【中考数学压轴题专题突破48】综合实践与创新问题(4)
新定义创新型综合压轴问题
2023中考数学重难题型押题培优导练案（北京专用）专题01新定义创新型综合压轴问题（北京13-22年最后一题+真题10道模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢新定义＂型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂;（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。
北京中考最后一题的新定义主要涉及函数与圆的有关新定义问题，属于函数的范畴，已经考过“对应点”、“关联线段”、“平移距离”“闭距离”、“相关矩形”、“反称点”、“有界函数”、“关联点”等新定义。
在平时的教学过程中要从细节中挖掘出数学的本质特征，引领学生找到解决问题的思想方法. 解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决．【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分【例1】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点P(―2,0),点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；OM;②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t(1<t<1)，若P为⊙O外一点，点Q为2点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）【例2】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′,C′分别是B,C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A,B1,C1,B2,C2,B3,C3的横､纵坐标都是整数．在线段B1C1,B2C2,B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是______________；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t)，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB=1,AC=2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′,B′分别为点A，B的对应点），线段A A′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是；在点P1,P2,P3,P4中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；+AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（2）若点A，B都在直线y（3）若点A的坐标为2,AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．2（2019·北京·中考真题）在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果DE上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称DE为△ABC的中内弧．例如，下图中DE是△ABC的一条中内弧．D，E分别是AB，AC的中点．画出△ABC的最长的中内弧（1）如图，在Rt△ABC中，AB=AC=DE，并直接写出此时DE的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(0,0)，C(4t,0)(t>0)，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．①若t=1，求△ABC的中内弧DE所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；2②若在△ABC中存在一条中内弧DE，使得DE所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．3．（2018·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d（M，N）．已知点A（―2，6），B（―2，―2），C（6，―2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（―1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G，若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．4.（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P,P P中，⊙O的关联点是_______________．②点P在直线y=-x上，若P为⊙O 的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在x轴上，半径为2，直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．5．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．下图为点P，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0）．①若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3）．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．6．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．，0），T（1O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；①分别判断点M（2，1），N（3②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．7．（2014·北京·中考真题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足―M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．(x>0)和y=x+1(―4<x≤2)是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（1）分别判断函数y=1x（2）若函数y=―x+1(a⩽x⩽b,b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2(―1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么≤t≤1？范围时，满足348．（2013·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点．已知点D（，），E（0，－2），F（，0）（1）当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的关联点是；②过点F作直线交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题1．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，AB=1，且A，B两点中至少有一点在⊙O外．给出如下定义：平移线段AB，得到线段A′B′（A′，B′分别为点A，B的对应点），若线段A′B′上所有的点都在⊙O的内部或⊙O上，则线段A A′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．(1)如图1，点A1，B1的坐标分别为（－3，0），（－2，0），线段A1B1到⊙O的“平移距离”为___，点A2，B2的坐标分别为（－12，，（12，，线段A 2B 2到⊙O 的“平移距离”为___；(2)若点A ，B 都在直线y =+AB 到⊙O 的“平移距离”为d ，求d 的最小值；(3)如图2，若点A 坐标为（1，线段AB 到⊙O 的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B 形成的图形（不需证明）．2．（2022·北京北京·二模）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于线段PQ 给出如下定义：若线段PQ 与⊙O 有两个交点M ，N ，且PM =MN =NQ ，则称线段PQ 是⊙O 的“倍弦线”．(1)如图，点A ，B ，C ，D 的横、纵坐标都是整数．在线段AB ，AD ，CB ，CD 中，⊙O 的“倍弦线”是_____________；(2)⊙O 的“倍弦线”PQ 与直线x =2交于点E ，求点E 纵坐标y E 的取值范围；(3)若⊙O 的“倍弦线”PQ 过点(1,0)，直线y =x +b 与线段PQ 有公共点，直接写出b 的取值范围．3．（2022·北京大兴·二模）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和直线y =1，给出如下定义：若点P 在直线y =1上，且以点P 为顶点的角是45°，则称点P 为直线y =1的“关联点”．(1)若在直线x =1上存在直线y =1的“关联点”P ．则点P 的坐标为_____；(2)过点P(2,1)作两条射线，一条射线垂直于x轴，垂足为A；另一条射线、交x轴于点B，若点P为直线y=1的“关联点”．求点B的坐标；(3)以点O为圆心，1为半径作圆，若在⊙O上存在点N，使得∠OPN的顶点P为直线y=1的“关联点”．则点P的横坐标a的取值范围是________．4．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形G及过定点P(3,0)的直线l，有如下定义：过图形G上任意一点Q作QH⊥l于点H，若QH+PH有最大值，那么称这个最大值为图形G关于直线l的最佳射影距离，记作d(G,l)，此时点Q称为图形G关于直线l的最佳射影点．(1)如图1，已知A(2,2)，B(3,3)，写出线段AB关于x轴的最佳射影距离d(AB,x轴)=____________；(2)已知点C(3,2)，⊙CC关于x轴的最佳射影距离d（⊙C，x轴），并写出此时⊙C关于x轴的最佳射影点Q的坐标；(3)直接写出点关于直线l的最佳射影距离d(点D,l)的最大值．5．（2022·北京·清华附中一模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．(1)如图1，已知点A(0,3)，B(2,3)；①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______，最大值是______；②在P,0，P2(1,4)，P3(―3,0)这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是______．(2)如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点E(x,2)在第一象限，且点D与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；(3)如图3，已知点H(―3,0)，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点C(a,b)（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC=5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．6．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P 为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．(1)当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是 ；(2)当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求CP的值．OQ7．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”；如果线段OP与图形W有公共点，则称点P为关于图形W的“阴影点”．(1)如图1，已知点A （1，3），B （1，1），连接AB ．①在P 1（1，4），P 2（1，2），P 3（2，3），P 4（2，1）这四个点中，关于线段AB 的“阳光点”是 ；②线段A 1B 1∥AB ，A 1B 1上的所有点都是关于线段AB 的“阴影点”，且当线段A 1B 1向上或向下平移时，都会有A 1B 1上的点成为关于线段AB 的“阳光点”，若，A 1B 1的长为4，且点A 1在B 1的上方，则点A 1的坐标为 ．(2)如图2，已知点C （1，⊙C 与y 轴相切于点D ，若⊙E 的半径为32 ，圆心E 在直线l ：y =―+4E 的所有点都是关于⊙C 的“阴影点”，求点E 的横坐标的取值范围；(3)如图3，⊙M 的半径为3，点M 到原点的距离为5，点N 是⊙M 上到原点距离最近的点，点Q 和T 是坐标平面的两个动点，且⊙M 上的所有点都是关于△NQT 的“阴影点”直接写出△NQT 的周长的最小值．8．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）定义：P 、Q 分别是两条线段a 和b 上任意一点，线段PQ 长度的最小值叫做线段a 与线段b 的“冰雪距离”，已知O （0，0），A （1，B （m ，n ），C （m ，n +2）是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：n1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是 ；①当m＝②当m＝(2)如图2，若点B落在圆心为An≥BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”BC的中点为M．直接写出点M随线段BC运动所走过的路径长．9．（2022·北京市师达中学模拟预测）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．(1)分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B和⊙C，其中是∠EOF 的角内圆的是；(2)如果以点D（t，2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y=x有公共点，求t的取值范围；(3)点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点P（2，EMO的角内相切圆，直接写出∠EOM的取值范围．10．（2021·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．，M2，M3(2,3)中，对线段ON的可视度为60º的点是（1）已知点N（2，0），在点M______．（2）如图2，已知点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为______°；②已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．11．（2022·北京四中模拟预测）在平面内，对点组A1，A2，...，An和点P给出如下定义：点P与点A1，A2，...，An的距离分别记作d1，d2，...，dn，数组d1，d2，...，dn的中位数称为点P对点组A1，A2，...，An 的中位距离．例如，对点组A1（0，0），A2（0，3），A3（4，1）和点P（4，3），有d1＝5，d2＝4，d3＝2，故点P对点组A1，A2，A3的中位距离为4．(1)设Z1（0，0），Z2（4，0），Z3（0，4），Y（0，3），直接写出点Y对点组Z1，Z2，Z3的中位距离；(2)设C1（0，0），C2（8，0），C3（6，6），则点Q1（7，3），Q2（3，3），Q3（4，0），Q4（4，2）中，对点组C1，C2，C3的中位距离最小的点是 ，该点对点组C1，C2，C3的中位距离为 ；(3)设M（1，0），，T1（t，0），T2（t+2，0），T3（t，2），若线段MN上任意一点对点组T1，T2，T3的中位距离都不超过2，直接写出实数t的取值范围．12．（2020·北京·人大附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于平面中的点P，Q和图形M，若图形M上存在一点C，使∠PQC=90°，则称点Q为点P关于图形M的“折转点”，称△PCQ为点P关于图形M的“折转三角形”（1）已知点A(4,0)，B(2,0)①在点Q1(2,2)，Q2(1,―，Q3(4,―1)中，点O关于点A的“折转点”是______；②点D在直线y=―x上，若点D是点O关于线段AB的“折转点”，求点D的横坐标x D的取值范围；（2）⊙T的圆心为(t,0)，半径为3，直线y=x+2与x，y轴分别交于E，F两点，点P为⊙T上一点，若线段EF上存在点P关于⊙T的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围．13．（2020·北京市陈经纶中学分校三模）平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W是“中心轴对称”的对于图形W 1和图形W 2，若图形W 1和图形W 2分别存在点M 和点N （点M ，N 可以重合），使得点M 与点N 关于一条经过原点的直线l 对称，则称图形W 1和图形W 2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M 和点N ，若存在一条经过原点的直线l ，使得点M 与点N 关于直线l 对称，则称点M 和点N 是“中心轴对称”的．（1）如图1，在正方形ABCD 中，点A(1,0)，点C(2,1)，①下列四个点P 1(0,1)，P 2(2,2)，P 3―12,0，P 4―12,A 是“中心轴对称”的是________；②点E 在射线OB 上，若点E 与正方形ABC D 是“中心轴对称”的，求点E 的横坐标x E 的取值范围;（2）四边形GHJK 的四个顶点的坐标分别为G(―2,2)，H(2,2)，J(2,―2)，K(―2,―2),一次函数y =x +b 图象与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段与四边形GHJK 是“中心轴对称”的，直接写出b 的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy 中的图形G 和点Q ，给出如下定义：将图形G 绕点Q 顺时针旋转90°得到图形N ，图形N 称为图形G 关于点Q 的“垂直图形”，例如，图1中线段OD 为线段OC 关于点O 的“垂直图形”．(1)线段MN关于点M(1,1)的“垂直图形”为线段MP．①若点N的坐标为(1,2)，则点P的坐标为__________；②若点P的坐标为(4,1)，则点N的坐标为__________；(2)E(―3,3),F(―2,3),H(a,0)．线段EF关于点H的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点的对应点为F′．①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的E E′的长度的最大值．15．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B为⊙O上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p=0），最大值为q，A与⊙O的“关联距离”，记作d（A，⊙O）(1)如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数①d（D，⊙O）＝__________；②若点M在线段EF上，求d（M，⊙O）的取值范围；(2)若点N在直线y=+d（N，⊙O）的取值范围；(3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙O）的最小值为1直接写出m的最小值和最大值．16．（2022·北京平谷·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d(P,Q)．已知点A(―2,2)，B(2,2)，连接AB．(1)d（点O，AB）＝；(2)⊙O半径为r，若d(⊙O,AB)=0，直接写出r的取值范围；(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°(0°<α<180°)，得到点A′．①当α=30°时d(⊙O,A′)=0，求出此时r的值；②对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A′)=0，直接写出r的范围．17．（2022·北京密云·二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P(2,3)与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．