2015-2016年湖北省十堰十三中高二上学期期中数学试卷及答案(文科)

2015-2016学年湖北省十堰十三中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在答题卡上）1．（5分）命题“若x2＞y2则x＞y”的逆否命题是（）A．若x2＜y2则x＜y B．若x＞y则x2＞y2C．若x≤y则x2≤y2D．若x≥y则x2＞y22．（5分）双曲线y2﹣x2=2的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x3．（5分）“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设点P（x，y），则“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）下列命题中，真命题是（）A．存在x0∈R，sin2+cos2=B．任意x∈（0，π），sinx＞cosxC．任意x∈（0，+∞），x2+1＞xD．存在x0∈R，x02+x0=﹣16．（5分）若直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（）A．+y2=1B．+=1C．+y2=1或+=1 D．以上答案都不对7．（5分）在命题p的四种形式（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）中，正确命题的个数记为f（p），已知命题p：“若两条直线l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0平行，则a1b2﹣a2b1=0”．那么f（p）=（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（5分）设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A．30 B．.25 C．24 D．.409．（5分）一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF 1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，则椭圆方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=110．（5分）已知两圆C1：（x﹣4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）A．﹣=1 B．+=1C．﹣=1 D．+=111．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．12．（5分）已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根，命题q：关于x函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上为增函数，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则实数a取值范围为（）A．（﹣12，﹣4]∪[4，+∞）B．[﹣12，﹣4]∪[4，+∞）C．（﹣∞，﹣12）∪（﹣4，4）D．[﹣12，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上）13．（5分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是．14．（5分）下列命题：①若ac2＞bc2，则a＞b；②若sinα=sinβ，则α=β；③“实数a=0”是“直线x﹣2ay=1和直线2x﹣2ay=1平行”的充要条件；④若f（x）=log2x，则f（|x|）是偶函数．其中正确命题的序号是．15．（5分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．16．（5分）已知函数y=lg（4﹣x）的定义域为A，集合B={x|x＜a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）椭圆过点（3，0），离心率e=，求椭圆的标准方程．18．（12分）写出下列命题的否定并判断其真假：（1）p：不论m取何实数值，方程x2+mx﹣1=0必有实数根；（2）p：有的三角形的三条边相等；（3）p：菱形的对角线互相垂直；（4）p：存在x∈N，x2﹣2x+1≤0．19．（10分）点P到定点F（0，3）的距离和它到定直线y=9的距离的比为1：3，求点P的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．20．（12分）命题p：对任意实数x都有x2+ax+1＞0恒成立；命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．21．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=．求椭圆的方程．22．（14分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P（4，）．（1）求双曲线C的方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：=0；（3）求△F1MF2的面积．2015-2016学年湖北省十堰十三中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在答题卡上）1．（5分）命题“若x2＞y2则x＞y”的逆否命题是（）A．若x2＜y2则x＜y B．若x＞y则x2＞y2C．若x≤y则x2≤y2D．若x≥y则x2＞y2【解答】解：命题“若x2＞y2则x＞y”；条件为：“若x2＞y2”，结论为：“x＞y”；故其逆否命题为：若x≤y则x2≤y2故选：C．2．（5分）双曲线y2﹣x2=2的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x【解答】解：双曲线y2﹣x2=2的标准方程为=1，故渐近线方程是，即y=±x，故选A．3．（5分）“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若（2x﹣1）x=0 则x=0或x=．即（2x﹣1）x=0推不出x=0．反之，若x=0，则（2x﹣1）x=0，即x=0推出（2x﹣1）x=0所以“（2x﹣1）x=0”是“x=0”的必要不充分条件．故选：B．4．