黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2018届高考数学(理)一轮复习学案 第13讲导数与导数运算课
2018年高考数学一轮复习专题13导数的概念及其运算教学案理.
专题13 导数的概念及其运算1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y ＝c(c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x2，y ＝x3，y ＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y ＝f(ax ＋b)的复合函数)的导数．1．函数f(x)在点x0处的导数 (1)定义函数y ＝f(x)在点x0的瞬时变化率lim Δx→0f x0＋Δx －f x0Δx＝l ，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f′(x0)，即lim Δx→0 f x0＋Δx －f x0Δx＝f′(x0)． (2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y ＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．2．函数f(x)的导函数如果f(x)在开区间(a ，b)内每一点x 导数都存在，则称f(x)在区间(a ，b)可导．这样，对开区间(a ，b)内每个值x ，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a ，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f(x)的导函数，记为f′(x)(或y′x、y′)． 3．基本初等函数的导数公式4．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f′ x g x －f x g′ x [g x ]2 (g(x)≠0)． 5．复合函数的导数复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．高频考点一 导数的运算例1、分别求下列函数的导数： (1)y ＝exln x ；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x2＋1x ＋1x3； (3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x.解 (1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x ＋ex·1x＝ex ⎝⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x . (2)∵y＝x3＋1＋1x2，∴y′＝3x2－2x3.(3)∵y＝x －12sin x ，∴y′＝1－12cos x.(4)∵y＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x)，∴y′＝12·11＋2x ·(1＋2x)′＝11＋2x.【方法技巧】求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导. 【变式探究】求下列函数的导数： (1)y ＝x2sin x ； (2)y ＝cos x ex；(3)y ＝xsin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5).解 (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x ＋x2cos x.(2)y′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ex ′＝（cos x ）′ex－cos x （ex ）′（ex ）2＝－sin x ＋cos xex.高频考点二 导数的几何意义例2、(1)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f(x)在点 (1，2)处的切线方程是________.(2)已知函数f(x)＝xln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f(x)相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0B.x －y －1＝0C.x ＋y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0解析 (1)设x>0，则－x<0，f(－x)＝ex －1＋x. 又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝ex －1＋x ， 所以当x>0时，f(x)＝ex －1＋x.因此，当x>0时，f′(x)＝ex －1＋1，f′(1)＝e0＋1＝2.则曲线y ＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x 上， ∴设切点为(x0，y0).又∵f′(x)＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y0＝x0ln x0，y0＋1＝（1＋ln x0）x0，解得x0＝1，y0＝0.∴切点为(1，0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.答案 (1)2x －y ＝0 (2)B【方法规律】(1)求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 【变式探究】(1)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a)相切，则a 的值为( ) A.1 B.2 C.－1 D.－2(2)若函数f(x)＝12x2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.解析 (1)设切点为(x0，y0)，y′＝1x ＋a，所以有⎩⎪⎨⎪⎧y0＝x0＋1，1x0＋a ＝1，y0＝ln （x0＋a ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－1，y0＝0，a ＝2. (2)∵f(x)＝12x2－ax ＋ln x ，∴f′(x)＝x －a ＋1x .∵f(x)存在垂直于y 轴的切线，∴f′(x)存在零点，∴x＋1x －a ＝0有解，∴a＝x ＋1x≥2(x>0).答案 (1)B (2)[2，＋∞)【举一反三】(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析 法一 ∵y＝x ＋ln x ，∴y′＝1＋1x，y′|x＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. ∵y＝2x －1与曲线y ＝ax2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax2＋（a ＋2）x ＋1消去y ，得ax2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a2－8a ＝0，解得a ＝8.