学年高中数学必修一122函数的表示法
人教高中数学必修1课件：1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法精讲优练课型
1.2. 2函数的表示法第1课时函数的表示法【即时小测】1 •思考下列问题: ⑴所有的函数都能用列表法来表示吗?提示:并不是所有的函数都能用列表法来表示,如函数y二2x+l f xe R.因为自变量X w R不能一一列出，所以不能用列表法来表示•(2)用解析法表示函数是否一定要写出自变量的取值范围?提示:函数的走义域是函数存在的前提，写函数解析式的时候L般要写出函数的定义域.2・已知函数f(x)由下表给出:则f(f(2))= ____________【解析】由表格可知十⑵二4所以f(f⑵)=f⑴二0・答案：03・CU咨 f (x —l)"(x —l)2』=f(X)3晝聖【sm ffiXIlHbpMIXHt+l、s u w (t T t 2・0H (x T x 2・嘯4.已知函数y=f (x)的图象如图所示,则其定义域是3~~03^【解析】因为函数y二f(x)图象上所有点的横坐标的取值范围是[23]，所以其定义域为[么3]・答案:[23]5.已知f (n) =2f (n+1), f (1) =2,则f (3)= 【解析】f(n) = 2f(n + l),f(l) = 2, 所以俭)= 2f(2)=4f⑶，故f⑶二( 答案：2 2【知识探究】知识点函数的三种表示方法观察如图所示内容，回答下列问题：（函数的表示方法）——（图象法）问题1 ：应用三种方法表示函数时应注意什么问题?问题2:函数的三种表示方法各有什么优缺点?【总结提升】1 •对函数三种表示法的说明列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示•在应用三种方法表示函数时要注意：⑴解析法:必须注明函数的定义域(2)列表法:选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.⑶图象法:是否连线.2.函数三种表示方法优缺点比较"能形象、直观地表示壓函数的变化情况点 小、 只能近似求出自变量所对应的函数值，而 R 有时误差较大 K ____________ /【题型探究】类型一待定系数法求函数解析式【典例】1.已知f(X)是一次函数，且f (f (x)) =4x+3,则函数f(X)的解析式为_____________ ■2.已知二次函数y=f (x)的最大值为13,且f(3)=f(-l)=5,求f (x)的解析式.【解题探究】1•典例1中一次函数解析式的形式是什么? 提示:一次函数解析式的形式为f(x)二ax+b (a工0) •2.典例2中二次函数的一般形式是什么?提示:二次函数的一般形式是f(x)二ax?+bx+c (a H 0) •【s s】l ・ffi f (x T ax +b (a H O )・ m=f (fH +b T爾糊f s H 2X +一烘f (X)H —w x —w2•方法一:利用二次函数的一般式求解.设f(x)=ax2+bx+c(a^0).由条件知，点⑶5),(也5),("3)在f(x)的图象上9a+3b+c = 5, fa = -2所以a — b+c = 5,所以f的斤邂时x+lg = ii方法二:利用二次函数的顶点式求解.由f(3)=f(・l),可知:对称轴为x“，又最大值为D故可设f(x)二a(x・l)2+13.将f⑶=5代入得a=2・所以f(x) = -2(x-l)2+13jpf(x) = -2x2+4x+ll.【方法技巧】待定系数法求函数解析式(1)适用范围：已知所要求的解析式f(x)的类型，如是一次函数、二次函数等等，即可设出f(x)的解析式，然后根据已知条件确定其系数.(2)待定系数法求函数解析式的步骤:①设出所求函数含有待定系数的解析式;③解方程或方程组,得到待定系数的值；④将所求待定系数的值代回所设解析式.【变式训练】已知二次函数f (X )的图象过点A(0, -5), B (5, 0),其对称 轴为x=2,求其解析式.