2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质同步导学案新人教B版选修1_1

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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质(1)学案新人教A版选修2-1课件

2.2.2 椭圆的简单几何性质 (1学习目标:通过椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质 ; 掌握椭圆的几何性质并能应用性质解决简单的问题 .自主学习:椭圆的简单几何性质学习教材 P43-45内容 , 并填写下表 :思考 :1. 椭圆的离心率的大小与扁平程度的关系椭圆的离心率 e 越大 (越接近 1, 椭圆越 _______; 椭圆的离心率 e 越小 (越接近于 0, 椭圆越 ________.2. 椭圆 134:221=+y x C 与椭圆 11625:222=+y x C 哪个更扁 ? 为什么 ?自主学习 :例 1. 求椭圆 252522=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。

例 2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 :(1 长轴长为 20, 离心率等于54;(2长轴长是短轴长的 2倍 , 且过点 (2,-6(3在 x 轴上的一个焦点与短轴的两端点的连线互相垂直 , 且焦距为 6的椭圆的标准方程为 ______________例 3. 若椭圆 12522=+y m x 的离心率为 31, 求 m 的值思维拓展 : 画出方程 25992x y -=表示的图形2.2.2 椭圆的简单几何性质 (1作业1. 椭圆 369422=+y x 的长轴长为 ______, 短轴长为 _____,离心率为______,焦点坐标 _______________2. 若椭圆的对称轴为坐标轴 , 长轴长与短轴长的和为 18, 焦距为 6, 则椭圆的方程为 _________________3. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程 :(1焦点在 x 轴上 , 31, 6==e a _______________ (2焦点在 y 轴上 , 53, 3==e c ______________ (3经过点 P(-3,0,Q(0,-2___ _______________(4短轴长为 8, 离心率为 53________________4. 若椭圆 1922=+k y x 的离心率为 43, 则 k 值为 _______ 5. 点 P 是椭圆 14522=+y x 上的一点 , 以点 P 及两焦点为顶点的三角形的面积等于 1, 则点 P 的坐标 ________6. 已知椭圆的中心在原点 , 焦点在 x 轴上 , 右焦点到短轴端点的距离为 2, 到右顶点的距离为 1, 求椭圆的方程 .。

高中数学第2章圆锥曲线与方程 2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质应用案

第1课时椭圆的简单几何性质[A 基础达标]1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5、3、0.8 B ．10、6、0.8 C ．5、3、0.6D ．10、6、0.6解析：选B.把椭圆的方程写成标准形式为x 29＋y 225＝1，知a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以2a ＝10，2b ＝6，ca＝0.8.2．一椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则该椭圆的标准方程是( )A.x 216＋y 29＝1或x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1 C.x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1 D ．椭圆的方程无法确定解析：选C.由题可知，a ＝5且c ＝3，所以b ＝4，所以椭圆方程为x 225＋y 216＝1或y 225＋x 216＝1.3．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是( )A.x 24＋y 216＝1或x 216＋y 24＝1B.x 24＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 216＋y 220＝1 解析：选C.由已知a ＝4，b ＝2，椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆方程是x 216＋y 24＝1.故选C.4．已知焦点在x 轴上的椭圆：x 2a2＋y 2＝1，过焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.154D.33解析：选A.椭圆的焦点坐标为(±a 2－1，0)，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1，12，可得a 2－1a 2＋14＝1，解得a ＝2，椭圆的离心率为e ＝a 2－1a ＝32.故选A.5．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，若存在点P 为椭圆上一点，使得∠F 1PF 2＝60°，则椭圆离心率e 的取值X 围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，22 解析：选C.在△PF 1F 2中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ，根据余弦定理，得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°，配方得(m ＋n )2－3mn ＝4c 2，所以3mn ＝4a 2－4c 2，所以4a 2－4c 2＝3mn ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝3a 2，即a 2≤4c 2，故e 2＝c 2a 2≥14，解得12≤e ＜1.故选C.6．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________．解析：依题意得椭圆的焦点坐标为(0，5)，(0，－5)，故c ＝5，又2b ＝45，所以b ＝25，a 2＝b 2＋c 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝17．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的标准方程为________．解析：设椭圆的长半轴长为a ，由2a ＝12知a ＝6. 又e ＝c a ＝32，故c ＝33，所以b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9.所以椭圆标准方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝18．在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点．已知点P (a ，b )，△F 1PF 2为等腰三角形，则椭圆的离心率e ＝________．解析：设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)(c >0)，由题意得|PF 2|＝|F 1F 2|，即（a －c ）2＋b 2＝2c .把b 2＝a 2－c 2代入，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0，解得c a ＝－1(舍去)或c a ＝12.所以e ＝c a ＝12.答案：129．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到长轴上同侧顶点的距离为3.解：(1)由题意知，2c ＝8，c ＝4，所以e ＝c a ＝4a ＝12，所以a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48，所以椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由已知⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝3，所以⎩⎨⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，所以所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. 10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．解：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．如题图所示，则有F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，A (0，b )，B (a ，0)，直线PF 1的方程为x ＝－c ，代入方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得y ＝±b 2a ，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 又PF 2∥AB ，所以△PF 1F 2∽△AOB .所以|PF 1||F 1F 2|＝|AO ||OB |，所以b 22ac ＝ba，所以b ＝2c .所以b 2＝4c 2，所以a 2－c 2＝4c 2，所以c 2a 2＝15.所以e ＝c a ＝55. [B 能力提升]11．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：选C.由题意得F (－1，0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)， OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2，当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：由题意得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c ，0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2＝c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0⇒3c 2＝2a 2⇒e ＝63.答案：6313．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22. (2)由题意知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c2，－3b 2＝32⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.14．(选做题)已知椭圆x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A ，C ，上顶点为B ，过F ，B ，C 三点作⊙P ，且圆心在直线x ＋y ＝0上，求此椭圆的方程．解：设圆心P 的坐标为(m ，n )，因为圆P 过点F ，B ，C 三点，所以圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，FC 的垂直平分线方程为x ＝1－c2.① 因为BC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b 2， k BC ＝－b ，所以BC 的垂直平分线方程为y －b 2＝1b ⎝⎛⎭⎪⎫x －12②由①，②联立，得x ＝1－c 2，y ＝b 2－c2b ，即m ＝1－c 2，n ＝b 2－c2b.因为P (m ，n )在直线x ＋y ＝0上，所以1－c 2＋b 2－c2b ＝0，可得(1＋b )(b －c )＝0，因为1＋b ＞0，所以b ＝c ，结合b 2＝1－c 2得b 2＝12，所以椭圆的方程为x 2＋y 212＝1，即x 2＋2y 2＝1.。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质一课堂导学案新人教B版选修2_1201711093103

