湖南省长郡中学2021高三数学《周考作业》(数学周考卷 学生版)
长郡中学2021届高三月考试卷(二)数学(含答案)
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湖南省长沙市长郡中学2021届高三下学期月考(七)数学试题Word版含答案
绝密★启用并使用完毕前长郡中学2021届高三月考试卷(七)数学本试卷共8页，22 小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡-并交回。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1.已知集合A={}{}(,)8,,,(,)1x y x y x y N B x y y x *+=∈=>+， B,则A B 中元素的个数为A. 2B.3C.4D.52.1943年19岁的曹火星在平西根据地进行抗日宣传工作，他以切身经历创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，后毛泽东主席将歌曲改名为《没有共产党就没有新中国》.2021年是中国共产党建党100周年，仅从逻辑学角度来看，“ 没有共产党就没有新中国”这句歌词中体现了“有共产党”是“有新中国”的A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离.在复平面内，复数021a i z i+=+(i 是虚数单位，a ∈R)是纯虚数，其对应的点为Z 0，Z 为曲线z =1上的动点，则Z 0与Z 之间的最小距离为A.1B.2C. 12D. 324.已知定义在R 上的函数123()2,(log ),(ln3)x f x x a f b f c f =⋅==-=，则a ，b, c的大小关系为A. c>b>aB. b>c>aC. a>b>cD. c>a>b5.学校举行羽毛球混合双打比赛，每队由一男一女两名运动员组成.某班级从3名男生A 1, A 2，A 3和4名女生B 1，B 2，B 3，B 4中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行 羽毛球混合双打比赛，则A 1和B 1两人组成一队参加比赛的概率为A. 118B. 29C. 16D. 496.骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 A (前轮)，圆 D (后轮)△ABE ，△BEC ， △ECD 均是边长为4的等边三角形.设点P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC BP 的最大值为A.36B.48C.24D.187.素数在密码学、生物学等方面应用广泛，下表为森德拉姆(Sundaram ， 1934) 素数筛法 矩阵:其特点是每行每列的数均成等差数列，如果正整数n 出现在矩阵中，则2n+1一定是合 数，反之如果正整数n 不在矩阵中，则2n+1一定是素数，下 面结论中不正确的是A.第4行第10列的数为94B.第7行的数构成公差为15的等差数列C.592不会出现在此矩阵中D.第10列中前10行的数之和为12558.如图，已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面边长为1,侧棱长为2，点P ，Q 分别在半圆弧1C C ⌒，1A A ⌒(均不含端点)上，且C 1，P ， Q,，C 在球O 上，则A.当点Q 在1A A ⌒的三等分点处，球O 的表面积为(1133)π-B.当点P 在1C C ⌒的中点处，过C 1，P ， Q 三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形C.球O 的表面积的取值范围为(4π,8π)D.当点P 在1C C ⌒的中点处，三棱锥C 1- PQC 的体积为定值二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖南省长郡中学2024届高三上学期月考(五)数学试题含答案解析
英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}2|60Ax xx =−−<，集合{}2|lo 1g Bx x =<，则A B ∪=A. ()2,3−B. (),3−∞C. ()2,2−D. ()0,2（2022.广州二模）2. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ）A. 12xy =B. 2yx x =−C. 1y x =−D. 1y x x=−3. 已知像2，3，5，7这样只能被1和它本身整除的正整数称为素数（也称为质数），设x 是正整数，用()x π表示不超过x 的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x 充分大时，()ln xx xπ≈，利用此公式求出不超过10000的素数个数约为(lg e 0.4343)≈（ ） A. 1086C. 980D. 10604. 2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为()0e 0ktP P t −=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ） A. 5%B. 3%C. 2%D. 1%（2022.苏北七市三模） 5. 函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能是（ ） 的AB.C. D.6. 现有长为89cm 的铁丝，要截成n 小段(2)n >，每段的长度为不小于1cm 的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为（ ） A. 8B. 9C. 10D. 117. 已知函数211()sin sin (0)222xf x x ωωω=+−>，x R ∈.若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 A. 10,8B. 150,,148∪C. 50,8D. 1150,,848∪8. 已知函数22()42af x x x x =−−−在区间(),2−∞−，)+∞上都单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 0a <≤B. 04a <≤C. 0a <≤D. 0a <≤二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 同学们，你们是否注意到；自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为()x x f x ae be −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e=2.71828…），对于函数()f x ，以下结论正确的是（ ）A. 如果a=b ，那么()f x 奇函数B. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数C. 如果0ab >，那么()f x 没有零点D. 如果1ab =，那么()f x 的最小值为2.为10. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着1BB 和1DD 分别作上底面的垂面，垂面经过棱,,,EP PH HQ QE 的中点,,,F G M N ，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若2EN AB EA ===，则（）A. 1BB =B. //FG ACC. BD ⊥平面1BFB GD. 几何体2的表面积为811. 已知函数e x y x =+的零点为1x ，ln y x x =+的零点为2x ，则（ ） A. 120x x +> B. 120x x < C. 12ln 0xe x +=D. 12121x x x x −+<12. 已知0ab ≠，函数()2e axf x x bx =++，则（ ） A. 对任意a ，b ，()f x 存在唯一极值点B. 对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条C. 当2a b +=−时，()f x 存在零点D. 