【2020年】黑龙江省大庆市高考数学一模试卷(理科)及解析

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2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷(理科)(二)(5月份) (含答案解析)

2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学模拟试卷(理科)(二)(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知A={x|x2−2x≤0}，B={x|y=lgx}，则A∪B=()A. RB. (0,+∞)C. [0,+∞)D. [1,+∞)2.复数Z=i1+i(其中i为虚数单位)的虚部是()A. −12B. 12i C. 12D. −12i3.已知回归方程y^=1.5x−15，则()A. y=1.5x−15B. 15是回归系数aC. 1.5是回归系数aD. x=10时，y=04.函数f(x)=lg(|x|+x2)(|x|−1)x的图象大致为()A. B.C. D.5.如图是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为()A. 8−π4B. 8−πC. 83−π4D. 83−π6.已知数列{a n}是公比为2的等比数列，若a3a4a5=8，则a6等于()A. 4B. 8C. 12D. 167. 圆M:x 2+y 2−2x −2y +1=0与直线x a +y b =1(a >2,b >2)相切，则a +2b 的最小值为( ) A. 8 B. 10 C. 12 D. 148. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c =2，C =π3，且a +b =3，则△ABC 的面积为 ( )A. 13√312 B. 5√34 C. 512 D. 5√3129. 下列表示旅客搭乘火车的流程正确的是( )A. 买票→候车→检票→上车B. 候车→买票→检票→上车C. 买票→候车→上车→检票D. 候车→买票→上车→检票 10. 双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与圆x 2+y 2=a 2相切，与C 的左、右两支分别交于点A 、B ，若|AB|=|BF 2|，则C 的离心率为( )A. √5+2√3B. 5+2√3C. √3D. √5 11. 已知图象经过点(7π12,0)的函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为π，则φ=( )A. −π3B. π6C. π3D. −π6 12. 函数f(x)=x 2−ax +1在区间(12,3)上有零点，则实数a 的取值范围是( )A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. [2,103)D. [2,52) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 二项式(ax 2√x )5展开式中的常数项为5，则实数a = ______ ．14. 已知向量a⃗ =(3,1)，b ⃗ =(−2,4)，求a ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为______ ． 15. 已知在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB =AC =PA =2，且在△ABC 中，∠BAC =120°，则三棱锥P −ABC 的外接球的体积为______ ．16. 已知数列{a n }中，a 1=3，a n+1=1a n −1+1，则a 2014= ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知：△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos2B −cos(A +C)=0．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若sinA =3sinC ，△ABC 的面积为3√34，求b 边的长．18.如图，底面为正方形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为棱PC上一动点，PA=AC．(1)当E为PC中点时，求证：PA//平面BDE；(2)当AE⊥平面PBD时，求二面角P−BD−E的余弦值．19.为了精准备考，某市组织高三年级进行摸底考试，已知全体考生的数学成绩X近似服从正态分布N(100,100)(满分为150分，不低于120分为成绩优秀)．(1)若参加考试的人数为30000，求P(X⩾120)及成绩优秀的学生人数；(2)从全体考生中随机抽取3人，ξ表示数学成绩为(90,110]的人数，求ξ的分布列与期望．附：若X ∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X ≤μ+σ)≈23；P(μ−2σ<X ≤μ+2σ)≈1920．20. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和直线l ：y =bx +2，椭圆的离心率e =√63，坐标原点到直线l 的距离为√2．(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(−1,0)，若直线y =kx +2(k ≠0)与椭圆相交于C ，D 两点，试判断是否存在实数k ，使得以CD 为直径的圆过定点E ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=e x −ae −x −(a +1)x(a ∈R).(其中常数e =2.71828…，是自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的极值点；(2)若对于任意0<a <1，关于x 的不等式[f(x)]2<λ(e a−1−a)在区间(a −1,+∞)上存在实数解，求实数λ的取值范围．22.直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+√3cosα，其中α为参数，直线l的方程y=√3sinα为x+√3y−2=0，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程；(2)已知射线OA:θ=π与曲线C和直线l分别交于M，N两点，求线段MN的长．323.已知函数f(x)=|2x−1|−|x+3|，∀a，b∈[1,+∞)，|a+b|≤m|ab+1|．2(1)解不等式f(x)≤2；(2)证明：∀x∈R，f(x)≥−1−m．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x2−2x≤0}={x|0≤x≤2}，B={x|y=lgx}={x|x>0}，则A∪B={x|x≥0}=[0,+∞)．故选：C．化简集合A、B，根据并集的定义写出A∪B．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：复数Z=i1+i =i(1−i)(1+i)(1−i)=12+12i，则虚部为12，故选：C．先化简复数，由虚部的定义可得答案．本题考查复数的基本概念，属基础题．3.答案：A解析：解：回归直线必要样本中心点(x,y)点，故y=1.5x−15，即A正确；回归直线方程为y=bx+a中，一次项系数是回归系数b，常数项为回归系数a，故−15是回归系数a，故B错误；1.5是回归系数b，故C错误；x=10时，y的预报值为0，但y值不一定为0，故D错误故选A根据回归直线必要样本中心点(x,y)点，代入可判断A的真假；根据回归直线方程为y=bx+a中，一次项系数是回归系数b，常数项为回归系数a，可判断B，C的真假；根据回归直线的意义，可判断D的真假．本题考查的知识点是线性回归方程，熟练掌握线性回归方程的基本概念是解答的关键．解析：先判断函数的奇偶性，然后令x =2进行计算，判断函数值的符号是否一致即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，和特殊值的关系是解决本题的关键．解：f(−x)=lg(|−x|+(−x)2)(|−x|−1)(−x)=−lg(|x|+x 2)(|x|−1)x =−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除C ，D ，f(2)=lg(2+4)2=lg62>0，排除B ，故选：A ．5.答案：C解析：【试题解析】本题主要考查了三视图，棱锥的体积公式，圆柱的体积公式，属于较易题.该几何体是一个正四棱锥挖去一个圆柱，利用体积公式可得结果．解：该几何体是一个正四棱锥挖去一个圆柱，正四棱锥的底面边长为2，高为2，其体积为13×22×2=83，圆柱的底面半径为12，高为1，其体积为π×(12)2×1=π4，则该几何体的体积为V =83−π4，故选C ． 6.答案：B解析：本题考查等比数列的通项公式，属基础题．由题意可得a 4的值，进而由等比数列的通项公式可得．解：∵数列{a n }是公比为2的等比数列，且a 3a 4a 5=8，∴a 43=8，解得a 4=2，∴a 6=a 4×22=8，故选：B解析：本题考查直线与圆的位置关系，利用基本不等式求最值，涉及点到直线的距离公式的用法，属中档题．根据圆M 与直线相切，即圆心到直线的距离等于半径解得a =2b−2b−2，则a +2b =2b−2b−2+2b =2b−2+2(b −2)+6，根据基本不等式求解即可．解：圆M:x 2+y 2−2x −2y +1=0化为(x −1)2+(y −1)2=1，因为圆M 与直线x a +y b =1(a >2,b >2)相切，直线x a +y b =1(a >2,b >2)化为bx +ay −ab =0，则点M 到直线bx +ay −ab =0的距离为1，即22=1化简得ab −2a −2b +2=0，则a =2b−2b−2，则a +2b =2b−2b−2+2b =2b−2+2(b −2)+6⩾4+6=10，当且仅当2b−2=2(b −2)时取等号，所以a +2b 的最小值为10．8.答案：D解析：解：∵c =2，C =π3，a +b =3，∴由余弦定理：c 2=a 2+b 2−2abcosC ，可得：4=a 2+b 2−ab =(a +b)2−3ab =9−3ab ，∴解得ab =53，∴S △ABC =12absinC =12×53×√32=5√312．故选：D ．由已知及余弦定理可解得ab 的值，利用三角形面积公式即可得解．本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．解析：本题考查流程图的作用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．旅客搭乘火车，应买票→候车→检票→上车，可得结论．解：旅客搭乘火车，应买票→候车→检票→上车，故选A．10.答案：A解析：解：由双曲线的定义可得|BF1|−|BF2|=2a，|AB|=|BF2|，可得|AF1|=2a，则|AF2|=|AF1|+2a=4a，cos∠BF1F2=√c2−a2c=|AF1|2+|F1F2|2−|AF2|22|AF1|⋅|F1F2|=4a2+4c2−16a22⋅2a⋅2c，化简可得c4−10a2c2+13a4=0，由e=ca可得e4−10e2+13=0，解得e2=5+2√3，可得e=√5+2√3，故选：A．由双曲线的定义可得|AF1|=2a，则|AF2|=|AF1|+2a=4a，运用直角三角形的余弦函数定义和余弦定理，可得a，c的方程，再由离心率公式，解方程可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，注意运用锐角三角函数和余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.答案：D解析：本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．由周期求出ω，再利用点(7π12,0)在函数f(x)的图象上，可求φ的值．解：∵T =2πω=π，∴ω=2，∴f(x)=sin(2x +φ)．又∵点(7π12,0)在函数f(x)的图象上，∴sin (2×7π12+φ)=0，∴φ=−7π6+kπ(k ∈Z)．又∵|φ|<π2，∴φ=−π6．故选D ． 12.答案：C解析：由题意可得x 2−ax +1=0在区间(12， 3)内有解，利用函数有一个零点或者两个零点，列出关系式，即可求得实数a 的取值范围．解：由f(x)=x 2−ax +1在区间(12， 3)内有零点，可得x 2−ax +1=0在区间(12， 3)内有解．函数f(x)=x 2−ax +1过(0,1)，∴{a 2>0f(12)f(3)<0或{ f(12)≥0f(3)≥012≤a 2≤3f(a 2)<0，解{a 2>0f(12)f(3)<0得52<a <103，解{ f(12)≥0f(3)≥012≤a 2≤3f(a 2)<0得2≤a ≤52，综上a ∈[2,103).故选C ． 13.答案：1解析：解：二项式(ax2√x )5的展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅a5−r ⋅ x10−2r ⋅ x −r2=C5r⋅a5−r ⋅ x10−52r，令10−5r2=0，解得r=4，故展开式中的常数项为C51⋅a1=5，∴a=1，故答案为1．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．再由常数项为5，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14.答案：−√55解析：解：向量a⃗=(3,1)，b⃗ =(−2,4)，可得a⃗⋅b⃗ =3×(−2)+1×4=−2，|a⃗|=√9+1=√10，|b⃗ |=√4+16=2√5，可得a⃗在b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|=2√5=−√55．故答案为：−√55．运用向量数量积的坐标表示和模的公式，可得a⃗⋅b⃗ ，|a⃗|，|b⃗ |，再由a⃗在b⃗ 方向上的投影为a⃗ ⋅b⃗|b⃗|，计算即可得到所求值．本题考查向量数量积的坐标表示和模的公式以及向量的投影的概念，考查运算能力，属于基础题．15.答案：20√5π3解析：本题考查三棱锥的外接球体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥的外接球的半径是关键．求出BC，可得△ABC外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球体积．解：∵AB=AC=2，∠BAC=120°，∴BC=2√3，∴2r=√3√32=4，∴r=2，∵PA ⊥面ABC ，PA =2，∴该三棱锥的外接球的半径为√22+12=√5，∴该三棱锥的外接球的体积43π⋅(√5)3=20√5π3．故答案为：20√5π3． 16.答案：32解析：解：∵a n+1−1=1a n −1=a n−1−1，∴{a n −1}为周期数列且周期为2，a 1−1=2，∴a 2014−1=a 2−1=1a1−1=12， ∴a 2014=32．故答案为：32．由题意可知{a n −1}为周期数列且周期为2，a 1−1=2，即可求出答案本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础． 17.答案：解：(Ⅰ)由已知得cos2B +cosB =0，可得2cos 2B +cosB −1=0，即(2cosB −1)(cosB +1)=0，解得cosB =12或cosB =−1．因为0<B <π，故cosB =12，所以，B =π3．(Ⅱ)由sinA =3sinC 利用正弦定理可得a =3c ，而△ABC 的面积为12acsinB =3√34，将a =3c 和B =π3代入上式，得出c =1，且a =3，再由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，解得b =√7．解析：(Ⅰ)由条件可得2cos 2B +cosB −1=0，求得cos B 的值，可得B 的值．(Ⅱ)由sinA =3sinC 利用正弦定理可得a =3c ，再根据△ABC 的面积为12acsinB =3√34求得a 、c 的值，再由余弦定理求得b 的值．本题主要考查二倍角公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．18.答案：解：(1)连接AC ，BD 设其交点为O ，连接OE ，则O 为中点，故OE//PA ，又PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，故PA//平面BDE ；(2)以O 为原点，OA ，OB 分别为x ，y 轴，过O 做AP 的平行线为z 轴，建立如图所示空间坐标系，如图示：设AB =2，则A(√2,0,0), C(−√2,0,0)，B(0,√2,0)，D(0,−√2,0)，P(√2,0,2√2)，设PE PC =λ>0，E(√2−2√2λ,0,2√2−2√2λ), AE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2λ,0,2√2−2√2λ)， AE ⊥平面PBD ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解得λ=23，因为AE ⊥平面PBD ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面PBD 的一个法向量，E(−√23,0,2√23)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4√23,0,2√23)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√23,−√2,2√23), BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2√2,0)，设平面BDE 的法向量为n⃗ =(x,y,z )，则有{BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0, 即{−√23x −√2y +2√23z =0−2√2y =0，令x =2，得n⃗ =(2,0,1)，设二面角P −BD −E 为θ，则|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=35，由图知，二面角为锐角，故二面角P −BD −E 的余弦值为35．解析：本题主要考查线面平行的证明，二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．(1)连结AC ，BD ，交于点O ，连结OE ，推导出OE//PA ，由此能证明PA//平面BDE ．(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面PBD 的法向量和平面BDC 的法向量，利用向量法能求出二面角P −BD −C 的余弦值．19.答案：解：(1)∵X ∼N(100,100)，∴μ=100，σ=10，P (X ≥120)=1−P (80<X ≤120)2 =1−19202 =140，成绩优秀的人数为30000×140=750(人)；(2)根据题意，P (90<X ≤110)≈23，ξ的取值有0，1，2，3，ξ∼B(3,23)，P(ξ=0)=(13)3=127； P(ξ=1)=C 31(13)2×23=627=29；P(ξ=2)=C 32×13×(23)2=1227=49； P(ξ=3)=(23)3=827．ξ的分布列为：E(ξ)=3×23=2．解析：本题考查正态分布及离散型随机变量的分布列与期望，属于一般题．(1)利用正态分布解决问题；(2)离散型随机变量求分布列，期望问题．20.答案：解：(1)直线l ：y =bx +2，坐标原点到直线l 的距离为√2． ∴√b 2+1=√2 ∴b =1∵椭圆的离心率e =√63， ∴a 2−1a 2=(√63)2 ∴a 2=3∴所求椭圆的方程是x 23+y 2=1；(2)直线y =kx +2代入椭圆方程，消去y 可得：(1+3k 2)x 2+12kx +9=0∴△=36k 2−36>0，∴k >1或k <−1设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=−12k 1+3k 2，x 1x 2=91+3k 2∵EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2)，且以CD 为圆心的圆过点E ，∴EC ⊥ED∴(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0∴(1+k 2)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0∴(1+k 2)×91+3k 2+(2k +1)×(−12k 1+3k 2)+5=0 解得k =76>1，∴当k =76时，以CD 为直径的圆过定点E解析：(1)利用直线l ：y =bx +2，椭圆的离心率e =√63，坐标原点到直线l 的距离为√2，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；(2)直线y =kx +2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD 为圆心的圆过点E ，利用数量积为0，即可求得结论．本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．21.答案：解：(1)易知f′(x)=e x+ae−x−(a+1)=(e x−1)(e x−a)，e x①当a≤0时，∴函数f(x)的极小值点为x=0，无极大值点；②当0<a<1时，∴函数f(x)的极大值点为x=lna，极小值点为x=0；③当a=1时，f′(x)=(e x−1)2⩾0，e x∴函数f(x)单调递增，即f(x)无极值点；④当a>1时，∴函数f(x)的极大值点为x=0，极小值点为x=lna；综上所述，当a≤0时，函数f(x)的极小值点为x=0，无极大值点；当0<a<1时，函数f(x)的极大值点为x=lna，极小值点为x=0；当a=1时，函数f(x)无极值点；当a>1时，函数f(x)的极大值点为x=0，极小值点为x=lna．(2)以下需多次引用到如下不等式：e x≥1+x，当且仅当x=0时取等号，证明略．注意到当0<a<1时，有lna<a−1<0．−1，当0<a<1时，gˈ(a)=0，令g(a)=lna−a+1，则g′(a)=1a∴g(a)<g(1)=0，即a−1>lna，显然a−1<0，∴lna<a−1<0，∴由(1)可知当0<a<1时，f(x)在区间(a−1,0)上递减，在区间(0,+∞)上递增，∴f(x)在区间(a−1,+∞)上的最小值为f(0)=1−a，∵关于x的不等式[f(x)]2<λ(e a−1−a)在区间(a−1,+∞)上存在实数解，∴只需当0<a<1时，关于a的不等式(1−a)2<λ(e a−1−a)恒成立，由上易知当0<a<1时，e a−1−a>0，∴只需当0<a<1时，不等式λ>(1−a)2e−a恒成立即可，令函数F(x)=(1−x)2e x−1−x ，0≤x<1，则F′(x)=(x−1)(3e x−1−xe x−1−x−1)(e x−1−x)2，(法一)令函数G(x)=3e x−1−xe x−1−x−1，0≤x<1，则Gˈ(x)=(2−x)e x−1−1，当0<x<1时，∵e1−x>2−x，∴(2−x)e x−1<1，∴Gˈ(x)<0，∴G(x)>G(1)=0，即G(x)>0，∴当0<x<1时，Fˈ(x)<0，∴F(x)<F(0)=e，即F(x)<e，∴当0<a<1时，不等式λ=(1−a)2e a−ea恒成立，只需λ≥e，综上，实数λ的取值范围为[e,+∞)．解析：本题考查利用导数研究函数的极值，最值问题，难度较大．(1)求导，讨论a，即可求导函数的单调区间，从而求得极值．(2)依题意，只需当0<a<1时，不等式λ>(1−a)2e a−1−a恒成立即可，令函数F(x)=(1−x)2e x−1−x，利用导数求解即可．22.答案：解：(1)由{x=1+√3cosα,y=√3sinα(α为参数)得曲线C的普通方程为(x−1)2+y2=3．由直线l的方程为：x+√3y−2=0，得极坐标方程为√3ρsinθ+ρcosθ−2=0，即ρsin(θ+π6)=1．(2)曲线C的极坐标方程是ρ2−2ρcosθ−2=0，把θ=π3代入曲线C的极坐标方程得ρ2−ρ−2=0，解之得ρM=2或ρM=−1(舍)．把θ=π3代入直线l的极坐标方程得ρN=1，所以MN =|ρM −ρN |=|2−1|=1．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．(1)消去参数可得普通方程，再利用公式化成极坐标方程；(2)先求出曲线C 的极坐标方程，把θ=π3代入曲线C 的极坐标方程，解得ρ的值，把θ=π3代入直线l 的极坐标方程解得ρ的值，从而得出结果．23.答案：解：(1)f(x)=|2x −1|−|x +32|={ 52−x,x <−32−3x −12,−32≤x ≤12x −52,x >12，根据题意，{x <−3252−x ≤2或{−32≤x ≤12−3x −12≤2或{x >12x −52≤2，解之得−56≤x ≤92，故解集为[−56,92]．(2)当x ∈(−∞,12)时，函数f(x)单调递减，当x ∈(12,+∞)时，函数f(x)单调递增．∴当x =12时，函数f(x)min =−2．由题知|a+b||ab+1|≤m ，即a+b ab+1≤m ，∵(a +b)−(ab +1)=(a −1)(1−b)≤0，则a +b ≤ab +1，∴a+b ab+1≤1．∴m ≥1，∴−m −1≤−2，∴f(x)≥−1−m ．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和不等式的证明，属基础题．(1)f(x)=|2x −1|−|x +32|={ 52−x,x <−32−3x −12,−32≤x ≤12x −52,x >12，然后分段解不等式f(x)≤2；(2)求出f(x)的最小值，证明f(x)min≥−1−m，即可．。