法二 同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x0，ax20＋(a ＋2)x0＋1). ∵y′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a ＋2).由⎩⎪⎨⎪⎧2ax0＋（a ＋2）＝2，ax20＋（a ＋2）x0＋1＝2x0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－12，a ＝8. 答案 8高频考点三、导数与函数图象的关系例3、如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E 作OB 的垂线l.记△AOB 在直线l 左侧部分的面积为S ，则函数S ＝f(x)的图象为下图中的( )答案 D【感悟提升】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f′(x0)． (2)已知斜率k ，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.(3)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y1＝f x1 ，y0－y1＝f′ x1 x0－x1 求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．【变式探究】(1)已知函数f(x)＝3x ＋cos2x ＋sin2x ，a ＝f′(π4)，f′(x)是f(x)的导函数，则过曲线y ＝x3上一点P(a ，b)的切线方程为( ) A ．3x －y －2＝0 B ．4x －3y ＋1＝0C ．3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0D ．3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0(2)若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝xlnx 的切线，则实数m 的值为________． 答案 (1)C (2)－e解析 (1)由f(x)＝3x ＋cos2x ＋sin2x得f′(x)＝3－2sin2x ＋2cos2x ， 则a ＝f′(π4)＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x3得y′＝3x2，当P 点为切点时，切线的斜率k ＝3a2＝3×12＝3. 又b ＝a3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)．故过曲线y ＝x3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.当P 点不是切点时，设切点为(x0，x30)， ∴切线方程为y －x30＝3x20(x －x0)，∵P(a，b)在曲线y ＝x3上，且a ＝1，∴b＝1. ∴1－x30＝3x20(1－x0)， ∴2x 30－3x20＋1＝0，∴2x 30－2x20－x20＋1＝0， ∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，∴切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18，∴此时的切线方程为y ＋18＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，综上，满足题意的切线方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0，故选C. (2)设切点为(x0，x0lnx0)，由y′＝(xlnx)′＝lnx ＋x·1x ＝lnx ＋1，得切线的斜率k ＝lnx0＋1，故切线方程为y －x0lnx0＝(lnx0＋1)(x －x0)， 整理得y ＝(lnx0＋1)x －x0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧lnx0＋1＝2，－x0＝m ，解得x0＝e ，故m ＝－e.【2016高考山东理数】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（ ） （A ）sin y x= （B ）ln y x=（C ）e xy = （D ）3y x =【答案】A【解析】当sin y x =时，cos y x '=，cos 0cos 1⋅π=-，所以在函数sin y x =图象存在两点，使条件成立，故A 正确；函数3ln ,e ,x y x y y x ===的导数值均非负，不符合题意，故选A 。
2018版高考数学(理)一轮复习文档：第三章导数及其应用3.1含解析
1．导数与导函数的概念(1）一般地，函数y ＝f （x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是错误! 错误!＝错误!错误!,我们称它为函数y ＝f （x )在x ＝x 0处的导数，记作()00|x x f x y ''＝或，即f ′（x 0）＝错误! 错误!＝错误! 错误!.（2）如果函数y ＝f （x )在开区间（a ，b )内的每一点处都有导数，其导数值在(a ，b ）内构成一个新函数，这个函数称为函数y ＝f （x ）在开区间内的导函数．记作f ′(x ）或y ′. 2．导数的几何意义函数y ＝f (x ）在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f （x ）在点P (x 0，f (x 0)）处的切线的斜率k ，即k ＝f ′（x 0）．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f （x ）＝c （c 为常数）f ′（x ）＝04.导数的运算法则若f′（x),g′（x)存在，则有（1)［f(x)±g（x）］′＝f′(x)±g′(x)；（2)［f(x)·g(x）]′＝f′(x)g（x)＋f(x）g′(x)；(3）［错误!]′＝错误!（g（x）≠0）．5．复合函数的导数复合函数y＝f(g（x))的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y x′＝y u′·u x′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【知识拓展】1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数．2。
[错误!］′＝－错误!（f(x）≠0）．3.[af（x）＋bg(x）］′＝af′(x)＋bg′（x）．4.函数y＝f（x)的导数f′(x）反映了函数f(x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)｜反映了变化的快慢，|f′(x)｜越大，曲线在这点处的切线越“陡"．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）（1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．( ×)（2)f′（x0）与［f（x0)]′表示的意义相同．（×)（3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．（√）(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（×)（5）函数f（x）＝sin（－x）的导数是f′（x）＝cos x．（×）1．（教材改编）若f(x)＝x·e x，则f′（1）等于（)A．0 B．e C．2e D．e2答案C解析f′（x）＝e x＋x·e x，∴f′（1）＝2e。
