陈纪修《数学分析》配套题库【课后习题】(数列极限)
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第2章 数列极限【圣才出品】
不能随便舍去。
（2）数列极限
设{xn}是一给定数列，a 是一个实常数。如果对于任意给定的 ε>0，可以找到正整数
N，使得当 n>N 时，成立
|xn－a| < ε，
则称数列{xn}收敛于 a（或 a 是数列{xn}的极限），记为
有时也记为
如果不存在实数 a，使{xn}收敛于 a，则称数列{xn}发散。 注：在上述的收敛定义中，ε 既是任意的，又是给定的： ①只有当 ε 确定时，才能找到相应的正整数 N。这时 ε 是给定的； ②改变数列前面的有限项，不影响数列的收敛性。这时 ε 是任意的； （3）无穷小量 在收敛的数列中，称极限为 0 的数列为无穷小量。无穷小量是一个变量，而不是一个
（1）定义
，则{xnyn}与 都是无穷大量。
如∞±∞，（+∞）-（+∞），（+∞）+（-∞），0·∞，
等极限，其结果可以是无穷
小量，或非零极限，或无穷大量，也可以没有极限。我们称这种类型的极限为待定型。
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（2）如果数列{xn}满足 xnxn+1，n=1，2，3，…，则称{xn}为单调增加数列；若进一
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max S 是这有限个数中的最大数，min S 是这有限个数中的最小数；
②当 S 是无限集时，最大数及最小数不一定存在。
3．上确界与下确界
（1）上界、下界与有界集
设 S 是一个非空数集，如果 M∈R，使得 x ∈S ，都有 x≤M，则称 M 是 S 的一个
但它并不收敛。
国家精品课程 《数学分析》陈纪修
第十二章 第一节 偏导数与全微分（1）（2）（3）（4）（5）（6）
第十二章 第二节 多元复合函数的求导法则（1）（2）
第十二章 第三节 中值定理与Taylor公式（1）（2）
第十二章 第四节 隐函数（1）（2）（3）（4）
第十二章 第五节 偏导数在几何中的应用（1）（2）（3）
我们立足于培养数学基础扎实，知识面宽广，具有创新意识、开拓精神和应用能力，符合新世纪要求的优秀人才。从人才培养的角度来讲，一个学生能否学好数学，很大程度上决定于他进大学伊始能否将《数学分析》这门课真正学到手。
本课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
第七章 第二节 定积分的基本性质（1）（2）
第七章 第三节 微积分基本定理（1）（2）（3）（4）
第七章 第四节 定积分在几何计算中的应用（1）（2）（3）（4）（5）
第七章 第五节 微积分实际应用举例（1）（2）
第七章 第六节 定积分的数值计算（1）
第八章 反常积分
数学分析录象目录
第一章 集合与映射
第一章 第一节 集合（1）（2）（3）
第一章 第二节 映射与函数（1）（2）（3）
第二章 数列极限
第二章 第一节 实数系的连续性（1）（2）
第二章 第二节 数列极限（1）（2）（3）（4）
第二章 第三节 无穷大量（1）（2）
第五章 第一节 微分中值定理（1）（2）（3）（4）
第五章 第二节 L’Hospital 法则（1）（2）
第五章 第三节 Taylor 公式和插值多项式（1）（2）（3）
陈纪修《数学分析》(第2版)(上册)名校考研真题【圣才出品】
但
（
也可说
明）。
2．对数列 和
若 是有界数列，则 是有界数列。（ ）[北京大学研]
【答案】对
【解析】设｜Sn｜<M，则
3．数列
存在极限
的充分必要条件是：对任一自然数 p，都有
（ ）[北京大学研]
【答案】错
【解析】反例：
，但 不存在．
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二、解答题
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陈纪修《数学分析》（第 2 版）（上册）名校考研真题
第 2 章 数列极限
一、判断题
1．对任意的 p 为正整数，如果
，则
