高中数学 第三章 三角恒等变换阶段复习课课件 新人教A版必修4
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高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
明目标、知重点
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
高一数学人教A版必修4课件：第三章 三角恒等变换
理网络·明结构
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及
取到最值时x的值.
解 设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
＝右边. 2x
∴tan
32x－tan
2x＝cos
2sin x x＋cos
. 2x
理网络·明结构
跟踪训练 3 已知 cosπ4＋x＝35，1172π<x<74π，求sin12－x＋ta2nsxin2x的值.
解
sin
2x＋2sin2x sin ＝
2x＋2sinco2xscxos
x
1－tan x
1＋tan x
理网络·明结构
例 1 已知 α、β 为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求 cos β 的值. 解 ∵α 是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
理网络·明结构
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x－cos x＝t， 则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]， 又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2 ＝－t－122＋54.
脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
当 t＝12时，ymax＝54；
当 t＝－ 2时，ymin＝－ 2－1.
∴函数的值域为－
2－1，54.
理网络·明结构
跟踪训练2 求函数f(x)＝sin x＋cos x＋sin x·cos x，x∈R的最值及
取到最值时x的值.
解 设sin x＋cos x＝t，
则 t＝sin x＋cos x＝
＝右边. 2x
∴tan
32x－tan
2x＝cos
2sin x x＋cos
. 2x
理网络·明结构
跟踪训练 3 已知 cosπ4＋x＝35，1172π<x<74π，求sin12－x＋ta2nsxin2x的值.
解
sin
2x＋2sin2x sin ＝
2x＋2sinco2xscxos
x
1－tan x
1＋tan x
理网络·明结构
例 1 已知 α、β 为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求 cos β 的值. 解 ∵α 是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34. ∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝1t＋antαan－αttaannαα－－ββ＝193.
∵β 是锐角，故 cos β＝95010.
理网络·明结构
例2 求函数y＝sin x＋sin 2x－cos x(x∈R)的值域. 解 令sin x－cos x＝t， 则由 t＝ 2sinx－π4知 t∈[－ 2， 2]， 又sin 2x＝1－(sin x－cos x)2＝1－t2. ∴y＝(sin x－cos x)＋sin 2x＝t＋1－t2 ＝－t－122＋54.
脑会归纳、整理、编码、储存我们刚接收的信息。所以，睡前的这段时间可是 非常宝贵的，不要全部用来玩手机哦~
人教A版高中数学高一必修4课件第三章三角恒等变换
章末复习提升
17
跟踪演练 2 已知 sinπ4＋αsinπ4－α＝61，α∈π2，π， 求1＋sinco4sα2α的值. 解 ∵sinπ4＋αsinπ4－α＝16， ∴sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，sinπ2＋2α＝13，
章末复习提升
18
即 cos 2α＝31.
又 α∈π2，π，2α∈(π，2π)，
∴sin 2α＝－ 1－cos22α＝－
1－132＝－2
3
2 .
章末复习提升
19
∴1＋sinco4sα2α＝2sin12＋α·ccooss 1＋ 2
22αα＝2×1－＋213＋2213×13
＝－4152.
章末复习提升
20
题型三 三角恒等式的证明 三角恒等式的证明主要是利用sin2α＋cos2α＝1， sin α ＝
∴|ka＋b|2＝|a－kb|2.
∴2kcos(α－β)＝－2kcos(α－β).
∵k≠0，∴cos(α－β)＝0.
∴cos(β－α)＝0.
又∵0<α<β<π，
∴β－α＝π2.
章末复习提升
31
跟踪演练 4 设函数 f(x)＝a·b，其中向量 a＝(2cos x,1)，
b＝(cos x， 3sin 2x).若 f(x)＝1－ 3，且 x∈－π3，π3，求 x. 解 由题设 f(x)＝2cos2 x＋ 3sin 2x ＝1＋cos 2x＋ 3sin 2x＝2sin2x＋6π＋1. 若 f(x)＝1－ 3，则 2sin2x＋π6＝－ 3，
章末复习提升
32
即
sin2x＋6π＝－
3 2.
∵x∈－π3，π3，
∴2x＋π6∈－π2，56π.
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
第十三页，共31页。
例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
第七页，共31页。
探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
第八页，共31页。
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
第二十一页，共31页。
1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关
高中数学第三章三角恒等变换313二倍角的正弦余弦正切公式课件新人教A版必修4(2)
2sin 100° 2sin 80°
21
给值求值、求角问题
[探究问题]
1．公式的变形应用是打开解题突破口的关键，二倍角公式有哪
些主要变形？
提示：主要变形有：
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，
1＋cos
2α＝2cos2α，cos2α＝1＋c2os
业
疑
难
返 首 页
18
对于给角求值问题 一般有两类： 1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数 的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. 2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍 角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角 公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
35
.
二倍角的正弦
36
(1)－tan 2θ
[原式＝ttaann
θ－1＋tan θ＋1tan
θθ－＋11＝ta2nt2aθn－θ1＝－1－2tatnanθ2θ
＝－tan 2θ.]
37
3sin 12°－3cos 12°
(2)证明：左边＝2sin
cos 12° 12°2cos212°－1
2 ＝
312sin
∴π4－x∈0，π4，cosπ4－x＝1123，
cocsosπ4＋2xx＝
cos2x－sin2x 22cos x－sin x
＝ 2(cos x＋sin x)＝2cosπ4－x
＝2143.