【解析】因为抛物线的对称轴为x=2, 所以设二次函数的解析式为f(x)=a(x-2)2+k(a^O).把(0,-5),(5,0)分别代入上式得丽劇嗨斛*9・ 龈敲MX 』"，类型二换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式【典例】求满足下列条件的函数f(x)的解析式.(1)函数f(X)满足f ( +l)=x+2 .(2)函数f (x)满足2f 占)+f (x) =x《HO).1X【解题探究】1.典例⑴中的5 +1)中的低+1与x+2低能否建立联系?提示:典例⑴中的X+2 =( +1)2-1.2 •典例(2)中x和有越关爲1提示:互为倒数关黍・(1£)「益(3欝“人1:埠只Ig lx V ^.J (T :+r (T +)J M £ V0+x只因：(+s2e H +s g(一丄jpex) J XH (X )J E5£ rH」u z +z(I £H e 4M £"(IeHxliio 存g芥企 叟+W IK ®l 4W 运(I⑵由题意知f(x) + 2f( i=x f令X二(tHO) fx t则i=t f则f(卅2f(t)二a即班？+2f(x)・(于是得剧关于f(肯f(x)的方程自—i ■x X Xf(x) + 2f』) =xf(-) + 2f(x) = I 2 x1解得f(x)拄-°)・XXX【延伸探究】1.(变换条件)典例(1)中若将条件“f(+l)=x+2 “f(2x-l)p2+x+l”，则f(x)的解析式是什么？【解析】设2x-l=t f则X二t+1所以f(t)二亍Q nX/、t+1 ° t+1 7即f(x)二一r+一+i 二一+t+—.2 2 4 41 97一x~+x -一・4 42.(变换条件)典例(1)中若将条件“f (低+ l)=x+2低”变为“f(l+ 1 )=i+x21 ”，则f(x)的解析式是什么？【解析】平(1 + * X1+?]因為寻岂占诫溜胡析幽)+hf(x)=x24c+ 1 , XG(-OO f 1) U (1 , +8).X【方法技巧】换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式的思路⑴已知f (g (x)) =h (x),求f (x),常用的有两种方法：①换元法，即令t=g (x),解出禺代Ah(x)中,得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意:换元后新元的范围②配凑法，即从f (g(X))的解析式中配凑出即用g(x)来表示h (x),然后将解析式中的g (x)用x代替即可.(2)方程组法:当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时,可构造方程组求解.【补偿训练】已知f(x-l)=xMx-5,则f(x)的解析式是()【解析】选A.方法一:设t 二则x=t+l,因为f(x-l)=x2+4x ・5, 所以 f(t) = (t+l)2+4(t+l)-5=t 2+6t ff (x)的解析式是f (x)=x 2+6x.方法二:因为 f (x-1)=x 2+4x- 5=(x-1)2+6 (x-1),所以 f(x)=x 2+6x. 所以f (X )的解析式是f (X )二x2+6x.A. f (x) =x 2+6xC. f (x) =x 2+2x-3 B. f (x) =x 2+8x+7 D. f (x) =x 2+6x-10类型三函数的图象及其应用【典例】作出下列函数的图象:(1)y=2x+l, x G [0, 2]・(2)y=x2-2x, x E [0, 3) •(3)y=.【解题探究】典例中可以使用什么方法来画函数图象? 提示:典例中函数的图象可通过描点法来画.1X【解析】⑴当x=0时"二1;当x=2时"二5・所画图象如图(1)所示.⑵因为0<x<3f所以这个函数的图象是抛物线y=x2-2x介于0«xv3 之间的一部分，如图(2)所示.