存在。（ ）[重
庆大学研]
【答案】错
【解析】根据数列收敛的 Cauchy 收敛准则，可举出反例：
，虽然对任意的
n p1
对任意 0, 存在正整数 N ,使得对任意正整数 p ，成立 ak , kN
(N p)aN p ln(N p) (N p)aN p ln N ,
在上式中，令 p ，取极限，则得
0
lim ( N
p
p)aN p
ln( N
p)
,
由 0 的任意性，则得
lim ( N
．[南开大学
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2011 研]
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证明：（1）因为
{nan}
为正的单调递减数列，由单调有界定理得
lim
n
nan
L
存在，
由 an 收敛，可知必有 L 0 n1
an
n1
陈纪修《数学分析》(第2版)配套模拟试题及详解
陈纪修《数学分析》（第2版）配套模拟试题及详解一、判断题（3分×4＝12分）1．两个周期函数的和一定是周期函数．（）【答案】×【解析】可举反例如：令F（x）＝f（x）＋g（x），则f（x）周期为2π，g（x）周期为有理数．可以证明F（x）不是周期函数，用反证法，设F（x）有周期T（>0）．若T=r为有理数，则F（0）＝1，而，故F（0）≠F（0＋r），矛盾．若T为无理数．则由可得再由也得矛盾．2．若函数f（x，y）在点（x，Y0）处的方向导数存在，则函数在该点一定可微．（）【答案】×3．收敛．（）【答案】√【解析】因为由柯西判别法的极限形式可知瑕积分收敛．4．拉格朗日中值定理的“中值”是指f（x）在[a，b]上的函数值的平均值．（）【答案】×二、填空题（3分×4＝12分）1．由方程所确定的隐函数，在点处的全微分______．【答案】2．向量函数，f在一点a连续的充要条件是：f的每个分量函数______连续。
【答案】都在点a3．若则，f（z）=＿＿＿＿．【答案】4．若是某二元函数的全微分，则m= ．【答案】1三、选择题（7×3分＝21分）1．若是xOy平面上方的抛物线且，则曲面积分的物理意义为（）．A．表示面密度为1的曲面的质量B．表示面密度为1的曲面对z轴的转动惯量C．表示面密度为的曲面对z轴的转动惯量D．表示体密度为1的流体过曲面指定侧的流量【答案】B2．若f（x）在x0的某邻域内有三阶导数，且导数连续，则（）．A．f（x）在x0没有极值B．当f'''（x0）≠0时，f（x）在x0取到极值C．当f'''（x0）≠0时，f（x）在x0没有极值D．当f'''（x0）＝0时，f（x）在x0没有极值【答案】C3．A．B．C．D．以上都不对【答案】B4．设函数处不连续，则f（x，y）在该点处（）．A．必无定义B．极限必不存在C．偏导数必不存在D．全微分必不存在【答案】D5．设，g（x）=2x，在x→0时（）．A．f（x）=O（g（x））B．f（x）=O（g（x））C．f（x）～g（x）D．无法比较【答案】B6．若f（x）在[a，b]上连续且既有极大值又有极小值，则（）．A．极大值一定是最大值B．极小值一定是最小值C．极大（小）值不一定是最大（小）值D．极大值一定比极小值大【答案】C7．设为在第一卦限中的部分，则有（）．A．B．C．D．【答案】C四、解答题（共105分）1．（15分）设证明：在[0，1]上一致收敛．证明：由可求得从而由于，关于n单调，又、x在[0，1]上连续，故由Dini定理知在[0，1]上一致收敛．2．（15分）求由曲面所围的均匀物体的重心坐标．解：物体的质量为重心的横坐标为同理可求得而于是，重心坐标为3．（15分）设函数f（x）在x=0连续，并目求证：存存，并且证明：于是，有。
复旦大学数学系陈纪修数学分析(第二版)习题答案ex2-3,4
一解 a = 0 舍去），因此
lim
n→∞
xn
=
2。
（3）首先有 x1 =
2 > −1，设 xk > −1，则 xk+1 =
−1 > −1 ，由数学
2 + xk
25
归纳法可知 ∀n ，xn
> −1。由 xn+1
− xn
=
−1 2 + xn
− xn
=
−
(xn + 1)2 2 + xn
< 0 ，可知{xn}
)n
= 0。
证（1）设
lim
n→∞
an
=
