初二数学实际问题与反比例函数教案
八年级数学下册 17.2.1 实际问题与反比例函数教学案
实际问题与反比例函数（1）【学习目标】1．能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题；2．经历“实际问题——建立模型——拓展应用”的进程，进展分析问题，解决问题的能力；3．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手腕，体验数学的有效性，提高“用数学”的意识.【学习重点】运用反比例函数的意义和性质解决实际问题. 及数形结合及转化的思想方式【学习难点】从实际问题中寻觅变量之间的关系，成立数学模型.【自主学习】（这部份要求同窗们课前独立完成，记下不明白的问题，课堂小组交流讨论）1.温习旧知：1)．写出反比例函数的概念：______________________________________2)．反比例函数的图象是_________，当k＞0时，_____________ _____________________；当k＜0时，____________3).有一面积为60的梯形，其下底长是上底长的2倍，假设上底长为x，高为y，那么y与x的函数关系是________4).已知矩形的面积为10，那么它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（）5)．以下各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是（）A．小明完成100m赛跑时，时刻t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的关系；B．三角形形的面积为48cm2，它的底y(cm)与高x(cm)的关系；C．电压为6V时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的关系；D．长方形的周长为12cm，它的长y(cm)与宽x(cm)的关系.几何中的反比例函数关系一、三角形中，当面积S一按时，高h与相应的底边长a关系。
二、矩形中，当面积S一按时，长a与宽b关系。
3、长方体中当体积V一按时，高h与底面积S的关系二、预习疑难摘要：【合作探讨】（这部份要求同窗们课堂完成。
分为小组交流讨论、展现结论、提出问题、解决问题）二、探讨新知（认真阅读教材50—51页内容）(一)例题研讨：一、例1：某煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气贮存室。
实际问题与反比例函数教案
实际问题与反比例函数教案教案标题：应用问题与反比例函数教案目标：通过了解和掌握反比例函数的特点及其应用，学生能够解决实际问题，并将其应用在实际生活中。
教学目标：1. 理解反比例函数的定义和性质。
2. 能够根据实际问题确定反比例函数的关系。
3. 能够运用反比例函数解决实际问题。
教学重点：1. 理解反比例函数的定义和性质。
2. 掌握根据实际问题确定反比例函数的关系。
3. 运用反比例函数解决实际问题的能力。
教学准备：1. 反比例函数的定义和性质的教学材料。
2. 实际问题的案例分析材料。
3. 教学投影仪或白板、笔等教学工具。
教学步骤：引入（10分钟）：1. 使用引人入胜的例子引起学生的兴趣，如“如果你的车以60英里每小时的速度行驶，你需要多长时间才能到达目的地？如果速度增加到75英里每小时，需要多长时间才能到达相同的目的地？”2. 引导学生思考关于速度和时间之间的关系，并提出反比例函数的概念。
讲解（20分钟）：1. 使用示意图和表格解释反比例函数的定义和性质。
2. 解释反比例函数的图像特点，包括直线通过原点、图像关于y轴的对称性以及导数的特殊性质。
实践与应用（40分钟）：1. 提供一些实际问题的案例，如“如果一条蛇在8小时内从地洞中爬出并伸展到40米长，那么它在12小时内能延伸到多长？”2. 引导学生分析问题，确定自变量和因变量之间的关系，以建立反比例函数的模型。
3. 引导学生使用所学的方法和技巧解决实际问题。
4. 指导学生用图形和符号两种方式来解释和验证他们的答案。
概括与评价（10分钟）：1. 总结反比例函数的特点和应用。
2. 鼓励学生将所学的知识应用到其他实际问题中。
3. 针对学生的表现给予积极的评价和指导。
拓展活动：1. 鼓励学生根据自己的兴趣选择更复杂的实际问题进行解决，并与同学分享他们的解决方法。
2. 对学生进行反比例函数的问答游戏，加深对知识的理解和记忆。
教学辅助：教师以及同学之间的讨论与合作，以及适量的教学材料和多媒体工具。
实际问题与反比例函数教案
