2011文科数学总复习——抽象函数 课时作业
数学练习题抽象函数(含答案)
高考一轮专练——抽象函数1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2x ),试判断f (x )的奇偶性。
2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围3. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。
4. 设函数()f x 对任意121,[0,]2x x ∈,都有1212()()()f x x f x f x +=⋅,()2f x =已知(1)2f =，求1()2f ,1()4f 的值.5. 已知f （x ）是定义在R 上的函数，且满足：f （x+2）[1－f （x ）]=1+f （x ），f （1）=1997，求f （2001）的值。
6. 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0.（1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数.7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有ba b f a f ++)()(＞0（1）若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小；（2）若f （k )293()3--+⋅xx x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。
9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。
10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.（1）求证: ()f x 是奇函数;（2）若(3),(24)f a a f -=试用表示.11．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足: ()()()f a b af b bf a •=+. （1）求(0),(1)f f 的值;（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论;（3）若(2)2f =,*(2)()n n f u n N n-=∈，求数列{n u }的前n 项和n s .12．已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. （1）若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求（2）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式.13．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++，且1()02f =，当12x >时, ()f x >0. （1）求(1)f ;（2）求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; （3）判断函数()f x 的单调性，并证明.14．函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意x R ∈,有()f x >0；②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =；③1()13f >.（1）求(0)f 的值;（2）求证: ()f x 在R 上是单调减函数;（3）若0a b c >>>且2b ac =，求证：()()2()f a f c f b +>.15．已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=•,且当0x >时,0()1f x <<.（1）证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1;（2）证明: ()f x 在R 上单调递减;（3）设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f •>,B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈},若A B I =Φ,试确定a的取值范围.16．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数,设F ()()()x f x f a x =--. （1）用函数单调性的定义证明:()F x 是R 上的增函数; （2）证明:函数y =()F x 的图象关于点(,0)2a成中心对称图形.17．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称. （1）求(0)f 的值；（2）证明： 函数()f x 是周期函数;（3）若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时，函数()f x 的解析式，并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象。
专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案
专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,3【答案】D2．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（ ）A . 2B . 4C . 6D . 8【答案】C【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{3212a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A .3．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（ ） A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B【解析】试题分析：偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知，得，故选项B 正确．考点：偶函数的单调性及其运用．【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式，解得，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解．4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（ ）A . ()()()201f f f ->>B . ()()()102f f f >>-C . ()()()210f f f ->>D . ()()()120f f f >->【答案】A【解析】因为函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()()22f f -= ，又因为()f x 在[)0+∞，上单调递增，所以()()()201f f f >>，故()()()201f f f ->>. 