+∞ ，则 ∀G
>
0, ∃N1
>
0, ∀n
>
N1
: an
>
3G
。对固定的
N1 ，
∃N > 2N1,∀n > N :
a1 + a2 + " + aN1 n
< G ，于是
2
a1 + a2 + " + an ≥ aN1+1 + aN1+2 + " + an − a1 + a2 + " + aN1 > 3G − G = G 。
n→∞ ⎝ n ⎠
⑴ lim ⎜⎛1 − 1 ⎟⎞n ;
n→∞ ⎝ n ⎠
⑵ lim ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n ;
n→∞ ⎝ n + 1⎠
⑶ lim ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n ;
n→∞ ⎝ 2n ⎠
陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)课后习题-含参变量积分(圣才出品)
7．设函数 具有二阶导数， 是可导的，证明函数
满足弦振动方程
以及初始条件
。
证明：直接计算，可得
所以
且显然成立
。
8．利用积分号下求导法计算下列积分：
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解：（1）设
于是
令
则
所以
（2）设
作变换
得到
则
。
。
则
。设 由于
。研究函数
的连续性。
解：设
由于
在
在 处连续。
设
则
。由于 在 上连续，且
上的最小值
当 时，成立
于是
上连续，可知 所以 在
由 连续。
可知
即
在
处不
§2 含参变量的反常积分
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1．证明下列含参变量反常积分在指定区间上一致收敛：
与
在
上一致收敛。所以
在
上一致收敛。
（ ii ） 当
对于
取
取
则当 充分大时，
由 Cauchy 收敛准则，
在
上不一致收敛，同理
在
上也不一致收敛，所以
在
上不一致收敛。
（3）（i）当
而
收敛，由 Weierstrass
判别法
在
上一致收敛。
（ii）当 取
由于
由 Cauchy 收敛准则，可知
在
（ 4 ）（ i ） 当
即
关于
一致有界，以及 单调，当
时 关于
致趋于零，由 Dirichlet 判别
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--9章
习
∞
数项级数
数项级数的收敛性
∞
题
9.1
1. 讨论下列级数的收敛性。收敛的话，试求出级数之和。
1 ; ⑴ ∑ n =1 n ( n + 2) ∞ 1 ; ⑶ ∑ n =1 n ( n + 1)( n + 2) ∞ 1
⑵ ⑷
∑ 3n + 1 ; ∑⎜ ⎝2
n =1 ∞
2n
⑸ ⑺ ⑼
∑
n =1 ∞ n =1 ∞
2n − 1 ， 3n
;
co m
（3）当 x = 1 时显然级数收敛；当 x ≠ 1 时 ∑ x n (1 − x) = (1 − x) ∑ x n ，收敛
n =1
∞
∞
n =1
范围是 x ∈ (−1,1) ；所以当 x ∈ (− 1,1] 时级数收敛。 3. 求八进制无限循环小数 (36.0736073607 … )8 的值。 解 (36.0736073607 … )8
n→∞ n→∞
3. 证明： (1) lim ( x n + y n ) ≥ lim x n + lim y n ；
n→∞ n→∞ n→∞
(2) 若 lim x n 存在，则
n →∞
lim ( x n + y n )= lim x n + lim y n 。
n→∞
n→∞
n→∞
证 （1）记 lim x n = h1 ， lim y n = h2 ，则对任意给定的 ε > 0 ，存在正整
h − ε < yn < H + ε 。
min{( x − ε )( H + ε ), ( x + ε )( H + ε )} < x n y n < max{( x − ε )(h − ε ), ( x + ε )(h − ε )}，
陈纪修《数学分析》配套题库【名校考研真题】(数列极限)
n 2 3
n
解：一方面显然 I 1，
另一方面 1
1
1
...