(1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．②点M(m,0)为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．(2)已知一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．18．（2022·北京门头沟·二模）我们规定：如图，点H在直线MN上，点P和点P′均在直线MN的上方，如果HP=H P′，∠PHM=∠P′HN，点P′就是点P关于直线MN的“反射点”，其中点H为“V点”，射线HP与射线H P′组成的图形为“V形”．在平面直角坐标系xOy中，(1)如果点P(0,3) ，H(1.5,0)，那么点P关于x轴的反射点P′的坐标为；(2)已知点A(0,a) ，过点A作平行于x轴的直线l．①如果点B(5,3) 关于直线l的反射点B′和“V点”都在直线y=―x+4上，求点B′的坐标和a的值；②⊙W是以(3,2) 为圆心，1为半径的圆，如果某点关于直线l的反射点和“V点”都在直线y=―x+4上，且形成的“V形”恰好与⊙W有且只有两个交点，求a的取值范围．19．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C1(0,4)，C2(1,4)，C3(2,―1)中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线y=―x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2,1)为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；(3)已知直线y=x+d(d>0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O的“友好点”，直接写出d的取值范围．20．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点R和线段PQ，给出如下定义：M为线段PQ 上任意一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ的长，则称点R为线段PQ的“等距点”．(1)已知点A(5,0)．①在点B1(―3,4)，B2(1,5)，B3(4,―3)，B4(3,6)中，线段OA的“等距点”是______；②若点C在直线y=2x+5上，并且点C是线段OA的“等距点”，求点C的坐标；(2)已知点D(1,0)，点E(0,―1)，图形W是以点T(t,0)为圆心，1为半径的⊙T位于x轴及x轴上方的部分．若图形W上存在线段DE的“等距点”，直接写出t的取值范围．21．（2022·北京市十一学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意一点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)已知，点A(―，B．①原点O到线段AB上一点的最大距离为_______，最小距离为_______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为4，求m的取值范围；(2)已知OM=7，等边△DEF的三个顶点均在半径为3的⊙M上．求△DEF的“全距”d的取值范围．22．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M、N可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系(1)如图1，点―1),E(0,1)，点P在线段CE上运动（点P可以与点C，E重合），连接OP,DP．①线段OP的最小值为__________，最大值为__________；线段DP的取值范围是__________；②在点O，点D中，点__________与线段EC满足限距关系；(2)在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．23．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于△ABC和直线l给出如下定义：若△ABC的一条边关于直线l的对称线段PQ是⊙O的弦，则称△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，直线l是“关联轴”．(1)如图1，若△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，请画出△ABC与⊙O的“关联轴”（至少画两条）；(2)若△ABC中，点A坐标为(2,3)，点B坐标为(4,1)，点C在直线y=―x+3的图像上，存在“关联轴l”使△ABC 是⊙O的关联三角形，求点C横坐标的取值范围；(3)已知，将点A向上平移2个单位得到点M，以M为圆心MA为半径画圆，B，C为⊙M上的两点，且AB=2（点B在点A右侧），若△ABC与⊙O的关联轴至少有两条，直接写出OC的最小值和最大值，以及OC 最大时AC的长．24．（2022·北京市十一学校二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．(1)已知点A（6，8），在点Q1(5,0)，Q2(―2,4)，Q3(9,5)中，________是点A的“直角点”；(2)已知点B（-4，4），C（3，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；(3)在（2）的条件下，已知点D（m-1，0），E（m，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，求m的取值范围．25．（2022·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意―点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)如图，点A(―，．①原点O到线段AB上一点的最大距离为______，最小距离为______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为1，求m的取值范围；(2)已知OM＝2，等边△DEF的三个顶点均在半径为1的⊙M上．请直接写出△DEF的“全距”d的取值范围．26．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．(1)已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；(2)如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，直接写出m的取值范围；(3)已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．27．（2022·北京一七一中一模）已知平面直角坐标系xOy中，对于线段MN及P、Q，若∠MPN=45°且线段MN关于点P的中心对称线段M′N′恰好经过点Q，则称Q是点P的线段MN―45°对经点.(1)设点A(0,2)，(4,0)，Q2(2,2)，Q3(2+，其中为某点P的线段OA―45°对经点的是___________.①Q②选出①中一个符合题意的点Q，则此时所对应的对称中心P的坐标为.③已知B(0,1)，设⊙B的半径是r，若⊙B上存在某点P的线段OA―45°对经点，求r的取值范围.(2)已知C(0,t)，D(0,―t)(t>0)，若点Q(4,0)同时是相异两点P1，P2的线段CD―45°对经点，直接写出t的取值范围.28．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，已知点A，过点A作直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与⊙O有两个交点时，则称MN是⊙O的“双关联直线”，与⊙O有一个交点P时，则称MN是⊙O的“单关联直线”，AP是⊙O的“单关联线段”．(1)如图1，A(0,4)，当MN与y轴重合时，设MN与⊙O交于C，D两点．则MN是⊙O的“______关联直的值为______；线”（填“双”或“单”）；ACAD(2)如图2，点A为直线y=―3x+4上一动点，AP是⊙O的“单关联线段”．①求OA的最小值；②直接写出△APO面积的最小值．29．（2022·北京市燕山教研中心一模）对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR 使得S△PQR=PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ的“等幂点”．(1)已知A(2,0)．①在点P1(2,4),P2(1,2),P3(―4,1),P4(1,―4)中，线段OA的“等幂点”是____________；②若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；(2)已知点C的坐标为C(2,―1)，点D在直线y=x―3上，记图形M为以点T(1,0)为圆心，2为半径的⊙T 位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”△CDE为锐角三角形，直接写出点D的横坐标x D的取值范围．30．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们就称点P为⊙O的友好点．(1)如图1，若r为1．①已知点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好点的是 ；②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围；(2)已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，求r取值范围．。
【中考压轴题专项练习】最新中考数学压轴大题冲刺专项训练：《综合探究类 》含答案与解析
中考数学压轴大题冲刺专项训练综合探究类1．综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究．下面是创新小组在操作过程中研究的问题，如图一，△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．操作与发现：（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是，CF= ；（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是，CF= ．操作与探究：（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF，BF．经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C为格点，D为小正方形边的中点.（1）AC的长等于_________；取得最小值时，请在如图所示的网格中，用（2）点P，Q分别为线段BC，AC上的动点，当PD PQPQ，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（不要求证明）.无刻度．．．的直尺，画出线段PD，3．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．4．综合与探究（实践操作）三角尺中的数学数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．（问题发现）（1）①填空：如图1，若∠ACB＝145°，则∠ACE的度数是，∠DCB的度数，∠ECD的度数是．②如图1，你发现∠ACE与∠DCB的大小有何关系？∠ACB与∠ECD的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．（类比探究）（2）如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．5．操作：将一把三角尺放在如图①的正方形ABCD中，使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ，探究：(1)如图②，当点Q 在DC 上时，求证：PQ PB =.(2)如图③，当点Q 在DC 延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由.6．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，C F '交DE 于点N ，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA D '的形状是_____________________；（2）如图2，线段MC '与ME 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由； （3）如图2，若2cm,'4cm AC DC '==，求:DN EN 的值． 7．综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验． 实践发现：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点N 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，把纸片展平，连接AN ，如图①．（1）折痕BM （填“是”或“不是”）线段AN 的垂直平分线；请判断图中△ABN 是什么特殊三角形？答： ；进一步计算出∠MNE ＝ °；（2）继续折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点H 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，把纸片展平，如图②，则∠GBN ＝ °； 拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD ，使点A 落在BC 边上的点A '处，并且折痕交BC 边于点T ，交AD 边于点S ，把纸片展平，连接AA '交ST 于点O ，连接AT ． 求证：四边形SATA '是菱形． 解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD 中，AB ＝10，AD ＝26，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A '处，并且折痕交AB 边于点T ，交AD 边于点S ，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT 的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值 ． 8．综合与实践 问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，ACD 和BCE 是两个等边三角形纸片，其中，52AC cm BC cm ==,．解决问题（1）勤奋小组将ACD 和BCE 按图1所示的方式摆放(点,,A C B 在同一条直线上) ，连接,AE BD ．发现AE DB ，请你给予证明；（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将BCE 绕着点C 逆时针方向旋转，当点E 恰好落在CD 边上时，求ABC 的面积；拓展延伸（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题： “将BCE 沿CD 方向平移acm 得到''',B C E 连接''AB B C ,，当'AB C △恰好是以'AB 为斜边的直角三角形时，求a 的值．请你直接写出a 的值．9．动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ 等字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与： （1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；（2）图3中，点画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板， 并填上标号； （3）在图4中，找出7块塑料板，并填上标号．10．已知：如图1，在O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点E ．（1）求E ∠的度数；（2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）． ①如图2，弦AB 与弦CD 交于点F ； ②如图3，弦AB 与弦CD 不相交： ③如图4，点B 与点C 重合．11．综合与实践：折纸中的数学 问题背景在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD 按如图①所示方式折叠，使点C 与点A 重合，点D 落到D ′处，折痕为EF ．这时同学们很快证得：△AEF 是等腰三角形．接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题． 操作发现(1) “争先”小组将矩形纸片ABCD 按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△AEF 恰好是等边三角形，求矩形ABCD 的长、宽之比是多少？ 实践探究(2)“励志”小组将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，如图③，使B 点落在AD 边上的B ′处；沿B ′G 折叠，使D 点落在D ′处，且B ′D ′过F 点．试探究四边形EFGB ′是什么特殊四边形？ (3)再探究：在图③中连接BB ′，试判断并证明△BB ′G 的形状．12．综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，在△ABC中，AB ＝AC＝10cm，BC＝16cm．将△ABC沿BC边上的中线AD剪开，得到△ABD和△ACD．操作发现：（1）乐学小组将图1中的△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得A'C'⊥AD，得到图2，A'C'与AB交于点E，则四边形BEC'D的形状是．（2）缜密小组将图1中的△ACD沿DB方向平移，A'D'与AB交于点M，A'C'与AD交于点N，得到图3，判断四边形MNDD'的形状，并说明理由．实践探究：（3）缜密小组又发现，当（2）中线段DD'的长为acm时，图3中的四边形MNDD'会成为正方形，求a的值．（4）创新小组又把图1中的△ACD放到如图4所示的位置，点A的对应点A'与点D重合，点D的对应点D'在BD的延长线上，再将△A'C'D'绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，DD'交AB于点P，DC'交AB于点Q，DP＝DQ，此时线段AP的长是cm．参考答案与试题解析1．综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究．下面是创新小组在操作过程中研究的问题，如图一，△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．操作与发现：（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是，CF= ；（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是，CF= ．操作与探究：（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF，BF．经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．【解析】（1）如图所示：△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，∴60,2∠=∠=︒==，ABC FED BC EF∴90∠=∠=∠=︒，∴四边形ACBF是矩形，AB=4∴，C F FAC∴AB=CF=4；故答案为：矩形，4 ；（2）如图所示：△ABC ≌△DEF ， 其中∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==，∴//BC EF ，∴四边形ECBF 是平行四边形，点E 与AB 的中点重合，∴CE=BE ，∴CBE △是等边三角形，∴EC=BC ，∴四边形ECBF 是菱形，∴CF 与EB 互相垂直且平分， ∴33OC EC ==，∴23CF =， 故答案为：菱形，23； （3）证明：如图所示：∵90,3060C A ABC ∠=︒∠=︒∴∠=︒ ∵//,DE BC DEF ABC ≌ ∴60DEB DEF ABC ∠=∠=∠=︒ ∴60AEF ∠=︒∵24,2AB BC AE ==∴= ∵2EF BC AE EF ==∴= ∴AEF ∆为等边三角形 ∴60FAE ABC ∠=︒=∠∴//BC AF ∵AE EF BC ==∴四边形ACBF 为平行四边形 ∵90C ∠=︒∴四边形ACBF 为矩形．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A ，B ，C 为格点，D 为小正方形边的中点.（1）AC 的长等于_________；（2）点P ，Q 分别为线段BC ，AC 上的动点，当PD PQ +取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出线段PD ，PQ ，并简要说明点P 和点Q 的位置是如何找到的（不要求证明）. 