17. 2实际问题与反比例函数教学目标1 •知识与技能学会把实际问题转化为数学问题，进一步理解反比例函数关系式的构造，掌握用反比例函数的方法解决实际问题.2 .过程与方法感受实际问题的探索方法，培养化归的数学思想和分析问题的能力.3 .情感、态度与价值观体验函数思想在解决实际问题中的应用，养成用数学的良好习惯.教学重点难点重点：用反比例函数解决实际问题.难点：构建反比例函数的数学模型.课时安排2 课时教与学互动设计第1课时(一)创设情境，导入新课一位司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用6?小时到达目的地.(1 )当他按原路匀速反回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？(2 )若该司机必须在4个小时内回到甲地，则返程的速度不能低于多少？(二)合作交流，解读探究探究 (1)原路返回，说明路程不变，则80X 6=480千米，因而速度v和时间t满足：vt=480或v= 480的反比例函数关系式.t(2)若要在4小时内回到甲地(原路)，则速度显然不能低于480 =120 (千米/时).4归纳常见的与实际相关的反比例(1)面积一定时，矩形的长与宽成反比例；(2)面积一定时，三角形的一边长与这边上的高成反比例；(3)体积一定时，柱(锥)体的底面积与高成反比例；(4 )工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例；(5)总价一定时，单价与商品的件数成反比例；(6)溶质一定时，溶液的浓度与质量成反比例.(三)应用迁移，巩固提高例1近视眼镜的度数y (度)与焦距x (m成反比例，已知400?度近视眼镜镜片的焦距为0.25m.(1)试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；(2)求1 000度近视眼镜镜片的焦距.【分析】把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题.k k解：(1)设y=，把x=0.25 , y=400 代入，得400=x 0.25所以，k=400 X 0.25=100，即所求的函数关系式为y=l00.x(2) 当 y=1 000 时,1000=1°°，解得=0.1m .x例2如图所示是某一蓄水池每小时的排水量v ( m/h )与排完水池中的水所用的时间t(h )之间的函数关系图象.(1 )请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量； (2 )写出此函数的解析式；(3) 若要6h 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？(4) 如果每小时排水量是 5 000m 3,那么水池中的水将要多少小时排完？【分析】 当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例. 解：(1)因为当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例， ？所以根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为：4 000 X 12=48 000 ( mi ).(2)因为此函数为反比例函数，所以解析式为：V=48 000 ;t(3) 若要6h 排完水池中的水，那么每小时的排水量为：V= ------------- =8000 (朋)；6(4)如果每小时排水量是 5 000m 3，那么要排 完水池中的水所需时间为：t= 48 000 =8000 ( mi )6备选例题(2005年中考•四川)制作一种产品，需先 将材料加热到达 60 C 后，再进行操作•设该材料 温度为y (C)，从加热开始计算的时间为x (分钟).据了解，设该材料加热时，温度 y 与时间x 完成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度 y 与时间x?成反比例关系(如图所示).已知该材料 在操作加工前的温度为 15 C ，加热5?分钟后温度 达到60 C. (1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时, (2)根据工艺要求，当材料的温度低于 15C 时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间?【答案】(1)将材料加热时的关系式为：y=9x+15 (0< x < 5)， ?停止加热进行操作时的关系式为丫二300(x>5) ； (2) 20分钟.x(四) 总结反思，拓展升华J珂HkVh)40001 LC > 12y 与x 的函数关系式;1•学会把实际问题转化为数学问题，？充分体现数学知识来源于实际生活又服务于实际生活这一原理.2 •能用函数的观点分析、解决实际问题，？让实际问题中的量的关系在数学模型中相互联系，并得到解决.(五)课堂跟踪反馈夯实基础1 • A B两城市相距720千米，一列火车从A城去B城.