2021年东莞市中考数学总复习第22章：二次函数
第二十二章 二次函数 复习小结
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
典型例题 知识点1：二次函数的图象和性质 【例1】 抛物线y=-5（x+2）2-6的对称轴和顶点分别是（ C ） A. x=2和（2，-6） B. x=2和（-2，-6） C. x=-2和（-2，-6） D. x=-2和（2，-6）
典型例题 知识点3：二次函数的实际应用及综合问题 【例3】 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成 本价为每个30元. 市场调查发现，这种双肩包每天的销 售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关 系：y=-x+60（30≤x≤60）. 设这种双肩包每天的销售 利润为W元.
（1）求W与x之间的函数解析式；
（2）存在.当AB为平行四边形的边长时，如答图22-
28-2，答图22-28-3，M1，M2为所求点. ①∵四边形ANM1B为平行四边形， ∴△ANH≌△BM1G. 则M1的横坐标为-2，代入二次函数表达式， 解得M1坐标为（-2，5）；
②∵四边形AM2NB为平行四边形， ∴△ABG≌△M2NH. 则M2的横坐标为4，代入二次函数表达式， 解得M2的坐标为（4，5）； ③当AB为平行四边形的对角线时，如答图22-28-4
，M3与点C重合，故M3（0，-3）. 故点M的坐标为（0，-3），（4，5），（-2，5）.
a<0时，对称轴左侧(x<- 2a )， 函数值y随x的增大而增大 ；对称轴
右侧(x>减小 。
2a
)，函数值y随x的增大而
（2） a>0时，y最小=
4ac-b2 4a
a<0时，y最大=
九年级数学人教版第二十二章二次函数整章知识详解(同步课本知识图文结合例题详解)
正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表 面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为＿y＿=6＿x2＿＿＿＿.
九年级数学第22章二次函数
问题2： 多边形的对角线总数 d 与边数 n 有什么关系？ n边形有＿＿n ＿个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相 邻的各顶点，可作＿（＿n-＿3＿）条对角线.因此，n边形的对角 线总数＿d＿= 12＿n2 ＿ 32＿n 此式表示了多边形的对角线总数d与边数n之间的关系， 对于n的每一个值,d都有一个对应值，即d是n的函数.
我们来画最简单的二次函数y=x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 y=x2 … 9 4 1 0 1 4
∴y=30x2+10x
九年级数学第22章二次函数
5.（哈尔滨中考）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30 米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边AB 的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S（单位：平方 米）． （1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值 范围）； （2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时 AB的长.
为什么a≠0呢?
九年级数学第22章二次函数
写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之 间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数 关系； （3）菱形的两条对角线的和为26cm，写出菱形的面积S（cm2） 与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
1.正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？ 2.矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米， 宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关 系式． 【解析】 (1)y=x2
(人教版新课标)九年级数学第22章《二次函数》知识小结
函数是初中数学知识的主线，而二次函数是这条主线上的高潮.我们通过探索二次函数与方程的关系，让我们领悟到事物之间相互联系的辨证关系.我们能够利用二次函数解决实际问题，培养数学建模的能力. 【知识结构】【知识梳理】1、定义：形如 c bx ax y ++=2（a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数叫做x 的二次函数. 二次函数的一般形式是c bx ax y ++=2（a≠0），还可以用配方法化为k h x a y +-=2)(的形式，它可直接看出其顶点坐标为（k h ,），故把k h x a y +-=2)(叫做二次函数的顶点式.2、图象：二次函数的图象是抛物线，它是轴对称图形，其对称轴平行于y 轴. 