2018版高考数学(理)一轮复习文档：第三章导数及其应用3.3含解析
1．定积分的概念在ʃ错误!f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间［a，b]叫做积分区间，函数f（x）叫做被积函数,x叫做积分变量，f（x)d x 叫做被积式．2．定积分的性质（1)ʃ错误!kf(x)d x＝kʃ错误!f（x)d x(k为常数）;(2）ʃ错误![f1(x)±f2(x）]d x＝ʃ错误!f1（x)d x±ʃ错误!f2(x)d x；(3）ʃb，a f(x)d x＝ʃ错误!f（x）d x＋ʃ错误!f（x）d x(其中a<c〈b）．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b］上的连续函数，且F′（x)＝f（x),那么ʃ错误!f(x）d x＝F（b）－F(a），这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F（x）｜错误!,即ʃ错误!f(x）d x＝F(x）｜错误!＝F(b）－F(a）．【知识拓展】1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．函数f(x）在闭区间[－a，a]上连续，则有（1）若f(x）为偶函数，则ʃ错误!f(x)d x＝2ʃ错误!f(x）d x。
（2）若f（x）为奇函数，则ʃ错误!f(x）d x＝0.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃ错误!f（x)d x＝ʃ错误!f（t）d t。
( √)（2）若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正,则ʃ错误!f（x）d x〉0。
( √）(3)若ʃ错误!f(x)d x〈0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．( ×)（4）微积分基本定理中的F(x）是唯一的．( ×）（5）曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是ʃ错误!（x2－x）d x。
黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学(理)试卷Word版含答案
高三第一阶段测试数学(理)试题命题人:孙丹丹审题人:关中标第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A={x|y=x}，B={x|x2﹣x＞0}，则A∩B=（）A．{x|x≥0}B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＞1} D．{x|x＜0或x＞1}2.若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．[0，1] B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）3.有下列命题：①设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件；②命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是：若b∈M，则a∉M；③若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；④命题P：“”的否定￢P：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”则上述命题中为真命题的是（）A．①②③④ B．①③④C．②④ D．②③④4.已知角α终边上一点P（﹣4，3），则sin（+α）的值为（）A． B．C． D．5.下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（）A．y=lnx B．y=x2 C．y=cosx D．y=2﹣|x|6.函数f（x）=（）cosx的图象大致为（）A．B．C ．D ．7.已知，且，则sin2α的值为（ ）A ．B ．C ．D ．8.由曲线y=，直线y=x ﹣2及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．B ．4C ．D ．69.将函数错误！未找到引用源。
的图象向左平移错误！未找到引用源。
个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则错误！未找到引用源。
的最小值为（ ）A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
10.函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x ）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（ ）A ．y=sin2xB ．y=cos2xC ．y=sin （2x+）D ．y=sin （2x ﹣）11.已知函数（a ∈R ），若函数y=|f （x ）|﹣a 有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）A ．a ≥﹣2B ．a ＞2C ．0＜a ＜1D ．1≤a ＜212.设定义在R 上的可导函数f （x ）的导函数为f′（x ），若f （3）=1，且3f （x ）+xf′（x ）＞ln （x+1），则不等式（x ﹣2017）3f （x ﹣2017）﹣27＞0的解集为（ ）A ．（2020，+∞） B ．（0，2014） C ．（0，2020） D ．（2014，+∞）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13.计算：（）+（log 316）•（log 2）= ．14.若错误！未找到引用源。
2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课件理
例4 如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E
作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，
则函数S＝f(x)的图象为下图中的
答案
解析
思维升华
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0). (2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k. (3)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.故选B.
