集合-基础知识点汇总与练习-复习版

集合知识点总结 一、集合的概念 教学目标： 理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问 题，掌握集合问题的常规处理方法． 教学重 点：集合中元素的 3个性质，集合的 3种表示方法，集合语言、 集合思想的运用．： 一)主要知识： 1．集合、子集、空集的概念； 2．集合中元素的 3个性质，集合的 3 种表示方法； 3. 若有限集A有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n 1，非空 子集有 2n 1个，非空真子集有 2n

2

个．

二、集合的运算 教学目标： 理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性 质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌 握集合问题的常规处理方法. 教学重点： 交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用. 一)主要知识： 1. 交集、并集、全集、补集的概念； 2. AI B A A B， AUB A A B； 3. CUAI CUB CU (AUB)， CU AUCU B CU(AI B). 二)主要方法： 1. 求交集、并集、补集，要充分发挥 数轴或文氏图 的作用； 2．含参数的问题 ，要有讨论的意识， 分类讨论 时要防止在空集上出 问题； 3．集合的化简 是实施运算的前提， 等价转化 常是顺利解题的关键． 考点要点总结与归纳 一、集合有关概念 1. 集合的概念：能够确切指定的一些对象的全体。

2. 集合是由元素组成的

集合通常用大写字母 A、B、C,…表示，元素常用小写字 母a b、c, …表示。 3. 集合中元素的性质：确定性， 互异性 ，无序性。

(1) 确定性：一个元素要么属于这个集合,要么不属于这个 集合,绝无模棱两可的情况。如：世界上最高的山 (2) 互异性：集合中的元素是互不相同的个体,相同的元素 只能出现一次。如：由 HAPPY 的字母组成的集合 {H,A,P,Y} ( 3)无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。 女口： {a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 4. 元素与集合的关系

(1) 元素a是集合A中的元素，记做a€ A，读作“ a属于集合A”； (2) 元素a不是集合A中的元素，记做a?A，读作“a不属于集合A”。 5. 集合的表示方法：自然语言法, 列举法,描述法,图示法。 ( 1)自然语言法： 用文字叙述的形式描述集合。如大于等于 2 且小于 等于 8 的偶数 构成的集合。 (2)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ {}”括起来 表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能 够一目了然地知道集合中的元素是什么。 注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考 虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示： {0,123…，100} 表示不大于 100的自然数构成的集合。 ( 3)描述法： 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式 是{ x€ I | p(x) }. 注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质； ③不能出现未被说明的字母； ④多层描述时， 应当准确使用“且”、“或”； ⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句力求简明、准确。 ( 4)图示法： 主要包括 Venn 图(韦恩图)、数轴上的区间等。 韦恩图法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的方法，常 用于直观表示集合间的关系。 6. 集合的分类： 有限集：含有有限个元素的集合 无限集：含有无限个元素的集合 空集：不含任何元素的集合 例：{x|x2= — 5} 常用数集及其记法： 1)自然数集：又称为非负整数集，记做 N ；

(2)正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N +或N 3) 整数集：全体整数的集合，记做 Z 4）有理数集：全体有理数的集合，记做 Q 5）实数集：全体实数的集合，记做 R 、集合间的基本关系 7. 子集的概念：A中的任何一个元素都属于 B。记作：A B ① 任何一个集合是它本身的子集。 A A ② 如果 A B, B C ,那么 A C 8. 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为① 规定: 空集是任何集合的子集；

空集是任何非空集合的真子集。 9. 相等集合：如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元

素的排列顺序无关。如：A B且B A则A=B 10. 真子集:如果A B,且A B那就说集合A是集合B真子集。

记作： A B 1 1 .集合间的基本关系

1. “包含”关系—子集

注意：A B有两种可能（1） A是B的一部分、（2） A与B是同一集合。 反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A 2. “相等”关系：A=B （5>5,且 5<5,则 5=5） 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 12.若有限集A有n个元素，则A的子集有2个，真子集有2n 1, 非空子集

有 2n 1个，非空真子集有 2n

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个.