的函数关系是y= 90.x3. (2005年中考•长沙)已知矩形的面积为10,则它的长y与宽x之间的关系用图(1)火车的速度v (千米/时)和行驶的时间t（时）(2 )若到达目的地后，按原路匀速原回，并要求在度不能低于240千米/小时.720 v=t3小时内回到A城，则返回的速之间的函数关系是2 •有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的若下底长为x，高为y，则y与xABC 系D•下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是(.小明完成100m赛跑时，时间t ( s)与他跑步的平均速度.菱形的面积为48cnf,•一个玻璃容器的体积为C)v ( m/s)之间的关系x(cm)的关系它的两条对角线的长为y (cm)与30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关.压力为600N时，压强提升能力5 .面积为2的厶ABC 一边长为x，这边上的高为y，则y与x?的变化规律用图象表p与受力面积S之间的关系?药物燃烧4开放探究6 •为了预防流行性感冒，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒•已知,x1.6毫克时学生方可进教室，那么 从消毒开始，至少需要经过 J0_ 分钟后，学生才能回到教室；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于 10?分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？【答案】 有效，量开始低于3毫克，这样含药量不低于3毫克的时间共有16-4=12分钟，故有效.第2课时（一） 创设情境，导入新课公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡•也可这样描述：阻力x 阻力臂=动力x 动力臂.为此，他留下一句名言：给我一个支点，我可以撬动地球！ （二） 合作交流，解读探究问题：小伟想用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，？分别是1200N 和0.5m •（1） 动力F 和动力臂L 有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m 时，？撬动石头至少要 多大的力？（2） 若想使动力F 不超过第（1）题中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ 【分析】（1）由杠杆定律有FL=1200X 0.5 ,即F=600 ,当L=1.5时，F=-600 =400•l1.5（2 ）由（1）及题意，当 F=1 x 400=200 时，L=600 =3 （ m ）,2 200•••要加长 3-1.5=1.5 （ m ）.思考 你能由此题，利用反比例函数知识解释：为什么使用撬棍时， ？动力臂越长越省力？联想 物理课本上的电学知识告诉我们：用电器的输出功率 P （瓦）两端的电压（伏）、2时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x y 与x 成反比例（如图所示）•现测得药物8分钟燃毕， 6毫克，请你根据题中所提供的信息，解答下列问题：（分钟）成正比例，？药物燃烧后, 此室内空气中每立方米的含药量为(1) 药物燃烧时 y 关于x 的函数关系式为:y= 3 -x ，自变量的取值范围是:40<x<?8 ; 药物燃烧后y 与x 的函数关系式为： y= 48 研究表明，当空气中每立方米的含药量低于303毫克，当到第16分钟含药用电器的电阻R （欧姆）有这样的关系PR= u2，也可写为P=—.R(三)应用迁移，巩固提高 例1在某一电路中，电源电压 U 保持不变，电流I (A ) 与电阻R (Q )之间的函数关系如图所示. (1) 写出I 与R 之间的函数解析式； (2) 结合图象回答：当电路中的电流不超过 12A 时，电 路中电阻R?的取值范围是什么？ 【分析】 由物理学知识我们知道： 当电压一定时，电流 强度与电阻成反比例关系. 解：(1)设，根据题目条件知， 当1=6时，R=6所以， 所以K=36,所以 I 与R 的关系式为：I= 36 R(2)电流不超过注意因为R>0,3A ,即 1= 36 > 12,所以 R > 3 (Q).R才小丄36rm 36所以由 < 12,可得R >.R12例2某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 是气球体积v (卅)的反比例函数，其图象如图所示(？千帕是一种压强单位) (1) 写出这个函数的解析式；(2) 当气球体积为0.8m 3时，气球内的气压是多少千帕？ (3) 当气球内的气压大于 144千帕时，气球将爆炸，为了完全起见，？气球的体积应不小于多少？【分析】 在此题中，求出函数解析式是关键. k 解：设函数的解析式为 P=，把点A (1.5 , 64)的 VP (千帕)坐标代入,96 得k=96, ?