河北省冀州市2016-2017学年高二数学上学期期中试题(B卷)理
河北省冀州市高三数学上学期期中试题(B卷)理
∴Q（ ,﹣ ），………………6分
由题意知k≠0，
又直线MN的垂直平分线的方程为y+ =﹣ ，
令x=0，得 = ，………………8分
当k＞0时，∵2k+ ，∴0＜ ；
当k＜0时，因为2k+ ≤﹣2 ，所以0＞yP≥﹣ =﹣ ．
综上所述，点P纵坐标的取值范围是［﹣ ］．………………12分
（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程;
（Ⅱ）设过点F（1，0)的直线 与曲线C相交于不同的两点 ， ．若点P在y轴上，且 ，求点P的纵坐标的取值范围．
21、（本小题满分12分)
已知函数 .
(Ⅰ）若曲线 在点 处的切线平行于 轴,求函数 的单调区间;
(Ⅱ)试确定 的取值范围，使得曲线 上存在唯6、同时具有性质：①最小正周期是 ；②图象关于直线 对称;③在 上是增函数的一个函数为 （）
A． B． C． D．
7、如图,在 中, ， 是 上的一点，若
，则实数 的值为（)
A． B。 C.1 D。3
8、已知 是定义在 上的函数,对任意两个不相等的正数 ，都有 ,记 ， , ，则（ ）
A． B． C． D．
19、解：（1）△BCD中 ，
∴ ，∴
∴ , 4分(其中范围1分）
（2） 8分
6分
令 ,则 ,
∴ 在区间 上单调递增，8分
∴当 时 取得最大值，此时 ，
即D在AB的中点时，遮阳效果最佳。12分
20.（Ⅰ)设动点E的坐标为（x，y），
∵点A（﹣ ，0），B（ ）,E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣ ，
13、 ； 14、8; 15、2； 16、
17．解：(1)f（x） = ……………………2分
2016-2017学年河北省冀州中学高二下学期期中考试数学(理)试题B卷
试卷类型：B 卷 河北冀州中学2016-2017学年度下学期期中 高二年级理科数学试题（ 考试时间：120分钟 分值：150分）第Ⅰ卷（选择题 共52分）一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={x||x ﹣2|≤1}，且A ∩B=∅，则集合B 可能是 （ ） A ．（﹣∞，﹣1） B ．（1，2） C ．{2，5} D ．{x|x 2≤1} 2．已知m 为实数，i 为虚数单位，若m+（m 2﹣4）i ＞0，则= （ ）A ．﹣iB ．1C ．iD ．﹣13.以下四个命题中，真命题是 （ ） A ．()0,x π∃∈，sin tan x x =B ．条件p ：44x y xy +>⎧⎨>⎩，条件q :22x y >⎧⎨>⎩则p 是q 的必要不充分条件C ．“x R ∀∈，210x x ++>”的否定是“0x R ∃∈，20010x x ++<”D ．R θ∀∈，函数()()sin 2f x x θ=+都不是偶函数4．关于直线,l m 及平面,αβ，下列命题中正确的是 （ ）A ．若//,l m ααβ⋂=，则//l mB ．若//,//l m αα，则//l mC ．若//,l m l α⊥，则m α⊥D ．若,//l m αα⊥，则l m ⊥5.一个样本容量为8的样本数据，它们按一定顺序排列可以构成一个公差不为0的等差数列{}n a ，若35a =，且125,,a a a 成等比数列，则此样本数据的中位数是 （ ）A ．6B ．7 C.8 D ．96. 执行如图所示的程序框图，若输出i 的值是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数是 （ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．167.若)()13(*∈-N n xx n的展开式中各项系数和为64，则其展开式中的常数项为 （ ） A. 540- B. 135- C.135 D. 540 8. 函数()[]()cos 2,x f x x ππ=∈-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．9.将函数()()1sin 22f x x ϕ=+的图象向左平移6π个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象关于3x =π对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．12π B ．3π C. 6π D ．56π 10．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个棱柱的三视图，则此棱柱的侧面积为 （ ）A．16+．16+20+．8+11.记不等式组431034x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域为D ，过区域D 中任意一点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，则cos PAB ∠的最大值为 （ ） A ．12 B．3 C. 13 D．212．已知双曲线的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2 于 A ，B 两点．若||，||，||成等差数列，且与反向，则该双曲线的离心率为 （ ） A ．B ．C ．D ．13. 已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，若对于任意实数x ，有'()()f x f x >，且()1y f x =-为奇函数，则不等式()xf x e <的解集为 （ ） A ．(0,)+∞ B ． (,0)-∞ C ．4(,)e -∞ D ．4(,)e +∞第Ⅱ卷（非选择题，共98分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
河北省冀州市中学2016-2017学年高二上学期第五次月考数学(理)试题 含答案
理科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共13个小题,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}0,1,2,3A =，{}|(3)0B x x x =-<，则A B =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}0,1,2C ．{}1,2D ．{}1,2,32.已知向量(2,)a m =,(1,2)b =-,若22(2)a a b b m ⋅-=+，则实数m 等于（)A ．12B ．52C ．54D ．543。
同时具有:①最小正周期为π；②图象关于直线3x π=对称的函数是（ )A ．sin(2)6y x π=- B ．sin()26x y π=+C ．sin(2)6y x π=+ D ．sin ||y x =4.如果双曲线经过点3)，且它的两条渐进线方程是13y x =±，那么双曲线方程是( ）A ．221369x y -=B ．221819x y -=C ．2219x y -=D ．221183x y -=5.若实数x y 满足条件10,220,10,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则543z x y =-+的最大值为（ )A ．158-B ．54-C ．12-D ．1-6。
“221(43)m x dx ≤-⎰”是“函数1()22x x mf x +=+的值不小于4”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7。
已知3cos()25πα+=，且3(,)22ππα∈，则tan α=（ ）A ．43B ．34C ．34-D ．34±8。
已知(4,0)A ,(2,2)B 为椭圆221259x y +=内的点，M是椭圆上的动点,则||||MA MB +的最小值是（）A ．10210+B ．1010+C ．10210-D ．1010-9.若“(0,)x ∀∈+∞，4x a x+≥”与“x R ∃∈，220x x a ++=”都是真命题，则a 的取值范围是( ） A ．4a ≤B ．1a ≤C ．14a ≤≤D ．∅10。
河北省冀州市中学2016-2017学年高二上学期第二次月考理数试题Word版含解析
一、选择题（本大题共15个小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()()ln 1f x x =-的定义域为N ，则M N ⋂为（ ）A ．()0,1B ．[]0,1C ．[)0,1D ．(]1,0- 【答案】C【解析】试题分析：不等式20x x -≤转化为()10x x -≤解得其解集是{}|01x x ≤≤,而函数()()ln 1f x x =-有意义则需: 10x ->解得:11x -<<所以其定义域为{}[)11,0,1x M N -<<∴=，故选C.考点：1、函数的定义域；2、集合的交集.2.已知函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且()1f x +为偶函数，则实数a 的值可以是（ ） A ．23B ．4C ．6D ．2 【答案】D考点：函数的奇偶性性及函数的平移变换.3.设112450.5,0.9,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a b c >> 【答案】B【解析】试题分析：因为11124450.50.25,0.9,log 0.3a b c ====，所以根据幂函数的性质得0b a >>，根据对数函数的性质0c <，因此b a c >>，故选B. 考点：1、幂函数的性质；2、对数函数的性质.4.已知1,3,0OA OB OA OB ===，点C 在AOB ∠内，且030AOC ∠=，设()OC mOA nOB m n R =+∈、，则mn等于（ ）A ．13B C ．3D 【答案】C考点：1、平面向量的数量积公式；2、平面向量基本定理及垂直向量. 5.定义在R 上的函数()f x 满足()()()()2log 1,012,0x x f x f x f x x -≤⎧⎪=⎨--->⎪⎩则()8f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-1 【答案】D 【解析】试题分析：因为()()()()()()1211f x f x f x f x f x f x =---⇒+=--两式相加可得()()()()12,3f x f x f x f x +=--+=-，()()6f x f x +=，所以()()()()()()()282101010log 21f f f f f f f ==-==--=-=-，故选D.考点：1、分段函数的解析式；2、函数的周期性.6.某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4 【答案】D考点：程序框图及循环结构.【方法点晴】本题主要考查程序框图及循环结构.属于中档题,解决循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．解决循环结构框图问题，首先要找出控制循环的变量其初值、步长、终值(或控制循环的条件)，然后看循环体，循环次数比较少时，可依次列出即可获解，循环次数较多时可先循环几次，找出规律，要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误．7.圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ） A ．34- B ．43- CD ．2 【答案】B【解析】试题分析：圆2228130x y x y +--+=的圆心坐标为:()1,4,故圆心到直线10ax y +-=的距离为1d ==,解得43a =-，故选B.考点：1、点到直线的距离公式；2、圆的一般式方程. 8.数列{}n a 的首项为1，{}n b 为等比数列且()*1n n na b n N a +=∈，若452b b =，则9a =（ ） A ．16 B ．32 C ．4 D ．8 【答案】A考点：等比数列的性质及“累乘法”的应用 . 9.若()0,,cos 32παπα⎛⎫∈+=- ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ） A．3 B．3- C．D．【答案】D【解析】 试题分析：()420,,,,cos 33332ππππαπαα⎛⎫⎛⎫∈+∈+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, sin 3sin tan 323cos 3παππααπα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭∴+==±∴+= ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭tan tan3111tan tan3παπ+===±-,从而解得tan 2α=-2，)()22222tantan 21tan 312ααα⨯∴===----或)()22222tan tan 21tan 12ααα⨯===--,故选D. 考点：1、二倍角的正切公式；2、两角和的正切公式及同角三角函数之间的关系. 10.