命题点2 求参数的值
例3 (1)(2016·泉州模拟)函数y＝ex的切线方程为y＝mx，则m＝ e.
答案
解析
几何画板展示
设切点坐标为P(x0，y0)，由y′＝ex，
得 y |x＝x0 ＝ex0， 从而切线方程为 y－ex0＝ex0 (x－x0 )，
A.x＋y－1＝0
B.x－y－1＝0
C.x＋y＋1＝0
D.x－y＋1＝0
∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，∴设切点为(x0，y0). 又∵f′(x)＝1＋ln x，∴yy00＝＋1x0＝lnx10＋，ln x0x0， 解得x0＝1，y0＝0. ∴切点为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.
3.某质点的位移函数是s(t)＝2t3－ 1gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，它的加
2
速度是
答案
解析
A.14 m/s2
B.4 m/s2
C.10 m/s2
D.－4 m/s2
由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt， a(t)＝v′(t)＝12t－g， 当t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14.
2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2讲导数的应用第1课时利用导数研究函数的单调性课件理
G(x)min＝－1.
所以 a>－1.
(2)由 h(x)在[1，4]上单调递减得， 1 当 x∈[1，4]时，h′(x)＝x －ax－2≤0 恒成立，③ 1 2 1 2 即 a≥x2－x 恒成立.设 G(x)＝x2－x ， 所以 a≥G(x)max，而
1 －（a＋1）＋ 2a＋1 当－ ＜a＜0 时，f(x)在0， ， 2 a
－（a＋1）－ a
2a＋1 ，＋∞上单调递减，
－（a＋1）＋ 在 a
2a＋1 －（a＋1）－ 2a＋1 上单调递增. ， a
规律方法
利用导数研究函数的单调性的关键在于准确
A.1 C.3
B.2 D.4
解析
由题意知在x ＝－ 1 处f′( － 1) ＝0 ，且其左右两侧导数
符号为左负右正. 答案 A
3.函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是(
)
A.(－∞，1]
C.(－∞，0]
B.[1，＋∞)
D.(0，＋∞)
解析 令f′(x)＝ex－1>0得x>0， 所以f(x)的递增区间为(0，＋∞). 答案 D
解
(1)对 f(x)求导得 f′(x)＝3ax2＋2x，
4 4 因为 f(x)在 x＝－ 处取得极值，所以 f′－3＝0， 3 4 16a 8 16 1 － ＝ 所以 3a· 9 ＋2· 3 －3＝0，解得 a＝2. 3
(2)由(1)得 故
1 3 2 x g(x)＝2x ＋x e ，
4.函数f(x)＝ln x－ax在x＝1处有极值，则常数a＝________.
