2017届上海市虹口区高三5月模拟考试理科数学试题及答案1 精品
2017年上海市虹口区高考数学一模试卷(解析版)
2017年上海市虹口区高考数学一模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B=．2．已知，则复数z的虚部为．3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．5．数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则=．6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于．8．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为．9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是．11．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于．12．当实数x ，y 满足x 2+y 2=1时，|x +2y +a |+|3﹣x ﹣2y |的取值与x ，y 均无关，则实数a 的取范围是 ．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．在空间，α表示平面，m ，n 表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ）A ．若m ∥α，m 、n 不平行，则n 与α不平行B ．若m ∥α，m 、n 不垂直，则n 与α不垂直C ．若m ⊥α，m 、n 不平行，则n 与α不垂直D ．若m ⊥α，m 、n 不垂直，则n 与α不平行14．已知函数在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．15．如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则的值（ ）A ．只与圆C 的半径有关B ．既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关 C ．只与弦AB 的长度有关D ．是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值16．定义f （x ）={x }（其中{x }表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ） ①f （2x ）=2f （x ）； ②若f （x 1）=f （x 2），则x 1﹣x 2＜1；③任意x 1，x 2∈R ，f （x 1+x 2）≤f （x 1）+f （x 2）；④．A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④三、解答题（本大题满分76分）17．在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的全面积和体积．18．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．19．已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a n}的首项a1=a．（1）如果a n=f（n）（n∈N*），写出数列{a n}的通项公式；（2）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{a n}是等差数列，求首项a 的取值范围；（3）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{a n}的前n项和S n．2017年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B={2，4，8} ．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能出A∩B．【解答】解：∵集合A={1，2，4，6，8}，∴B={x|x=2k，k∈A}={2，4，8，12，19}，∴A∩B={2，4，8}．故答案为：{2，4，8}．2．已知，则复数z的虚部为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由，得，利用复数复数代数形式的乘法运算化简，求出z，则答案可求．【解答】解：由，得=2﹣2i+i﹣i2=3﹣i，则z=3+i．∴复数z的虚部为：1．故答案为：1．3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=0．【考点】二倍角的正弦．【分析】由已知可得sinα﹣cosα=1，两边平方，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可得解．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，∴sinα﹣cosα=1，∴两边平方，可得：sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=1，∴1﹣sin2α=1，可得：sin2α=0．故答案为：0．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为5．数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则=．【考点】数列的极限．【分析】求出数列的和以及通项公式，然后求解数列的极限即可．【解答】解：数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n==n2．a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，则==故答案为：；6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的充分不必要条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可．【解答】解：A为△ABC的内角，则A∈（0，180°），若命题p：cosA=成立，则A=60°，sinA=；而命题q：sinA=成立，又由A∈（0，180°），则A=60°或120°；因此由p可以推得q成立，由q推不出p，可见p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于6．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离d===b=2，则c====3，则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为：68．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为2．【考点】等比数列的性质．【分析】利用数列{a n}是各项均为正数的等比数列，可得a3a5=a42，再利用基本不等式，即可求得a4的最大值．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a3a5=a42，∵等比数列{a n}各项均为正数，∴a3+a5≥2，当且仅当a3=a5=2时，取等号，∴a3=a5=2时，a4的最大值为2．故答案是：2．9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可．【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=8，∵a2=b2+c2，∴c==2，∴椭圆的焦距为；故答案为：4．10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是60．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的解析式先求出f[f（x）]表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r，再代入系数求出结果【解答】解：由函数f（x）=，当x≤﹣1时，f（x）=﹣2x﹣1，此时f（x）min=f（﹣1）=2﹣1=1，∴f[f（x）]=（﹣2x﹣1）6=（2x+1）6，=C6r2r x r，∴T r+1当r=2时，系数为C62×22=60，故答案为：6011．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于42或22．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，由勾股定理可知：=41，p=22或58，当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，即可求得p的值．【解答】解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，∴|PM|+|PF|=|PM|+|PD|，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，由最小值为41，即20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，当P，M，F共线时，|PM|+|PF|取最小值，即=41，解得：p=22或58，由当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，故答案为：42或22．12．当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是[，+∞）．【考点】圆方程的综合应用．【分析】根据实数x，y满足x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，求出x+2y的取值范围，再讨论a的取值范围，求出|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的值与x，y均无关时a的取范围．【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ，则x+2y=cosθ+2sinθ=sin（θ+α），其中α=arctan2；∴﹣≤x+2y≤，∴当a≥时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|=（x+2y+a）+（3﹣x﹣2y）=a+3，其值与x，y均无关；∴实数a的取范围是[，+∞）．故答案为：．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．在空间，α表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（）A．若m∥α，m、n不平行，则n与α不平行B．若m∥α，m、n不垂直，则n与α不垂直C．若m⊥α，m、n不平行，则n与α不垂直D．若m⊥α，m、n不垂直，则n与α不平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n⊂α，即可得出结论．【解答】解：对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n ⊂α，故不正确．故选A．14．已知函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的单调性．【分析】由条件利用正弦函数的单调性，可得2a+≤，求得a的范围．【解答】解：∵函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则2a+≤，求得a≤，故有0＜a≤，故选：B．15．如图，在圆C中，点A、B在圆上，则的值（）A．只与圆C的半径有关B．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C．只与弦AB的长度有关D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【考点】平面向量数量积的运算．【分析】展开数量积，结合向量在向量方向上投影的概念可得=．则答案可求．【解答】解：如图，过圆心C作CD⊥AB，垂足为D，则=||||•cos∠CAB=．∴的值只与弦AB的长度有关．故选：C．16．定义f（x）={x}（其中{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）①f（2x）=2f（x）；②若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2＜1；③任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）；④．A．①②B．①③C．②③D．②④【考点】函数与方程的综合运用．【分析】充分理解“取上整函数”的定义．如果选项不满足题意，只需要举例说明即可【解答】解：对于①，当x=1.4时，f（2x）=f（2.8）=3.2，f（1.4）=4．所以f （2x）≠2f（x）；①错．对于②，若f（x1）=f（x2）．当x1为整数时，f（x1）=x1，此时x2＞x1﹣1，即x1﹣x2＜1．当x1不是整数时，f（x1）=[x1]+1．[x1]表示不大于x1的最大整数．x2表示比x1的整数部分大1的整数或者是和x1保持相同整数的数，此时﹣x1﹣x2＜1．故②正确．对于③，当x1，x2∈Z，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x1，x2∉Z，f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），故正确；对于④，举例f（1.2）+f（1.2+0.5）=4≠f（2.4）=3．故④错误．故选：C．三、解答题（本大题满分76分）17．在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的全面积和体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BC的中点M，连AM、BM．由△ABC是等边三角形，可得AM ⊥BC．再由PB=PC，得PM⊥BC．利用线面垂直的判定可得BC⊥平面PAM，进一步得到PA⊥BC；（2）记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．