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为4π，且对x R ∀∈，有 ()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则()f x 的一个对称，中心坐标是（ ）A ．2,03π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．5,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．,03π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C考点：三角函数的图象与性质.11.某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ）A ．240种B ．288种C ．192种D ．216种 【答案】D【解析】试题分析：最前排甲，共有55120A =种，最前只排乙，最后不能排甲，有144496A A =种，根据加法原理可得，共有12096216+=种，故选D. 考点：排列及计数原理的应用.12.在区间[],ππ-内随机取两个数分别记为,a b ，则使得函数()222f x x ax b π=+-+有零点的概率为（ ） A ．12 B ．14 C ．34D ．78【答案】C【解析】试题分析：由题意知本题是一个几何概型，,a b 使得函数()222f x x ax b π=+-+有零点，220,a b π∴∆≥∴+≥，试验发生包含的所有事件是(){}()22,|,,24a b a b S ππππππΩ=-≤≤-≤≤∴==，而满足条件的事件是(){}22222,|,43a b a b S ππππ+≥∴=-=，由几何概型公式得到223344P ππ==，故选C.考点：1、几何概型概率公式；2、函数的零点及圆面积公式.13.若22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A ．90B ．45C ．120D ．180 【答案】D考点：1、二项式展开式的系数；2、二项展开式的通项公式.14.函数()1,111,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨⎛⎫+≠⎪⎪⎝⎭⎩若关于x 的方程()()()222330f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．331,,222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】试题分析：因为题中原方程()()()222330fx a f x a -++=有且只有5个不同实数解，所以即要求对应于()f x 等于某个常数有3个不同实数解，所以故先根据题意作出()f x 的简图，由图可知，只有当()f x a =时，它有三个根.所以有:12a <<①. 再根据()()()222330f x a f x a -++=有两个不同实根,得:()232342302a a a ∆=+-⨯⨯>⇒≠②, 结合①②得:312a << 或322a <<, 故选D.考点：1、分段函数的解析式及图象；2、数形结合判定方程根的个数.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、数形结合判定方程根的个数，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解． 15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．2B ．4C ．83D ．209【答案】C考点：1、几何体的三视图；2、棱锥的体积公式.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共5小题，每题4分，满分20分．）16.在ABC ∆中，03,2,30a b A ===，则cos B =____________．【答案】3考点：正弦定理及同角三角函数之间的关系.17.已知,a b 为正数，且直线60ax by +-=与直线()2350x b y +-+=互相平行，则23a b +的最小值为___________． 【答案】 25【解析】试题分析：因为直线60ax by +-=与直线()2350x b y +-+=互相平行，所以()320a b b --=且5120,32a a b ab +≠∴+=，即231a b+=,又,a b 均匀正数, 则()23662323491325a b a b a b a b b a a ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭,当且仅当5a b ==时上式等号成立,故答案为25.考点：1、两直线平行的性质；2、基本不等式求最值.18.若实数,x y ，满足004312x yx y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则231x y z x ++=+的取值范围是____________．【答案】 3,112⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点：1、可行域的画法；2、线性规划求斜率范围.19.已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其前n 项和，且)*n a n N =∈．若不 等式8nn a nλ+≤对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的最大值为_____________． 【答案】9【解析】试题分析：()22121n n n n n a a a n a a n ===⇒=-⇒=-，n N *∈，8nn a n λ+≤就是()()82188215,215n n n n n n nλλ+-≤⇒≤-+--+在1n ≥时单调递增,其最小为9,所以9λ≤，故实数λ的最大值为9,故答案为9. 考点：1、等差数列列的通项公式及前n 项和公式；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查等差数列列的通项公式及前n 项和公式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是先求出{}n a 的通项公式再利用方法①将求得λ的最大值. 20.若()()20152201520160122015201612x x a a x a x a x a x +-=+++++，则2420142016a a a a ++++等于_____________． 【答案】201512-考点：二项式定理的应用.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的其他应用. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21.（本题10分）已知函数()()22f x x ax x R =-+∈． （1）当()f x 有最小值时，求a 的取值范围；（2）若函数()()sin 2h x f x =-存在零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）[]2,2-；（2）(][),04,-∞+∞.试题解析：解：（1）()()()24,224,2a x x f x a x x +-≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩，要使函数()f x 有最小值，需2020a a +≥⎧⎨-≤⎩，∴22a -≤≤，故a 的取值范围为[]2,2-．（2）∵[]sin 1,1x ∈-，∴()()sin 2sin 4f x a x =-+， “()()()sin 22sin 2h x f x a x =-=-+存在零点”等价于 “方程()2sin 20a x -+=有解”，亦即2sin 2x a =--有解， ∴2112a -≤-≤-，解得0a ≤或4a ≥， ∴a 的取值范围为(][),04,-∞+∞．考点：1、函数零点的判定方法；2、分段函数的应用. 22.（本题12分）已知ABC ∆的三内角,,A B C 所对边的长依次为,,a b c ，若31cos ,cos 48A C ==． （1）求::a b c ； （2）若46AC BC +=ABC ∆的面积．【答案】（1）4:5:6；（2【解析】试题分析：（1）,A C 为三角形内角，先求出sin ,sin A C ，由()cos cos B A C π=-+⎡⎤⎣⎦展开即可求出cos B 的值，从而可求出sin B ，由正弦定理即可求出::a b c 的值；（2）由正弦定理和已知求出,,a b c 的值，即可求出ABC ∆的面积.（2）由（1）知：:b:c sinA:sinB:sinC 4:5:6a ==，不妨设：4,5,6,0a k b k c k k ===>．故知：5,4AC b k BC a k ====， 依题设知：2222cos 464646AC BC AC BC C k ++=⇒=， 又01k k >⇒=．故ABC ∆的三条边长依次为：4,5,6a b c ===．ABC ∆的面积是1452⨯⨯= 考点：1、正弦定理及余弦定理；2、同角三角函数之间的关系及三角形面积公式. 23.（本题12分）如图，在三棱锥D ABC -中，,DA DB DC D ==在底面ABC 上的射影为E ，,AB BC DF AB ⊥⊥于F ．（1）求证：平面ABD ⊥平面DEF ；（2）若0,4,60AD DC AC BAC ⊥=∠=，求直线BE 与平面DAB 所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2.试题解析：（1）如图，由题意知DE ⊥平面ABC ，所以AB DE ⊥，又A B D F ⊥，所以AB ⊥平面DEF ，又AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面DEF ； （2）由DA DB DC ==知EA EB EC =+， 所以E 是ABC ∆的外心，又AB BC ⊥，所以E 为AC 的中点，过E 作EH DF ⊥于H ，则由（1）知EH ⊥平面DAB ， 所以EBH ∠即为BE 与平面DAB 所成的角，由04,60AC BAC =∠=得2,DE EF ==，所以DF EH ==所以sin 7EH EBH BE ∠==. 考点：1、平面与平面垂直的判定定理；2、直线与平面所成的角.24.（本题12分）某射击运动员进行射击训练，前三次射击在靶上的着弹点A B C 、、刚好的边长分别为5,6cm cm的三角形的三个顶点．（1）该运动员前三次射击的成绩（环数）都在区间[)7.5,8.5内，调整一下后，又连打三枪，其成绩（环数）都在区间[)9.5,10.5内．现从这6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩（记为a 和b ）进行技术分析．求事件“1a b ->”的概率．（2）第四次射击时，该运动员瞄准ABC ∆区域射击（不会打到ABC ∆外），则此次射击的着弹点距A B C 、、的距离都超过1cm 的概率为多少？（弹孔大小忽略不计）【答案】（1）35；（2）118π-.试题解析：（1）前三次射击成绩依次记为123,,x x x ，后三次成绩依次记为123,,y y y ，从这6次射击成绩中随机抽取两个，基本事件是：{}{}{}{}{}{}{}{}{}121323121323111213,,,,,,,,,,,,,,,,,,x x x x x x y y y y y y x y x y x y {}{}{}{}{}{}212223313233,,,,,,,,,,,x y x y x y x y x y x y ，共15个，其中可使1a b ->发生的是后9个基本事件， 故()931155a b ->==； （2）因为着弹点若与123,,x x x 的距离都超过123,,y y y cm ，则着弹点就不能落在分别以6为中心，半径为{}{}{}121323,,,,,x x x x x x cm 的三个扇形区域内，只能落在扇形外的部分，因为4cos 5C =， ∴3sin 5C =，则156sin 92ABC S C ∆=⨯⨯⨯=，满足题意部分的面积为211922ABC S S ππ∆'=-⨯⨯=-，故所求概率为118ABC S p S π∆'==-． 考点：1、几何概型概率公式；2、古典概型概率公式. 25.（本题12分）已知数列{}n a 中，123,5a a ==，其前n 项和n S 满足()121223n n n n S S S n ---+=+≥，令11n n n b a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()12x f x -=，求证：()()()()1211216n n T b f b f b f n n =+++<≥． 【答案】（1）21nn a =+；（2）证明见解析.试题解析：（1）由题意知()111223n n n n n S S S S n -----=-+≥，即()1123n n n a a n --=+≥，∴()()()112322n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()1221222225222212213n n n n n n ----=++++=++++++=+≥，检验知12n =、时，结论也成立，故21n n a =+．