【2020年高考必备】黑龙江省大庆市高考数学一模试卷(理科)及解析

黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}，则A∩B=的值为（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{1，2} 2．（5分）若复数，则z在复平面内所对应的点位于的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．2 B．5 C．6 D．74．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几伺体的三视图，则此几何体的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．125．（5分）执行如图所示的程序语句，则输出的s的值为（）A．B．1 C．D．6．（5分）已知命题p：直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay+1=0平行；命题q：直线l：x+y+a=0与圆x2+y2=1相交所得的弦长为，则命题p是q（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既充分也不必要条件7．（5分）数列{a n}为正项递增等比数列，满足a2+a4=10，a32=16，则等于（）A．﹣45 B．45 C．﹣90 D．908．（5分）若是夹角为60°的两个单位向量，则向量=的夹角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°9．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=16x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f′（x）＜0．若，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b11．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）的图象过点，相邻两个对称中心的距离是，则下列说法不正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）的一条对称轴为C．f（x）的图象向左平移个单位所得图象关于y轴对称D．f（x）在上是减函数12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）﹣ax=0有两个解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）．14．（5分）一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记球O的体积为V1，圆柱内除了球之外的几何体体积记为V2，则的值为．15．（5分）若f（x）=e x lna+e﹣x lnb为奇函数，则的最小值为．16．（5分）已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F作一条斜率大于0的直线l，l与抛物线交于M，N两点，且|MF|=3|NF|，则直线l的斜率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设函数y=f（x）的图象由y=2sin2x+1的图象向左平移个单位得到．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间：（2）在△ABC中，a，b，c，6分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，b=1，，求a的值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为s n，点（n，s n）在曲线，上=2b n+1，b4=11，{b n}的前5项和为45．数列{b n}满足b n+b n+2（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式恒成立的最大正整数k的值．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥上面ABCD且PA=AB=2．E为PA的中点．（1）求证：PC∥面BDE；（2）求直线DE与平面PBC所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0），其焦距为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的右焦点为F，K为x轴上一点，满足，过点K作斜率不为0的直线l交椭圆于P，Q两点，求△FPQ面积s的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=1﹣ax+lnx（1）若不等式f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围；（2）在（1）中，a取最小值时，设函数g（x）=x（1﹣f（x））﹣k（x+2）+2．若函数g（x）在区间上恰有两个零点，求实数k的取值范围；（3）证明不等式：（n∈N*且n≥2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线，直线l：ρ（cosθ﹣sinθ）=4．（1）将曲线C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线C2，请写出直线l，和曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l1经过点P（1，2）且l1∥l，l1与曲线C2交于点M，N，求|PM|•|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b是任意非零实数．（1）求的最小值（2）若不等式|3a+2b|+|3a﹣2b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x取值范圈．2018年黑龙江省大庆市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}，则A∩B=的值为（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}C．{0，1，2}D．{1，2}【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A．2．（5分）若复数，则z在复平面内所对应的点位于的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数z在复平面内所对应的点的坐标为（，﹣），位于第四象限．故选：D．3．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．2 B．5 C．6 D．7【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（2，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+1=5．即目标函数z=2x+y的最大值为5．故选：B．4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几伺体的三视图，则此几何体的体积为（）A．2 B．4 C．8 D．12【解答】解：由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥S﹣ABCD，其中，四边形ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=3，∴几何体的体积：V===4．故选：B．5．（5分）执行如图所示的程序语句，则输出的s 的值为（）A ．B ．1C ．D ．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是S=sin +sin +sin +…+sin 的值，S=sin +sin +sin +…+sin=（sin+sin+sin+…+sin）+…sin +sin=sin+sin=sin+sin=1+．故选：C．6．（5分）已知命题p：直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay+1=0平行；命题q：直线l：x+y+a=0与圆x2+y2=1相交所得的弦长为，则命题p是q（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既充分也不必要条件【解答】解：当a=0时，两直线方程分别为y+1=0，x+1=0，两直线不平行，当a≠0时，若两直线平行，则满足=≠，由=得a2=1，得a=±1，由≠，得a≠1，即a=﹣1，即p：a=﹣1，圆心到直线的距离d=，半径r=1，∵直线l：x+y+a=0与圆x2+y2=1相交所得的弦长为，∴r2=d2+（）2，即1=+，得a2=1，得a=±1，则命题p是q充分不必要条件，故选：A．7．（5分）数列{a n}为正项递增等比数列，满足a2+a4=10，a32=16，则等于（）A．﹣45 B．45 C．﹣90 D．90＞0，公比q＞1．【解答】解：因为{a n}为正项递增等比数列，所以a n＞a n﹣1因为a2+a4=10 ①，且=16=a3•a3=a2•a4②由①②解得a2=2，a4=8．又因为a4=a2•q2，得q=2或q=﹣2（舍）．则得a5=16，a6=32，因为++…+==5=5=5×9=45×2=90，故选：D8．（5分）若是夹角为60°的两个单位向量，则向量=的夹角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【解答】解：根据题意，设、的夹角为θ，又由是夹角为60°的两个单位向量，且=，则•=（+）（﹣+2）=﹣2+22+•=，又由=（+），则||==，=（﹣+2），则||==，则有cosθ==，则θ=60°；故选：B．9．（5分）已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=16x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，由一条渐近线过点，可得=，双曲线的一个焦点（﹣c，0）在抛物线y2=16x的准线x=﹣4上，可得c=4，即有a2+b2=16，解得a=2，b=2，则双曲线的方程为﹣=1．故选：A．10．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f′（x）＜0．若，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b【解答】解：∵当x∈[0，+∞）时，f′（x）＜0，∴当x∈[0，+∞）时，函数f（x）单调递减，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，a=﹣f（ln）=﹣f（﹣ln2）=f（ln2），ln（﹣）＞ln=﹣1，又ln（﹣）＜0，则﹣1＜ln（﹣）＜0，e0.1＞1，0＜ln2＜1，则﹣1＜ln（﹣）＜ln2＜e0.1，则f（ln（﹣））＞f（ln2）＞f（e0.1），即c＜a＜b，故选：C．11．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+ϕ）的图象过点，相邻两个对称中心的距离是，则下列说法不正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）的一条对称轴为C．f（x）的图象向左平移个单位所得图象关于y轴对称D．f（x）在上是减函数【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象相邻两个对称中心的距离是，∴=，∴T==，解得ω=3；又f（x）的图象过点，∴2sin（ω+φ）=2，∴ω+φ=+2kπ，k∈Z；解得φ=+2kπ，k∈Z；令k=0，得φ=，∴f（x）=2sin（3x+）；∴f（x）的最小正周期为T=，A正确；f（）=2sin（3×+）=﹣2为最小值，∴f（x）的一条对称轴为x=，B正确；f（x）的图象向左平移个单位，得函数y=2sin[3（x+）+]=2sin（3x+）=2cos3x，其图象关于y轴对称，C正确；x∈[﹣，]时，3x∈[﹣，]，∴3x+∈[﹣，]时，∴f（x）=2sin（3x+）在上是增函数，D错误．故选：D．12．（5分）已知函数，若关于x的方程f（x）﹣ax=0有两个解，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：设函数y=f（x）和y=ax，作出函数f（x）的图象如图：要使方程f（x）﹣ax=0有2两个解，即函数y=f（x）和y=ax有2个不同的交点，∵f（﹣2）=5，f（5）=|5+﹣4|=，当y=ax经过点（5，）时，此时a=，当过点（﹣2，5）时，此时a=﹣，当直线y=ax与y=x2+1相切时，∵y′=2x，设切点为（x0，y0），﹣2≤x0≤0，∴=2x0，解得x0=﹣1，当x0=﹣1，此时a=﹣2，结合图象，综上所述a的取值范围为[﹣，﹣2）∪（0，]，故选：A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）6．【解答】解：（2x﹣1）dx=（x2﹣x）=9﹣3=6，∴（2x﹣1）dx=6，故答案为：614．（5分）一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记球O的体积为V1，圆柱内除了球之外的几何体体积记为V2，则的值为2．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r，球O的半径为r，∴球O的体积V1=，圆柱内除了球之外的几何体体积：V2==，∴==2．故答案为：2．15．（5分）若f（x）=e x lna+e﹣x lnb为奇函数，则的最小值为2．【解答】解：f（x）=e x lna+e﹣x lnb为奇函数，可得f（0）=0，即有e0lna+e0lnb=0，即有ln（ab）=0，可得ab=1，（a＞0，b＞0），则≥2=2，当且仅当b=2a=时，等号成立，则的最小值为2．故答案为：2．16．（5分）已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F作一条斜率大于0的直线l，l与抛物线交于M，N两点，且|MF|=3|NF|，则直线l的斜率为．【解答】解：抛物线C：y2=4x，焦点F（1，0），准线为x=﹣1，分别过M和N作准线的垂线，垂足分别为C和D，过NH⊥CM，垂足为H，设|NF|=x，则|MF|=3x，由抛物线的定义可知：|NF|=|DH|=x，|MF|=|CM|=3x，∴|HM|=2x，由|MN|=4x，∴∠HMF=60°，则直线MN的倾斜角为60°，则直线l的斜率k=tan60°=，故答案为：．方法二：抛物线C：y2=4x，焦点F（1，0），准线为x=﹣1，设直线MN的斜率为k，则直线MN的方程y=k（x﹣1），设M（x1，y1），N（x2，y2），，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|MF|=3|NF|，=3，即（1﹣x1，﹣y1）=3（x2﹣1，y2），x1+3x2=4，整理得：3x2﹣4x2+1=0，解得：x2=，或x2=1（舍去），则x1=3，解得：k=±，由k＞0，则k=故答案为：．方法三：抛物线C：y2=4x，焦点F（1，0），准线为x=﹣1，设直线MN的方程x=mx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），，整理得：y2﹣4my﹣4=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，由|MF|=3|NF|，=3，即（1﹣x1，﹣y1）=3（x2﹣1，y2），﹣y1=3y2，即y1=﹣3y2，解得：y2=﹣，y1=2，∴4m=，则m=，∴直线l的斜率为，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设函数y=f（x）的图象由y=2sin2x+1的图象向左平移个单位得到．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间：（2）在△ABC中，a，b，c，6分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，b=1，，求a的值．【解答】解：（1）y=2sin2x+1的图象向左平移个单位得到的图象，即．函数最小正周期T=π．令，则，解得，所以y=f（x）的单调增区间是．（2）由题意得：，则有．因为0＜A＜π，所以，．由及b=1得，c=4．根据余弦定理，，所以．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为s n，点（n，s n）在曲线，上=2b n+1，b4=11，{b n}的前5项和为45．数列{b n}满足b n+b n+2（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式恒成立的最大正整数k的值．【解答】解：（1）由已知得：，当n=1时，，当n≥2时，=n+2，当n=1时，符合上式．所以a n=n+2．因为数列{b n}满足b n+b n=2b n+1，所以{b n}为等差数列．设其公差为d．+2则，解得，所以b n=2n+3．（2）由（1）得，=，=，因为，所以{T n}是递增数列．所以，故恒成立只要恒成立．所以k＜9，最大正整数k的值为8．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥上面ABCD且PA=AB=2．E为PA的中点．（1）求证：PC∥面BDE；（2）求直线DE与平面PBC所成角的余弦值．【解答】（1）解：连接CA交BD于O，连接OE，因为ABCD为正方形且AC，BD为对角线，所以O为CA的中点，又E为PA的中点，故OE为△PAC的中位线，所以OE∥PC，而OE⊂面BDE，PC⊄面BDE，故PC∥面BDE．（2）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz．则B（2，0，0），D（0，2，0），C（2，2，0），E（0，0，1），P（0，0，2），所以，，，设平面PBC的法向量，则即，令z=1，则法向量，设直线DE与平面PBC所成角为θ，则，故直线DE与平面PBC所成角的余弦值．20．（12分）已知椭圆（a＞b＞0），其焦距为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的右焦点为F，K为x轴上一点，满足，过点K作斜率不为0的直线l交椭圆于P，Q两点，求△FPQ面积s的最大值．【解答】解：（1）因为椭圆焦距为2，即2c=2，所以c=1，，所以a=，从而b2=a2﹣c2=1，所以，椭圆的方程为+y2=1．（2）椭圆右焦点F（1，0），由可知K（2，0），直线l过点K（2，0），设直线l的方程为y=k（x﹣2），k≠0，将直线方程与椭圆方程联立得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由判别式△=（﹣8k2）2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0解得k2＜．点F（1，0）到直线l的距离为h，则，，=••，=|k|•，=，令t=1+2k2，则1＜t＜2，则S=•=，当时，S取得最大值．此时，，S取得最大值．21．（12分）已知函数f（x）=1﹣ax+lnx（1）若不等式f（x）≤0恒成立，则实数a的取值范围；（2）在（1）中，a取最小值时，设函数g（x）=x（1﹣f（x））﹣k（x+2）+2．若函数g（x）在区间上恰有两个零点，求实数k的取值范围；（3）证明不等式：（n∈N*且n≥2）．【解答】解：（1）由题意知，1﹣ax+lnx≤0恒成立．变形得：．设，则a≥h（x）max．由可知，h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，h（x）在x=1处取得最大值，且h（x）max=h（1）=1．所以a≥h（x）max=1，实数a的取值范围是[1，+∞）．（2）由（1）可知，a≥1，当a=1时，f（x）=1﹣x+lnx，g（x）=x（x﹣lnx）﹣k（x+2）+2=x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2，g（x）在区间上恰有两个零点，即关于x的方程x2﹣xlnx﹣k（x+2）+2=0在区间上恰有两个实数根．整理方程得，，令，．令φ（x）=x2+3x﹣2lnx﹣4，，则，，于是φ'（x）≥0，φ（x）在上单调递增．因为φ（1）=0，当时，φ（x）＜0，从而s'（x）＜0，s（x）单调递减，当x∈（1，8]时，φ（x）＞0，从而s'（x）＞0，s（x）单调递增，，s（1）=1，，因为，所以实数k的取值范围是．证明（3）由（1）可知，当a=1时，有x﹣1≥lnx，当且仅当x=1时取等号．令，则有，其中k∈N*，k≥2．整理得：，当k=2，3，…，n时，，，…，，上面n﹣1个式子累加得：．n∈N*且n≥2，即．命题得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线，直线l：ρ（cosθ﹣sinθ）=4．（1）将曲线C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线C2，请写出直线l，和曲线C2的直角坐标方程；（2）若直线l1经过点P（1，2）且l1∥l，l1与曲线C2交于点M，N，求|PM|•|PN|的值．【解答】解：（1）因为l：ρ（cosθ﹣sinθ）=4，转化为直角坐标方程为：x﹣y=4；设曲线C2上任一点坐标为（x'，y'），则，所以，代入C1方程得：，所以C2的方程为．（2）直线l：x﹣y=4倾斜角为，由题意可知，直线l1的参数方程为（t为参数），联立直线l1和曲线C2的方程得，．设方程的两根为t1，t2，则t1t2=2．由直线参数t的几何意义可知，|PM|•|PN|=|t1t2|=2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b是任意非零实数．（1）求的最小值（2）若不等式|3a+2b|+|3a﹣2b|≥|a|（|2+x|+|2﹣x|）恒成立，求实数x取值范圈．【解答】解：（1）因为|3a+2b|+|3a﹣2b|≥|3a+2b+3a﹣2b|=6|a|，当且仅当（3a+2b）（3a﹣2b）≥0时取等号，所以的最小值为6．（2）由题意得：恒成立，结合（Ⅰ）得：|2+x|+|2﹣x|≤6．当x≤﹣2时，﹣x﹣2+2﹣x≤6，解得﹣3≤x≤﹣2；当﹣2＜x≤2时，x+2+2﹣x≤6成立，所以﹣2＜x≤2；当x＞2时，x+2+x﹣2≤6，解得2＜x≤3．综上，实数x的取值范围是[﹣3，3]．。