⑶函数图象如图⑶所示・图(1)----------- i―I——>0 2 X图⑵图⑶【方法技巧】描点法作函数图象的步骤及关注点(1)步骤：①列表:取自变量的若干个值，求出相应的函数值，并列表表示;②描点:在平面直角坐标系中描出表中相应的点;③连线:用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图象・(2)关注点:①画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图;②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等•要分清这些关键点是实心点还是空心点.【变式训练】作出函数尸x2-2x-2, xG [0, 3]的图象并求其值域.【解析】因为y=（x-l）2-3f所以函数y二x^2x・2的对称轴为x=4顶点为（1厂3）涵数过点（0厂2）®）,具图象如图所示.由图象知函数的值域为[乜1]・• -1 - •【补偿训练】画出函数图象:y=x2-2, xWZ且|x| W2・【解析】因为y=x2・2,xwZ且|x|s2,所以x二・2厂:L,0丄2;对应y的值为2・—2厂12图象如图:\y■-2 -1 0 1 2*■2r • -1 - •易错案例换元法求函数解析式【典例】已知f (x 2+2) =x 4+4x 2,则f (x)的解析式为_严识$【失误案例】 【错解分析】分析解题过程，你知道错哪里吗?)专牛十44，d'化力十？ mt"提示:错误的根本原因是忽略了函数f(x)的走义域上面的解法看上去似乎是无懈可击撚而从具结论间f(x)二x?・4来看，并未注明f(x)的走义域，那么按一般理解，就应认为直走义域是全体实数.但是f(x)=x2・4 的定义域不是全体实数.【自我矫正】因为f(x2+2)=x4+4x2=(x2+2)2・4, 令t=x2+2(tn2),则f (t)=t2-4(t>2)f所以f(x)=x2・4(xn2).答案:f(x)=x2-4(x>2)【防范措施】关注换元法求函数解析式时对定义域的要求任何一个函数都由定义域、值域和对应关系f三要素组成•所以, 当函数f (g (x)) 一旦给出,则其对应关系f就已确定并且不可改变，那么f的“管辖范围”(即g(x)的值域)也就随之确定•因此，我们由f (g (x))求f (x)时,求得的f (x)的定义域就理应与f (g (x))中的f的“管辖范一致才妥. 围”课时撮井作此/点击进入Word版可编辑套题。
人教A版数学必修一1.2.2函数的表示法(二)映射
(5)集合A＝{x|x是三角形}， 集合B＝{x|x是圆}， 对应关系f：每一个圆都对应它的一个内
接三角形； f:B--->A
(6)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，
集合B＝{x|x是新华中学的学生}，
对应关系f：每一个新华中学的学生都对
应一个班级.
f:B--->A
例4． 下列对应关系(A到B)中,其中x∈A,y∈B. (1)A B N , f : x y x 3 ;
P
M
-1 f 1/2 -2
1/3 -3
A
P
1
集合P：任何一个 4
P
M
1 f0
多对一
2
3
3
一对多
5
4
B
M
f 3
P 0 1
M
f0
3
5
2
5
集合M：唯一确定
C
D
新知识
映射的定义： 一般地，设A、B是两个非空集合，如果 按照某种对应法则f，对于集合A中的任 一个元素，在集合B中都有唯一的元素和 它对应，那么这样的对应(包括A、B 以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集 合B的一个映射.
记作：f：x y, x A, y B 或者f：A B,其中x称为原象，y称为象
象与原象的定义：
给定一个集合A到B的映射，且a∈A， b∈B，若a与b对应，则把元素b叫做a在 B中的象，而a叫做b的原象.
③求正弦 1
2
30
2
45
2
60
3
90
2
1
④乘以2 1
1
2 3
2
4
3
5
6
函数与映射之间的异同： 1)函数是一个特殊的映射； 2)函数:数集A数集都是数集， 映射：A和B不一定是数集.