本题选择A 选项. 5．已知定义域为R 的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】6．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，若f （2）=﹣2，则满足f （x ﹣1）≥﹣2的x 的取值范围是 （ ） A ． （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B ． （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C ． [﹣1，﹣3] D ． （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 【答案】B 【解析】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有， 可得，解可得： 即的取值范围是；故选：B ．7．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a <<【答案】B8．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（ ）A . []1,2B . []3,5C . []1,1-D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知2101b b b +-=⇒=-，所以函数()f x 在[]0,2单调递增，则不等式可化为1{1102x x x ≤⇒-≤≤≤≤，应选答案C .9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是 （ ）A . ()()()123f f f -<<B . ()()()234f f f <<-C . ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D . ()()()531f f f <-<-【答案】D【解析】根据函数为偶函数，有()()()221f f f -=<，故函数在[)0,+∞上递减，所以()()()()()()10123452f f f f f f f ⎛⎫>>>>>> ⎪⎝⎭，故选D .10.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】11.定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（ ）．A ． 恒大于B ． 恒小于C ． 可正可负D ． 可能为【答案】A【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称，当时，单调递增，所以当时单调递增，由，可得，，由可知，结合函数对称性可知12.已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】f（）=f（）=14，∵＜＜，二、填空题13．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（–2），f（–π），f（3）的大小顺序是__________．【答案】f（–π）>f（3）>（–2）【解析】由已知是上的偶函数，所以有，，又由在上单调增，且，所以有，所以π），故答案为：.14.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】∵是偶函数，15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f =. 若实数a 满足()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围是____________．【答案】][10,1,55⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减， 根据对称性，所以函数()f x 在区间()0,+∞上也单调递减．又易推出()()()1100f f f -===．从而根据函数()f x 的性质作出图象, 即可求得()0f x ≥的解集为][(,10,1⎤-∞-⋃⎦．()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于()5log 0f a ≥，故5log 1a ≤-或50log 1a ≤≤，解得105a <≤或15a ≤≤． 16.定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<，则实数m 的取值范围是____________．【答案】1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】不等式等价于：212 {221mmm m-≤-≤-≤≤->，求解关于实数m的不等式组可得实数m的取值范围是1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.17．设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为_________；【答案】【解析】18．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】 由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.故答案为：. 19．定义在上的奇函数是增函数，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】20.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-.若1132f ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 182log 1f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为__________． 【答案】()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-， ()f x ∴ 在()0,+∞ 上递减，在(),0-∞ 上递增，12811112log ,log 2333f x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，因为()f x 是偶函数，所以2211log ,log 133x x ->->或2log 1x <- ，可得2x >或102x << ，故答案为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.三、解答题21.已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数，对于任意的0,0x y >>，都有()()()f xy f x f y =+，且满足()21f =.