜率，切点在曲线上；（2）先解出集合A，讨论参数m的取值，分别验证是否符合集合B是集合A的子集．解答：解：（Ⅰ）∵f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）=ax2+（2a+b）x+（a+b）为偶函数，∴2a+b=0⇒b=﹣2a…（2分）f（x）=ax2﹣2axf'（x）=2ax﹣2a设f（x）与y=x相切于P（x0，x0），则∴．…（6分）（运用判别式处理同样给分）（Ⅱ）A={x|f（x）＞0}={x|0＜x＜2}B={x||x﹣1|＜m}∵B⊆A∴①当m≤0时，有B=∅，满足B⊆A…（10分）②当m＞0时，B={x|1﹣m＜x＜1+m}要使B⊆A，则综合①②，要使B⊆A，实数m的取值范围为（﹣∞，1]．…（14分）点评：本题主要考查偶函数的性质，导数与切线，集合间的关系，属于中档题．17．如图，在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，（1）按下列要求写出函数的关系式：①设PN=x，将y表示成x的函数关系式；②设∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式；（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；弧长公式；两角和与差的正弦函数．专题：综合题．分析：（ 1）①通过求出矩形的边长，求出面积的表达式；②利用三角函数的关系，求出矩形的邻边，求出面积的表达式；（2）利用（1）②的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，根据θ的范围确定矩形面积的最大值．解答：解：（1）①因为ON=，OM=，所以MN=，（2分）所以y=x（） x∈（0，）．（4分）②因为PN=sinθ，ON=，OM=，所以MN=ON﹣OM=（6分）所以y=sinθ，即y=3sinθcosθ﹣sin2θ，θ∈（0，）（8分）（2）选择y=3sinθcosθ﹣sin2θ=sin（2θ+）﹣，（12分）∵θ∈（0，）∴（13分）所以．（14分）点评：本题是中档题，考查函数解析式的求法，三角函数的最值的确定，三角函数公式的灵活运应，考查计算能力，课本题目的延伸．如果选择①需要应用导数求解，麻烦，不是命题者的本意．18．已知圆C经过点A（1，3）、B（2，2），并且直线m：3x﹣2y=0平分圆C．（1）求圆C的方程；（2）若过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若•=12，求k的值．考点：圆的标准方程；平面向量数量积的运算．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）设圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2．由圆C被直线平分可得3a﹣2b=0，结合点A、B在圆上建立关于a、b、r的方程组，解出a、b、r的值即可得到圆C的方程；（2）（I）由题意，得直线l方程为kx﹣y+1=0，根据直线l与圆C有两个不同的交点，利用点到直线的距离建立关于k的不等式，解之即可得到实数k的取值范围；（II）直线l方程与圆C方程联解消去y，得（1+k2）x2﹣（4+4k）x+7=0．设M（x1，y1）、N（x2，y2），利用根与系数的关系、直线l方程和向量数量积的坐标运算公式，化简•=12得到关于k的方程，解之即可得到k的值．解答：解：（1）设圆C的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2∵圆C被直线m：3x﹣2y=0平分，∴圆心C（a，b）在直线m上，可得3a﹣2b=0…①，又∵点A（1，3）、B（2，2）在圆上，∴…②，将①②联解，得a=2，b=3，r=1．∴圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣3）2=1；（2）过点D（0，1）且斜率为k的直线l方程为y=kx+1，即kx﹣y+1=0，（I）∵直线l与圆C有两个不同的交点M、N，∴点C（2，3）到直线l的距离小于半径r，即，解之得＜k＜；（II）由消去y，得（1+k2）x2﹣（4+4k）x+7=0．设直线l与圆C有两个不同的交点坐标分别为M（x1，y1）、N（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=++1，∵•=+（++1）=12，解之得k=1．点评：本题着重考查了圆的标准方程、直线的方程、直线与圆的位置关系、向量的坐标运算公式和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题．19．已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短轴长为2，动点M（2，t）（t＞0）在椭圆的准线上．