课件函数的表示法_人教版高中数学必修一PPT课件_优秀版
•
(2)画出该函数的图象；
•
(3)写出该函数的值域．
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解析：
(2)已知f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式： 令x－1＝t，则x＝t＋1， (1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； 探究一 函数图象的作法及应用 当a＞0时，f(a)＝a2＝4，得a＝2， 作函数图象时应注意的事项： (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； 探究二 函数解析式的求法 【例】 (1)已知f(x)＝2x＋1，求f(x＋1)的表达式； 探究二 函数解析式的求法 (2)已知g(x－1)＝2x＋6，求g(3)． 作函数图象时应注意的事项： ∴g(t)＝2(t＋1)＋6＝2t＋8，即g(x)＝2x＋8， 探究二 函数解析式的求法 当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1， 探究二 函数解析式的求法 (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； ∴f(x＋1)＝2(x＋1)＋1＝2x＋3
学表达式叫作函数的解析式．
• 2 ．图像法 • 以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各
个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图象，这种用 图象 表示两个变量之间对应关系
的方法叫作图象法．
3
知识点聚焦：
• 3．列表法 • 列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列
函以数自f变(x量)的x定的义取• 域值当为为R横x. 坐∈标[，0对,2应]时的函，数值图y为象纵坐是标直，在线平面的直一角坐部标系分中，描出观各个察点图，这象些点可构知成了，函数其y＝值f(x域)的图为象，[1这,5种]用．图象 表示两个变量之间对应关系的方法叫作图象
法． (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； (1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； (2)已知f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式： (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象； 【解析】选择容易计算的几个数值，列表如下： 当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1， 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：
【创新设计】高中数学（人教版必修一）配套练习：1.2.2函数的表示法第1课时（含答案解析）
1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．函数的三种表示法函数的三种表示法(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系；表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系；表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系．来表示两个变量之间的对应关系．一、选择题一、选择题1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x(x>0)B ．y ＝100x(x>0)C ．y ＝50x (x>0)D ．y ＝100x(x>0) 2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．33．如果f(1x )＝x1－x ，则当x≠0时，f(x)等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－xD.1x －1 4．已知f(x)＝2x ＋3，g(x ＋2)＝f(x)，则g(x)等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3D ．2x ＋7 5．若g(x)＝1－2x ，f[g(x)]＝1－x 2x 2，则f(12)的值为( ) A ．1 B ．15 C ．4D ．306．在函数y ＝|x|(x ∈[－1,1])的图象上有一点P(t ，|t|)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题二、填空题7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式为_________________________________________________________ _______________．8．已知函数y ＝f(x)满足f(x)＝2f(1x )＋x ，则f(x)的解析式为____________．9．已知f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x ＋8，则f(x)的解析式为__________________． 三、解答题三、解答题10．已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f(x)的解析式．的解析式．11．画出函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；的大小； (2)若x 1<x 2<1，比较f(x 1)与f(x 2)的大小；的大小； (3)求函数f(x)的值域．的值域．能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310]C．y＝[x＋410]10] D．y＝[x＋513．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．的解析式．1．如何作函数的图象．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．2．如何求函数的解析式．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．1．