（2）由于()()()()()()()11111212111111222212121212121n nn n n n n n n n b f n +-++++-+⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭， 故()()()1222311111111122121212122121n n n n T b f b f b f n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111111212212126n +⎛⎫=-<= ⎪+++⎝⎭． 考点：1、不等式的证明；2、数列递推公式及裂项求和法.【方法点睛】本题主要考查不等式的证明、数列递推式及裂项求和法，属于难题.已知数列前n 项和与第n 项关系，求数列通项公式，常用11,1,2n nn S n a SS n -=⎧=⎨-≥⎩将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 26.（本题12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()221:314C x y ++-=和()()222:454C x y -+-=．（1）若直线l 过点()4,0A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）0y =或7x+24y-28=0；（2）151,22P ⎛⎫-⎪⎝⎭,2313,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.试题解析：（1）由于直线4x =与圆1C 不相交； ∴直线l 的斜率存在，设l 方程为：()4y k x =-， 圆1C 的圆心到直线l 的距离为d ，∵l 被1C截得的弦长为∴1d d ===从而()2470k k +=即7024k k ==-或， ∴直线l 的方程为：0y =或7x+24y-28=0 （2）设点(),P a b 满足条件，由题意分析可得直线12l l 、的斜率均存在且不为0， 不妨设直线1l 的方程为(),k 0y b k x a -=-≠， 则直线2l 的方程为：()1y b x a k-=--， ∵1C 和2C 的半径相等，及直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等， ∴1C 的圆心到直线1l 的距离和圆2C 的圆心到直线2l 的距离相等，=整理得1354k ak b k a bk ++-=+--， ∴()1354k ak b k a bk ++-=±+--，即()23a b k b a +-=-+或()85a b k a b -+=+-，因k的取值有无穷多个，所以2030a bb a+-=⎧⎨-+=⎩或8050a ba b-+=⎧⎨+-=⎩，解得5212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或32132ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩这样的点只可能是点151,22P⎛⎫-⎪⎝⎭或点2313,22P⎛⎫-⎪⎝⎭．考点：1、直线和圆的方程的应用；2、圆的几何性质以及圆的弦长公式.【方法点睛】本题主要考查直线和圆的方程的应用、圆的几何性质以及圆的弦长公式.属于难题，由于圆的的特殊几何性质，解答关于圆的问题可用有别于其他曲线的方法，首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P到圆的距离为d，圆的半径为r，则由点P所作切线的长l=，圆的弦长公式也可用勾股定理求得l=。
河北省冀州市中学2016-2017学年高二上学期开学调研考试理数试题Word版含解析
一、选择题（本大题共15个小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆Þ，则集合A 的个数是（ ） A ．8 B ．7C ．4D ．3【答案】B考点：1、集合的基本概念；2、子集概念及的应用.2．已知函数()1y f x =+定义域是[]2,3-，则()1y f x =-的定义域是（ ） A ．[]0,5 B ．[]1,4- C ．[]3,2- D ．[]2,3-【答案】A 【解析】试题分析：因为()1y f x =+的定义域是[]2,3-，即[]2,3x ∈-，所以[]11,4x +∈-，所以函数()f x 的定义域为[]1,4-，由114x -≤-≤得05x ≤≤，所以函数()1y f x =-的定义域是[]0,5，故选A. 考点：抽象函数的定义域.3．已知函数()()()()324,,lg log 105f x ax bx a b R f =++∈=，则()lg lg 2f =⎡⎤⎣⎦（ ）A ．3-B ．1-C ．3D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：因为21log 10lg 2=，故()()()()21lg log 10lg lg lg25lg2f f f ⎛⎫⎛⎫==-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()()8f x f x +-=，故()()()()()()lg lg2lg lg25lg g 8l 2f f f -++==，则()()lg lg23f =，故选C.考点：1、对数的运算法则；2、函数的奇偶性.4．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a =（ ） A ．100 B ．99 C ．98D ．97 【答案】C 【解析】试题分析：因为等差数列{}n a 前9项的和为27，所以55927,3a a ==，又108a =，1d ∴=，10059598a a d ∴=+=，故选C.考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的通项公式及前n 项和公式.5．已知,,l m n 是三条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A ．若,m l n l ⊥⊥，则m nB ．若,αγβγ⊥⊥，则αβC ．若,m l n l ，则m nD ．若,mn αα，则mn【答案】C考点：1、线面平行的性质；2、面面垂直的性质及空间直线间的位置关系. 6．已知直线:20l ax y a +--=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（ ） A ．1B ．1-C ．2-或1-D ．2-或1【答案】D 【解析】试题分析：由直线的方程：20ax y a +--=得此直线在x 轴与y 轴上的截距分别为2a a+和2a +，由22a a a+=+得1a =或2a =-，故选D. 考点：1、直线方程的应用；2、直线的截距.7．若直线()120x m y m +++-=和直线280mx y ++=平行，则m 的值为（ ） A ．1B ．2-C ．1或2-D ．23-【答案】A考点：两直线平行的性质.8．下列各数中，最小的数是（ ） A ．75B ．()2111111C ．()6210D ．()985 【答案】B 【解析】试题分析：在B 中，()543210211111122222263=+++++=，在C 中，()26210261678=⨯+⨯=，在D 中，()98589577=⨯+=，故()2111111最小，故选B.考点：进位制的应用及等比数列求和.9．为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则下列说法正确的是（ ） A ．x x >乙甲，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B ．x x >乙甲，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C ．x x <乙甲，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D ．x x <乙甲，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【答案】D 【解析】试题分析：由茎叶图知，甲的平均成绩是727879858692826+++++=，乙的平均成绩是788688889193876+++++=，所以乙的平均成绩大于甲的平均成绩，从茎叶图看出乙的成绩稳定，故选D.考点：1、平均值的算法；2、茎叶图的应用. 10．方程()2240x x y +-=与()222240x x y ++-=表示的曲线是（ ）A ．都表示一条直线和一个圆B ．都表示两个点C ．前者是两个点，后者是一直线和一个圆D ．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点 【答案】D考点：曲线与方程的概念.11．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】试题分析：由图可得，该几何体为三棱柱，所以最大的球的的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则-+-=⇒=，故选B.S r r r62考点：1、几何体的三视图；2、几何体的内切球的性质.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.12．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方程分别是（）A．57.2，3.6 B．57.2，56.4 C．62.8，63.6D．62.8，3.6【答案】D考点：1、样本平均数的算法；2、样本方差的算法.13．执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =（ ） A ．203B ．165C ．72D ．158【答案】D 【解析】试题分析：由程序框图知：第一次循环1331,2,,2222M a b n =+====；第二次循环28382,,,33323M a b n =+====；第三次循环3315815,,,428838M a b n =+====，不满足3n ≤，跳出循环，输出158M =，故选D.考点：1、程序框图；2、循环结构. 14．已知函数()()211sinsin 0,222x f x x x R ωωω=+->∈．若()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．150,,148⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．50,8⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1150,,848⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】D考点：1、余弦的二倍角公式；2、辅助角公式的应用及三角函数的零点.【方法点睛】本题主要考查公式余弦的二倍角公式；2、三角函数的零点及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式()f x =sin cos a x b x ωω+=)x ωϕ+(tan baϕ=) 可以求出:①()f x 的周期2T πω=；②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域（⎡⎣）；④零点、对称轴及对称中心（由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程，由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标及零点.15．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影，由区域20340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则AB =（ ） A．B ．4C．D ．6 【答案】C 【解析】考点：1、线性规划的应用；2、两点间的距离公式.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.对于比较复杂的目标函数，可以根据划归思想、数形结合思想先找到最优解再解答.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共5小题，每题4分，满分20分．） 16．已知集合{}{}0,10A x x m B x mx =-==-=，若A B B =，则m 等于______．【答案】0或1或1- 【解析】 试题分析：因为AB B =,所以B A ⊆，当B φ=时，0m =，当B φ≠时，{}1,A m B m ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭必有1m m=得1m =±，综上0m =或1或1-，故答案为0或1或1-. 考点：1、集合的表示；2、集合的交集及子集.17．关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的两根满足()()12110x x --<，则a 的取值范围是______． 