【解析】解：（1）由图可得： 22345+=， 故答案为：5；（2）如图，BC 与网格线相交，得点P ；取格点E ，F ，连接EF ，与网格线相交，得点G ，取格点M ，N ，连接MN ，与网格线相交，得点H ，连接GH ，与AC 相交，得点Q .连接PD ，PQ .线段PD ，PQ即为所求.如图，延长DP ，交网格线于点T ，连接AB ，GH 与DP 交于点S ， 由计算可得：20，5AC=5， ∴△ABC 为直角三角形，∠ABC=90°， ∴tan ∠ACB=2， ∵tan ∠BCT=PT ：TC=2，∴∠ACB=∠BCT ，即BC 平分∠ACT ， 根据画图可知：GH ∥BC ，∴∠ACB=∠CQH ，∠BCT=∠GHC ， ∵∠BCT=∠BCA ，∴∠CQH=∠GHC，∴CQ=CH，由题意可得：BS=CH，∴BS=CQ，又∵BP=CP，∠PBS=∠PCQ，∴△BPS≌△CPQ，∴∠PSB=∠PHC=90°，即PQ⊥AC，∴PD+PQ的最小值即为PD+PT，∴所画图形符合要求.3．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．【解析】（1）解：如图3所示，图形的面积表示为：2222122a b ab a b ab ++⨯=++， 图形的面积也可表示：22122c ab c ab +⨯=+， ∴a 2+b 2+ab =c 2+ab ，∴a 2+b 2=c 2（2）解：如图4所示，大正方形的面积表示为：(a +b )2，大正方形的面积也可以表示为：221422c ab c ab +⨯=+， ∴22()2a b c ab +=+，∴a 2+b 2+2ab =c 2+2ab ，∴a 2+b 2=c 2；4．综合与探究（实践操作）三角尺中的数学数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C ．（问题发现）（1）①填空：如图1，若∠ACB ＝145°，则∠ACE 的度数是 ，∠DCB 的度数 ，∠ECD 的度数是 ．②如图1，你发现∠ACE 与∠DCB 的大小有何关系？∠ACB 与∠ECD 的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．（类比探究）（2）如图2，当△ACD 与△BCE 没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．【解析】解：（1）①1459055ACE DCB ∠=∠︒︒︒=﹣=，905535ECD BCE BCD ∠∠-∠︒︒=︒==﹣；②结论：ACE DCB ∠=∠，180ACB ECD ∠+∠︒=；证明：∵90ACE ACB BCE ACB ∠=∠-∠=∠-︒，90DCB ACB ACD ACB ∠=∠-∠=∠-︒ ∴ACE DCB ∠=∠∵9090180ACB ACD BCE ECD ECD ECD ∠=∠+∠-∠=︒+︒-∠=︒-∠∴180ACB ECD ∠+∠︒=（2）结论：当ACD 与BCE 没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立．理由：∵90ACD ECB ∠=∠=︒，∴ACD DCE ECB DCE ∠+∠=∠+∠，∴ACE DCB ∠=∠，∵90ACD ECB ∠=∠=︒，∴180ACD ECB ∠+∠︒=，∵360ACD ECD ECB ACB ∠+∠+∠+∠︒=，∴180ACB ECD ∠+∠︒=，∴ACE DCB ∠=∠，180ACB ECD ∠+∠︒=．∴上述②中发现的结论依然成立．故答案为：（1）①55°， 55°， 35°；②∠ACE ＝∠DCB ，∠ACB +∠ECD ＝180°；（2）当△ACD 与△BCE 没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立，理由详见解析5．操作：将一把三角尺放在如图①的正方形ABCD中，使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，探究：=.(1)如图②，当点Q在DC上时，求证：PQ PB(2)如图③，当点Q在DC延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由.MN，分别交AB于点M，交CD于点N，【解析】(1)证明：过点P作//BC则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形．∴NP=NC=MB∵∠BPQ=90°∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90°，∴∠QPN=∠PBM，又∠QNP=∠PMB=90°，在△QNP和△BMP中，∠QNP=∠PMB，MB=NP，∠QPN=∠PBM∴△QNP≌△PMB（ASA），∴PQ=BP．(2)成立.⊥于N,PN交CD于点M过点P作PN AB在正方形ABCD 中//AB CD ,45ACD ∠=∴90PMQ PNB CBN ∠=∠=∠=∴CBNM 是矩形，∴CM BN =，∴CMP ∆是等腰直角三角形，∴PM CM BN ==，∵90PBN BPN ∠+∠=，90BPN MPQ ∠+∠=∴MPQ PBN ∠=∠，在PMQ ∆和BNP ∆中，90MPQ PBN PNB PMQ BN PM ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴()PMQ BNP AAS ∆≅∆，∴BP QP =；6．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，C F '交DE 于点N ，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA D '的形状是_____________________；（2）如图2，线段MC '与ME 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若2cm,'4cm AC DC '==，求:DN EN 的值．【解析】（1）解：∵ABCD 是平行四边形，∴'////AD BC EA ，'//AE DA∴四边形'AEA D 是平行四边形∵矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处∴'AED A ED ≌∴'AE A E =∵90A ∠=∴四边形AEA D '的形状是正方形故最后答案为：四边形AEA D '的形状是正方形；（2）MC ME '=理由如下：如图，连接EC '，由（1）知：AD AE =∵四边形ABCD 是矩形，∴90AD BC EAC B '=∠=∠=︒，由折叠知：B C BC B B '''=∠=∠，∴90AE B C EAC B ''''=∠=∠=︒，又EC C E ''=，∴Rt EC A Rt C EB '''≌∴C EA EC B '''∠=∠∴MC ME '=（3）∵Rt EC A Rt C EB '''≌，∴AC B E ''=由折叠知：B E BE '=，∴AC BE '=∵2(cm)4(cm)AC DC ''==，∴()2428cm AB CD ==++=设cm DF x =，则()8cm FC FC x '==-在Rt DC F '中，由勾股定理得：2224(8)x x +=-解得：3x =，即()3cm DF =如图，延长BA FC '，交于点G ，则AC G DC F ''∠=∠ ∴3tan tan 4AG DF AC G DC F AC DC ''∠=∠==='' ∴3(cm)2AG =∴3156(cm)22EG =+= ∵//DF EG ，∴DNF ENG ∽ ∴152::3:25DN EN DF EG === 7．综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点N 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，把纸片展平，连接AN ，如图①．（1）折痕BM（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：；进一步计算出∠MNE＝°；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝°；拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值．【解析】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，∴EF垂直平分AB，∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，∴AB＝BN，∴AB＝AN＝BN，∴△ABN是等边三角形，∴∠EBN＝60°，∴∠ENB＝30°，∴∠MNE＝60°，故答案为：是，等边三角形，60；（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，∴∠ABG＝∠HBG＝45°，∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，故答案为：15°；（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，∴ST垂直平分AA'，∴AO＝A'O，AA'⊥ST，∵AD∥BC，∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，∴△ASO≌△A'TO（AAS）∴SO＝TO，∴四边形ASA'T是平行四边形，又∵AA'⊥ST，∴边形SATA'是菱形；（4）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，∴AT＝A'T，在Rt△A'TB中，A'T＞BT，∴AT＞10﹣AT，∴AT＞5，∵点T在AB上，∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10，∴5＜AT≤10，∴正确的数值为7，9，故答案为：7，9．8．综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，ACD 和BCE 是两个等边三角形纸片，其中，52AC cm BC cm ==,．解决问题（1）勤奋小组将ACD 和BCE 按图1所示的方式摆放(点,,A C B 在同一条直线上) ，连接,AE BD ．发现AE DB =，请你给予证明；（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将BCE 绕着点C 逆时针方向旋转，当点E 恰好落在CD 边上时，求ABC 的面积；拓展延伸（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“将BCE 沿CD 方向平移acm 得到''',B C E 连接''AB B C ,，当'AB C △恰好是以'AB 为斜边的直角三角形时，求a 的值．请你直接写出a 的值．【解析】（1）∵ACD 和BCE 是两个等边三角形，∴AC=CD ，BC=CE ，∠ACD=∠ECB=60°，∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE,即∠ACE=∠DCB ，∴△ACE ≌△DCB ，∴AE=BD ；（2）由题意得∠ACD=∠ECB=60°，过点B 作BF ⊥AC ，交AC 的延长线于F ，∴∠BCF=180°-∠ACD-∠ECB=60°，∠F=90°，∴∠CBF=30°，∴CF=12BC=1cm ， ∴BF=223BC CF -=cm ，∴115322ABC S AC BF =⋅=⨯⨯=53；（3）由题意得∠ACD=E C B '''∠=60°，∵∠ACB '=90°，∴30C CB ''∠=,∵C CB C B C E C B '''''''∠+∠=∠,∴30C B C ''∠=,∴C C C B '''==2cm ，∴a=2.9．动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ 等字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与：（1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；（2）图3中，点画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板， 并填上标号； （3）在图4中，找出7块塑料板，并填上标号．【解析】（1）如下图（2）如下图（3）如下图10．已知：如图1，在O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点E ．（1）求E ∠的度数； （2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．①如图2，弦AB 与弦CD 交于点F ；②如图3，弦AB 与弦CD 不相交：③如图4，点B 与点C 重合．【解析】解：（1）连接OC 、OD ，如图：∵AD BD ⊥∴AB 是直径∴1OC OD CD ===∴OCD 是等边三角形∴60COD ∠=︒∴30DBE ∠=︒∴60E ∠=︒（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OD 、OC 、AC ，如图：∵1OD OC CD ===∴OCD 为等边三角形∴60COD ∠=︒∴30DAC ∠=︒∵90ADB ∠=︒∴903060E ∠=︒-︒=︒②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OC 、OD ，如图：∵AD BD ⊥∴AB 是直径∴1OC OD CD ===∴OCD 是等边三角形∴60COD ∠=︒∴30DBE ∠=︒∴903060BED ∠=︒-︒=︒③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：如图：∵当点B 与点C 重合时，则直线BE 与O 只有一个公共点 ∴EB 恰为O 的切线∴90ABE ∠=︒∵90ADB ∠=︒，1CD =，2AD =∴30A ∠=︒故答案是：（1）60E ∠=︒（2）①结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．②结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．③结论：直线AD 、BC 相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解． 11．综合与实践：折纸中的数学问题背景在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD 按如图①所示方式折叠，使点C 与点A 重合，点D 落到D ′处，折痕为EF ．这时同学们很快证得：△AEF 是等腰三角形．接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题．操作发现(1) “争先”小组将矩形纸片ABCD 按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△AEF 恰好是等边三角形，求矩形ABCD 的长、宽之比是多少？实践探究(2)“励志”小组将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，如图③，使B 点落在AD 边上的B ′处；沿B ′G 折叠，使D 点落在D ′处，且B ′D ′过F 点．试探究四边形EFGB ′是什么特殊四边形？(3)再探究：在图③中连接BB ′，试判断并证明△BB ′G 的形状．【解析】解：（1）矩形ABCD 3证明：设BE a =，AEF ∆等边三角形，60EAF ∴∠=︒，四边形ABCD 为矩形，90BAD ABE ∴∠=∠=︒，30BAE BAD EAF ∠=∠-∠=︒．在Rt ABE ∆中，90ABE ∠=︒，30BAE ∠=︒，BE a =，2sin BE AE a BAE ∴==∠，3tan BE AB a BAE==∠，AE EC =，3BC BE EC a ∴=+=， ∴33BC AB a==． （2）四边形B EFG '是平行四边形．证明：四边形ABCD 为矩形，//AD BC ∴，B EF BFE ∴∠'=∠，EB F GFB ∠'=∠'，DB G FGB ∠'=∠'． 由翻折的特性可知：BFE B FE ∠=∠'，DB G FB G ∠'=∠'，B EF B FE ∴∠'=∠'，FB G FGB ∠'=∠'，又EB F GFB ∠'=∠'，B FE FB G ∴∠'=∠'，//EF B G ∴'，又//B E FG '，∴四边形B EFG '是平行四边形．（3）△BB G '为直角三角形．证明：连接BB '交EF 于点M ，如图所示．//AD BC ，EB B FBB ∴∠'=∠'，BF B F ='，FBB FB B ∴∠'=∠'，EB B FB B ∴∠'=∠'．B EF B FE ∠'=∠'，∴△B EF '为等腰三角形，B M EF ∴'⊥，90∴∠=︒．BMFEF B G'，//∴∠'=∠=︒，BB G BMF90∴△BB G'为直角三角形．12．综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，在△ABC中，AB ＝AC＝10cm，BC＝16cm．将△ABC沿BC边上的中线AD剪开，得到△ABD和△ACD．操作发现：（1）乐学小组将图1中的△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得A'C'⊥AD，得到图2，A'C'与AB交于点E，则四边形BEC'D的形状是．（2）缜密小组将图1中的△ACD沿DB方向平移，A'D'与AB交于点M，A'C'与AD交于点N，得到图3，判断四边形MNDD'的形状，并说明理由．实践探究：（3）缜密小组又发现，当（2）中线段DD'的长为acm时，图3中的四边形MNDD'会成为正方形，求a的值．（4）创新小组又把图1中的△ACD放到如图4所示的位置，点A的对应点A'与点D重合，点D的对应点D'在BD的延长线上，再将△A'C'D'绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，DD'交AB于点P，DC'交AB于点Q，DP＝DQ，此时线段AP的长是cm．【解析】解：操作发现：（1）如图1：∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．∴∠B＝∠C，BD＝CD＝8cm，∠BAD＝∠CAD，∵△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，∴C'D＝BD，∵AD⊥BD，A'C'⊥AD，∴A'C'∥BD，∠ADC'＝90°﹣∠C'，∴∠ADC'＝90°﹣∠B，且∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠ADC'＝∠BAD，∴AB∥C'D，∴四边形BDC'E是平行四边形，∵BD＝C'D，∴四边形BEC'D是菱形，故答案为：菱形；（2）如图3，四边形MNDD'是矩形，理由如下：∵BD＝CD，∴BD'＝CD，且∠B＝∠C'，∠MD'B＝∠NDC'∴△MDB'≌△NDC'（ASA）∴MD'＝ND，∵△ACD沿DB方向平移，∴MD'∥DN，∴四边形MNDD'是平行四边形，∵∠BD'M＝90°，∴四边形MNDD'是矩形；（3）由图形（1）可得AB＝10cm，BD＝8cm，∴AD6cm，∵四边形MNDD'为正方形，∴D'M∥DN，D'M＝D'D＝acm，∴△BD'M∽△BDA，∴BD MD BD AD''=，∴886a a -=，∴a＝247；（4）如图5，过点D作DG⊥AB于点G，∵DP＝DQ，∴∠DQP＝∠DPQ，QG＝PG，又∵∠A＝∠PDQ，∴△DQP∽△AQD，∴∠ADQ＝∠DPQ，∴∠ADQ＝∠AQD，∴AQ＝AD＝6，∵∠A＝∠A，∠DGA＝∠BDA，∴△DGA∽△BDA，∴AG AD AD AB=，∴6 610 AG=，∴AG＝185，∴GQ＝AQ﹣AG＝6﹣185＝125，∴PG＝QG＝125，∴AP＝AG﹣PG＝185﹣125＝65，故答案为：65．。
二、解答重难题型突破 题型8 综合与实践++++课件+2025年中考数学总复习人教版(山东)
的最小面积.
18
【自主解答】【探究方法】∵a+b=( )2+( )2≥2 ,∴a+b≥2 成立;
【类比应用】
(1)由a+b≥2 可以得到:
x+ ≥2
·
=4,
当且仅当x= ,即x=2时取最小值4,
∴当x>0时,代数式x+ 有最小值为4.
答案:4
19
(2)构造已知条件形式:x+
2
=2ab.于是我们可以得到结论:a,b为正数,总有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,代数式
a2+b2取得最小值2ab.另外,我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论:
∵(a-b)2≥0,∴a2-2ab+b2≥0,a2+b2≥2ab;∴对于任意实数a,b总有a2+b2≥2ab,当且仅当
a=b时,代数式a2+b2取得最小值2ab.
tan 55°≈1.43)
30
③
若测量者仍站在原处(B点),能否用三角板替代测角仪测出仰角α?若能,请写出测
量方法;若不能,该如何调整位置才能用三角板测出仰角α,请写出测量方法.
31
【自主解答】(3)①根据测角仪得出度数为55°,所以α为90°-55°=35°;
答案:35°
②∵BC=16.8 m,
③存在一条直线与该函数图象有三个交点,故错误;
④在图象上存在四点A,B,C,D,使得四边形ABCD是平行四边形,故正确.