2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法知识梳理知识梳理(1)数学表达式数学表达式 (2)图象图象 (3)表格表格 作业设计作业设计1．C [由x ＋3x 2·y ＝100，得2xy ＝100.∴y ＝50x(x>0)．]2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．] 3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f(1x )＝x1－x， 则有f(t)＝1t1－1t＝1t －1，故选B.]4．B [由已知得：g(x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g(x ＋2)＝2x ＋3，则有g(t)＝2(t －2)＋3＝2t －1，故选B.] 5．B [令1－2x ＝12，则x ＝14，∴f(12)＝1－(14)2(14)2＝15.]6．B [当t<0时，S ＝12－t 22，所以图象是开口向下的抛物线，所以图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是顶点坐标是(0，12)；当t>0时，S ＝12＋t 22，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，12)．所以B 满足要求．]7．y ＝12x ＋12解析解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12. 所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12.8．f(x)＝－x 2＋23x (x≠0) 解析解析 ∵f(x)＝2f(1x )＋x ，①，① ∴将x 换成1x ，得f(1x )＝2f(x)＋1x .②由①②消去f(1x )，得f(x)＝－23x －x3，即f(x)＝－x 2＋23x (x≠0)．9．f(x)＝2x ＋83或f(x)＝－2x －8解析解析 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a 2x ＋ab ＋b.∴îïíïìa 2＝4ab ＋b ＝8，解得îïíïìa ＝2b ＝83或îïíïìa ＝－2b ＝－8. 10．解．解 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由f(0)＝f(4)知îïíïìf(0)＝c ，f(4)＝16a ＋4b ＋c ，f(0)＝f(4)，得4a ＋b ＝0.① 又图象过(0,3)点，点， 所以c ＝3.②设f(x)＝0的两实根为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca .所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2·c a＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f(x)＝x 2－4x ＋3.11．解．解 因为函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y… －5343－5…连线，描点，得函数图象如图：连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0， 所以f(3)<f(0)<f(1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f(x 1)<f(x 2)．(3)根据图象，根据图象，可以看出函数的图象是以可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，为顶点，开口向下的抛物线，开口向下的抛物线，开口向下的抛物线，因此，因此，因此，函数的函数的值域为(－∞，4]．12．B [方法一方法一 特殊取值法，特殊取值法，若若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B.方法二方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时，时， [x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10]， 当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x 10]＋1，所以选B.]13．解．解 因为对任意实数x ，y ，有，有 f(x －y)＝f(x)－y(2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，有f(0)＝f(x)－x(2x －x ＋1)， 即f(0)＝f(x)－x(x ＋1)．又f(0)＝1， ∴f(x)＝x(x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.。
人教版高中数学必修一1.2.2_函数的表示法_第二课时ppt课件
考点一
课堂互动讲练
考点突破 分段函数图象的画法
根据分段区间及各段解析式．常用描点法画图，注意区间 端点的虚实．
例1 已知函数 f(x)＝1＋|x|－ 2 x(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 【思路点拨】 讨论x的取值范围
→ 化简fx的解析式
例2 从甲同学家到乙同学家的途中有一个公园 甲、乙两家到该公园的距离都是 2 km，甲 10 点钟 发前往乙家，如图表示甲从自家出发到乙家为止 过的路程 y(km)与时间 x(分钟)的关系．依图象回 下列问题：
(1)甲在公园休息了吗？若休息了，休息了多 长时间？ (2)甲到达乙家是几点钟？ (3)写出函数 y＝f(x)的解析式． (4)计算当 x＝50 分钟时，甲所走的路程．
x →y＝12x.
【思路点拨】 解答本题可由映射定义出发，观察A中任何一 个元素在B中是否都有唯一元素与之对应． 【解】 (1)由于A中元素3在对应关系f作用下其与3的差的绝对 值为0，而0∉B，故不是映射． (2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在 集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．
问题探究
x x≥0 1．y＝|x|＝－x x＜0 可以说 y＝|x|是两 个函数吗？ 提示：y＝|x|，x∈R，仍是一个函数，只是 x ∈[0，＋∞)与 x∈(－∞，0)的对应关系不同， 对于具体 x 值，所用的对应关系是唯一的．
2．从定义上看，函数与映射有什么关系？ 提示：对比函数定义与映射定义可知，函数是特殊的映射， 是从非空数集到非空数集的映射．并非所有映射都为函数．
将(60,4)，(40,2)分别代入，得 k2＝110，b＝－ 2.