注意：二次函数c bx ax y ++=2的图象的形状、大小、开口方向只与a 有关，所以，c bx ax y ++=2的图象可通过2ax y =的 图象平移得到．平移可按照如下口诀进行：上加下减，左加右减，即向上或向左用加，向下或向右用减.例如，将22x y =向左平移1个单位为()212+=x y ，再向下平移3个单位为()3122-+=x y ．3、性质注意：二次函数的性质要结合图象，认真理解，灵活应用，不要死记硬背． 4、二次函数与一元二次方程的关系对于二次函数c bx ax y ++=2（a≠0），当y =0时，就变成了一元二次方程02=++c bx ax ．二次函数c bx ax y ++=2（a≠0）的图象与x 轴的交点有三种情况： 当ac b 42-﹥0时，有两个交点； 当ac b 42-=0时，有一个交点； 当ac b 42-﹤0时，无交点.当二次函数c bx ax y ++=2（a≠0）的图象与x 轴的有交点时，其交点横坐标就是方程02=++c bx ax 的根． 【易错点剖析】一、忽略二次项系数不等于0例1已知二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围 是（ ）（A ）k ＜3 (B) k ＜3 且k ≠0 (C) k ≤3 (D) k ≤3 且k ≠0 错解:选C.由题意,得△=()26-－4 k ×3≥0,解得k ≤3,故选C.错解分析:当k =0时,二次项系数为0,此时原函数不是二次函数.欲求k 的取值范围,须同时满足:①函数是二次函数;②图象与x 轴有交点,上面的解法只注重了△≥0而忽略了二次项系数不等于0的条件.正解: 选D.由题意,得△=()26-－4 k ×3≥0且k ≠0,即k ≤3 且k ≠0,故应选D. 二、忽略隐含条件例2如图,已知二次函数2y x bx c =++的图象与y 轴交于点A, 与x 轴正半轴交于B,C 两点,且BC ＝2,ABC S ∆ ＝3,则b 的值为( )（A ）-5 (B)4或-4 (C) 4 (D)-4错解: 选 B.依题意BC ＝2,ABC S ∆ ＝3,得点A(0,3),即c ＝3.又BC ＝2,得方程20x bx c ++=的两根之差为2,2-=,解得b =±4.故选B.错解分析:上面的解法忽略了“抛物线的对称轴x ＝-2b在y 轴的右侧”这一隐含条件,正确的解法应是同时考虑-2b＞0,得b ＜0,∴b =4应舍去,故应选D. 正解: 选D.例3 若y 关于x 的函数y =(a -2)x 2-(2a -1)x +a 的图象与坐标轴有两个交点，则a 可取的值是多少？错解：因为函数y =(a -2)x 2-(2a -1)x +a 的图象与坐标轴有两个交点，而其中与y 轴有一个交点(0,a )，则与x 轴就只有一个交点，所以关于x 的一元二次方程y =(a -2)x 2-(2a -1)x +a有两个相等的实数根，所以判别式[-(2a-1)]2-4×(a-2)a=0，解得a=-14.错解分析：本题关于函数的描述是“y关于x的函数”，并没有指明是二次函数，所以需要分“y关于x的一次函数”和“y关于x的二次函数”两种情况进行讨论.当函数y是关于x的二次函数时，函数y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的图象与y轴有一个交点(0,a)，与坐标轴三、忽略数形结合思想方法的应用例4 求二次函数y=2x+4x+5(-3≤x≤0)的最大值和最小值.错解:当x=-3时,y=2; 当x=0时,y=5;所以，-3≤x≤0时,y最小=2,y最大=5.错解分析:上面的解法错在忽略了数形结合思想方法的应用,误以为端点的值就是这段函数的最值.解决此类问题,画出函数图象,借助图象的直观性求解即可.四、求顶点坐标时混淆符号例5 求二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标. 错解1 用配方法y =-x 2+2x -2=-(x 2-2x )-2=-(x 2-2x +1-1)-2=-(x 2-2x +1) -1=-(x -1) 2-1所以二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标为(-1,-1).错解2 用公式法 在二次函数y =-x 2+2x -2中，a =-1，b =2，c =-2，则2122(1)b a ==-⨯-，22424(1)(2)142(1)b ac a --⨯-⨯-==⨯- 所以二次函数y =-x 2+2x -2的顶点坐标为(-1,1).错解分析：二次函数y =a (x -h )2+k 的顶点坐标为(h ,k ),即横坐标与配方后完全平方式中的常数项互为相反数，而非相等，也就是说不是(-h ,k ).二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点坐标为(-2b a ,244b ac a-)，横坐标前面带“-”，纵坐标的分子为4ac -b 2,不要与一元二次方程根的判别式b 2-4ac 混淆.另外，把一般式转化为顶点式，常用配方法，如果二次项系数是1，则常数项为一次项系数一半的平方；如果二次项系数不是1，则先提出二次项系数（注意：不能像解方程一样把二次项系数消去），使括号中的二次项系数变为1，再对括号中进行配方.五、忽视根的判别式的作用例6 已知抛物线y=-12x2)x+m-3与x轴有两个交点A，B，且A，B关于y轴对称，求此抛物线解析式.错解：因为A与B关于y轴对称，所以抛物线对称轴为y轴，即直线x=-02ba==.解得m=6或m=-6.当m=6时，方程抛物线解析式为y=-12x2+3.错解分析：抛物线与x轴有两个交点为A，B，等价于：相应的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以b2-4ac>0.如果忽视根的判别式在解题中的作用，就不能排除不符合题意的解，扩大了解的范围，导致错误.。