）
A.相同的长轴长
B.相同的焦点
C.相同的离心率
D.相同的顶点
答案：C 类题演练 3
已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上，离心率 e= 1 ，又知椭圆上一点 M，它的横坐标等于焦 3
点的横坐标，纵坐标是 4，求此椭圆的方程.
1
b2
8
解：∵e= 3 ，∴ a 2 =1-e2= 9 .
x2 y2 ∴可设所求椭圆方程为 9t 8t =1（t＞0），
∴c2=9t-8t=t，c= t ，M（ t ，4）.
( t)2
∵M 在椭圆上，∴
9 9 ∴t= 4 .
42 8 =t，
x2 故所求椭圆的方程是 81
4
y2 18 =1.
变式提升 3 若椭圆经过原点，且焦点为 F1（1，0），F （3，0），则其离心率为（）
2
3
1
1
3
2
C.
D.
A. 4
B. 3
2
变式提升 1
2
已知点 P（3，6）在以两坐标轴为对称轴的椭圆上，你能根据 P 点的坐标最多可写出椭圆上几
个点的坐标（P 点除外）？这几个点的坐标是什么？
解:根据椭圆关于两坐标轴对称及 P 点的坐标，最多可以写出椭圆上三个点的坐标，这几个点
的坐标分别是（3，-6）、（-3，-6）、（-3，6）.
类题演练 2
点分别为 A1（-1，0），A2（1，0），B1（0，
1 2
），B2（0，
1 2
）.
二、求椭圆的离心率
【例 2】 2006山东潍坊一模，8 在 Rt△ABC 中，AB=AC=1，如果一个椭圆通过 A，B 两点，它的
一个焦点为点 C，另一个焦点在 AB上，则这个椭圆的离心率为（）