当0a b +>时，()fx 最小值为1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知sin 3cos 0αα−=，则cos 2tan αα+=________． 14. 函数()1293xxf x −=+的最小值是___________.15. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =___________.①()f x 是定义域为R 的奇函数；②()()11f x f x +=−；③()12f =.16. 函数()sin ln 23f x x x π=−−的所有零点之和为__________．的四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()222(sin sin sin )1cos2.a A c C b B a C +−=− （1）求B.（2）是否存在()0,A π∈，使得2a c b +=，若存在，求;A 若不存在，说明理由.18. 已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大？ 19. 函数22()ln ,()(2) 2.71828...x f x a x x g x x e x m x e =−=−−+=+（其中）. （1）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =−时，(0,1]x ∈时，()()f x g x >恒成立，求正整数m 最大值.20. 已知函数()()ln f x a x a x =+−．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()2e af x a <．21. 已知函数()ln 1f x x x x =−−． （1）证明：()0;f x ≤ （2）若e 1x ax ≥+，求a ．22. 设函数()()2e sin 1xf x a x ax a x =+−−+.（1）当0a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在R 上单调递增，求a.的英才大联考长郡中学2024届高三月考试卷（五）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合{}2|60Ax xx =−−<，集合{}2|lo 1g Bx x =<，则A B ∪=A. ()2,3−B. (),3−∞C. ()2,2−D. ()0,2【答案】A 【解析】【分析】先由二次不等式的解法得{}|23Ax x =−<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.【详解】解不等式260x x −−<,解得23x −<<,则{}|23A x x =−<<,解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<,即A B ∪=()2,3− 故选:A.. （2022.广州二模）2. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ）A. 12xy =B. 2yx x =−C. 1y x =−D. 1y x x=−【答案】C 【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义，对每个选项进行逐一判断，即可选择.【详解】对A ：容易知12xy =是偶函数，且在()0,+∞单调递减，故错误；对B ：容易知2yx x =−是偶函数，当0x >时，2y x x =−，,其在10,2单调递增，在1,2+∞单调递减，故错误； 对C ：容易知1y x =−是偶函数，当0x >时，1y x =−是单调增函数，故正确；对D ：容易知1y x x=−是奇函数，故错误； 故选：C.3. 已知像2，3，5，7这样只能被1和它本身整除的正整数称为素数（也称为质数），设x 是正整数，用()x π表示不超过x 的素数个数，事实上，数学家们已经证明，当x 充分大时，()ln xx xπ≈，利用此公式求出不超过10000的素数个数约为(lg e 0.4343)≈（ ） A. 1086 B. 1229C. 980D. 1060【答案】A 【解析】【分析】由题中的定义，可知是计算ln1100000000，再根据对数的运算法则及性质求解即可.【详解】由题意，可知100002500(10000)2500lg e 25000.43431086ln100004ln10l 00100n 10π≈===≈×≈. 故选:A4. 2021年10月12日，习近平总书记在《生物多样性公约》第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山．良好生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲．”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为()0e 0ktP P t −=⋅≥，其中k 为常数，0k >，0P 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（ ） A. 5% B. 3%C. 2%D. 1%【答案】B 【解析】【分析】根据前4小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，求出1ln104k =，再计算经过6小时，空气中剩余污染物的残留量，可得答案.【详解】由题可得，前4小时，废气中的污染物恰好被过滤掉90%，故由0e ktPP −=⋅得()400190%e kP P −−=，所以40.1e k −=，即1ln104k =， 由再过滤2小时，即共6小时，空气中剩余污染物为321336ln10ln106ln10422000000e e e e 10kP P P P P P − −−− −======， ()3,3.5，故污染物所剩比率约为03%P ,故选：B（2022.苏北七市三模） 5. 函数()()2,,R ax bf x a b c x c+=∈+的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】取0,0,0a c b >>=，此时()2axf x x c=+，可排除A 、C 、D. 【详解】因为,,R a b c ∈，所以取0,0,0a c b >>=，此时()2axf x x c=+，0x >时，()0f x >，0x <时，()0f x <，故只有B 符合题意. 故选：B.6. 现有长为89cm 的铁丝，要截成n 小段(2)n >，每段的长度为不小于1cm 的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为（ ） A. 8 B. 9C. 10D. 11【答案】B 【解析】【分析】不构成三角形的条件就是任选三条线段较小两条之和不超过最长线段，因n 段之和为定值，欲n 尽可能的大，按从小到大排序后，必须每段的长度尽可能小，即：保证前两段最短的情况下，使得第三项等于前两项之和便不能构成三角形.【详解】截成的铁丝最小为1，因此第一段为1，因n 段之和为定值，欲n 尽可能的大，则必须每段的长度尽可能小， 所以第二段为1，又因为任意三条线段都不能构成三角形， 所以三条线段中较小两条之和不超过最长线段， 又因为每段的长度尽可能小， 所以第三段为2，为了使得n 最大，因此要使剩下的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻两段之和， 依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34，以上各数之和为88，与89相差1，因此可以取最后一段为35， 这时n 达到最大为9. 故选：B.7. 已知函数211()sin sin (0)222xf x x ωωω=+−>，x R ∈.若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 A. 10,8B. 150,,148∪C. 50,8D. 1150,,848∪【答案】D 【解析】【分析】先把()f x化成()4f x x πω=−，求出()f x 的零点的一般形式为+4,k x k Z ππω∈，根据()f x 在区间(,2)ππ内没有零点可得关于k 的不等式组，结合k 为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围.