答案:①④
27
+
(4)y关于x的函数表达式为y= (x>0,k>0),
2024年中考数学综合与实践：圆、二次函数有关重难点题型
综合与实践、圆、二次函数有关重难点题型题型一综合与实践1.综合与实践问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形”为主题开展数学活动，并提出如下问题：如题2-1图，将等腰Rt△ABC的直角边AC与等腰Rt△ADC的斜边AC 重合，∠BAC=∠ADC=90°,试判断线段BC 与CD之间的数量关系，并加以证明.(1)数学思考：请你解答老师提出的问题；(2)猜想证明：如题2-2图，点 E 是线段AD上的一个动点(不与A，D重合)，连接CE，过点 E作EF⊥CE,分别交AB,AC于F,G两点,连接FC,试判断△CEF的形状，并说明理由.2.综合与实践【阅读理解】如题1-1图，在△ABC中，AM是BC边上的高线，由勾股定理得AM²=AB²−BM²,AM²= AC²−CM²,故AB²−BM²=AC²−CM².【知识迁移】如题1-2 图,在矩形ABCD中,当点P在矩形ABCD内任意位置时,连接AP,BP,CP,DP.求证: AP²+ CP²=BP²+DP².【探索发现】如题1-3 图，若点 P在矩形ABCD 的外部时，上述结论是否仍然成立?请加以判断，并说明理由.【尝试应用】如题1-4图，在△ABC中, AB=3,AC=4,Q为平面内一点，且AQ=1,∠BQC=90°,求 BC 的最大值.3.如题1-1图,正方形ABCD的边AB上有一点E,连接DE.(1)若AD=3AE,则sin∠ADE= ;(2)如题1-2图，将边 CB绕点 C顺时针旋转，旋转角为α，使得点 B 的对应点 F 落在DE上(点F不与点D 重合),连接BF,求∠BFE的度数;(3)如题1-3图,在(2)的条件下,若E为AB的中点,DF=n,正方形ABCD的面积为S,求S关于n的函数关系式.4.小颖在学习了摩擦力的相关知识后，准备在水平面上探究滑动摩擦力与压力之间的关系，探究步骤如下：第一步：如题3-1图，在一水平放置的木板上放置一个质量为1kg的木块(压力大小=重力大小)，用弹簧测力计沿水平方向拉动木块，使木块做匀速直线运动(滑动摩擦力的大小可以由弹簧测力计读出)；第二步：在木块上增加质量不同的砝码，使木块做匀速直线运动；当在木块上增加质量不同的砝码后，设弹簧测力计所拉物体的质量为m(kg)，弹簧测力计的示数为F(N)，通过多次测量，得到如下数据：(1)把表中的图的坐标系中，描点，连线，画出弹簧测力计拉力F关于物体质量m的图象；(2)观察所画的图象，猜测F和m之间的函数关系，求出函数表达式；(3)小颖将水平拉动木块实验变成在斜面拉动木块实验，如题3-3图，用弹簧测力计拉着木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动.经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力 F(N)是高度h(m)的一次函数.当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为2N，高度h每增加0.1m，弹簧测力计的读数增加0.8N，若弹簧测力计的最大量程是8N，求装置高度h的取值范围.5.综合与实践某数学实验小组在学习了电阻的知识后，计划通过实验探究铂电阻在0∼100°C范围内的温度特性，具体过程如下：【知识背景】电阻温度计是根据导体电阻随温度而变化的规律来测量温度的温度计，铂电阻温度计是最精确的温度计.【实验过程】如题2-1图，将电阻温度计接入电路，开始使导体温度升温，控制温度在( 0°C−100°C范围内，每升温20°C记录一次指示仪表输出的电阻值(单位：Ω)，实验完毕后，关闭所有电源.【收集数据】记录的数据如下表：(1)如题2-2图，建立平面直角坐标系，横轴表示温度( (°C),纵轴表示电阻值(Ω)，描出以上表中的数据为坐标的各点，并进行连线；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，若在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出解析式，若不在同一条直线上，请说明理由；(3)当温度为50°C时，求铂电阻的电阻值.题型二圆的综合题1. 如题1图, △ABC内接于⊙O,AB是⊙O 的直径,分别过点 C 作⊙O 的切线，过点 O作AB的垂线，两线相交于点 D.(1)求证: ∠D=2∠A;(2)请用无刻度的直尺和圆规过点O 作AC 的垂线交AC 于点 E(保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下,若AB=8,CD=3,求OE的长.2. 如题2图, △ABC内接于⊙O,延长BA至点D,连接DC,使DB=DC,过点A作AE⊥AB交DC于点E,连接B E,BE 与AC相交于点F，且满足∠ADE=2∠EAC.(1)求证:CA=CB;(2)若AD:AB=1:4,求tan∠ABC的值；的值.(3)在(2)的条件下,求AFFC3.如题1-1图, △ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,CD是∠ACB的平分线,交⊙O 于点D,连接OD,交AB于点E.(1)求证:OD∥AC;,求直线AF与⊙O的位关系.(2)如题1-2图,延长OD至点 F,连接AF,使得AF=BC,且tanB=12在△ABC中,AB=AC,点O是AB边上一动点,以点O为圆心,OB长为半径作圆,交BC于点 D.过点 D作DE⊥AC,垂足为E.(1)如题2-1图,若点O为AB的中点,求证:BD=CD;(2)如题2-2图,当点O为AB 上任意一点时,求证:DE 与⊙O 相切;(3)如题2-3图,若⊙O与AC相切于点F,且⊙O的半径为3,CE=1,求AF的长.如题4图,四边形ABCE内接于⊙O, AB=AC,CE⊥BC,，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点 D.(1)求证:AD是⊙O的切线;(2)若DE=2,AE平分∠CAD,求⊙O的半径；(3)新考法探究线段数量关系若( CE=m,DE=n,⊙O的直径为d，探究m，n与d的数量关系，并说明理由.题型三二次函数综合题1. 已知抛物线y₁=ax²−4ax+c经过点(3,−2),与x轴交于点A(x₁,0),B两点.(1)若抛物线过点(−1,2),求抛物线的解析式；(2)若−1<x₁<0,点P(5,n)(n⟩0))在该抛物线上，求a的取值范围；(3)若抛物线y₁向上平移两个单位长度后得到抛物线y₂，抛物y₁与直线y₁=kx+b(k≠0)交于点(x₁,0)(x₁<2),且函数y=y₁+y₁的图象与x轴仅有一个交点.求证：k=2a.2.如题2图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x²+bx+c交x轴于A,B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),连接AC,BC.(1)求抛物线的解析式；(2)N是线段AC上一点，过点N作NN′⊥x轴于点N′,若△ABC的面积被 NN'分为1∶2的两部分，求点N 的坐标；(3)将抛物线向左平移m(m⟩0))个单位长度，与原抛物线的交点为点 D,连接 AD,BD,AC 与 BD 相交于点 E,若△ADE与△BCE的面积差为1，求m的值.3.已知抛物线y=25x2+bx+c的顶点坐标为(−2,185),与x轴交于点A,B(点A在点 B左侧),与y轴交于点C.(1)求b,c的值;(2)点M(-4，2)，N是抛物线上两点，若点N到对称轴的距离等于点M到对称轴距离的2倍，求点 N的坐标；(3)若点 P是第二象限内抛物线上一点，连接PB交AC于点D,求PDBD的最大值.x−3与x轴，y轴交于A，B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，M是射线4.如题2图,直线y=34BA上一动点，过点 M作MN∥y轴交抛物线于点 N.(1)求抛物线的解析式；(2)当M在线段BA上时,连接AN,BN,若S∆ABN=S∆ABO,求此时点M的坐标；(3)新考法与点的运动结合点M从点 B 出发，沿射线BA方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，MB=MN?请直接写出所有符合条件的t值.5.如题3图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx−2(a≠0)与x轴交于点A(−1,0),B(0)，与y 轴交于点 C，点P为直线BC下方抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式；(2)过点P作PE⊥x轴于点 E，连接OP，是否存在点 P 使得. ∠OPE=∠ABC?若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由；(3) 将抛物线沿着x轴翻折，点P 的对应点为P′,连接P'B,求△P′CB面积的最大值及此时点 P的坐标.。
2020中考数学压轴题专项突破训练
中考数学压轴题专项突破训练一、几何压轴题专题突破1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB，请直接写出BE的最小值．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠FAD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C 的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC＝3MC，请直接写出DBBC的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求ABFACF △△的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝12AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC 上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答. 本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18.点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠FAE＝∠FAD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．二、二次函数压轴题专题突破1．如图，对称轴为x＝1的抛物线经过A（﹣1，0），B（2，﹣3）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的动点，连接PO交直线AB于点Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；（3）C在直线AB上，D在抛物线上，E在坐标平面内，以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形，直接写出点E的坐标．2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a ＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，直线y＝x+经过点A，与抛物线的另一个交点为点C（3，m），线段PQ在线段AB上移动，PQ＝1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D、G．（1）求抛物线的解析式；（2）设四边形DEFG的面积为S，求S的最大值；（3）在线段PQ的移动过程中，以D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标．5．抛物线y＝ax2﹣4ax+3a交x轴于点B、C两点，交y轴于点A，点D为抛物线的顶点，连接AB、AC，已知△ABC的面积为3．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴右侧一点，点P的横坐标为m，过点P作PQ∥AC交y轴于点Q，AQ的长度为d，求d与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当d＝4时，作DN⊥y轴于点N，点G为抛物线上一点，AG交线段PD于点M，连接MN，若△AMN是以MN为底的等腰三角形，求点G的坐标．6．已知直线l：y＝kx+4与抛物线y＝x2交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．（1）求：x1•x2；y1•y2的值．（2）过点（0，﹣4）作直线PQ∥x轴，且过点A、B分别作AM⊥PQ于点M，BN⊥PQ于点N，设直线l：y＝kx+4交y轴于点F，求证：AF＝AM＝4+y1．（3）证明：+为定值，并求出该值．7．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3）顶点为D（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△BCD的形状，并说明理由；（3）点P在抛物线上，点Q在直线y＝x上，是否存在点P、Q使以点P、Q、C、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于B，与x轴交于点D、A，点A在点D的右边，顶点为F，C（0，1）（1）直接写出点B、A、F的坐标；（2）设Q在该抛物线上，且S△BAF＝S△BAQ，求点Q的坐标；（3）对大于1常数m，在x轴上是否存在点M，使得sin∠BMC＝？若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由？9．抛物线C1经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，﹣3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴交x轴于D，过D的直线交抛物线于P、Q（P在Q左边），且S△APD＝2S△BQD，求l的解析式．（3）点E是抛物线C1的顶点，将C1沿着lEC的方向平移至C2．当C2与y＝2x﹣5只有一个公共点时：①求C2的解析式．②P（xP，yP）是C2上一点，若﹣6≤xP≤2且yP为整数，满足条件的P点共有51个．10．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB 上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）若抛物线的解析式为y＝﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N．①求点M和点N的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，请直接写出点Q的坐标；③是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．11．已知，如图抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B 左侧．点B的坐标为（2，0）．OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是线段AC下方抛物线上的动点，求三角形PAC面积的最大值．（3）在（2）的条件下，△PAC的面积为S，其中S为整数的点P作“好点”，则存在多个“好点”，则所有“好点”的个数为9（4）在（2）的条件下，以PA为边向直线AC右上侧作正方形APHG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变，当顶点H或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．12．已知抛物线y＝x2﹣mx+m2+m+1的顶点为A，交y轴于点B．（1）求证：抛物线的顶点A在定直线l上，并求定值线l的解析式；（2）当m＝1时，直线l交抛物线于另一点M，交x轴于点C，N为抛物线上一点，且∠NMC＝2∠ACO，求点N的坐标；（3）如图2，当m＝2时，过点A作直线l1（不经过点O），分别交x轴，y轴于点E，F，点P为对称轴右侧抛物线上的动点（点P、A、O不共线），直线PA分别交x轴，y轴于点G、H，过点P 作PK∥y轴交直线l1于点K，若AE•AF＝AG•AH，求点K的纵坐标．13．已知：如图1，抛物线y＝mx2+nx﹣3m，其中m＞0，抛物线交x轴负半轴于点A（﹣1，0），交x轴正半轴于点B．（1）求点B的坐标；（2）若抛物线的顶点为点D，且∠ACB＝∠DCB，求m的值；（3）如图，若点P为抛物线在第四象限的一个动点，直线PA、PB分别交y轴于点M、N，试猜想的值时否发生变化？并证明你的结论．14．如图1，已知抛物线y＝ax2+（1﹣3a）x﹣3（a＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线y＝﹣x+5与抛物线交于点D、E，与直线BC交于点P．（1）求点P的坐标；（2）求PD×EP的值；（3）如图2，若二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0），定点为C，若∠CAB＝30°，则b2﹣4ac的值是否发生变化？若不变，求其值．15．已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2+1与y轴交于点A，过点A与点（1，3）的直线与C1交于点B．（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图1，若点P为直线AB下方的C1上一点，求点P到直线AB的距离的最大值；（3）如图2，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后恰好经过C1的顶点C，沿射线AC的方向平移抛物线C1得到抛物线C2，C2的顶点为D，两抛物线相交于点E．设交点E的横坐标为m．若∠AED ＝90°，求m的值．参考答案一、几何1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵AC BC∠A∠BCG∠ACF∠CBE ⎧===⎪⎨⎪⎩，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解：如图，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝12AG•EM＝由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴12×6×EM＝EM设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝，AM3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝∴BE＝BG+EG＝，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝12BE＝∴AC＝AE+EC＝＝．