2020届黑龙江省大庆实验中学高考理科数学一模试题

2020届黑龙江省大庆实验中学高考理科数学一模试题一、单选题（本题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|0＜x＜log216}，集合B＝{x|2x﹣2＞0}，则集合A∩B真子集个数是（）A．2B．3C．4D．82．（5分）i为虚数单位，则的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣1D．13．（5分）在（﹣）6的展开式中，中间一项的二项式系数为（）A．20B．﹣20C．15D．﹣154．（5分）已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x+2y﹣3＝0，则该双曲线的离心率为（）A．5或B．或C．或D．5或5．（5分）17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，．根据这些信息，可得sin234°＝（）A．B．C．D．6．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m∥n的充分条件是（）A．m，n与平面α所成角相等B．m∥α，n∥αC．m∥α，m⊂β，α∩β＝n D．m∥α，α∩β＝n7．（5分）已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a＝0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣7＜a＜24B．﹣24＜a＜7C．a＜﹣1或a＞24D．a＜﹣24或a＞7 8．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，3，…，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[401，731]的人数为（）A．10B．11C．12D．139．（5分）甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知a＝5ln4π，b＝4ln5π，c＝5lnπ4，则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c11．（5分）已知椭圆C：，过原点的直线交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆过右焦点F，若∠F AB＝α∈，则此椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数（其中无理数e＝2.718…），关于x的方程有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（）A．B．（2，+∞）C．D．二．填空题（本题共4道小题，每题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）＝a x+1+1，（a＞0，a≠1）的图象恒过定点P，则P点坐标为．14．（5分）我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得，类似上述过程，则．15．（5分）在四面体S﹣ABC中，SA＝SB＝2，且SA⊥SB，，，则该四面体体积的最大值为，该四面体外接球的表面积为．16．（5分）在△ABC中，，点D为线段AB上一动点，若最小值为，则△ABC的面积为．三．解答题（本题共5道小题，每题12分，共60分）17．（12分）已知数列{a n}满足，a1＝1，a2＝4且a n+2﹣4a n+1+3a n＝0（n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{a n+1﹣a n}为等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝2n•a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AD为等边三角形，且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝1，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ADC＝45°，分别是AD，PD的中点．（Ⅰ）证明：平面CMN∥平面P AB；（Ⅱ）已知点E在棱PC上且，求直线NE与平面P AB所成角的余弦值．19．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），焦点为F．线段AB的中点为M（3，y0），且A，B两点到抛物线的焦点F的距离之和为8．（1）求抛物线的标准方程；（2）若线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求△ABC面积的最大值．20．（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次NCP普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这k个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k个人的血总共需要化验k+1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p，且这些人之间的试验反应相互独立．（1）设方案②中，某组k个人的每个人的血化验次数为X，求X的分布列；（2）设p＝0.1，试比较方案②中，k分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）21．（12分）已知函数．（1）若f'（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）＝f'（x）﹣x﹣alnx的单调性；（2）若（e是自然对数的底数），求证：f（x）＞0．四、请考生在第22～23题中任选一道作答，如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号.22．（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的极坐标的方程以及曲线D的直角坐标方程；（Ⅱ）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值．23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，（Ⅰ）解不等式f（x）≤9；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2x+a的解集为A，B＝{x|x2﹣3x＜0}，且满足B⊆A，求实数a 的取值范围．。

大庆市2020届高三第一次教学质量检测理科数学答案

大庆市2020届高三第一次教学质量检测数学（理）试题参考答案一．,,ABCBC BBCDA AD二．13．5 14．12 15．59- 16．22,4e e ⎛⎤⎥⎝⎦17．解：（1）当1n =时，12a = .........................................1分当2n ≥时，()()()221112222n n n n n n n a S S a a a a ---⎡⎤=-=+--+-⎣⎦ .........2分()()1110n n n n a a a a --∴+--=0n a > 11n n a a -∴-= .........................................4分{}n a ∴是以12a =为首项，1d =为公差的等差数列1n a n ∴=+ .........................................6分（2）由（1）的11,2n n n a n b +=+=则 ....................9分()222122412n n nT +-∴==-- .....................12分18解：（1）在A 先生的男性好友中任意选取1名，其中走路步数不低于6000的概率为82205= 可能取值分别为0，1，2，3， . ............. ....................2分∴30033227(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21133254(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 12233236(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 0333328(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， .. ................4分则()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（也可写成2(3,)5X B 26()355E X ∴=⨯= .. ................6分X2K ∴的观测值2040(413716) 1.129 2.70611292020k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯．..................10分 ∴据此判断没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关． ..... .............12分19．解：（1）证明：因为//AB CD ，90BCD ∠=︒，所以AB BC ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB平面ABCD AB =，∴BC ⊥平面PAB ， ······················································································ 1分又AQ ⊂平面PAB ，∴所以BC ⊥AQ ， ···················································································· 2分Q 为PB 中点，且PAB △为等边三角形，∴PB ⊥AQ ， ······························································································· 3分又PB BC B =I ，∴AQ ⊥平面 PBC . ·················································································· 4分（2）【法一】：（1）取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB △为等边三角形，所以PO ⊥AB ，由平面PAB ⊥平面ABCD ，因为PO ⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面ABCD ， ··········· 5分（2）所以PO ⊥OD ，由224AB BC CD ===，90ABC ∠=︒，可知//OD BC ，所以OD AB ⊥．以AB 中点O 为坐标原点，,,OD OB OP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. ··········································································································································· 6分所以()()0,2,0,2,0,0,A D -()(()2,2,0,,0,2,0C P B ，则()()()2,2,0,2,0,23,0,2,0AD DP CD ==-=-，x因为Q 为PB中点，所以(Q ，由 (1) 知，平面PBC的一个法向量为(AQ =uuu r----------------7分设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由0,n CD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020y x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()3,0,1n =， ····························································· 9分由1cos ,4AQ n AQ n AQ n⋅<>===uuu r ruuu r r uuu r r . ························································· 11分所以，二面角B PC D --的正弦值为4. ·································································· 12分【法二】：取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB △为等边三角形，所以PO ⊥AB ，由平面PAB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ， ·················································· 5分所以PO ⊥OD ，由224AB BC CD ===，90ABC ∠=︒，可知//OD BC ，所以OD AB ⊥．以AB 中点O 为坐标原点，,,OA OD OP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. ··········································································································································· 6分所以()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0,A D C-((),2,0,0P B -，所以()(2,2,0,0,,AD DP =-=-()2,0,0CD =，由(1)知，可以AQ uuu r为平面PBC 的法向量，因为Q 为PB 的中点，所以(Q -，由(1)知，平面PBC的一个法向量为(AQ =-uuu r， ·················································· 7分设平面PCD 的法向量为(),,n x yz =，x由0,0n CD n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()0,3,1n =， ····························································································· 9分所以1cos ,4AQ n AQ n AQ n⋅<>===uuu r r uuu r r uuu r r ······················································ 11分所以，二面角B PC D --的正弦值为4. ·································································· 12分【法三】：过点B 作PC 的垂线BH ，交PC 于点H ，连结DH .由题意知PO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PO CD ⊥.由条件知OD CD ⊥，又POOD O =，所以CD ⊥平面POD ，又PD ⊂平面POD ，所以CD PD ⊥，又CD CB =，所以Rt PDC Rt PBC △≌△，所以DH PC ⊥，由二面角的定义知，二面角B PC D --的平面角为BHD ∠. ·········································· 7分在Rt PDC △中，4,2PB BC ==，PC = 由PB BC BH PC ⋅=⋅，所以PB BC BH PC ⋅===.-------------8分同理可得DH =，-----------------------------------------------------9分又BD =在BHD △中，222cos 2BH DH BD BHD BH DH +-=∠(22214+-==-⎝⎭⎝⎭---------------------------------10分所以，二面角B PC D --的正弦值为4. ·································································· 12分 20．解：（1）设椭圆C 的方程为)00(12222>>=+b a by a x ，，则由题意知2b =b =第19题HO12e ==，解得24a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）由（1）知，E 的方程为22143x y +=，所以(1,0)B F ，所以直线BF的斜率BF k =l ，使得F 是BMN ∆的垂心，则BF MN ⊥．设l 的斜率为k ，则1BF k k ∙=-，所以3k =，………………………………………………6分设l的方程为3y x m =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由22143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得221312(3)0x m ++-=，……………………………………7分由22)41312(3)0m ∆=-⨯⨯->，得33m -<<．…………………………8分2121212(3)13m x x x x -+==．…………………………………………………………9分因为MF BN ⊥，所以0MF BN ⋅=，因为1122(1,),(,MF x y BN x y =--=，所以1212(1)(0x x y y --=，……………………………………………………10分即12121(1)0x x x m x m x m ⎫⎫--+++=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，整理得2121241()03x x x x m ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭，所以22412(3)10313313m m m ⎛⎫⎛⎫----⋅-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221480m --=，解得m =21m =-．当m =MN 过点B ，不能构成三角形，舍去；当m =m <<，所以存在直线l ，使得F 是BMN ∆的垂心，l的方程为321y x =-．…………12分 21. 解：（1）当2,3a b ==-时，ln ()3xf x x x=-+ （0x >） 221ln ()x x f x x --'=则1)(-='e f ，切点为)31,(+-e ee , 故函数()f x 在x e =处的切线方程为031=--+ey x . ………………………………4分（2）证明：12,()x x f x 是的两个零点，不妨设12x x <12()()0f x f x ∴==,即111ln 102x ax b x --=，222ln 102x ax b x --= 21111ln 02x ax bx ∴--=，22221ln 02x ax bx --=相减得：221212121ln ln ()()02x x a x x b x x -----= ⇒121212ln1()02x x a x x b x x -+-=-…………6分 ⇒11222121212()ln1()()02x x x x a x x b x x x x +-+-+=-，11222121212()ln()()02()22x x x x x x x x a b x x +++--=-则 ∴11212212()ln()2()2x x x x x x g x x ++=- ⇒11112122221122()ln (1)ln ()22()2(1)x x xx x x x x x x g x x x x +++==--……8分令12x t x =，即证01t <<，(1)ln 12(1)t t t +>-…………………9分(1)ln 2(1)2(1)1ln ln 02(1)11t t t t t t t t t +-->⇔<⇔-<-++由令2(1)()ln ,(0,1)1t m t t t t -=-∈+，22214(1)()0(1)(1)t m t t t t t -'=-=>++…………………11分2(1)()ln 1t m t t t -=-+在()0,1上是增函数又(1)0m =(0,1),()0t m t ∴∈<，命题得证 …………………12分22.解（Ⅰ）由l 的极坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即打开得sin cos 2ρθθ=，将cos ,sin x y ρθρθ==代入，得l的直角坐标方程为2y =+， ...... ...........2分由圆C的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，得圆心为)，半径为r则由直线l 与曲线C 相切∴圆心C 到直线l的距离2d r === .... ...... ...... ..........5分（Ⅱ）由（Ⅰ）圆C 的极坐标方程为4sin 3πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，不妨设()1,M ρθ，()212,0,0,[0,2]6N πρθρρθπ⎛⎫+>>∈ ⎪⎝⎭，则12111||||sin sin 4sin 4sin 2264336OMN S OM ON MON ππππρρθθ∆⎛⎫⎛⎫=∠==⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin cos sin 22sin 23πθθθθθθ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，..... ..... ......8分当2+=32ππθ，即12πθ=时，S 2OMN ∆取最大值 ...... ......9分所以MON ∆面积的最大值为2 ．...... ...... ...... ......10分23.解（1）()()2,2224,222,2x x f x f x x x x x x -<-⎧⎪+-=++-+=-≤≤⎨⎪>⎩由()6f x ≥，则(][),33,x ∈-∞-+∞ ............5分（2）()()5,3412321,225,2x f x f x x x x x x <-⎧⎪--+=--+=---≤≤⎨⎪->⎩由()()41f x f x kx m --+>+的解集为实数集R ，可得0k =，5m <- 即5k m +<- ............5分。