（1）求()()14f f 、的值；（2）求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =， ()42f =；（2）4x >. 【解析】22.定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数；（3）解关于t 的不等式()221f t t -<.【答案】(Ⅰ) ()01f =；(Ⅱ)见解析；（Ⅲ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】23.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对一切x ， 0y >，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()1323f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭． 【答案】（1）0；（2）()3,9- 【解析】24.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若m ， []1,1n ∈-， 0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+.（1）证明()f x 在[]1,1-上是增函数； （2）解不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭； （3）若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-， []1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）增函数；（2）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（3）0t =或2t ≥或2t ≤-． 【解析】∵()f x 在[]1,1-上是增函数∴()()max 11f x f == ∴2221120t at t at -+≥⇒-≥对任意[]1,1a ∈-恒成立． 令()22g a at t =-+，则0{00t =≥恒成立或()20{120t g t t >=-+≥或()20{120t g t t <-=+≥，∴0t =或2t ≥或2t ≤-∴实数t 的取值范围为0t =或2t ≥或2t ≤-．25.函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()1212f x x f x x ⋅=+）（. （1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果()41f =， ()12f x -<，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =；（2）见解析：（3）()()15,11,17-⋃. 【解析】点睛：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性，并依此解关于x 的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法.26.设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时， ()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ， 19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）见解析; （Ⅲ）(1,133-+）. 【解析】点晴：本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系. 27.已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性； （2）判断并证明函数的单调性；（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，（2）单调递增函数，（3）或.【解析】（1）奇函数，证明如下：由题意知，令，得，所以；点睛：抽象函数单调性的证明绝大多数情况下都是用“定义法”去证，其步骤是：（1）取值：在给定区间上任取，且；（2）作差：将变形整理为其结果为因式乘积的形式或能够判断的符号的形式；（3）判断的符号；（4）根据定义得出结论.28．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意非零实数满足，且当时，有.（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数在上为增函数，并求不等式的解集.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：⑴先求出，继而，令代入得⑵构造，然后利用已知代入证明详解：（Ⅰ）是偶函数。
高三抽象函数总结
高三抽象函数总结抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。
考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。
本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。
抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。
由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。
抽象函数常见题型讲解：一、定义域问题：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。
例一.若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域。
提示：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x的范围等同。
变式训练1：已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求)(x f 的定义域。
变式训练2：已知函数)(x f 的定义域是]2,1[-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。
二、求值问题 例二、已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①1)2(=f ，51)6(=f ；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f(3)，f(9)的值。
注：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。