所以所求的解析式为 P=96 ; V 396 V=0.8m 时，P= =120 0.8 (千帕)； (3) 由题意P W 144 (千帕) 96所以96 < 144,所以V96 2 3V >卫2 = 2 (卅)即气体的体积144 3应不小于 —m 3.3 备选例题 1 . (2005年中考变式•荆州)在某一电路中，电流 I =U. R (1 )当哪个量一定时，另两个量成反比例函数关系？ (2)若I 和R 之间的函数关系图象如图，试猜想这一 电路的电压是______________________ 伏. 2. (2005年中考•扬州)已知力 F 对一个物体作的功是 电压U 、电阻R 三者之间满足关系 15焦，则力F?与此物体在力【答案】1.（ 1）当电压U —定时，电流I 与电阻R 成反比例函数关系，（2）10； 2 . B （四） 总结反思，拓展升华1 •把实际问题中的数量关系，通过分析、转化为数学问题中的数量关系.2 •利用构建好的数学模型、函数的思想解决这类问题.3 .注意学科之间知识的渗透. （五） 课堂跟踪反馈 夯实基础1 .在一定的范围内，？某种物品的需求量与供应量成反比例. ？现已知当需求量为 500吨时，市场供应量为 10 000吨，？试求当市场供应量为 16 ?000?吨时的需求量是 ?312.5 吨_.2•某电厂有 5 000吨电煤. 这些电煤能够使用的天数x （天）与该厂平均每天用煤吨数 y（吨）？之间的函5 000 y=-x若平均每天用煤 200吨，这批电煤能用是 25 天；若该电厂前10天每天用200吨，后因各地用电紧张，每天用煤300吨，这批电煤共可用是_20_天.提升能力3 •一种电器的使用寿命 n （月）与平均每天使用时间t （小时）成反比例，？其关系求使用寿命n （月）与平均每天使用时间 t （小时）之间的函数关系式是 4 •某人用50N 的恒定压力用气筒给车胎打气.2（1）打气所产生的压强 P （帕）与受力面积S （米）之间的函数关系是:2在方向上移动的距离 S 之间的函数关系式的图象大致是（）（1） 数关系是（2）如图所示.(1) 480 o n= ? t(2) 当t=5小时时，电器的使用寿命是96 （月）(2)若受力面积是100cm，则产生的压强是5 000P ;(3 )你能根据这一知识解释：为什么刀刃越锋利，刀具就越好用吗？为什么坦克的轮子上安装又宽又长的履带呢？【答案】接触面积越小，压强越大，故刀具越好用，？反之可解释坦克装履带现象.开放探究5 .一封闭电路中，当电压是6V时，回答下列问题：(1)写出电路中的电流I(A)与电阻R (Q )之间的函数关系式是1= 6.R(2)画出该函数的图象.【答案】略(3)如果一个用电器的电阻是 5 Q,其最大允许通过的电流为1A,那么只把这个用电器接在这个封闭电路中，会不会烧坏？试通过计算说明理由.【答案】可能烧坏6 •如图所示是某个函数图象的一部分，根据图象回答下列问题：(1 )这个函数图象所反映的两个变量之间是怎样的函数关系？【答案】反比例函数(2 )请你根据所给出的图象，举出一个合乎情理且符合图象所给出的情形的实际例子.【答案】女口：电压一定时电流强度与电阻；路程一定时，速度与时间之间等.(3 )写出你所举的例子中两个变量的函数关系式，并指出自变量的取值范围.【答案】注意自变量的范围在1〜6之间.(4)说出图象中A点在你所举例子中的实际意义.【答案】根据所举的例子，当自变量为2时，函数值为3即可.教学反思。
八年级数学《实际问题与反比例函数》第一课时 教案
[设计意图]
反比例函数在实际问题的应用过程中，研究两个变量之间的关系。能够熟练地由已知一个变量求另一个变量。
[设计意图]
在这个过程中，学生活学活用，培养学生自主探究的学习品质，
活动四归纳小结，内化新知。
1.通过今天的学习,你们都有哪些收获想和同学们交流分享？
2.能和老师谈谈你们的困惑吗？愿意给其他同学以友情提示吗？
(1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系?
(2)如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少?
（2）d＝30(cm)
教师出示题组一，提出答题要求，学生回答，师根据学生的表现适时评价。
教师出示题组二1题，学生理解题意，独立解决问题，师巡视指导，帮助学困生。
[设计意图]
1、对所学的知识和所获得的方法进行巩固运用。
学
习
目
标
知识与技能
1.、运用反比例函数的概念和性质解决实际问题。
2、利用反比例函数求出问题中得值。
过程与方法
在运用反比例函数解决实际问题的过程中，进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意识，在“实际问题——建立模型——拓展应用”的过程中，发展学生分析问题、解决问题的能力。
情感态度与价值观
运用反比例函数解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学生学习的兴趣，同时也进一步培养了合作交流的意识。
教学程序
问题与情境
师生互动
媒体使用与教学评价
活动一创设情境，导入新课
问题1：反比例函数图象有哪些性质?