【高中数学必修一】1.2.2 函数的表示法-高一数学人教版(必修1)(解析版)
第一章 集合与函数概念1.2.2 函数的表示法一、选择题1．若()()20(0)x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，，，则f [f （–2）]=A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】∵–2<0，∴f （–2）=–（–2）=2．又∵2>0，∴f [f （–2）]=f （2）=22=4，故选C ．2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓缓爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点．用S 1和S 2分别表示乌龟和兔子经过时间t 所行的路程，则下列图象中与故事情节相吻合的是A ．B ．C ．D ．【答案】D3．已知函数f （x +1）=3x +2，则f （x ）的解析式是A．f（x）=3x+2 B．f（x）=3x+1C．f（x）=3x–1 D．f（x）=3x+4【答案】C【解析】设t=x+1，∵函数f（x+1）=3x+2=3（x+1）–1，∴函数f（t）=3t–1，即函数f（x）=3x–1，故选C．4．已知映射f：A→B，其中A={a，b}，B={1，2}，已知a的象为1，则b的象为A．1，2中的一个B．1，2 C．2 D．无法确定【答案】A【解析】映射f：A→B，其中A={a，b}，B={1，2}，已知a的象为1，可得b的象为1或2，故选A．5．若f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，则f（2）的值为A．1 B．–1 C．–32D．32【答案】B【解析】∵f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，分别令x=2，和x=12，得()()12262132222f ff f⎧⎛⎫+=⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+=⎪⎪⎝⎭⎩①②，①–②×2得–3f（2）=3，∴f（2）=–1，故选B．6．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲先到达终点【答案】D7．已知f（x–2）=x2–4x，那么f（x）=A ．x 2–8x –4B ．x 2–x –4C ．x 2+8xD ．x 2–4【答案】D【解析】由于f （x –2）=x 2–4x =（x 2–4x +4）–4=（x –2）2–4，从而f （x ）=x 2–4．故选D ． 8．国内某快递公司规定：重量在1000 g 以内的包裹快递邮资标准如下表：运送距离x （km ） 0<x ≤500 500<x ≤10001000<x ≤15001500<x ≤2000… 邮资y （元）5.006.007.008.00如果某人从北京快递900 g 的包裹到距北京1300 km 的某地，他应付的邮资是 A ．5.00元B ．6.00元C ．7.00元D ．8.00元【答案】C【解析】邮资y 与运送距离x 的函数关系式为 5.00(0500)6.00(5001000)7.00(10001500)8.00(15002000)x x y x x <≤⎧⎪<≤⎪=⎨<≤⎪⎪<≤⎩，∵1300∈（1000，1500]，∴y =7.00，故选C ．9．已知函数()()()32121x x f x x x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩．若()54f a =-，则a 的值为A ．12-或52B ．12或52C ．12-D ．12【答案】C【解析】当a >1时，f （a ）=3514a >≠-，此时a 不存在，当a ≤1，f （a ）=–a 2+2a =–54，即4a 2–8a –5=0，解可得a =–12或a =52（舍），综上可得a =12-，故选C ．10．已知函数f （x ）=()20(0)x x x x ⎧≥⎨<⎩，，，则f （f （–2））的值是A ．2B ．–2C ．4D ．–4【答案】C【解析】∵已知函数()()20(0)x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，，，∴f （–2）=（–2）2，∴f （f （–2））=f （4）=4，故选C ．二、填空题11．已知f+1）=x，则f （x ）=__________．【答案】x 2–1，（x ≥1）【解析】∵()12fx x x +=+=x +2x +1–1=（x +1）2–1，∴则f （x ）=x 2–1，（x ≥1）．故答案为：x 2–1，（x ≥1）．12．已知f （x +1）=2x 2+1，则f （x –1）=__________．【答案】2x 2–8x +9【解析】设x +1=t ，则x =t –1，f （t ）=2（t –1）2+1=2t 2–4t +3，f （x –1）=2（x –1）2–4（x –1）+3=2x 2–4x +2–4x +4+3=2x 2–8x +9．故答案为：2x 2–8x +9． 13．已知f （x +1）=x 2，则f （x ）=__________．【答案】（x –1）2【解析】由f （x +1）=x 2，得到f （x +1）=（x +1–1）2，故f （x ）=（x –1）2．故答案为：（x –1）2． 14．已知函数f （x ）=ax –b （a >0），f （f （x ））=4x –3，则f （2）=__________．【答案】3三、解答题15．()()()11032f x kx b f f =+==-，，，求f （4）的值． 【解析】∵()()()11032f x kx b f f =+==-，，，∴0132k b k b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得k =–14，b =14， ∴f （x ）=–14x +14，∴f （4）=–14×4+14=–34．16．二次函数f （x ）满足f （x +1）–f （x ）=2x 且f （0）=1．