（Ⅰ）求椭圆的标准方程：（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）把M的横坐标代入准线方程得到一个关系式，然后由短半轴b和c表示出a，代入关系式得到关于c的方程，求出方程的解得到c的值，进而得到a的值，由a和b的值写出椭圆的标准方程即可；（2）设出以OM为直径的圆的方程，变为标准方程后找出圆心坐标和圆的半径，由以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长，过圆心作弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为中点，由弦的一半，半径以及圆心到直线的距离即弦心距构成直角三角形，利用点到直线的距离公式表示出圆心到3x﹣4y﹣5=0的距离d，根据勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可确定出所求圆的方程；（3）设出点N的坐标，表示出，，，，由⊥，得到两向量的数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则表示出一个关系式，又⊥，同理根据平面向量的数量积的运算法则得到另一个关系式，把前面得到的关系式代入即可求出线段ON的长，从而得到线段ON的长为定值．解答：解：（Ⅰ）又由点M在准线上，得=2故=2，∴c=1，从而a=所以椭圆方程为+y2=1；（Ⅱ）以OM为直径的圆的方程为x（x﹣2）+y（y﹣t）=0即（x﹣1）2+=+1，其圆心为（1，），半径r=因为以OM为直径的圆被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2所以圆心到直线3x﹣4y﹣5=0的距离d==所以=，解得t=4所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5（Ⅲ）设N（x0，y0），则=（x0﹣1，y0），=（2，t），=（x0﹣2，y0﹣t），=（x0，y0），∵，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2，又∵，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0，∴x02+y02=2x0+ty0=2，所以||==为定值．点评：此题综合考查了椭圆的简单性质，垂径定理及平面向量的数量积的运算法则．要求学生掌握平面向量垂直时满足的条件是两向量的数量积为0，以及椭圆中长半轴的平方等于短半轴与半焦距的平方和．20．已知函数f（x）=2alnx﹣x+（a∈R，且a≠0）；g（x）=﹣x2﹣x+2b（b∈R）（Ⅰ）若f（x）是在定义域上有极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=时，若对∀x1∈[1，e]，总∃x2∈[1，e]，使得f（x1）＜g（x2），求实数b 的取值范围．（其中e为自然对数的底数）（Ⅲ）对∀n∈N，且n≥2，证明：ln（n！）4＜（n﹣1）（n+2）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先根据对数函数求出定义域，再求导，得到x2﹣2ax+1=0有两不等正根，继而求出a的范围．（Ⅱ）等价于f max（x）＜g max（x），分别利用导数求出最值即可．（Ⅲ）先求导，得到故f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，得到对∀n∈N，且n≥2，总有2lnm≤m﹣＜m，化简整理得到结论．解答：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），要f（x）在定义域内有极值，则f′（x）=﹣1﹣==0，∴x2﹣2ax+1=0有两不等正根，∴解得a＞1，故实数a的取值范围（1，+∞）（Ⅱ）a=时，∴f（x）=2lnx﹣x+，∵对∀x1∈[1，e]，总∃x2∈[1，e]，使得f（x1）＜g（x2），则只需f max（x）＜g max（x），由f′（x）=＞0，解得﹣1＜x＜+1，得函数f（x）在（1，+1）上递增，在（+1，e）上递减，所以函数f（x）在x=+1处有最大值；∴f max（x）=f（+1）=2ln（）﹣2；又g（x）在（1，e），故g max（x）=g（1）=2b﹣2∴2ln（）﹣2＞2b﹣2，∴b＞ln（+1）（Ⅲ）当a=1时，f（x）=2lnx﹣x+，f′（x）=≤0恒成立，故f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，故当x≥1时，f（x）=2lnx﹣x+≤f（1）=0即2lnx≤x﹣，所以对∀n∈N，且n≥2，总有2lnm≤m﹣＜m，故有2（ln2+ln3+…+lnn）＜1+2+3+…+n，∴2ln（n!）＜，∴ln（n！）4＜（n﹣1）（n+2）问题得以证明．点评：本题主要考查导数函数的单调性最值的关系，本题属于中档题．四、附加题21．