问题2：本节课学习目标：运用反比例函数的图象和性质解决实际问题。
问题3：你吃过拉面吗？你知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗？
反比例函数教案及教学反思
一、教案设计1.1 教学目标：(1) 知识与技能：使学生理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质，能够运用反比例函数解决实际问题。
(2) 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现反比例函数的规律，提高学生解决问题的能力。
(3) 情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，激发学生探索数学规律的欲望，培养学生的团队合作精神。
1.2 教学内容：(1) 反比例函数的概念：反比例函数是指形如y = k/x (k为常数，k≠0) 的函数。
(2) 反比例函数的性质：反比例函数的图像是一条通过原点的曲线，称为双曲线。
当k>0时，双曲线在第一、三象限；当k<0时，双曲线在第二、四象限。
(3) 反比例函数的应用：解决实际问题，如计算面积、速度、浓度等。
1.3 教学重点与难点：(1) 重点：反比例函数的概念和性质。
(2) 难点：反比例函数的应用。
1.4 教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生主动探究，提高学生解决问题的能力。
1.5 教学过程：(1) 导入：通过生活中的实例，引导学生思考反比例关系，激发学生的学习兴趣。
(2) 讲解：讲解反比例函数的概念，引导学生观察、分析反比例函数的性质。
(3) 实践：让学生通过实际问题，运用反比例函数解决问题，巩固所学知识。
(5) 作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
二、教学反思2.1 教学效果：通过本节课的教学，学生能够理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质，并能够运用反比例函数解决实际问题。
2.2 教学亮点：(1) 采用问题驱动法，引导学生主动探究，提高学生解决问题的能力。
(2) 结合生活中的实例，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
2.3 改进措施：(1) 在实践环节，可以增加一些具有挑战性的问题，让学生在解决问题的过程中，进一步提高反比例函数的应用能力。
(2) 在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高教学效果。
反比例函数的实际应用、 实际问题与反比例函数(教案)
26.2 实际问题与反比例函数第1课时反比例函数的实际应用（1）【知识与技能】进一步运用反比例函数的知识解决实际问题.【过程与方法】经历“实际问题一建立模型一问题解决”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力.【情感态度】运用反比例函数知识解决实际应用问题的过程中，感受数学的应用价值，提高学习兴趣.【教学重点】运用反比例函数的意义和性质解决实际问题.【教学难点】用反比例函数的思想方法分析、解决实际应用问题.一、情境导入，初步认识问题我们知道，确定一个一次函数y = kx+b的表达式需要两个独立的条件，而确定一个反比例函数表达式，则只需一个独立条件即可，如点A(2，3)是一个反比例函数图象上的点，则此反比例函数的表达式是，当x=4时，y的值为，而当y=13时，相应的x的值为，用反比例函数可以反映很多实际问题中两个变量之间的关系，你能举出一个反比例函数的实例吗？二、典例精析，掌握新知例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位：m2 )与其深度 d(单位:m)有怎样的函数关系？(2 )公司决定把储存室的底面积定为 500m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？(3)当施工队按（2)中的计划掘进到地下15m时，碰到坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深改为15m，相应地，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(精确到0.01m2)？【分析】已知圆柱体体积公式V=S • d,通过变形可得S=Vd，当V—定时，圆柱体的底面积S是圆柱体的高（深）d的反比例函数，而当S= 500m2时，就可得到d的值，从而解决问题（2)，同样地，当d= 15m —定时，代入S = Vd可求得S，这样问题（3)获解.例2 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，装载完毕恰好用了8天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度V(单位：吨/天）与卸货时间t 单位：天）之间有怎样的函数关系？(2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5天内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多货？【分析】由装货速度×装货时间=装货总量，可知轮船装载的货物总量为240吨；再根据卸货速度=卸货总量÷卸货时间，可得V与t的函数关系式为V=240t，获得问题（1)的解；在(2)中，若把t=5代入关系式，可得V=48，即每天至少要卸载48吨，则可保证在5天内卸货完毕.此处，若由V=240t得到t=240V，由t≤5，得240V≤5，从而V≥48，即每天至少要卸货48吨，才能在不超过5天内卸货完毕.【教学说明】例2仍可由学生自主探究，得到结论.鼓励学生多角度出发，对问题（2)发表自己的见解，在学生交流过程中，教师可参与他们的讨论，帮助学生寻求解决问题的方法，对有困难的学生及时给予点拨，使不同层次的学生在学习中都有所收获.例3如图所示是某一蓄水池每1h的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用时间t(h)之间的函数图象.(1) 请你根据图象提供的信息求出此蓄水的蓄水量.(2) 写出此函数的函数关系式.(3) 若要6h排完水池的水，那么每1h的排水量应该是多少？(4) 如果每1h排水量是5m3，那么水池中【分析】解此题关键是从图象中获取有关信息，会根据图象回答.解：(1)由图象知：当每1h排水4m3时，需12h排完水池中的水，∴蓄水量为4×12 = 48（m3 )(2)由图象V与t成反比例，设V=kt(k≠0).把V=4,t=12代入得k=48，∴V =48t(t＞0).(3)当t=6时，486V== 8，即每1h排水量是8m3⑷当V=5时,5 = 48t,485t∴== 9.6(h)，即水池中的水需要用9.6h排完.