2015-2016学年广东省东莞市南开实验学校高二上学期数学期中试卷带解析(文科)

2015-2016学年广东省东莞市南开实验学校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．1．（5分）“x=30°”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）下列各点中，与点（1，2）位于直线x+y﹣1=0的同一侧的是（）A．（0，0） B．（﹣1，1）C．（﹣1，3）D．（2，﹣3）3．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为（）A．B．C．D．4．（5分）等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A．15 B．30 C．31 D．645．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A+C=2B．若a=1，b=，则c等于（）A．B．2 C．D．6．（5分）不等式﹣2x2+x+1＜0的解集是（）A．（﹣，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）7．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosAcosB=sinAsinB，则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形8．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．29．（5分）给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．110．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[，7]B．（﹣∞，]∪[7，+∞）C．（﹣∞，4]∪[7，+∞）D．（4，7]11．（5分）已知数列{a n}中，a1=，（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．B．C．D．12．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a2=，若{}等差数列，则数列{a n}的第10项为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分．13．（5分）已知条件p：x＞a，条件q：x2+x﹣2＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．14．（5分）当x＞1时，函数y=x+的最小值为．15．（5分）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有项．16．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosB﹣bcosA=c，则=．三、解答题：本大题共6个小题；共70分．17．（11分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（1）求△ABC的周长；（2）求sin（A﹣C）的值．18．（11分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆经过点N（0，﹣）．（1）求椭圆C的方程；（2）求椭圆上的点到点（0，2）距离的最大值，并求出该点的坐标．20．（12分）已知函数，其中，，在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=1（1）求角A；（2）若，b+c=3，求△ABC的面积．21．（12分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．22．（12分）正项数列{a n}的前n项和S n满足：S n2﹣（n2+n﹣1）S n﹣（n2+n）=0（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．2015-2016学年广东省东莞市南开实验学校高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．1．（5分）“x=30°”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为“x=30°”⇒“”正确，但是解得x=k•360°+30°或x=k•360°+150°，k∈Z，所以后者推不出前者，所以“x=30°”是“”的充分而不必要条件．故选：A．2．（5分）下列各点中，与点（1，2）位于直线x+y﹣1=0的同一侧的是（）A．（0，0） B．（﹣1，1）C．（﹣1，3）D．（2，﹣3）【解答】解：当x=1，y=2时，x+y﹣1=1+2﹣1=2＞0，即点（1，2）位于不等式x+y﹣1＞0对应的平面区域，则当x=﹣1，y=3时，x+y﹣1=﹣1+3﹣1=1＞0，满足条件．故选：C．3．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且c=1，e==，故a=2，b=，则椭圆的标准方程为，故选：A．4．（5分）等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A．15 B．30 C．31 D．64【解答】解：方法一：设公差等于d，由a 7+a9=16可得2a1+14d=16，即a1+7d=8．再由a 4=1=a1+3d，可得a1=﹣，d=．故a12 =a1+11d=﹣+=15，方法二：∵数列{a n}是等差数列，∴a p+a q=a m+a n，即p+q=m+n∵a7+a9=a4+a12∴a12=15故选：A．5．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A+C=2B．若a=1，b=，则c等于（）A．B．2 C．D．【解答】解：∵A+C=2B，A+B+C=π，∴B=，即cosB=，又a=1，b=，∴由余弦定理得：3=1+c2﹣c，解得：c=2或c=﹣1（舍去），则c的值为2．故选：B．6．（5分）不等式﹣2x2+x+1＜0的解集是（）A．（﹣，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）【解答】解：不等式﹣2x2+x+1＜0可化为2x2﹣x﹣1＞0，即（2x+1）（x﹣1）＞0，该不等式对应方程的两根为﹣和1，所以该不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．故选：D．7．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosAcosB=sinAsinB，则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【解答】解：∵依题意可知cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）=0，∴﹣cosC=O，cosC=O，∴C为直角．故选：A．8．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．2【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8=2（a1q4）2，即q2=2，又因为等比数列{a n}的公比为正数，所以q=，故a1=．故选：B．9．