光学课程学习指导

《光学》课程学习指导第二篇 波动光学基本知识在经典物理的范畴内，光是电磁波的一种，其传播规律遵循麦克斯韦方程组。

由于光也是波，所以描述波的一些基本理论和方法可以用来研究光波，其存在干涉和衍射等现象；但光波与一般的机械波还是有很大的不同，首先其传播不需要任何媒质（虽然光波和媒质存在相互作用），其次光波其传播的量是电矢量和磁矢量，是矢量波（在光波中，由于引起人的视觉效果的主要是电矢量，所以，在光学中，一般只分析电矢量，而且将其近似看成是标量波来处理）。

1、平面波、球面波、定态波的概念平面波、球面波是依据其波面（等位相面）的形 状来划分的。

定态波：（1）空间各点的扰动是同频率的简谐振荡（频率与位相相同）；（2）波场中各点扰动的振幅不随时间变化，在空间形成一个稳定的振幅分布。

定态平面波：（1）振幅A(P)是常数，它与场点坐标无关；（2）位相)(p ϕ是直角坐标的线性函数,nz my lx p ++=)(ϕ(其中n m l ,,是常数，是波矢在空间三个直角坐标轴上的分量)。

定态球面波：（1）振幅A(P)反比于场点到源点的距离，r a p A /)(=；（2）位相)(p ϕ的分布形式为00)(ϕϕϕ+=+•=kr p ，其中k 为波矢，为波场P点相对于源点的位置矢径，0ϕ-为初位相（用正位相表示位相的落后）。

2、复振幅、（相对）强度复振幅的定义：)](exp[)](exp[)(~0P i A i A P U ϕϕ=+•=，其中)(P ϕ为P 点的位相；共轭波的复振幅：)](exp[)](exp[)(~0P i A i A P U ϕϕ-=+•-= 平面波的复振幅：)](exp[)(~0ϕ+++=z k y k x k i A P U z y x ；球面波的复振幅：)](exp[)(~0ϕ+=kr i r a P U ； （相对）强度：2)]([)(~)(~)(P A P U P U P I =•=*。

3、傍轴条件和远场条件实质问题：在什么条件下可把球面波看作平面波，主要是从复振幅大小和位相分布两个方面来考虑。

傍轴条件：场点到源点的距离要远远大于场点处波前的横向尺度，22ρ>>z 。

远场条件：场点到源点的距离要远远大于场点处波前的横向尺度的平方与光波波长的比值，λρ/2>>z 。

注意：（1）对于长波，傍轴条件蕴涵了远场条件，对于短波，远场条件蕴涵了傍轴条件。

（2）在满足傍轴条件和远场条件时，可把球面波当作平面波来处理，但这里所谓的平面波就一般而言（含轴上和轴外物点情形）与前面所讲的平面波还是有一定的差异：对于垂直于轴线的确定的平面（z是定值）上的各点，振幅是一定的，但不同的平面上振幅是不同的，z a A /=。

（3）在满足傍轴条件下（λρ/2>>z ）2220(,)exp[()]2x y U x y A ik z zϕ+=+-4、光波的干涉相干条件：（1）频率相同；（2）存在相互平行的振动分量； （3）位相差恒定。

获得相干光的常见方法：（1） 分波前法：杨氏干涉、菲涅耳双面镜和双棱镜、洛埃镜； （2）分振幅法：薄膜的等厚和等倾干涉、迈克尔逊干涉。

两列相干光的干涉分析：)(cos )()(2)()()(2121P P I P I P I P I P I δ++=L P ∆=λπδ2)(， 12L L L -=∆（光程差）；λk L =∆ 对应于极大；λ)21(+=∆k L 对应于极小。

干涉实例： （1）杨氏干涉：)(22)(21r r L P -=∆=λπλπδ，一组明暗相间的平行条纹，条纹间距为λdD x =∆'。

（2）薄膜表面的等厚干涉（不考虑半波损失）：)cos 2(22)(i nh L P λπλπδ≈∆=，一组明暗相间的平行条纹，i n k h k cos 2λ=（明条纹）in k h k cos 4)12(λ+=（暗条纹）。

正入射时，条纹间的高度差为n h 2λ=∆。

（3）牛顿环（等厚干涉，透镜的上表面是平面，下表面是球面）干涉条纹为明暗相间的同心圆环 第k 级暗纹的半径：λkR r k=；主要用来测透镜的曲率半径：λm r r R k m k 22-=+（4）薄膜无穷远处的等倾干涉（不考虑半波损失）)cos 2(22)(i nh L P λπλπδ=∆=干涉条纹为明暗相间的同心圆环，中心条纹的干涉级最高。

条纹间隔：k k r r r -=∆+1∝kk k i hn i i sin 21λ-=-+（5）迈克尔逊干涉（类似于薄膜的等倾和等厚干涉） )cos 2(22)(i nh L P λπλπδ=∆=，条纹间隔：k k r r r -=∆+1∝kk k i hn i i sin 21λ-=-+干涉条纹质量的评价由条纹的反衬度来描述：mM mM I I I I --=γ，10≤≤γ光场的空间相干性和时间相干性扩展光源不同部分发出的光具有独立性，不相干；对于扩展光源的波场中，只有在一定空间范围内（孔径角R d /0=∆θ内）取出的两列光才能具有相干性，λθ≈∆0b 。

由于光源发光过程在时间上具有断续性，不存在严格的单色光（波列为无限长的光），在波场取出的两列光波必须在一定的时间范围内（相干时间0τ或相干长度00τv l =内）相遇才能产生相干，10≈∆υτ。

5、光波的衍射 衍射的概念光波在传播的过程中，由于受到其它物质（衍射屏）的作用，波面的传播受到影响，在以后的波场区中，各点的光强分布发生变化，使某些点（区域）的光强变大，另一些点（区域）的光强变弱的现象，称为光的衍射。