解析 1 ∵f′(x)＝x －a，∴f′(1)＝1－a＝0，∴a＝1，经检验
黑龙江省齐齐哈尔市第八中学2018届高三12月月考数学(理)试卷(含答案)
齐齐哈尔市第八中学2018届高三12月月考数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）2.设复数z=1+i（i是虚数单位），则+z2=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3.给出下列三个命题：①“若x2+2x﹣3≠0,则x≠1”为假命题；②若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；③命题p：∀x∈R，2x＞0，则¬p：∃x∈R，2x≤0，其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34.已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）A．16 B．8 C．D．45.已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x，下列说法错误的是（）A．f（x）的最小正周期为πB．x=是f（x）的一条对称轴C．f（x）在（﹣，）上单调递增D．|f（x）|的值域是[0，1]6.有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7.设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+（a＞0），则点P的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段8.设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中错误的（ ） A.若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ B.若αβ⊥,m α⊄,m β⊥,则//m α C.若m β⊥,m α⊂,则αβ⊥ D.若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥9. 已知直线l 1：x ＋(a －2)y －2＝0，l 2：(a －2)x ＋ay －1＝0，则“a ＝－1”是“l 1⊥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件10.若双曲线x 2﹣=1（b ＞0）的一条渐近线与圆x 2+（y ﹣2）2=1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．（1，2] B ．[2，+∞）C ．（1，] D ．[，+∞）11. 已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝012.定义域在R 上的奇函数f （x ），当x≥0时，f （x ）=，则关于x 的方程f （x ）﹣a=0（0＜a ＜1）所有根之和为1﹣，则实数a 的值（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（共90分）12. 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13.已知不等式组,则z=的最大值为 ．14.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 ．15.已知向量与的夹角为120°，且||=3，||=2．若=λ+，且⊥，则实数λ= ．16.若P 是抛物线y 2=8x 上的动点，点Q 在以点C （2，0）为圆心，半径长等于1的圆上运动．则|PQ|+|PC|的最小值为 ．三、解答题.17. (本小题满分12分)已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且，b=1（1）若，求边c 的大小；（2）若a=2c ，求△ABC 的面积．18. (本小题满分12分)已知S n 为各项均为正数的数列{a n }的前n 项和，a 1∈（0，2），a n 2+3a n +2=6S n ． （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n =1n n a a 1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若对∀n ∈N *，t≤4T n 恒成立，求实数t 的最大值．19. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD．（1）求证：平面PAD⊥平面PBD；（2）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20.(本小题满分12分)已知椭圆的两个焦点分别为，，点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设点N（3，2），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值．21. (本小题满分12分)设函数．（1）求f（x）的单调区间及最大值；（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．22．(本小题满分10分)选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x2﹣2x+y2=0，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ=（ρ∈R ）．（1）写出C 的极坐标方程，并求l 与C 的交点M ，N 的极坐标； （2）设P 是椭圆+y 2=1上的动点，求△PMN 面积的最大值．23. (本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲已知正实数a 、b 满足：a 2+b 2=2ab ． （1）求b1a 1 的最小值m ； （2）设函数f （x ）=|x ﹣t|+|x+t 1|（t≠0），对于（1）中求得的m ，是否存在实数x ，使得f （x ）=2m 成立，说明理由．参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C A B B CD D D A A A B二、填空题13．3 14．15．16．3三、解答题17. 解：（1）∵2cos2=sinB，∴1+cosB=sinB，∴2（sinB﹣cosB）=1，即2sin（B﹣）=1，∴B﹣=或（舍），解得：B=，又A=，则C=，由正弦定理=，得c==；（2）∵B=，∴sinB=，cosB=，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，将b=1，a=2c，cosB=代入，解得：c=，则a=，则S△ABC=acsinB=××sin=．18.解：（1）当n=1时，由，得，即．又a1∈（0，2），解得a1=1．由，可知．两式相减，得，即（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣3）=0．由于a n＞0，可得a n+1﹣a n﹣3=0，即a n+1﹣a n=3，所以{a n}是首项为1，公差为3的等差数列．所以a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．（2）由a n=3n﹣2，可得=．因为，所以T n+1＞T n，所以数列{T n}是递增数列．