2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷(理科)(五)

2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷（理科）（五）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合A ＝{y|y ＝3x , x ∈R}，B ＝{y|y =√4−x 2, x ∈R}，则A ∩B ＝（） A.[0, 2] B.(0, +∞) C.(0, 2] D.[0, 2)2. 若复数z =4i(1−i)2−2+i 2019，复数在复平面内对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 下列说法错误的是（）A.命题“若x 2−3x +2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2−3x +2≠0”B.“x >1”是“|x|>1”的充分而不必要条件C.若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D.命题p ：“存在x ∈R ，使得x 2+x +1<0”，则非p ：“任意x ∈R ，均有x 2+x +1≥0”4. 在△ABC 中，AC ＝1，AC →⋅AB →=−1，O 为△ABC 的重心，则BO →⋅AC →的值为（） A.1 B.32C.53D.25. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（）A.35B.20C.18D.96. 函数f(x)＝(3x +3−x )⋅lg |x|的图象大致为（）A. B.C. D.7. 二项式(x −ax )8的展开式中x 2的系数是−7，则a ＝（）A.1B.12C.−12D.−18. 为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示．劳伦茨曲线为直线OL时，表示收入完全平等．劳伦茨曲线为折线OKL时，表示收入完全不平等．记区域A为不平等区域，a表示其面积，S为△OKL的面积，将Gini=aS称为基尼系数．①Gini越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为y＝f(x)，则对∀x∈(0, 1)，均有f(x)x>1；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2(x∈[0, 1])，则Gini=14；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3(x∈[0, 1])，Gini=12．上述说法正确序号的是（）A.①④B.②③C.①③④D.①②④9. 圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2；则θ的取值范围是（）A.[√2π,2π)B.[π,√2π]C.{√2π}D.[√2π2,π)10. 已知α，β是函数f(x)＝sin x+cos x−13在[0, 2π)上的两个零点，则cos(α−β)＝（）A.−1B.−89C.−√22D.011. 椭圆与双曲线共焦点F1，F2，它们的交点P对两公共焦点F1，F2的张角为∠F1PF2＝2θ，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A.cos2θe12+sin2θe22=1 B.sin2θe12+cos2θe22=1C.e12cos2θ+e22sin2θ=1 D.e12sin2θ+e22cos2θ=112. 设函数g(x)＝e x+(1−√e)x−a（a∈R，e为自然对数的底数）．定义在R上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)＝x2，且当x≤0时，f′(x)<x．若存在x0∈{x|f(x)+12≥f(1−x)+x}，且x0为函数y＝g(x)−x的一个零点，则实数a的取值范围为（）A.(√e2,+∞) B.(√e, +∞) C.[√e, +∞) D.[√e2,+∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．已知x，y满足{x−y≥0x+y≤2y≥0，则2x+y的最大值为________．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻．这样的六位数的个数是________（用数字作答）．数列1，x，1，x，x，1，x，x，x，1，x，x，x，x，1，x，…，其中在第n个1与第n+1个1之间插入n个x，若该数列的前2020项的和为7891，则x＝________．在△ABC中，已知AB→⋅AC→=9，sin B＝cos A⋅sin C，S△ABC＝6，P为线段AB上的点，且CP→=x⋅CA→|CA→|+y⋅CB→|CB→|，则xy的最大值为________．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．已知数列{a n}是首项为1，公比为12的等比数列，S n＝a1+a2+...+a n．（1）若S n,98,a n−1成等差数列，求n的值；（2）证明∀n∈N∗，有2a2S1S2+2a3S2S3+⋯+2a n+1S n S n+1<1−12在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120∘．（1）求证：BD⊥PC；（2）设E为PC的中点，点F在线段AB上，若直线EF // 平面PAD，求AF的长；（3）求二面角A−PC−B的余弦值．某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调査．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0, 30]内，按[0, 5]，(5, 10]，(10, 15]，(15, 20]，(20, 25]，(25, 30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如表所示：将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的数学期望．附：观测值公式：K2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)临界值表：已知圆M：(x−√2)2+y2=73，若椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为圆M的圆心，离心率为√22．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知直线l:y＝kx，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB 上），且|AG|＝|BH|，求k的值．（1）已知f(x)=ln x+1x2，证明：当x≥2时，x2ln x+1≥(ln2+14)x2；（2）证明：当a∈(−2−1e4,−1−1e2)时，g(x)=13x3ln x+3a−19x3+x(x≥√2)有最小值，记g(x)最小值为φ(a)，求φ(a)的值域．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为{x=1+2cosβy=1+2sinβ（β为参数），以原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为：θ＝α，直线l2的极坐标方程为θ=α+π2．(Ⅰ)写出曲线M的极坐标方程，并指出它是何种曲线；(Ⅱ)设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)＝|x−1|+|x−a|，a∈R．（1）当a＝4时，求不等式f(x)≥5的解集；（2）若f(x)≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020年黑龙江省大庆实验中学高考数学综合训练试卷（理科）（五）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】分别求y＝3x，x∈R，y=√4−x2，x∈R的值域，得：A＝(0, +∞)，B＝[0, 2]，再求交集即可．【解答】由y＝3x，x∈R，得y>0，即A＝(0, +∞)，由y=2，x∈R，得：0≤y≤2，即B＝[0, 2]，即A∩B＝(0, 2]，2.【答案】C【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】∵z=4i(1−i)2−2+i2019=4i−2−2i+i4×504=2i(−1+i)(−1−i)(−1+i)−i=−1−i−i＝−1−2i．∴z在复平面内对应的点的坐标为(−1, −2)，位于第三象限．3.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】A中命题的逆否命题是条件与结论互换并且否定；B中充分而不必要条件要说明充分性成立，必要性不成立；C中p且q为假命题时，则p或q为假命题，或P、Q都是假命题，即一假则假；D中非p是特称命题的否定．【解答】A、命题“若x2−3x+2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2−3x+2≠0”，命题正确；B、当x>1时，|x|>1成立，当|x|>1时，有x>1或x<−1，∴原命题正确；C、当p且q为假命题时，有p或q为假命题，或P、Q都是假命题，∴原命题错误；D、命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1<0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，命题正确．4.【答案】A【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】取AC中点为D，因为O为△ABC的重心，则BO→=23BD→，由三角形法则有：BD→=12(BA→+BC→)，所以BO→=13(BA→+BC→)，再利用数量积公式求解即可【解答】取AC中点为D，因为O为△ABC的重心，则BO→=23BD→，由三角形法则有：BD→=12(BA→+BC→)，所以BO→=13(BA→+BC→)，BO→⋅AC→=13(BA→+BC→)⋅AC→=13(AC→−AB→−AB→)⋅AC→=13AC→2−23AB→⋅AC→=13+23＝1，5.【答案】C【考点】程序框图【解析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】∵输入的x＝2，n＝3，故v＝1，i＝2，满足进行循环的条件，v＝4，i＝1，满足进行循环的条件，v＝9，i＝0，满足进行循环的条件，v＝18，i＝−1不满足进行循环的条件，故输出的v值为：6.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据条件平时函数的奇偶性，结合函数值的符号是否对应，利用排除法进行判断即可．【解答】函数的定义域为{x|x≠0}，f(−x)＝(3x+3−x)⋅lg|x|＝f(x)，则函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当x>1时，f(x)>0，排除A，当0<x<1时，f(x)<0，排除C，7.【答案】B【考点】二项式定理及相关概念【解析】利用通项公式即可得出．【解答】二项式(x−ax)8的展开式中的通项公式：T r+1＝C8r(−a)r x8−2r，令8−2r＝2，解得r＝3，则含x2项的系数为C83(−a)3＝−7，解得a=128.【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】可由当Gini=as，则a越小，不平等区域越小，越公平，进行判断①，f(x)<x，则对∀x∈(0, 1)，均有f(x)x<1，可判断②，先积分求a，再求Gini，判断③④．【解答】①：由题意知A为不平等区域，a表示其面积，s为△OKL的面积．当Gini=as，则a越小，不平等区域越小，越公平，①对，②：由图可知f(x)<x，则对∀x∈(0, 1)，均有f(x)x <1，②错；③：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x2(x∈[0, 1])，a=∫1 (x−x2)dx＝( 12x2−13x3)|01=16，Gini=1612=13，③错，④：若某国家某年的劳伦茨曲线近似为y＝x3(x∈[0, 1])，a=∫1 (x−x3)dx＝( 12x2−14x4)|01=14，Gini＝1412=12，④对，9.【答案】A【考点】棱锥的结构特征【解析】设轴截面的中心角为2α，由条件得π4≤α<π2，sinα=rl=r2≥√22，解得r≥√2，由此能求出θ的取值范围．【解答】圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，设轴截面的中心角为2α，由条件得：π4≤α<π2，sinα=rl=r2≥√22，解得r≥√2，θ=2πrl≥2√2π2=√2π，∴√2π≤θ<2π，∴θ的取值范围是[√2π,2π)．10.【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】利用函数与方程之间的关系，结合三角函数的诱导公式，同角的三角函数的关系以及两角和差的三角公式分别进行转化求解即可．【解答】解法一：依题意，f(α)＝f(β)＝0，故sinα+cosα=13，由{sinα+cosα=13sin2α+cos2α=1，得9sin2α−3sinα−4＝0，9cos2α−3cosα−4＝0且sinα≠cosα，所以sinα，cosα是方程9x2−3x−4＝0(∗)的两个异根．同理可证，sinβ，cosβ为方程(∗)的两个异根．可以得到sinα≠sinβ，理由如下：假设sinα＝sinβ，则cosα＝cosβ，又α，β∈[0, 2π)，则α＝β，这与已知相悖，故sinα≠sinβ．从而sinα，sinβ为方程(∗)的两个异根，故sinαsinβ=−49．同理可求cosαcosβ=−49，所以cos(α−β)＝cosαcosα+sinαsinβ=−89．解法二：令f(x)＝0，得sin x +cos x =13．令g(x)＝sin x +cos x ，即g(x)=√2sin (x +π4)，则α，β即为g(x)与直线y =13在[0, 2π)上交点的横坐标，由图象可知，α+β2=5π4，故β=5π2−α，又√2sin (α+π4)=13，所以cos (α−β)=cos (2α−5π2)=cos [2(α+π4)−3π]=−cos 2(α+π4)=−1+2sin 2(α+π4)=−89．解法三：依题意，不妨设0≤β<α<2π，则点A(cos α, sin α)，B(cos β, sin β)为直线x +y −13=0与单位圆的两个交点，如图所示．取AB 中点为H ，则OH ⊥AB ，记∠AOH ＝θ．则α−β＝2π−2θ，所以，cos (α−β)＝cos (2π−2θ)＝cos 2θ＝2cos 2θ−1．另一方面，OH =|0+0−13|√12+12=√26，OA ＝1，故cos θ=√26，从而cos (α−β)=2×(√26)2−1=−89．11.【答案】 B【考点】圆锥曲线的综合问题【解析】设椭圆的长轴长为2a 1，双曲线的实轴长为2a 2，P 到两焦点的距离分别为m ，n(m >n >0)，焦距为2c ，分别运用椭圆和双曲线的定义，以及三角形的余弦定理和离心率公式，结合二倍角公式，即可得到结论．【解答】设椭圆的长轴长为2a 1，双曲线的实轴长为2a 2，P 到两焦点的距离分别为m ，n(m >n >0)，焦距为2c ，由椭圆的定义可得m +n ＝2a 1，由双曲线的定义可得m −n ＝2a 2，解得m ＝a 1+a 2，n ＝a 1−a 2，由余弦定理可得m 2+n 2−2mn cos 2θ＝4c 2，则(a 1+a 2)2+(a 1−a 2)2−2(a 1+a 2)(a 1−a 2)cos 2θ＝4c 2，化为a 12(1−cos 2θ)+a 22(1+cos 2θ)＝2c 2，可得a 12sin 2θc 2+a 22cos 2θc 2=1，由e 1=c a 1，e 2=c a 2，可得sin 2θe 1+cos 2θe 2=1．12.【答案】 D【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】构造函数T(x)＝f(x)−12x 2，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可．【解答】构造函数T(x)＝f(x)−12x 2， ∵ f(−x)+f(x)＝x 2，∴ T(x)+T(−x)＝f(x)−12x 2+f(−x)−12(−x)2＝f(x)+f(−x)+x 2＝0∴ T(x)为奇函数，当x ≤0时，T′(x)＝f′(x)−x <0， ∴ T(x)在(−∞, 0]上单调递减， ∴ T(x)在R 上单调递减．∵ 存在x 0∈{x|f(x)+12≥f(1−x)+x}，∴ f(x 0)+12≥f(1−x 0)+x 0，∴ T(x 0)+12x 02+12≥T(1−x 0)+12(1−x 0)2+x 0，化简得T(x 0)≥T(1−x 0)，∴ x 0≤1−x 0，即x 0≤12，令ℎ(x)＝g(x)−x ＝e x −√ex −a ，(x ≤12)，∵ x 0为函数y ＝g(x)−x 的一个零点，∴ ℎ(x)在x ≤12时有一个零点，∵ 当x ≤12时，ℎ′(x)＝e x −√e ≤e 12−√e =0，∴ 函数ℎ(x)在x ≤12时单调递减，由选项知a >0，√e<a <12，又∵ √e)=a √e−√e(−√e)−a =a √e>0，∴ 要使ℎ(x)在x ≤12时有一个零点，只需使ℎ(12)=√e −12√e −a ≤0，解得a ≥√e2，∴ a 的取值范围为[√e2, +∞)，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【答案】 4【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求出最大值．，【解答】作出x ，y 满足{x −y ≥0x +y ≤2y ≥0 ，对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z ＝2x +y 得y ＝−2x +z ，平移直线y ＝−2x +z ，由图象可知当直线y ＝−2x +z 经过点A 时，直线y ＝−2x +z 的截距最大，此时z 最大．由{x +y =2y =0，解得A(2, 0)，代入目标函数z ＝2x +y 得z ＝2×2+0＝4．即目标函数z ＝2x +y 的最大值为：4．【答案】 40【考点】分步乘法计数原理【解析】欲求可组成符合条件的六位数的个数，只须利用分步计数原理分三步计算：第一步：先将3、5排列，第二步：再将4、6插空排列，第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中即可．【解答】解析：可分三步来做这件事：第一步：先将3、5排列，共有A 22种排法；第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有2A 22种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C 51种排法．由分步乘法计数原理得共有A 22⋅2A 22⋅C 51＝40（种）．【答案】 4【考点】数列的求和【解析】当n ≥2时，前n 个1之间共有n +[1+2+3+...+(n −1)]=n(n+1)2项，可知在第63个1的后面再跟的第4个x就是第2020项，所以前2020项中含63个1，其余的均为x ，即可求得结果．【解答】当n ≥2时，前n 个1之间共有n +[1+2+3+...+(n −1)]=n(n+1)2项，当n ＝63时，有63×642=2016项，在第63个1的后面再跟的第4个x 就是第2020项，所以前2020项中含63个1，其余的均为x ，故该数列前2020项的和为63×1+(2020−63)x ＝7891，解得x ＝4．【答案】 3【考点】三角函数中的恒等变换应用平面向量的基本定理【解析】由条件求得bc cos A ＝9，12bc sin A ＝6，tan A =43，可得c ＝5，b ＝3，a ＝4，以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得C(0, 0)，A(3, 0)，B(0, 4)．设CA→|CA →|=e 1→，CB →|CB →|=e 2→，则CP →=(x, y)，可得x ＝3λ，y ＝4−4λ则4x +3y ＝12，利用基本不等式求解最大值．【解答】△ABC 中，设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，∵ sin B ＝cos A ⋅sin C ，sin (A +C)＝sin C cos nA ，即sin A cos C +sin C cos A ＝sin C cos A ．∴ sin A cos C ＝0，∵ sin A ≠0，∴ cos C ＝0，C ＝90∘．