由已知求出高，可求三棱锥的体积．求出各面的面积可得三棱锥的全面积．【解答】（1）证明：取BC的中点M，连AM、BM．∵△ABC是等边三角形，∴AM⊥BC．又∵PB=PC，∴PM⊥BC．∵AM∩PM=M，∴BC⊥平面PAM，则PA⊥BC；（2）解：记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴．∴，，∵，∴；．18．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理求得DB；（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，进一步得到sin∠EAH，则∠EAH可求，求出外国船只到达E处的时间t，由求得速度的最小值．法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．可得A，D，B的坐标，设经过t小时外国船到达点，结合ED=12，得，列等式求得t，则，，再由求得速度的最小值．【解答】解：（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理得DB2=AD2+AB2﹣2AD•AB•cos60°=182+202﹣2×18×15×cos60°=364，∴，即此时该外国船只与D岛的距离为海里；（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，AH=10，∴HD=AD﹣AH=8，以D为圆心，12为半径的圆交BH于点E，连结AE、DE，在Rt△DEH中，HE=，∴，又AE=，∴sin∠EAH=，则≈41.81°．外国船只到达点E的时间（小时）．∴海监船的速度（海里/小时）．又90°﹣41.81°=48.2°，故海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时．法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．则A（0，0），D（18，0），，设经过t小时外国船到达点，又ED=12，得，此时（小时）．则，，∴监测船的航向东偏北41.81°．∴海监船的速度（海里/小时）．19．已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域，推出ac=4，判断f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），得到此函数是非奇非偶函数．（2）求出函数的单调递增区间．设x1、x2是满足的任意两个数，列出不等式，推出f（x2）＞f（x1），即可判断函数是单调递增．（3）f（x）=ax2﹣4x+c，当，即0＜a≤2时，当，即a＞2时求出最小值即可．【解答】解：（1）由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），得a＞0且，解得ac=4．…∵f（1）=a+c﹣4，f（﹣1）=a+c+4，a＞0且c＞0，从而f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），∴此函数是非奇非偶函数．…（2）函数的单调递增区间是[，+∞）．设x1、x2是满足的任意两个数，从而有，∴．又a＞0，∴，从而，即，从而f（x2）＞f（x1），∴函数在[，+∞）上是单调递增．…（3）f（x）=ax2﹣4x+c，又a＞0，，x∈[1，+∞）当，即0＜a≤2时，最小值g（a）=f（x0）=0当，即a＞2时，最小值综上，最小值…当0＜a≤2时，最小值g（a）=0当a＞2时，最小值综上y=g（a）的值域为[0，+∞）…20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F 的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程．（2）直线l：y=﹣x+1，设AB坐标，联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可．（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB 的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可．【解答】解：（1）∵a=2，又c=1，∴，∴椭圆方程为…（2）直线l：y=﹣x+1，设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得7x2﹣8x﹣8=0，有，．……（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，），B（1，﹣），则，，故k1+k2=2．…当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x1，y1）B （x2，y2），由消y得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）=0，有，．…=…21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a n}的首项a1=a．（1）如果a n=f（n）（n∈N*），写出数列{a n}的通项公式；（2）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{a n}是等差数列，求首项a 的取值范围；（3）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列与函数的综合．【分析】（1）化简函数f（x）为分段函数，然后求出a n=f（n）=n+3．（2）如果{a n}是等差数列，求出公差d，首项，然后求解a的范围．（3）当a≥﹣1时，求出前n项和，当﹣2≤a≤﹣1时，当a≤﹣2时，分别求出n项和即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|=，…又n≥1且n∈N*，∴a n=f（n）=n+3．…（2）如果{a n}是等差数列，则a n﹣a n﹣1=d，a n=a n﹣1+d，由f（x）知一定有a n=a n﹣1+3，公差d=3．当a1≥﹣1时，符合题意．当﹣2≤a1≤﹣1时，a2=3a1+5，由a2﹣a1=3得3a1+5﹣a1=3，得a1=﹣1，a2=2．当a1≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3，由a2﹣a1=3得﹣a1﹣3﹣a1=3，得a1=﹣3，此时a2=0．综上所述，可得a的取值范围是a≥﹣1或a=﹣3．…（3）当a≥﹣1时，a n=f（a n﹣1）=a n﹣1+3，∴数列{a n}是以a为首项，公差为3的等差数列，．…当﹣2≤a≤﹣1时，a2=3a1+5=3a+5≥﹣1，∴n≥3时，a n=a n﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n≥2时，又S1=a也满足上式，∴（n∈N*）…当a≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3=﹣a﹣3≥﹣1，∴n≥3时，a n=a n﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n≥2时，又S1=a也满足上式，∴（n∈N*）．综上所述：S n=．…．。
2017上海市虹口区高考数学一模试卷(解析版)
2017年上海市虹口区高考数学一模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B=．2．已知，则复数z的虚部为．3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．5．数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则=．6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于．8．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为．9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是．11．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于．12．当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．在空间，α表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（）A．若m∥α，m、n不平行，则n与α不平行B．若m∥α，m、n不垂直，则n与α不垂直C．若m⊥α，m、n不平行，则n与α不垂直D．若m⊥α，m、n不垂直，则n与α不平行14．已知函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．15．如图，在圆C中，点A、B在圆上，则的值（）A．只与圆C的半径有关B．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C．只与弦AB的长度有关D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值16．定义f（x）={x}（其中{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）①f（2x）=2f（x）；②若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2＜1；③任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）；④．A．①②B．①③C．②③D．②④三、解答题（本大题满分76分）17．在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的全面积和体积．18．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．19．已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a n}的首项a1=a．（1）如果a n=f（n）（n∈N*），写出数列{a n}的通项公式；（2）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{a n}是等差数列，求首项a 的取值范围；（3）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{a n}的前n项和S n．2017年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B={2，4，8} ．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能出A∩B．【解答】解：∵集合A={1，2，4，6，8}，∴B={x|x=2k，k∈A}={2，4，8，12，19}，∴A∩B={2，4，8}．故答案为：{2，4，8}．2．已知，则复数z的虚部为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由，得，利用复数复数代数形式的乘法运算化简，求出z，则答案可求．【解答】解：由，得=2﹣2i+i﹣i2=3﹣i，则z=3+i．∴复数z的虚部为：1．故答案为：1．3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=0．【考点】二倍角的正弦．【分析】由已知可得sinα﹣cosα=1，两边平方，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可得解．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，∴sinα﹣cosα=1，∴两边平方，可得：sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=1，∴1﹣sin2α=1，可得：sin2α=0．故答案为：0．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为5．数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则=．【考点】数列的极限．【分析】求出数列的和以及通项公式，然后求解数列的极限即可．【解答】解：数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n==n2．a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，则==故答案为：；6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的充分不必要条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可．【解答】解：A为△ABC的内角，则A∈（0，180°），若命题p：cosA=成立，则A=60°，sinA=；而命题q：sinA=成立，又由A∈（0，180°），则A=60°或120°；因此由p可以推得q成立，由q推不出p，可见p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于6．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离d===b=2，则c====3，则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为：68．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为2．【考点】等比数列的性质．【分析】利用数列{a n}是各项均为正数的等比数列，可得a3a5=a42，再利用基本不等式，即可求得a4的最大值．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a3a5=a42，∵等比数列{a n}各项均为正数，∴a3+a5≥2，当且仅当a3=a5=2时，取等号，∴a3=a5=2时，a4的最大值为2．故答案是：2．9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可．