变式训练3：已知R x f 是定义在)(上的函数，且R x f ∈=对任意的,1)1(都有下列两式成立：)6(,1)()(.1)()1(;5)()5(g x x f x g x f x f x f x f 则若-+=+≤++≥+的值为变式训练4:设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f _____变式训练5：已知)(),(x g x f 都是定义在R 上的函数，对任意y x ,满足)()()()()(y f x g y g x f y x f ⋅-⋅=- ，且0)1()2(≠=-f f ，则)1()1(-+g g =_________三、值域问题:例三、设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。
必修一数学抽象函数习题精选含答案
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抽象函数单调性和奇偶性1. 抽象函数的图像判断单调性例1．如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在f x ()[]37，f x ()区间上是( ）[]--73，A. 增函数且最小值为B 。
增函数且最大值-5为-5C. 减函数且最小值为D 。
减函数且最大值-5为-5分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。
2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在上的偶函数满足,并且在上为增函数。
R f (x)f (2)0=f (x)(,0)-∞若，则实数的取值范围 。
(1)(a)0a f ->a 二、抽象函数的单调性和奇偶性1。
证明单调性例3．已知函数f(x)= ，且f(x),g(x ）定义域都是R,且g(x ）〉0, 1)(1)(+-x g x g g(1） =2,g(x) 是增函数。
.(m)(n)(m n)(m,n )g g g R =+∈求证： f （x)是R 上的增函数.解：设x 1〉x 2因为，g(x ）是R 上的增函数， 且g （x)>0。
故g(x 1) > g(x 2) 〉0。
g （x 1)+1 > g(x 2)+1 〉0，〉 〉0⇒1)(22+x g 1)(21+x g — 〉0。
⇒1)(22+x g 1)(21+x gf(x 1)- f(x 2)=- =1-—(1-）1)(1)(11+-x g x g 1)(1)(22+-x g x g 1)(21+x g 1)(22+x g =-〉0。
抽象函数_题型大全(例题_含答案)
高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象.学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难.学好这部分知识.能加深学生对函数概念的理解.更好地掌握函数的性质.培养灵活性；提高解题能力.优化学生数学思维素质。
现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式.从而求出()f x .这也是证某些公式或等式常用的方法.此法解培养学生的灵活性及变形能力。
例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法：在已知(())()fg xh x =的条件下.把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式.再利用代换即可求()f x .此解法简洁.还能进一步复习代换法。
例2：已知3311()f x x xx+=+.求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-.(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型.设定函数关系式.再由已知条件.定出关系式中的未知系数。
例3． 已知()f x 二次实函数.且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++.则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数.∴()f x 的定义域关于原点对称.故先求x <0时的表达式。
《抽象函数》专题练习
专题 抽象函数一、求抽象函数定义域1.已知函数f （21x -）定义域为[]1,3-, 求f （x ）的定义域2．函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x ＋1)的定义域是________．3.已知函数f [ 0，3 ]，求f （x ）的定义域二.求抽象函数解析式求函数解析式的常用方法：待定系数法、配凑法、换元法、方程组、特殊值法（1）若f [ f （x ）] = 4x+3，求一次函数f （x ）的解析式（2）已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式(3) 已知f （x ）-2 f （-x ）= x ，求函数f （x ）的解析式（4）设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++，求f （x ）的解析式.练习：1.已知f （x ）是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f （x ）2.已知2 f （x ）- f （-x ）= x+1 ，求函数f （x ）的解析式3．已知2 f （x ）-f 1x ⎛⎫⎪⎝⎭ = 3x ，求函数f （x ）的解析式4.已知对一切x ，y ∈R ，()()()21f x y f x x y y -=--+都成立，且f （0）=1，求f （x ）的解析式.5.若x x f x f 4)1()(3=-，则)(x f =_____________________三、解抽象不等式1.已知：f (x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)<f(x 2-1),求x 的取值范围.2.已知f(x)是定义在(0,)+∞上的函数，满足条件f(x y)=f(x)+f(y)；f(2)=1。
求：(1)证(8)3f = ；（2）求不等式()(2)3f x f x -->的解集。
3.函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时()1f x >.（1）求证：()f x 是R 上的增函数；（2）若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<专题 函数的奇偶性【知识梳理】1. 偶函数定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A ，如果对于任意的A x ∈，都有，那么称函数)(x f y =是偶函数。
抽象函数的一节复习课
・ ．
ｘ ２ ＞ ｘ ｔ ＞ Ｏ ． Ｘ ＿ ２ ＞ １
） ＞ ０ ， 即 ２ ）
。 ） ＞ ０
２ ）
１ ）