∵ AB →⋅AC →=9，S △ABC ＝6，∴ bc cos A ＝9，12bc sin A ＝6，∴ tan A =43．根据直角三角形可得sin A =45，cos A =35，bc ＝15，∴ c ＝5，b ＝3，a ＝4．以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得C(0, 0)，A(3, 0)，B(0, 4)． P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得CP →=λCA →+(1−λ)CB →=(3λ, 4−4λ)(0≤λ≤1)．设CA→|CA →|=e 1→，CB →|CB →|=e 2→，则|e 1→|＝|e 2→|＝1，且 e 1→=(1, 0)，e 2→=(0, 1)．∴ CP →=x ⋅CA →|CA →|+y ⋅CB →|CB →|=(x, 0)+(0, y)＝(x, y)，可得x ＝3λ，y ＝4−4λ则4x +3y ＝12，12＝4x +3y ≥2√12xy ，解得xy ≤3，故所求的xy 最大值为：3．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】 a n =(12)n−1，S n =1−(12)n1−12=2−12n−1，∵ S n ,98,a n−1成等差数列， ∴ 2×98=2−12n−1+12n−2，解得n ＝3．证明：2a n+1S n S n+1=2(S n+1−S n )S n S n+1=2(1S n−1Sn+1)．∴ 2a 2S1S 2+2a 3S2S 3+⋯⋯+2a n+1S n S n+1=2(1S 1−1S 2+1S 2−1S 3+⋯⋯+1S n−1Sn+1)＝2(1S 1−1Sn+1)＝2(1−2n2n+1−1)＝1−12n+1−1<1−12n+1．∴ 2a 2S1S 2+2a 3S 2S 3+⋯⋯+2a n+1Sn S n+1<1−12n+1．【考点】等差数列与等比数列的综合数列的求和【解析】（1）利用通项公式与求和公式可得：a n ，S n ，根据S n ,98,a n−1成等差数列，解得n ．(2)2a n+1Sn S n+1=2(S n+1−S n )S n S n+1=2(1S n−1Sn+1)．利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出．【解答】 a n =(12)n−1，S n =1−(12)n1−12=2−12n−1，∵ S n ,98,a n−1成等差数列， ∴ 2×98=2−12n−1+12n−2，解得n ＝3．证明：2a n+1S n S n+1=2(S n+1−S n )S n S n+1=2(1S n−1S n+1)．∴2a 2S 1S 2+2a 3S 2S 3+⋯⋯+2a n+1S n S n+1=2(1S 1−1S 2+1S 2−1S 3+⋯⋯+1S n−1S n+1)＝2(1S 1−1S n+1)＝2(1−2n2n+1−1)＝1−12n+1−1<1−12n+1． ∴ 2a 2S1S 2+2a 3S2S 3+⋯⋯+2a n+1Sn S n+1<1−12n+1．【答案】（1）证明：∵ △ABC 是正三角形，M 是AC 中点， ∴ BM ⊥AC ，即BD ⊥AC ．又∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ PA ⊥BD ．又PA ∩AC =A ，∴ BD ⊥平面PAC ． ∴ BD ⊥PC ．（2）解：取DC 中点G ，连接FG ，则EG // 平面PAD ，∵ 直线EF // 平面PAD ，EF ∩EG =E ， ∴ 平面EFG // 平面PAD ， ∵ FG ⊂平面EFG ， ∴ FG // 平面PAD∵ M 为AC 中点，DM ⊥AC ， ∴ AD =CD ．∵ ∠ADC =120∘，AB =4，∴ ∠BAD =∠BAC +∠CAD =90∘，AD =CD =4√33， ∵ ∠DGF =60∘，DG =2√33，∴ AF =1（3）解：分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系，∴ B(4, 0, 0)，C(2, 2√3, 0)，D(0, 4√33, 0)，P(0, 0, 4)． DB →=(4, −4√33, 0)为平面PAC 的法向量．设平面PBC 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则 ∵ PC →=(2, 2√3, −4)，PB →=(4, 0, −4)， ∴ {2x +2√3y −4z =04x −4z =0，令z =3，得x =3，y =√3，则平面PBC 的一个法向量为n →=(3, √3, 3)，设二面角A −PC −B 的大小为θ，则cos θ=|n →||DB →|˙=√77．∴二面角A−PC−B余弦值为√77．【考点】二面角的平面角及求法用空间向量求平面间的夹角与二面角有关的立体几何综合题两条直线垂直的判定直线与平面平行的性质直线与平面平行的判定【解析】（1）利用线面垂直的判定定理，证明BD⊥平面PAC，可得BD⊥PC；（2）设取DC中点G，连接FG，证明平面EFG // 平面PAD，可得FG // 平面PAD，求出AD=CD，即可求AF 的长；（3）建立空间直角坐标系，求出平面PAC、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A−PC−B的余弦值．【解答】（1）证明：∵△ABC是正三角形，M是AC中点，∴BM⊥AC，即BD⊥AC．又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∴BD⊥PC．（2）解：取DC中点G，连接FG，则EG // 平面PAD，∵直线EF // 平面PAD，EF∩EG=E，∴平面EFG // 平面PAD，∵FG⊂平面EFG，∴FG // 平面PAD∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．∵∠ADC=120∘，AB=4，∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90∘，AD=CD=4√33，∵∠DGF=60∘，DG=2√33，∴AF=1（3）解：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，∴B(4, 0, 0)，C(2, 2√3, 0)，D(0, 4√33, 0)，P(0, 0, 4)．DB→=(4, −4√33, 0)为平面PAC的法向量．设平面PBC的一个法向量为n→=(x, y, z)，则∵PC→=(2, 2√3, −4)，PB→=(4, 0, −4)，∴{2x+2√3y−4z=04x−4z=0，令z=3，得x=3，y=√3，则平面PBC的一个法向量为n→=(3, √3, 3)，设二面角A−PC−B的大小为θ，则cosθ=|n→||DB→|˙=√77．∴二面角A−PC−B余弦值为√77．【答案】依题意，因为0.01×5+0.02×5+0.04×5＝0.35<0.5，而0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×5＝0.65>0.5，所以中位数位于[15, 20)之间，所以中位数为15+0.5−0.350.06=17.5．依题意，消费金额在20千元以上的频率为：0.04×5+0.03×5＝0.35，所以网购迷”人数为100×0.35＝35人，非网购迷的人数为100−35＝65人．所以补全的列联表如下：所以K2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(15×20−45×20)260×40×35×65≈6.593．所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”；根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，P(ξ＝0)=(1−12)2(1−23)2=136，P(ξ＝1)=c 21×(12)2×(1−23)2+(12)2C 21×23×(1−23)=16P(ξ＝2)=(12)2×(1−23)2+C 21(12)2×C 21×13×(1−13)+(12)2×(23)2=1336，P(ξ＝3)=C 21×(12)2×(23)2+(12)2×C 21×23×(1−23)=13，P(ξ＝4)=(12)2×(23)2=19．所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望E(ξ)=16+2×1336+3×13+4×19=73．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）根据中位数在中间位置，即该数前的数出现频率为0.5，结合频率分布直方图估计即可；（2）根据题意，补充完整列联表，根据表中数据，计算出K 2的值，查临界值表判断即可；（3）根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和为ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，分别计算出各个取值对应的概率，即可得到随机变量ξ的分布列，求出期望即可．【解答】依题意，因为0.01×5+0.02×5+0.04×5＝0.35<0.5，而0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×5＝0.65>0.5，所以中位数位于[15, 20)之间，所以中位数为15+0.5−0.350.06=17.5．依题意，消费金额在20千元以上的频率为：0.04×5+0.03×5＝0.35，所以网购迷”人数为100×0.35＝35人，非网购迷的人数为100−35＝65人．所以补全的列联表如下：所以K 2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(15×20−45×20)260×40×35×65≈6.593．所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”；根据统计数据，甲使用支付宝的概率为4080=12，乙使用支付宝的概率为6090=23，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4，P(ξ＝0)=(1−12)2(1−23)2=136，P(ξ＝1)=c 21×(12)2×(1−23)2+(12)2C 21×23×(1−23)=16 P(ξ＝2)=(12)2×(1−23)2+C 21(12)2×C 21×13×(1−13)+(12)2×(23)2=1336，P(ξ＝3)=C 21×(12)2×(23)2+(12)2×C 21×23×(1−23)=13，P(ξ＝4)=(12)2×(23)2=19．所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望E(ξ)=16+2×1336+3×13+4×19=73．【答案】（I ）设椭圆的焦距为2c ，由圆心M(√2,0)得到a =√2． ∵ e =ca =√22，∴ c ＝1．∴ b 2＝a 2−c 2＝1．所以椭圆C:x 22+y 2=1．(II)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则{y =kxx 2+2y 2=2消去y 得到(1+2k 2)x 2−2＝0，则x 1+x 2＝0，x 1x 2=−21+2k 2．∴ |AB|=√(1+k 2)(0+81+2k 2)=√8(1+k 2)1+2k 2．点M(√2,0)到直线l 的距离d =√2k|√1+k 2．则|GH|=2√73−2k 21+k 2．显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y ＝kx 就是y 轴，矛盾． ∵ |AG|＝|BH|，∴ |AB|＝|GH|． ∴ 8(1+k 2)1+2k 2=4(73−2k 21+k 2)，解得k 2＝1，即k ＝±1．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】（I ）由圆心M(√2,0)得到a =√2．利用椭圆的离心率e =ca 及b 2＝a 2−c 2即可得出椭圆的标准方程；(II)把直线l 的方程与椭圆的方程联立，消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|AB|，利用垂径定理及半径、弦长的一半、弦心距三者之间的关系(|GH|2)2=R 2−d 2即可得到|GH|，进而得出k ．【解答】（I ）设椭圆的焦距为2c ，由圆心M(√2,0)得到a =√2． ∵ e =c a=√22，∴ c ＝1．∴ b 2＝a 2−c 2＝1．所以椭圆C:x 22+y 2=1．(II)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．由直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，则{y =kxx 2+2y 2=2消去y 得到(1+2k 2)x 2−2＝0，则x 1+x 2＝0，x 1x 2=−21+2k 2．∴ |AB|=√(1+k 2)(0+81+2k 2)=√8(1+k 2)1+2k 2．点M(√2,0)到直线l 的距离d =√2k|√1+k 2．则|GH|=2√73−2k 21+k 2．显然，若点H 也在线段AB 上，则由对称性可知，直线y ＝kx 就是y 轴，矛盾．∵ |AG|＝|BH|，∴ |AB|＝|GH|． ∴ 8(1+k 2)1+2k =4(73−2k 21+k )，解得k 2＝1，即k ＝±1．【答案】证明：f ′(x)=1x −2x 3=x 2−2x 3≥0，∴ f(x)在[√2,+∞)上单增， ∴ x ≥2时，f(x)≥f(2)，即ln x +1x 2≥ln 2+14，∴ x ≥2时，x 2ln x +1≥(ln 2+14)x 2．证明：g ′(x)=x 2ln x +13x 2+3a−13x 2+1=x 2(ln x +1x 2+a)由f(x)在[√2,+∞)上单增且f(e)=1+1e,f(e 2)=2+1e ，a ∈(−2−1e 4,−1−1e 2) 知存在唯一的实数x 0∈(e,e 2)，使得g′(x 0)＝0，即ln x 0+1x 0+a =0，∴ x ∈(√2,x 0),g ′(x)<0,g(x)单减； x ∈(x 0, +∞)，g′(x)>0，g(x)单增，∴ g(x)min ＝g(x 0)，x 0满足ln x 0+1x 02+a =0，∴ a =−ln x 0−1x 02，∴ g(x 0)=13x 03ln x 0+3a−19x 03+x 0=−x 039+23x 0(e <x 0<e 2)，记ℎ(x)=−19x 3+23x(e <x <e 2)，则ℎ(x)=23−x 23<0，∴ ℎ(x)在(e, e 2)上单减， ∴ −e 69+23e 2=ℎ(e 2)<ℎ(x)<ℎ(e)=−e 39+23e ，所以φ(a)的值域为(−e 69+23e 2,−e 39+23e)．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】（1）求出导函数，利用导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解函数的最值，推出结果．（2）求出g′(x)=x2ln x+13x2+3a−13x2+1=x2(ln x+1x2+a)，利用函数的单调性求解函数的最小值，g(x)min＝g(x0)，构造函数ℎ(x)=−19x3+23x(e<x<e2)，利用函数的单调性求解函数的值域即可．【解答】证明：f′(x)=1x −2x3=x2−2x3≥0，∴f(x)在[√2,+∞)上单增，∴x≥2时，f(x)≥f(2)，即ln x+1x2≥ln2+14，∴x≥2时，x2ln x+1≥(ln2+14)x2．证明：g′(x)=x2ln x+13x2+3a−13x2+1=x2(ln x+1x2+a)由f(x)在[√2,+∞)上单增且f(e)=1+1e ,f(e2)=2+1e，a∈(−2−1e4,−1−1e2)知存在唯一的实数x0∈(e,e2)，使得g′(x0)＝0，即ln x0+1x0+a=0，∴x∈(√2,x0),g′(x)<0,g(x)单减；x∈(x0, +∞)，g′(x)>0，g(x)单增，∴g(x)min＝g(x0)，x0满足ln x0+1x02+a=0，∴a=−ln x0−1x02，∴g(x0)=13x03ln x0+3a−19x03+x0=−x039+23x0(e<x0<e2)，记ℎ(x)=−19x3+23x(e<x<e2)，则ℎ(x)=23−x23<0，∴ℎ(x)在(e, e2)上单减，∴−e69+23e2=ℎ(e2)<ℎ(x)<ℎ(e)=−e39+23e，所以φ(a)的值域为(−e 69+23e2,−e39+23e)．[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】（1）由{x=1+2cosβy=1+2sinβ（β为参数）消去参数β得：(x−1)2+(y−1)2＝4，展开可得：x2+y2−2x−2y−2＝0．将曲线M的方程化成极坐标方程得：ρ2−2ρ(cosθ+sinθ)−2＝0，∴曲线M是以(1, 1)为圆心，2为半径的圆．（2）设|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，由l1与圆M联立方程可得ρ2−2ρ(sinα+cosα)−2＝0，∴ρ1+ρ2＝2(sinα+cosα)，ρ1⋅ρ2＝−2，∵O，A，C三点共线，则|AC|=|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1⋅ρ2=√12+4sin2α①，∴用α+π2代替α可得|BD|=√12−4sin2α，∵l1⊥l2，∴S ABCD=12|AC|⋅|BD|=12√(144−16sin22α)，∵sin22α∈[0, 1]，∴S四边形ABCD∈[4√2,6]．【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程【解析】(Ⅰ)由{x=1+2cosβy=1+2sinβ（β为参数）消去参数β得：(x−1)2+(y−1)2＝4，将曲线M的方程化成极坐标方程．(Ⅱ)设|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，由l1与圆M联立方程可得ρ2−2ρ(sinα+cosα)−2＝0，根据根与系数的关系及其O，A，C三点共线，|AC|＝|ρ1−ρ2|，用α+π2代替α可得|BD|=√12−4sin2α，根据l1⊥l2，可得S四边形ABCD．【解答】（1）由{x=1+2cosβy=1+2sinβ（β为参数）消去参数β得：(x−1)2+(y−1)2＝4，展开可得：x2+y2−2x−2y−2＝0．将曲线M的方程化成极坐标方程得：ρ2−2ρ(cosθ+sinθ)−2＝0，∴曲线M是以(1, 1)为圆心，2为半径的圆．（2）设|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，由l1与圆M联立方程可得ρ2−2ρ(sinα+cosα)−2＝0，∴ρ1+ρ2＝2(sinα+cosα)，ρ1⋅ρ2＝−2，∵O，A，C三点共线，则|AC|=|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1⋅ρ2=√12+4sin2α①，∴用α+π2代替α可得|BD|=√12−4sin2α，∵l1⊥l2，∴S ABCD=12|AC|⋅|BD|=12√(144−16sin22α)，∵sin22α∈[0, 1]，∴S四边形ABCD∈[4√2,6]．[选修4-5：不等式选讲]【答案】当a＝4时，不等式f(x)≥5，即|x−1|+|x−4|≥5，等价于{x<1−2x+5≥5，或{1≤x≤43≥5，或{x>42x−5≥5，解得：x≤0或x≥5．故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0, 或 x≥5 }．因为f(x)＝|x−1|+|x−a|≥|(x−1)−(x−a)|＝|a−1|．（当x＝1时等号成立）所以：f(x)min＝|a−1|．由题意得：|a−1|≥4，解得a≤−3，或a≥5．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）不等式即|x−1|+|x−4|≥5，等价于{x<1−2x+5≥5，或{1≤x≤43≥5，或{x>42x−5≥5，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）因为f(x)＝|x−1|+|x−a|≥|a−1|，由题意可得|a−1|≥4，与偶此解得a的值．【解答】当a＝4时，不等式f(x)≥5，即|x−1|+|x−4|≥5，等价于{x<1−2x+5≥5，或{1≤x≤43≥5，或{x>42x−5≥5，解得：x≤0或x≥5．故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0, 或 x≥5 }．因为f(x)＝|x−1|+|x−a|≥|(x−1)−(x−a)|＝|a−1|．（当x＝1时等号成立）所以：f(x)min＝|a−1|．由题意得：|a−1|≥4，解得a≤−3，或a≥5．。