【详解】由题设有1cos 11()sin 2224f x x x x πωωω−=+−=−， 令()0f x =，则有,4x k k Z πωπ−=∈即+4,k xk Z ππω∈.因为()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，故存在整数k ，使得5++442k k ππππππωω≤<<，即14528k k ωω ≥+ ≤+，因为0ω>，所以1k ≥−且15428k k +≤+，故1k =−或0k =，所以108ω<≤或1548ω≤≤， 故选：D.【点睛】本题考查三角函数在给定范围上的零点的存在性问题，此类问题可转化为不等式组的整数解问题，本题属于难题.8. 已知函数22()42af x x x x =−−−在区间(),2−∞−，)+∞上都单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. 0a <≤B. 04a <≤C. 0a <≤D. 0a <≤【答案】D 【解析】【分析】设2()42ag x x x =−−的零点为1x ，2x 且12x x <，讨论区间范围写出()f x 的分段函数形式，讨论参数a 结合()f x 各区间的函数性质判断单调性，根据已知区间的单调性求参数范围即可.【详解】设2()42a g x x x =−−，其判别式21604a ∆=+>，∴函数()g x 一定有两个零点，设()g x 的两个零点为1x ，2x 且12x x <，由2402a x x −−=，得1x =2x =， ∴121224,2()24,24,2ax x x a f xx x x x x ax x x +<=−−≤≤ +>， ①当0a ≤时，()f x 在()1,x −∞上单调递减或为常函数，从而()f x 在(),2−∞−不可能单调递增，故0a >；②当0a >时，()20g a −=>，故12x >−，则120x −<<， ∵()f x 在()1,x −∞上单调递增，∴()f x 在(),2−∞−上也单调递增，10g =−<2x <，由()f x 在2,8ax和()2,x +∞上都单调递增，且函数的图象是连续的，∴()f x 在,8a +∞上单调递增，欲使()f x 在)+∞上单调递增，只需8a≤a ≤，综上：实数a 的范围是0a <≤. 故选：D.【点睛】关键点点睛：先研究绝对值部分的零点，进而写出()f x 的分段函数表达式，再讨论参数a ，根据函数性质及已知区间单调性求参数的范围.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 同学们，你们是否注意到；自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为()x x f x ae be −=+（其中a ，b 是非零常数，无理数e=2.71828…），对于函数()f x ，以下结论正确的是（ ）A. 如果a=b ，那么()f x 为奇函数B. 如果0ab <，那么()f x 为单调函数C. 如果0ab >，那么()f x 没有零点D. 如果1ab =，那么()f x 的最小值为2【答案】BC 【解析】【分析】利用函数的奇偶性，单调性，零点和基本不等式等性质逐一分析即可得到选项. 【详解】解：对于A ：当a b =时，函数()xx f x ae ae −=+，此时()()x x f x ae ae f x −−=+=为偶函数，故A 错误.对于B ：当0ab <时，令0,0a b ><，函数x y ae =在其定义域上单调递增函数，函数x by e=在其定为义域上也为单调递增函数，故函数()xxb f x ae e =+在其定义域上为单调递增函数； 当0,0a b <>，函数x y ae =在其定义域上为单调递减函数，函数x b y e=在其定义域上也为单调递减函数，故函数()x x b f x ae e =+在其定义域上为单调递减函数； 综上，如果0ab <，那么()f x 为单调函数；故B 正确.对于C ：当0,0a b >>时，函数()0x x f x ae be −=+≥=>，当0,0a b <<时，函数()()0x x f x ae be −=−−−≤−=−<；综上，如果0ab >，那么函数()f x 没有零点；故C 正确.对于D ：由1ab =，则1b a=， 当0,0a b <<时，函数()12x x f x ae e a −=−−−≤−=− ； 当0,0a b >>时，函数()12x x f x ae e a −=+≥=； 故1ab =时，函数()f x 没有最小值，故D 错误故选：BC.10. 由两个全等的正四棱台组合而得到的几何体1如图1，沿着1BB 和1DD 分别作上底面的垂面，垂面经过棱,,,EP PH HQ QE 的中点,,,F G M N ，则两个垂面之间的几何体2如图2所示，若2EN AB EA ===，则（）A. 1BB =B. //FG ACC. BD ⊥平面1BFB GD. 几何体2的表面积为8【答案】ABC .【解析】【分析】对于A ，先证得四形边1B FBG 是边长为2菱形，再利用中位线定理求得FG ，从而得解；对于B ，利用面面平行的性质定理证得//AC EH ，从而得证；对于C ，利用勾股定理证得PQ BK ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；对于D ，将几何体2拆分成4个正方形与8个菱形即可得得解.【详解】将几何体1与几何体2合并在一起，连接1,,,,,BB FG PQ EH AC BD ，记FG PQ K = ，易得1K BB ∈，对于A ，因为在正四棱台ABCD EPHQ −中，//AB EP ， F 是EP 的中点，所以//AB EF ，又N 是EQ 的中点，2EN =，所以4EQ =，则4EP =，2EF =，又2AB =，所以AB EF =，所以四边形ABFE 2BF AE ==，同理：112B F B GBG ===， 所以四形边1B FBG 是边长为2菱形，在边长为4的正方形EPHQ 中，HE =因为,F G 是,EP PH 的中点，所以//FG EH ，12FG EH ==所以1BB ，故A 正确； 对于B ，因为在正四棱台ABCD EPHQ −中，面//ABCD 面EPHQ ，又面AEHC 面ABCD AC =，面AEHC 面EPHQ EH =，所以//AC EH ，又//FG EH ，所以//FG AC ，故B 正确；对于C ，在四边形EPHQ 中，由比例易得14PK PQ ==，由对称性可知112BK B B ==2PB =，所以222PK BK PB +=，则PK BK ⊥，即PQ BK ⊥，而由选项B 同理可证//BD PQ ，所以BD BK ⊥，因为在正方形ABCD 中，BD AC ⊥，而//FG AC ，所以BD FG ⊥，因为,,BK FG K BK FG =⊂ 面1BFB G ，所以BD ⊥面1BFB G ， 对于D ，由选项A 易知四边形1BGB F 是边长为2的正方形，上下底面也是边长为2的正方形，四边形ABFE 是边长为2 所以几何体2是由4个边长为2正方形和8个上述菱形组合而成，所以其表面积为2428216×+×+，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得四形边1B FBG 是边长为2菱形，从而解决选项A ，再利用面面平行的性质定理推得//AC EH ，//BD PQ ，从而解决选项BC ，将几何体2各个面分解成基本图形即可解决D.11. 已知函数e x y x =+的零点为1ln y x x =+的零点为2x ，则（ ）A. 120x x +>B. 120x x <C. 12ln 0x e x +=D. 12121x x x x −+< 【答案】BCD【解析】【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可.【详解】12,x x 分别为直线y x =−与e x y =和ln y x =的交点的横坐标，因为函数e x y =与函数ln y x =互为反函数，所们这两个函数的图象关于直线y x =，而直线y x =−、y x =的交点是坐标原点，故120x x +=，120x x <，()11,0x ∈−，()20,1x ∈， 1212ln 0e x x x x +=−−=，()()1212121110x x x x x x −+−=+−<，故12121x x x x −+<故选：BCD. 【点睛】关键点睛：利用反函数的性质是解题的关键.12. 