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸] 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝2BCBE3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CEMCME＝2MC＝2＝BE，∴BC，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC，∴CD＝1+3，∴DM＝3，∴△DBM的面积＝12×+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED 使得DW ＝DN ，连接NW ，∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ， ∴∠ADE ＝∠BDE ＝60°，AD ＝BD ，∵DN ＝DW ，且∠WDN ＝60°∴△WDN 是等边三角形，∴NW ＝DN ，∠W ＝∠WND ＝∠BNG ＝∠BDN ＝60°，∴∠WNG ＝∠BND ，在△WGN 和△DBN 中，60WN DN°∠W ∠NDB ∠WNG ∠DNB ⎧====⎪⎨⎪⎩∴△WGN ≌△DBN （SAS ），∴BD ＝WG ＝DG+DN ，∴AD ＝DG+DN ．（3）若点N 在AD 上时，AD ＝DG ﹣DN ，理由如下：如图4，延长BD 至H ，使得DH ＝DN ，连接HN ，由（1）得DA ＝DB ，∠A ＝30°．∵DE ⊥AB 于点E ．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH 是等边三角形．∴NH ＝ND ，∠H ＝∠6＝60°．∴∠H ＝∠2．∵∠BNG ＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG ＝∠HNB ．在△DNG 和△HNB 中，DN HN∠DNG ∠HNB ∠H ∠2===⎧⎪⎨⎪⎩∴△DNG ≌△HNB （ASA ）．∴DG ＝HB ．∵HB ＝HD+DB ＝ND+AD ，∴DG ＝ND+AD ．∴AD ＝DG ﹣ND ．4、如图1，已知直角三角形ABC ，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，点D 是AC 边上一点，过D 作DE ⊥AB 于点E ，连接BD ，点F 是BD 中点，连接EF ，CF ．（1）发现问题：线段EF ，CF 之间的数量关系为 EF ＝CF ；∠EFC 的度数为 120° ；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝12AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝12AD＝AN＝ND，同理CM＝12AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，MF NE MC NF ∠FMC ∠ENF⎧===⎪⎨⎪⎩，∴△MFC ≌△NEF （SAS ），∴FE ＝FC ，∠NFE ＝∠MCF ，∵NF ∥AB ，∴∠NFD ＝∠ABD ，∵∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，∴∠ABC ＝60°，△BMC 是等边三角形，∠MCB ＝60°∴∠EFC ＝∠EFN+∠NFD+∠DFC ＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB ＝∠ABC+∠MCB ＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH ⊥AB 于H ．在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，BC ＝3，∴AB ＝2BC ＝6，在Rt △AED 中，∠DAE ＝30°，AD ＝2，∴DE ＝12AD ＝1，在Rt △DEH 中，∵∠EDH ＝60°，DE ＝1，∴EH ＝ED •sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝1 2，在Rt△EHG中，EG．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝2BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，AB AEAD AC∠BAD∠EAC ⎧===⎪⎨⎪⎩，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，AB AEAD AC∠BAD∠EAC ⎧===⎪⎨⎪⎩，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，AB AEAD AC∠BAD∠EAC ⎧===⎪⎨⎪⎩，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，CD CACB CE∠DCB∠ACE ⎧===⎪⎨⎪⎩，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠FAD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠FAD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠FAD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣12∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE＝∠FAG，∵∠FAE+∠FAG+∠GAE＝360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠FAE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣12∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，OC OBOP OQ∠COP∠BOQ ⎧===⎪⎨⎪⎩，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，OC OBOP OQ∠COP∠BOQ ⎧===⎪⎨⎪⎩，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC，∴BC＝AC•tan∠A，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝12BC＝2，OH＝12AC＝2，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣2＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，CD CA∠DCB∠ACECB CE⎧===⎪⎨⎪⎩，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝12AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC＝3MC，请直接写出DBBC的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴DB BC＝2a3a＝23．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求ABFACF △△的值．（1）①证明：如图1中，。
【中考数学压轴题专题突破47】综合实践与创新问题(3)
【中考压轴题专题突破47】综合实践与创新问题（3）1．综合与实践在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝6，BC＝8，点D为BC边上的任意一点，将∠C沿过点D的直线折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，问是否存在△BDE是直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出此时CD的长度．探究展示：勤奋小组很快找到了点D、E的位置如图2，作∠CAB的角平分线交BC于点D，此时∠C沿AD所在的直线折叠，点E恰好在AB上，且∠BED＝90°，所以△BDE是直角三角形问题解决：（1）按勤奋小组的这种折叠方式，CD的长度为；（2）创新小组看完勤奋小组的折叠方法后，发现还有另一种折叠方法，请在图3中画出来；（3）在（2）的条件下，求出CD的长．2．问题背景：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1：将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量AB＝4cm，AC＝8cm，问题解决：（1）将图1中的△ACD以点为A旋转中心，按逆时针方向能转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC'D，过点C作AC'的平行线，与DC'的延长线交于点E，则四边形ACEC'的形状是．（2）缜密小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D 三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC'D，连接CC'，取CC'的中点F，连接AF 并延长到点G，使FG＝AF，连接CG、C'G，得到四边形ACGC'，发现它是正方形，请你证明这个结论．实践探究：（3）创新小组在缜密小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A'点，A'C与BC'相交于点H，如图4所示，连接CC'，试求tan∠C'CH的值．3．【综合与实践】如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别在射线CD、BC上，且BF＝CE，将线段F A绕点F顺时针旋转90°得到线段FG，连接EG，试探究线段EG和BF 的数量关系和位置关系．【观察与猜想】任务一：“智慧小组”首先考虑点E、F的特殊位置如图②，当点E与点D重合，点F与点C重合时，易知：EG与BF的数量关系是，EG与BF的位置关系是．【探究与证明】任务二：“博学小组”同学认为E、F不一定必须在特殊位置，他们分两种情况，一种是点E、F分别在CD、BC边上任意位置时（如图③）；一种是点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时（如图④），线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．请你选择其中一种情况给出证明．【拓展与延伸】“创新小组”同学认为，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD，且＝k（k≠1）”，点E、F分别在射线CD、BC上任意位置时，仍将线段F A绕点F顺时针旋转90°，并适当延长得到线段FG，连接EG（如图⑤），则当线段BF、CE、AF、FG 满足一个条件时，线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立．（请你在横线上直接写出这个条件，无需证明）4．问题情填，在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如周1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD、并且量得AB＝2cm，AC＝4cm．操作发现：（1）将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到加图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC'的形状是；（2）创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D 三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC′，取CC'的中点F，连精AF并延长到点G，使FG＝AF，连接CG，C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论；实践探究：（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H．如图4所示，连接CC'，试求CH的长度．问题情境：在数学活动课上，我们给出如下定义：顺次连按任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．如图（1），在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．试说明中点四边形EFGH是平行四边形．探究展示：勤奋小组的解题思路：反思交流：（1）①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？依据1：；依据2：；②连接AC，若AC＝BD时，则中点四边形EFGH的形状为；创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究：（2）如图（2），点P是四边形ABCD内一点，且满足P A＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并说明理由；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其它条件不变，则中点四边形EFGH的形状为．问题情境：在综合实践课上，老师让同学们以“正方形纸片的剪拼”为主题展开教学活动，如图1，将一张正方形纸片ABCD沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD，点O是对角线BD的中点．操作发现：（1）将图（1）中的△BCD沿DA方向平移，点D的对应点为D′，点B的对应点为B′，点O的对应点为O′，B′D′与AB交于点P，D′C与BD交于点Q，得到图（2），则四边形D′PBQ的形状是．（2）“实践小组”的同学将图（1）中的△BCD以点D为旋转中心，按顺时针方向旋转45°，得到△B′C′D，点O的对应点为O′，B′C′与AB交于点E，连接AO，O′C′交于点F，得到图（3），发现四边形AEC′F是菱形，请你证明这个结论．实践探究：（3）“创新小组”在实践小组操作的基础上，将图（3）中的△B′C′D以点C′为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得C′D′⊥AD，垂足为M，B′C′⊥AB，垂足为N，分别连接OM，MO′，O′N，ON，得到图（4），他们认为四边形OMO′N是正方形．“创新小组”的发现是否正确？请你说明理由．（4）请你参照以上操作，将图（1）中的△BCD在同一平面内进行一次图形变换，得到△B′C′D′，在图（5）中画出图形变换后构造出的新图形．标明字母，说明图形变换及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．【中考压轴题专题突破47】综合实践与创新问题（3）参考答案与试题解析1．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，由折叠的性质可得：△ACD≌△AED，∴AC＝AE＝6，CD＝DE，∠C＝∠BED＝90°，∴BE＝10﹣6＝4，∵BD2＝DE2+BE2，∴（8﹣CD）2＝CD2+16，∴CD＝3，故答案为：3；（2）如图3，当DE∥AC，△BDE是直角三角形，（3）∵DE∥AC，∴∠ACB＝∠BDE＝90°，由折叠的性质可得：△CDF≌△EDF，∴CF＝EF，CD＝DE，∠C＝∠FED＝90°，∠CDF＝∠EDF＝45°，∴EF＝DE，∴DE＝CD＝CF＝EF，∵DE∥AC，∴△DEB∽△CAB，∴，∴∴DE＝，∴CD＝2．解：（1）在如图1中，∵AC是矩形ABCD的对角线，∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，在如图2中，由旋转知，AC'＝AC，∠AC'D＝∠ACD，∴∠BAC＝∠AC'D，∵∠CAC'＝∠BAC，∴∠CAC'＝∠AC'D，∴AC∥C'E，∵AC'∥CE，∴四边形ACEC'是平行四边形，∵AC＝AC'，∴▱ACEC'是菱形，故答案为：菱形；（2）在图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°在图3中，由旋转知，∠DAC'＝∠DAC，∴∠ACB＝∠DAC'，∴∠BAC+∠DAC'＝90°，∵点D，A，B在同一条直线上，∴∠CAC'＝90°，由旋转知，AC＝AC'，∵点F是CC'的中点，∴AG⊥CC'，CF＝C'F，∵AF＝FG，∴四边形ACGC'是平行四边形，∵AG⊥CC'，∴▱ACGC'是菱形，∵∠CAC'＝90°，∴菱形ACGC'是正方形；（3）在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝8，∴AC'＝AC＝8，AD＝BC＝4，sin∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，由（2）结合平移知，∠CHC'＝90°，在Rt△BCH中，∠ACB＝30°，∴BH＝BC•sin30°＝2，∴C'H＝BC'﹣BH＝8﹣2，在Rt△ABH中，AH＝AB＝2，∴CH＝AC﹣AH＝8﹣2＝6，在Rt△CHC'中，tan∠C′CH＝＝．3．