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几

2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形.知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考1 观察椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案 (1)范围：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； (2)对称性：椭圆关于x 轴、y 轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b ). 思考2 在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？答案在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a ，b )，(a ，b )，(－a ，－b )，(a ，－b ).梳理椭圆的简单几何性质思考如何刻画椭圆的扁圆程度？答案用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁. 梳理 (1)椭圆的焦距与长轴长的比c a称为椭圆的离心率.(2)对于x 2a 2＋y 2b2＝1，b 越小，对应的椭圆越扁，反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b越接近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图)类型一由椭圆方程研究其简单几何性质例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 解已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6，离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上， ∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)和(0，3). 引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 解由已知得椭圆标准方程为x 219＋y 2116＝1，于是a ＝13，b ＝14，c ＝19－116＝712.∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝74. 焦点坐标(－712，0)和(712，0)，顶点坐标(±13，0)，(0，±14).反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量. 跟踪训练1 求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 解椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长2a ＝18; 短轴长2b ＝6；焦点坐标(0，62)，(0，－62)；顶点坐标(0，9)，(0，－9)，(3，0)，(－3，0).离心率e ＝c a ＝223.类型二椭圆的几何性质简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程.解依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由椭圆的对称性知|B 1F |＝|B 2F |，又B 1F ⊥B 2F ，∴△B 1FB 2为等腰直角三角形， ∴|OB 2|＝|OF |，即b ＝c ，|FA |＝10－5，即a －c ＝10－5，且a 2＝b 2＋c 2，将上面三式联立，得⎩⎨⎧b ＝c ，a －c ＝10－5，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝10，b ＝ 5.∴所求椭圆方程为x 210＋y 25＝1.反思与感悟此类问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置.跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时，椭圆方程为x 213＋y 252＝1.故所求的椭圆方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，c ＝6，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72， ∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1. 命题角度2 对称性问题例3 讨论方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线关于x 轴，y 轴，原点的对称性. 解用“－y ”代替方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1中的“y ”，得－x 3y ＋x 2y 2－xy 3＝1，它改变了原方程，因此方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线不关于x 轴对称. 同理，方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线也不关于y 轴对称.而用“－x ”代替原方程中的“x ”，用“－y ”代替原方程中的“y ”，得(－x )3(－y )＋(－x )2(－y )2＋(－x )(－y )3＝1，即x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1，故方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线关于原点对称.反思与感悟研究曲线关于x 轴，y 轴，原点的对称性，只需用“－y ”代替方程中“y ”，用“－x ”代替方程中的“x ”，同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性. 跟踪训练3 曲线x 2－2y ＋1＝0的对称轴为( ) A.x 轴 B.y 轴 C.直线y ＝x D.无法确定答案 B解析保持y 不变，以“－x ”代替方程中“x ”，方程不变，故该曲线关于y 轴对称.命题角度3 最值问题例4 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P (0，32)到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程.解设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).∵b a＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12，∴a ＝2b . ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.设椭圆上点M (x ，y )到点P (0，32)的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝4b 2(1－y 2b 2)＋y 2－3y ＋94＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3.(*)(1)当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max ＝f (－12)＝4b 2＋3＝7，解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)当－12<－b ，即b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7，解得b ＝7－32>12，与b <12矛盾.综上所述，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.反思与感悟求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.跟踪训练4 已知椭圆x 2m 2－2m ＋y 2m 2－2m －1＝1(3≤m ≤5)，过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右依次为A ，B ，C ，D ，记f (m )＝||AB |－|CD ||. (1)求f (m )的解析式； (2)求f (m )的最大值和最小值.解 (1)设点A ，B ，C ，D 在x 轴上的射影分别为A ′(x 1，0)，B ′(x 2，0)，C ′(x 3，0)，D ′(x 4，0)，则|AB |＝2|x 2－x 1|，|CD |＝2|x 4－x 3|. 又∵x 1＋x 4＝0，且x 1<x 2<x 3<x 4，∴||AB |－|CD ||＝2||x 2－x 1|－|x 4－x 3||＝2|(x 2－x 1)－(x 4－x 3)|＝2|x 2＋x 3|. 将直线y ＝x ＋1代入椭圆方程，整理得[2(m 2－2m )－1]·x 2＋2(m 2－2m )x ＋2(m 2－2m )－(m 2－2m )2＝0， ∴x 2＋x 3＝－2(m 2－2m )2(m 2－2m )－1，∴f (m )＝22(m 2－2m )2(m 2－2m )－1＝2＋22(m －1)2－3，m ∈[3，5]. (2)∵f (m )在[3，5]上是减函数，∴f (m )的最大值为f (3)＝625，最小值为f (5)＝30229.类型三椭圆的离心率的求解例5 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围.解依题意得F 1(－c ，0)，直线l ：y ＝k (x ＋c )，则C (0，kc ).因为点B 为CF 1的中点，所以B (－c 2，kc2).因为点B 在椭圆上，所以(－c2)2a2＋(kc 2)2b2＝1，即c 24a 2＋k 2c 24(a 2－c 2)＝1. 所以e 24＋k 2e 24(1－e 2)＝1，所以k 2＝(4－e 2)(1－e 2)e2. 由|k |≤142，得k 2≤72，即(4－e 2)(1－e 2)e 2≤72，所以2e 4－17e 2＋8≤0. 解得12≤e 2≤8.因为0<e <1，所以12≤e 2<1，即22≤e <1.反思与感悟求e 的取值范围有以下几个步骤： (1)切入点：已知|k |≤142，求e 的取值范围，需建立关于e 的不等式.(2)思考点：①e 与k 有什么关系？②建立e 与k 的等量关系式；③利用B 在椭圆上且为CF 1的中点，构建关于e 与k 的等式；④如何求e 的范围？先用e 表示k ，再利用|k |≤142，求e 的取值范围.(3)解题流程：先写出l 的方程，求出B 点的坐标，由点B 在椭圆上，建立e 与k 的关系式，再求e 的范围.跟踪训练5 已知点P (m ，4)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为________.答案 35解析一方面△PF 1F 2的面积为12(2a ＋2c )·r ；另一方面△PF 1F 2的面积为12|y p |·2c ，∵12(2a ＋2c )·r ＝12|y p |·2c ，∴(a ＋c )·r ＝|y p |·c ， ∴a ＋c c ＝|y p |r . ∴a c＋1＝|y p |r，又y p ＝4，∴a c ＝|y p |r －1＝432－1＝53，∴椭圆的离心率为e ＝c a ＝35.1.已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12 答案 B解析由2x 2＋3y 2＝m (m >0)，得x 2m 2＋y 2m3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m 6，∴e 2＝13，∴e ＝33.2.与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是( ) A.x 22＋y 24＝1 B.x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 答案 B解析由已知c ＝5，b ＝1，故椭圆的标准方程为y 26＋x 2＝1.3.若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3，0)，则此椭圆的标准方程为________. 答案x 225＋y 216＝1 解析据题意a ＝5，c ＝3，故b ＝a 2－c 2＝4，又焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.4.已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________. 答案 [4－23，4＋23]解析因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23].5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为________. 答案 (0，±69)解析由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69).1.可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理.2.椭圆的定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)，在解题中经常将|PF 1|·|PF 2|看成一个整体灵活应用.3.利用正弦、余弦定理处理△PF 1F 2的有关问题.4.椭圆上的点到一焦点的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .40分钟课时作业一、选择题1.椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A.7，2，357B.14，4，357C.7，2，57D.14，4，－57答案 B解析先将椭圆方程化为标准形式：x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝3 5.2.焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 答案 A解析依题意得c ＝25， a ＋b ＝10 ，又a 2＝b 2＋c 2从而解得a ＝6，b ＝4.3.若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.23答案 B解析 ∵a 2＝2，b 2＝m ，e ＝ca＝1－b 2a 2＝ 1－m 2＝12，∴m ＝32. 4.椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( ) A.2m －1m －1B.－2－mmC.2m mD.－21－mm －1答案 C解析椭圆方程可简化为x 211＋m ＋y 21m＝1，由题意知m >0，∴11＋m <1m ，∴a ＝mm ，∴椭圆的长轴长2a ＝2mm.5.已知椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2，离心率e ＝12，则椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1B.x 24＋y 2＝1C.x 24＋y 23＝1D.x 23＋y 24＝1 答案 C解析因为|F 1F 2|＝2，离心率e ＝12，所以c ＝1，a ＝2，所以b 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.6.设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.34 D.45 答案 C解析设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°，在Rt△PF 2M 中，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，|F 2M |＝3a2－c ，故cos 60°＝|F 2M ||PF 2|＝32a －c2c ＝12，解得c a ＝34，故离心率e ＝34.二、填空题7.已知椭圆C 的上，下顶点分别为B 1，B 2，左，右焦点分别为F 1，F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则此椭圆的离心率e ＝________. 答案22解析因为四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22. 8.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________. 答案x 25＋y 24＝1 解析 ∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线. ∴椭圆的右焦点为(1，0)，即c ＝1.设P (1，12)，则k OP ＝12，∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y轴的交点为(0，2).∴b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.9.若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为____________. 答案x 243＋y 213＝1或y 243＋x 213＝1 解析由题意可知a ＝2b ，c ＝1，所以1＋b 2＝4b 2，故b 2＝13，a 2＝43，则此椭圆的标准方程为x 243＋y 213＝1或x 213＋y 243＝1. 10.已知P 点是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上异于顶点的任一点，且∠F 1PF 2＝60°，则这样的点P有________个. 答案 4解析依据椭圆的对称性知，四个象限内各有一个符合要求的点. 三、解答题11.已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上.(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质. 解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6，0)，(－6，0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)，焦点坐标(0，6)，(0，－6)；④离心率：e ＝35.12.若椭圆x 2k ＋2＋y 24＝1(k >－2)的离心率为e ＝13，求k 的值. 解当焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋2，b 2＝4，c 2＝k －2，∴e 2＝c 2a 2＝k －2k ＋2＝19，∴k ＝52.当焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝k ＋2，c 2＝2－k ，∴e 2＝c 2a 2＝2－k 4＝19，∴k ＝149，故k ＝52或k ＝149.13.已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A (5，0)，求此椭圆的标准方程.解方法一若椭圆的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5×2b ，25a 2＋0b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.方法二设椭圆方程为x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，m ≠n )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧25m ＋0n ＝1，2m ＝5×2n或⎩⎪⎨⎪⎧25m ＋0n ＝1，2n ＝5×2m .解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝25，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝25，n ＝625.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.。