（5分）给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q 均为假命题；故错；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得，故命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；正确；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论：“∀x ∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1；故错；④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可得：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．故正确．其中不正确的命题的个数是：2．故选：C．10．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[，7]B．（﹣∞，]∪[7，+∞）C．（﹣∞，4]∪[7，+∞）D．（4，7]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：设z==+1，设k=，则z=k+1，k的几何意义为区域内的点P到原点O的直线的斜率，由图象可知当直线过B点时对应的斜率最小，当直线经过点A时的斜率最大，由，解得，即A（1，6），此时OA的斜率k=6，即+1的最大值为6+1=7．由，解得，即B（，），此时OB的斜率k==，+1的最小值为+1=．故≤z≤7，故选：A．11．（5分）已知数列{a n}中，a1=，（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，∵∴∴叠加得：∵a1=，∴故选：B．12．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a2=，若{}等差数列，则数列{a n}的第10项为（）A．B．C．D．【解答】解：∵a 1=1，a2=，且{}等差数列，则等差数列{}的首项为1，公差为，∴，则．∴．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分．13．（5分）已知条件p：x＞a，条件q：x2+x﹣2＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：不等式x2+x﹣2＞0可化为（x﹣1）（x+2）＞0，解得x＜﹣2或x＞1，∵p是q的充分不必要条件，∴{x|x＞a}是{x|x＜﹣2或x＞1}的真子集，∴a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）故答案为：[1，+∞）14．（5分）当x＞1时，函数y=x+的最小值为3．【解答】解：∵x＞1，∴==3，当且仅当x=2时取等号．故答案为：3．15．（5分）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有13项．【解答】解：由题意可知：a1+a2+a3+a n﹣2+a n﹣1+a n=3（a1+a n）=180，∴s=×n=30n=390，∴n=13．故答案为13．16．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosB﹣bcosA=c，则=4．【解答】解：由acosB﹣bcosA=c及正弦定理可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，即sinAcosB﹣sinBcosA=sin（A+B），即5（sinAcosB﹣sinBcosA）=3（sinAcosB+sinBcosA），即sinAcosB=4sinBcosA，因此tanA=4tanB，所以=4．故答案为：4．三、解答题：本大题共6个小题；共70分．17．（11分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（1）求△ABC的周长；（2）求sin（A﹣C）的值．【解答】解：（1）△ABC中，已知a=1，b=2，cosC=，∴c===2，故△ABC的周长为a+b+c=5．（2）∵b=c，∴B=C，∴cosB=cosC=，∴sinB=sinC=，∴cosA=﹣cos（B+C）=﹣cosBcosC+sinBsinC=﹣+=，∴sinA==，∴sin（A﹣C）=sinAcosC﹣cosAsinC=﹣=﹣．18．（11分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵a1，a3，a7成等比数列．∴a32=a1a7，即（a1+2d）2=a1（a1+6d），化简得d=a1，d=0（舍去）．∴S3=3a1+=a1=9，得a1=2，d=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）=n+1，即a n=n+1．（2）∵b n=2a n=2n+1，∴b1=4，．∴{b n}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴T n==2n+2﹣4．19．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆经过点N（0，﹣）．（1）求椭圆C的方程；（2）求椭圆上的点到点（0，2）距离的最大值，并求出该点的坐标．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点N（0，﹣）．故b=，即b2=3，又∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，∴c=a，则b2=a2﹣c2=a2=3，∴a2=4，故椭圆的标准方程为：，（2）由已知可得椭圆的参数方程为：，则椭圆上的点到点（0，2）距离d==，当sinθ=﹣1，cosθ=0时，d取最大值2+，此时动点的坐标为（0，﹣）20．（12分）已知函数，其中，，在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=1（1）求角A；（2）若，b+c=3，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵，，，∴f（x）=cos2x+=2sin（2x+）∵f（A）=1，∴2sin（2A+）=1，∵＜2A+＜，∴2A+=，∴A=；（2）由余弦定理知cosA==∵，∴b2+c2﹣bc=3∵b+c=3∴bc=2∴=．21．（12分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．【解答】解：∵方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，∴，∴m＞2或m＜﹣2又∵不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，∴，∴1＜m＜3∵p或q为真，p且q为假，∴p与q为一真一假，（1）当p为真q为假时，，解得m＜﹣2或m≥3．（2）当p为假q为真时，综上所述得：m的取值范围是m＜﹣2或m≥3或1＜m≤2．22．（12分）正项数列{a n}的前n项和S n满足：S n2﹣（n2+n﹣1）S n﹣（n2+n）=0（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】（1）解：由，得．∵{a n}是正项数列，∴．∴a1=S1=2，n≥2时，．综上，数列{a n}的通项a n=2n．（2）∵b n=，∴，∴，①=，②①﹣②，得：=2（）﹣=2×﹣=1﹣﹣，∴．。