【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=8，∵a2=b2+c2，∴c==2，∴椭圆的焦距为；故答案为：4．10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是60．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的解析式先求出f[f（x）]表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r，再代入系数求出结果【解答】解：由函数f（x）=，当x≤﹣1时，f（x）=﹣2x﹣1，此时f（x）min=f（﹣1）=2﹣1=1，∴f[f（x）]=（﹣2x﹣1）6=（2x+1）6，=C6r2r x r，∴T r+1当r=2时，系数为C62×22=60，故答案为：6011．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于42或22．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，由勾股定理可知：=41，p=22或58，当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，即可求得p的值．【解答】解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，∴|PM|+|PF|=|PM|+|PD|，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，由最小值为41，即20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，当P，M，F共线时，|PM|+|PF|取最小值，即=41，解得：p=22或58，由当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，故答案为：42或22．12．当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是[，+∞）．【考点】圆方程的综合应用．【分析】根据实数x，y满足x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，求出x+2y的取值范围，再讨论a的取值范围，求出|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的值与x，y均无关时a的取范围．【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ，则x+2y=cosθ+2sinθ=sin（θ+α），其中α=arctan2；∴﹣≤x+2y≤，∴当a≥时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|=（x+2y+a）+（3﹣x﹣2y）=a+3，其值与x，y均无关；∴实数a的取范围是[，+∞）．故答案为：．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．在空间，α表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（）A．若m∥α，m、n不平行，则n与α不平行B．若m∥α，m、n不垂直，则n与α不垂直C．若m⊥α，m、n不平行，则n与α不垂直D．若m⊥α，m、n不垂直，则n与α不平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n⊂α，即可得出结论．【解答】解：对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n ⊂α，故不正确．故选A．14．已知函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的单调性．【分析】由条件利用正弦函数的单调性，可得2a+≤，求得a的范围．【解答】解：∵函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则2a+≤，求得a≤，故有0＜a≤，故选：B．15．如图，在圆C中，点A、B在圆上，则的值（）A．只与圆C的半径有关B．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C．只与弦AB的长度有关D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【考点】平面向量数量积的运算．【分析】展开数量积，结合向量在向量方向上投影的概念可得=．则答案可求．【解答】解：如图，过圆心C作CD⊥AB，垂足为D，则=||||•cos∠CAB=．∴的值只与弦AB的长度有关．故选：C．16．定义f（x）={x}（其中{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）①f（2x）=2f（x）；②若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2＜1；③任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）；④．A．①②B．①③C．②③D．②④【考点】函数与方程的综合运用．【分析】充分理解“取上整函数”的定义．如果选项不满足题意，只需要举例说明即可【解答】解：对于①，当x=1.4时，f（2x）=f（2.8）=3.2，f（1.4）=4．所以f （2x）≠2f（x）；①错．对于②，若f（x1）=f（x2）．当x1为整数时，f（x1）=x1，此时x2＞x1﹣1，即x1﹣x2＜1．当x1不是整数时，f（x1）=[x1]+1．[x1]表示不大于x1的最大整数．x2表示比x1的整数部分大1的整数或者是和x1保持相同整数的数，此时﹣x1﹣x2＜1．故②正确．对于③，当x1，x2∈Z，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x1，x2∉Z，f（x1+x2）＜f（x1）+f（x2），故正确；对于④，举例f（1.2）+f（1.2+0.5）=4≠f（2.4）=3．故④错误．故选：C．三、解答题（本大题满分76分）17．在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的全面积和体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BC的中点M，连AM、BM．由△ABC是等边三角形，可得AM ⊥BC．再由PB=PC，得PM⊥BC．利用线面垂直的判定可得BC⊥平面PAM，进一步得到PA⊥BC；（2）记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．由已知求出高，可求三棱锥的体积．求出各面的面积可得三棱锥的全面积．【解答】（1）证明：取BC的中点M，连AM、BM．∵△ABC是等边三角形，∴AM⊥BC．又∵PB=PC，∴PM⊥BC．∵AM∩PM=M，∴BC⊥平面PAM，则PA⊥BC；（2）解：记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴．∴，，∵，∴；．18．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理求得DB；（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，进一步得到sin∠EAH，则∠EAH可求，求出外国船只到达E处的时间t，由求得速度的最小值．法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．可得A，D，B的坐标，设经过t小时外国船到达点，结合ED=12，得，列等式求得t，则，，再由求得速度的最小值．【解答】解：（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理得DB2=AD2+AB2﹣2AD•AB•cos60°=182+202﹣2×18×15×cos60°=364，∴，即此时该外国船只与D岛的距离为海里；（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，AH=10，∴HD=AD﹣AH=8，以D为圆心，12为半径的圆交BH于点E，连结AE、DE，在Rt△DEH中，HE=，∴，又AE=，∴sin∠EAH=，则≈41.81°．外国船只到达点E的时间（小时）．∴海监船的速度（海里/小时）．又90°﹣41.81°=48.2°，故海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时．法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．则A（0，0），D（18，0），，设经过t小时外国船到达点，又ED=12，得，此时（小时）．则，，∴监测船的航向东偏北41.81°．∴海监船的速度（海里/小时）．19．已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域，推出ac=4，判断f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），得到此函数是非奇非偶函数．（2）求出函数的单调递增区间．设x1、x2是满足的任意两个数，列出不等式，推出f（x2）＞f（x1），即可判断函数是单调递增．（3）f（x）=ax2﹣4x+c，当，即0＜a≤2时，当，即a＞2时求出最小值即可．【解答】解：（1）由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），得a＞0且，解得ac=4．…∵f（1）=a+c﹣4，f（﹣1）=a+c+4，a＞0且c＞0，从而f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），∴此函数是非奇非偶函数．…（2）函数的单调递增区间是[，+∞）．设x1、x2是满足的任意两个数，从而有，∴．又a＞0，∴，从而，即，从而f（x2）＞f（x1），∴函数在[，+∞）上是单调递增．…（3）f（x）=ax2﹣4x+c，又a＞0，，x∈[1，+∞）当，即0＜a≤2时，最小值g（a）=f（x0）=0当，即a＞2时，最小值综上，最小值…当0＜a≤2时，最小值g（a）=0当a＞2时，最小值综上y=g（a）的值域为[0，+∞）…20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F 的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程．（2）直线l：y=﹣x+1，设AB坐标，联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可．（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB 的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可．【解答】解：（1）∵a=2，又c=1，∴，∴椭圆方程为…（2）直线l：y=﹣x+1，设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得7x2﹣8x﹣8=0，有，．……（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，），B（1，﹣），则，，故k1+k2=2．…当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x1，y1）B （x2，y2），由消y得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）=0，有，．…=…21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a n}的首项a1=a．（1）如果a n=f（n）（n∈N*），写出数列{a n}的通项公式；（2）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得数列{a n}是等差数列，求首项a 的取值范围；（3）如果a n=f（a n﹣1）（n∈N*且n≥2），求出数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列与函数的综合．【分析】（1）化简函数f（x）为分段函数，然后求出a n=f（n）=n+3．（2）如果{a n}是等差数列，求出公差d，首项，然后求解a的范围．（3）当a≥﹣1时，求出前n项和，当﹣2≤a≤﹣1时，当a≤﹣2时，分别求出n项和即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|=，…又n≥1且n∈N*，∴a n=f（n）=n+3．…（2）如果{a n}是等差数列，则a n﹣a n﹣1=d，a n=a n﹣1+d，由f（x）知一定有a n=a n﹣1+3，公差d=3．当a1≥﹣1时，符合题意．当﹣2≤a1≤﹣1时，a2=3a1+5，由a2﹣a1=3得3a1+5﹣a1=3，得a1=﹣1，a2=2．当a1≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3，由a2﹣a1=3得﹣a1﹣3﹣a1=3，得a1=﹣3，此时a2=0．综上所述，可得a的取值范围是a≥﹣1或a=﹣3．…（3）当a≥﹣1时，a n=f（a n﹣1）=a n﹣1+3，∴数列{a n}是以a为首项，公差为3的等差数列，．…当﹣2≤a≤﹣1时，a2=3a1+5=3a+5≥﹣1，∴n≥3时，a n=a n﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n ≥2时，又S1=a也满足上式，∴（n∈N*）…当a≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3=﹣a﹣3≥﹣1，∴n≥3时，a n=a n﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n ≥2时，又S1=a也满足上式，∴（n∈N*）．综上所述：S n=．…．。
2017虹口高三数学一模