【观察与猜想】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，∠ACB＝∠ACD＝45°，由旋转的性质得：GC＝AC，∠ACG＝90°，∴∠ACB＝∠GCD＝45°，在△ABC和△GDC中，，∴△ABC≌△GDC（SAS），∴AB＝GD，∠GDC＝∠B＝90°，∴DG∥BC，△CDG是等腰直角三角形，∴DG＝CD＝BC，∵点E与点D重合，点F与点C重合，∴EG＝BF，EG∥BF；故答案为：EG＝BF，EG∥BF；【探究与证明】证明：点E、F分别在CD、BC边上任意位置时，如图③所示：作GM⊥BC，交BC延长线于M，则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BF A＝90°，由旋转的性质得：GF＝AF，∠AFG＝90°，∴∠BF A+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，在△ABF和△FMG中，，∴△ABF≌△FMG（AAS），∴AB＝FM，BF＝MG，∵AB＝BC，∴BF＝CM，∵BF＝CE，∴MG＝CE，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；点E、F在CD、BC边的延长线上的任意位置时，如图④所示：作GM⊥BC，交BC延长线于M，则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BF A＝90°，由旋转的性质得：GF＝AF，∠AFG＝90°，∴∠BF A+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，在△ABF和△FMG中，，∴△ABF≌△FMG（AAS），∴AB＝FM，BF＝MG，∵AB＝BC，∴BF＝CM，∵BF＝CE，∴MG＝CE，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；【拓展与延伸】解：＝＝k（k≠1）时，线段EG与BF的数量关系与位置关系仍然成立；理由如下：作GM⊥BC，交BC延长线于M，如图⑤所示：则∠GMF＝90°，MG∥DC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BCD＝∠B＝90°，∴∠BAF+∠BF A＝90°，∠B＝∠GMF，由旋转的性质得：∠AFG＝90°，∴∠BF A+∠MFG＝90°，∴∠BAF＝∠MFG，∴△ABF∽△FMG，∴＝＝，∵＝＝k，∴＝＝k，＝＝k，∴FM＝BC，GM＝CE，∴BF＝CM，∵MG∥CE，∴四边形CEGM是平行四边形，又∵∠GMF＝90°，∴四边形CEGM是矩形，∴EG＝CM，EG∥CM，∴EG＝BF，EG∥BF；故答案为：＝＝k（k≠1）．4．解：（1）在如图1中，∵AC是矩形ABCD的对角线，∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，在如图2中，由旋转知，AC'＝AC，∠AC'D＝∠ACD，∴∠BAC＝∠AC'D，∵∠CAC'＝∠BAC，∴∠CAC'＝∠AC'D，∴AC∥C'E，∵AC'∥CE，∴四边形ACEC'是平行四边形，∵AC＝AC'，∴▱ACEC'是菱形，故答案为：菱形；（2）在图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，在图3中，由旋转知，∠DAC'＝∠DAC，∴∠ACB＝∠DAC'，∴∠BAC+∠DAC'＝90°，∵点D，A，B在同一条直线上，∴∠CAC'＝90°，由旋转知，AC＝AC'，∵点F是CC'的中点，∴AG⊥CC'，CF＝C'F，∵AF＝FG，∴四边形ACGC'是平行四边形，∵AG⊥CC'，∴▱ACGC'是菱形，∵∠CAC'＝90°，∴菱形ACGC'是正方形；（3）在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∴BC'＝AC＝4，BD＝BC＝2，sin∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，由（2）结合平移知，∠CHC'＝90°，在Rt△BCH中，∠ACB＝30°，BC＝2∴CH＝BC•cos30°＝3．5．解：（1）①依据1：三角形的中位线定理．依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．②菱形．理由：如图1中，∵AE＝EB，AH＝HD，∴EH＝BD，∵DH＝HA，DG＝GC，∴HG＝AC，∴HE＝HG，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．故答案为：三角形中位线定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，菱形．（2）结论：四边形EFGH是菱形．理由：如图2中，连接AC，BD∵∠APB＝∠CPD∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD即：∠BPD＝∠APC∵P A＝PB，PC＝PD∴△APC≌△BPD∴AC＝BD∴HG＝HE由问题情境可知：四边形EFGH是平行四边形∴四边形EFGH是菱形．（3）结论：正方形．理由：如图2﹣1中，连接AC，BD，BD交AC于点O，交GH于点K，AC交PD于点J．∵△APC≌△BPD，∠DPC＝90°，∴∠PDB＝∠PCA，∵∠PJC＝∠DJO，∴∠CPJ＝∠DOJ＝90°，∵HG∥AC，∴∠BKG＝∠BOC＝90°，∵EH∥BD，∴∠EHG＝∠BKG＝90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．6．解：（1）∵△B'C'D'是△BCD平移得到，∴B'D'∥BD，AD∥B'C'，∴四边形PBQD'是平行四边形，故答案为平行四边形；（2）∵四边形ABCD为正方形，∠ADB＝∠CDB＝45°，∴将△BCD以点D为旋转中心，顺时针旋转45°后，点C′落在BD上，点B′落在DA的延长线上．∵AB⊥AD，C′O′⊥AD，∴AB∥O′C′．∵B′C′⊥BD，AO⊥BD，∴B′C′∥AO．∴四边形AEC′F是平行四边形．∵BD＝B′D′，AD＝C′D，∴AB′＝BC′，又∵∠EAB′＝∠EC′B，∠B＝∠B′＝45°，∴△AB′E≌△C′BE，∴AE＝EC′，∴四边形AEC′F菱形．（3）“创新小组”的发现是正确的．如图1，连接OA，O′C′，则四边形ANC′M是矩形．∵△C′MD，△AB′N是等腰直角三角形．∴DM＝MC′，AN＝B′N，又∵AB＝B′C′＝C′D′＝AD，∴AM＝D′M＝BN＝NC′．又∵OA＝OD＝OB，O′C′＝O′D′＝O′B′，∴OA＝O′C′，∵∠OAD＝∠O′D′M＝∠O′C′N＝∠B＝45°，∴△OAM≌△O′D′M≌△O′C′N≌△OBN，∴OM＝O′M＝O′N＝ON，∠MOA＝∠NOB又∵OA⊥BD，∠AOB＝90°，∴∠NOM＝90°，∴四边形NOMO′是正方形．（4）如图2所示．构图方法：将△BCD沿BD方向平移，得到△B′C'D′，连接AB′、DC'．结论：四边形AB′C'D是平行四边形．理由：∵△B'C'D'是△BCD沿BD方向平移所得，∴AD＝B'C'，AD∥B'C'，∴∠ADB'＝∠C'B'D，在△AB'D和△CDB'中，，∴△AB'D≌△CDB'，∴AD＝C'B'，∵AD∥B'C'，∴四边形AB′C'D是平行四边形．。
2024中考数学复习 重难题型分类 综合与实践 (含答案)
2024中考数学复习重难题型分类综合与实践类型一实践操作型试题1.综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM.根据以上操作，当点M在EF上时，写出图①中一个30°的角：___________________________；(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照(1)中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ.①如图②，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图③，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由；(3)拓展应用在(2)的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．第1题图2.数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．转一转：如图①，在矩形ABCD中，点E，F，G分别为边BC，AB，AD的中点，连接EF，DF，H为DF的中点，连接GH.将△BEF绕点B旋转，线段DF，GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图②中，AB＝BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中，AB＝2，BC＝3，则GHCE＝________；(3)当AB＝m，BC＝n时，GHCE＝________；第2题图剪一剪、折一折：(4)在(2)的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC(如图④).点M，N分别在AC，BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C 的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为________．第2题图④类型二探究迁移型试题3.以下是华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．如图①，在正方形ABCD 中，CE ⊥DF .求证：CE ＝DF .证明：设CE 与DF 交于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠DCB ＝90°，BC ＝C D.∴∠BCE ＋∠DCE ＝90°.∵CE ⊥DF ，∴∠COD ＝90°.∴∠CDF ＋∠DCE ＝90°.∴∠CDF ＝∠BCE .∴△CBE ≌△DCF .∴CE ＝DF .第3题图①某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究．【问题探究】如图②，在正方形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别在线段AB ，BC ，CD ，DA 上，且EG ⊥FH .试猜想EG FH的值，并证明你的猜想；【知识迁移】如图③，在矩形ABCD 中，AB ＝m ，BC ＝n ，点E ，F ，G ，H 分别在线段AB ，BC ，CD ，DA 上，且EG ⊥FH ，则EG FH＝________；【拓展应用】如图④，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，且CE ⊥BF .求CE BF 的值．图②图③图④第3题图4.综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板PEF(∠P ＝90°，∠F＝60°)的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况(已知正方形边长为2).操作发现(1)如图①，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的面积为________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为________；类比探究(2)若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，OE，OP分别与正方形的边相交于点M，N.①如图②，当BM＝CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由；②如图③，当CM＝CN时，求重叠部分四边形OMCN的面积(结果保留根号)；拓展应用(3)若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为∠GOH(设∠GOH＝α)，将∠GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，∠GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为S2，请直接写出S2的最小值与最大值(分别用含α的式子表示).(参考数据：sin15°＝6－24，cos15°＝6＋24，tan15°＝2－3)第4题图源自北师九上P25第4题类型三综合应用型试题5.某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：(1)探究原理制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G.测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合(如图①)，绕点O转动量角器，使观测目标P 与直径两端点A，B共线(如图②)，此时目标P的仰角∠POC＝∠GON.请说明这两个角相等的理由；第5题图(2)实地测量如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH；(3≈1.73，结果精确到0.1米)(3)拓展探究公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH(如图④)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E，F(E，F，H在同一直线上)，分别测得点P的仰角α，β，再测得E，F间的距离m，点O1，O2到地面的距离O1E，O2F均为1.5米．求PH(用α，β，m表示).图③图④第5题图源自北师九下P22活动课题6.问题提出(1)如图①，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为________；问题探究(2)如图②，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°.过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P 作直线l⊥BC，分别交AB，BC于点O，E，求四边形OECA的面积；问题解决(3)如图③，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝A C.工人师傅在这块板材上的作法如下：①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP，BP，得△ABP.请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．第6题图源自人教七上P70第10题参考答案与解析1.解：(1)∠ABP 或∠PBM 或∠MBC 或∠BME ；(注：任意写出一个即可)【解法提示】由折叠性质可得，点E 是AB 的中点，AB ＝BM ，∠BEM ＝90°，∠ABP ＝∠PBM ，EF ∥BC ，在Rt △BEM 中，∵sin ∠BME ＝BE BM ＝12，∴∠BME ＝30°，∴∠MBC ＝∠BME ＝30°，∴∠ABM ＝60°，∴∠ABP ＝∠PBM ＝30°.(2)①15，15；【解法提示】由(1)可知，∠MBC ＝30°，∵BM ＝BA ＝BC ，∠BMQ ＝∠C ＝90°，BQ ＝BQ ，∴Rt △BMQ ≌Rt △BCQ (HL)，∴∠MBQ ＝∠CBQ ＝15°.②∠MBQ ＝∠CBQ ，理由如下：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C ＝90°.由轴对称性质，得BM ＝AB ，∠BMP ＝∠A ＝90°.∴∠BMQ ＝∠C ＝90°，BM ＝BC .∵BQ 是公共边，∴Rt △MBQ ≌Rt △CBQ ，∴∠MBQ ＝∠CBQ ；(3)AP 的长为4011cm 或2413cm.【解法提示】①当点Q 在线段CF 上时，如解图①，DQ ＝5，∵BM ＝BA ＝BC ，∠BMQ ＝∠C ＝90°，BQ ＝BQ ，∴Rt △BMQ ≌Rt △BCQ ，∴MQ ＝CQ ＝4－1＝3，设AP ＝x ，则PD ＝8－x ，PQ ＝3＋x ，在Rt △PDQ 中，由勾股定理得(8－x )2＋52＝(3＋x )2，解得x ＝4011；②当点Q 在线段DF 上时，如解图②，DQ ＝3，∵△BMQ ≌△BCQ ，∴MQ ＝CQ ＝4＋1＝5，设AP ＝x ，则PD ＝8－x ，PQ ＝5＋x ，在Rt △PDQ 中，由勾股定理得(8－x )2＋32＝(5＋x )2，解得x ＝2413，综上所述，AP 的长为4011cm 或2413cm.第1题解图2.解：(1)猜想：GH ＝12CE ；证明：由题意可得BE ＝12BC ，BF ＝12AB ，∵AB ＝BC ，∴BE ＝BF .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝∠CBE ＝90°，∴△ABF ≌△CBE ，∴AF ＝CE ，∵G ，H 分别为AD ，DF 的中点，∴GH ＝12AF ，∴GH ＝12CE ；(2)13；【解法提示】如解图，连接AF ，∵点G ，H 分别为DA ，DF 的中点，∴GH ＝12AF .∵AB ＝2BF ，BC ＝2BE ，∴AB BF ＝BC BE ＝2，又∵∠ABF ＝∠CBE ＝90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF CE＝AB BC ＝23，又∵GH ＝12AF ，∴GH CE ＝13.(3)m 2n；【解法提示】如解图，连接AF ，∵点G ，H 分别为DA ，DF 的中点，∴GH ＝12AF .∵AB ＝2BF ，BC ＝2BE ，∴AB BF ＝BC BE ＝2，又∵∠ABF ＝∠CBE ＝90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF CE＝AB BC ＝m n ，又∵GH ＝12AF ，∴GH CE ＝m 2n .第2题解图(4)3135.【解法提示】由PM 平分∠APN 可得，∠APM ＝∠MPN ＝∠C ，∵∠A ＋∠C ＝90°，∴∠APM ＋∠A ＝90°，∴tan ∠APM ＝tan C ＝AB BC ＝23＝AM PM ，又∵AM ＋PM ＝AC ＝AB 2＋BC 2＝13，∴CM ＝PM ＝3135.3.