（1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[–1，1]时，不等式f （x ）>2x +m 恒成立，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）由题意，设f （x ）=ax 2+bx +c ， 则f （x +1）=a （x +1）2+b （x +1）+c ．从而f （x +1）–f （x ）=[a （x +1）2+b （x +1）+c ]–（ax 2+bx +c ）=2ax +a +b ， 又f （x +1）–f （x ）=2x ，∴220a a b =⎧⎨+=⎩即11a b =⎧⎨=-⎩，又f （0）=c =1， ∴f （x ）=x 2–x +1．17．已知函数f （x ）=()()221(12)22x x x x x x ⎧+≤-⎪-<<⎨⎪≥⎩（1）在坐标系中作出函数的图象； （2）若f （a ）=12，求a 的取值集合． 【解析】（1）函数f （x ）=()()221(12)22x x x x x x ⎧+≤-⎪-<<⎨⎪≥⎩的图象如下图所示：（2）当a ≤–1时，f （a ）=a +2=12，可得：a =32-；当–1<a <2时，f （a ）=a 2=12，可得：a =22±；当a ≥2时，f（a ）=2a =12，可得：a =14（舍去）； 综上所述，a 的取值构成集合为{32-，22-，22}．18．（1）已知3311f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，求f （x ）． （2）已知21f lgx x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求f （x ）． （3）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x +1）–2f （x –1）=2x +17，求f （x ）． （4）已知f （x ）满足()123f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求f （x ）． 【解析】（1）∵3331111()3f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴f （x ）=x 3–3x （x ≥2或x ≤–2）．（2）令21t x +=（t >1）， 则21x t =-，∴()21f t lg t =-，∴()()211f x lg x x =-＞．19．已知函数f （x ）=1+2x x -（–2<x ≤2），用分段函数的形式表示该函数．【解析】f （x ）=1+1021202x x x x x ≤≤-⎧=⎨--<<⎩，，．。
高中数学必修一 函数的表示方法(第二课时)教案
1.2.2 函数的表示方法（第二课时）教学目标：1.进一步理解函数的概念；2.使学生掌握分段函数及其简单应用。
教学重点：分段函数的理解教学难点：分段函数的图象及简单应用教学方法：自学法和尝试指导法教学过程：（Ⅰ）引入问题1．函数有几种常用的表示方法？它们分别是哪几种？2．如何作出函数y x =的图象？（II ）讲授新课例1．作出函数y x =的图象和1y x =-的图象，并分别求出函数的值域。
注：分段函数的定义域和值域分别是各段函数的定义域和值域的并集。
例2．国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g 时付邮资80分；超过20g 不超过40g 时付邮资160分；依次类推，每封xg(100x 0≤<)的信函付邮资为：()(](](](]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈∈=)100,80x (400)80,60x (320)80,60x (240)40,20x (160)20,0x (80y , 画出这个函数的图象。
说明：表示函数的式子也可以不止一个（如例1与例2），对于这类分几个式子表示的函数称为分段函数。
注意它是一个函数，不要把它误认为是“几个函数”。
例3．（教材24P 例6）例4．作出下列各函数的图象：（1）1(01)()(1)x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≥⎩； （2）222(0)()2(0)x x x f x x x x ⎧+≥=⎨--<⎩ 对第（2）小题的函数，试根据a 的取值讨论方程()f x a =的根的个数问题。
练习：1．在函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩中，若()3f x =，则x 的值为 。
2．已知1(0)()(0)0(0)x x f x x x π+>⎧⎪==⎨⎪<⎩，则{[(1)]}f f f -= 。
作业：课本P 28习题1.2第10、11、12、13题。
1.2.2 函数的表示方法（第三课时）教学目标：1.使学生了解映射的概念、表示方法；2.使学生了解象、原象的概念；3.使学生通过简单的对应图示了解一一映射的概念；4.使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式。
高中数学必修1课件第一章 1.2.2 第1课时
课
栏 目
A．f(x)＝x2－1
开 关
B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1
D．f(x)＝(x－1)2－1
练一练·当堂检测、目标达成落实处
本 课
答案
D
栏 目
解析
由二次函数的图象开口向上且关于直线 x＝1 对称，可
开 关
排除 A、B；又图象过点(0,0)，可排除 C.D 项符合题意．
1．2.2 函数的表示法
第 1 课时 函数的表示法
本
课 栏
【读一读学习要求，目标更明确】
目 开
1．了解函数的三种表示法的各自优点，掌握用三种不同形式
关
表示函数；
2．提高在不同情境中用不同形式表示函数的能力．
【看一看学法指导，学习更灵活】
本 课
学习函数的表示形式，不仅是为了研究函数的性质和应
栏
目 用的需要，而且是为加深对函数概念的理解，让学生感受到
解析 ∵g(x＋2)＝f(x)，f(x)＝2x＋3，∴g(x＋2)＝2x＋3.