已知0ab ≠，函数()2e axf x x bx =++，则（ ） A. 对任意a ，b ，()f x 存在唯一极值点B. 对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条C. 当2a b +=−时，()f x 存在零点D. 当0a b +>时，()fx 的最小值为1 【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，求出函数导数，数形结合，判断导数正负，从而判断函数单调性，确定函数极值点；对于B ，设切点为2e (,),am m n n bm m =++，利用导数的几何意义可得方程，结合方程的根的个数，判断切线的条数；对于C ，利用导数判断函数单调性，求函数最值，根据最值情况判断函数的零点情况；对于D ，由于()f x 为偶函数，故先判断0x >时函数的单调性，结合偶函数性质，即可判断0x <的单调性，进而求得函数最值.【详解】对于A ，由已知0ab ≠，函数()2e ax f x x bx =++，可得()e 2ax f x a x b ′=++，令()()2e 2,e 20ax axg x a x b g x a ′=++∴=+>， 则()g x 即()e 2axf x a x b ′=++在R 上单调递增， 令()e 20ax f x a x b ′=++=，则e 2ax a x b =−−，当0a >时，作出函数e ,2ax y a y x b ==−−的大致图象如图：当a<0时，作出函数e ,2ax y a y x b ==−−的大致图象如图：可知e ,2ax y a y x b ==−−的图象总有一个交点，即()e 20axf x a x b ′=++=总有一个根0x ， 当0x x <时，()0f x ′<；当0x x >时，()0f x '>，此时()f x 存在唯一极小值点，A 正确；对于B ，由于()01f =，故原点不在曲线()2e ax f x x bx =++上，且()e 2axf x a x b ′=++， 设切点为2e (,),am m n n bm m =++，则()2e e 2am am n m bm f m a m b m m++′=++==， 即e e amam a m m+=，即2e (1)0am am m −+=， 令2()e (1)am h m am m =−+，2()e (1)e 2(e 2)am am am h m a am a m m a ′=−++=+， 当0m <时，()0h m ′<，()h m 在(,0)−∞上单调递减，当0m >时，()0h m ′>，()h m 在(0,)+∞上单调递增，故min ()(0)1h m h ==−，当m →−∞时，e (1)am am −的值趋近于0，2m 趋近于无穷大，故()h m 趋近于正无穷大，当m →+∞时，e (1)am am −的值趋近于正无穷大，2m 趋近于无穷大，故()h m 趋近于正无穷大， 故()h m 在(,0)−∞和(0,)+∞上各有一个零点，即2e (1)0am am m −+=有两个解，故对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条，B 正确；对于C ，当2a b +=−时，2=−−b a ，()2e (2)axf x x a x =+−+， 故()e 22axf x a x a ′=+−−，该函数为R 上单调增函数，()()020,1e (e 1)0a a f f a a a ′′=−<=−=−>，故(0,1)s ∃∈，使得()0f s ′=，即22e 1as s a a=−++， 结合A 的分析可知，()f x 的极小值也即最小值为2222e (2)1(2())as f s a s s s a s a as +−+=−+++−+=， 令2221)2)((s s a s a a m s −+++−+=，则()22(2)m s s a a′=−++，且为增函数，当a<0时，2(2)2)0(0a am −++≥−=>′ ，当且仅当a = 故当0s >时，()()00m s m ′′>>，则()f s 在(0,1)上单调递增， 故2()(0)1f s f a >=+，令3a =−，则21(0)10,()(0)03f f s f a =+=>∴>>， 此时()f x 的最小值为()0f s >，()f x 无零点，C 错误；对于D ，当0a b +>时，()f x 为偶函数，考虑0x >视情况； 此时()2e ,)(()0ax f x f x x bx x ++>==，e ()2ax x a b f x +=+′，结合A 的分析可知e ()2ax x a b f x +=+′在R 上单调递增，)0(0b f a ′=+>，故0x >时，()(0)0f x f ′′>>，则()f x 在(0,)+∞上单调递增，故()f x 在(,0)−∞上单调递减，()fx 为偶函数， 故()min (0)1f x f ==，D 正确，故选：ABD【点睛】难点点睛：本题综合新较强，综合考查了导数的几何意义以及极值点、零点、最值问题，计算量较大；难点在于利用导数解决函数的零点问题时，要能构造恰当的函数，结合零点存在定理判断导数值的情况，从而判断函数的单调性，求得最值，解决零点问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知sin 3cos 0αα−=，则cos 2tan αα+=________． 【答案】115##2.2##125 【解析】【分析】由倍角公式结合商数关系求解即可.【详解】因为tan 3α=，则22222222cos sin 1tan 4cos 2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα−−=−===−++，所以411cos 2tan 355αα+=−=． 故答案为：11514. 函数()1293x x f x −=+的最小值是___________.【答案】【解析】 【分析】先化简为()399x x f x =+，再结合基本不等式求出最小值即可.【详解】()12233939939x x x x x x f x −=+=+=+≥=，当且仅当399x x =，即14x =时取等.所以最小值为故答案为：15. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x =___________.①()f x 是定义域为R 的奇函数；②()()11f x f x +=−；③()12f =. 【答案】π2sin2x （答案不唯一） 【解析】.【详解】由条件①②③可知函数对称轴为1x =，定义域为R 的奇函数，可写出满足条件的函数π()2sin2f x x =. 故答案为：π2sin 2x （答案不唯一） 16. 函数()sin ln 23f x x x π=−−的所有零点之和为__________．【答案】9【解析】【分析】根据给定条件，构造函数sin y x =π，ln 23y x −，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答. 【详解】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=−，令sin y x =π，ln 23y x −， 显然sin y x =π与ln 23y x −的图象都关于直线32x =对称，在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x −的图象，如图，观察图象知，函数sin y x =π，ln 23y x −的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ， 这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=，则1234569x x x x x x +++++=， 所以函数()sin ln 23f x x x π=−−的所有零点之和为9.故答案为：9四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()222(sin sin sin )1cos2.a A c C b B a C +−=− （1）求B.（2）是否存在()0,A π∈，使得2a c b +=，若存在，求;A 若不存在，说明理由.