共享知识分享快乐2017年上海市虹口区高考数学一模试卷、填空题(1〜6题每小题4分，7〜12题每小题4分，本大题满分54分)1 •已知集合A={1 , 2, 4, 6, 8} , B={x|x=2k , k€ A}，则A G B=_2 •已知占二心则复数z的虚部为一•3.设函数f (x)=si nx - cosx，且f (a =1,则sin2 a二解是5•数列｛a n｝是首项为1,公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则1认诗= .IL6.已知角A是△ABC的内角，则歸曲令”是氈的______________ 条件(填充分非必要”、必要非充分”、充要条件”、既非充分又非必要”之一).距等于____ .8 .若正项等比数列｛a n｝满足：a3+a5=4,则a4的最大值为_____ .9. 一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°勺平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于10. 设函数f (x)=：；二"售―],则当x<- 1时，则f[f (x)]表达式的展开式中含x2项的系数是_.11. _________________________________________ 点M (20, 40),抛物线y2=2px (p>0)的焦点为F,若对于抛物线上的任意点P, |PM|+|PF的最小值为41,则p的值等于 ______________________________________ .12 .当实数x, y满足x2+y2=l时,|x+2y+a|+|3- x - 2y|的取值与x, y均无关,则实数a的取范围是4.已知二兀一次方程组的增广矩阵是,则此方程组的=1的一个焦点到其渐近线的距离为2一一:，贝U该双曲线的焦7.若双曲线x2-二、选择题(每小题5分，满分20分)13.在空间，a表示平面，m, n表示二条直线，则下列命题中错误的是( )A .若m// a, m、n不平行，则n与a不平行B. 若m// a, m、n不垂直，则n与a不垂直C. 若m丄a, m、n不平行，则n与a不垂直D. 若m丄a, m、n不垂直，则n与a不平行, 兀14. 已知函数对〒)在区间[0, a](其中a>0) 上单调递增，则实数a的取值范围是( )A. B. 〈寻TIT JTC. Fk兀十k€ ifD. 2kH<a<2k^^-, k€N15. 如图，在圆C中，点A、B在圆上，则匸■「的值( )A .只与圆C的半径有关B. 既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C. 只与弦AB的长度有关D. 是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值16. 定义f (x) ={x}(其中{x}表示不小于x的最小整数)为取上整函数”例如{2.1}=3 , {4}=4 .以下关于取上整函数”性质的描述，正确的是( )①f (2x) =2f (x);②若 f (X1)=f (X2),则X1 - X2V 1 ;③任意X1 , X2€ R, f (X1+X2)Wf(X1)+f (X2)；④f(x)+fCx+y)=f(2x).A.①② B .①③ C.②③ D .②④三、解答题(本大题满分76分)17•在正三棱锥P- ABC中，已知底面等边三角形的边长为6,侧棱长为4.(1)求证：PA丄BC;(2)求此三棱锥的全面积和体积.18•如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处.(1)求此时该外国船只与D岛的距离；(2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行.为了将该船拦截在离D岛12海里的E处(E在B的正南方向)，不让其进入D岛12 海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值(角度精确到0.1 °,速度精确到0.1海里/小时).19 .已知二次函数f (x) =ax2- 4x+c的值域为［0，+〜.(1)判断此函数的奇偶性，并说明理由；(2)判断此函数在［号，+x)的单调性，并用单调性的定义证明你的结论;(3)求出f (x )在［1，+〜上的最小值g ( a)，并求g (a)的值域.20. 椭圆C：十+牙过点M (2, 0)，且右焦点为F (1, 0)，过F 的直线I与椭圆C 相交于A、B两点•设点P (4, 3),记PA、PB的斜率分别为k i 和k2.(1)求椭圆C的方程；(2)如果直线I的斜率等于-1,求出k i?h的值；(3)探讨k i+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k i+k2的取21. 已知函数f (x) =2|x+2| - |x+1|,无穷数列｛a n｝的首项a i=a.(1)如果a n=f (n) (n € N ),写出数列｛a n｝的通项公式；(2)如果a n=f (a n-1) (n€N*且n》2,要使得数列｛a n｝是等差数列，求首项a 的取值范围；(3)如果a n=f (a n-1) (n€N*且n>2 ,求出数列｛a n｝的前n项和S n.2017年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题(1〜6题每小题4分，7〜12题每小题4分，本大题满分54分)1 .已知集合A={1 , 2, 4, 6, 8} , B={x|x=2k , k € A}，则A H B= {2 , 4, 8} 【考点】交集及其运算.【分析】先分别求出集合A和B，由此能出A HB .【解答】解：•••集合A={1 , 2, 4, 6, 8},••• B={x|x=2k , k€ A}={2 , 4, 8, 12, 19},••• A H B={2 , 4, 8}.故答案为：{2 , 4, 8}.2 .已知yT--=2-H，则复数z的虚部为1 .【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】由十：「，得(- ＜：,利用复数复数代数形式的乘法运算化简，求出z,则答案可求.【解答】解：由,得亠辽■二 1 「=2 —2i+i - i2=3- i,则z=3+i.•••复数z的虚部为：1.故答案为：1.3.设函数f (x) =si nx - cosx，且f (a =1,贝U si n2 a= 0 .【考点】二倍角的正弦.【分析】由已知可得sin —cos a =1两边平方，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可得解.【解答】解：••• f (x) =si nx- cosx，且 f (a) =1,二 sin a COS a =,•••两边平方，可得：sin 1 2 a +cOS a- 2sin a COS a, =1 ••• 1 - sin2 a =,可得：sin2 a =0 故答案为：0.【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组.先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得.故答案为… n5 .数列｛a n ｝是首项为1,公差为2的等差数列，S n 是它前n 项和，则 ■□-*■3 a £L丄—•【考点】数列的极限.【分析】求出数列的和以及通项公式，然后求解数列的极限即可. 【解答】解：数列｛a n ｝是首项为1,公差为2的等差数列, S n = .一.=n 2. &=1+ (n - 1) >2=2n - 1，=lirn=宀(亦-1〉1 vs6.已知角A 是△ABC 的内角，贝U”是 畠皿二-于的—充分不必要_条件4.已知二兀一次方程组解是.的增广矩阵是【分析】 【解答】 解：由题意，方程组 解之得z=2 y=l1 -1J 1,则此方程组的Sn113n nF L(填 充分非必要”、必要非充分”、充要条件”、既非充分又非必要”之一). 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可. 解：A 为△ABC 的内角，贝U A €(0, 180°, 若命题 p ： cosA=-成立，则 A=60° , sinA= 一二 2，又由 A €( 0, 180°,则 A=60° 或 120° 因此由p 可以推得q 成立，由q 推不出p , 可见p 是q 的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要.距等于 6【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b 的值即可得到结论.【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx ，不妨设为y= - bx ，即bx+y=0 , 焦点坐标为F (c , 0),则焦点到其渐近线的距离d=… 二二-=b=2 --：,则 c=j [•：•/= - i 〔丨「=.」=3, 则双曲线的焦距等于2c=6, 故答案为：68 .若正项等比数列｛a n ｝满足：33+35=4 ,则34的最大值为 2 .【考点】等比数列的性质.【分析】利用数列｛a n ｝是各项均为正数的等比数列，可得 a 3a 5=a 42,再利用基本 不等式，即可求得34的最大值.【解答】解：•••数列｛a n ｝是各项均为正数的等比数列， 二 a 3a 5=a 42,•••等比数列｛a n ｝各项均为正数,【解答】 的一个焦点到其渐近线的距离为而命题q ： sinA=7 •若双曲线x 2-当且仅当33=05=2时，取等号,a e =a 5=2时，a 4的最大值为2. 故答案是：2.9.一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°勺平面所截，截面是一个 椭圆，则该椭圆的焦距等于一；【考点】椭圆的简单性质.【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可. 【解答】解：因为底面半径为R 的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是 个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R ，长半轴为：rg 鬻。
上海市虹口区2017届高三一模数学试卷(word版,含标准答案)Word版含答案
虹口区2016学年度第一学期期终教学质量监控测试高三数学试卷(时间120分钟，满分150分)2016.12一、填空题(1〜6题每小题4分，7〜12题每小题5分，本大题满分54分)1、 已知集合 A =「1,2,4,6,8 /, B - ;x x =2k,k A?，则 A 一 B = __________ .2、 已知一Z2 i ，则复数z 的虚部为1 -i 3、设函数 f (x) =sinx —cosx ，且 f (a ) =1，贝y sin 2a =自 x + b y = G ，“ ，q -1 r4、已知二兀一次方程组 1 7的增广矩阵是 ，则此方程组的解是 旦 x + b2 y = C2 <1 1 3丿27、 若双曲线 x 2 -爲=1的一个焦点到其渐近线的距离为 2 2，则该双曲线的焦距等 b 2 于 _________ .8、 若正项等比数列：a n ?满足：a 3 a 5 ^4，则a °的最大值为 ________________ .9、一个底面半径为 2的圆柱被与其底面所成角是 60的平面所截，截 面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于 ______________ .10、设函数 f(x)= x 〔 x —1I —2x_1, x 兰 _1 达式的展开式中含 x 2项的系数是 _________________ 11、点M(20, 40)，抛物线y 2 =2px(p 0)的焦点为F ，若对于抛 5、数列〈aj 是首项为 1,公差为2的等差数列, S n 是它前n 项和，则 S n lim 2 二 n a 2 n6、已知角A 是.\ABC 的内角，则是“ sinA^的 2 _________________ 条件 (填“充分非必要”、“必要非充分” “充要条件”、“既非充分又非必要”之一)，则当X 乞-1时，则f[f(x)]表。
2017年上海市虹口区高考数学一模试卷Word版含解析
2017年上海市虹口区高考数学一模试卷一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B=．2．已知，则复数z的虚部为．3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．5．数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则=．6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于．8．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为．9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是．11．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于．12．当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．在空间，α表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（）A．若m∥α，m、n不平行，则n与α不平行B．若m∥α，m、n不垂直，则n与α不垂直C．若m⊥α，m、n不平行，则n与α不垂直D．若m⊥α，m、n不垂直，则n与α不平行14．已知函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．15．如图，在圆C中，点A、B在圆上，则的值（）A．只与圆C的半径有关B．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C．只与弦AB的长度有关D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值16．定义f（x）={x}（其中{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）①f（2x）=2f（x）；②若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2＜1；③任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）；④．