解：【问题探究】猜想：EG FH ＝1，证明如下：如解图①，分别过点H ，E 作BC ，CD 的垂线，垂足分别为点M ，N ，∴∠HMF ＝∠ENG ＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ，∴HM ＝EN ，HM ⊥EN ，∴∠1＋∠2＝90°，∵EG ⊥FH ，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△HMF 和△ENG 中，1＝∠3＝ENHMF ＝∠ENG，∴△HMF ≌△ENG (ASA)，∴FH ＝GE ，∴EG FH ＝1；第3题解图①【知识迁移】n m；【解法提示】如解图②，分别过点H ，E 作BC ，CD 的垂线，垂足分别为点P ，Q ，∴∠HPF ＝∠EQG ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，∴HP ＝AB ＝m ，EQ ＝BC ＝n ，HP ⊥EQ ，∴∠1＋∠2＝90°，∵EG ⊥FH ，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3，∴△EQG ∽△HPF ，∴EG FH ＝EQ HP＝n m .第3题解图②【拓展应用】如解图③，过点C 作CK ⊥AB 于点K ，设BF 与CE 交于点O ，∵CK ⊥AB ，∴∠CKE ＝90°，∴∠CEK ＋∠ECK ＝90°，∵CE ⊥BF ，∴∠BOE ＝90°，∴∠OEB ＋∠EBO ＝90°，∴∠ECK ＝∠EBO ，∵∠CKE ＝∠BAF ，∴△CKE ∽△BAF ，∴CE BF ＝CK BA，∵AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴CE BF ＝CK BC ＝sin 60°＝32.第3题解图③4.解：(1)1，1，S ＝4S 1；【解法提示】如解图①，当OF 与OB 重合时，OE 经过点C ，此时重叠部分的面积为S △BOC ＝14S 正方形ABCD ＝1.如解图②，当OF 与BC 垂直时，易得OE ⊥CD ，设垂足分别为点M ，N ，∵点O 是正方形ABCD 的中心，∴易得四边形OMCN 是正方形，且BM ＝CM ＝12BC ＝1，∴S 四边形OMCN ＝1.如解图③，设OF ，OE 与AB ，BC 的交点分别为点M ，N ，连接OB ，OC ，∵点O 是正方形ABCD 的中心，∴OB ＝OC ，∠BOC ＝90°，∠OBM ＝∠OCN ＝45°，S △BOC ＝14S 正方形ABCD .∵∠MON ＝90°，∴∠MOB ＝∠NOC ，∴△OMB ≌△ONC ，∴S △OMB ＝S △ONC ，∴S 四边形OMBN ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ，∴S ＝4S 1.第4题解图(2)①△OMN 是等边三角形．理由：如解图④，连接OB ，OC ，第4题解图④∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBC ＝∠OCB ＝45°，在△OBM 与△OCN 中，＝OCOBC ＝∠OCB ＝CN，∴△OBM ≌△OCN (SAS)，∴OM ＝ON .∵∠MON ＝60°，∴△OMN 是等边三角形；②如解图⑤，连接OC ，过点O 分别作OQ ⊥BC 于点Q ，作OR ⊥CD 于点R ，易得四边形OQCR 为正方形，且OQ ＝1.第4题解图⑤∵四边形ABCD 是正方形，∴∠OCM ＝∠OCN ＝45°.在△OCM 与△OCN 中，CM ＝CN∠OCM ＝∠OCN OC ＝OC，∴△OCM ≌△OCN (SAS).∴∠COM ＝∠CON .∵∠MON ＝60°，∴∠COM ＝∠CON ＝30°.∴∠OMB ＝∠COM ＋∠OCB ＝30°＋45°＝75°，∠OND ＝∠CON ＋∠OCN ＝30°＋45°＝75°.∵在Rt △OMQ 中，OQ ＝1，∠MOQ ＝90°－∠OMQ ＝90°－75°＝15°，∴MQ ＝OQ ·tan ∠QOM ＝1×tan 15°＝2－3.∴S △OMQ ＝12OQ ·MQ ＝2－32.同理可得S △ONR ＝2－32.∴S 四边形OMCN ＝S 正方形OQCR －S △OMQ －S △ONR ＝1－2－32－2－32＝3－1；(3)S 2的最小值为tan α2，S 2的最大值为1－tan (45°－α2).【解法提示】如解图⑥，过点O 作OQ ⊥BC 于点Q ，连接OB ，OC ，当BM ＝CN 时，S 2取得最小值，在Rt △OMQ 中，MQ ＝OQ ·tanα2＝tan α2，∴MN ＝2MQ ＝2tan α2，∴S 2最小值＝S △OMN ＝12MN ·OQ ＝12×2tan α2×1＝tan α2.如解图⑦，当CM ＝CN 时，S 2取得最大值，过点O 作OQ ⊥BC ，垂足为Q ，连接OC ，由(2)②可知，此时∠MOQ ＝45°－α2，∴MQ ＝tan∠MOQ ·OQ ＝tan (45°－α2)·1＝tan (45°－α2)，∴MC ＝CQ －MQ ＝1－tan (45°－α2)，∴S △MCO ＝12MC ·OQ ＝12[1－tan (45°－α2)]·1＝12[1－tan (45°－α2)]，∵S △MCO ＝S △NCO ，∴S 2的最大值为2S △MCO ＝1－tan (45°－α2).第4题解图5.解：(1)理由：∵∠POC ＋∠CON ＝∠CON ＋∠GON ＝90°，∴∠POC ＝∠GON ；(2)由题意可得，KH ＝OQ ＝5，OK ＝QH ＝1.5，在Rt △POQ 中，tan ∠POQ ＝PQ OQ，∴PQ ＝OQ ·tan ∠POQ ＝5×tan 60°＝53，∴PH ＝PQ ＋QH ＝53＋1.5≈10.2米．∴树高PH 约为10.2米．(3)由题意可知，DH ＝O 2F ＝1.5，EF ＝O 1O 2＝m ，在Rt △PO 1D 中，tan α＝PD DO 1，得DO 1＝PD tan α，在Rt △PO 2D 中，tan β＝PD DO 2，得DO 2＝PD tan β，∵DO 2＝O 1O 2＋DO 1，∴DO 1＝DQ 2－O 1O 2＝PD tan β－O 1O 2＝PD tan α，∴PD ＝O 1O 2·tan α·tan βtan α－tan β＝m ·tan α·tan βtan α－tan β，∴PH ＝PD ＋DH ＝(m ·tan α·tan βtan α－tan β＋1.5)米．6.解：(1)75°；【解法提示】∵AP 是等边△ABC 的中线，∴∠PAC ＝12∠BAC ＝30°，又∵AP ＝AC ，∴∠APC ＝12(180°－∠PAC )＝75°.(2)如解图①，连接BP .第6题解图①∵AP ∥BC ，AP ＝BC ＝AC ，∴四边形ACBP 是菱形，∴BP ＝AC ＝6.∵∠ACB ＝120°，∴∠PBE ＝60°.∵l ⊥BC ，∴BE ＝BP ·cos 60°＝3，PE ＝BP ·sin 60°＝33，∴S △ABC ＝12BC ·PE ＝93.∵∠C ＝120°，CA ＝CB ，∴∠ABC ＝30°，∴OE ＝BE ·tan 30°＝3，∴S △OBE ＝12BE ·OE ＝332，∴S 四边形OECA ＝S △ABC －S △OBE ＝1532；【一题多解】如解图②，连接OC ，第6题解图②∵BC ＝AC ＝6，∠ACB ＝120°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝30°.∵AP ∥BC ，PE ⊥BC ，∴∠PAB ＝30°，∠EPA ＝90°，又∵AP ＝BC ＝AC ，AO ＝AO ，∴△PAO ≌△CAO ，∴∠OCA ＝∠OPA ＝90°，∴∠OCB ＝30°，∴OB ＝OC ，∴EC ＝3，OE ＝3，OC ＝23，∴S △EOC ＝12OE ·EC ＝332，S △AOC ＝12OC ·AC ＝63，∴S 四边形OECA ＝S △AOC ＋S △EOC ＝1532.(3)符合要求．证明：如解图③，过点P 作PQ ⊥AC 交AC 于点Q ，由作法可知，AP ＝AC ，第6题解图③∵CD ＝CA ，∠BAC ＝45°，∴∠ACD ＝90°，∵直线l 垂直平分DC ，∴PQ ＝EC ＝12CD ＝12AC ＝12AP ，∴∠PAQ ＝30°，∴∠BAP ＝∠BAC －∠PAQ ＝45°－30°＝15°，∴裁得的△ABP 型部件符合要求．【一题多解】解法一：符合要求．证明：由作法知AP ＝AC .∵CD ＝CA ，∠CAB ＝45°，∴∠ACD ＝90°.如解图④，以AC ，CD 为边，作正方形ACDF ，连接PF .∴AF ＝AC ＝AP ，∠CAF ＝90°.∵l 是CD 的垂直平分线，∴l 是AF 的垂直平分线．∴PF ＝PA ，∴△AFP 为等边三角形，∴∠FAP ＝60°，∴∠PAC ＝30°，∴∠BAP ＝15°.∴裁得的△ABP 型部件符合要求．第6题解图④解法二：符合要求．证明：如解图⑤，过点A 作AN ⊥EP 交EP 的延长线于点N ，EN 交AD 于点M ，由作法知CD ＝CA ＝AP ，∵∠BAC ＝45°，∴∠ACD ＝90°，又∵AN ⊥EP ，EP ⊥CD ，∴四边形ACEN 为矩形，∴AN ∥CE ，AN ＝CE ＝12CD ＝12AC ＝12AP ，∴∠DAN ＝∠ADC ＝45°，∠NAP ＝60°，∴∠BAP ＝∠NAP －∠DAN ＝60°－45°＝15°，∴裁得的△ABP 型部件符合要求．第6题解图⑤。
【中考数学压轴题专题突破46】综合实践与创新问题(2)
【中考压轴题专题突破46】综合实践与创新问题（2）1．问题情境在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．操作发现：（1）在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数；（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2﹣∠1＝120°，说明理由；实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC 平分∠BAM，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请直接写出∠1与∠2的数量关系．2．问题情境在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形ABCD，直线PQ经过点A，并绕点A旋转，作点B关于直线PQ的对称点E，直线DE交直线PQ于点F，连结AE，BE操作发现（1）如图1，设∠P AB＝25°则∠ADF＝°．（2）“梦想小组”的同学们发现，∠BEF的度数是一个定值，这个值为．（3）“创新小组”的同学们发现，线段AB、DF、EF之间存在特殊的数量关系，请写出这一关系式，并说明理由：拓展应用（4）如图2，当直线PQ在正方形ABCD的外部时，“进取小组”的同学们发现（3）的结论仍然成立，并提出新问题；若DF＝3，EF＝4，直接写出正方形ABCD的边长3．综合与实践问题背景：在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题．如图1，△ABC≌△DEF，其中∠ACB＝90°，BC＝2，AB＝4．操作与发现：（1）如图2，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置后，经过观察发现四边形ACBF是矩形，请你证明这个结论．操作与探究：（2）创新小组在图2的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至如图3的位置，其中点E与AB的中点重合，连接CE，BF．经过探究后发现四边形BCEF是菱形．请你证明这个结论．（3）创新小组在图3的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图4所示，连接AF，BF，创新小组经过观察与推理后发现四边形ACBF 是矩形．请你证明这个结论．提出问题：（4）请你参照以上操作过程，利用图1中的两个三角形纸片，拼出新的图形，在图5中画出这个图形，标明字母，说明构图方法，并提出一个所要探究的问题，不必解答．4．阅读材料：教育部基础教育司负责人解读“2020新中考”时强调要注重学生分析与解决问题的能力，要增强学生的创新精神和综合素质．王老师想尝试改变教学方法，将以往教会学生做题改为引导学生会学习．于是她在菱形的学习中，引导同学们解决菱形中的一个问题时，采用了以下过程（请解决王老师提出的问题）：先出示问题（1）：如图1，在等边三角形ABC中，D为BC上一点，E为AC上一点，如果BD＝CE，连接AD、BE，AD、BE相交于点P，求∠APE的度数．学习，王老师请同学们说说自己的收获．小明说发现一个结论：在这个等边三角形ABC 中，只要满足BD＝CE，则∠APE的度数就是一个定值，不会发生改变．紧接着王老师出示了问题（2）：如图2，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为BC上一点，F为CD上一点，BE＝CF，连接DE、BF，DE、BF相交于点P，如果DP＝4，BP＝3，求出菱形的边长．问题（3）：通过以上的学习请写出你得到的启示（一条即可）．问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．将△ABC沿BC边上的中线AD剪开，得到△ABD和△ACD．操作发现：（1）乐学小组将图1中的△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得A'C'⊥AD，得到图2，A'C'与AB交于点E，则四边形BEC'D的形状是．（2）缜密小组将图1中的△ACD沿DB方向平移，A'D'与AB交于点M，A'C'与AD交于点N，得到图3，判断四边形MNDD'的形状，并说明理由．实践探究：（3）缜密小组又发现，当（2）中线段DD'的长为acm时，图3中的四边形MNDD'会成为正方形，求a的值．（4）创新小组又把图1中的△ACD放到如图4所示的位置，点A的对应点A'与点D重合，点D的对应点D'在BD的延长线上，再将△A'C'D'绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，DD'交AB于点P，DC'交AB于点Q，DP＝DQ，此时线段AP的长是cm．问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．操作发现（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是；（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC＝13cm，AC＝10cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移acm，得到△A′C′D′，连接BD′，CC′，使四边形BCC′D恰好为正方形，求a的值，请你解答此问题；（4）请你参照以上操作，将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．【中考压轴题专题突破46】综合实践与创新问题（2）参考答案与试题解析1．解：（1）∵∠BCA＝90°，∴∠3＝90°﹣∠1＝44°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝44°；（2）理由如下：过点B作BD∥a，则∠ABD＝180°﹣∠2，∵a∥b，BD∥a，∴BD∥b，∴∠DBC＝∠1，∵∠ABC＝60°，∴180°﹣∠2+∠1＝60°，∴∠2﹣∠1＝120°；（3）∠1＝∠2，理由如下：∵AC平分∠BAM，∴∠BAM＝2∠BAC＝60°，过点C作CE∥a，∴∠2＝∠BCE，∵a∥b，CE∥a，∴CE∥b，∠1＝∠BAM＝60°，∴∠ECA＝∠CAM＝30°，∴∠2＝∠BCE＝60°，∴∠1＝∠2．2．解：（1）∵∠P AB＝25°，由折叠知，∠P AB＝∠EAP＝25°，∴∠BAE＝50°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠DAE＝40°，∴∠ADF＝（180°﹣40°）＝70°故答案为：70（2）设∠BAP＝α，由折叠知，AE＝AD，∠EAF＝∠BAF＝α，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴AD＝AE，∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣2α，∴∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝90°﹣∠DAE＝90°﹣（90°﹣2α）＝45°+α，由折叠知，BE⊥AP，∴∠AEB+∠EAF＝90°，∴∠AEB＝90°﹣∠EAF＝90°﹣α，∴∠BEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AED＝180°﹣（90°﹣α）﹣（45°+α）＝45°，故答案为：45°；（3）EF2+DF2＝2AB2；理由：如图1，连接BF，由折叠知，BF＝EF，∠BEF＝∠EBF，由（2）知，∠BEF＝45°，∴∠BFE＝90°，连接BD，∴△BDF是直角三角形，∴BD2＝BF2+DF2＝EF2+DF2，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴BD2＝2AB2，∴EF2+DF2＝2AB2；（4）如图2，连接BD，BF，由折叠知，∠BEF＝∠EBF，∠AEB＝∠ABE，∴∠AED＝∠ABF，由折叠知，EF＝BF，AE＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，∴∠ABF＝∠ADE，∵∠AOB＝∠FOD，∴∠BFD＝∠BAD＝90°∴△BDF是直角三角形，∴BD2＝BF2+DF2＝EF2+DF2，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴BD2＝2AB2，∴EF2+DF2＝2AB2，∵DF＝3，EF＝4，∴2AB2＝32+18＝50，∴AB＝5即：正方形ABCD的边长为5．3．解：（1）∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF＝BF，BC＝EF＝AF，在四边形ACBF中，AC＝BF，BC＝AF，∴四边形ACBF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴▱ACBF是矩形；（2）在Rt△ABC中，sin A＝＝，∴∠BAC＝30°，∵△ABC≌△DEF与平移可知，BC＝EF，BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴点E与AB的中点重合，∠BAC＝30°，∴BC＝CE＝AB，在▱BCEF中，∵BC＝CE，∴▱BCEF是菱形；（3）在Rt△ABC中，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∵△ABC≌△DEF，点E是AB中点，∠BAC＝30°，∴EF＝AE＝BC，∠DEF＝60°，∵DE∥BC，∴∠BED＝∠ABC＝60°，∴∠AEF＝180°﹣∠DEF﹣∠BED＝60°，∴AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，AF＝AE，∵AE＝BC，AF＝BC，∵∠EAF＝∠ABC＝60°，∴AF∥BC，在四边形ACBF中，AF＝BC，AF∥BC，∴四边形ACBF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴▱ACBF是矩形；（4）构图方法：将△DEF纸片按图所示方式放置，点C，F，B，E在同一条直线上，DF交AB于点Q，提问：当△BFQ的面积等于四边形CFQA的面积时，求CF的长．