[推荐学习]高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.3椭圆的几何性质二课堂导学案

2.1.3 椭圆的几何性质（二）课堂导学三点剖析一、椭圆的第二定义【例1】椭圆92522y x +=1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，求P 到右焦点的距离.解法一：如图，设P 到左、右准线的距离分别为d 1,d 2，则d 1+d 2=45022=c a =12.5. 又d 1=2.5,所以d 2=10. 又54||22==e dPF , ∴|PF 2|=.81054·542=⨯=d 解法二：由54||11==a c d PF 及d 1=2.5, 得|PF 1|=54·d 1=2. 又|PF 1|+|PF 2|=2a =10,∴|PF 2|=10-|PF 1|=8.温馨提示根据椭圆的第二定义，往往把椭圆上的点到焦点的距离转化到该点到相应准线的距离.二、焦半径【例2】对于椭圆2222by a x +=1.(a ＞b ＞0)它的左、右焦点分别是F 1(-c ,0)和F 2(c ,0),P (x 0,y 0)是椭圆上的任一点，求证：|PF 1|=a +ex 0,|PF 2|=a -ex 0，其中e 是椭圆的离心率. 证明：椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的两焦点 F 1(-c ,0)、F 2(c ,0),相应的准线方程分别是x =ca 2-2和x =c a 2. ∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率.∴.||,||022201e x ca PF e c a x PF =-=+ 化简得：|PF 1|=a +ex 0,|PF 2|=a -ex 0.温馨提示|PF 1|、|PF 2|都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦点半径.|PF 1|=a +ex 0,|PF 2|=a -ex 0称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远(近)点为长轴端点.三、利用椭圆第二定义求最值【例3】已知定点A (-2，3)，点F 为椭圆121622y x +=1的右焦点，点M 的椭圆上移动时，求|AM |+2|MF |的最小值，并求此时点M 的坐标.解析：由椭圆方程，得a =4,b =23,c =2,∴e =21,右焦点F (2，0)，右准线l ：x =8. 设点M 到右准线l 的距离为d ,则21||==e d MF ,即|2MF |=d . ∴|AM |+2|MF |=|AM |+d .由于A 在椭圆内，过A 作A K⊥l ，K 为垂足，易证|AM |即为|AM |+d 的最小值，其值为8-(-2)=10. 此时M 点纵坐标为3，得横坐标为23.∴|AM |+2|MF |的最小值为10，这时点M 的坐标为(23，3).温馨提示(1)转化是一种重要的数学思想，本题利用第二定义，将看似没有“出路”的问题巧妙地化解了.(2)本题实际上要求对椭圆的第二定义有深刻的理解，在后面的双曲线、抛物线中也有类似问题，注意总结规律.各个击破类题演练1 在椭圆92522y x +=1上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍. 解析：设P 点的坐标为(x ,y )，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点.∵椭圆的准线方程为x =±425, ∴,425||425||21x PF x PF -=+ ∵|PF 1|=2|PF 2|, ∴.1225,425||425||222=∴-=+x x PF x PF 把x =1225代入方程92522y x +=1 得y =±.4119 因此，P 点的坐标为(4119,1225±).变式提升1点M (x ,y )与定点(3，0)的距离和它到直线l ：x =325的距离的比是常数53，求点M 的轨迹方程.解：设d 是点M 到直线l ：x =325的距离. 由题意,点M 的轨迹就是集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==53|||d MF M P 由此的53|325|)3(22=-+-x y x 化简得16x 2+25y 2=400 即162522x x +=1类题演练2设椭圆的左焦点为F ，AB 为椭圆中过F 的弦，试判断以AB 为直径的圆与左准线的位置关系. 解：设M 为弦AB 的中点(即圆心)，A ′，B ′，M ′分别是A ，B ，M 的准线l 上的射影，由椭圆第二定义，得|AB |=|AF |+|BF |=e (|AA ′|+|BB ′|).∵0＜e ＜1,∴|AB |＜|AA ′|+|BB′|=2|MM ′|,∴2||AB ＜|MM ′|, ∴以AB 为直径的圆与左准线相离.变式提升2 椭圆92522y x +=1上一点P 到两焦点的距离之积为m ,则当m 取得最大值时，点P 的坐标是( )A.(5，0)和(-5，0)B.(233,25)和(233,25-) C.(0，3)和(0，-3) D.(23,235-)和(23,325-) 解析：设d 1,d 2是点P 到两焦点的距离于是m =d 1·d 2=(a +ex 0)·(a -ex 0)=a 2-e 2x 0.由于-5≤x 0≤5,所以当x 0=0时，m 取得最大值a 2.因此，点P 的坐标为(0，3)和(0，-3).答案：C类题演练3设P (x 0,y 0)是椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)上任意一点，F 1为其左焦点. (1)求|PF 1|的最小值和最大值；(2)在椭圆52522y x +=1上求一点P ，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直. 解：(1)对应于F 1的准线方程为x =c a 2-,根据椭圆的第二定义：e ca x PF =+201|| ∴|PF 1|=a +ex 0.又-a ≤x 0≤a .∴当x 0=-a 时，|PF 1|min =a +ac (-a )=a -c ;当x 0=a 时，|PF 1|max =a +ac ·a =a +c . (2)∵a 2=25,b 2=5,∴c 2=20,e 2=54. ∵|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2,∴(a +ex 0)2+(a -ex 0)2=4c 2.将数据代入得25+54x 20=40. ∴x 0=±235,代入椭圆方程得P 点的坐标为(235，25)，(235，-25)，(-235，25)，(-235，-25)变式提升3 椭圆4522y x +=1的右焦点为F ，设A (3,25-)，P 是椭圆上一动点，则|AP |+5|PF |取最小值时，P 的坐标为( )A.(5，0)B.(0，2)C.(3,25)D.(0，-2)或(0，2)解析：e =55,那么5|PF |为点P 到右准线距离，则过A 作右准线垂线与椭圆的交点即为所求P 点.故选C答案：C。