A．①②B．①③C．②③D．②④三、解答题（本大题满分76分）17．在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的全面积和体积．18．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．19．已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a n}的首项a1=a．（1）如果a n=f（n）（n∈N*），写出数列{a n}的通项公式；（2）如果a n=f（a n）（n∈N*且n≥2），要使得数列{a n}是等差数列，求首项a﹣1的取值范围；（3）如果a n=f（a n）（n∈N*且n≥2），求出数列{a n}的前n项和S n．﹣12017年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（1～6题每小题4分，7～12题每小题4分，本大题满分54分）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x|x=2k，k∈A}，则A∩B={2，4，8} ．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能出A∩B．【解答】解：∵集合A={1，2，4，6，8}，∴B={x|x=2k，k∈A}={2，4，8，12，19}，∴A∩B={2，4，8}．故答案为：{2，4，8}．2．已知，则复数z的虚部为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由，得，利用复数复数代数形式的乘法运算化简，求出z，则答案可求．【解答】解：由，得=2﹣2i+i﹣i2=3﹣i，则z=3+i．∴复数z的虚部为：1．故答案为：1．3．设函数f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，则sin2α=0．【考点】二倍角的正弦．【分析】由已知可得sinα﹣cosα=1，两边平方，利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可得解．【解答】解：∵f（x）=sinx﹣cosx，且f（α）=1，∴sinα﹣cosα=1，∴两边平方，可得：sin2α+cos2α﹣2sinαcosα=1，∴1﹣sin2α=1，可得：sin2α=0．故答案为：0．4．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为5．数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n是它前n项和，则=．【考点】数列的极限．【分析】求出数列的和以及通项公式，然后求解数列的极限即可．【解答】解：数列{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n==n2．a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，则==故答案为：；6．已知角A是△ABC的内角，则“”是“的充分不必要条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数值判断即可．【解答】解：A为△ABC的内角，则A∈（0，180°），若命题p：cosA=成立，则A=60°，sinA=；而命题q：sinA=成立，又由A∈（0，180°），则A=60°或120°；因此由p可以推得q成立，由q推不出p，可见p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．7．若双曲线x2﹣=1的一个焦点到其渐近线的距离为2，则该双曲线的焦距等于6．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据焦点到其渐近线的距离求出b的值即可得到结论．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±bx，不妨设为y=﹣bx，即bx+y=0，焦点坐标为F（c，0），则焦点到其渐近线的距离d===b=2，则c====3，则双曲线的焦距等于2c=6，故答案为：68．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为2．【考点】等比数列的性质．【分析】利用数列{a n}是各项均为正数的等比数列，可得a3a5=a42，再利用基本不等式，即可求得a4的最大值．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a3a5=a42，∵等比数列{a n}各项均为正数，∴a3+a5≥2，当且仅当a3=a5=2时，取等号，∴a3=a5=2时，a4的最大值为2．故答案是：2．9．一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可．【解答】解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=8，∵a2=b2+c2，∴c==2，∴椭圆的焦距为；故答案为：4．10．设函数f（x）=，则当x≤﹣1时，则f[f（x）]表达式的展开式中含x2项的系数是60．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的解析式先求出f[f（x）]表达式，再根据利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为2求得r，再代入系数求出结果【解答】解：由函数f（x）=，当x≤﹣1时，f（x）=﹣2x﹣1，此时f（x）min=f（﹣1）=2﹣1=1，∴f[f（x）]=（﹣2x﹣1）6=（2x+1）6，=C6r2r x r，∴T r+1当r=2时，系数为C62×22=60，故答案为：6011．点M（20，40），抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，若对于抛物线上的任意点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于42或22．【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，由勾股定理可知：=41，p=22或58，当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，即可求得p的值．【解答】解：由抛物线的定义可知：抛物线上的点到焦点距离=到准线的距离，过P做抛物线的准线的垂线，垂足为D，则|PF|=|PD|，当M（20，40）位于抛物线内，∴|PM|+|PF|=|PM|+|PD|，当M，P，D共线时，|PM|+|PF|的距离最小，由最小值为41，即20+=41，解得：p=42，当M（20，40）位于抛物线外，当P，M，F共线时，|PM|+|PF|取最小值，即=41，解得：p=22或58，由当p=58时，y2=116x，则点M（20，40）在抛物线内，舍去，故答案为：42或22．12．当实数x，y满足x2+y2=1时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的取值与x，y均无关，则实数a的取范围是[，+∞）．【考点】圆方程的综合应用．【分析】根据实数x，y满足x2+y2=1，设x=cosθ，y=sinθ，求出x+2y的取值范围，再讨论a的取值范围，求出|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|的值与x，y均无关时a的取范围．【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ，则x+2y=cosθ+2sinθ=sin（θ+α），其中α=arctan2；∴﹣≤x+2y≤，∴当a≥时，|x+2y+a|+|3﹣x﹣2y|=（x+2y+a）+（3﹣x﹣2y）=a+3，其值与x，y均无关；∴实数a的取范围是[，+∞）．故答案为：．二、选择题（每小题5分，满分20分）13．在空间，α表示平面，m，n表示二条直线，则下列命题中错误的是（）A．若m∥α，m、n不平行，则n与α不平行B．若m∥α，m、n不垂直，则n与α不垂直C．若m⊥α，m、n不平行，则n与α不垂直D．若m⊥α，m、n不垂直，则n与α不平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n⊂α，即可得出结论．【解答】解：对于A，若m∥α，m、n不平行，则n与α可能平行、相交或n⊂α，故不正确．故选A．14．已知函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的单调性．【分析】由条件利用正弦函数的单调性，可得2a+≤，求得a的范围．【解答】解：∵函数在区间[0，a]（其中a＞0）上单调递增，则2a+≤，求得a≤，故有0＜a≤，故选：B．15．如图，在圆C中，点A、B在圆上，则的值（）A．只与圆C的半径有关B．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关C．只与弦AB的长度有关D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值【考点】平面向量数量积的运算．【分析】展开数量积，结合向量在向量方向上投影的概念可得=．则答案可求．【解答】解：如图，过圆心C作CD⊥AB，垂足为D，则=||||•cos∠CAB=．∴的值只与弦AB的长度有关．故选：C．16．定义f（x）={x}（其中{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}=3，{4}=4．以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（）①f（2x）=2f（x）；②若f（x1）=f（x2），则x1﹣x2＜1；③任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2）；④．A．①②B．①③C．②③D．②④【考点】函数与方程的综合运用．【分析】充分理解“取上整函数”的定义．如果选项不满足题意，只需要举例说明即可【解答】解：对于①，当x=1.4时，f（2x）=f（2.8）=3.2，f（1.4）=4．所以f （2x）≠2f（x）；①错．对于②，若f（x1）=f（x2）．当x1为整数时，f（x1）=x1，此时x2＞x1﹣1，即x1﹣x2＜1．当x1不是整数时，f（x1）=[x1]+1．[x1]表示不大于x1的最大整数．x2表示比x1的整数部分大1的整数或者是和x1保持相同整数的数，此时﹣x1﹣x2＜1．故②正确．对于③，当x1，x2∈Z，f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x1，x2∉Z，f（x1+x2）＜f （x1）+f（x2），故正确；对于④，举例f（1.2）+f（1.2+0.5）=4≠f（2.4）=3．故④错误．故选：C．三、解答题（本大题满分76分）17．在正三棱锥P﹣ABC中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．（1）求证：PA⊥BC；（2）求此三棱锥的全面积和体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BC的中点M，连AM、BM．由△ABC是等边三角形，可得AM⊥BC．再由PB=PC，得PM⊥BC．利用线面垂直的判定可得BC⊥平面PAM，进一步得到PA⊥BC；（2）记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．由已知求出高，可求三棱锥的体积．求出各面的面积可得三棱锥的全面积．【解答】（1）证明：取BC的中点M，连AM、BM．∵△ABC是等边三角形，∴AM⊥BC．又∵PB=PC，∴PM⊥BC．∵AM∩PM=M，∴BC⊥平面PAM，则PA⊥BC；（2）解：记O是等边三角形的中心，则PO⊥平面ABC．∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴．∴，，∵，∴；．18．如图，我海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其北偏东30°方向与它相距20海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D岛12海里的E处（E在B的正南方向），不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理求得DB；（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，求解直角三角形可得HE、AE的值，进一步得到sin∠EAH，则∠EAH可求，求出外国船只到达E处的时间t，由求得速度的最小值．法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．可得A，D，B的坐标，设经过t小时外国船到达点，结合ED=12，得，列等式求得t，则，，再由求得速度的最小值．【解答】解：（1）依题意，在△ABD中，∠DAB=60°，由余弦定理得DB2=AD2+AB2﹣2AD•AB•cos60°=182+202﹣2×18×15×cos60°=364，∴，即此时该外国船只与D岛的距离为海里；（2）法一、过点B作BH⊥AD于点H，在Rt△ABH中，AH=10，∴HD=AD﹣AH=8，以D为圆心，12为半径的圆交BH于点E，连结AE、DE，在Rt△DEH中，HE=，∴，又AE=，∴sin∠EAH=，则≈41.81°．外国船只到达点E的时间（小时）．∴海监船的速度（海里/小时）．又90°﹣41.81°=48.2°，故海监船的航向为北偏东48.2°，速度的最小值为6.4海里/小时．法二、建立以点A为坐标原点，AD为x轴，过点A往正北作垂直的y轴．则A（0，0），D（18，0），，设经过t小时外国船到达点，又ED=12，得，此时（小时）．则，，∴监测船的航向东偏北41.81°．∴海监船的速度（海里/小时）．19．已知二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞）．（1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在[，+∞）的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a），并求g（a）的值域．