2020学年黑龙江省大庆市高考一模数学理及答案解析

2020年黑龙江省大庆市高考一模数学理一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}，则A∩B的值为( )A.{-1，0，1，2}B.{-2，-1，0，1，2}C.{0，1，2}D.{1，2}解析：分别求出集合A，B，由此能求出A∩B.∵集合A={-1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}={x|-2≤x≤2}，∴A∩B={-1，0，1，2}.答案：A2.若复数21-=+izi，则z在复平面内所对应的点位于的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z所对应点的坐标得答案.∵()()()()1322121311122----====-++-i ii iz ii i i，∴复数z在复平面内所对应的点的坐标为(12，32-)，位于第四象限.答案：D3.若x，y满足111≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩yx yy x，则2x+y的最大值为( )A.2B.5C.6D.7解析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值.作出x，y满足111≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩yx yy x对应的平面区域如图：(阴影部分).由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大.由11=⎧⎨=-⎩yy x，解得A(2，1)，代入目标函数z=2x+y得z=2×2+1=5.即目标函数z=2x+y的最大值为5.答案：B4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A.2B.4C.8D.12解析：由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥S-ABCD ，其中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PC ⊥平面ABCD ，PC=3，由此能求出几何体的体积. 由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥S-ABCD ，其中，四边形ABCD 是边长为2的正方形， PC ⊥平面ABCD ，PC=3， ∴几何体的体积：22341133=⨯⨯=⨯⨯⨯=正方形ABCD V S PC .答案：B5.执行如图所示的程序语句，则输出的S 的值为( )A.22B.1C.2+1解析：模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是2350sinsinsin sin 4444ππππ=+++⋯+S 的值，2350sinsinsin sin44442384950sin sin sin sin sin sin 4444444950sin sin44sin sin4122ππππππππππππππ=+++⋯+⎛⎫=+++⋯++⋯++ ⎪⎝⎭=+=+=+S答案：C6.已知命题p ：直线l 1：ax+y+1=0与l 2：x+ay+1=0平行；命题q ：直线l ：x+y+a=0与圆x 2+y 2=1，则命题p 是q( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既充分也不必要条件解析：根据直线平行的等价条件以及直线和圆相交的弦长公式分别进行计算，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.当a=0时，两直线方程分别为y+1=0，x+1=0，两直线不平行，当a ≠0时，若两直线平行，则满足1111=≠a a ，由11=a a 得a 2=1，得a=±1，由111≠a ，得a ≠1，即a=-1，即p ：a=-1，圆心到直线的距离=d ，半径r=1，∵直线l ：x+y+a=0与圆x2+y2=1，∴r 2=d 2+(2)2，即21122=+a ，得a 2=1，得a=±1，则命题p 是q 充分不必要条件. 答案：A7.数列{a n }为正项递增等比数列，满足a 2+a 4=10，a 32=16，则1012++⋯+a a a 等于( )A.-45B.45C.-90D.90解析：运用等比数列的通项公式和性质，求出q.再结合对数运算公式，求出结果即可. ∵{a n}为正项递增等比数列，∴a n ＞a n-1＞0，公比q ＞1.a 2+a 4=10①，且a 32=16=a 3·a 3=a 2·a 4②，由①②解得a 2=2，a 4=8.又因为a 4=a 2·q 2，得q=2或q=-2(舍).则得a 5=16，a 6=32，5121012160++⋯+=⋯=a a a a a a a a953229224590⨯⨯⨯=====.答案：D 8.若1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，则向量12=+a e e ，122=-+b e e 的夹角为( )A.30°B.60°C.90°D.120°解析：根据题意，设a 、b 的夹角为θ，又由1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，且12=+a e e ，122=-+b e e ，则()()22121212122232=+-+=-++=a b e e e e e e e e ，又由12=+a e e，则11=++=a ，由122=-+b e e ，则14=+-=b则有1os 2c θ==a b a b，则θ=60°. 答案：B9.已知双曲线22221-=x y a b (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(1)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2=16x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.221412-=x y B.221124-=x y C.221420-=x y D.221204-=x y解析：双曲线22221-=x y a b (a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y=±ba x ，由一条渐近线过点(1，可得=ba双曲线的一个焦点(-c ，0)在抛物线y 2=16x 的准线x=-4上，可得c=4，即有a 2+b 2=16，解得a=2，则双曲线的方程为221412-=x y .答案：A10.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，+∞)时，f ′(x)＜0.若12ln ⎛⎫ ⎪⎝=-⎭a f ，211ln ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-⎭=⎝b f e e ，c=f(e 0.1)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.b ＜a ＜cB.b ＜c ＜aC.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b解析：根据条件先判断函数的单调性，结合对数的运算性质进行化简即可. ∵当x ∈[0，+∞)时，f ′(x)＜0，∴当x ∈[0，+∞)时，函数f(x)单调递减，∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴函数在(-∞，+∞)上单调递减，()()1222ln ln ln ⎛⎫⎪⎝=-=-⎭-=a f f f ， 2111ln ln 1⎛⎫ ⎪⎝=-⎭-＞e e e ，又211ln 0⎛⎫- ⎪⎝⎭＜e e ，则2111ln 0-⎛⎫⎝⎭-⎪＜＜e e ，e 0.1＞1，0＜ln2＜1，则0.12111ln ln 2⎛⎫⎪⎝⎭--＜＜＜e e e ，则()()0.12112ln ln ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭＞＞f f f e e e ，即c ＜a ＜b. 答案：C11.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0)的图象过点(9π，2)，相邻两个对称中心的距离是3π，则下列说法不正确的是( )A.f(x)的最小正周期为23πB.f(x)的一条对称轴为x=49πC.f(x)的图象向左平移9π个单位所得图象关于y 轴对称D.f(x)在[9π-，9π]上是减函数解析：求出函数f(x)的解析式，再判断选项中的命题是否正确即可.函数f(x)=2sin(ωx+φ)图象相邻两个对称中心的距离是3π，∴23π=T ，∴223ππω==T ，解得ω=3；又f(x)的图象过点(9π，2)， ∴2sin(9πω+φ)=2，∴292ππωϕπ+=+k ，k ∈Z ；解得φ=6π+2k π，k ∈Z ；令k=0，得φ=6π，∴f(x)=2sin(3x+6π)；∴f(x)的最小正周期为T=23π，A 正确； 442sin 32996πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f 为最小值，∴f(x)的一条对称轴为x=49π，B 正确；f(x)的图象向左平移9π个单位，得函数2sin 32sin 32cos3962πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x，其图象关于y 轴对称，C 正确；x ∈[9π-，9π]时，3x ∈[3π-，3π]，∴3x+6π∈[6π-，2π]时，∴f(x)=2sin(3x+6π)在[9π-，9π]上是增函数，D 错误.答案：D12.已知函数()21211415⎧+-≤≤⎪=⎨+-≤⎪⎩，，＜x x f x x x x ，若关于x 的方程f(x)-ax=0有两个解，则实数a 的取值范围是( )A.(0，625]∪[52-，-2) B.(0，625)∪[52-，-2]C.(-∞，52-)∪[625，+∞)∪{0，-2}D.(-∞，52-)∪[625，+∞)解析：分别作出函数y=f(x)和y=ax 的图象，利用方程有两个解，利用数形结合即可得到结论.设函数y=f(x)和y=ax ，作出函数f(x)的图象如图：要使方程f(x)-ax=0有2两个解，即函数y=f(x)和y=ax 有2个不同的交点，∵f(-2)=5，f(5)=|5+15-4|=65，当y=ax经过点(5，65)时，此时a=625，当过点(-2，5)时，此时a=52-，当直线y=ax 与y=x 2+1相切时，∵y ′=2x ，设切点为(x 0，y 0)，-2≤x 0≤0，∴200012+=x x x ，解得x 0=-1，当x 0=-1，此时a=-2，结合图象，综上所述a 的取值范围为[52-，-2)∪(0，625].答案：A二、填空题(本题有4标题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.()3021-=⎰x dx .解析：根据定积分的运算，即可求得答案.()()3230036219=-=-=-⎰x x x x d .答案：614.一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记球O 的体积为V 1，圆柱内除了球之外的几何体体积记为V 2，则12V V 的值为 .解析：设圆柱的底面半径为r ，则圆柱的高为2r ，球O 的半径为r ，∴球O 的体积V 1=43πr 3，圆柱内除了球之外的几何体体积：V 2=πr 2×2r -43πr 3=23πr 3，∴313243322ππ==r V V r .答案：215.若f(x)=e xl na+e -xlnb 为奇函数，则12+a b 的最小值为 . 解析：由奇函数的性质可得f(0)=0，即有对数的运算性质可得ab=1，再由基本不等式，即可得到所求最小值.f(x)=e xl na+e -xlnb 为奇函数，可得f(0)=0，即有e 0lna+e 0lnb=0，即有ln(ab)=0，可得ab=1，(a ＞0，b ＞0)，则12≥=+a b ，当且仅当时，等号成立，则12+a b 的最小值为. 答案：16.已知抛物线C ：y 2=4x ，过其焦点F 作一条斜率大于0的直线l ，l 与抛物线交于M ，N 两点，且|MF|=3|NF|，则直线l 的斜率为 .解析：方法一：由抛物线的定义：|NF|=|DH|=x ，|MF|=|CM|=3x ，根据相似三角形的性质，即可求得直线MN 的倾斜角为60°，即可求得直线l 的斜率. 抛物线C ：y2=4x ，焦点F(1，0)，准线为x=-1，分别过M 和N 作准线的垂线，垂足分别为C 和D ，过NH ⊥CM ，垂足为H ，设|NF|=x ，则|MF|=3x ，由抛物线的定义可知：|NF|=|DN|=x ，|MF|=|CM|=3x ， ∴|HM|=2x ，由|MN|=4x ，∴∠HMF=60°，则直线MN 的倾斜角为60°，则直线l 的斜率k=tan60°3.方法二：设直线MN 的方程y=k(x-1)，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，即可求得k 的值.抛物线C ：y 2=4x ，焦点F(1，0)，准线为x=-1，设直线MN 的斜率为k ，则直线MN 的方程y=k(x-1)，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，()241⎧=⎪⎨=-⎪⎩y x y k x ，整理得：k 2x 2-2(k 2+2)x+k 2=0，则()212222++=k x x k ，x 1x 2=1，由|MF|=3|NF|，3=M FN F ，即(1-x 1，-y 1)=3(x 2-1，y 2)，x 1+3x 2=4，整理得：3x 2-4x 2+1=0，解得：x 2=13，或x 2=1(舍去)，则x 1=3，解得：k=3，由k ＞0，则3.方法三：设直线MN 的方程x=mx+1，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算即可求得m 的值，则直线l 的斜率为1m .抛物线C ：y 2=4x ，焦点F(1，0)，准线为x=-1，设直线MN 的方程x=mx+1，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，214=+⎧⎨=⎩x my y x ，整理得：y 2-4my-4=0，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4，由|MF|=3|NF|，3=M FN F ，即(1-x 1，-y 1)=3(x 2-1，y 2)，-y 1=3y 2，即y 1=-3y 2，解得：y 2=，y 1∴4m=，则m=，∴直线l.三、解答题(本大题共6小题，共70分，第17~21题为必考题，每小题12分，第22、23题为选考题，有10分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.设函数y=f(x)的图象由y=2sin2x+1的图象向左平移12π个单位得到.(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析：(1)通过函数的图象的变换，求出函数的解析式，然后求解函数的周期以及函数的单调区间.答案：(1)y=2sin2x+1的图象向左平移12π个单位得到y=2sin(2x+6π)+1的图象，即f(x)=2sin(2x+6π)+1.函数最小正周期T=π.令222262πππππ-+≤+≤+k x k (k ∈Z)，则222233ππππ-+≤≤+k x k (k ∈Z)，解得36ππππ-+≤≤+k x k (k ∈Z)，所以y=f(x)的单调增区间是[3ππ-+k ，6ππ+k ](k ∈Z).(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f(A)=2，b=1，S △ABCa 的值. 解析：(2)利用已知条件求出A ，然后利用图象定理，以及三角形的面积求解a 即可.答案：(2)由题意得：f(A)=2sin(2A+6π)+1=2，则有sin(2A+6π)=12.因为0＜A ＜π，所以5266ππ+=A ，A=3π.由1sin 2==ABCbc A Sb=1得，c=4.根据余弦定理，a 2=b 2+c 2-2bccosA=1+16-2×1×4×12=13，所以18.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在曲线25122=+y x x 上，数列{b n }满足b n +b n+2=2b n+1，b 4=11，{b n }的前5项和为45.(1)求{a n }，{b n }的通项公式.解析：(1)利用已知条件求出{a n }的通项公式，判断数列是等差数列求解{b n }的通项公式.答案：(1)由已知得：21252=+n S n n ，当n=1时，1115232==+=a S ，当n ≥2时，()()22151125112222-=-=+----=+n n n a S S n n n n n ，当n=1时，符合上式.所以a n =n+2.因为数列{b n }满足b n +b n+2=2b n+1，所以{b n }为等差数列.设其公差为d.则()413131155245=+=⎧⎪⎨=+=⎪⎩b b db b d，解得152=⎧⎨=⎩bd，所以b n=2n+3.(2)设()()12328=--nn nca b，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式T n＞54k恒成立的最大正整数k的值.解析：(2)化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可.答案：(2)由(1)得，()()()()()()11111 2328214222141212121 ====---+-+--⎛⎫⎝⎭+⎪nn nca b n n n n n n，111111521212111143341⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝=-++⋯+-=-⎝+⎭-+⎭nTn n n，因为()()111121232212431+⎛⎫-=-=++⎪⎭++⎝＞n nT Tn n n n，所以{T n}是递增数列.所以T n≥T1=16，故T n＞54k恒成立只要11654=＞Tk恒成立.所以k＜9，最大正整数k的值为8.19.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD且PA=AB=2.E为PA的中点.(1)求证：PC∥面BDE.解析：(1)连接CA交BD于O，连接OE，证明OE∥PC，即可推出PC∥面BDE.答案：(1)连接CA交BD于O，连接OE，因为ABCD为正方形且AC，BD为对角线，所以O为CA的中点，又E为PA的中点，故OE为△PAC的中位线，所以OE∥PC，而OE⊂面BDE，PC⊂面BDE，故PC∥面BDE.(2)求直线DE与平面PBC所成角的余弦值.解析：(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz.求出平面PBC的法向量n=(x，y，z)，设直线DE与平面PBC所成角为θ，利用向量的数量积求解即可.答案：(2)以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz. 则B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，E(0，0，1)，P(0，0，2)，所以DE=(0，-2，1)，BP=(-2，0，2)，BC=(0，2，0)，设平面PBC的法向量n=(x，y，z)，则⎧=⎪⎨=⎪⎩n BPn BC，即-=⎧⎨=⎩x zy，令z=1，则法向量n=(1，0，1)，设直线DE与平面PBC所成角为θ，则10 sin cos10θ===，n DEn DEn DE，故直线DE与平面PBC所成角的余弦值310.20.已知椭圆C：22221+=x ya b(a＞b＞0)，其焦距为2，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程.解析：(1)由2c=2，可得c=1，由2=c a，可得，从而b 2=a 2-c 2=1，即可求出椭圆方程.答案：(1)因为椭圆焦距为2，即2c=2，所以c=1，2=c a，所以，从而b 2=a 2-c 2=1，所以，椭圆的方程为2212+=x y .(2)设椭圆的右焦点为F ，K 为x 轴上一点，满足2=O OF K ，过点K 作斜率不为0的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，求△FPQ 面积S 的最大值.解析：(2)设直线MN 的方程为y=k(x-2)(k ≠0).代入椭圆方程得(1+2k 2)x 2-8k 2x+8k 2-2=0.设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由判别式△＞0解得k 范围.利用弦长公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性即可得出.答案：(2)椭圆右焦点F(1，0)，由2=O OF K 可知K(2，0)，直线l 过点K(2，0)，设直线l 的方程为y=k(x-2)，k ≠0，将直线方程与椭圆方程联立得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则2122812+=+k x x k ，21228212-=+k x x k ，由判别式△=(-8k 2)2-4(2k 2+1)(8k 2-2)＞0解得k 2＜12.点F(1，0)到直线l 的距离为h，则==h()42212222226482111242211121-==-=+-⨯++++kk k k S PQ h x x k k k k k ))22221221122-==+k k k k令t=1+2k 2，则1＜t ＜2，则2232+==-t t S t当134=t时，S取得最大值.此时k2=16，k=±，S取得最大值4.21.已知函数f(x)=1-ax+lnx(1)若不等式f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围.解析：(1)分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出参数的取值范围.答案：(1)由题意知，1-ax+lnx≤0恒成立.变形得：ln1+≥xax.设()ln1+=xh xx，则a≥h(x)max.由()2ln'=-xh xx可知，h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，h(x)在x=1处取得最大值，且h(x)max=h(1)=1. 所以a≥h(x)max=1，实数a的取值范围是[1，+∞).(2)在(1)中，a取最小值时，设函数g(x)=x(1-f(x))-k(x+2)+2.若函数g(x)在区间[12，8]上恰有两个零点，求实数k的取值范围.解析：(2)问题转化为即关于x的方程x2-xlnx-k(x+2)+2=0在区间[12，8]上恰有两个实数根，再分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出参数的取值范围. 答案：(2)由(1)可知，a≥1，当a=1时，f(x)=1-x+lnx，g(x)=x(x-lnx)-k(x+2)+2=x2-xlnx-k(x+2)+2，g(x)在区间[12，8]上恰有两个零点，即关于x的方程x2-xlnx-k(x+2)+2=0在区间[12，8]上恰有两个实数根.整理方程得，2ln 22-+=+x x x k x ，令()2ln 22-+=+x x x s x x ，x ∈[12，8]，()()2232ln 42+--'=+x x x s x x .令φ(x)=x 2+3x-2lnx-4，x ∈[12，8]，则()()()212ϕ-+'=x x x x，x ∈[12，8]，于是φ′(x)≥0，φ(x)在[12，8]上单调递增.因为φ(1)=0，当x ∈[12，1)时，φ(x)＜0，从而s ′(x)＜0，s(x)单调递减，当x ∈(1，8]时，φ(x)＞0，从而s ′(x)＞0，s(x)单调递增，()()9ln 23312ln 2118105251⎛⎫ ⎪=⎭-+==⎝，，s s s ，因为()5726ln 2801102--=⎛⎫ ⎪⎝⎭＞s s ，所以实数k 的取值范围是(1，9ln 2105+].(3)证明不等式：2ln(2×3×4×…×n)＞221-+n n n (n ∈N*且n ≥2).解析：(3)由(1)可得x-1≥lnx ，当且仅当x=1时取等号，令x=21k ，则有22111ln -≥kk ，其中k ∈N*，k ≥2，利用放缩裂项，累加求和即可证明.答案：(3)证明：由(1)可知，当a=1时，有x-1≥lnx ，当且仅当x=1时取等号.令x=21k ，则有22111ln -≥kk ，其中k ∈N*，k ≥2.整理得：()2111112ln 111111≥-=--=-+--＞k k k k k k k k ，当k=2，3，…，n 时，12ln 212112-+-＞，12ln 313113-+-＞，…，112ln 11-+-＞n n n ，上面n-1个式子累加得：2ln(2×3×…×n)＞n-1-1+1n .n ∈N*且n ≥2，即2ln(2×3×…×n)＞221-+n n n .命题得证.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线C 1：x 2+y 2=1，直线l ：ρ(cos θ-sin θ)=4.(1)将曲线C 1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍后得到曲线C 2，请写出直线l ，和曲线C 2的直角坐标方程.解析：(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.答案：(1)因为l ：ρ(cos θ-sin θ)=4，转化为直角坐标方程为：x-y=4；设曲线C 2上任一点坐标为(x ′，y ′)，则2'=⎧⎪⎨'=⎪⎩x x y ，所以2'⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x x y ，代入C 1方程得：22123''+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎝=⎪⎝⎭⎭x y ，所以C 2的方程为22143''+=x y .(2)若直线l 1经过点P(1，2)且l 1∥l ，l 1与曲线C 2交于点M ，N ，求|PM|·|PN|的值. 解析：(2)利用直线哈曲线建立方程组，利用一元二次方程根和系数的关系求出结果.答案：(2)直线l ：x-y=4倾斜角为4π，由题意可知，直线l 1的参数方程为2122⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x t y (t 为参数)，联立直线l 1和曲线C 2的方程得，27702++=t . 设方程的两根为t 1，t 2，则t 1t 2=2.由直线参数t 的几何意义可知，|PM|·|PN|=|t 1t 2|=2.[选修4-5：不等式选讲]23.已知a ，b 是任意非零实数.(1)求3232++-a b a b a 的最小值.解析：(1)根据绝对值三角不等式得出结论.答案：(1)因为|3a+2b|+|3a-2b|≥|3a+2b+3a-2b|=6|a|，当且仅当(3a+2b)(3a-2b)≥0时取等号，3232++-a b a ba 的最小值为6.(2)若不等式|3a+2b|+|3a-2b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立，求实数x 取值范围. 解析：(2)根据(1)的结论可得：|2+x|+|2-x|≤6，再讨论x 的符号解出x 的范围.答案：(2)由题意得：323222++-++-≤a b a b x x a 恒成立，结合(1)得：|2+x|+|2-x|≤6.当x ≤-2时，-x-2+2-x ≤6，解得-3≤x ≤-2；当-2＜x ≤2时，x+2+2-x ≤6成立，所以-2＜x ≤2；当x ＞2时，x+2+x-2≤6，解得2＜x ≤3.综上，实数x 的取值范围是[-3，3].。