（5分）设点P（x，y），则“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵x=2且y=﹣1”可以得到“点P在直线l：x+y﹣1=0上”，当“点P在直线l：x+y﹣1=0上”时，不一定得到x=2且y=﹣1，∴“x=2且y=﹣1”是“点P在直线l：x+y﹣1=0上”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）下列命题中，真命题是（）A．存在x0∈R，sin2+cos2=B．任意x∈（0，π），sinx＞cosxC．任意x∈（0，+∞），x2+1＞xD．存在x0∈R，x02+x0=﹣1【解答】解：A，∵sin2+cos2=1，故不存在x0∈R，使得sin2+cos2=，即A错误；B，x=∈（0，π），但sin=＜=cos，故B错误；C，∵x2﹣x+1=+＞0恒成立，故任意x∈（0，+∞），x2+1＞x，正确；D，∵x02+x0+1=+＞0恒成立，故不存在x0∈R，使得x02+x0=﹣1，即D 错误；综上所述，真命题是C．故选：C．6．（5分）若直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为（）A．+y2=1B．+=1C．+y2=1或+=1 D．以上答案都不对【解答】解：设焦点在x轴上，椭圆的标准方程为∴焦点坐标为（﹣c，0），（c，0），顶点坐标为（0，b），（0，﹣b）；椭圆的a，b，c关系：；a2﹣b2=c2∵直线x﹣2y+2=0恒过定点（0，1）∴直线x﹣2y+2=0必经过椭圆的焦点（﹣c，0），和顶点（0，b）带入直线方程：解得：c=2，b=1，a=∴焦点在x轴上，椭圆的标准方程为；当设焦点在y轴，椭圆的标准方程为∴焦点坐标为（0，﹣c），（0，c），顶点坐标为（﹣b，0），（b，0）；椭圆的a，b，c关系：a2﹣b2=c2∵直线x﹣2y+2=0恒过定点（0，1）∴直线x﹣2y+2=0必经过椭圆的焦点（0，c），和顶点（﹣b，0）带入直线方程解得：c=1，b=2，a=∴焦点在y轴上，椭圆的标准方程为．故选：C．7．（5分）在命题p的四种形式（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）中，正确命题的个数记为f（p），已知命题p：“若两条直线l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0平行，则a1b2﹣a2b1=0”．那么f（p）=（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵命题p：“若两条直线l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0平行，则a1b2﹣a2b1=0”原命题是一个真命题，它的逆命题是：”若a1b2﹣a2b1=0，则两条直线l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0平行”，这个命题不正确，因为除去平行还有一种关系就是重合，∴逆命题不正确．根据原命题与逆否命题具有相同的真假性，得到逆否命题正确，根据逆命题和否命题具有相同的真假性，得到否命题不正确，总上可知有2个命题正确，∴f（p）=2，故选：B．8．（5分）设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|=4：3，则△PF1F2的面积为（）A．30 B．.25 C．24 D．.40【解答】解：∵|PF1|：|PF2|=4：3，∴可设|PF1|=4k，|PF2|=3k，由题意可知3k+4k=2a=14，∴k=2，∴|PF1|=8，|PF2|=6，∵|F1F2|=10，∴△PF1F2是直角三角形，其面积=×|PF1|×|PF2|=×6×8=24．故选：C．9．（5分）一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，则椭圆方程为（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，P是椭圆上的一点，∴2|F1F2|=|PF2|+|PF1|=2a，∴a=2c．设椭圆方程为，则解得a=2，c=，b2=6．故椭圆的方程为+=1．故选：A．10．（5分）已知两圆C1：（x﹣4）2+y2=169，C2：（x+4）2+y2=9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）A．﹣=1 B．+=1C．﹣=1 D．+=1【解答】解：设动圆圆心M（x，y），半径为r，∵圆M与圆C1：（x﹣4）2+y2=169内切，与圆C2：（x+4）2+y2=9外切，∴|MC1|=13﹣r，|MC2|=r+3，∴|MC1|+|MC2|=16＞8，由椭圆的定义，M的轨迹为以C1，C2为焦点的椭圆，可得a=8，c=4；则b2=a2﹣c2=48；∴动圆圆心M的轨迹方程：+=1．故选：D．11．（5分）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．12．（5分）已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根，命题q：关于x函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上为增函数，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则实数a取值范围为（）A．（﹣12，﹣4]∪[4，+∞）B．[﹣12，﹣4]∪[4，+∞）C．（﹣∞，﹣12）∪（﹣4，4）D．[﹣12，+∞）【解答】解：由已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根，∴△≥0，即a2﹣16≥0，∴a≥4，或a≤﹣4．由命题q：关于x函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上为增函数，∴≤3，解得a≥﹣12．由“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，等价于或．由得到a＜﹣12；由得到﹣4＜a＜4．综上可知a的取值范围是：（﹣∞，﹣12）∪（﹣4，4）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上）13．（5分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p 是∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．