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域，推出ac=4，判断f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），得到此函数是非奇非偶函数．（2）求出函数的单调递增区间．设x1、x2是满足的任意两个数，列出不等式，推出f（x2）＞f（x1），即可判断函数是单调递增．（3）f（x）=ax2﹣4x+c，当，即0＜a≤2时，当，即a＞2时求出最小值即可．【解答】解：（1）由二次函数f（x）=ax2﹣4x+c的值域为[0，+∞），得a＞0且，解得ac=4．…∵f（1）=a+c﹣4，f（﹣1）=a+c+4，a＞0且c＞0，从而f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），∴此函数是非奇非偶函数．…（2）函数的单调递增区间是[，+∞）．设x1、x2是满足的任意两个数，从而有，∴．又a＞0，∴，从而，即，从而f（x2）＞f（x1），∴函数在[，+∞）上是单调递增．…（3）f（x）=ax2﹣4x+c，又a＞0，，x∈[1，+∞）当，即0＜a≤2时，最小值g（a）=f（x0）=0当，即a＞2时，最小值综上，最小值…当0＜a≤2时，最小值g（a）=0当a＞2时，最小值综上y=g（a）的值域为[0，+∞）…20．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程．（2）直线l：y=﹣x+1，设AB坐标，联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可．（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB 的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可．【解答】解：（1）∵a=2，又c=1，∴，∴椭圆方程为…（2）直线l：y=﹣x+1，设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得7x2﹣8x﹣8=0，有，．……（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，），B（1，﹣），则，，故k1+k2=2．…当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）=0，有，．…=…21．已知函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，无穷数列{a n}的首项a1=a．（1）如果a n=f（n）（n∈N*），写出数列{a n}的通项公式；）（n∈N*且n≥2），要使得数列{a n}是等差数列，求首项a （2）如果a n=f（a n﹣1的取值范围；（3）如果a n=f（a n）（n∈N*且n≥2），求出数列{a n}的前n项和S n．﹣1【考点】数列与函数的综合．【分析】（1）化简函数f（x）为分段函数，然后求出a n=f（n）=n+3．（2）如果{a n}是等差数列，求出公差d，首项，然后求解a的范围．（3）当a≥﹣1时，求出前n项和，当﹣2≤a≤﹣1时，当a≤﹣2时，分别求出n项和即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=2|x+2|﹣|x+1|=，…又n≥1且n∈N*，∴a n=f（n）=n+3．…（2）如果{a n}是等差数列，则a n﹣a n﹣1=d，a n=a n﹣1+d，由f（x）知一定有a n=a n﹣1+3，公差d=3．当a1≥﹣1时，符合题意．当﹣2≤a1≤﹣1时，a2=3a1+5，由a2﹣a1=3得3a1+5﹣a1=3，得a1=﹣1，a2=2．当a1≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3，由a2﹣a1=3得﹣a1﹣3﹣a1=3，得a1=﹣3，此时a2=0．综上所述，可得a的取值范围是a≥﹣1或a=﹣3．…（3）当a≥﹣1时，a n=f（a n﹣1）=a n﹣1+3，∴数列{a n}是以a为首项，公差为3的等差数列，．…当﹣2≤a≤﹣1时，a2=3a1+5=3a+5≥﹣1，∴n≥3时，a n=a n﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n ≥2时，又S1=a也满足上式，∴（n∈N*）…当a≤﹣2时，a2=﹣a1﹣3=﹣a﹣3≥﹣1，∴n≥3时，a n=a n﹣1+3．∴n=1时，S1=a．n ≥2时，又S1=a也满足上式，∴（n∈N*）．综上所述：S n=．…．2017年1月13日。
新课标高考理科数学模拟试题含答案
新课标高考理科数学模拟试题含答案The following text is amended on 12 November 2020.2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷（一）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题:p x ∀∈R ，sin x ≤1，则（ ）A ．:p x ⌝∃∈R ，sin x ≥1B ．:p x ⌝∀∈R ，sin x ≥1C ．:p x ⌝∃∈R ，sin x >1 不能D ．:p x ⌝∀∈R ，sin x >12．已知平面向量a =（1，1），b （1，－1），则向量1322-=a b （ ）A ．（－2，－1）B ．（－2，1）C ．（－1，0）D ．（－1，2）3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）4．已知{a n }是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d =（ ）A ．23-B ．13-C ．13D ．235．如果执行右面的程序框图，那么输出的S=（ ）A ．2450B ．2500 y x11-2π-3π-O6ππyx11-2π-3π-O 6ππy x11-2π-3πO 6π-πy xπ2π-6π-1O1-3π A．B．C ．D ．6．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）在抛物线上，且2x 2=x 1+x 3， 则有（ ）A ．123FP FP FP +=B ．222123FP FP FP += C ．2132FP FP FP =+ D ．2213FPFP FP =· 7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则2()a b cd+的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．48．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．34000cm 3 B ．38000cm 3C ．2000cm 3D ．4000cm 3 9．若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ ） A ．7．12- C ．12D 7 10．曲线12e x y =在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．29e 2年B ．4e 2, C ．2e 2 D ．e 2s 1，s 2，s 3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）甲的成绩 环数7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 环数7 8 9 1频数 6 4 4 6 丙的成绩 环数7 8 9 1频数4 6 6 412．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。
上海市虹口区届高三5月模拟(三模)数学理试题-word版含答案
2016年虹口区高考模拟试卷 理科数学2016.5考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设集合103x M xx ⎧+⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}21xN x =≥，则M N ⋂=__________.2．在ABC ∆中，3tan ,4A =- 则sin 2A =_________.3.已知复数()z i z z =为虚数单位，表示的共轭复数，则z z ⋅=_________.4.若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞+++=___________.5.若函数()()()f x x a x a R =-∈存在反函数1()f x -，则1(1)(4)f f -+-=_________.6 .在数学解题中，时常会碰到形如“1x yxy+-”的式子，它与“两角和的正切公式”的结构类似.若a ,b 是非零实数，且满足sincos855tan 15cos sin55a b a b πππππ+=-，则b a =________.7. 若一个球的半径与它的内接圆锥的底面半径之比为5,3且内接圆锥的轴截面为锐角三角形，则该球的体积与它的内接圆锥的体积之比等于________.8．某小区有排成一排的8个车位，现有5辆不同型号的轿车需要停放，则这5辆轿车停入车位后，剩余3个车位连在一起的概率为________（结果用最简分数表示）.9．若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的焦距等于________.10．若复数z 满足34(z z i i +=-为虚数单位)，则z 的最小值为_______. 11．在极坐标系中，圆2sin ρθ=被直线1sin()32πρθ+=截得的弦长为 ． 12．过抛物线28x y =的焦点F 的直线与其相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若6,AF = 则OAB ∆的面积为 ．13．若关于x 的方程21x x a x -=有三个不同实根，则实数a 的取值范围为_______.14．在平面直角坐标系中，定义11111,()(,)(,)n n nn n n n n n n n nx x y n N P x y P x y y x y +*++++=-⎧∈⎨=+⎩为点到点的一个变换，我们把它称为点变换.已知1222(1,0)(,)P P x y ，，333(,)P x y ，是经过点变换得到的一组无穷点列，设112,n n n n n a P P P P +++=⋅则满足不等式122016n a a a +++>的最小正整数n 的值为________.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.15．关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是 ( ) （A ）若,αβ⊥则α内一定存在直线平行于β；（B ）若αβ与不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β； （C ）若,,l αγβγαβ⊥⊥⋂=， 则;l γ⊥ （D ）若,αβ⊥则α内所有直线垂直于β.16．若函数()y f x =的图像与函数3x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(1)(3)3f f -+-=，则实数a 等于 ( )（A ）-1 ( B) 1 （C ） 2 (D) 417． 在锐角ABC ∆中,60,B =︒2,AB AC -=则AB AC ⋅的取值范围为 ( ) （A ）（0， 12） （B ）1,124⎡⎫-⎪⎢⎣⎭（C ）(]0,4 （D ） (]0,2 18．在平面直角坐标系中，定义1122(,)(,)P x y Q x y 两点与之间的“直角距离”为：1212(,)+.d P Q x x y y =--现给出下列4个命题：P D 1A 1C 1ADCB B 1O 1① 已知22(1,2)(cos ,sin )(),P Q R θθθ∈,(,)d P Q 则为定值；② 已知,P Q R ,三点不共线，则必有(,)(,)(,)d P Q d Q R d P R +>； ③ 用PQ 表示,P Q 两点之间的距离，则(,)PQ P Q ≥；④ 若P Q ,是椭圆22154x y +=上的任意两点，则(,).d P Q 的最大值为6则下列判断正确的为 （ ） （A ）命题①，②均为真命题 （B ）命题② ，③均为假命题 （C ）命题②，④均为假命题 （D ）命题① ，③ ，④均为真命题三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分) 本题共2个小题，第1小题5分， 第1小题7分. 已知函数xnx m x f 2sin 2cos )(=的图像过点)3,12(π和点)2,32(-π. （1）求函数()f x 的最大值与最小值；（2）将函数)(x f y =的图像向左平移)0(πϕϕ<<个单位后，得到函数)(x g y =的图像；已知点)5,0(P ，若函数)(x g y =的图像上存在点Q ，使得3||=PQ ，求函数)(x g y =图像的对称中心.20．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分， 第1小题8分.已知函数2()2(0)f x a x a x b a =-+>在区间[]1,3-上的最大值为5，最小值为1.（1）求,a b 的值及()f x 的解析式；（2）设()()f x g x x=，若不等式(3)30x x g t -⋅≥在[]0,2x ∈上有解，求实数t 的取值范围.21．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分， 第1小题8分. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，4,2,AC BD ==且侧棱1 3.AA = 其中111O A C 为11.B D 与的交点(1) 求点1B 到平面1D AC 的距离；(2) 在线段1BO 上，是否存在一个点P ，使得直线AP 与1CD 垂直？