第十章 数理统计基础

D(µ1 )
D( X
)
D
1 3
3 i1
Xi
93
2
1 3
2
D(µ2 )
D
1 2
X1
1 3
X2
1 6
X3
1 4
1 9
1 36
2
14 36
2
D(µ3 ) D( X1) 2
则有D(µ1) D(µ2 ) D(µ3 ),这就证明了µ1较µ2 , µ3有效.
二、区间估计
1.置信区间的概念
在一个总体X中, 抽取n个个体X1, X 2 ,L , X n , 这n个个体称为总体 X的一个样本,样本所含个体的数目n称为样本容量.由于X1, X 2 ,L , X n 是从总体X中随机抽取出来的可能结果, 可以看作n个随机变量, 记为 ( X1, X 2 ,L , X n ), 在一次抽取后, ( X1, X 2 ,L , X n )就有了一组确定的值,相 应记为(x1, x2 ,L , xn ),称为样本观测值,简称样本值.
以样本均值 X 作为总体均值的点估计量,即
µ
X
1 n
n
Xi
i1
而µ
x点估计值.
i1
以样本方差S2作为总体方差 2的点估计量,即
µ2 S 2 1 n 1
n
(Xi X )2
i 1
而µ2 S 2 1 n 1
n
( Xi X )2为 2的点估计值.
i 1
2.估计量的评选标准
1.统计量U X / n
设总体X : X:
N (, N(,
2 2
), )
(
X1
,
X
2
,L
, X n ),是X的一样本,可以证明
n 将其标准分的随机变量记作
U
X
/ n
这时U : N(0,1).
2.统计量T X
S/ n
设总体X : N (, 2 ),( X1, X 2,L , X n ),是X的一样本,样本均值X
新总体和样本的关系而言,样本是局部,总体是整体,为了保证 样本能较好地代表总体,要求抽取的方法要统一,即应使总体中每个 个体被抽到的机会均等,同时要求每次抽取是独立的.即每次抽取结 果不影响其他各次抽取的结果,也不受其他各次抽取结果的影响,这 样的抽取方法叫作简单随机抽样,用简单随机抽样得到的样本叫作简 单随机样本,今后凡是提到的抽样及样本都有是批简单随机抽样和简 单随机样本,因此,对来自总体X的一样本( X1, X 2 ,L , X n )是一组相互独 立且与总体X 具有相同分布的随机变量.
S
2分别是
, 2的无偏估计量.
而估计量 1 n 1
n
( Xi X )2的均值
i1
E
n
1 1
n i 1
(Xi X )2
E
n 1 n
1 n 1
n i 1
(Xi X )2
这说明该统计量不是总体方差的无偏估计量.这就是为什么
通常取样本方差S 2作为总体方差 2的估计量的原因.
(2)有效性 有时个一未知参数的无偏估计量不只一个,那么 如何比较它们的好坏呢?为使估计的效果更好,当然希望估计值
更接近于参数的真值,也就是希望估计量$与的真值偏差越小
越好,这种偏差大小可用
E[($ )2 ] D($)
[因为E($) ]来衡量,故有下述定义.
定义2 设$1,$2是的两个无偏估计量,若D($1) D($2 )则称 $1较$2有效.
0 1 3 5 7 9 11 13 15 17
y
图10 2 x2分布曲线
4.统计量F
S2 1
S2 2
的分布
如果( X1, X 2 ,L , X n )是取自正态总
体X :
N
(
1
,
2 1
)的样本,
(Y1
,
Y2
,L
,Yn2 )
是取自正态总体Y :
N
(
2
,
2 2
)的样本
且X 与Y相互独立,样本方差分别为S12
n2 n1 20 n2 25 n1 20
n2 10 n1 20
和S22
,
那么
2 1
22的条件下,结过较复
杂的数学推导可以证明,统计量
F
S2 1
S2 2
O 图10 3 F分布
服从自由度为n1 1, n2 1的F分布,记作F : F (n1 1, n2 1)式中 n1 1称为第一自由度;n2 1称为第二自由度.
本节仅研究总体均值与方差1-置信区间的求法,并设X1, X 2 ,L , X n为自正态总体N (, 2 )的容量为n的样本.
2.正态总体均值的置信区间
(1)总体方差 2已知,求的1-置信区间.由于 2已知,含有,
及估计量 X的统计量
显然,统计量是一个随机变量,如果(x1, x2 ,L , xn )为( X1, X 2,L , X n ) 的一组观测值,g(x1, x2 ,L , xn )则称为g( X1, X 2 ,L , X n )的一个统计值.