【答案】()2,1- 【解析】试题分析：由()()12,110x x --<，得方程有一根比1大的，另一根比1小的，令()()2212,f x x a x a =+-+-只需()10f <，求得21a -<<，故答案为()2,1-.考点：1、一元二次方程根与系数的关系；2、二次函数的图象与性质. 18．函数()()2ln 43f x x x =+-的单调递减区间是______．【答案】3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭考点：对数函数的性质及复合函数的单调性.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→增，减减→增，增减→减，减增→减）. 19．已知()()32log 19f x x x =+≤≤，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为______．【答案】13 【解析】试题分析：由()f x 的定义域为[]1,9，可得()g x 的定义域为[]1,3，又()()()()2223332log 2log log 33g x x x x =+++=+-，313,0log x ≤≤∴≤1x ≤，∴当3x =时，()g x 有最大值13，故答案为13.考点：1、函数的定义域与值域；2、单调性法、配方法求函数最值.【方法点睛】本题主要考查函数的定义域，函数的值域的求法，属于难题.求函数最值的常见方法有：①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值，本题求最大值时主要应用方法①结合方法④解答的.20．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足2OA OB OA OB ==⋅=，则点集{},1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是______．【答案】考点：1、平面向量的数量积公式；2、数学的划归思想、数形结合思想及线性规划的应用.【方法点睛】本题主要考查平面向量的数量积公式、数学的转化与划归思想、数形结合思想及线性规划的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在选择与填空问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度本题的解答首先利用转化和划归思想将1λμ+≤转化为112a ≤，进而根据数形结合思想利用线性规划解答的. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21．（本小题满分10分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？w=时，估计该市居民该月的（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当3人均水费．【答案】（1）3；（2）10.5.依题意，w至少定为．3（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.0510.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）．考点：1、频率分布直方图的应用；2、根据频率分布直方图求平均值.22．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B +=．（1）证明：2A B =；（2）若ABC ∆的面积24a S =，求角A 的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）2A π=或4A π=.（2）由24a S =得21sin 24a ab C =，故有 1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因sin 0B ≠，得sin cos C B =． 又(),0,B C π∈，所以2C B π=±． 当2B C π+=时，2A π=；当2C B π-=时，4A π=．综上，2A π=或4A π=．考点：1、正弦定理及正弦的二倍角公式；2、三角形内角和定理及三角形内角和定理.23．（本小题满分12分）已知以点()1,2A -为圆心的圆与直线:270m x y ++=相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于M 、N 两点．（1）求圆A 的方程．（2）当MN =时，求直线l 方程．【答案】（1）()()221220x x ++-=；（2）3460x y -+=或2x =-.∴3460x y -+=或2x =-为所求l 方程．考点：1、圆与直线的位置关系；2、点到直线距离公式及勾股定理.24．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,,60,AB AD AC CD ABC PA AB BC ⊥⊥∠=︒==，E 是PC 的中点．（1）求PB 和平面PAD 所成的角的大小；（2）证明：AE ⊥平面PCD ；（3）求二面角A PD C --的正弦值．【答案】（1）45︒；（2）证明见解析；（3）4.（2）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，故,CD PA CD CA ⊥⊥，所以CD ⊥平面PAC ，所以,CD AE AE PC ⊥⊥，所以AE ⊥平面PCD ．（3）过E 作EM PD ⊥，连结AM ，则AM PD ⊥，所以AME ∠即为二面角的平面角，设,PA a AE ==，在ABCD 中30CAD ∠=︒，所以AD =． 在Rt PAD ∆中，,sin 4PA AD AE AM AME PD AM ⋅==∠==． 考点：1、线面垂直的判定定理；2、直线和平面成的角及二面角.25．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）另()()112n n n n n a c b ++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）31n b n =+；（2）232n n T n +=⋅.设数列{}n b 的公差为d ，由112223a b b a b b =+⎧⎨=+⎩，即111121723b d b d =+⎧⎨=+⎩，可解得14,3b d ==， 所以31n b n =+．考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前n 项和.【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前n 项和，属于难题. “错位相减法”求数列的前n 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.26．（本小题满分12分）已知()f x 是定义在区间[]1,1-上的奇函数，且()11f -=，若[],1,1,0m n m n ∈-+≠时，有()()0f m f n m n+<+． （1）解不等式()112f x f x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭； （2）若()221f x t at ≤-+对所有[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）11,42⎛⎤⎥⎝⎦；（2）2t ≤-或0t =或2t ≥. 【解析】试题分析：（1）先证明()f x 是减函数，再根据函数的定义域及单调性列不等式组，即可解出x 的范围；（2）()221f x t at ≤-+恒成立只需()2max 21f x t at ≤-+，根据()f x 的单调性进而得2211t at -+≥，根据数形结合思想得220t at -≥对[]1,1a ∀∈-恒成立2220220t t t t t ⎧-≥⎪⇔⇔≤-⎨+≥⎪⎩或0t =或2t ≥.将22y t at =-看作关于a 的函数，由[]1,1a ∈-知其图象是一条线段． 所以220t at -≥对[]1,1a ∀∈-恒成立2220220t t t t t ⎧-≥⎪⇔⇔≤-⎨+≥⎪⎩或0t =或2t ≥. 考点：1、函数的奇偶性及单调性；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查利函数的奇偶性及单调性、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（函数图象恒在x 轴上方或下方）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①结合方法②求得t 的范围的.。
河北省冀州市中学2016-2017学年高二上学期第一次月考数学(理)试题 Word版含答案
理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共15个小题,每小题4分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|4,|10A x Z x B x x =∈<=-≥，则AB 等于（ ）A ．()1,4B ．[)1,4C ．{}2,3,4D ．{}1,2,3 2.不等式201x x -≤+的解集是（ ） A ．()(],11,2-∞-- B ．(]1,2- C ．()[),12,-∞-+∞ D ．[]1,2-3.1与1的等比中项是（ ）A ．1B ．-1C ．1±D ．124.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：（ ）根据上表中的数据可以求得线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为6．6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为：（ ）A ．66.8万元B ．67.6万元C ．66.4万元D ．66.2万元5.已知,a b 是空间中两不同直线，,αβ是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若直线//,a b b α⊂，则//a α B ．若平面,a αβα⊥⊥，则//a β C ．若,,//a b a b αβ⊥⊥，则//αβ D ．若平面//αβ，,a b αβ⊂⊂，则//a b6.一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99．依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为一，二，三，…，十．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码是个位数字与m k +的个位数字相同，若6m =，则在第七组中抽取的号码是（ ） A ．66 B ．65 C ．64 D ．637.设()22f x ax bx =++是定义在[]1,1a +上的偶函数，则()0f x >的解集为（ ）A ．()2,2-B ．()1,1-C ．()(),11,-∞-+∞D ．∅8.已知,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式不正确的是（ ）A ．a b a b +<+B ．a b a b +>-C ．a b +D ．2b aa b+≥ 9.函数3cos ,,22y x x x ππ⎛⎫=∈-⎪⎝⎭的大致图象是（ ） A ．B ．C ．D ．10.如图是计算111124620++++的值的一个程序框图，其中在判断框内应填入的条件是（ ）A ．20?i <B ．20?i >C ．10?i <D ．10?i > 11.若正数,x y 满足3x y xy +=，则34x y +的最小值是（ ） A ．24 B ．25 C ．28 D ．3012.三棱锥P ABC -，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π 13. 1,3,0OA OB OA OB ===，点C 在AOB ∠内，且030AOC ∠=，设()OC mOA nOB m n R =+∈、，则mn等于（ ） A ．13 B ．3C D ．3 14.已知不等式组422x y x y x +≥⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内为D ，点()()0,0,1,0O A ．若点M 是D 上的动点，则OA OM OM的最小值是（）A B ．10CD15.已知α为锐角，且tan 1α=，函数()2tan 2sin 24f x x x παα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，数列{}n a 的首项()111,2n n a a f a +==，则有（ ） A ．1n n a a +< B ．1n n a a +≤ C ．1n n a a +> D ．1n n a a +≥第II 卷 （非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）16.已知直线()12:20,:210l ax y a l a x ay a -+=-++=互相垂直，则a 的值是___________．