若存在，求出线段BP 的长；若不存在，请说明理由.22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，定义椭圆C 的“相关圆”E为:222222a b x y a b +=+.若抛物线24y x =的焦点与椭圆C 的右焦点重合，且椭圆C 的短轴长与焦距相等.（1）求椭圆C 及其“相关圆”E 的方程；（2）过“相关圆”E 上任意一点P 作其切线 l ，若 l 与椭圆C 交于,A B 两点， 求证:AOB ∠为定值（O 为坐标原点）；(3) 在（2）的条件下，求OAB ∆面积的取值范围.23. (本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分.若数列12:,,,(,2)n n A a a a n N n *∈≥满足110,1(1,2,,1),k k a a a k n +=-==-则称n A 为L 数列.记12().n n S A a a a =+++（1）若5A 为L 数列,且50,a =试写出5()S A 的所有可能值； （2）若n A 为L 数列，且0,n a =求()n S A 的最大值；（3）对任意给定的正整数(2),n n ≥是否存在L 数列,n A 使得()0?n S A =若存在，写出满足条件的一个L 数列n A ；若不存在，请说明理由.2016年虹口区高考模拟数学试卷 参考答案与评分标准2016年5月一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）1．[)0,3 2． 2425-3． 1 4． 16 5．1-7. 500818．3289. 6 10．71011．212.13．(,-∞- 14． 11； 二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15. D 16. C 17. A 18.(理) D ；(文) D 三、解答题（本大题共5题，满分74分）19．(本题满分12分) 本题共2个小题，第1小题5分，第2小题7分.解：（1）易知x n x m x f 2cos 2sin )(-=，则由条件，得sin cos 6644sin cos 233m n m n ππππ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，……2分解得, 1.m n ==-故()2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+.故函数()f x 的最大值为2，最小值为 2.- ……5分 （2）由（1）可知： ()()2sin(22)6g x f x x πϕϕ=+=++.于是，当且仅当)2,0(Q 在)(x g y =的图像上时满足条件. ……7分 2)62s i n (2)0(=+=∴πϕg . 由πϕ<<0，得 .6πϕ=……9分故x x x g 2cos 2)22sin(2)(=+=π. 由22ππ+=k x ，得().24k x k Z ππ=+∈1于是，函数)(x g y =图像的对称中心为：))(0,42(Z k k ∈+ππ. ……12分 20．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 解：（1）由2()(1)0f x a x b a a =-+->（）及条件，可得(3)35,(1)1f a b f b a =+=⎧⎨=-=⎩……3分解得 1, 2.a b == 故2()22f x x x =-+ ……6分 （2）由（1）可得()2()2,f x g x x x x==+-于是题设条件得 []232300,23x x x t x +--⋅≥∈在上有解, ……8分 即 []221111122120,2.33322x x x t x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤-+=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+在上有解 ……10分令[]211111,1(0,2)2,1.39229x u x t u u ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=∈∈≤-+∈ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦，则在上有解 ……12分 21111,12,1 1.9222u u t ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈-+∈≤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦当时，，于是因此，实数t 的取值范围为(],1.-∞ ……14分 21．（理）(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.解：(1) 由于菱形的对角线互相垂直平分，故以AC 与 BD 的交点O 为原点，以射线OA 、OB 、1OO 分别为 x y z 、、轴，建立空间直角坐标系. 由已知条件，相关点的坐标为(2,0,0),(0,1,0)A B ，111(2,0,0),(0,0,3),(0,1,3),(0,1,3).C O B D -- ……2分设平面1D AC 的法向量为(,,),n x y z =由(4,0,0),AC =-1(2,1,3),AD =--得1400,3.230n ACx x y z n AD x y z ìïì?-==ïïïÞ眄镲=?--+=ïîïî 令1z =，则(0,3,1)n =. ……5分 因11(0,2,0),D B =故点1B到平面1D AC 的距离为11(0,2,0)(0,3,1)(0,3,1)D B n d n××=== ……7分(2) 设1,BP BO λ=? 则由(2,1,0),AB =-1(0,1,3),BO =-得(2,1,3).AP AB BP λλ=+=-- 又1(2,1,3),CD =- ……10分故当1AP CD ⊥时，11(2,1,3)(2,1,3)1050.2AP CD λλλλ⋅=--⋅-=-=⇒=……12分 于是，在线段1BO 上存在点P ，使得1;AP CD ⊥此时112BP BO == ……14分22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 解：（1）因为抛物线24y x =的焦点()1,0与椭圆C 的右焦点重合，所以1c =，又因为椭圆C 的短轴长与焦距相等，所以1b c ==. (2)分故椭圆C 的方程为：2212x y +=，其“相关圆”E 的方程为：2223x y +=. ……4分证：（2）（i ）当直线l的斜率不存在时，不妨设其方程为x =，则,3333A B ⎛ ⎝⎭⎝⎭，所以2AOB π∠=. ……6分 （ii ）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，并设()()1122,,,A x y B x y ，则由2212y kx mx y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得222()2x kx m ++=,即222(12)4220k x kmx m +++-=,……8分 故△=222222164(12)(22)8(21)0k m k m k m -+-=-+>,即 22210(*)k m -+>且212122242(1),.1212km m x x x x k k -+=-=++由直线l 与 “相关圆”E 相切，得d ===, 即223220.m k --=…8分221212121212122222222222()()(1)()2(1)(1)43220.121212OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m k m k m m k m k k k ⋅=+=+++=+++++---=-+==+++故从而,OA OB ⊥.2AOB π∠=即综合上述，得.2AOB π∠=为定值 ……10分解：（3）由于1,2OAB S AB OP ∆=⋅=所以求OAB S ∆的取值范围，只需求出弦长AB 的取值范围.当直线l 的斜率不存在时，由（2）的（i ），知AB = ……12分 当直线l的斜率存在时，12AB x =-==（i ）当0k =时,||AB = ……14分（ii ）当0k ≠时, 因为221448k k ++≥，所以2288113,13344k k ⎛⎫ ⎪<+≤ ⎪ ⎪++⎝⎭<≤A Bk ==A B于是AB的取值范围为⎢⎣⎦. 因此OAB S ∆的取值范围为⎡⎢⎢⎥⎣⎦2,.3……16分 23.（理）(本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分.解：（1）满足条件的L 数列5A ，及对应的5()S A 分别为：（i ） 0, 1, 2，1, 0. 5()4;S A =(ii) 0, 1, 0，1, 0. 5()2;S A =（iii ） 0, 1, 0，-1, 0. 5()0;S A = (iv) 0, -1, -2，-1, 0. 5()4;S A =-（v ） 0, -1, 0，-1, 0 . 5()2;S A =-(vi) 0, -1, 0, 1, 0. 5()0.S A =因此，5()S A 的所有可能值为：4,2,0,2,4.-- ……5分(2) 由于n A 为L 数列，且10,n a a ==11(1,2,,1),k k a a k n +-==-故n 必须是不小于3的奇数. ……7分于是使()n S A 最大的n A 为：0,1,2,3,,2,1,,1,2,,3,2,1,0.k k k k k ---- ……9分这里213(),n k k n N *=+≥∈、 并且[]21()212(1),.2n n S A k k k k -=+++-+==因此，2max1()(3).2n n S A n -⎛⎫= ⎪⎝⎭为不小于的奇数 ……11分 （3）令1(1,2,,1),1,k k k k c a a k n c +=-=-=±则于是由10,a =得213221243312311121,,,,.n n n n a c a a c c c a a c c c c a a c c c c ---==+=+=+=++=+=+++[]12312321123211232()(1)(2)(3)2(1)(2)(3)21(1)(1)(2)(1)(3)(1)2(1)(1)(1)(1)(1)(2)(1)(3)(1)2(1)(12n n n n n n n S A a a a a n c n c n c c c n n n n c n c n c c c n n n c n c n c c -----=+++++=-+-+-+++=-+-+-+++++--+--+--++-+--=---+--+--++-+-故[]1).n c - 1,1(1,2,,1)k k c c k n =±-=-因故为偶数，所以12321(1)(1)(2)(1)(3)(1)2(1)(1)n n n c n c n c c c ----+--+--++-+-为偶数.于是要使(1)()0,2n n n S A -=必须为偶数，即(1)n n -为4的倍数，亦即 4,41().n m n m m N *==+∈或 ……14分（i ）当4()n m m N *=∈时，L 数列n A 的项在满足： 4143420,=k k k a a a ---==1,41(1,2,,)k a k m =-=时，()0.n S A = ……16分(ii)当41()n m m N *=+∈时，L 数列n A 的项在满足：4143420,=k k k a a a ---==1，441=1(1,2,,),0k m a k m a +-==时()0.n S A = ……18分。
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又
AE = AC 2 + CE 2 = 6 5
2 ≈ 41.81 ……………… 11 分 3
所
以
sin ∠EAC =
CE 4 5 2 = = AE 6 5 3
,
所
以
∠EAC = arcsin
外国船只到达点 E 的时间 t =
BE 5 3 − 2 5 = ≈ 2.09 4 2
10 3 − 4 5 ≈ 2.09 4
小时
则 tan ∠EAD =
EH 4 5 2 5 = = AH 10 5 2 5 ≈ 41.81 ，所以监测船的航向东偏北 41.81 5 AE 6 5 = ≈ 6.4 t 10 3 − 4 5 4
2
∠EAD = arctan
所以海监船的速度 v ≥
海里 / 小时
x2 y 2 + = 1 …4 分 4 3
2 直线 l : y = − x + 1 ， 设 A( x1 ,
y1 ) B ( x2 ,
y = −x +1 8 2 由 x2 y 2 消 y 得 7 x − 8x − 8 = 0 ， 有 x1 + x2 = ， y2 ) ， 7 =1 + 3 4
综
所述
3 3 2 2 n + ( a − 2 ) n , a ≥ −1 1 3 Sn = n 2 + ( + 3a )n − 2a − 2, −2 ≤ a ≤ −1 ．………………18 分 2 2 15 3 2 n − ( a + )n + 2a + 6, n ≤ −2 2 2
7 6
二 13