【教学说明】例3相比前面两例，难度增加，教师在讲解本题时，要辅导学生从图象中获取信息，会根据图象回答问题.三、运用新知，深化理解1.某玻璃器皿公司要挑选一种容积为1升 (1升=1立方分米）的圆锥形漏斗.(1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系？(2)如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少？2.市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106m3，某运输公司承办了这项工程运送土石方的任务.(1)运输公司平均每天的工作量V(单位：m3/天）与完成运送任务所需的时间t （单位：天）之间具有怎样的函数关系？(2)这个运输公司共有100辆卡车，每天一共可运送土石方104m3.则公司完成全部运输任务需要多长时间？【教学说明】以上两题让学生相互交流，共同探讨，获得结果，使学生通过对上述问题的思考，巩固所学知识，增强运用反比例函数解决问题的能力.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.【答案】1.解：（1)13Sd=1，S =3d(d＞0)(2)100cm2 = 1dm2，当S = 1dm2时，3d=1,d=3dm.2.解:(1)661010,(Vt V tt==＞0) .(2)t=662410101010V== .即完成任务需要100天.四、师生互动，课堂小结谈谈这节课的收获和体会，与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题26. 2”中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本节课是用函数的观点处理实际问题，其中蕴含着体积、面积这样的实际问题.而解决这些问题的关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，从而逐步形成考察实际问题的能力.在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想.学生已经有了反比例函数的概念及其图象与性质这些知识作为基础，另外在小学也学过反比例，并且上学期已经学习了正比例函数、一次函数，学生已经有了一定的知识准备.因此，本节课教师可从身边事物入手，使学生真正体会到数学知识来源于生活，有一种亲切感.在学习中要让学生经历实践、思考、表达与交流的过程，给学生留下充足的时间来进行交流活动，不断引导学生利用数学知识来解决实际问题.26.2 实际问题与反比例函数第1课时实际问题与反比例函数（1）——面积问题与装卸货物问题一、新课导入1.课题导入前面我们结合实际问题讨论了反比例函数，看到了反比例函数在分析和解决问题中所起的作用.这节课我们进一步探讨如何利用反比例函数解决实际问题.2.学习目标(1)掌握常见几何图形的面积（体积）公式.(2)能利用工作总量、工作效率和工作时间的关系列反比例函数解析式.(3)从实际问题中抽象出数学问题，建立函数模型，运用所学的数学知识解决实际问题.3.学习重、难点重点：面积问题与装卸货物问题.难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P12例1.（2）自学时间：8分钟.（3）自学指导：抓住问题的本质和关键，寻求实际问题中某些变量之间的关系.（4）自学参考提纲：①圆柱的体积=底面积×高，教材P12例1中，圆柱的高即是d，故底面积410Sd .②P12例1的第(2)问实际是已知S=500，求d.③例1的第(3)问实际是已知d=15，求S.④如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60 m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12 m，设AD的长为x m，DC的长为y m.a.求y与x之间的函数关系式；60 yx ⎛=⎫ ⎪⎝⎭b.若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26 m，材料AD和DC 的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案.(AD=5 m,DC=12 m;AD=6m,DC=10 m;AD=10 m,DC=6 m.)2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否掌握利用面积（体积）公式列反比例函数关系式.②差异指导：辅导关注学困生.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化(1)教材例1的解题思路和解答过程.(2)面积公式与体积公式中的反比例关系.(3)练习：已知某矩形的面积为20 cm2.①写出其长y与宽x之间的函数表达式；②当矩形的长为12 cm时，宽为多少?当矩形的宽为4 cm，长为多少?③如果要求矩形的长不小于8 cm，其宽最多是多少？答案：①20yx=②53cm;5 cm③52cm1.自学指导（1）自学内容：教材P13例2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真分析例题，积极思考，结合自学参考提纲自学.（4）自学参考提纲：①工作总量、工作时间和工作效率（或速度）之间的关系是怎样的？②教材例2中这艘船共装载货物240吨，卸货速度v（吨/天）与卸货时间t（天）的关系是240 vt =.③如果列不等式求“平均每天至少要卸载多少吨”，你会怎样做？写出你的解答过程.④一司机驾汽车从甲地去乙地，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地.a.当他按原路匀速返回时，汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）有怎样的函数关系？480 vt⎛=⎫ ⎪⎝⎭b.如果该司机必须在4小时之内返回甲地，则返程时的速度不得低于多少？(120千米/小时)c.若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过120千米/小时，最低车速不得低于60千米/小时，试问返程所用时间的范围是多少？（4~8小时）2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否会列函数关系式，是否会根据反比例函数关系解决实际问题.②差异指导：指导学生从形式和自变量的取值范围两个方面对比正比例函数理解反比例函数.（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.4.强化（1）教材例2的解题思路和解答过程.（2）练习：某学校食堂为方便学生就餐，同时又节约成本，常根据学生多少决定开放多少售饭窗口，假定每个窗口平均每分钟可以售饭给3个学生，开放10个窗口时，需1小时才能对全部学生售饭完毕.①共有多少学生就餐？