17.在ABC ∆中，若()()2,1,1,1AB BC =-=--，则cos BAC ∠的值等于___________． 18.一个几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为___________3cm ．19.将函数()sin y x x x R =∈的图象向左平移()0n n >个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则n 的最小值是_________．20.设变量,x y 满足约束条件20030x y y kx y k +-≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩且目标函数z y x =-的最大值是4，则k 等于________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列． （1）若2b c ==，求ABC ∆的面积；（2）若sin ,sin ,sinC A B 成等比数列，试判断ABC ∆的形状． 22.（本小题满分12分）设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*n N ∈，都有()()134n n n a a S -+=，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和．（1）求证：数列{}n a 是等差数列； （2）若数列241n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ． 23. （本小题满分12分）在如图所示的四棱锥P ABCD -，四边形ABCD 为正方形，,PA CD BC ⊥⊥平面PAB ，且,,E M N 分别为,,PD CD AD 的中点，3PF FD =．（1）证明：//PB 平面FMN ；（2）若PA AB =，求二面角E AC B --的余弦值．24. （本小题满分12分）已知不等式2210x x ++-<的解集为A ． （1）求集合A ；（2）若任意*,,a b A x R ∈∈，不等式()149a b x m x ⎛⎫+>--+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．25．（本小题满分12分）已知圆22:4O x y +=和圆()22:41C x y +-=．（1）判断圆O 和圆C 的位置关系；（2）过圆C 的圆心C 作圆O 的切线l ，求切线l 的方程；（结果必须写成一般式）； （3）过圆C 的圆心C 作动直线m 交圆O 于,A B 两点．试问：在以AB 为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P ，使得圆P 经过点()2,0M ？若存在，求出圆P 的方程；若不存在，请说明理由．26．（本小题满分12分） 已知函数()121x af x =-+（a 为常数）为R 上的奇函数． （1）求实数a 的值；（2）对(]0,1x ∈，不等式()21xs f x ≥-恒成立，求实数s 的取值范围；（3）令()()21g x f x =-，若关于x 的方程()()20g x mg x -=有唯一实数解，求实数m 的取值范围．参考答案A 卷： 1.C 2.D 3.C 4.A 5.D 6. A 7.D 8.B 9.A 10.B 11.C 12. B 13.B 14.C 15.A B 卷：1.D 2.B 3.C 4.D 5.C 6.D 7.B 8.A 9.A 10.D 11.B 12.B 13.D 14.B 15.C16. 0或18．12π 19．23π 20．3421．解：∵A B C 、、成等差数列，可得2B A C =+． ∴结合A B C π++=，可得3B π=．（1）∵2b c ==，∴由正弦定理sin sin b c B C =，得1sin sinB sin 32c C b π===． ∵b c >，可得B C >，∴C 为锐角，得6C π=，从而2A B C ππ=--=．因此，ABC ∆的面积为11222S bc ==⨯= （2）∵sin sin sin A B C 、、成等比数列，即2sin sin sin B A C =， ∴由正弦定理，得2b ac =，又∵根据余弦定理，得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，∴22a c ac ac +-=，整理得()20a c -=，可得a c =，∵3B π=，∴3A C π==，可得ABC ∆为等边三角形．当1n =时，()()111134a a a -+=，∴()()11130a a +-=，又10a >，∴13a =， 所以，数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）知，13,2a d ==，∴21n a n =+， 设*24,1n n b n N a =∈-；∵21n a n =+，∴()2141na n n -=+ ∴()()41114111n b n n n n n n ===-+++，∴12311111111223111n n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭23．证明：（1）连结BD ，分别交AC 、MN 于点O G 、，连结EO FG 、， ∵O 为BD 中点，E 为PD 中点，∴//EO PB ，又3PF FD =，∴F 为ED 中点，又,CM MD AN DN ==，∴G 为OD 的中点， ∴//FG EO ，∴//PB FG ．∵FG ⊂平面FMN ，PB ⊄平面FMN ，∴//PB 平面FMN ．（2）解：∵BC ⊥平面PAB ，∴BC PA ⊥，又,PA CD BC CD C ⊥=，∴PA ⊥平面ABCD ，由图可知，二面角E AC B --为钝角， ∴二面角E AC B --的余弦值为3-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分24．解：（1）()()222102210x x x x x <-⎧++-<⇒⎨-+--<⎩或()()222210x x x -≤≤⎧⎨+--<⎩或()()22210x x x >⎧⎨++-<⎩()5,5x ⇒∈-，∴()5,5A =- （2）∵(),5,5a b ∈-，∴()10,10a b +∈-， ∵()1444919363793725x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=--+=-+≤-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()max14925x m m x ⎡⎤⎛⎫--+=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 由题可得，1025m -≥+，∴35m ≤-．25．解：（1）因为圆O 的圆心()0,0O ，半径12r =，圆C 的圆心()0,4C ，半径21r =， 所以圆O 和圆C 的圆心距12403OC r r =->+=， 所以圆O 与圆C 相离，（2）设切线l 的方程为：4y kx =+，即40kx y -+=，所以O 到l的距离2d ==，解得k =所以切线l40y -+=40y +-=， （3）①当直线m 的斜率不存在时，直线m 经过圆O 的圆心O ， 此时直线m 与圆O 的交点为()()0,2,0,2A B -，AB 即为圆O 的直径，而点()2,0M 在圆O 上，即圆O 也是满足题意的圆②当直线m 的斜率存在时，设直线:4m y kx =+，由2244x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消去y 整理，得()2218120k x kx +++=， 由()22644810k k ∆=-+>，得k >k <()()1122,,,A x y B x y ，则有12212281121k x x k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，①由①得()()()22121212122164444161k y y kx kx k x x k x x k -=++=+++=+，②()121212284481y y kx kx k x x k+=+++=++=+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．③ 若存在以AB 为直径的圆P 经过点()2,0M ，则MA MB ⊥，所以0MA MB =， 因此()()1212220x x y y --+=， 即()121212240x x x x y y -+++=，则2222121616440111k k k k k-+++=+++，所以16320,2k k +==-，满足题意， 此时以AB 为直径的圆的方程为()()22121212120x y x x x y y y x x y y +-+-+++=，即22168120555x y x y +--+=，亦即2255168120x y x y +--+=， 综上，在以AB 为直径的所有圆中，存在圆22:55168120P x y x y +--+=或224x y +=，使得圆P 经过点()2,0M ．26．解：（1）由题意知()00f =，即01021a-=+， 所以2a =，此时()22112121x x x f x -=-=++， 而()()21122112x xxxf x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数，故2a =为所求；（2）由（1）知()2121x x f x -=+，因为(]0,1x ∈，所以210,210x x ->+>，故()21xs f x ≥-恒成立等价于21x s ≥+恒成立，因为(]212,3x+∈，所以只需3s ≥，即可使原不等式恒成立，故s 的取值范围是[)3,+∞． （3）由题意()()21g x f x =-，化简得()21xg x =+，方程()()20g x mg x -=，即22210x x m m -+-=有唯一实数解，令2xt =，则0t >，即等价为()210,0t mt m t -+-=>有一个正根或两个相等正根，设()21h t t mt m =-+-，则满足()00h ≤或002m ∆=⎧⎪⎨>⎪⎩由()00h ≤，得10m -≤，即1m ≥，当1m =时，()2h t t t =-，满足题意由002m ∆=⎧⎪⎨>⎪⎩得2m =，综上，m 的取值范围为1m ≥或2m =．。
衡水市冀州中学2016-2017学年高二上学期第四次月考数学试卷(理科) 含解析
2016—2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）第四次月考数学试卷（理科)一、选择题：本大题共13个小题,每小题4分，共52分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|x⊆A}，C={x|x⊆B},则集合C 中元素的个数为（）A．4 B．8 C．16 D．202．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，命题P：∀x∈A，2x∈B，则命题P的否定是（)A．∃x∈A，2x∈B B．∃x∉A，2x∉B C．∃x∈A，2x∉B D．∀x∉A,2x∉B3．函数f（x）的定义域为R，且满足:f（x）是偶函数，f（x﹣1）是奇函数，若f（0.5)=9，则f（8.5）等于（）A．﹣9 B．9 C．﹣3 D．04．现有4种不同的颜色为“严勤活实”四个字涂颜色，要求相邻的两个字涂色不同，则不同的涂色种数为（）A．27 B．54 C．108 D．1445．一首小诗《数灯》，诗曰：“远望灯塔高7层，红光点点倍加增,顶层数来有4盏，塔上共有多少灯?"答曰（）A．252 盏B．256盏C．508 盏D．512盏6．在△ABC中AC=6，AC的垂直平分线交AB边所在直线于N点,则•的（）A．﹣6B．﹣15 C．﹣9 D．﹣187．已知F1、F2分别是双曲线C:﹣=1的左、右焦点,若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心,｜OF1｜为半径的圆上，则双曲线C的离心率为（）A．B．3 C．D．28．已知动点P（x，y）满足=，则点P的轨迹是（）A．两条相交直线B．抛物线C．双曲线D．椭圆9．函数f(x）=Asin（2x+φ）（|φ｜≤，A＞0）部分图象如图所示，且f（a）=f（b)=0，对不同的x1，x2∈[a,b],若f（x1）=f(x2），有f（x1+x2）=，则（）A．f（x）在（﹣，）上是减函数B．f（x）在（﹣，）上是增函数C．f（x)在（，）上是减函数D．f（x）在(，)上是增函数10．如图，将绘有函数f(x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则f(﹣1）=（）A．﹣2 B．2 C． D．11．某四棱锥的三视图如图所示(单位:cm），则该四棱锥的表面积是( ）A．B．C．D．12．动点P（x,y)满足，点Q为(1，﹣1），O为原点，λ||=，则λ的最大值是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．13．在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是一直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2,PA=3，PA⊥底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点．设=m，则“0＜m＜2”是三棱锥C﹣ABE的体积不小于1的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）14．过原点O作圆x2+y2﹣6x﹣8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为．15．已知正数a,b满足a+b=2，则的最小值为．16．已知双曲线C：的右焦点为F，P是双曲线C的左支上一点，M（0，2）,则△PFM周长最小值为．17．已知直线y=x与双曲线﹣=1交于A、B两点,P为双曲线上不同于A、B的点，当直线PA、PB的斜率k PA，k PB存在时，k PA•k PB= ．三、解答题（本大题共7小题，共82分。