【答案】（1）3B π=或23π；（2）当3B π=时，存在3A π=，使得2;a c b +=当23B π=时，不存在()0,A π∈，使得2.a c b +=【解析】【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得cos B ，进而求得B .（2）利用正弦定理化简已知条件，对B 进行分类讨论，进而求得A .【详解】（1）因为()222(sin sin sin )1cos2a A c C b B a C +−=−， 所以222(sin sin sin )sin a A c C b B a C +−=，可得sin sin sin sin a A c C b B a C +−=或sin sin sin sin a A c C b B a C +−=−，即222a c b ac +−=或222a c b ac +−=−， 所以2221cos 22a b c B ac +−==±， 又因为()0,B π∈，所以3B π=或23π.（2）因为2a c b +=，所以sin sin 2sin A C B +=. 当3B π=时，sin sin 2sin 33A A ππ ++=，可得3sin 2A A +， 所以sin 16A π+=， 又因为203A π<<，所以.3A π= 当23B π=时，22sin sin 2sin 33A A ππ ++=，可得1sin 2A A +，所以sin 3A π+综上，当3B π=时，存在3A π=，使得2;a c b += 当23B π=时，不存在()0,A π∈，使得2.a c b += 18. 已知直三棱柱111ABC A B C 中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点，11BF A B ⊥．（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大？【答案】（1）证明见解析；（2）当12B D =时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大．【解析】【分析】（1）连接AF ，易知1CF =，BF =，由11BF A B ⊥，BF AB ⊥，再利用勾股定理求得AF 和AC 的长，从而证明BA BC ⊥，然后以B 为原点建立空间直角坐标系，证得0BF DE ⋅= ，即可；（2）易知平面11BB C C 的一个法向量为(1p = ，0，0)，求得平面DEF 的法向量n ，再由空间向量的数量积可得cos ,p n <>= 2m =时，得解． 【小问1详解】证明：连接AF ，E ，F 分别为直三棱柱111ABC A B C 的棱AC 和1CC 的中点，且2ABBC ==， 1CF ∴=，BF =，11BF A B ⊥ ，11//AB A B ，BF AB ∴⊥3AF ∴===，AC =， 222AC AB BC ∴=+，即BA BC ⊥，故以B 为原点，BA ，BC ，1BB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0)A ， (0,0,0)B ， (0,2,0)C ， (1,1,0)E ， (0,2,1)F ， 设1B D m =，且[0,2]m ∈，则(,0,2)D m ，∴(0,2,1)BF = ， (1,1,2)DE m =−− ，∴0BF DE ⋅=，即BF DE ⊥．【小问2详解】解：AB ⊥ 平面11BB C C ，∴平面11BB C C 的一个法向量为(1,0,0)p =，由（1）知，(1,1,2)DE m =−− ， (1,1,1)EF − ，设平面DEF 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DE n EF ⋅= ⋅=，即(1)200m x y z x y z −+−= −++= ，令3x =，则1y m =+，2z m =−，∴(3,1,2)n m m =+−，cos ,||||p n p n p n ⋅∴<>==⋅， 又[0,2]m ∈∴当2m =时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的余弦值最小，此时正弦值最大，故当12B D =时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最大．19. 函数22()ln ,()(2) 2.71828...x f x a x x g x x e x m x e =−=−−+=+（其中）. （1）当0a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =−时，(0,1]x ∈时，()()f x g x >恒成立，求正整数m 的最大值. 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】【分析】（1）对()f x 求导，再因式分解，讨论每个因式的正负，再判断()f x ′的正负，进而判断()f x 的单调性；（2）代入1a =−，将不等式()()f x g x >中的x 和m 分离在不等号两边，然后讨论不等号含有x 一边的函数的单调性，进而判断最值，再计算m 的取值范围，由m 是正整数的条件可求出m 的最大值.【详解】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22()21,a x x af x x x x−++=−+=′①当18a ≤−时，因为(0,)x ∈+∞，故有2111()0248x a f x x −−++′ =≤. 此时函数()f x 在区间(0,)+∞单调递减. ②当108a −<<，有180a +>，方程220x x a −++=的两根分别是：120,0x x =>=>1(0,)()0,x x f x ′∴∈<当，函数()f x 在1(0,)x 上单调递减；当12(,)()0,x x x f x ′∈>，函数()f x 在12(,)x x 上单调递增； 当2(,)()0,x x f x ′∈+∞<，函数()f x 在2(,)x +∞上单调递减.③当0a =时，易知()f x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减. 综上所述，当18a ≤−时，()f x (0,)+∞上单调递减； 当108a −<<时，()f x在上单调递减，在)+∞ 上单调递增； 当0a =时，()f x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞单调递减. （2）当1(0,1],()(),(2)ln ,x a x f x g x m x e x x =−∈><−+−+， 设1()(2)ln ,(0,1],()(1)(),xxh x x e x x x h x x e x=−+−+∈∴=−−′∴当01x <≤时，有10x −≥，设211(),()0,xx u x e u x e x x′=−=+> ()u x ∴在(]0,1上单调递增，又()u x 在(0,1]上的函数图像是一条不间断的曲线，且1()202u ，(1)10u e =−>存在唯一01,12x ∈，使得0()0u x =，即001xe x =.在的当0(0,),()0,()0x x u x h x ′∈<<； 当0(,1),()0,()0x x u x h x ′∈>≥，()h x ∴在0(0,)x 上单调递减，在0(,1]x 上单调递增，0min 00000000012()()(2)ln (2)212,x h x h x x e x x x x x x x ∴==−+−+=−+⋅+=−++ 212y x x=−++ 在(0,1)上单调递减， 01(,1)2x ∈ ，0()(3,4).h x ∴∈3m ∴≤时，不等式(2)ln x m x e x x <−+−+对任意(0,1]x ∈恒成立，∴正整数m 的最大值是3.【点睛】本题是典型的导数和不等式的综合题，这种题需要分情况讨论函数单调性再进行判断，属于较难题.20. 已知函数()()ln f x a x a x =+−．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()2e af x a <．【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）求出函数导数，分类讨论求出函数单调区间；（2）先证明引理：0a ∀>，恒有ln 1a a ≤−且1e a a +<，构造函数()ln 1g a a a =−−，()e 1ah a a =−−，利用导数求证即可，再由引理原命题得证. 