黑龙江省大庆市2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学(理)试题

绝密★启用前黑龙江省大庆市2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学（理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．设集合{}{}2|,|01A x x x B x x =≤=<≤，则A B =（）A ．(]0,1B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．()(],00,1-∞2．已知2(1i)=1i z(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于（）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i +3．已知()()2,1,,2a b x =-=,且//a b ，则a b +=（） A ．4B ．3C D4．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（） A ．829B ．415C ．429D ．2155．设抛物线22y px =的焦点在直线2380x y +-=上，则该抛物线的准线方程为（）A ．1x =-B ．2x =-C ．3x =-D ．4x =-6．若直线1y x =+和曲线ln 2y a x =+相切，则实数a 的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．327．某公司安排甲、乙、丙3人到,A B 两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A 城市恰好只有甲去的概率为（） A ．15B ．16C ．13D ．148．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为偶函数，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为()g x ，若()g x 最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．-2B ．2C ．D9．设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题错误．．的是( ) A ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥ B ．若n α⊥，//n m ，则m α⊥ C ．若m α⊥，//m β，则αβ⊥D ．若αβ⊥，//m α，则m β⊥10．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为（）A ．10B ．3C ．4D ．311．设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<12．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若双曲线的左支上存在一点P ，使得2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点H ，且224PF F H =，则此双曲线的离心率为（）A ．3B．43C ．2D ．53第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．若实数x ，y 满足不等式组220102x y x y y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z xy =-的最大值为____________.14．若函数()222,0,0x mx m x f x x m x ⎧-+≤=⎨+>⎩，且()()12f f =，则m 的值为__________.15sin 3αα+=，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.16．已知e 为自然对数的底数，若对任意的1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的[]1,2y ∈-，使得2ln 1yx x a y e -++=成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题17．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足222n n n S a a =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．微信作为一款社交软件已经在支付、理财、交通、运动等各方面给人们的生活带来各种各样的便利.手机微信中的“微信运动”，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.A 先生朋友圈里有大量好友使用了“微信运动”这项功能，他随机选取了其中40名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：90，AB PB中点……○…………订…………线…………○……_______班级：___________考号：……○…………订…………线…………○……（1）求证：AQ ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC D --的正弦值.20．椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，且短轴长为12.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点B 为椭圆E 与y 轴正半轴的交点，是否存在直线l ，使得l 交椭圆E 于,M N 两点，且F 恰是BMN ∆的垂心？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由. 21．已知函数()()2ln 1,2x f x ax b g x ax bx x =--=+. （1）当2,3a b ==-时，求函数()f x 在x e =处的切线方程；（2）若函数()y f x =的两个零点分别为12,x x ，且12x x ≠，求证：1212x x g +⎛⎫>⎪⎝⎭. 22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r +-=>，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切。