河北省衡水市冀州中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学理试卷(解析版).doc
2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共13个小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2015•衡阳三模）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a﹣1|，a∈A}，则A∪B中的元素的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由已知求出集合B的元素，取并集后得答案．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a﹣1|，a∈A}={2，1，0}，则A∪B={﹣1，0，1，2}．共4个元素．故选：B．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了绝对值的求法，是基础题．2．（2008•江西）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（）A．[0，1] B．[0，1）C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．【解答】解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），故选B．【点评】本题考查求复合函数的定义域问题．3．（2015•合肥校级模拟）已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（）A．有最大值e B．有最大值C．有最小值e D．有最小值【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】先利用等比数列等比中项可知•lny=可得lnx•lny=，再根据lnxy=lnx+lny ≥2可得lnxy的范围，进而求得xy的范围．【解答】解：依题意•lny=∴lnx•lny=∴lnxy=lnx+lny≥2=1xy≥e故选C【点评】本题主要考查了等比中项的性质．即若a，b，c成等比数列，则有b2=ac．4．（2016秋•冀州市校级期中）某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：D．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．（2016•贵阳二模）如图，给出的是计算1+++…++的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜101？B．i＞101？C．i≤101？D．i≥101？【考点】程序框图．【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环：S=0+1，i=1，第2次循环：S=1+，i=3，第3次循环：S=1++，i=5，…依此类推，第51次循环：S=1+++…+，i=101，退出循环其中判断框内应填入的条件是：i≤101，故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的应用问题，解题时应准确理解流程图的含义，是基础题目．6．（2014•江西一模）某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（）件．A．46 B．40 C．38 D．58【考点】线性回归方程．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得（，）为：（10，38），又（，）在回归方程=bx+a中的b=﹣2，∴38=10×（﹣2）+a，解得：a=58，∴=﹣2x+58，当x=6时，=﹣2×6+58=46．故选：A．【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题．7．（2016秋•冀州市校级期中）已知向量，满足||=1，=（1，﹣），且⊥（+），则与的夹角为（）A．60°B．90°C．120°D．150°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°，由垂直可得数量积为0，可得cosθ，可得夹角．【解答】解：设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°∵=（1，﹣），∴||=2，又⊥（+），∴•（+）=0，∴=0，∴12+1×2×cosθ=0，解得cosθ=，∴θ=120°故选：C【点评】本题考查向量的夹角公式，涉及数量积的运算，属基础题．8．（2016秋•冀州市校级期中）下列有关命题：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆否命题为假命题；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充要条件．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；定义法；简易逻辑．【分析】判断原命题的真假，根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断①；写出原命题的否定，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③【解答】解：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”在m=0时不成立，故为假命题，故它的逆否命题为假命题；即①正确；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ，正确；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充分不必要条件，即③错误．故选：A．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题命题，空间线面关系，充要条件，特称命题的否定等知识点，难度中档．9．（2016秋•冀州市校级期中）已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A．4πB．3πC．2πD．π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；简单空间图形的三视图；球内接多面体．【专题】计算题；数形结合；转化思想．【分析】由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，进而得到答案．【解答】解：由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，故球半径R满足2R=，故球的表面积S=4πR2=3π，故选：B．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的体积和表面积，由三视图判断几何体的形状，难度不大，属于基础题．10．（2013•浙江二模）“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】当时，由诱导公式化简可得图象充分；而当图象重合时可得，k∈Z，由充要条件的定义可得．【解答】解：当时，可得函数g（x）=sin（x+）=cosx，故图象重合；当“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”时，可取，k∈Z即可，故“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的充分不必要条件．故选A【点评】本题考查充要条件的判断，涉及三角函数的性质，属基础题．11．（2016秋•冀州市校级期中）已知数列{a n}，{b n}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时，都有a i+b j=a k+b l，则的值是（）A．2012 B．2013 C．2014 D．2015【考点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由已知可得，==a1+b2013，要求原式的值，转化为求解b2013，根据已知可先去b2，b3，b4，据此规律可求【解答】解：∵i+j=k+l时，都有a i+b j=a k+b l，则==×2013=a1+b2013∵a1=1，a2=2，b1=2，∴a1+b2=a2+b1∴b2=3同理可得，b3=a2+b2﹣a1=4b4=a2+b3﹣a1=5…∴b2013=2014=a1+b2013=2015即=2015故选D【点评】本题主要考查了数列的求和，解题的关键是发现试题中数列的项的规律12．（2016•衡水模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1=，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V=××=，故选：A．【点评】本题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离是关键．13．（2015•日照一模）已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（）A．B．C．D．4【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z=2×1+1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=．故选：B【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）14．（2016•通州区一模）（x2+）6的展开式中x3的系数是20．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数．【解答】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1=•x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中x3的系数是=20，故答案为：20．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．15．（2011•江苏校级模拟）若由不等式组，（n＞0）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m=．【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题主要考查不等式组确定的平面区域与三角形中的相关知识，三角形的外接圆的圆心在x轴上，说明构成的平面区域始终为直角三角形．【解答】解：由题意，三角形的外接圆的圆心在x轴上所以构成的三角形为直角三角形所以直线x=my+n与直线x﹣相互垂直，所以，解得，所以，答案为．【点评】这是不等式与平面几何相结合的问题，属于中档题16．（2013•自贡模拟）某城市新修建的一条路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能相邻的两盏灯，则熄灭灯的方法有56种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】应用题；排列组合．【分析】根据题意，先将亮的9盏灯排成一排，分析可得有8个符合条件的空位，用插空法，再将插入熄灭的3盏灯插入8个空位，用组合公式分析可得答案．【解答】解：本题使用插空法，先将亮的9盏灯排成一排，由题意，两端的灯不能熄灭，则有8个符合条件的空位，进而在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，有C83=56种方法，故答案为56．【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．17．（2016秋•冀州市校级期中）设x、y均为正实数，且，以点（x，y）为圆心，R=xy为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=256．