令 t＝x＋2，则 x＝t－2，∴g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1. 即 g(x)＝2x－1.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．如果二次函数的图象开口向上且关于直线 x＝1 对称，且
本 过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( )
即 2ax＋a＋b＝2x， ∴a＝1，b＝－1，从而 f(x)＝x2－x.
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 2 已知函数 f(g(x))的解析式求 f(x)的解析式通常用什么
本
课 栏
方法？这种方法的具体做法是怎样的？
目 开
答 通常用换元法．即令 g(x)＝t，反解出 x，然后代入 f(g(x))
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1.2.2函数的表示法
班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________
课后练习
【基础过关】
1．已知是反比例函数，当时，，则的函数关系式为
A. B. C. D.
2．已知函数若,则的取值范围是
A. B.
C. D.
3．已知函数f(x)=,则函数f(x)的图象是( )
A. B. C. D.
4．已知则
v
C. D.
5．已知函数，且，则 .
6．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f
[f(5)]= .
【解析】由已知条件f(x+2)=可得f(x+4)==f(x),所以
f(5)=f(1)=-5,所以f [f(5)]=f(-5)=f(-1)===-
7．已知，为常数，且，，，方程有两个相等的实数根.求函数的解析式.
8．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的
图形的面积为，试求函数的解析式.
【能力提升】
下图是一个电子元件在处理数据时的流程图:
(1)试确定y与x的函数关系式;
(2)求f(-3), f(1)的值;
(3)若f(x)=16,求x的值.
答案
【基础过关】
1．C
【解析】根据题意可设(k≠0)，
∵当x＝2时，y＝1，∴，∴k＝2.
2．D
【解析】若x∈[－1，1]，则有f(x)＝2∉[-1，1]，∴f(2)＝2；若x∉[－1，1]，则f(x)＝x∉[－1，1]，
∴f[f(x)]＝x，此时若f[f(x)]＝2，则有x＝2.
【备注】误区警示：本题易将x∉[－1，1]的情况漏掉而错选B.
3．A
【解析】当x=-1时,y=0,即图象过点(-1,0),D错;当x=0时,y=1,即图象过点(0,1),C错;当x=1时,y=2,即图象过点(1,2),B错.故选A.
4．C
【解析】∵，
∴.
【备注】无
5．
【解析】，
∴，∴，
解得.
6．-
.
7．∵，且方程f(x)＝x有两个相等的实数根，
∴，∴b＝1，
又∵f(2)＝0，∴4a＋2＝0，∴，
∴.
8．OB所在的直线方程为.当t∈(0，1]时，由x＝t，求得，所以；当t∈(1，2]时，；
当t∈(2，＋∞)时，，
所以
【能力提升】
(1)由题意知y=.
(2)f(-3)=(-3)2+2=11, f(1)=(1+2)2=9.
(3)若x≥1,则(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去);
若x<1,则x2+2=16,解得x=(舍去)或x=-.
综上可得,x=2或x=-.。