） 在（ ０ ， ＋ ∞） 上是增函数 象函数问题的重要一点就是要抓住 函数 中的某些 性质 ，通过局部 （ ２ ） 厂 （ ２ ） ： １ ＿ ， （ ４ ） ２ ） ＋ ， （ ２ ） ＝ ２ ， ‘ ． ） 是偶函数 ． ・ ． 不等式 性 质或 图象 的局部特 征 ， 利用 常规数学思想方 法（ 如化 归法、 数形 １ ） ＜ ２ 可化为－ 厂 （ 『 ２ ｘ ２ － １ Ｉ ４ ） ） ， 又’ ． 。 函数在（ ｏ ， ＋ ） 上是增 结合法等 ） ， 突破 “ 抽象” 带来 的困难 ， 做 到胸有成竹 。另外 ， 还要 通 过 对题 目的特征进行 观察 、 分析 、 类 比和联想 ， 寻找具体 函数模型 ， 函数 ． ｏ ≠ｆ ２ ｘ ￣ － Ｉ １ ＜ ４ ， 解得： ＜ 且 ≠± ｝ 再 由具体函数模 型的图象 和性质来指导我们解决抽象 函数问题 。 评析 ： 第 １问从 函数单调性 的定义出发 ， 重现判 断函数单 调的 以教材 为起点 ， 寻找有关抽 象函数 的典例 步骤 ： 设值， 作差 ， 变形 ， 定号 ， 下结论 。关键是从抽象函数出发 ， 在 １ ． 人教 Ａ版 Ｐ ３ ６练习第 ２小题 ： 已知 ） 是偶 函数 ， （ ） 是奇 没有 函数解析式的前提下分析问题是一个难点 ，第 ２问先求值 发 函数 ， 试将下 图补充完整 。（ 图略 ） 、 现 ４ ） ＝ ２ ， 再利用第 １ 问结论去掉对应关 系 厂 ＇ 但 由于不确定 一 １ ２ ． １ ． 人教 Ａ版 Ｐ ３ ９ Ｂ组 练 习第 ３小 题 ： 已知 函数ｆ （ ｘ ） 是偶 函 具体在哪个 区间 ， 避免分类讨论 ， 借 助偶 函数 的性质 ； ， （ ） 一） ＝ 数， 而且在 （ ０ ， ＋ 。 。 ） 是减 函数 ， 判断 ， （ ） 在（ 一 。 。 ， Ｏ ） 上是增 函数还 是 Ｉ １ ） 。 另外， 本题其实也可发现就是函数ｆ （ ｘ ） ＝ ｌ ｏ ｇ ２ Ｉ ｘ ｌ 这个模型， 减 函数 ， 并证 明你的判断 。 也能帮助大家理解。
函数习题(最全)
1. 函数的概念1. 著名的Dirichlet 函数⎩⎨⎧=取无理数时取有理数时x x x D ,0,1)(，则)2(D =__________2. 如果()21f x x =+，则(((())))n ff f f f x 个＝3. k n f =)(（其中*N n ∈），k 是π的小数点后的第n 位数字，1415926535.3=π，则=ff f f f 个100)]}10([{ ___________4. 设{}{}2|0,|02x M x N y y ≤≤==≤≤，给出的4个图形中能表示集合M 到集合N 的映射的是5. 集合{|04},{|02}P x x Q y y =≤≤=≤≤，下列对应不表示从P 到Q 的函数是（ ）21.:.:331.:.:2A f x y x B f x y x C f x y xD f x y →=→=→=→=6. 设()φ≠+∞=⊆A B B A ,,0,,从A 到B 的两个函数分别为|log |)(5.0x x f =,xx g ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(, 若对于A 中的任意一个x ,都有)()(x g x f =,则集合A 中元素的个数为B.D.7. 两个有理数b a ,相加，得到c b a =+，这种运算能不能看成是一个映射？如果是，映射的定义域是什么？8. 平面上确定了单位长度后，每个三角形都有个面积. 三角形与它的面积的对应，可不可以是三角形集合到面积集合的一个映射？ 9. 设B A f →:是映射，A y A x ∈∈,，若),()(y f x f =是否一定有y x =？若)()(y f x f ≠，是否一定y x ≠？10. 将象棋中的马放在左下角，问将马这个棋子动9999步后，能否移动到原位？把点染成黑白两种颜色，实质上设计了一个从格子点集到两元素集{黑，白}的映射。
11. 已知{}21,a a A =，{}21,b b B =，则从A 到B 的不同映射共有_______个.拓展：当{}m a a a a A ,,,,321 =，{}n b b b b B ,,,,321 =，则从A 到B 的不同映射共___个. 12.设集合{}3,,,2),(<+∈∈<=+y x N y Z x x y x A ，{}2,1,0=B ，从A 到B 的对应关系y x y x f +→+)(:，试画出对应图，并判断这个对应是不是映射？2. 函数的定义域和值域1. 右图为函数()y f x =的图象，则该函数的定义域是 值域是 ________2. 若函数)(x f 的定义域是[]1,1-，则函数的定义域是xx f )12(-__________ 3. 若函数2743kx y kx kx +=++的定义域为R ，则k ∈4. 已知一个函数的解析式为y=x 2,它的值域为[1,4],这样的函数的个数为 5. 函数12++=x x y 的值域为 ；函数216x y -=值域为函数251xy x =+的值域为 ；6. 已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程[()]g f x x =的解为7. 下表表示x y 是的函数，则函数的值域是 ．8. 若函数2(2)f x -的定义域是[1-，1]，则函数(32)f x +的定义域为____________ 9. 设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为10. 函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 2.1]3,-=-[2]2,-=-[2.2]2=,如果[2,0]x ∈-，那么()y f x =的值域为 ____11. 函数2y x =-的值域为[],a b ，则函数(2)y f x =+的值域为_________12. 函数122(2)y x x -=-的定义域是___________变式：函数 31)1()(--=x x f 的定义域为13. 函数6)1(3)1()(22+-+-=x a x a x f（1）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值. （2）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.14. 已知函数[]()211,5f x x x =+∈,则函数(23)f x -的解析式为___________15. 已知)(x f 是一次函数, 且14))((-=x x f f ,则)(x f 的表达式为____________16. 若函数()y f x =的定义域是[-2,4]，则函数()()()g x f x f x =+-的定义域_______17.函数()ln(1)f x x =-的定义域为18. 函数2()2()g x x x R =-∈，()4,12()(),12g x x x x f x g x x x ++<->⎧=⎨--≤≤⎩或,()f x 的值域是 ___ 19. 函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个20. 如图，函数f (x ) 的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3))的值等于________．21. 已知函数)2(log 22-=x y 定义域是[]b a ,，值域是[]14log ,12，则a b +的值为_____22. 函数y ＝x |x |·a x (a >1)的值域为_______23. 