【考点】圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】由已知的关于x与y的等式，用y表示出x，将表示出的x代入xy中，设z=y﹣1，用z表示出y，代入表示出的xy中，整理后利用基本不等式得到xy的最小值，以及此时z 的值，进而确定出此时x与y的值，确定出所求圆的圆心与半径，写出所求圆的标准方程即可．【解答】解：∵+=1，∴x=，令z=y﹣1，则y=z+1，∴xy====z++10≥6+10=16，当且仅当z=，即z=3时取等号，此时y=4，x=4，半径xy=16，则此时所求圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=256．故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2=256【点评】此题考查了圆的标准方程，以及基本不等式的运用，利用了换元的数学思想，求出圆心坐标与半径是解本题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．（10分）（2016秋•冀州市校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．（1）求角B的大小；（2）若b=2，△ABC的面积为，求a+c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用．【分析】（1）由已知利用平面向量共线的性质可得，由正弦定理，同角三角函数基本关系式，结合sinA＞0，化简可得，结合B的范围可求B的值．（2）由已知及三角形面积公式可解得ac=4，进而利用余弦定理整理可求a+c的值．【解答】解：（1）∵，∴，∴由正弦定理，得，∵sinA＞0，∴，即，∵0＜B＜π，∴．（2）∵由三角形面积公式，得，∴解得ac=4，∵由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，可得：4=a2+c2﹣2ac×=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣12，∴a+c=4．【点评】本题主要考查了平面向量共线的性质，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）（2010•全国卷Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（a n+）2，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．【专题】计算题．【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可（2）由b n的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解【解答】解：（1）设正等比数列{a n}首项为a1，公比为q，由题意得：∴a n=2n﹣1（6分）（2）∴b n的前n项和T n=（12分）【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质20．（12分）（2015•衡阳校级模拟）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；（Ⅱ）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）欲证A1O∥平面AB1C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1O与平面AB1C内一直线平行，连接CO、A1O、AC、AB1，利用平行四边形可证A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C，满足定理所需条件；（Ⅱ）根据面面垂直的性质可知D1O⊥底面ABCD，以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，求出平面C1CDD1的一个法向量，以及平面AC1D1的一个法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值即可求出锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：如图（1），连接CO、A1O、AC、AB1，（1分）则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，所以，四边形A1B1CO为平行四边形，（3分）所以A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C所以A1O∥平面AB1C（6分）（Ⅱ）因为D1A=D1D，O为AD中点，所以D1O⊥AD又侧面A1ADD1⊥底面ABCD，所以D1O⊥底面ABCD，（7分）以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图（2）所示的坐标系，则C（1，0，0），D（0，1，0），D1（0，0，1），A（0，﹣1，0）．（8分）所以，（9分）设为平面C1CDD1的一个法向量，由，得，令z=1，则y=1，x=1，∴．（10分）又设为平面AC1D1的一个法向量，由，得，令z1=1，则y1=﹣1，x1=﹣1，∴，（11分）则，故所求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值为（12分）【点评】本题主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量的方法求解二面角等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于中档题．21．（12分）（2016秋•冀州市校级期中）10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现以下结果：（1）4只鞋子没有成双的；（2）4只恰好成两双；（3）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；排列组合．【分析】（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得，（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，问题得以解决（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得．【解答】解：（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得：C104×2×2×2×2=3360，（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，故有C102=45，（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得：C101×C92×2×2=1440．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是审清题意，本题考查了推理判断的能力及计数的技巧．22．（12分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．【考点】圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定．【专题】直线与圆．【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A 坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．【解答】解：（1）联立得：，解得：，∴圆心C（3，2）．若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=﹣，则所求切线为y=3或y=﹣x+3；（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，化简得：x2+（y+1）2=4，∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），∴圆C与圆D的关系为相交或相切，∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，∴1≤≤3，解得：0≤a≤．【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．23．（12分）（2013•宁波模拟）某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示：根据上表信息解答以下问题：（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；函数的零点；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题．【分析】（1）由题意有函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点，进行等价转化为不等式组解出，在有互斥事件有一个发生的概率公式求解即可；（2）由题意利用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，利用随机变量的定义及随机变量分布列的定义列出随机变量ξ的分布列，在利用随机变量期望的定义求出其期望．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣ηx﹣1过（0，﹣1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点，则必有，解得：η＜，所以，η=4或η=5当η=4时，，当η=5时，，又η=4与η=5 为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，所以；（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，于是=，，，从而ξ的分布列：ξ的数学期望：．【点评】此题考查了学生对于题意的理解能力及计算能力，还考查了互斥事件一个发生的概率公式及离散型随机变量的定义及其分布列和期望的定义与计算．24．（12分）（2016秋•冀州市校级期中）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=．（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．【专题】空间角；空间向量及应用．【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得出；（2）先求出两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得，B（0，0，0），，，，．（1）易得于是===．∴异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．（2）易知．设平面AA1C1的法向量，则，即，不妨令，则z=，可得．同样可设面A1B1C1的法向量，得．于是===，∴．∴二面角A﹣A1C﹣B1的正弦值为．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系并利用异面直线的方向向量的夹角求异面直线所成的角、两个平面的法向量的夹角求二面角的方法是解题的关键．。
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16-17学年上学期期中考试高二年级数学试题（理）考试时间120分钟 试题分数150分一、选择题：（本题共13小题，每题4分，共52分。