【解答】解：命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题．故¬p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0故答案为：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．14．（5分）下列命题：①若ac2＞bc2，则a＞b；②若sinα=sinβ，则α=β；③“实数a=0”是“直线x﹣2ay=1和直线2x﹣2ay=1平行”的充要条件；④若f（x）=log2x，则f（|x|）是偶函数．其中正确命题的序号是③④．【解答】解：①由ac2＞bc2，若c为实数，则a＞b，若c为复数，比如c=i，则由ai2＞bi2推出a＜b，故①错；②若sinα=sinβ，则α=2kπ+β或2kπ+π﹣β，k∈Z，故②不正确；③由直线x﹣2ay=1和直线2x﹣2ay=1平行得，当斜率都不存在时，a=0，当斜率都存在，则，a无解，故“实数a=0”是“直线x﹣2ay=1和直线2x﹣2ay=1平行”的充要条件，即③正确；④若f（x）=log2x，则f（|x|）=log2|x|，首先定义域为{x|x≠0，x∈R}，f（|﹣x|）=log2|﹣x|=log2|x|=f（|x|），故f（|x|）是偶函数，故④正确．故答案为：③④15．（5分）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的【解答】解：如图所示，由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tanα，∴α=60°．又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，∴，∴．设|MF2|=m，|MF1|=n，则，解得．∴该椭圆的离心率e=．故答案为．16．（5分）已知函数y=lg（4﹣x）的定义域为A，集合B={x|x＜a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围a＞4．【解答】解：∵A={x|x＜4}，∵P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，∴集合A是集合B的子集，由图易得a＞4．故答案为：a＞4．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）椭圆过点（3，0），离心率e=，求椭圆的标准方程．【解答】解：当椭圆的焦点在x轴上时，∵a=3，=，∴c=，∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆方程为=1．当椭圆的焦点在y轴上时，∵b=3，=，∴=，解得a2=27．故椭圆的方程为=1．综上知，所求椭圆的方程为=1，或=1．18．（12分）写出下列命题的否定并判断其真假：（1）p：不论m取何实数值，方程x2+mx﹣1=0必有实数根；（2）p：有的三角形的三条边相等；（3）p：菱形的对角线互相垂直；（4）p：存在x∈N，x2﹣2x+1≤0．【解答】解：（1）p：不论m取何实数值，方程x2+mx﹣1=0必有实数根；￢p：存在一个实数m，方程x2+mx﹣1=0没有实数根；若方程没有实数根，则判别式△=m2+4＜0，此时不等式无解，即￢p为假命题．（2）p：有的三角形的三条边相等；￢p：所有的三角形的三条边不都相等，为假命题，正三角形的三条边相等，则命题p是真命题，则￢p是假命题．（3）p：菱形的对角线互相垂直；则p是真命题，￢p：存在一个菱形，则它的对角线互相不垂直，∵p是真命题，∴￢p是假命题（4）p：存在x∈N，x2﹣2x+1≤0．￢p：任意x∈N，x2﹣2x+1＞0．∵x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴当x=1时，x2﹣2x+1=（x﹣1）2=0，则命题￢p为假命题．19．（10分）点P到定点F（0，3）的距离和它到定直线y=9的距离的比为1：3，求点P的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．【解答】解：设点P（x，y），依题意=，∴，整理得：9x2+8y2﹣36y=0，即．∴点P的轨迹方程为即，轨迹是中心为（0，），F为一个焦点，l为相应准线的椭圆．20．（12分）命题p：对任意实数x都有x2+ax+1＞0恒成立；命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：对任意实数x都有x2+ax+1＞0恒成立；则判别式△=a2﹣4＜0，即﹣2＜a＜2，命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根．则判别式△=1﹣4a≥0，即a≤，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，若p真q假，则，即＜a＜2，若p假q真，则，即a≤﹣2，综上a≤﹣2或＜a＜2．21．（12分）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=．求椭圆的方程．【解答】解：设所求椭圆方程为依题意知，点P、Q的坐标满足方程组①②将②式代入①式，整理得（a2+b2）x2+2a2x+a2（1﹣b2）=0，③设方程③的两个根分别为x1，x2，那么直线y=x+1与椭圆的交点为P（x1，x1+1），Q（x2，x2+1）．由题设OP⊥OQ，|PQ|=，可得整理得④⑤解这个方程组，得或根据根与系数的关系，由③式得（Ⅰ）或（Ⅱ）解方程组（Ⅰ），（Ⅱ），得或故所求椭圆的方程为，或22．（14分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P（4，）．（1）求双曲线C的方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：=0；（3）求△F1MF2的面积．【解答】（1）解：∵e=，∴可设双曲线方程为x2﹣y2=λ．∵过点（4，﹣），∴16﹣10=λ，即λ=6．∴双曲线方程为x2﹣y2=6；（2）证明：∵=（﹣3﹣2，﹣m），=（2﹣3，﹣m），∴=（﹣3﹣2）×（2﹣3）+m2=﹣3+m2，∵M点在双曲线上，∴9﹣m2=6，即m2﹣3=0，∴=0．（3）解：△F1MF2中|F1F2|=4，由（2）知m=±．∴△F1MF2的F1F2边上的高h=|m|=，∴S△F1MF2=6．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。