设函数)3)(12()(x x x f --=的定义域为P ，函数)2(log )(22a x x x g +-=的定义域为Q ，若P Q P = ，则实数a的取值范围是________.24. 已知函数1)(2+=x x f ，14)(+=x x g 的定义域都是集合A ，函数)(x f 和)(x g 的值域分别为S 和T . （1）若[]2,1=A ，求T S ；（2）若[]m A ,0=，且T S =，求实数m 的值；（3）若对于A 中的每一个x 值，都有)()(x g x f =，求集合A . 26. 函数)2(2≠=x x y 的值域为________；函数xy 12=的值域为_________；x y 24log 2-=的值域是________28. 函数的值域专题 第I 类：简单的复合函数引例1：241x y --=；)4(log 22x y -=；124++=x x y ；1sin sin 2++=x x y第II 类：带分式的复合函数（换元、部分分式法、反解（判别式法）、公式法）引例2：直接写出函数=y xx3121+-的值域为____________，曲线的对称中心为________；若添加条件[]1,0∈x ，则值域为________；根据以上结论直接写出函数的值域：[])1,0(3121∈+-=x xx y引例3：求函数132+-=x x y 的值域变式：求函数312-+=x x y 的值域 变式：求函数x x x x y cos sin 2cos sin ++=（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ）的值域引例4：求函数158522+++=x x x y 的值域 变式：若已知函数)(13)(22R x x nx mx x g ∈++-=的值域为[]8,2，求实数n m ,的值练：若已知函数)(18)(22R x x nx mx x g ∈+++=值域为[]9,1，求实数n m ,的值第III 类：带根式的复合函数引例5：求函数x x y 21--=的值域；思考：根式函数)0(≠+++=AC D Cx B Ax y 值域如何研究？ 引例6：求函数x x x f 211)(--+=的值域；变式1：求函数x x x f 21)(-+=的值域； 变式2：求函数x x y -++=31的值域；变式3：求函数2111x x x y -+-++=的值域；练习：已知a 212x x a+-对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为_____ 第IV 类：构造法求函数的值域问题引例6：求函数223)1()(+-=x xx x f 的值域是__________变式：若关于x 的方程01234=++++ax ax ax x 有实数根，求实数a 的取值范围29. 已知1≥a ，函数[])1,0(4194)(∈+++=x x x x f ，1623)(23+--=a x a x x g [])1,0(∈x .（1）求函数)(x f 与函数)(x g 的值域；（2）若对任意[]1,01∈x ，存在[]1,02∈x ，使得)()(12x f x g =成立，求实数a 的取值范围.变式：函数421()421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的123x x x 、、，均存在以123()()()f x f x f x 、、为三边长的三角形，求实数k 的取值范围.30. 若函数)1(lo g )(2+=x x f 的定义域和值域都是[]b a ,，则____=+b a变式1：是否存在实数n m ,，使函数26)(x x f -=的定义域和值域均为[]n m ,？变式2：函数xa x f 1)(-=的定义域与值域均为区间[]n m ,（n m <），求实数a 的取值范围. 变式3：已知函数xx f 11)(-=，若存在实数)(,b a b a <使得)(x f 的定义域是[]b a ,，值域是[]),0(,R m m mb ma ∈≠，则实数m 的取值范围为_________变式4：函数()()21x f x x R x =∈+，区间[](),M a b a b =<其中，(){},N y y f x x M ==∈则使M N =成立的实数对(),a b 有 个. 31. 若,1)(xx x f -=则方程x x f =)4(的根是________. 32. 已知21)(xx x f -=，则))((x f f 的定义域为__________.33. 求下列函数的值域. （1）1344342+-++-=x x x y ；（2）用逆求法求函数的值域： 1232+⋅=x xy ；1cos 31sin 2+-=x x y（3）用判别式法求函数的值域：242--+=x x x y ；92342++=x x y ；11522+-+-=x x x x y ；说明：对于分式函数n m pnx mx cbx ax y ,(22++++=不同时为0）求值域，若c bx ax ++2与p nx mx ++2无公共实根时，可用判别式法. （4）x x y 21-+=；x x y 292-++=；3. 函数的奇偶性1. 定义在R 上的两个函数中，)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，2)1()()(+=+x x g x f ，则=)(x f ____________变式：定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为______结论：任意一个定义在R 上的函数均可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和教材P 52 7 已知()f x 是一个定义在R 上的函数，求证： （i ）()()()g x f x f x =+-是偶函数； （ii ） ()()- ()h x f x f x =-是奇函数.变式：将)110lg()(+=xx f 分解为一个奇函数和一个偶函数之和. 2.函数()()122-+-+=a x b a ax x f 是定义在()()22,00,--a a 上的偶函数，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+522b a f ______________ 3. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=x 对称，则)5()4()3()2()1(f f f f f ++++=______ 4. 已知函数f(x)=1122xxm ∙-+为奇函数，则m 的值等于_____变式：函数xxk k x g 212)(⋅+-=为奇函数，则实数k 的取值集合为____ 5. 函数)11()(+--=x x x x f ，函数|3||4|1)(2-++-=x x x x g ，则F(x)= )()(x g x f ∙的奇偶性为 函数. 思考：和函数与积函数的奇偶性有何规律？6. 函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ，则函数g (x )的解析式为________变式1：已知f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，并且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1，求当x ∈[2k －1,2k ＋1](k ∈Z )时f (x )的解析式．