②设开放x 个窗口时，需要y 小时才能让当天就餐的同学全部买上饭，试求出y 与x 之间的函数关系式；③已知该学校最多可以同时开放20个窗口，那么最少多长时间可以让当天就餐的学生全部买上饭？答案：①1800个；②10y x=;③30分钟. 三、评价1.学生自我评价.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价（评价检测）.3.教师的自我评价（教学反思）.函数是初中数学的难点之一，当函数遇到实际应用，可谓是难上加难，但也使解题多了几种途径.对于这些实际问题，要善于运用函数的观点去处理.因此在教学过程要注意培养学生的审题能力，理解文字中隐藏的已知条件，合理地建立函数模型，然后根据模型找出实际生活中的数据与模型中的哪些量相对应.将实际问题置于已有的知识背景中，用数学知识重新解释这是什么，可以是什么，逐步培养解决实际问题的能力.一、基础巩固（70分）1.(10分)某轮船装载货物300吨，到港后，要求船上货物必须不超过5日卸载完毕，则平均每天至少要卸载（B ）A.50吨B.60吨C.70吨D.80吨2.(10分) 用规格为50 cm×50 cm 的地板砖密铺客厅恰好需要60块．如果改用规格为a cm×a cm 的地板砖y 块也恰好能密铺该客厅，那么y 与a 之间的关系为（A ） A.2150000y a = B.150000y a = C.y=150000a 2 D.y=150000a3.(10分) 如果以12 m 3/h 的速度向水箱注水，5 h 可以注满.为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到Q （m 3/h ），那么此时注满水箱所需要的时间t （h ）与Q （m3/h）之间的函数关系为（A）A.60tQ= B.t=60QC.6012tQ=- D.6012tQ=+4.(10分) 如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，当它的面积为10时，x与y 的函数关系式为（D）A.10yx= B.5yx= C.20xy= D.20yx=5.(10分) 已知圆锥的体积V＝13Sh（其中S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高）．若圆锥的体积不变，当h为10 cm时，底面积为30 cm2，则h关于S的函数解析式为300 hS =.6.(10分)小艳家用购电卡购买了1000度电，那么这些电能够使用的天数m 与小艳家平均每天的用电度数n有怎样的函数关系？如果平均每天用电4度，这些电可以用多长时间？解：1000mn=;250天.7.(10分)某农业大学计划修建一块面积为2×106 m2的长方形试验田.（1）试验田的长y（单位：m）关于宽x（单位：m）的函数关系式是什么？（2）如果试验田的长与宽的比为2∶1，则试验田的长与宽分别是多少？解：（1）6210yx⨯=;(2)长：2×103 m，宽：103 m.二、综合应用（20分）8. (10分)某地计划用120~180天（含120天与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万立方米.（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万立方米）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000立方米，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万立方米？解：（1）360yx=(2≤x≤3);（2）设原计划每天运送土石方x万立方米，实际每天运送土石方（x+0.5）万立方米.则360360240.5x x+=+（）.解得x=2.5.因此，原计划每天运送土石方2.5万立方米，实际每天运送土石方3万立方米.9.(10分)正在新建中的住宅楼主体工程已经竣工，只剩下楼体外表面需要贴瓷砖，已知楼体外表面的面积为5×103 m2.(1)所需瓷砖的块数n与每块瓷砖的面积S有怎样的函数关系？(2)为了使住宅楼的外观更漂亮，开发商决定采用灰、白和蓝三种颜色的瓷砖，每块砖的面积都是80 cm2，灰、白、蓝瓷砖使用比例为2∶2∶1，则需三种瓷砖各多少块？解：（1）n=5×103S；（2）设需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2x、2x、x块.（2x+2x+x）·80=5×103×104x=1.25×105因此，需灰、白、蓝三种瓷砖分别为2.5×105块、2.5×105块、1.25×105块.三、拓展延伸（10分）10.(10分) 水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：观察表中数据，发现这种海产品每天的销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数中的一种.（1）请你选择一种合适的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外一种函数的理由；（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且以后每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？解：（1）12000y x；不选一次函数是因为y 与x 之间不成正比例关系. （2）30+40+48+12000240+60+80+96+100=504(千克)， （2104-504）÷12000150=20（天）. （3）（20-15）×12000150÷2=200（千克），12000÷200=60（元/千克）.。
初二数学实际问题与反比例函数教案
初二数学实际问题与反比例函数教案17.2实际问题与反比例函数(1)一、教学目标1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2.渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力二、重点、难点1.重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2.难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式三、例题的意图分析教材第57页的例1，数量关系比较简单，学生根据基本公式很容易写出函数关系式，此题实际上是利用了反比例函数的定义，同时也是要让学生学会分析问题的方法。
教材第58页的例2是一道利用反比例函数的定义和性质来解决的实际问题，此题的实际背景较例1稍复杂些，目的是为了提高学生将实际问题抽象成数学问题的能力，掌握用函数观点去分析和解决问题的思路。
补充例题一是为了巩固反比例函数的有关知识，二是为了提高学生从图象中读取信息的能力，掌握数形结合的思想方法，以便更好地解决实际问题四、课堂引入寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。