已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，7）在矩阵M的变换下得到点P'（15，9）．（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量α．考点：矩阵与向量乘法的意义；特征值与特征向量的计算．专题：计算题．分析：首先根据矩阵的变换列出方程式求出实数a的值．求出m的矩阵后写出其特征多项式，令f（λ）=0，得矩阵M的特征值，再根据特征值解出特征向量．解答：解：（1）由=，∴1+7a=15⇒a=2．（4分）（2）由（1）知M=，则矩阵M的特征多项式为=（λ﹣1）（λ﹣1）﹣4=λ2﹣2λ﹣3，令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为﹣1与3．（6分）当λ=﹣1时，⇒x+y=0，∴矩阵M的属于特征值﹣1的一个特征向量为；（8分）当λ=3时，⇒x=y，∴矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为．（10分）点评：本题主要考查矩阵与向量的乘法，和矩阵特征值及特征向量的求法．要求综合能力，计算能力，以及矩阵的很好理解．22．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点，，且PC⊥AB．（1）求λ的值；（2）求异面直线PC与AC1所成角的余弦值．考点：共线向量与共面向量；用空间向量求直线间的夹角、距离．专题：计算题．分析：（1）设出正三棱柱的棱长，以底面上一边的中点为原点建立坐标系，写出要用的各个点的坐标，得到向量的坐标，根据向量的垂直关系，要求的实数的值．（2）在两条异面直线上构造两个向量，根据两个向量的坐标，写出两个向量的夹角的余弦，是一个负值，根据异面直线所成的角是不大于90°的角，得到余弦值．解答：解：（1）设正三棱柱的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则：A（0，﹣1，0），，C（0，1，0），A1（0，﹣1，2），（0，1，2），，C∴，，，∵PC⊥AB，∴，，，（2）由（1）知：，，，∴异面直线PC与AC1所成角的余弦值是．点评：本题考查用空间向量解决立体几何中的夹角和距离的问题，是一个典型的题目，解题的关键是要用的点的坐标比较多，写起来比较繁琐，注意不要出错．23．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望Eξ．考点：离散型随机变量及其分布列；等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（1）先求中奖的对立事件“没中奖”的概率，求“没中奖”的概率是古典概型．（2）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60，用古典概型分别求概率，列出分布列，再求期望即可．解答：解：解法一：（Ⅰ）P=1﹣=1﹣=，即该顾客中奖的概率为．（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）．且P（ξ=0）==，P（ξ=10）==，P（ξ=20）==，P（ξ=50）==，P（ξ=60）==故ξ有分布列：ξ 0 10 20 50 60P从而期望Eξ=0×+10×+20×+50×+60×=16．解法二：（Ⅰ）P===，（Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值E ξ=2×8=16（元）．点评：本题考查古典概型、排列组合、离散型随机变量的分布列和期望，及利用概率知识解决问题的能力．24．已知数列{x n}中，．（Ⅰ）当p=2时，用数学归纳法证明（Ⅱ）是否存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有x M≥x n．考点：用数学归纳法证明不等式．专题：证明题．分析：（Ⅰ）求出p=2时的表达式，利用数学归纳法的证明步骤，证明不等式，（1）验证n=1不等式成立；（2）假设n=k时成立，证明n=k+1时成立．（Ⅱ）（1）验证n=1不等式成立；（2）假设n=k时成立，证明n=k+1时成立．解答：证明：由x1=1，知，x n＞0（n∈N*），（Ⅰ）当p=2时，，（1）当n=1时，x1=1＜，命题成立．（2）假设当n=k时，，则当n=k+1时，，即n=k+1时，命题成立．根据（1）（2），（n∈N*）．（4分）（Ⅱ）用数学归纳法证明，x n+1＞x n（n∈N*）．（1）当n=1时，＞1=x1，命题成立．（2）假设当n=k时，x k+1＞x k，∵x k＞0，p＞0，∴，则当n=k+1时，，即n=k+1时，命题成立．根据（1）（2），x n+1＞x n（n∈N*）．（8分）故不存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有x M≥x n．（10分）点评：本题是中档题，考查数学归纳法的证明步骤，注意证明的过程两步骤缺一不可，注意形式的一致性，考查计算能力．。