2017-2018学年高中数学选修2-1学案：2-2-2 椭圆的简单

2.2.2椭圆的简单几何性质(二)学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一点与椭圆的位置关系思考1判断点P(1,2)与椭圆x24＋y2＝1的位置关系．思考2类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？梳理设P(x0，y0)，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：知识点二直线与椭圆的位置关系思考1直线与椭圆有几种位置关系？思考2如何判断y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系？梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆________；若Δ＝0，则直线和椭圆________；若Δ<0，则直线和椭圆________． (2)根与系数的关系及弦长公式设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做________．下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，将y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m 代入上式，得|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2＝(x 1－x 2)2＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中x 1＋x 2与x 1x 2均可由根与系数的关系得到．(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.例如，直线l ：y ＝k (x －2)＋1和椭圆x 216＋y 29＝1.无论k 取何值，直线l 恒过定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线l 必与椭圆相交．类型一点、直线与椭圆位置关系的判断命题角度1 点与椭圆位置关系的判断引申探究若将本例中P 点坐标改为“P (1，k )”呢？例1 已知点P (k,1)，椭圆x 29＋y 24＝1，点在椭圆外，则实数k 的取值范围为____________．反思与感悟处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．跟踪训练1 已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则( )A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．以上都不正确命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断例2 (1)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围．反思与感悟直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程 (1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点． (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点． (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．跟踪训练2 (1)已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 236＝1，则直线l 与椭圆C 的公共点的个数为( )A ．1B ．1或2C ．2D ．0(2)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33类型二弦长及中点问题例3 已知椭圆x 216＋y 24＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．引申探究在本例中求弦AB 的长．反思与感悟直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程．跟踪训练3 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．反思与感悟求最值问题的基本策略(1)求解形如|P A |＋|PB |的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|P A |＋|PB |取得最值．(2)求解形如|P A |的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．跟踪训练4 已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，|AM →|＝1，且PM →·AM→＝0，求|PM →|的最小值．1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2<a < 2B ．a <－2或a > 2C ．－2<a <2D ．－1<a <12．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．4．若直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1恒有两个公共点，则b 的取值范围为________．5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点，且|MN |＝423，求直线l 的方程．1．直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长． (2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝ (1＋1k2)(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线斜率)．(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 2．解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y )，则另一交点为B (2x 0－x,2y 0－y )，则⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，(2x 0－x )2a 2＋(2y 0－y )2b 2＝1，两式作差即得所求直线方程．特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错．答案精析问题导学知识点一思考1 当x ＝1时，得y 2＝34，故y ＝±32，而2>32，故点在椭圆外．思考2 当P 在椭圆外时，x 20a 2＋y 20b 2>1；当P 在椭圆上时，x 20a 2＋y 20b 2＝1；当P 在椭圆内时，x 20a 2＋y 20b 2<1.知识点二思考1 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．思考2 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程梳理 (1)相交相切题型探究例1 (－∞，－332)∪(332，＋∞)解析据题知k 29＋14>1，解得k <－332或k >332.引申探究(－∞，－423)∪(423，＋∞)解析依题19＋k 24>1，解得k 2>329，即k <－423或k >423.跟踪训练1 C [由已知得9a 2＋4b2＝1，只有选项C 符合该条件．]例2 (1)A [直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．](2)解由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1.整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.跟踪训练2 (1)C (2)C例3 解方法一根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)．将其代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根，于是x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1.又M 为线段AB 的中点， ∴x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1＝2，解得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法二点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2. ∵M (2,1)为线段AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又A ，B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16，两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝－44×2＝－12，即k AB ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法三对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )，由于点M (2,1)为线段AB 的中点，则另一个交点为B (4－x,2－y )． ∵A ，B 两点都在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16， ①(4－x )2＋4(2－y )2＝16. ②①－②，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 引申探究解由上例得直线AB 方程为x ＋2y －4＝0.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，消去y 并整理，得x (x －4)＝0，得x ＝0或x ＝4，得两交点坐标A (0,2)，B (4,0)，故|AB |＝(0－4)2＋(2－0)2＝2 5.跟踪训练3 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝ (x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)36(y 2＋y 1)，由于P (4,2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.例4 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .跟踪训练4 解由|AM →|＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵PM →·AM →＝0且P 在椭圆上运动，∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连接P A (如图)，则|PM →|＝|P A →|2－|AM →|2 ＝|P A →|2－1， ∴当|P A →|min ＝a －c ＝5－3＝2时，|PM →|min ＝ 3.当堂训练1．A 2.C 3.27 4.(－2,2)5．解设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝0. 由|MN |＝423，得 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329，所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329，所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329，即(1＋k 2)(－4k 1＋2k 2)2＝329，化简得k 4＋k 2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.所以所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.。