【小问1详解】因为()()ln f xa x a x =+−，定义域为()0,∞+，所以()1af x x′=−． 当0a ≤时，由于0x >，所以()0f x ′<恒成立，此时()f x 在()0,∞+上单调递减； 当0a >时，()()x a f x x−′=−，令()0f x ′=，得x a =，则当()0,x a ∈时，()0f x '>，有()f x 在()0,a 上单调递增；当(),x a ∈+∞时，()0f x ′<，有()f x 在(),a +∞上单调递减； 综上所述：当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递增，()f x 在(),a +∞上单调递减． 【小问2详解】我们先证明引理：0a ∀>，恒有ln 1a a ≤−且1e a a +<． 引理的证明：设()ln 1g a a a =−−，()e 1ah a a =−−． 故只需证明0a ∀>，恒有()0g a ≥，()0h a >． 由于()11g a a′=−，知当()0,1a ∈时，()0g a ′<；当()1,a ∈+∞时，()0g a ′>； 则()g a 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 10g a g ==， 所以0a ∀>，恒有()0g a ≥．由于()e 1ah a ′=−，知当0a >，均有0e 1e 10a −>−=，所以恒有()0h a ′>，故()h a 在()0,∞+上单调递增，则()0e 010h a >−−=． 所以0a ∀>，恒有()0h a >． 综上，引理得证．回到原题：由（1）得()()2maxln f x f a a a a a ==+−，故只需证明：对0a ∀>，恒有2ln 2e a a a a a a +−<，即ln 12e a a a +−<． 由引理得()()ln 111212e aa a a a a +−≤−+−<+<．命题得证．【点睛】关键点点睛：根据需要证明不等式，进行恰当转化可得ln 12e a a a +−<，根据此式，证明0a ∀>，恒有ln 1a a ≤−且1e a a +<是解题的关键. 21. 已知函数()ln 1f x x x x =−−． （1）证明：()0;f x ≤ （2）若e 1x ax ≥+，求a ．【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】【分析】（1）求导分析函数的单调性与最大值证明即可；（2）构造函数()e 1xg x ax =−−，求导分析单调性可得当0a >时()min ()ln ln 10g x g a a a a ==−−≥，结合（1）中的结论求解即可 【小问1详解】证明：()ln 1f x x x x =−−的定义域为()0+∞，，且()11ln ln .f x x x x x′=−+⋅=−令()0f x '=，得1x =．当01x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增;当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()max ()10f x f ==，所以()0.f x ≤【小问2详解】令()e 1xg x ax =−−，则()e xg x a ′=−．当0a ≤时，有()11e 10g a −−=+−<，与题设矛盾，故舍去．当0a >时，令()0g x '=，得ln .x a =当ln x a <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当ln x a >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()min ()ln ln 10.g x g a a a a ==−−≥由()1知，ln 10(a a a −−≤当且仅当1a =时，取等号)， 所以ln 10a a a −−=，所以1a =．22. 设函数()()2e sin 1xf x a x ax a x =+−−+.（1）当0a ≤时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 在R 上单调递增，求a .【答案】（1）在(),0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增（2）12 【解析】【分析】（1）求得()()e cos 21xf x a x ax a =+−−+′，设()()g x f x ′=，得到()()e 2sin xg x a x +′=−，得到()y g x =在R 上单调递增，得到()y f x ′=在R 上单调递增，结合()00f ′=，即可求解；（2）令()e 1xh x x =−−，利用导数求得()()00h x h ≥=，得到e 10x x −−≥和e 1x x −≥−， 令()sin x x x ϕ=−，得出0x ≥时，sin x x ≥；0x ≤，得到sin x x ≤，分0a ≤，102a <<，12a >和12a =，四种情况讨论，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【小问1详解】解：因为()()2e sin 1xf x a x ax a x =+−−+，可得()()e cos 21xf x a x ax a =+−−+′，设()()g x f x ′=，则()()e 2sin xg x a x +′=−所以当0a ≤时，()0g x ′>，函数()y g x =在R 上单调递增， 即函数()y f x ′=在R 上单调递增，又由()00f ′=，所以当0x <时，()0f x ′<；当0x >时，()0f x '>， 所以当0a ≤时，()f x 在(,0∞−上单调递减，在()0,∞+上单调递增. 【小问2详解】解：令()e 1xh x x =−−，可得()e 1xh x ′=−，当0x >时，()0h x ′>，()h x 单调递增； 当0x <时，()0h x ′<，()h x 单调递减，又由()00h =，所以()()00h x h ≥=，即e 10x x −−≥， 所以e 1x x ≥+，所以e 1x x −≥−；令()sin x x x ϕ=−，可得()1cos 0x x ϕ′=−≥，所以函数()x ϕ单调递增， 因为()00ϕ=，当0x ≥，可得()()00x ϕϕ≥=，即sin 0x x −≥，即sin x x ≥； 当0x ≤，可得()()00x ϕϕ≤=，即sin 0x x −≤，即sin x x ≤，（2.1）当0a ≤时，由（1）知不合题意； （2.2）当102a <<时，若(),0x ∈−∞， ()()e cos 21x f x a x ax a =+−−+′()1cos 211a x ax a x≤+−−+−121212111ax x a a ax a x x−−≤+−−−=−−； 当1102x a−<<时，()0f x ′<，()f x 单调递减，不合题意； （2.3）当12a >时，若()0,1x ∈，同理可得()12121ax x a f x x−− ′≤−， 当1012x a<<−时，()0f x ′<，()f x 单调递减，不合题意； （2.4）当12a =时，()2113e sin 222x f x x x x =+−−，可得()13e cos 22x f x x x =+−−′， 设()()g x f x ′=，则()1e sin 12x g x x ′=−−， ①当0x >时，()111e sin 11sin 10222x g x x x x x x =−′−≥+−−≥−>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()f x ′在()0,∞+上单调递增， ②当0x >时，若[)1,0x ∈−，()()()1111e sin 11021221xx x g x x x x x +−−≤−−≤−−′， 若(],1x ∈−∞−，()111e sin 1102e 2xg x x −≤+′−−<， 所以()g x 在(),0∞−上单调递增，()f x ′在(),0∞−上单调递增，由①②可知，()()00f x f ′′≥=，所以()f x 在R 上单调递增， 综上所述，12a =.。
2021届湖南省长郡中学2018级高三上学期第八次周考数学试卷参考答案
a
a
bb
ab
对
D，因为函数
y
1 2
x
在
R
上单调递减，又
a
b
，所以
1 2
a
1 2
b
，故
D
错误.