29
1．若本例(2)中的条件不变，则sisninπ4＋2xx的值是什么？
30
[解]
sinπ4－x＝
2 2 cos
21
给值求值、求角问题
[探究问题]
1．公式的变形应用是打开解题突破口的关键，二倍角公式有哪
些主要变形？
提示：主要变形有：
1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，
1＋cos
2α＝2cos2α，cos2α＝1＋c2os
业
疑
难
返 首 页
18
对于给角求值问题 一般有两类： 1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数 的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. 2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍 角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角 公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
35
.
二倍角的正弦
36
(1)－tan 2θ
[原式＝ttaann
θ－1＋tan θ＋1tan
θθ－＋11＝ta2nt2aθn－θ1＝－1－2tatnanθ2θ
＝－tan 2θ.]
37
3sin 12°－3cos 12°
(2)证明：左边＝2sin
cos 12° 12°2cos212°－1
2 ＝
312sin
∴π4－x∈0，π4，cosπ4－x＝1123，
cocsosπ4＋2xx＝
cos2x－sin2x 22cos x－sin x
＝ 2(cos x＋sin x)＝2cosπ4－x
＝2143.
29
1．若本例(2)中的条件不变，则sisninπ4＋2xx的值是什么？
30
[解]
sinπ4－x＝
2 2 cos
高中数学第三章三角恒等变换课件a必修4a高一必修4数学课件
12/13/2021
变换是数学的重要工具，同时也是高中数学学习的主要 对象之一，其中代数变换初中我们已经学习过，与代数变换一 样，三角变换也是一种只变其形，不改变其本质的变换．这一 章将学习三角恒等变换．
本章包括如下内容：(1)两角和与差的正弦、余弦、正 切公式；(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式；(3)能运用上述 公式进行简单的恒等变形．
12/13/2021
学习本章，注意以下四个方面： (1)熟练掌握公式的正用，逆用，灵活应用． (2)注意三角函数与平面向量的交叉． (3)注重与第一章知识的综合． (4)掌握三角恒等变换的常用技巧.
12/13/2021
12/13/2021
变换是数学的重要工具，同时也是高中数学学习的主要 对象之一，其中代数变换初中我们已经学习过，与代数变换一 样，三角变换也是一种只变其形，不改变其本质的变换．这一 章将学习三角恒等变换．
本章包括如下内容：(1)两角和与差的正弦、余弦、正 切公式；(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式；(3)能运用上述 公式进行简单的恒等变形．
12/13/2021
学习本章，注意以下四个方面： (1)熟练掌握公式的正用，逆用，灵活应用． (2)注意三角函数与平面向量的交叉． (3)注重与第一章知识的综合． (4)掌握三角恒等变换的常用技巧.
12/13/2021
12/13/2021
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
∴T＝2ωπ＝2π，值域[－2,2].
由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ 得，递增区间[－π3＋2kπ，23π＋2kπ]，k∈Z.
解析答案
类型三 公式的变形应用 例 3 已知 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求ttaann αβ的值.
解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.
123 45
解析答案
2.化简 2cos x－ 6sin x 等于( D )
A.2 2sinπ6＋x
B.2 2cosπ6－x
C.2 2sinπ3－x
D.2 2cosπ3＋x
解析
2cos x－
6sin x＝2
212cos
x－
3 2 sin
123 45
解析答案
123 45
5.已知
α，β
9
均为锐角，且
sin
α＝35，tan(α－β)＝－13，则
sin(α－β)＝
－
10 10
，
cos β＝
50
10
.
解析 ∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，
∴－π2<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－ 1100，cos(α－β)＝31010.
达标检测
1.sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( B )
A.－
3 2
B.－12
1
3
C.2
D. 2
解析 原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°
高中数学第3章三角恒等变换章末整合课件新人教A版必修4
31
因 为 图 象 的 一个 对 称 中心 到 最 近的 对 称 轴的 距离 为 π4 ， 又 ω>0，所以22ωπ ＝4×π4＝T.
因此 ω＝1.
2021/4/17
高中数学第3章三角恒等变换章末整合课件新人教A版必修4
32
(2)由(1)知 f(x)＝－sin2x－π3. 当 π≤x≤32π时，53π≤2x－π3≤83π.
2021/4/17
高中数学第3章三角恒等变换章末整合课件新人教A版必修4
34
(2)sin(2A＋2B)＝－sin2C， cos(2A＋2B)＝cos2C， tan(2A＋2B)＝－tan2C； (3)sinA＋2 B＝cosC2， cosA＋2 B＝sinC2，
26
[解] (1)∵f(x)＝sin2x＋ 3cos2x＝2sinx2＋3π， ∴f(x)的最小正周期 T＝21π＝4π.
2
当 sinx2＋3π＝－1 时，f(x)取得最小值－2； 当 sinx2＋3π＝1 时，f(x)取得最大值 2.
2021/4/17
高中数学第3章三角恒等变换章末整合课件新人教A版必修4
2021/4/17
高中数学第3章三角恒等变换章末整合课件新人教A版必修4
16
2021/4/17
高中数学第3章三角恒等变换章末整合课件新人教A版必修4
17
＝2[sin45°＋5°＋sin45°－5°] 2cos5°
＝2sin45°cos5°＋cos45°sin5°＋sin45°cos5°－cos45°sin5° 2cos5°
9
利用两角和差的正弦、余弦、正切公式即可求解．
2021/4/17
高中数学第3章三角恒等变换章末整合课件新人教A版必修4