解：在Rt△ABC中，BC＝2，AB＝4，∴AC＝2，设CF＝x，则BF＝2﹣x，由平移知，AC∥QF，∴△BFQ∽△BCA，∴，∴，∴FQ＝（2﹣x），∴S△BFQ＝BF•FQ＝（2﹣x）2，∵△BFQ的面积等于四边形CFQA的面积，∴S△BFQ＝S△ABC＝×BC×AC＝，∴（2﹣x）2＝，∴x＝2+（舍）或x＝2﹣，即：CF的长为2﹣．4．解：问题（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠EBC，∵∠APE＝∠ABP+∠BAP，∴∠APE＝∠ABP+∠EBC＝∠ABC＝60°；问题（2）过点D作DG⊥BF交BF于点G，如图2所示：∵四边形ABCD是菱形，∴∠C＝∠A＝60°，BC＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴BC＝CD＝BD，由（1）可知∠DPG＝60°，在Rt△DPG中，sin60°＝，即＝，解得：DG＝2，cos60°＝，即＝，解得：PG＝2，∴BG＝BP+PG＝3+2＝5，在Rt△BDG中，由勾股定理得：BD2＝BG2+DG2＝52+（2）2＝37，∴BD＝，∴BC＝BD＝，∴菱形的边长为；问题（3）平时应该注意基本图形的积累，在学习过程中做个有心人．5．解：操作发现：（1）如图1：∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．∴∠B＝∠C，BD＝CD＝8cm，∠BAD＝∠CAD，∵△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，∴C'D＝BD，∵AD⊥BD，A'C'⊥AD，∴A'C'∥BD，∠ADC'＝90°﹣∠C'，∴∠ADC'＝90°﹣∠B，且∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠ADC'＝∠BAD，∴AB∥C'D，∴四边形BDC'E是平行四边形，∵BD＝C'D，∴四边形BEC'D是菱形，故答案为：菱形；（2）如图3，四边形MNDD'是矩形，理由如下：∵BD＝CD，∴BD'＝CD，且∠B＝∠C'，∠MD'B＝∠NDC'∴△MDB'≌△NDC'（ASA）∴MD'＝ND，∵△ACD沿DB方向平移，∴MD'∥DN，∴四边形MNDD'是平行四边形，∵∠BD'M＝90°，∴四边形MNDD'是矩形；（3）由图形（1）可得AB＝10cm，BD＝8cm，∴AD＝＝＝6cm，∵四边形MNDD'为正方形，∴D'M∥DN，D'M＝D'D＝acm，∴△BD'M∽△BDA，∴，∴∴a＝；（4）如图5，过点D作DG⊥AB于点G，∵DP＝DQ，∴∠DQP＝∠DPQ，QG＝PG，又∵∠A＝∠PDQ，∴△DQP∽△AQD，∴∠ADQ＝∠DPQ，∴∠ADQ＝∠AQD，∴AQ＝AD＝6，∵∠A＝∠A，∠DGA＝∠BDA，∴△DGA∽△BDA，∴∴，∴AG＝，∴GQ＝AQ﹣AG＝6﹣＝，∴PG＝QG＝，∴AP＝AG﹣PG＝﹣＝，故答案为：．6．解：（1）如图2，由题意可得：∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠1＝∠4，AC＝AC′，故AC′∥EC，AC∥C′E，则四边形ACEC′是平行四边形，故四边形ACEC′的形状是菱形；故答案为：菱形；（2）证明：如图3，作AM⊥CC′于点M，由旋转得：AC′＝AC，则∠CAM＝∠C′AM＝α＝∠BAC，∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，∴∠BCA＝∠BAC，∴∠CAM＝∠BCA，∴AM∥BC，同理可得：AM∥DC′，∴BC∥DC′，则∠BCC′＝90°，又∵BC＝DC′，∴四边形BCC′D是平行四边形，∵∠BCC′＝90°，∴四边形BCC′D是矩形；（3）如图3，过点B作BF⊥AC，垂足为F，∵BA＝BC，∴CF＝AF＝AC＝×10＝5，在Rt△BCF中，BF＝＝＝12，在△ACM和△CBF中，∵∠CAM＝∠BCF，∠CMA＝∠BFC＝90°，∴△ACM∽△CBF，∴＝，即＝，解得：MC＝，∵AC＝AC′，AM⊥CC′，∴CC′＝2CM＝2×＝，当四边形BCC′D′恰好为正方形时，分两种情况：①点C″在边C′C上，a＝C′C﹣13＝﹣13＝，②点C″在C′C的延长线上，a＝C′C+13＝+13＝，综上所述：a的值为：或；（4）答案不唯一，例：如图4，画出正确图形，平移及构图方法：将△ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为AC的长度，得到△A′C′D′，连接A′B，D′C，结论：∵BC＝A′D′，BC∥A′D′，∴四边形A′BCD′是平行四边形．。
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【中考压轴题专题突破48】综合实践与创新问题（4）1．综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD ＝2AB，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：证明：∵BE＝AB，∴AE＝2AB．∵AD＝2AB，∴AD＝AE．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴．（依据1）∵BE＝AB，∴．∴EM＝DM．即AM是△ADE的DE边上的中线，又∵AD＝AE，∴AM⊥DE．（依据2）∴AM垂直平分DE．反思交流：（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．问题情境在综合实践课上，老师让同学们“以三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图（1），在三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C＝α．操作发现（1）创新小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转角度α，得到△AFG，连接DF，得到图（2），则四边形AFDE的形状是．（2）实践小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针逆转90°，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△AFG，连接DF、DG、AE，得到图（3），发现四边形AFDB为正方形，请你证明这个结论．拓展探索（3）请你在实践小组操作的基础上，再写出图（3）中的一个特殊四边形，并证明你的结论．问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．操作发现（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是；（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC＝13cm，AC＝10cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移acm，得到△A′C″D′，连接BD′，CC″使四边形BCC″D′恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题．问题情境如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE；探究发现（1）善思组发现：△ACD≌△BCE，请你帮他们写出推理过程；（2）钻研组受善思组的启发，求出了∠AEB度数，请直接写出∠AEB等于度；（3）奋进组在前面两组的基础上又探索出了CD与BE的位置关系为（请直接写出结果）；拓展探究（4）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，试探究CM，AE，BE之间有怎样的数量关系．创新组类比善思组的发现，很快证出△ACD≌△BCE，进而得出AD＝BE．请你写出CM，AE，BE之间的数量关系并帮创新组完成后续的证明过程．问题情境：如图1，在数学活动课上，老师让同学们画了等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，并连接CE，BD．操作发现：（1）当等腰Rt△ADE绕点A旋转，如图2，勤奋小组发现了：①线段CE与线段BD之间的数量关系是．②直线CE与直线BD之间的位置关系是．类比思考：（2）智慧小组在此基础上进行了深入思考，如图3，若△ABC与△ADE都为直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AC＝2AB，AE＝2AD，请你写出CE与BD的数量关系和位置关系，并加以证明．拓展应用：（3）创新小组在（2）的基础上，又作了进一步拓展研究，当点E在直线AB 上方时，若DE∥AB，且AB＝，AD＝1，其他条件不变，试求出线段CE的长．（直接写出结论）问题情境：在综合实践课上，李老师让同学们根据如下问题情境，写出两个数学结论：如图（1），正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形OEFG的一个顶点（正方形OEFG的边长足够长），将正方形OEFG绕点O做旋转实验，OE与BC交于点M，OG与DC交于点N．“兴趣小组”写出的两个数学结论是：①S△OMC+S△ONC＝S正方形ABCD；②BM2+CM2＝2OM2．问题解决：（1）请你证明“兴趣小组”所写的两个结论的正确性．类比探究：（2）解决完“兴趣小组”的两个问题后，老师让同学们继续探究，再提出新的问题；“智慧小组“提出的问题是：如图（2），将正方形OEFG在图（1）的基础上旋转一定的角度，当OE与CB的延长线交于点M，OG与DC的延长线交于点N，则“兴趣小组”所写的两个结论是否仍然成立？请说明理由．【中考压轴题专题突破48】综合实践与创新问题（4）参考答案与试题解析1．解：（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）．依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的“三线合一”）．②答：点A在线段GF的垂直平分线上．理由：由问题情景知，AM⊥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴DE∥FG，∴点A在线段GF的垂直平分线上．（2）证明：过点G作GH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE＝∠ABC＝∠GHC＝90°，∴∠BCE+∠BEC＝90°．∵四边形CEFG为正方形，∴CG＝CE，∠GCE＝90°，∴∠BCE+∠BCG＝90°．∴∠BEC＝∠BCG．∴△GHC≌△CBE．∴HC＝BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC．∵AD＝2AB，BE＝AB，∴BC＝2BE＝2HC，∴HC＝BH．∴GH垂直平分BC．∴点G在BC的垂直平分线上．（3）答：点F在BC边的垂直平分线上（或点F在AD边的垂直平分线上）．证法一：过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N．∴∠BMN＝∠ENM＝∠ENF＝90°．∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE＝∠ABC＝90°，∴四边形BENM为矩形．∴BM＝EN，∠BEN＝90°．∴∠1+∠2＝90°．∵四边形CEFG为正方形，∴EF＝EC，∠CEF＝90°．∴∠2+∠3＝90°．∴∠1＝∠3．∵∠CBE＝∠ENF＝90°，∴△ENF≌△EBC．∴NE＝BE．∴BM＝BE．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC．∵AD＝2AB，AB＝BE．∴BC＝2BM．∴BM＝MC．∴FM垂直平分BC．∴点F在BC边的垂直平分线上．2．（1）证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的．∴DE＝AC＝AF，∠BAF＝α，∠DBE＝∠ABC＝α，∠DEB＝∠C＝α，∴∠DEB＝∠BAF，∴DE∥AF，∵DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四边形，故答案为：平行四边形；（2）证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的，∴∠DBA＝∠F AB＝90°，DB＝AB＝AF，∴∠DBA+∠F AB＝180°，∴DB∥AF，∵DB＝AF，∴四边形DBAF是平行四边形，∵∠DBA＝90°∴平行四边形DBAF是正方形．（3）四边形AEDG是平行四边形．证明：∵四边形ABDF是正方形，∴∠DF A＝∠DBA＝90°，AB＝DF又∵∠DBE＝∠AFG＝α，∴∠EBA＝∠GFD．在△ABE和△DFG中，∴△ABE≌△DFG，∴AE＝DG，又∵DE＝AG＝AB，∴四边形DEAG是平行四边形．3．解：（1）如图（2）对图形进行角标注，由题意可得：∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠1＝∠4，AC＝AC′，∴AC′∥EC，AC∥C′E，∴四边形ACEC′是平行四边形．∵AC＝AC′，∴四边形ACEC′的形状是菱形；（2）证明：如图3，作AE⊥CC′于点E，由旋转得：AC′＝AC，则∠CAE＝∠C′AE＝α＝∠BAC，∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，∴∠BCA＝∠BAC，∴∠CAE＝∠BCA，∴AE∥BC，同理可得：AE∥DC′，∴BC∥DC′．又∵BC＝DC′，∴四边形BCC′D是平行四边形．∵AE∥BC，∠CEA＝90°，∵∠BCC′＝90°＝180°﹣∠CEA＝90°，∴四边形BCC′D是矩形；（3）如图（3），过点B作BF⊥AC，垂足为F，∵BA＝BC，∴CF＝AF＝AC＝×10＝5，在Rt△BCF中，BF＝＝12，在△ACE和△CBF中，∵∠CAE＝∠BCF，∠CEA＝∠BFC＝90°，∴△ACE∽△CBF，∴＝，即＝，解得：EC＝，∵AC＝AC′，AE⊥CC′，∴CC′＝2CE＝2×＝，当四边形BCC″D′恰好为正方形时，分两种情况：①点C″在边C′C上，a＝C′C﹣13＝﹣13＝，②点C″在C′C的延长线上，a＝C′C+13＝+13＝，综上所述：a的值为：或．4．（1）证明：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠CDA＝120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝120°，∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CEA＝60°，故答案为：60；（3）解：∵∠CDE＝∠AEB＝60°，∴CD∥BE，故答案为：CD∥BE；（4）解：AE＝BE+2CM，理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME，∵∠DCE＝90°，DM＝ME，∴DE＝2CM，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．5．解：（1）如图2中，延长BD交AC于点O，交EC于H．∵AE＝AD，AC＝AB，∠EAD＝∠CAB＝90°，∴∠EAC＝∠DAB，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴EC＝BD，∠ECA＝∠ABD，∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠COH，∴∠ECA+∠COH＝90°，∴∠CHO＝90°，∴BD⊥EC，故答案为EC＝BD，BD⊥EC．（2）结论：CE＝2BD，CE⊥BD．理由：如图3中，延长BD交AC于点O，交EC于点H．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵AC＝2AB，AE＝2AD，∴＝＝，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝，∴CE＝2BD，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠COH，∴∠ECA+∠COH＝90°，∴∠CHO＝90°，∴BD⊥EC．（3）如图4中，当DE∥AB时，设DE交AC于H，易证AC⊥DE．∵AE＝2AD，AD＝1，∴AE＝2，DE＝，AH＝，EH＝，∵AC＝2AB，AB＝，∴CH＝AC﹣AH＝，在Rt△ECH中，EC＝＝＝4．6．解：（1）①∵正方形ABCD的对角线相交于O，∴S△BOC＝S正方形ABCD，OB＝OC，∠BOC＝90°，∠OBM＝∠OCN，∵四边形OEFG是正方形，∴∠MON＝90°，∴∠BOC﹣∠MOC＝∠MON﹣∠MOC，∴∠BOM＝∠COM，∴△BOM≌△CON，∴S△BOM＝S△CON，∴S△OMC+S△ONC＝S△OMC+S△BOM＝S正方形ABCD；②由①知，△BOM≌△CON，∴OM＝ON，BM＝CN，在Rt△MCN中，MN2＝CM2+CN2＝CM2+BM2，在Rt△MON中，MN2＝OM2+ON2＝2OM2，∴BM2+CM2＝2OM2；（2）结论①不成立，理由：∵正方形ABCD的对角线相交于O，∴S△BOC＝S正方形ABCD，OB＝BD，OC＝AC，AC＝BD，AC⊥BD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，BD平分∠ABC，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，∴∠OBM＝∠OCN＝135°，∵四边形OEFG是正方形，∴∠MON＝90°，∴∠BOM＝∠CON，∴△BOM≌△CON，∴S△BOM＝S△CON，∴S△OMC﹣S△BOM＝S△OMC﹣S△CON＝S△BOC＝S正方形ABCD，∴结论①不成立；结论②成立，理由：如图（2）连接MN，∵△BOM≌△CON，∴OM＝ON，BM＝CN，在Rt△MCN中，MN2＝CM2+CN2＝CM2+BM2，在Rt△MON中，MN2＝OM2+ON2＝2OM2，∴BM2+CM2＝2OM2，∴结论②成立．。