三、集合的运算 1、 交集：A B {x|x A且x B}

2、 并集.A B {x | x A或x B}

3、 补集：CuA {x |x U且x A} 运算类型 交集 并集 补集 由所有属于A且 由所有属于集合 设S是一个集 属于B的兀素所 A或属于集合B 合，A是S的一 组成的集合，叫做 的兀素所组成的 个子集，由S中 A,B的交集.记作 集合，叫做A,B 所有不属于A的 A B (读作“ A 的并集.记作： 元素组成的集 定义 交B”,即A B= A B (读作‘ A 合，叫做S中子 { x|x A，且 并B',即A B 集A的补集（或 x B}. ={x|x A ,或 余集） 核心词汇：共有 x B}). 记作CSA，即 核心词汇：全部 C

SA

=

{x|x S,且x A 韦恩 a兄 Co)

图示 图1 图2

A A=A A A=A (CuA) (CuB)

A ①二① A ①二A =Cu (A B)

A B=B A A B=B A (CuA) (CuB) 性质 ABA A B A =Cu(A B)

ABB ABB A (CA)二U A (CA)二①. ★经典例题: 例一、判断下列集合是否为同一个集合

① A 1,2 ,B 1,2 ---------------- 不是，一个是点集，一个是数集 ② A x N |0 x 5 ,B x R|0 x 5 --------------------------------------- 不是，元素范围不同 ③ A y|y 2x 1 ,B x, y | y 2x 1 -不是，一个是点集，一个是数集 ④ A x|x5,B y | y 5 ----------------------------- 是，元素相同，均是实数，与代表

例二、用适当的符号填空： a ； a a,b ； a a ； a ； 1,2,3 _ — 1,2,3,4 ； —— 应该注意的问题： 集合与元素之间是 属于关系，集合与集合之间 的是包含关系，两者不能混淆。 例三、已知集合 M 0,1,2,4,5,7 ,N 1,4,6,8,9 ,P 4,7,9 ， 贝卩M I N U M I P等于 ____________ 【1,4,7】 解：M N 1,4 ,M P 4,7，故 M I N U M I P 1,4,7

例四、若集合A 1,3,x ,B x2

,1 ,且B A,则x ___________ 【0

或「3 ]

解：依题B A，则x2 x，或x2

3，解出x 0,1, .3

;

由于元素具有互异性，故舍去1。 例五、集合 A 0,2,a , B 1,a2

,若 AU B 0,1,2,4,16 ,则 a 的值为

【4] a2 16 解：T A 0,2, a ,B 1,a2

,AUB 0,1,2,4,16 二 二

a 4

a 4

例六、 设集合 U (x,y) y x 1 ,A

】 x,y y 1 1 ,则 CUA

| x

【 0, 1

解: A 1 y 1 x,

y x 1

表示平面上满足直线

y 1 1

的无数点，其中

x x 0,y 1 O 又U (x,y) y x 1表示平面上满足直线 y x 1上的全部点，故补 集为0, 1，这组有序数对。 例七、已知集合A x1x4,B xx a，若AB，则实数a的取值 集合为 __________ 【a a 4】 解：步骤：①在数轴上画出已知集合； ② 由x a确定，应往左画（若为x a，则往右画），进而 开始实验； ③ 得到初步试验结果； ④ 验证端点。

A L ] 4）—— 1 4 a

试验得到：a 4，当a 4时，由于A集合也不含有4,故满足A B 综上所述， a a 4。 例八、设集合 M {m Z | 3 m 2}, N {n Z | 1 < n < 3}, 贝卩M I N _______ 【101】

解：首先观察，两个集合均为数集，代表元素的不同不影响集合本身。 其次范围均为整数， 故M 2, 1,0,1 ,N 1,0,1,2,3，因此取交集后，得到的结果应为