故选：AC
10.解析:由 a2 18, a5 12 解得 a1 20 ， d 2 ，故 A 错误；
所以
Sn
20n
n(n 1) 2
(2)
n2
21n
(n
21)2 2
441
，
4
又 n N ，所以当 n 10 或 n 11 时， Sn 取得最大值，故 C 正确；
5.解析:从编号 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，有 36 个基本事件， 其中第一次抽得的卡片上数字能被第二次抽得的卡片上的数字整除有如下基本事件(第一次抽得的卡片1, 第二次摸到卡片 2 用 (1, 2) 表示)： (1,1) ， (1, 2) ， (1,3) ， (1, 4) ， (1,5) ， (1, 6) ， (2, 2) ， (2, 4) ， (2, 6) ，
OD
，所以 O 为
BD
的中点，所以
S△AOC
1 2
S△ABC
，
因为 BA BC 4 ，所以 BA BC | BA | | BC | cos ABC | BA | | BC |
3 4，
2
所以 |
BA | |
BC
|
83 3
，所以 S△ABC
1 2
|
BA | |
BC
| sin ABC
2 ln x 1 ，令 g(x) x3
湖南省长郡中学2021届高三月考试卷(二)数学(Word版)
长郡中学2021届高三月考试卷(二)数 学本试卷共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={}{}2340=28x x x x B x --≤>， ,那么集合AB=A. (3,)+∞B. [1,)-+∞C. [3,4]D. (3,4] 2.设i 是虚数单位,若cos sin z i θθ=+,且其对应的点位于复平面的第二 象限,则θ位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3.曲线3()3f x x x =-+在点P 处的切线平行于直线21y x =-,则点P 的坐标为 A. (1,3) B. (-1,3) C. (1,3)和(-1,3) D. (1,-3)4.如图,网格纸上的小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的体积为A.83 B. 43C. 3D. 35.下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是A. cos(2)2y x π=+B. sin(2)2y x π=+ C. sin 2cos 2y x x =+ D. sin cos y x x =+6.已知直三棱柱ABC- A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为 A.3172 B. 10 C. 132D. 3107.中华文化博大精深,我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法.古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币(如图1)做统计,现将其抽象成如图2所示的图形,其中圆的半径为2cm,正方形的边长为1 cm,在圆内随机取点,若统计得到此点取自阴影部分的概率是p,则圆周率π的近似值为A.41p - B. 11p - C. 114p - D. 14(1)p - 8.设n S 是数列{}n a 的前n 项和,满足212n n n a a S +=.且0n a >,则10S =A.10B. 11C. 10311-D.11二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分. 9.已知函数2()lg(1)f x x ax a =+--,给出下述论述,其中正确的是 A.当a =0时, ()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞B. ()f x 一定有最小值;C.当a =0时, ()f x 的值域为R;D.若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是{}4a a ≥ 10.已知02παβ<<<，且tan ,tan αβ是方程220x kx -+=的两不等实根， 则下列结论正确的是A. tan tan k αβ+=-B. tan()k αβ+=-C. 22k >D. tan 4k α+≥ 11.正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E 、F 、G 分别 为BC ,，CC 1，BB 1的中点.则 A.直线D 1D 与直线AF 垂直 B.直线A 1G 与平面AEF 平行C.平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D.点C 与点G 到平面AEF 的距离相等12.已知函数3()sin f x x x ax =+-,则下列结论正确的是A. ()f x 是奇函数B.若()f x 是增函数,则a ≤1C.当3a =-时,函数()f x 恰有两个零点D.当3a =时,函数()f x 恰有两个极值点 三、填空题:本题共4小题.每小题5分,共20分. 13.在71(3)x x-的展开式中，41x 的系数是_______ 14.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE=2EF,则AF BC ⋅的值为_______15.已知函数()sin(33)cos(22)f x x x ϕϕ=++，其中ϕπ<,若()f x 在区间2(,)63ππ上单调递减,则ϕ的最大值为___________。
2021届湖南省长郡中学高三下学期数学月考试题答案
2021届湖南省长郡中学高三下学期数学月考试题答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.5【解析】二项式()4012233442344444411464x C C x C x C x C x x x x x -=-+-+=-+-+，()()42341111464x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫∴---=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴展开式中含3x 项的系数为()16115⨯+-⨯=.14.3515.()225000m【解析】在OAB △中，AOB θ∠=，100OB =，200OA =， 2222cos AB OB OA OB OA AOB ∴=+-⋅⋅∠，即AB =211sin 22OAB ABC OACB S S S OA OB AB θ∴=+=⋅⋅⋅+⋅四边形△△，25100sin 2cos 2OACB S θθ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭四边形令tan 2ϕ=，则()251002OACB S θϕ⎤=-+⎥⎦四边形∴“直接监测覆盖区域”面积的最大值为()225000m .16.4【解析】设2,2b M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线OM 的方程为：2y x b =，即2bx y =，代入22(0y px p =>且1p ≠），可得y =pb ，22pb x =，即2,2pb N bp ⎛⎫⎪⎝⎭. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】（1）由题52543411712S S a a a q a a q -++==++=，解得2(1)q q =>. ............... 3分 又342S a +=，即11728a a +=，12a ∴=，2n n a ∴=. (5)分（2）由（1）知122n n S +=-，11111222n n n S ++∴=>-， 又11111222222n n n n n S +==≤-+-，111122n nn S +∴<≤，…………………………………………………… 7分∴当1n =时，112T =，2311422-=，111122-=，故11113111422T +-≤≤-成立. 当2n ≥时，3411111131242222n n n T ++>++++=-，2311111122222n n n T ≤++++=-，综上所述， 13111422n n n T +-≤≤-. …………………………………………………… 10分18.【解析】（1sin (2cos )A a B =+sin sin (2cos )B A A B =+.显然sin 0A >cos 2B B -=， …………………………………………………… 3分所以2sin 26B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，(0,)B π∴∈所以62B ππ-=，23B π∴=.…………………………………………………… 6分（2=，4ac ∴=. ……………………………………………………8分所以4a c +≥=，当且仅当2a c ==时取等号.又由余弦定理得222222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=，b ∴≥ 当且仅当2a c ==时取等号.所以ABC △的周长的最小值为4+……………………………………………………12分 19.