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虹口区2017届高三5月模拟考试（三模）数学学科（理科）（时间120分钟，满分150分）一、填空题（每小题4分，满分56分）1、θ是第二象限角，则2θ是第 象限角． 分析： 一或三2、复数z 满足1z z i -=-，则此复数z 所对应的点的轨迹方程是 . 分析：0x y -=．3、已知全集U R =，集合{}2230,A x x x x R =-->∈,{}22B x m x m =-≤≤+, 若(){}03U C A B x x ⋂=≤≤，则实数m 的值为 . 分析：[]1,3U C A =-，则2m =4的体积之比为 .分析： 设底面半径为r ，则它们的高2h r =23122V r r r ππ=⋅=，23212233V r r r ππ=⋅=，3343V r π=， 则123::3:1:2V V V =.5、已知1tan 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 . 分析： 设6t πα=-，即6t πα=-，1tan 3t =则()222tan 3cos 2cos 2cos 231tan 5t t t t παπ⎛⎫+=-=-=-=-⎪+⎝⎭. 6、定义在R 上的奇函数()f x ，()12f -=，且当0x ≥时，()()22x f x a x b =+++（,a b 为常数），则()10f -的值为 . 分析：()010f b =+=，b a f f +++=-=--=222)1()1(，则1-=b ,5-=a ，当0x ≥时，132)(--=x x f x ，993)10()10(-=-=-f f .7、公差不为零的等差数列}{n a 中，237110a a a -+=，数列}{n b 是等比数列，且77a b =，则1213b b b ⋅ 等于 .分析： 等差数列}{n a 中，237110a a a -+=，则27720a a -=，70,2a = 取772b a ==，13131213728192b b b b ⋅=== .8、已知等差数列{}n a 的通项公式为35n a n =-，则5671)1)1)x x x +++++（（（的展开式中4x 项的系数是数列{}n a 中的第 项． 分析： 209、已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点O ，极轴与x 轴的非负半轴重合.若直线l 的极坐标方程为3πθ=)R ρ∈（，曲线C 的参数方程为2cos 1cos2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数，且)R θ∈，则直线l 与曲线C 的交点的直角坐标为 .分析：0,0)（；注意参数方程中22x -≤≤10、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种 .分析：设取红球x 个，白球y 个，则5(04)27(06)x y x x y y +=≤≤⎧⎨+≥≤≤⎩234,,321x x x y y y ===⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨===⎩⎩⎩，取法为233241464646186C C C C C C ++=.11、棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -及其内部一动点P ，集合{}1Q P PA =≤,则集合Q 构成的几何体表面积为 .分析：221151341484S πππ=⋅⋅+⋅⋅= . 12、P 是双曲线221916x y －＝的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于 .分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，21max +=PF PM ，22max -=PF PN ，再根据双曲线的定义得 PM PN -的最大值等于9.13、设,x y 为实数，且满足：()()32014201320142013x x -+-=-，()()32014201320142013y y -+-=，则x y += .分析：()()()()332014201320142014201320142013x x y y -+-=-+-=-，令()()32013f t t t t R =+∈，则()f t 是递增函数，且()()20142014f x f y -=-则20142014x y -=-，即4028x y +=.14、在区间[]0,π上，关于α的方程5sin 45cos 2αα+=+解的个数为 ．分析：令5cos 5sin x y αα=⎧⎨=⎩，[]0,απ∈，则2225x y +=，[]0,5y ∈5sin 45cos 2αα+=+化为24y x =+-考察2225x y +=的上半圆与函数24y x =+-的图象可知有一个公共点，故关于α的方程5sin 45cos 2αα+=+有1个解. 二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知θ为实数，若复数)sin 211z i θθ=-+-是纯虚数，则z 的虚部为（ ）A 、2B 、0C 、2-D 、2i -分析：sin 21sin 210410cos 2,244k k k πθθπθππθθθππ⎧=⎧=+⎪-=⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨-≠≠⎪⎪≠+-⎩⎪⎩ 则()524k k Z πθπ=+∈12θ-=-，选C . 16、“1=a ”是“函数()||f x x a b =-+（,a b R ∈）在区间[)1,+∞上为增函数”的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件分析：1=a 时，()|1|f x x b =-+在[)1,+∞上为增函数；反之，()||f x x a b =-+在区间[)1,+∞上为增函数，则1a ≤，故选A . 17、如果函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值分别为M 、m ，那么()()()b a m b a f x M b a -≤∆≤-.根据这一结论求出2212x--∆的取值范围（ ）.A 、[0,3] B、3[,3]16 C 、33[,]162D 、x3[,3]2分析：求22x -在[]2,1-上的最值，选B .18、如图，已知点(2,0)P ，正方形ABCD 内接于⊙22:2O x y +=，M 、N分别为边AB 、BC 的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM ON ⋅的取值范围是（ ）A 、[1,1]-B 、[C、[2,2]- D 、[22- 分析：OM ON ⊥ 且长度为1，可设,cos (αM )cos ,sin (αα-N ，然后用坐标求解.也可以-=，答案选C . 三、解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A BC D -底面ABCD 直角梯形，AB ∥CD ，90BAD ∠=︒，P 是棱CD 上一点，2AB =，AD =13AA =，3CP =，1PD =.（1）求异面直线1A P 与1BC 所成的角； （2）求证：PB ⊥平面11BCC B .解：（1）以D 原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则10,3)A ，(0,1,0)P ，20B ，），1(0,4,3)C .………………3分 PDCBA D 1C 1B 1A 1于是11,3)PA =-,1(2,3)BC =,1111cos PA BC PA BC θ⋅===⋅,20、（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足：()()112,4,13213nn n n n a a a n b a n λ+==+-=--+，其中λ为实数，n 为正整数. （1）对任意实数λ，求证：123,,a a a 不成等比数列； （2）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.解（1）证明：假设存在一个实数λ，使123,,a a a 是等比数列，则有2213a a a =,即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾.所以123,,a a a 不成等比数列.…………………………6分（2）因为()()()111121312112143n n n n n b a n a n ++++⎛⎫=--++=--+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭y22(1)(321)33n n n a n b =--+=-……………………9分 又1(18)b λ=-+,所以当18λ=-，10n b b ==，(n 为正整数)，此时{}n b 不是等比数列：……11分当18λ≠-时，10b ≠，由上式可知0n b ≠，∴123n n b b +=-(n 为正整数) ，故当18λ≠-时，数列{}n b 是以()18λ-+为首项，－32为公比的等比数列.…………14分21、（本题满分14分）如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为1CA =km ，2DB =km ，AB 两端之间的距离为6km .（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D 的张角相等，试确定点P 的位置.（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确定点Q 的位置.AB C DQPDC BA解：（1）设PA x =，CPA α∠=，DPB β∠=. 依题意有1tan xα=，2tan 6xβ=-.……………………3分由tan tan αβ=，得126x x=-，解得2x =，故点P 应选在距A 点2km 处.…………6分（2）设PA x =，CQA α∠=，DQB β∠=. 依题意有1tan xα=，2tan 6xβ=-， 21266tan tan[()]tan()126216x x x CQD x x x xπαβαβ++-∠=-+=-+=-=-+-⋅-…………10分 令6t x =+，由06x <<，得612t <<，2261tan 7462187418x t CQD x x t t t t+∠===-+-++-， ………………12分747455663t t ≤+<+=，74118183t t ∴≤+-<，当7418180t t-≤+-<，所张的角为钝角，最大角当，即6x =时取得，故点Q 应选在距A6-km 处 (14)分22、（本题满分16分）阅读：应用上述解法，求解下列问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c=++的最小值；（2）已知10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数1812y x x=+-的最小值； （3）已知正数1a 、2a 、3,,n a a ，1231n a a a a ++++= ，求证：2222312122334112n n a a a a S a a a a a a a a =++++≥++++ .解（1）()1111113b a c a c by a b c a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫=++=++++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……………………………………2分而6ba c a c ba b a c bc +++++≥，当且仅当13a b c ===时取到等号，则9y ≥，即111y a b c=++的最小值为9.…………………………5分（2）()28281222121028212212212x x y x x x x x x x x-⎛⎫=+=+⋅+-=+⋅+⋅ ⎪---⎝⎭， ………………………………7分而10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，122288212x x x x-⋅+⋅≥=-， 当且仅当12228212x x x x -⋅=⋅-，即110,62x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取到等号，则18y ≥， 所以函数1812y x x=+-的最小值为18.……………………10分（3）()()()2221212231122312n n n a a a S a a a a a a a a a a a a ⎛⎫=+++++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭ ()()()()()22222221211223121211223112n nn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤=++++⋅++⋅+++⋅++⋅+⎢⎥++++⎣⎦()()()22221212231122221n n n a a a a a a a a a a a a ≥+++++++=+++=当且仅当121n a a a n==== 时取到等号，则12S ≥.………………16分23、（本题满分18分）已知函数2()5bf x ax x=++(常数,a b R ∈）满足(1)(1)14f f +-=.（1）求出a 的值，并就常数b 的不同取值讨论函数()f x 奇偶性； （2）若()f x在区间-∞（，上单调递减，求b 的最小值； （3）在（2）的条件下，当b 取最小值时，证明：()f x 恰有一个零点q 且存在递增的正整数数列{}n a ，使得31225na a a a q q q q =+++++ 成立.解：（1）由(1)(1)14f f +-=得5)(5)14a b a b +++-+=（，解得2a =. 从而2()25bf x x x=++，定义域为00-∞⋃+∞（，）（，）当0b =时，对于定义域内的任意x ，有2()()25f x f x x -==+，()f x 为偶函数……2分当0b ≠时，(1)(1)140f f +-=≠从而(1)(1)f f -≠，()f x 不是奇函数；(1)(1)20f f b --=-≠，()f x 不是偶函数，()f x ∴非奇非偶 (4)分（2）对于任意的12x x <<，总有12()()0f x f x ->恒成立，即2212122525b b x x x x ++-++（）（）>0，得1212122()0x x x x b x x -++>.…………6分12x x <<212x x >，122x x +<-，从而12122()2x x x x -+>.又12122()b x x x x >+，2b ∴≤-，b 的最小值等于2-.………………10分 （3）在（2）的条件下，22()25f x x x=-+.当0x <时，()0f x >恒成立，函数()f x 在0-∞（，）无零点.…………12分 当0x >时，对于任意的210x x >>，恒有212121121()()2()()0f x f x x x x x x x -=-++>， 即21()()f x f x >，所以函数()f x 在0∞（，+）上递增，又123()048f =-<，(1)50f =>，∴()f x 在114（，）是有一个零点q . 综上()f x 恰有一个零点q ，且1(,1)4q ∈……………………15分 22()250f q q q =-+=，得3251q q =-， 又473231n q q q q q q-=+++++- ，故473225n q q q q -=+++++ ，取32n a n =-…………………………18分。