每题的四个选项中只有一个是正确的） 1．已知集合}|,1||{},1,0,1{A a a x x B A ∈-==-=，则B A 中的元素的个数为( ) A.2 B.6 C.4 D.8 2 若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0,1 )B.[0,1]C ．[0,1)(1,4]D ．(0,1)3．已知实数,x y 满足1,1,x y >>且11ln ,,ln 44x y 成等比数列,则xy 有 （ ）A ．最大值eB ．最小值eC ．最大值eD 4. 某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） A.13 B. 34C.23D. 125．如图，给出的是计算1+ 31 + 51 + … + 991 + 1011的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ） A ．i ＜101？ B ．i ＞101？C ．i≤101？D ．i≥101？6. 某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程ˆˆybx a =+中的2b =-，气象部门预测下个月的平均气温约为C 6，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ） A ．58件 B ．40件C.46件D ．38件7．已知向量,满足:||1,(1,3)a b ==-，且()+⊥，则与的夹角为( )A ． 120B ． 90C ． 60D ． 1508．下列有关命题：①设R m ∈,命题“若b a >，则22bm am >”的逆否命题为假命题；②命题,,:R p ∈∃βα()βαβαtan tan tan +=+的否定Rp ∈∀⌝βα,:，()βαβαtan tan tan +≠+；③设b a ,为空间任意两条直线，则“b a //”是“a 与b 没有公共点”的充要条件．其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①③D.①②③9．已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图 均为斜边长为2的等腰直角三角形（如图1），若该几何体 的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为 ( ) A.π4 B. π C.π2 D. π3 10．“2πϕ=”是“函数()x x f cos =与函数()()ϕ+=x x g sin 的图像重合”的 ( ) A ．充要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充分而不必要条件 D ．既不充分也不必要条件11．已知数列{}{}n n b a ,满足2,2,1121===b a a ，且对任意的正整数l k j i ,,,，当lk j i +=+时，都有l k j i b a b a +=+，则()∑=+2013120131i i i b a （注：n ni ia a a a+++=∑= 211）的值为( )A.2012B.2015C.2014D.201312. 已知三棱锥S —ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ） A ．3 B ． 6 C ．6 D ．213.已知x ，y 满足22y xx y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩，且的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A.34B.14C.211D.4第II 卷二、填空题：（本题共4小题，每题4分，共16分）14. 621⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中3x 的系数为____.（用数字作答）俯视图侧（左）视图正（主）视图图115. 如下图，若由不等式组⎩⎨⎧x≤my＋nx －3y≥0y≥0（n>0）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m ＝__________.16. 某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有_______种. （用数字作答）17.设 x 、y 均为正实数，且33122x y+=++，以点),(y x 为圆心,xy R =为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为 三、解答题（本题共7小题，共82分。
解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。
） 18．（本小题满分10分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，已知向量()m b =，()cos ,sin n B A =，且//m n ．的面积为19. （本题满分12分）已知{}n a 是各项均为正数的等比例数列，且1212112()a a a a +=+，34534511164()a a a a a a ++=++.(Ⅰ) 求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21()nn nb a a =+,求数列{}n b 的前n项和n T .20．（本小题满分12分） 如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 侧面A 1ADD 1⊥底面ABCD ，D 1A=D 1 底面ABCD 为直角梯形，其中BC//AD ， AB ⊥AD ，AD=2AB=2BC=2，O 为AD 中点. ⑴求证：A 1O//平面AB 1C ；⑵求锐二面角A —C 1D 1—C 的余弦值.O AC 1BCDB 1D 1A 1·21. （本题满分12分）10双互不相同的袜子混装在一只口袋中，从中任意抽取4只，求各有多少种情况出现如下结果。
（1）4只袜子没有成双； （2）4只袜子恰好成双；（3）4只袜子2只成双，另两只不成双。
22. 在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在直线l 上. （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.23.（本小题满分12分）某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示： 根据上表信息解答以下问题： ⑴从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数1)(2--=x x x f η 在区间(4，6)上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率P ；⑵从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE .24. (本题满分12分）如图所示,在三棱柱111C B A ABC -中,H 是正方形B B AA 11的中心，⊥=H C AA 11,22平面B B AA 11，且51=H C .(1)求异面直线AC 与11B A 所成角的余弦值； （2）求二面角111BC A A --的正弦值.CC 1B 1高二年级数学试题（理）答案A:1-5 BBCDC 6-10 DCABA 11-13 DAB B:1-5 CABDC 6-10 CAADC 11-13 BCB 14.20 15. －3316. 56 17. 256)4()4(22=-+-y x 18、解：（I ）因为//m n，所以sin cos b A B =即sin sin cos B A A B =又sin 0A ≠所以sin B B =，即tan B =(0,)B π∈故3B π=（II）由1sin 23ABC S ac B B π∆=== 可得又22222()21cos 222a cb ac ac b B ac ac +-+--=== 将2,4b ac ==代入上式解得4a c +=19解：（Ⅰ）设公比为q ，则11n n a a q -=.由已知有 1111234111234111112,11164.a a q a a q a q a q a q a q a q a q ⎧⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪++=++ ⎪⎪⎝⎭⎩化简得21261264.a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，……………………3分又110,2,1a q a >==故所以12n n a -=………………………6分（Ⅱ）由(Ⅰ)可知221211112424n n n n n n n b a a a a --⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭………………8分 因此()()111111144124421443n n nn n T n n ---⎛⎫=++++++++=-++ ⎪⎝⎭………12分 20.解（Ⅰ）证明：如图（１），连结CO 、A 1O 、AC 、AB 1 则四边形ABCO 为正方形，所以OC=AB=A 1B 1， 所以，四边形A 1B 1CO 为平行四边形，………3分 所以A 1O//B 1C ，OAC 1BC DB 1D 1A 1·图又A 1O ⊄平面AB 1C ，B 1C ⊆平面AB 1C 所以A 1O//平面A B 1C …6分 （Ⅱ）因为D 1A=D 1D ，O 为AD 中点，所以D 1O ⊥AD, 又侧面A 1ADD 1⊥底面ABCD ， 所以D 1O ⊥底面ABCD ，以O 为原点，OC 、OD 、OD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图（2）所示的坐标系，则C （1，0，0），D （0，1，0），1D （0，0，1），A （0，-1，0）所以11(1,1,0),(0,1,1),(0,1,1),DC DD D A =-=-=--设(,,)m x y z =为平面C 1CDD 1的一个法向量， 由1,m DC m DD ⊥⊥，得0x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令1z =，则1,1,(1,1,1)y x m ==∴=.……10分 又设111(,,)n x y z =为平面AC 1D 1的一个法向量，由111,n D A n DC ⊥⊥，得11110y z x y --=⎧⎨-=⎩， 令11z =，则111,1,(1,1,1)y x n =-=-∴=--， 则1cos ,3m n <>==-，故所求锐二面角A-C 1D 1-C 的余弦值为13……12分 21. (本题满分12分)解：（1）441023360C =---------------------4分 （2）21045C =-----------------------------4分 （3）12210921440C C =----------------------4分22. 解:(1)由⎩⎨⎧-=-=142x y x y 得圆心C 为(3,2),∵圆C 的半径为∴圆C 的方程为:1)2()3(22=-+-y x显然切线的斜率一定存在,设所求圆C 的切线方程为3+=kx y ,即03=+-y kx ∴113232=++-k k ∴1132+=+k k ∴0)34(2=+k k ∴0=k 或者43-=k∴所求圆C 的切线方程为:3=y 或者343+-=x y 即3=y 或者01243=-+y x ------------4分(2)解:∵圆C 的圆心在直线42:-=x y l 上,所以,设圆心C 为(a,2a-4)则圆C 的方程为:[]1)42()(22=--+-a y a x又∵MO MA 2=∴设M 为(x,y)则22222)3(y x y x +=-+整理得:4)1(22=++y x 设为圆D ∴点M 应该既在圆C 上又在圆D 上 即:圆C 和圆D 有交点∴[]12)1()42(1222+≤---+≤-a a由081252≥+-a a 得R a ∈ 由01252≤-a a 得5120≤≤a 终上所述,a 的取值范围为:⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0 -------------12分 23.解:(１) 函数()21f x x x η=--过(0,1)-点，在区间(4,6)上有且只有一个零点，则必有(4)0(6)0f f <⎧⎨>⎩即：1641036610ηη--<⎧⎨-->⎩，解得：153546η<< 所以，4η=或5η= …………3分当4η=时，211201015125068245C C C P C +==，当5η=时，11201522501249C C P C == 4η=与5η=为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式所以12681212824549245P P P =+=+=…………6分 (２) 从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0,1,2,3，于是()22225102015250207C C C C P C ξ+++===，1111115101020152025022(1)49C C C C C C P C ξ++===，1111520101525010(2)49C C C C P C ξ+===，115152503(3)49C C P C ξ===…………10分从而ξ的分布列：ξ的数学期望：0123749494949E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分24.解：如图所示,建立空间直角坐标系,点B 为坐标原点.依题意得111(0,0,0),A B C A B C(1)易得)0,0,22(),5,2,2(11-=--=B A AC于是322234,cos 11=⨯==〉〈B A 所以异面直线AC 与11B A 所成角的余弦值为32. (2)易知).5,2,2(),0,22,0(111--==C A AA设平面C AA 1的法向量(,,)m x y z =,则11100m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即⎩⎨⎧==+--0220522y z y x ,不妨令5=x ,可得(5,0,m =.同样可设面111C B A 的法向量111(,,)n x y z =,得(0,5,n =. 于是2cos ,77m n m n m n⋅〈〉===⋅,从而35sin ,m n 〈〉=所以二面角111B C A A --的正弦值为753.。