2021年广东省中考数学总复习：二次函数(附答案解析)
2021年广东省中考数学总复习：二次函数
一．选择题（共50小题）
1．如图所示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜6的范围内有解，则t的取值范围是（）
A．﹣12＜t＜3B．﹣12＜t≤4C．3＜t≤4D．t＞﹣12
2．抛物线y＝4x2向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（）A．y＝4x2﹣1B．y＝4x2+1C．y＝4（x+1）2D．y＝4（x﹣1）2 3．将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）
A．y＝2（x﹣6）2B．y＝2（x﹣6）2+4
C．y＝2x2D．y＝2x2+4
4．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m （am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（）
A．3B．4C．5D．6
5．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）
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初三数学上册(人教版)第二十二章二次函数22.1知识点总结含同步练习及答案
描述：2.二次函数的图象与性质（）的图象与性质（）的图象与性质（、、 是常数，）的图象与性质所以 ．m =2y =a x 2a ≠0y =a (x −h +k )2a ≠0y =a +bx +c x 2a b c a ≠函数 （）在上的最值问题：y =a +bx +c a ≠0y =a +bx +c x 2a >0m <x <n描述：例题：3.二次函数图象的变换平移“上加下减，左加右减”，上下平移时在整体后面进行加减，左右平移时针对的是 进行加减．对称旋转函数图象旋转可以看成先把原图象上的点（通常我们选择顶点）绕着旋转中心旋转，得到旋转后的点的坐标，即可得到新的函数．x （1） 将二次函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移 个单位后，所得图象的函数表达式是______．（2） 如果保持抛物线 的图象不动，把 轴、 轴分别向上、向右平移 个单位，那么在新坐标系下该抛物线的解析式是_____．解：（1） ；（2） ．（1） “上加下减，左加右减”，上下平移时在整体后面进行加减，左右平移时针对的是 进行加减．（2） 把 轴、 轴分别向上、向右平移 个单位，就相当于把函数分别向下、向左平移 个单位．y =x 212y =2x 2x y 2y =(x −1+2)2y =2(x +2−2)2x x y 22将二次函数 的图象绕坐标原点 旋转 ，则旋转后的图象对应的解析式为______．y =−2x −1x 2O 180∘y =−−2x +12描述：例题：4.二次函数的解析式设一般式 （）若已知条件或根据已知可推出图象上三个点，可以设成一般式，将已知条件代入解析式，得出关于 、、 的三元一次方程组，解方程即可．设顶点式 （）若已知条件或根据已知可推出函数的顶点或对称轴与最值时，可以设成顶点式，将已知条件代入解析式，求出待定系数．设交点式 （）若已知条件或根据已知可推出图象上纵坐标相同的两个点的坐标为 和 时，可以设交点式，将已知条件代入解析式，求出待定系数．解：．可以看成先把原图象上的点绕着坐标原点 旋转 ，得到旋转后的点的坐标，即可得到新的函数．y =−−2x +1x 2O 180∘（1） 抛物线 关于 轴对称的图象为______．（2） 在平面直角坐标系中，先将抛物线 关于 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为____．（3） 将抛物线 的图象绕它的顶点 旋转 ，则旋转后的抛物线的函数关系式为______．解：（1） ；（2） ；（3） ．y =−2x −3x 2x y =+x −2x 2x y y =−2x +1x 2A 180∘y =−+2x +3x 2y =−+x +2x 2y =−+2x −1x 2y =a +bx +c x 2a ≠0a b c y =a (x −h +k )2a ≠0y =a (x −)(x −)+m x 1x 2a ≠0(,m )x 1(,m )x 2二次函数的图象经过 ，， 三点，求该二次函数的解析式．分析：已知条件中给出三个点，所以可以设一般式．解：设二次函数的解析式为 （）．将 ，， 三点代入，得解得即二次函数的解析式为 ．A (1,2)B (0,−1)C (−2,5)y =a +bx +c x 2a ≠0A (1,2)B (0,−1)C (−2,5)⎧⎩⎨a +b +c =2,c =−1,4a −2b +c =5.⎧⎩⎨a =2,b =1,c =−1.y =2+x −1x 2已知二次函数的图象的顶点为 ，且过点 ，求该二次函数的解析式．分析：已知一个顶点和另一个点，所以可以设顶点式．解：设二次函数的解析式为 ．将点 的坐标代入，解得 ．所以二次函数的解析式为 ．A (−1,4)B (2,−5)y =a (x +1+4)2B (2,−5)a =−1y =−(x +1+4=−−2x +3)2x 2已知抛物线与 轴的交点坐标是 ，，且抛物线经过 ，求抛物线的解析x A (−2,0)B (1,0)C (2,8)四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