所以，所以实数t的最大值是1．19.证明：（1）在平行四边形ABCD中，令AD=1，则BD==，在△ABD中，AD2+BD2=AB2，∴AD⊥BD，又平面PAD⊥平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，BD⊂平面PBD，∴平面PAD⊥平面PBD．解：（2）由（1）得AD⊥BD，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，令AD=1，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（，0，），=（﹣1，，0），=（﹣），=（﹣1，0，0），设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（），设平面PBC的法向量=（a，b，c），，取b=1，得=（0，1，2），∴cos＜＞===，由图形知二面角A﹣PB﹣C的平面角为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为﹣．20. 解：（Ⅰ）依题意，，a2﹣b2=2，∵点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直，∴b=|OM|=1，∴．…∴椭圆的方程为．…（II）①当直线l的斜率不存在时，由解得．设，，则为定值．…②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1）．将y=k（x﹣1）代入整理化简，得（3k2+1）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0．…依题意，直线l与椭圆C必相交于两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），所以=====．．…．…综上得k1+k2为常数2..…．…21.解：（1）∵=，解f′（x）＞0，得；解f′（x）＜0，得．∴函数f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．故f（x）在x=取得最大值，且．（2）函数y=|lnx|，当x＞0时的值域为[0，+∞）．如图所示：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣﹣c，c==g（x），则=．令h（x）=e2x+x﹣2x2，则h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]单调递增，∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1．∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]单调递减．∴c．②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣，得到c=lnx﹣=m（x），则=＞0，故m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴c≥m（1）=．综上①②可知：当时，方程|lnx|=f（x）无实数根；当时，方程|lnx|=f（x）有一个实数根；当时，方程|lnx|=f（x）有两个实数根．22. 解：（Ⅰ）因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C的极坐标方程为ρ=2cosθ，（2分）直线l的直角坐标方程为y=x，联立方程组，解得或，（4分）所以点M，N的极坐标分别为（0，0），（，）．（Ⅱ）由（Ⅰ）易得|MN|=（6分）因为P是椭圆+y2=1上的点，设P点坐标为（cosθ，sinθ），（7分）则P到直线y=x的距离d=，（8分）所以S△PMN==≤1，（9分）当θ=kπ﹣，k∈Z时，S△PMN取得最大值1．（10分）23. 解：（1）∵2=a2+b2≥2ab，即，∴．又∴≥2，当且仅当a=b时取等号．∴m=2．（2）函数f（x）=|x﹣t|+|x+|≥≥2=1，∴满足条件的实数x不存在．。
2018版高考数学(理)一轮复习文档：选修系列第十三章13.5含解析
1．复数的有关概念（1）定义：形如a＋b i（a，b∈R）的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部．(i为虚数单位）(2）分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋b i为实数⇔b＝0 a＋b i为虚数⇔b≠0 a＋b i为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d（a，b,c，d∈R)．（4）共轭复数:a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c，b＝－d（a，b，c，d∈R）．（5）模：向量错误!的模叫做复数z＝a＋b i的模，记作｜a＋b i｜或|z|,即|z｜＝｜a＋b i｜＝错误!(a，b∈R）．2．复数的几何意义复数z＝a＋b i与复平面内的点Z（a,b)及平面向量错误!＝（a，b)（a,b∈R)是一一对应关系．3．复数的运算（1）运算法则：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，a，b，c,d∈R（2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即错误!＝错误!＋错误!，错误!＝错误!－错误!。
【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×")(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．( ×)(2）复数z＝a＋b i（a，b∈R)中，虚部为b i。
（×）（3）复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．（×)(4）原点是实轴与虚轴的交点．（√)（5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模．（√）1．(2016·全国乙卷）设（1＋2i)(a＋i）的实部与虚部相等，其中a 为实数,则a等于（）A．－3 B．－2 C．2 D．3答案A解析∵（1＋2i)(a＋i)＝a－2＋（2a＋1）i,∴a－2＝2a＋1，解得a＝－3，故选A。
2．（2015·课标全国Ⅰ）已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于( ）A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i答案C解析由（z－1）i＝1＋i，两边同乘以－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i。
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常用
导数
公式
原函数
导函数
特例或推广
常数函数
C'=0(C为常数)
幂函数
(xn)'=(n∈Z)
'=-
三角函数
(sinx)'=,
(cosx)'=
偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数
指数函数
(ax)'=(a>0且a≠1)
(ex)'=ex
对数
函数
(logax)'=(a>0且a≠1)
3.[教材改编]y=sin(πx+φ)的导数是y'=.