[配套K12]2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质(一)学案新人教B版选修2-1

2.2.2 椭圆的几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考1 观察椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？思考2 在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？梳理椭圆的简单几何性质知识点二椭圆的离心率思考如何刻画椭圆的扁圆程度？梳理 (1)椭圆的焦距与长轴长的比e ＝______称为椭圆的离心率．(2)对于x 2a 2＋y 2b2＝1，b 越小，对应的椭圆越______，反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图)类型一由椭圆方程研究其简单几何性质例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．反思与感悟解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1 求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．类型二椭圆几何性质的简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为10－5，求这个椭圆的方程．反思与感悟此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置．跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.命题角度2 对称性问题例3 讨论方程x3y＋x2y2＋xy3＝1所表示的曲线关于x轴，y轴，原点的对称性．反思与感悟研究曲线关于x轴，y轴，原点的对称性，只需用“－y”代替方程中的“y”，用“－x”代替方程中的“x”，或同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性．跟踪训练3 曲线x2－2y＋1＝0的对称轴为( )A．x轴B．y轴C．直线y＝x D．无法确定命题角度3 最值问题例4 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝32，已知点P(0，32)到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程．反思与感悟求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．跟踪训练4 已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．2 2 类型三椭圆离心率的求解例5 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，斜率为k 的直线l 过左焦点F 1且与椭圆的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，且B 为线段CF 1的中点，若|k |≤142，求椭圆离心率e 的取值范围．反思与感悟求e 的取值范围有以下几个步骤： (1)切入点：已知|k |≤142，求e 的取值范围，需建立关于e 的不等式．(2)思考点：①e 与k 有什么关系？②建立e 与k 的等量关系式；③利用B 在椭圆上且为CF 1的中点，构建关于e 与k 的等式；④如何求e 的范围？先用e 表示k ，再利用|k |≤142，求e 的取值范围．(3)解题流程：先写出l 的方程，求出B 点的坐标，由点B 在椭圆上，建立e 与k 的关系式，再求e 的范围．跟踪训练5 已知点P (m ，4)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率为________．1．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.122．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y 25＝1 3．若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3，0)，则此椭圆的标准方程为________．4．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为________．1．可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．2．椭圆的定义式：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)，在解题中经常将|PF 1|·|PF 2|看成一个整体灵活应用．3．利用正弦、余弦定理处理△PF 1F 2的有关问题．4．椭圆上的点到一焦点的最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .提醒：完成作业第二章 2.2.2(一)答案精析问题导学知识点一思考1 (1)范围：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； (2)对称性：椭圆关于x 轴、y 轴、原点都对称； (3)特殊点：顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )．思考2 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(－a ，b )，(a ，b )，(－a ，－b )，(a ，－b )．梳理 x 2a 2＋y 2b 2＝1 y 2a 2＋x 2b2＝1 (±c ，0) (0，±c ) a b b a 2a 2b知识点二思考用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁．梳理 (1)c a(2)扁题型探究例1 解已知方程化成标准方程为 x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6，离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上， ∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)，四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)和(0，3)．引申探究解由已知得椭圆标准方程为x 219＋y 2116＝1，于是a ＝13，b ＝14，c ＝19－116＝712. ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝74. 焦点坐标为(－712，0)和(712，0)，顶点坐标为(±13，0)，(0，±14)．跟踪训练1 解椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，焦点坐标为(0，62)，(0，－62)，顶点坐标为(0，9)，(0，－9)，(3，0)，(－3，0)．离心率e ＝c a ＝223.例2 解依题意，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由椭圆的对称性知|B 1F |＝|B 2F |，又B 1F ⊥B 2F ，∴△B 1FB 2为等腰直角三角形， ∴|OB 2|＝|OF |，即b ＝c ，|FA |＝10－5，即a －c ＝10－5，且a 2＝b 2＋c 2，将上面三式联立，得⎩⎨⎧b ＝c ，a －c ＝10－5，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝10，b ＝ 5.∴所求椭圆方程为x 210＋y 25＝1.跟踪训练2 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时，椭圆方程为x 213＋y 252＝1.故所求的椭圆方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1. (2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，c ＝6，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72， ∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1.例3 解用“－y ”代替方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1中的“y ”，得－x 3y ＋x 2y 2－xy 3＝1，它改变了原方程，因此方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线不关于x 轴对称．同理，方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线也不关于y 轴对称．而用“－x ”代替原方程中的“x ”，用“－y ”代替原方程中的“y ”，得(－x )3(－y )＋(－x )2(－y )2＋(－x )(－y )3＝1，即x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1，故方程x 3y ＋x 2y 2＋xy 3＝1所表示的曲线关于原点对称．跟踪训练3 B例4 解设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵b a＝ a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12， ∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.设椭圆上点M (x ，y )到点P (0，32)的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝4b 2(1－y 2b 2)＋y 2－3y ＋94＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3，(*)令f (y )＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3.(1)当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max ＝f (－12)＝4b 2＋3＝7，解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)当－12<－b ，即0<b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7，解得b ＝7－32>12，与b <12矛盾．综上所述，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.跟踪训练4 C例5 解依题意得F 1(－c ，0)，直线l ：y ＝k (x ＋c )，则C (0，kc )．因为点B 为CF 1的中点，所以B (－c 2，kc2)．因为点B 在椭圆上，所以－c22a 2＋kc22b 2＝1，即c 24a2＋k 2c 2a 2－c 2＝1.所以e 24＋k 2e 2－e2＝1，所以k 2＝－e2－e2e 2.由|k |≤142，得k 2≤72，即－e2－e2e2≤72，所以2e 4－17e 2＋8≤0. 解得12≤e 2≤8.因为0<e <1，所以12≤e 2<1，即22≤e <1.跟踪训练5 35当堂训练1．B 2.B 3.x225＋y216＝14．[4－23，4＋23] 5.(0，±69)。

高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质教案新人教A版选修2-1

(3)椭圆的对称轴是坐标轴,怎么用方程
研究两条直线与椭圆的位置关系呢?
考查学生对曲线与方程概念的理解；
应用不等关系解释椭圆的范围,体会椭圆方程中两个变量的关系对应的图形的位置；
应用方程的特点研究满足方程的解对应的对称性；
应用方程研究对称轴与椭圆的位置关系.
研究椭圆的离心率
从方程中的量的变化分析椭圆形状的变化,找到刻画椭圆扁圆程度的量.
理解椭圆离心率的定义；
结合椭圆中数量的变化研究离心率对椭圆形状的影响.
应用方程研究曲线的几何性质
课堂小结
利用方程研究曲线几何性质的方法解决新问题
例1．
研究椭圆的性质
例2.（卡西尼卵形线）条件？曲线有哪些几何性质？
利用方程研究焦点在y轴的椭圆性质.
从方程出发探究曲线上的点的几何性质并研究椭圆的几何性质,体会解析几何的思想。
(3)椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个点叫做椭圆的顶点。
.问题1：
怎样理解椭圆的标准方程
?
问题2：
(1)从椭圆的标准方程能得到椭圆上的
点的横纵坐标分别满足什么条件?
对应的不等式有什么几何意义?
这个矩形与椭圆有什么关系?
(2)点满足椭圆的标准方程,还
有哪些点也满足椭圆的标准方程呢?分别反映了哪些几何性质?
椭圆的焦距与长轴的的比叫做椭圆的离心率.
离心率相同的椭圆扁圆程度相同；
越趋近1,椭圆越扁；
越趋近0,椭圆越趋近于圆.
问题3:分析下列各组中的椭圆有什么关系 ?
(1)
(2)
(3)
问题4:离心率的变化是怎样影响椭圆的形状的?
结合图形,分析几何变量,从方程中选定数量刻画椭圆的扁圆程度,体会数形结合的方法;