1
1
n ，且 lim nn
1,
23
n
n
由迫敛性可知 I 1．
1
注：可用如下两种方式证明 lim nn 1 ． n
（1）令 n n 1 hn ，则
n
(1
hn )n
1
n(n 1) 2
hn2
hn2
2 n
(n
2)
，
1
所以
limnBiblioteka hn0 ，从而 lim nn n
，假设
则
又因为
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所以 单调递增有上界，故极限存在。设
现对 所以
两边取极限可得
因为
，
7．设数列 满足下面的条件：
其中 0<k<1，证明：
[深圳大学 2006 研]
证明：易有
，n=1，2，…。又因为 0<k<1，所以
由
an 收敛，可知必有 L 0 ；
n2 ln n
an
ln n
n1 an dx n ln n
n1 n
n
1 ln
n
nan
dx
n1 n
x
1 ln
x
nan
dx
nan
n1 1 dx n x ln x
(n p)an p (ln ln(n 1) ln ln n),
假若数列an 有界，即存在 M 0 ，使得 0 an M ，
则由条件知
lim
n
an
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第2章数列极限
§1 实数系的连续性
1．（1）证明不是有理数；
（2）是不是有理数？
证明：（1）可用反证法若是有理数，则可写成既约分数．由可知m是偶数，设，于是有，从而得到n是偶数，这与是既约分数矛盾．（2）不是有理数．若是有理数，则可写成既约分数，于是
，即是有理数，这与（1）的结论矛盾．2．求下列数集的最大数、最小数，或证明它们不存在：
解：min A＝0；因为，有，所以max A不存在．；因为，使得，于是有
，所以min B不存在．
max C与min C都不存在，因为，所以max C与min C都不存在．
3．A，B是两个有界集，证明：
（1）A∪B是有界集；
（2）也是有界集．
证明：（1）设，有，有，则，有
．
（2）设，有，有，则，有
．
4．设数集S有上界，则数集有下界．且．
证明：设数集S的上确界为sup S，则对，有-x≤sup S，即；同时对，存在，使得，于是．所以-sup S为集合T的下确界，即．
5．证明有界数集的上、下确界惟一．
证明：设sup S既等于A，又等于B，且A<B．取，因为B为集合S的上确界，所以，使得，这与A为集合S的上确界矛盾，所以A＝B，即有界数集的上确界惟一．同理可证有界数集的下确界惟一．
6．对任何非空数集S，必有．当时，数集S有什么特点？
解：对于，有，所以．当时，数集S 是由一个实数构成的集合．
7．证明非空有下界的数集必有下确界．
证：参考定理2.1.1的证明．具体过程略．
8．设并且，证明：
（1）S没有最大数与最小数；
（2）S在Q内没有上确界与下确界．
证：（1）．取有理数r>0充分小，使得，于是．即，所以S没有最大数．同理可证S没有最小数．
（2）反证法．设S在Q内有上确界，记（m，n∈N+且m，n互质），则显然有．由于有理数平方不能等于3，所以只有两种可能：
（i），由（1）可知存在充分小的有理数r>0，使得，这
说明，与矛盾；
（ii），取有理数r>0充分小，使得，于是
，这说明也是S的上界，与矛盾．所以S没有上确界．
同理可证S没有下确界．
§2 数列极限
1．按定义证明下列数列是无穷小量：
（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
（7）（8）．
证明：（1），取，当n>N时，成立
．
（2），取，当时，成立
．
（3），取，当时，成立；
取，当时，成立，则当时，成立．
（4），取，当n>N时，成立
．
（5）当n>11时，有．于是，取，当n>N时，成立．
（6）当n>5，有．于是，取，当n>N时，成立．
（7），取，当n>N时，成立
（8）首先有不等式，取，当n>N时，成立．
2．按定义证明下述极限：
证明：（1），取，当时，成立
（2），取，当时，成立
（3），取，当n>N时，成立
（4）令，则．当n>3时，有
所以，取，当时，成立
．
（5），取，当n>N时，若n是偶数，则成立；若z是奇数，则成立．
3．举例说明下列关于无穷小量的定义是不正确的：
（1）对任意给定的，存在正整数N，使当n>N时，成立；
（2）对任意给定的，存在无穷多个，使．
解：（1）例如，则满足条件，但不是无穷小量．
（2）例如则满足条件，但不是无穷小量．
4．设k是一正整数，证明：的充分必要条件是．
证明：设，则，成立，于是也成立，所以；
设，则，成立，取，则，成立，所以．
5．设，证明：．
证明：由可知，成立
，成立．于是
，成立．
6．设．且，证明：．
证明：首先有不等式．由，可知，成立，于是．
7．是无穷小量，是有界数列，证明也是无穷小量．
证明：设对一切．因为是无穷小量，所以，，成立．于是，成立，所以也是无穷小量．。