4.[教材改编]曲线 在点(1,1)处切线的斜率等于.
题组二常错题
5.函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为,在x=2处的导数为.
6.已知函数y=sin 2x,则y'=.
7.已知f(x)=x2+3xf'(2),则f(2)=.
【探究点一】导数的运算：【练习册】034页
1.设曲线y=ax-ln (x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()
A.2B.-1C.1D.-2
3.【考向2】已知在平面直角坐标系中,f(x)=alnx+x的图像在x=a处的切线过原点,则a=()
A.1B.eC. D.0
4.【考向2】若曲线y=xlnx在点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.
5.【考向1】函数f(x)=xex的图像在点P(1,e)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.
[总结反思](1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意过某点的切线和曲线上某点处的切线的区别.
考向2求切点坐标
3设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是 ,则切点的横坐标为()
【知识回顾反馈练习】完成练习册第33页【对点演练】
题组一常识题
1.判断下列结论是否正确(打“√”或“×”)
1 是函数 在 附近的平均变化率;
2曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点;
3与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为.
(2)注意:①曲线上横坐标的取值范围;②切点既在切线上又在曲线上.
强化演练
1.【考向1】已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为()
A.x+y-1=0B.x-y-1=0
C.x+y+1=0D.x-y+1=0
2.【考向3】直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于()
当x∈(a,b)时,f'(x)= = 叫作函数在区间(a,b)内的导数
几何
意义
函数y=f(x)在点x=x0处的导数f'(x0)就是函数图像在该点处切线的.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程是
物理
意义
函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x0处的导数就是质点在x=x0时的速度,在(a,b)内的导数就是质点在(a,b)内的方程
题目
第13讲变化率与导数、导数的运算
共2课时
考试
说明
1.了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图像直观理解导数的几何意义.
3.能根据导数定义求函数 （ 为常数）, 的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,并了解复合函数求导法则,能求简单的复合函数(仅限于形如 的复合函数)的导数.
探究点一导数的运算
1(1)函数f(x)的导函数为f'(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf'(2)-lnx,则f'(2)的值为()
A. B.-
C. D.-
(2)已知f(x)=-sin ,则f' =.
[总结反思](1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.
A.ln 2B.-ln 2
C. D.-
[总结反思]f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标.
考向3求参数的值
4已知曲线C在动点P(a,a2+2a)与动点Q(b,b2+2b)(a<b<0)处的切线互相垂直,则b-a的最小值为()
A.1B.2C. D.-
[总结反思](1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
考情
分析
考点
考查方向
考例
导数的定义
利用定义求导数
导数的运算
计算导数、求某点导数值等
所有导数试题
导数的几何意义
求切线斜率、方程、根据切线求参数值、导数几何意义的应用等
几乎所有导数试题
【重温教材】选修2-2第1页至第18页
【相关知识点回顾】
1.变化率与导数
(1)平均变化率:
概念
对于函数y=f(x), = 叫作函数y=f(x)从x1到x2的变化率
几何
意义
函数y=f(x)图像上两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))连线的
物理
意义
若函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则 就是该质点在[x1,x2]上的速度
(2)导数:
概念
点x0处
= ,我们称它为函数y=f(x)在处的导数,记为f'(x0)或y' ,即f'(x0)= =
区间
(a,b)
(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆.
式题(1)函数y= 的导数为y'=.
(2)已知f(x)=(x+1)(x+2)(x+a),若f'(-1)=2,则f'(1)=.
【探究点二】
探究点二导数的几何意义
考向1求切线方程
2函数f(x)=ex·sinx的图像在点(0,f(0))处的切线方程是.
(lnx)'= ,
(ln|x|)'=
四则
运算
法则
加减
[f(x)±g(x)]'=
'=
f'i(x)
乘法
[f(x)·g(x)]'=
[Cf(x)]'=Cf'(x)
除法
'=(g(x)≠0)
'=-
复合
函数
导数
复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”