【解析】（1）证明：记AC BD O ⋂=，连接PO ， 底面ABCD 为正方形， 2OA OC OB OD ∴====PA PC =，PO AC ∴⊥， …………………………………………………… 2分 PAC ⋂底面ABCD AC =，PO ⊂平面PAC ，PO ∴⊥底面ABCDBD ⊂底面ABCD ，PO BD ∴⊥，PB PD ∴=. …………………………………………………… 5分（2）以O 为坐标原点，射线,,OB OC OP '的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，由（1）可知2OP =可得(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,0,0),P A B C D --(0,1,1),(0,1,1),(2,1,1),(0,2,0)M N DM MN -=-=设平面DMN 的法向量(,,)x y z =n ， 00DM MN ⋅=⋅⋅=n n 200x y z y -+=⎧∴⎨=⎩， 今1x =，可得(1,0,2)=-n ，(2,0,2)PB =-， …………………………………………………… 9分cos ,||||PB PB PB ⋅〈〉===⨯n n n ；∴直线PB 与平面DMN …………………………………………………… 12分20.【解析】（1）由题意，得222222211c a b c a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，解得2a =，b =.∴椭圆C 的方程为22142x y +=. ……………………………………………………5分（2）12k k 为定值12-.理由如下：①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =±； 当2x =时，(2,A B，则1212k k ⎛=- ⎝⎭; 当2x =-时，,((2,A B --，1212k k ==-；…………………………………… 6分②当直线l 的斜率存在时，设其方程为()()1122,,,,y kx m A x y B x y =+ 联立22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222124240k x kmx m +++-=由题意得：()()222216412240k m k m ∆=-+-=，得2242m k =+则212122226,11km m x x x x k k -+=-=++.……………………………………………………8分 ()()()221212121212121212kx m kx m k x x km x x m y y k k x x x x x x +++++∴===⋅22222222222262426111264261m km k km m k k k k m k k -⎛⎫⋅+⋅-+ ⎪+-++⎝⎭===--+-+ 综上，12k k ⋅为定值12-. ……………………………………………………12分21.【解析】（1）0r r <理由如下：由图可知，y 与x 成正相关关系， ①异常点A ，B 会降低变量之间的线性相关程度。
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14. 掷骰子 2 次，每个结果以（x1，x2）记之，其中 x1，x2 分别表示第一次、第二次掷骰子 的点数，设 A＝{（x1，x2）|x1+x2＝6}，B＝{（x1，x2）|x1＞x2}，则 P（B|A）＝____
15. 已知向量 ， 满足
，
，且
t ， ，则
．
16. 已知函数 f（x）＝2sin2x asin2x 的最大值为 3，则实数 a 的值为 ． 四、解答题： 17. 如 图 平 面 四 边 形 ABCD ， △ ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已知
D． D．y= 1 x+ 1 22
8. 0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列 a1a2 an 满足 ai {0,1}(i 1, 2,) ，
且存在正整数 m ，使得 aim ai (i 1, 2,) 成立，则称其为 0-1 周期序列，并称满足
aim ai (i 1, 2,) 的最 小正 整数 m 为这 个序 列的 周期． 对于 周期 为 m 的 0-1 序列
A．
（a＞0，b＞0） B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0）
C．
（a＞0，b＞0） D．
（a≥0，b＞0）
12. 已知函数 f（x）＝x﹣（x﹣1）lnx，下述结论正确的是（ ） A．f（x）存在唯一极值点 x0，且 x0∈（1，2） B．存在实数 a，使得 f（a）＞2 C．方程 f（x）＝﹣1 有且仅有两个实数根，且两根互为倒数 D．当 k＜1 时，函数 f（x）与 g（x）＝kx 的图象有两个交点
3. 20 世纪 30 年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地
震能力的等级，地震能力越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说
的里氏震级 M．其计算公式为 M＝lgA﹣lgA0，其中 A 是被测地震的最大振幅，A0 是标 准地震的振幅，5 级地震已经给人的震感已比较明显，8 级地震的最大振幅是 5 级地震
A． • • （ ）• B．（ • ）• （ • ）• 与 不垂直
C．| |﹣| |＜| |
D．（3 2 ）•（3 2 ）＝9| |2﹣4| |2
10. 若正实数 a，b 满足 a+b＝1，则下列选项中正确的是（ ）
A．ab 有最大值
B．
有最大值
C． ＞
D． 有最小值
11. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处 理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定 理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图 形如图所示，C 为线段 AB 上的点，且 AC＝a，BC＝b，O 为 AB 的中点，以 AB 为直径作半圆．过点 C 作 AB 的垂 线交半圆于 D，连结 OD，AD，BD，过点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E．则该图形可以 完成的所有的无字证明为（ ）
班次_______姓名__________ 一、单选题答案
题号
1
2
3
4
5
6
答案
二、多选题答案题号9ຫໍສະໝຸດ 1011答案
三、填空题
7
8
12
13. 某省新高考方案规定的选科要求为：学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、
生物、政治、地理四门学科中任选两科．现有甲、乙两名学生按上面规定选科，则甲、
乙恰有一门学科相同的选科方法有_____种
的最大振幅的（ ）A．30 倍B．lg30 倍 C．100 倍 D．1000 倍
4. （x2+2）3（ 1）7 展开式中常数项是（ ）A．15 B．﹣
15 C．7 D．﹣7 5. 若函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），已知函数 y
＝|f（x）|的图象如图，则（ ）
A．f（x）＝2sin（4x ）
B．f（x）＝2sin（4x ）
C．f（x）＝2sin（ x ）
D．f（x）＝2sin（ x ）
6. 函数 f（x）＝ln（
kx）的图象不可能是（ ）
A．
B．
C．
7. 若直线 l 与曲线 y= x 和 x2+y2= 1 都相切，则 l 的方程为 5
A．y=2x+1
B．y=2x+ 1 2
C．y= 1 x+1 2
（2）①若
，＜＜
案二的合理性；
t ，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方
②若
，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求 k 的最大值．
（a＞0）元，且 k 份血液样本混合检验一次需要额外收 元的材料费和服务费．假设
在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本
是阳性的概率为 p（0＜p＜1）． （1）若 k（k∈N*，k≥2）份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为 X，求 X 分布列及数学期望；
2ccos2
asinC＝0．（1）求∠CAB；
（2）若 AB＝AC，BD＝1，CD＝2，求四边形 ABCD 面积的最大值．
18. 某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有 k （k∈N*，k≥2）份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验 k 次；方案二：混合检验，将 k 份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为 阴性，则 k 份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定 k 份血液中的阳性血液 样本，则对 k 份血液样本再逐一检验．逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是 a
数学周考（20200919）
一、单选题 1. 已知随机变量 Z～N（0，1），且 P（Z＜2）＝a，则 P（﹣2＜Z＜2）＝（ ）
A．2a
B．2a﹣1
C．1﹣2a
2. 已知 a＝20.6，b＝0.60.2，c＝log0.60.2，则（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞b＞a
D．2（1﹣a） D．c＞a＞b
a1a2 an ，C(k)
1 m
m i 1
ai aik
(k
1, 2,, m
1)
是描述其性质的重要指标，下列周期为
5 的 0-1 序列中，满足 C(k) 1 (k 1, 2,3, 4) 的序列是 5
A． 11010
B． 11011
C． 10001
D． 11001
二、多选题
9. 设 ， ， 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）