黑龙江省大庆市2020届高三数学第一次教学质量检测试题理含解析

黑龙江省大庆市2020届高三数学第一次教学质量检测试题理（含解析）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题8分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合{}{}2|,|01A x x x B x x =≤=<≤，则AB =（）A. (]0,1B. []0,1C. (],1-∞D.()(],00,1-∞【答案】A 【解析】【分析】求出集合A 后可求AB .【详解】[]0,1A =，故(]0,1A B =，故选A.【点睛】本题考查集合的运算交，属于基础题.2.已知2(1i)=1i z(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于（）A. 1i --B. 1i -C. 1i -+D. 1i +【答案】A 【解析】【分析】由复数的运算法则，化简复数1z i =-+，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数满足2(1)=1i i z，即221(1)2=11111i i i izi i ii i，所以复数z 的共轭复数等于1z i =--，故选A ．【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数z 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3.已知()()2,1,,2a b x =-=,且//a b ，则a b +=（） A. 4 B. 3【答案】C 【解析】【分析】利用向量共线的坐标形式可求x ，求出a b +的坐标后可求a b +. 【详解】因为//a b ，故221x ⨯=-⨯，所以4x =-，故()2,1a b +=-，故5a b +=. 故选C.【点睛】如果()()1122,,,a x y b x y ==，那么：（1）若//a b ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥，则12120x x y y +=.4.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（） A.829B.415C.429D.215【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为等差数列问题，通过90n S =，1n a =，15a =，构造方程组解出公差，从而得到结果.【详解】设每天所织布的尺数为n a ，则数列{}n a 为等差数列设公差为d由题意可知：15a =，1n a =，90n S =则()()51115902n d n n n d ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩，解得：30429n d =⎧⎪⎨=-⎪⎩即每天比前一天少织429尺的布本题正确选项：C【点睛】本题考查等差数列通项公式、求和公式的应用，关键是能够将问题转化为等差数列基本量求解的问题.5.设抛物线22y px =的焦点在直线2380x y +-=上，则该抛物线的准线方程为（） A. 1x =- B. 2x =- C. 3x =- D. 4x =-【答案】D 【解析】【分析】由抛物线焦点F 在2380x y +-=上，求得8p =，进而得到抛物线的准线方程，得到答案. 【详解】由题意，抛物线22y px =的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，又由焦点F 在2380x y +-=上，解得8p =，所以抛物线的准线方程为42px =-=-，故选D. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.若直线1y x =+和曲线ln 2y a x =+相切，则实数a 的值为（）A.12B. 1C. 2D.32【答案】B 【解析】分析】设切点为()00,ln 2x a x +，求出函数在0x x =处的导数后可得切线的斜率，从而可用a 表示切点的横坐标，最后根据切点在切线上得到关于a 的方程，解该方程后可得实数a 的值. 【详解】设切点为()00,ln 2x a x +，因为a y x'=，故切线的斜率01a k x ==，所以0x a =，所以ln 21a a a +=+，因为0a >，故1a =，故选B.【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率，本题为基础题．7.某公司安排甲、乙、丙3人到,A B 两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A 城市恰好只有甲去的概率为（） A.15B.16C.13D.14【答案】B 【解析】【分析】求出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数，利用公式可求概率.【详解】设事件C 为“A 城市恰好只有甲去”，则基本事件的总数为22326C A =，事件C 中含有的基本事件的总数为1，所以()16P C =. 故选B.【点睛】古典概型的概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数的计算，计算时应利用排列组合的方法来考虑，此类问题为基础题.8.已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为偶函数，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为()g x ，若()g x 最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A. -2B. 2C.【答案】C 【解析】【分析】由题意根据三角函数的图象的对称性求出φ，由周期求出ω，由三角函数的值求出A ，可得函数的解析式，从而求得38f π⎛⎫⎪⎝⎭．【详解】∵()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为偶函数，故()()f x f x -=，所以()()sin sin A x A x ωϕωϕ+=-+，整理得到sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x ωϕωϕωϕωϕ+=-+，所以sin cos 0x ωϕ=对任意的x ∈R 恒成立，所以cos 0ϕ=，即,2k k Z πϕπ=+∈.因为0ϕπ<<，故2ϕπ=.所以()cos f x A x ω=，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()cos2A g x xω=.因为()g x 最小正周期为2π，则有22πω＝2π，∴ω＝2，g （x ）＝A cos x ，f （x ）＝A cos2x ．且4g π⎛⎫=⎪⎝⎭4cos A π=，解得2A =，所以()2cos2f x x =，所以332cos 84f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选:C.【点睛】本题主要考查函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，函数y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，属于基础题．9.设m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题错误．．的是( ) A. 若m α⊥，//n α，则m n ⊥ B. 若n α⊥，//n m ，则m α⊥ C. 若m α⊥，//m β，则αβ⊥ D. 若αβ⊥，//m α，则m β⊥【答案】D 【解析】【分析】利用线面垂直的性质定理及相关的推论考查所给的选项是否正确即可. 【详解】逐一考查所给的选项：由线面垂直的性质定理推论可知：若m α⊥，//n α，则m n ⊥，选项A 正确；由线面垂直的性质定理推论可知：若n α⊥，//n m ，则m α⊥，选项B 正确；由线面垂直的性质定理推论可知：若m α⊥，//m β，则平面β内存在直线l ，满足//l m ，则l α⊥，然后利用面面垂直的判定定理可得αβ⊥，选项C 正确；在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，取平面,αβ分别为平面11,ABCD ADD A ，直线m 为棱11B C ，满足αβ⊥，//m α，但是不满足m β⊥，选项D 错误；故选：D.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理及其推论，线面关系命题的判定，属于中等题. 10.已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为（）A.510B.53C.64D.15 【答案】A 【解析】【分析】如图，取11A B 的中点，连接,MN AN ，可以证明AMN ∠是异面直线AM 与BC 所成角，利用余弦定理可求其余弦值.【详解】如图，取11A B 的中点N ，连接,MN AN ，在111A B C ∆中，因为,M N 为中点，所以11MNB C ，由直三棱柱111ABC A B C -可得11BC B C ，故MNBC ，所以AMN ∠或其补角是异面直线AM 与BC 所成角.因为三棱柱111ABC A B C -是直棱柱，所以1AA ⊥平面111A B C ，因为11A C ⊂平面111A B C ，故111AA AC ⊥，故1AA M ∆为直角三角形，同理1AA N ∆为直角三角形. 设2AB a =，则1A N a =，在1Rt AA N ∆中，有AN =，同理AM =，又MN a =,故222cosAMN ∠==. 故选A.【点睛】求异面直线所成的角，一般需要平移空间直线后将空间角转化为平面角来处理，后者可以利用平面几何的相关知识方法或利用解三角形的方法求平面角的大小或角的余弦值. 11.设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（）A. 13()()(1)32f f f << B. 31(1)()()23f f f <<C. 13(1)()()32f f f <<D. 31()(1)()23f f f <<【答案】A 【解析】【分析】由题意可得11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再利用函数在区间[1,0)-上是增函数可得答案. 【详解】解：()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又(2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又1111023--<-<-≤，且函数在区间[1,0)-上是增函数，11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.【点睛】本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的能力.12.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若双曲线的左支上存在一点P ，使得2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点H ，且224PF F H =，则此双曲线的离心率为（） A.263B.43C.132D.53【答案】D 【解析】【分析】利用2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点H 可求出H 的坐标，再利用224PF F H =求出P 的坐标（用,,a b c 表示），将P 的坐标代入双曲线的方程后可求离心率.【详解】双曲线的渐近线为b y x a =±，取一条渐近线为by x a =，则直线()2:a a acF H y x c x b b b=--=-+，由a ac y x b b b y x a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2,a ab H c c ⎛⎫⎪⎝⎭. 因为224PF F H =，故224PF F H =-，从而()2,4,p p a ab c x y c c c ⎛⎫--=--⎪⎝⎭，所以2434p p a x c c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，将P 的坐标代入双曲线的方程可以得到：222224431a ab c c c a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，化简可得29250e -=，所以53e =，故选D.【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.若实数x ，y 满足不等式组220102x y x y y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为____________.【答案】5 【解析】【分析】由题意首先画出不等式组表示平面区域，然后结合目标函数的几何意义求解其最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点C 处取得最大值，联立直线方程：102x y y +-=⎧⎨=-⎩，可得点的坐标为：()3,2C -，据此可知目标函数的最大值为：()max 325z =--=. 故答案为：5．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.14.若函数()222,0,0x mx m x f x x m x ⎧-+≤=⎨+>⎩，且()()12f f =，则m 的值为__________.【答案】12【解析】【分析】先求出()1f ，再根据()10f >、()10f ≤分类讨论并求出相应的()()1ff ，根据()()12f f =可求实数m 的值.【详解】()11f m =+，若1m >-，则()()121ff m =+，令212m +=，故12m =；若1m ≤-，则()()()()2211211f f m m m m =+-++=，故()()12f f =无解，综上，12m =. 故答案为：12m =. 【点睛】分段函数的处理方法有两种：（1）分段处理，因为在不同的范围上有不同的解析式，故可考虑在不同范围上对应的方程、不等式等；（2）数形结合，即画出分段的函数的图像，从而考虑与分段函数相关的不等式问题、方程的解等问题.15.sin 3αα+=，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【答案】59- 【解析】【分析】先逆用两角和的正弦得到sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，令3παθ=-，则cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值即为cos2θ-的值，利用二倍角的余弦值可求此值.sin 3αα+=可以得到12sin 23αα⎫+=⎪⎪⎝⎭所以sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，设3πθα=+，则3παθ=- 则222333πππαθπθ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，所以()245cos 2cos 2cos 22sin 11399παπθθθ⎛⎫-=-=-=-=-=-⎪⎝⎭.故答案为：59-. 【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.16.已知e 为自然对数的底数，若对任意的1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的[]1,2y ∈-，使得2ln 1y x x a y e -++=成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】22,4e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】令()ln 1f x x x a =-++，1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()[]2,1,2xg x x e x =∈-.利用导数可求前者的值域和后者的单调性，最后根据方程的解的唯一性得到实数a 的取值范围.【详解】令()ln 1f x x x a =-++，1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()[]2,1,2xg x x e x =∈-.当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1110x f x x x -'=-=>，故()f x 在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，故()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,a a e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 又当()1,0x ∈-时，()()220xg x x x e '=+<，当()0,2x ∈时，()()220xg x x x e '=+>，所以()g x 在[]1,0-上减函数，在[]0,2上为增函数.令()t f x =，因为对任意的1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，总存在唯一的[]1,2y ∈-，使得2ln 1yx x a y e-++=成立，故对直线s t =与函数()s g y =的图象有且只要一个公共点，而()()()211,00,24g g g e e-===，且()g x 在[]1,0-上为减函数，在[]0,2上为增函数，故214t e e <≤，所以2114a e e a e ⎧->⎪⎨⎪≤⎩，即224a e e <≤. 故答案为：22,4e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦.【点睛】本题以多元方程解的性质为载体，考查导数在函数性质研究中的应用，在解决问题的过程中，注意把解的个数合理地转化为动直线与函数图象的位置关系，此类问题为难题. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足222n n n S a a =+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+；（2）224n n T +=-.【解析】【分析】（1）利用1n n n a S S -=-把递推关系转化为11n n a a --=，再利用等差数列的通项公式可求{}n a 的通项；（2）利用等比数列的求和公式可求{}n b 的前n 项和n T . 【详解】（1）当1n =时，12a =，当2n ≥时，()()()221112222n n n n n n n a S S a a a a ---⎡⎤=-=+--+-⎣⎦， ∴()()1110n n n n a a a a --+--=， ∵0n a >，∴11n n a a --=，∴{}n a 是以12a =为首项，1d =为公差的等差数列， ∴1n a n =+.（2）由（1）的1n a n =+，则12n n b +=，∴()222122412n n nT +-==--.【点睛】数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n S 之间的相互转化. 而数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列或等比数列的通项，则用公式直接求和；如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 18.微信作为一款社交软件已经在支付、理财、交通、运动等各方面给人们的生活带来各种各样的便利.手机微信中的“微信运动”，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数.A 先生朋友圈里有大量好友使用了“微信运动”这项功能，他随机选取了其中40名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：（1）以样本估计总体，视样本频率为概率，在A 先生的微信朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数不低于6000步的有X 名，求X 的分布列和数学期望；（2）如果某人一天的走路步数不低于8000步，此人将被“微信运动”评定为“运动达人”，否则为“运动懒人”.根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）分布列见解析，65；（2）没有. 【解析】【分析】（1）利用二项分布可求X 的分布列和数学期望.（2）根据题设中的数据可得列联表，再由公式可计算得到2K 的观察值，最后根据临界值表可得没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.【详解】（1）在A 先生的男性好友中任意选取1名，其中走路步数不低于6000的概率为82205=，X 可能取值分别为0，1，2，3， ∴()30033227055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21133254155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()12233236255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0333328355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， X 的分布列为则()2754368601231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，（也可写成235XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭,），∴()26355E X =⨯=.（2）完成2×2列联表运动达人运动懒人总计男 4 16 20 女 7 13 20 总计 112940∴2K 的观测值()240413716 1.129 2.70611292020k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， ∴据此判断没有90%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望和独立性检验，计算分布列时要弄清随机变量取某值时对应的随机事件的含义并确定合理的概率计算方法.必要时可借助于常见的分布列来帮助计算（如0-1分布、二项分布、超几何分布等），而独立性检验一般地依据给定的列联表计算2K 的观察值，再结合临界值表得到是否有把握认定结论.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，90BCD ∠=，224AB BC CD ===，PAB ∆为等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，Q 为PB 中点.（1）求证：AQ ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC D --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）154.【解析】【分析】（1）可证BC ⊥平面PAB ，从而得到要证的线面垂直；（2）过点B 作PC 的垂线BH ，交PC 于点H ，连结DH ，可证二面角B PC D --的平面角为BHD ∠，利用余弦定理可求其余弦值后可得其正弦值.我们也可以建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量和平面PCD 的法向量后可求它们的夹角的余弦值，从而得到二面角的正弦值.【详解】（1）证明：因为//AB CD ，090BCD ∠=，所以AB BC ⊥，又∵平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AB 平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ，又∵AQ ⊂平面PAB ，∴ 所以BC AQ ⊥，∵Q 为PB 中点，且PAB ∆为等边三角形，∴PB AQ ⊥，又∵PB BC B ⋂=， ∴AQ ⊥平面PBC .（2）【法一】过点B 作PC 的垂线BH ，交PC 于点H ，连结DH ，取AB 中点为O ，连接PO .因为PAB ∆为等边三角形，所以PO AB ⊥，由平面PAB ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以PO ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PO CD ⊥，由条件知OD CD ⊥，又POOD O =，所以CD ⊥平面POD ，又PD ⊂平面POD ，所以CD PD ⊥，又CD CB =，所以Rt PDC Rt PBC ∆≅∆，所以DH PC ⊥，由二面角的定义知，二面角B PC D --的平面角为BHD ∠，在Rt PDC ∆中，4,2,PB BC PC ===由PB BC BH PC =，所以525PB BC BH PC ===，同理可得455DH =，又22BD =BHD ∆中，(2222224545221cos 2445452BH DH BD BHD BH DH +-+-⎝⎭⎝⎭∠===-⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以，二面角B PC D --15. 【法二】取AB 中点为O ，连接PO ，因为PAB ∆为等边三角形，所以PO AB ⊥，由平面PAB ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO OD ⊥，由224AB BC CD ===，090ABC ∠=，可知//OD BC ，所以⊥OD AB ，以AB 中点O 为坐标原点，,,OA OD OP 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，所以()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0A D C -，(()0,0,23,2,0,0P B -，所以()()()2,2,0,0,2,23,2,0,0AD DP CD =-=-=，由（1）知，可以AQ 为平面PBC 的法向量，因为Q 为PB 的中点，所以(3Q -，由（1）知，平面PBC 的一个法向量为(3AQ =-，设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，由·0·0n CD n DP ⎧=⎨=⎩得202230x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则()0,3,1n =，所以231cos ,43331AQ n AQ n AQ n===+⨯+，所以二面角B PC D --15. 【点睛】线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.而面面垂直的证明可以通过线面垂直得到，也可以通过证明二面角是直二面角得到. 空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.20.椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为F ，且短轴长为23，离心率为12.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点B 为椭圆E 与y 轴正半轴的交点，是否存在直线l ，使得l 交椭圆E 于,M N 两点，且F 恰是BMN ∆的垂心？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，3163y x =-【解析】【分析】（1）根据短轴长和离心率可求,,a b c ，从而得到椭圆的标准方程；（2）假设存在直线l ，则其斜率为3k =l 的方程为3y x m =+，()()1122,,,M x y N x y ，由F 为垂心可得()212123413033m x x x x m m ⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭，联立直线方程和椭圆方程，消去y 后利用韦达定理可得关于m 的方程，解该方程后可得所求的直线方程.【详解】（1）设椭圆C 的方程为()222210,0x y a b a b+=>>，则由题意知223b =3b =22112b e a =-=，解得24a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由（1）知，E 的方程为22143x y +=，所以(()3,1,0B F ，所以直线BF 的斜率3BF k =-，假设存在直线l ，使得F 是BMN ∆的垂心，则BF MN ⊥. 设l 的斜率为k ，则1BF k k =-，所以3k =. 设l 的方程为3y x m =+,()()1122,,,M x y N x y . 由2233143y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()2213831230x mx m ++-=，由()()22834131230mm ∆=-⨯⨯->，得393933m -<<， ()2121212383,1313m m x x x x -+=-=. 因为MF BN ⊥，所以0MF BN =，因为()()11221,,,3MF x y BN x y =--=-，所以()()1212130x x y y ---=，即()12121333130333x x x m x m x m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++++= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，整理得()212123413033m x x x x m m ⎛⎫-+--+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以()221233834130313313m m m m m -⎛⎫⎛⎫----+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得22153480m m --=，解得3m =或163m =，当m 时，直线MN 过点B ，不能构成三角形，舍去；当m =时，满足m <<，所以存在直线l ，使得F 是BMN ∆的垂心，l的方程为y x =-【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的几何量的计算问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把题设中的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程，从而可得欲求的几何量的值. 21.已知函数()()2ln 1,2x f x ax b g x ax bx x =--=+. （1）当2,3a b ==-时，求函数()f x 在x e =处的切线方程；（2）若函数()y f x =的两个零点分别为12,x x ，且12x x ≠，求证：1212x x g +⎛⎫> ⎪⎝⎭.【答案】（1）130x y e+--=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求出函数在x e =处的导数，求出切点坐标后可得切线的方程.（2）利用()()120f x f x ==可得()()12122121212ln0222x x x x x x x x a b x x +++⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，因此只需证明()()112212ln 12x x x x x x +>-即1122121ln 121x x x x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>⎛⎫- ⎪⎝⎭即可，令12x t x =，构建新函数()()()21ln ,0,11t m t t t t -=-∈+可证该不等式成立.【详解】（1）当2,3a b ==-时，()()ln 30xf x x x x=-+>，()221ln x x f x x--'=，则()1f e '=-，切点为1,3e e e ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故函数()f x 在x e =处的切线方程为130x y e+--=. （2）证明：∵12,x x 是()f x 的两个零点，不妨设12x x <，∴()()120f x f x ==，即111ln 102x ax b x --=，222ln 102x ax b x --=， ∴21111ln 02x ax bx --=，22221ln 02x ax bx --=，相减得：()()221212121ln ln 02x x a x x b x x -----= 故()121212ln102x x a x x b x x -+-=-，整理得到()()()11222121212ln102x x x x a x x b x x x x +-+-+=-，则()()12122121212ln0222x x x x x x x x a b x x +++⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， ∴()()11221212ln 22x x x x x x g x x ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭即()()111122212212121ln ln 2221x x x x x x x x x x g x x x x ⎛⎫++ ⎪+⎛⎫⎝⎭== ⎪-⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，令12x t x =，即证01t <<，()()1ln 121t t t +>-也就是()21ln 01t t t --<+，令()()()21ln ,0,11t m t t t t -=-∈+，()()()()222114011t m t t t t t -'=-=>++，()()21ln 1t m t t t -=-+在()0,1上是增函数，又∵()10m =，∴()0,1t ∈，()0m t <，命题得证.【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率.与函数零点有关的不等式的证明，可利用零点满足的等式将要求证的不等式进行转化，再构造新函数，利用导数讨论新函数的性质可证明新转化的不等式是成立的.请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为222((1)(0)x y r r -+-=>，以坐标原点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 13πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，若直线l 与曲线C 相切。

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