初中数学第二十二单元 二次函数知识点总结
- 1 -第二十二单元 二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式()2y a x h k =-+的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a > 向上()h k ， X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a <向下 ()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．- 2 -2424b ac b h k a a-=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y a x b x c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac ba-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac ba-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”)04(2422≥--±-=ac b aac b b x二次函数解析式的确定：一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，acx x =21。
人教 初三数学 22章 二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0c ， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y a x b x c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ． 0a < 向下()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+B. 22(1)y x =--C. 221y x =-+D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
第22章《二次函数》小结与复习课件
(2)∵∠F =∠A = 45°，∠CBF =∠ABC = 90°，
∴∠BGF =∠F = 45°，1BG = BF1 = 2x -130. 1
所= 以 32Sx△2D+EF60-xS-△4G5BF0.= 2DE2 - 2BF2 = 2 x2 - 2 (2x - 30)2
若点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且
x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 ( B )
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≤y2 D．y1＞y2
x
【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1， 当 x＜1时，y 随 x 的增大而增大．∵x1＜x2＜1，∴ y1＜y2.
解：W = (x-60)•(-x+120) = -x2+180x-7200 = -(x-90)2 +900，
∵抛物线的开口向下， ∴当 x＜90 时，W 随 x 的增大而增大. 而 60≤x≤60×(1 + 45%)，即 60≤x≤87. ∴当 x = 87 时，W 有最大值，
此时 W = -(87- 90)2 + 900 = 891.
售量 y (件)与销售单价 x (元)符合一次函数 y＝kx＋b，且 x＝65
时，y＝55；x＝75 时，y＝45.
(1) 求一次函数的解析式；
解：根据题意，得
65k 75k
b b
55，解得
45.
k
=
-1，b
=
120.
故所求一次函数的解析式为 y = -x + 120.
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2021年东莞市中考数学复习第22章：二次函数2011-2020东莞市中考十年真题五年模拟一．选择题（共25小题）
1．（2020•东莞市）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正确的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以−b
2a
=1，可得b＝﹣2a，
由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，
即8a+c＜0，故③正确；
由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；
∴结论正确的是②③④3个，
故选：B．
2．（2020•东莞市）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）
A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），
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