变式2：已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________． 变式3：已知函数f (x )＝－22x －a ＋1.(1) 求证：f (x )的图象关于点M (a ，－1)对称；(2) 若f (x )≥－2x 在x ≥a 上恒成立，求实数a 的取值范围．变式4：已知函数)(x f y =的图像与x x y +=2的图像关于点()3,2-对称，则)(x f 的解析式为______________7. 下列说法中，正确命题的序号为______________（1）定义在R 上的函数()f x ，若()2(2)f f -=，则函数()f x 是偶函数（2）定义在R 上的函数()f x ，若()2(2)f f -≠，则函数()f x 不是偶函数（3）定义在R 上的函数()f x ，若()2(2)f f -=，则函数()f x 不是奇函数8. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -=_______9. 已知 f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )=e x -1(其中e 为自然对数的底数)，则f (ln21)=________ 10. 设偶函数f (x )满足3()8(0)f x x x =-≥,则{}(2)0=_______x f x ->11. 已知定义在R 上的函数f (x )在区间（8,+∞）上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则(6).(7),(9),(10)f f f f 大小关系为____12. 函数))(1|(|)(a x x x f +-=为奇函数，则)(x f 的增区间为13. R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2(0x x f x g x a a a a -+=-+>≠且若(2),g a =则(2)_______f = 14. 已知函数211ln )(++-=x x x f ,则)21(lg )2(lg f f +＝ ． 15. 函数22()(1)(1)x ax f x x x +=+-为奇函数的充要条件是a = ． 16. 已知函数14)(++=x xax x f 是偶函数，则常数a 的值为17. 已知函数)(1||1sin ||)(R x x x x x f ∈++-=的最大值为M,最小值为m ，则m M +=18. 定义在{}0≠x x 上的偶函数)(x f ，当0>x 时，x x f 2)(=，则满足)56()(+=x f x f 的所有x 的值的和等于 . 19. 已知函数))(22()(1R x a x x f x x ∈⋅+=-+是偶函数，则实数a 的值为 .20. 判断下列函数的奇偶性.（1）x x x x f -+-=11)1()(；（2）22)1lg()(22---=x x x f ； （3）⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+=.1,2,1,0,1,2)(x x x x x x f21. 若函数121)(--=x a x f 是定义在(][)+∞-∞-,11, 上的奇函数，则)(x f 的值域为__________.23. 已知)(x f y =是定义在[]6,6-上的奇函数，且)(x f 在[]3,0上是x 的一次式，在[]6,3上是x 的二次式且满足3)5()(=≤f x f ，且2)6(=f ，则)(x f 的表达式为___________.24. 已知函数)(x f 的定义域是R ，若存在R c ∈，使得c c f =)(，则称c 是)(x f 的一个不动点.设)(x f 的不动点数目是有限多个（1）判断函数3)(x x f =和3)(x x g =的不动点的个数；（2）依据（1）的结论，研究奇函数的一般规律，并证明；（3）偶函数)(x f 的不动点的个数是偶数吗？若是，给出你的证明；若不是，说明理由.4. 函数奇偶性与单调性的关系1. 已知函数()y f x =是定义在[],22-上的偶函数，而且在[],20上是增函数，且)(x f 满足不等式)()1(m f m f <-，则实数m 的取值范围为__________ 2. 若f(x),g(x)均为奇函数，1)()()(++=x bg x af x F 在（0，+∞）上有最大值5，则在)0,(-∞上，F(x)的最值情况为_________3. 设奇函数()f x 的定义域为[]6,6-,当[]0,6x ∈时()f x 的图象如右图，不等式()0f x >的解集用区间表示为4. 设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且,0)1(=f 则不等式0)()(<--xx f x f 的解集为___________ 5. 函数是定义在R 上的奇函数，且它是减函数，若实数a ，b 使得成立，则___ _____0（填>、=、<）6. 下列说法中：① 若2()(2)2f x ax a b x =+++（其中[21,4]x a a ∈-+）是偶函数，则实数2b =；② 20132013)(22-+-=x x x f 既是奇函数又是偶函数； ③ 已知 ()f x 是定义在R 上的奇函数，若当[0,)x ∈+∞时，()(1)f x x x =+,则当x R ∈时，()(1)f x x x =+； 其中正确说法的序号是 ____（填写正确命题的序号）7. 定义在R 上的偶函数)(x f ，且()f x 在[)0,+∞上单调递减，则不等式(lg )(1)f x f <的解集是8. 已知函数)()1f x a =≠在[1,0]-上是增函数，则实数a 的取值范围是9. 已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >；②2212x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ．11. 若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .12. 已知f (x )是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，若函数f (x )在区间[-1，t ]上的最小值为-1，则实数t 的取值范围是 .5. 函数的单调性1. 函数121)(+-=x x f 的单调递增区间是 ______ . 2. 设函数x x x f λ+=)(，其中常数0>λ.是否存在正的常数λ，使)(x f 在区间),0(+∞上单调递增？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由.4. 已知函数()),0(2R a x xa x x f ∈≠+= （1）讨论函数()x f 的奇偶性；（2）()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围．5. 