设( X1, X2,L , Xn )是总体X的一个样本,则称统计量
X
1 n
n
一、总体与样本
数理统计是从局部观测资料的统计特性,推断随机现象整体统 计的一门科学,其方法是:从所有研究的全体对象中,抽取一小部分 试验,然后进行分析和研究,根据这一小部分所显示的统计特性,来 推断总体的统计特性.
例如,研究某工厂生产的电视机显像管的平均寿命,由于检测 显像管寿命具有破坏性,因此只能从所有产品中抽取一部分进行寿 命测试,然后再根据这部分显像管的寿命数据,对所有显像管的平 均寿命进行推断.
定义1 设$为未知参数的估计量,若E($) 0成立,则称$为的
无偏估计量.
例1 设总体X的均值与方差存在,由于
E(
X
)
E
1 n
n i1
X
i
1 n
E
n i1
Xi
1 n
n
E(Xi
)
1 n
(
L
)
1 n
n
i1
同样可证
:
E
(S
2
)
E
n
1
1
n i1
(Xi
X
)2
2
,
所以X
,
二、统计量
在数理统计中,并不是直接利用抽样样本进行估计,推断,而需 要对样本进行一番提炼和加工,即针对不同的问题构造出样本的各 种函数.
设( X1, X 2 ,L
, X n )为总体X的一样本,随机变量X1, X 2 ,L
,
X
的函
n
数称为样本函数, 若样本函灵敏中不含参数并且连续, 这样函数称
为统计量.
答案
第二节 参数估计
数量统计研究的主要内容是统计推断,本节将研究统计推断中 的重要内容之-参数估计.所谓的参数估计就是根据样本观测值x1 , x2 ,L , xn估计总体X 分布的未知参数或数字特征.数理统计之所以 与一般的统计不同,就在于它不仅能估计款知参数值,而且还能由 给定的可靠程度(置信度)确定估计的精度,本节仅介绍参数的点估 计与区间估计.
s2越小,数据越集中,波动越小.
三、统计量的分布
统计量g( X1, X 2 ,L , X n )是n个随机变量( X1, X 2 ,L , X n )的函数,它 也是随机变量.统计量的概率分布又称抽样分布,由于许多随机现 象服从正态分布,本书的数理统计部分重点研究正态总体的推断问 题,所以仅介绍正态总体统计推断中起重要作用的几个由正态总体 样本构成的统计量的分布.
n较大时,T 分布近似于标准正态分布.图10-1给出几个不同的自由
度的T 分布曲线,供参考.
f (T )
0.4
n 10
n 1 0.2
2 1 0 1 2
t
图10 1 T分布曲线
3.统计量 2
(n
1)S 2
2
的分布
设总体X : N (, 2 ),( X1, X 2,L , X n ),是X的一样本,样本方差
Xi
i1
为样本均值,统计量
S 2 1 n 1
n
(Xi X )2
i1
为样本方差;称S 2的算术平方根S为样本标准差.它们观测值用
相应的小写字母表示,即对于一组样本值x1, x2 ,L , xn ,样本值
x
1 n
n
xi
i1
表示数据集中的位置,样本方差
s2 1 n 1
n
(xi x)2
i1
刻画了数据对均值x的离散程度, s2越大,数据越分散,波动越大
例2 取容量为n 3的样本X1, X 2 ,L , X n ,证明均值的三个无偏
估计量.
µ1
X
1 3
3
X i ,µ2
1 2
X1
1 3
X2
1 6
X 3, µ3
X1, µ1较µ2 , µ3有效.
i1
证 显然E(µ1) E(µ2 ) E(µ3) ,说明µ1 µ2, µ3都是的无偏估计
量.但由于
思考题 1.常用的统计量有哪些 ?
答案
2.统计量的概率分布称为抽样分布,请列举几种常见的
抽样分布.
答案
3.统计量与统计值的区别是什么?
答案
课堂练习题
1.设总体X 服从a,b上的均匀分布,a已知,b未知,X1, X 2 ,
X 3是来自总体X的一个样本,则下列选项中是统计量的是哪个? 并说明原因.
A)
第十章 数理统计基础
第一节 简单随机样本 第二节 参数估计 第三节 假设检验