衍射的分类菲涅耳衍射、夫琅和费衍射。

研究光的衍射的常见方法处理问题的核心思想是次波相干，具体的有矢量图 解法、复振幅法，还有菲涅耳半波带近似法。

要注意 各种处理方法的优缺点和基本思路。

(1) 矢量图解法：将次波的复振幅用矢量来表示（矢量的大小表示次波复振幅的大小，方向表示次波复振幅的位相），按照矢量合成的方法分析出衍射的复振幅或强度的分布规律。

(2)菲涅耳衍射积分公式∑=⎰⎰d re F Q U K P U ikr ),()(~)(~00θθ)(~P U ：衍射场中任一点P 的复振幅；K 为比列系数，λ/i K -=; ∑d ：波面上的面元；:)(~0Q U 是面元上Q 点的复振幅;),(0θθF ：倾斜因子，其中θθ,0分别是场源和场点P 相对于面元∑d 的方位角；r ：面元∑d 到场点P 的距离；ikr e ：球面波的位相因子。

(3)菲涅耳半波带法（a ）菲涅耳半波带法是处理次波相干的一种近似的简单的方法；（b ）将波前分解一系列环形波带，每一个环形波带到光场中某一点（任选的一个要分析的点）P点的光程差依次相差半个波长（所以称为半波带法）。

（c ）每一个半波带上发出的次波波源近似看成具有相同的复振幅大小，到达P 点的复振幅位相差为π（反相）；（d ）考虑到倾斜因子的影响，每一个半波带在P 点的复振幅的大小随其到达P 点光程的增大缓慢变小，最后趋近于零； （e ）P 点的复振幅是这些半波带在P 点的复振幅的相干叠加。

（f ）相干叠加的方法有矢量法和复振幅求和法两种。

光波衍射的常见实例分析 （1） 菲涅耳圆孔衍射（采用半波带法分析、爱里斑） （2）夫琅和费衍射单缝衍射矢量图解法：如图所示，将单缝分解为一系列等宽的窄条带（n 条），每一个窄条带在θP 处的振动矢量分别为：1A ，2A ，3A ，……，nA 。

它们大小相等，但位相不同， 相邻两个的小矢量间的位相 差为n /δ，其中，ϑλπδsin 2a=由矢量图解法可知：n A A A A +++= 21θαθsin 2R AB A ==，2/δα=，ααααsin sin 0A B A R ==，0A 即为0P 点的振幅。

∴ ααθsin 0A A =，∴20)sin (ααθI I =其中：,sin θλπαa=θ为衍射角， a 为缝宽，0A 、0I 分别为零级振幅和强度。

夫琅和费单缝衍射因子特点（a ）夫琅和费单缝衍射因子的表达式为：ααsin 或2)sin (αα，,sin θλπαa=θ为衍射角，a 为缝宽； θPP(b)其给出了主极强的位置：即0=θ时，出现主极强；(c)其给出了次极强（高级衍射斑）的位置：衍射角θ满足 ,/47.3,/46.2,/43.1sin a a a λλλθ±±±=时出现次极强。

（d ）其给出了各次极强的强度：%7.41≈I ，%172≈I ，%8.03≈I（e ） 其给出了零点（暗斑）的位置：衍射角θ满足,/3,/2,/sin a a a λλλθ±±±=，时出现零点；(f)主极强的角宽度为：aλθ20=∆，次极强的角宽度为：aλθ=∆。

（3） 衍射光栅矢量法图解法分析正入射△L =dsinθ δ=2π△L /λ δ=2πdsinθ/λ δ=2β （OCB 1为等腰三角形）2OCsinβ= OB 1 =a θOC= a θ /2sinβ等腰△OCB N 的顶角N δ=2N β ∴总振幅的振幅A θ=OB N =2OCsin(Nβ)=a θsin(Nβ)/sinβ 即: A θ=a 0(sinα/α) (sinNβ/sinβ) I θ=a 02(sinα/α)2 (sinNβ/sinβ)2 其中：α=πasinθ/λβ=πdsinθ/λ (sinα/α)2: 单缝衍射因子(sinNβ/sinβ)2: 缝间干涉因子 斜入射如图所示， 考虑衍射角为θ的一束衍射光，始于单缝上边缘A 和下边缘B 的两衍射光的光程为：)sin (sin 0θθ-=∆a l ，位相差为：λθθπϕ)sin (sin 20-=∆a 。

由矢量图可得场点的合振幅为：''sin 'sin 20αααθa R a ==， 式中：)sin (sin 0θθλπα-='a。

多缝夫琅和费衍射的总振幅为N 个θa 的相干迭加。

相邻缝间对应点的光程差为：)sin (sin 0θθ-=∆d L位相差为：λθθπδ)sin (sin 2'0-=d 。

由矢量图可得总振幅为：'sin 'sin 'sin '2βββθθN a N R A ==所以，强度分布为：220222)sin sin ()sin ()'sin 'sin (ββααββθθθ''''===N I N a A I式中)sin (sin 2'θθλπδβ-=='d。

夫琅和费缝间干涉因子特点（a ）夫琅和费多缝干涉缝间干涉因子的表达式是：ββsin sin N 或2)sin sin (ββN ，,sin θλπβd =θ为衍射角，d 为光栅常数； （b ）其给出了主极强的位置：)(sin 1dk k λθ-=， ,3,2,1,0±±±=k（c ）其给出了主极强的强度：02I N（d ）其给出了零点的位置：])[(sin 1dN m k kλθ+=-， ,3,2,1,0±±±=k 1,,3,2,1-=N N ；其说明在两个主极强之间有N-1个暗线，有N-2个次极强。