2017-2018学年人教B版高中数学选修1-1第二章圆锥曲线

2.2.2 双曲线的几何性质课堂导学三点剖析一、双曲线的渐近线【例1】求双曲线16x 2-9y 2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程.解析：把方程16x 2-9y 2=-144化为标准方程222234x y -=1.因此可知，实半轴长a =4,虚半轴长b =3;c =22b a +=5, 焦点坐标为(0，-5)，(0，5)；离心率e =45=a c ; 顶点坐标为(0，-4)，(0，4)；渐近线方程为y =±34x . 温馨提示双曲线2222b y a x -=1(a ＞0,b ＞0)的渐近线为y =±a bx ,双曲线2222bx a y -=1的渐近线为x =±a by ，即y =±ba x ,应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点. 二、双曲线的离心率【例2】双曲线2222by a x -=1(a ＞1,b ＞0)的焦距为2c ,直线l 过点(a ,0)和(0,b ),且点(1，0)到直线l 的距离与点(-1，0)到直线l 的距离之和s ≥54c .求双曲线的离心率e 的取值范围. 解：直线l 的方程为bya x +=1,即bx +ay -ab =0. 由点到直线的距离公式，且a ＞1,得到点(1，0)到直线l 的距离d 1=22)1(ba ab +-.同理得到点(-1，0)到直线l 的距离：d 2=22)1(b a a b ++,s =d 1+d 2=cabb a ab 2222=+.由s ≥５４c ,得,542c c ab ≥ 即5a 22a c -≥2c 2.于是得512-e ≥2e 2, 即4e 4-25e 2+25≤0. 解不等式，得45≤e 2≤5. 由于e ＞1＞0, 所以e 的取值范围是25≤e ≤5. 温馨提示本题通过构造法来求离心率的取值范围，考查了不等式的数学思想，点到直线的距离公式，双曲线的基本性质，以及综合运算能力. 三、直线与双曲线的位置关系【例3】已知直线y =ax +1与双曲线3x 2-y 2=1交于A 、B 两点 (1)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值； (2)是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线y =21x 对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由.解析：(1)由⎩⎨⎧=-+=13,122y x ax y 消去y ，得 (3-a 2)x 2-2ax -2=0.①依题意⎩⎨⎧>∆≠-,0,032a即-6＜a ＜6且a ≠±3.②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=+④③ .32 ,32221221a x x a a x x∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB . ∴x 1x 2+y 1y 2=0.但y 1y 2=a 2x 1x 2+a (x 1+x 2)+1,由③④，x 1+x 2=232a a -,x 1x 2=232a --. ∴(a 2+1)·232a --+a ·232aa -+1=0. 解得a =±1且满足②.(2)假设存在实数a ，使A 、B 关于y =21x 对称，则直线y =ax +1与y =21x 垂直， ∴a ·21=-1，即a =-2. 直线l 的方程为y =-2x +1. 将a =-2代入③得x 1+x 2=4. ∴AB 中点横坐标为2，纵坐标为y =-2×2+1=-3.但AB 中点(2，-3)不在直线y =21x 上, 即不存在实数a ，使A 、B 关于直线y =21x 对称.各个击破类题演练1求满足下列条件的双曲线方程(1)以2x ±3y =0为渐近线，且经过点(1，2)；(2)与椭圆x 2+5y 2=5共焦点且一条渐近线方程为y -3x =0.解：(1)设所求双曲线方程为4x 2-9y 2=λ,点(1，2)在双曲线上,点的坐标代入方程可得λ=-32,∴所求双曲线方程为4x 2-9y 2=-32,即.1832922=-x y (2)由已知得椭圆x 2+5y 2=5的焦点为(±2，0)，又双曲线的一条渐近线方程为y -3x =0,则另一条渐近线方程为y +3x =0.设所求双曲线方程为3x 2-y 2=λ(λ＞0),则a 2=3λ,b 2=λ. ∴c 2=a 2+b 2=34λ=4,即λ=3, 故所求的双曲线方程为x 2-32y =1.变式提升1设P 是双曲线9222y ax -=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x -2y =0,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若｜PF 1｜=3，则｜PF 2｜=( ) A.1或5 B.6 C.7D.9解：由双曲线方程19222=-y ax ,得b =3.∵渐近线方程为y =±a b x ,已知其渐近线方程为3x -2y =0,即y =23x ∴23=a b ∴a =2. 由双曲线定义｜｜PF 1｜-｜PF 2｜｜=2a ∵｜PF 1｜=3 ∴｜PF 2｜=7或｜PF 2｜=-1(舍) ∴｜PF 2｜=7，故正确答案为C.类题演练2已知双曲线2222y ax -=1(a ＞2)的两条渐近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为( )A.2B.3C.362 D.332 解析：双曲线2222y ax -=1(a ＞2).∴渐近线斜率分别为k 1=a2,k 2=-a 2. ∴tan ,2.|2122|3π2a t aa =-设 ∴3t 2+2t -3=0.解之，得t =33或-3(舍去). ∴a =6.∴e =.33222=+=a a a c答案：D变式提升2已知双曲线2222by a x -=1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且｜PF 1｜=4｜PF 2｜，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.34 B.35 C.2D.37 解：由双曲线的第二定义可得｜PF 1｜=e (x 0+c a 2)=ex 0+a ,｜PF 2｜=e (x 0-ca 2)=ex 0-a ∵｜PF 1｜=4｜PF 2｜ ∴ex 0+a =4(ex 0-a ) 解得e =0·35x a ∵x 0≥a ＞0 ∴当且仅当x 0=a 时，e 取最大值35.故正确答案为B.类题演练3已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为2且过点(4，-10). (1)求双曲线的标准方程；(2)直线x =3与双曲线交于M 、N 两点，求证：F 1M ⊥F 2M .(1)解：由双曲线的离心率为2，即222,2ab a ac +=则=2, ∴a =b ,即双曲线为等轴双曲线.可设其方程为x 2-y 2=λ(λ≠0). 由于双曲线过点(4，-10).则42-(-10)2=λ.∴λ=6.∴双曲线方程为.16622=-y x (2)证明：由(1)可得F 1、F 2的坐标分别为(-23，0)、(23，0)，M 、N 的坐标分别为(3，3)、(3，-3).∴k F 1M =.3233,32332-=+M F k故k F 1M ·k F 2M =.13233·3233-=-+∴F 1M ⊥F 2M .变式提升3已知直线y =kx -1与双曲线x 2-y 2=1的左支交于A 、B 两点，若另一条直线l 过点P (-2，0)及线段AB 的中点Q ，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围.解析：由方程,1122⎩⎨⎧=--=y x kx y 消去y ,整理得 (1-k 2)x 2+2kx -2=0. 由题设得120120120)1(8401222222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=<--=+>-+=∆≠-k k x x k k x x k k k 解得：设A 、B 两点坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)则).11,1(121222221221--∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+k k k Q k y y k k x x ∴直线l 的方程为y =),2(2212+-+x k k令x =0,得直线l 在y 轴上截距b =.2222-+k k∵-2＜k ＜-1,∴截距b 的取值范围是：(-∞,-2)∪(2+2,+∞).。