你能解释一下小明这样做的道理吗?五、例习题分析例1.见教材第57页分析：(1)问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为104，底面积是S，深度为d，满足基本公式：圆柱的体积 =底面积高，由题意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式，(2)问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，(3)问则是与(2)相反例2.见教材第58页分析：此题类似应用题中的工程问题，关系式为工作总量=工作速度工作时间，由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系，(2)问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v 取最小值是多少?例1.(补充)某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(千帕)是气体体积V(立方米)的反比例函数，其图像如图所示(千帕是一种压强单位)(1)写出这个函数的解析式;(2)当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕?(3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米?分析：题中已知变量P与V是反比例函数关系，并且图象经过点A，利用待定系数法可以求出P与V的解析式，得，(3)问中当P大于144千帕时，气球会爆炸，即当P不超过144千帕时，是安全范围。
八年级数学下册 17.2 实际问题与反比例函数教案
一、创设问题情境
教学过程： 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x 元与日销售量y 之间有如下关系：
x(元)
3 4 5 6 y(个) 20 15 12 10
(1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x ，y)的对应点；
(2)猜测并确定y 与x 之间的函数关系式，并画出图象；
(3)设经营此贺卡的销售利润为W 元，试求出w 与x 之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x 定为多少元时，才能获得最大日销售利润?
设计意图：
进一步展示现实生活中两个变量之间的反比例函数关系，激发学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲．
教师巡视学生小组讨论的结果．
在此活动中，教师应重点关注：
（1） 学生动手操作的能力；
（2）学生数形结合的意识；
（3）学生能否大胆说出自己的见解，倾听别人的看法．
教师总结：能用数学模型刻画现实问题外，还能用数学知识解释生活中的问题．
二讲解例题1 （课件）
画出v ＝240t
在第一象限内的图象(因为t ＞O)．如下图． 当t ＝5时，代入v ＝240t
，得v ＝48。
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17.2实际问题与反比例函数(1)一、教学目标1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2.渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力二、重点、难点1.重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题2.难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式三、例题的意图分析教材第57页的例1，数量关系比较简单，学生根据基本公式很容易写出函数关系式，此题实际上是利用了反比例函数的定义，同时也是要让学生学会分析问题的方法。
教材第58页的例2是一道利用反比例函数的定义和性质来解决的实际问题，此题的实际背景较例1稍复杂些，目的是为了提高学生将实际问题抽象成数学问题的能力，掌握用函数观点去分析和解决问题的思路。
补充例题一是为了巩固反比例函数的有关知识，二是为了提高学生从图象中读取信息的能力，掌握数形结合的思想方法，以便更好地解决实际问题四、课堂引入寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。
你能解释一下小明这样做的道理吗?五、例习题分析例1.见教材第57页分析：(1)问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为104，底面积是S，深度为d，满足基本公式：圆柱的体积 =底面积高，由题意知S是函数，d是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式，(2)问实际上是已知函数S的值，求自变量d的取值，(3)问则是与(2)相反例2.见教材第58页分析：此题类似应用题中的工程问题，关系式为工作总量=工作速度工作时间，由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度v和时间t，因此具有反比关系，(2)问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量t取最大值时，函数值v取最小值是多少?例1.(补充)某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(千帕)是气体体积V(立方米)的反比例函数，其图像如图所示(千帕是一种压强单位)(1)写出这个函数的解析式;(2)当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕?(3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米?分析：题中已知变量P与V是反比例函数关系，并且图象经过点A，利用待定系数法可以求出P与V的解析式，得，(3)问中当P大于144千帕时，气球会爆炸，即当P不超过144千帕时，是安全范围。
根据反比例函数的图象和性质，P随V的增大而减小，可先求出气压P=144千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于立方米六、随堂练习1.京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间的函数关系式为2.完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y(元)与人数x(人)之间的函数关系式3.一定质量的氧气，它的密度 (kg/m3)是它的体积V(m3)的反比例函数，当V=10时， =1.43，(1)求与V的函数关系式;(2)求当V=2时氧气的密度答案： = ，当V=2时， =7.15。