下列说法中，正确命题的序号为_________________（1）若定义在R 上的函数()f x 满足()2(1)f f >，则函数()f x 是R 上的单调增函数（2）若定义在R 上的函数()f x 满足()2(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是单调减函数（3）若定义在R 上的函数()f x 在区间(],0-∞上是单调增函数，在区间[)0,+∞上也是单调增函数，则函数()f x 在R 上是单调增函数（4）若定义在R 上的函数()f x 在区间(],0-∞上是单调增函数，在区间()0,+∞上也是单调增函数，则函数()f x 在R 上是单调增函数6. 若32+-=ax x y 在区间[]2,1上是单调增函数，求a 的取值范围为________8. 设0a >,0b >,已知函数()1ax b f x x +=+. (Ⅰ) 当a b ≠时,讨论函数()f x 的单调性(直接写结论);(Ⅱ) 当0x >时,(i)证明2)]([)()1(ab f a bf f =⋅; (ii)若ab x f ba ab ≤≤+)(2,求x 的取值范围. 9. 函数错误！未找到引用源。
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第十七课时 抽象函数 课时作业
1.(2008＝f (x )＋f (2)，则f (1)＝( )
A ．0
B ．1
C ．－12 D.12
2．(2008年保定联考)已知f (x )是R 上的增函数，若令F (x )＝f (1－x )－f (1＋x )，则F (x )是R 上的( )
A ．增函数
B ．减函数
C ．先减后增的函数
D ．先增后减的函数
3．(2010年厦门综合测试)已知函数f (x )满足：f (p ＋q )＝f (p )f (q )，f (1)＝3，则f 2(1)＋f (2)f (1)＋
f 2(2)＋f (4)f (3)＋f 2(3)＋f (6)f (5)＋f 2(4)＋f (8)f (7)＋f 2(5)＋f (10)
f (9)
的值为( ) A ．15 B ．30 C ．75 D ．60
4．(2008年东城区模拟)若函数f (x )在(4，＋∞)上为减函数，且对任意的x ∈R ，有f (4＋x )＝f (4－x )，则( )
A ．f (2)>f (3)
B ．f (2)>f (5)
C ．f (3)>f (5)
D ．f (3)>f (6)
5．(2008年重庆卷)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是( )
A ．f (x )为奇函数
B ．f (x )为偶函数
C ．f (x )＋1为奇函数
D ．f (x )＋1为偶函数
6．(2008年湖南十二校联考)函数y ＝f (x )与y ＝g (x )有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x ，有f (x )＋f (－x )＝0，g (x )g (－x )＝1，且x ≠0，g (x )≠1，则F (x )＝2f (x )g (x )－1＋
f (x )( )
A ．是奇函数但不是偶函数
B ．是偶函数但不是奇函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数也不是偶函数
7．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足f (0)＝1，且对任意实数a 、b ，有f (a －b )＝
f(a)－b(2a－b＋1)，则f(x)的解析式为________．
8．(2009年安徽六校联考)已知函数f(x)，g(x)在R上有定义，对任意的x，y∈R有f(x －y)＝f(x)g(y)－g(x)·f(y)，且f(1)≠0，则f(x)的奇偶性是________．
9．函数f(x)对任意的实数m、n有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)，且当x＞0时有f(x)＞0.
(1)求证：f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；
(2)若f(1)＝1，解不等式f[log2(x2－x－2)]＜2.
10．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x＞0时，f(x)＜0恒成立，f(3)＝－3.
(1)证明：函数y＝f(x)是R上的减函数；
(2)证明：函数y＝f(x)是奇函数；
(3)试求函数y＝f(x)在[m，n](m，n∈Z)上的值域．
参考答案
1．B 2.B 3.B 4.D 5.C 6.B7.f(x)＝x2＋x＋18.奇函数
9．解析：(1)证明：设x2＞x1，则x2－x1＞0.
∵f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋
f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0，
∴f(x2)＞f(x1)，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
(2)∵f(1)＝1，∴2＝1＋1＝f(1)＋f(1)＝f(2).
又f [log 2(x 2－x －2)]＜2，∴f [log 2(x 2－x －2)]＜f (2)．
∴log 2(x 2
－x －2)＜2，于是⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－x －2＞0，
x 2－x －6＜0.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＜－1或x ＞2，
－2＜x ＜3，即－2＜x ＜－1或2＜x ＜3. ∴原不等式的解集为{x |－2＜x ＜－1或2＜x ＜3}． 10．解析：(1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)．
∵x 2－x 1＞0，∴f (x 2－x 1)＜0.∴f (x 2)＝f (x 1)＋f (x 2－x 1)＜f (x 1)．故f (x )是R 上的减函数． (2)证明：∵f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )恒成立， ∴可令a ＝－b ＝x ，则有f (x )＋f (－x )＝f (0)， 又令a ＝b ＝0，则有f (0)＝f (0)＋f (0)， ∴f (0)＝0.从而x ∈R ，f (x )＋f (－x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )．故y ＝f (x )是奇函数． (3)由于y ＝f (x )是R 上的单调递减函数，
∴y ＝f (x )在[m ，n ]上也是减函数，故f (x )在[m ，n ]上的最大值f (x )max ＝f (m )，最小值f (x )min
＝f (n )．
∵f (n )＝f (1＋(n －1))＝f (1)＋f (n －1)＝…＝n f (1)， ∴f (m )＝mf (1)．
又f (3)＝3f (1)＝－3，∴f (1)＝－1， ∴f (m )＝－m ，f (n )＝－n .
∴函数y ＝f (x )在[m ，n ]上的值域为[－n ，－m ]．。