[配套K12]2017-2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.1.2.2 椭圆方程及性质

2.1.2.2 椭圆方程及性质的应用课时达标训练1.已知点(2,3)在椭圆+=1上,则下列说法正确的是( )A.点(-2,3)在椭圆外B.点(3,2)在椭圆上C.点(-2,-3)在椭圆内D.点(2,-3)在椭圆上【解析】选D.根据椭圆的对称性知,点(2,-3)在椭圆上.2.直线y=x+1被椭圆+=1所截得的弦的中点坐标是( )A. B.C. D.【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2)为直线与椭圆的交点,中点为M(x0,y0), 由得3x2+4x-2=0.x0==·=-,y0=x0+1=,所以中点坐标为.3.直线y=x+1与椭圆x2+=1的位置关系是( )A.相离B.相切C.相交D.无法确定【解析】选C.联立消去y,得3x2+2x-1=0,Δ=22+12=16>0,所以直线与椭圆相交.4.若直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆+=1的交点个数为________.【解析】因为直线mx+ny=4与圆x2+y2=4没有交点,所以>2,所以m2+n2<4.即点P(m,n)在以原点为圆心,以2为半径的圆内,故直线mx+ny=4与椭圆+=1有两个交点. 答案:25.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,求椭圆的长轴长.【解析】设椭圆方程为mx2+ny2=1(0<m<n),联立方程组消去x得:(3m+n)y2+8my+16m-1=0,Δ=192m2-4(16m-1)(3m+n)=0,整理得:3m+n=16mn,即+=16.①又c=2,焦点在x轴上,故-=4,②联立①②,解得故椭圆的长轴长为2.。

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2.1.2椭圆的几何性质
学习目标：1使学生能根据椭圆的标准方程指出椭圆的范围、顶点、对称轴及对称中心
2 让学生能熟练掌握基本量cba,,之间的关系及其几何意义
3.使学生掌握离心率的概念及其几何意义，能够熟练地利用基本量求离心率和利
用离心率求基本量。
德育目标：通过本节课的学习，使学生进一步体会曲线与方程的对应关系，感受圆锥曲线在
刻画现实世界和解决实际问题中的作用
重点：通过图形和方程两个角度的认识，掌握椭圆的简单几何性质
难点：结合不同椭圆形状变化，体会离心率的大小与椭圆扁平程度的关系。能够熟练地求离
心率以及利用离心率解决问题
活动一：自主预习，知识梳理
一．焦点在x轴，y轴上的椭圆的几何性质与特征的比较
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程

图形
范围
对称性对称轴为，对称中心为

顶点
轴长
长轴长为，短轴长为
焦点
1F ,2F 1
F
,2F
焦距
离心率 e ，其中c=
二．离心率的大小对椭圆形状的影响

1.当e趋近于1时，c趋近于，从而22cab越小，因此椭圆
越；
2.当e趋近于0时，c趋近于0，从而b趋近于a，因此椭圆越接近与。
椭圆与圆是两种不同的曲线，椭圆的离心率满足不等式10e时。当0e时，曲线就变
为圆了。
活动二：问题探究
如图所示，在椭圆中的22BOF中，能否找出ecba,,,对应的线段或量
活动三：要点导学，合作探究
要点一：利用椭圆的标准方程研究其几何性质
例1：求椭圆369422yx的长轴长和短轴长、焦点坐标及顶点坐标，并用描点法画出
它的图形

练习：P42练习A
要点二利用椭圆的几何性质求其标准方程
例2：（1）椭圆的长轴长为102，一个焦点坐标为（2,0），则它的标准方程为

（2）已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为23，且G上一点到
G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G
的方程为

要点三与椭圆的离心率有关的问题
例3：设21,FF是椭圆)0(1:2222babyaxE的左右焦点，P为直线23ax上一点，
12
PFF
是底角为30的等腰三角形，求E的离心率

要点四：椭圆中的最值问题
例4：如图所示，点A,B分别是椭圆1203622yx长轴的左右顶点，点F是椭圆的右焦点，
点P在椭圆上，且位于x轴上方，PFPA.
(1) 求P点的坐标
(2) 设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距
离d的最小值

小结：
反思：

作业：P43练习B