背包算法问题
01背包的穷举算法
01背包的穷举算法1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下角度进行撰写：引言部分的目的是引导读者对文章内容的整体认识，让读者了解背包问题以及本文要介绍的01背包问题的穷举算法。
本文将首先介绍背包问题的概念，然后具体阐述01背包问题的定义以及解决该问题的穷举算法。
在现实生活中，背包问题是一类经典的组合优化问题。
它源于如何在背包容量有限的情况下，从给定的一组物品中选择出一些物品放入背包中，使得放入背包的物品总价值或总重量达到最大或最小。
这个问题可以应用在多个领域，如资源分配、货物装载等场景中。
而01背包问题是背包问题的一个特例，它的特点是每个物品只有取或不取两种选择。
具体来说，对于一组给定属性的物品，每个物品都有一个对应的重量和价值。
背包有一个固定的容量限制，任务是选择一些物品放入背包，使得这些物品的总重量不超过背包的容量，同时总价值最大化。
针对01背包问题，本文将介绍一种穷举算法，该算法通过列举所有可能的解，逐一判断是否满足问题的约束条件，从而找到满足最大总价值的解。
这种算法的优点在于能够找到问题的最优解，并且理论上适用于任意问题规模。
但同时，穷举算法也存在着计算复杂度高、耗时较长等缺点。
通过对01背包问题的穷举算法的介绍，读者将能够了解该算法的基本原理和应用场景，并且能够更深入地思考如何在实际问题中应用这种算法来求解最优解。
在接下来的内容中，我们将详细介绍背包问题的定义、01背包问题的具体情况以及穷举算法的细节。
1.2文章结构1.2 文章结构本文主要围绕着01背包问题展开讨论，旨在介绍和分析01背包问题的穷举算法。
具体来说，文章将从以下几个方面进行论述：1. 引言：介绍文章的背景和问题意义。
2. 背包问题介绍：对背包问题进行概括和解释，包括其应用领域和基本概念。
3. 01背包问题的定义：详细阐述01背包问题的定义、形式和要求。
4. 01背包问题的穷举算法：介绍和探讨01背包问题的穷举算法，包括算法思路、具体步骤和实现过程。
遗传算法求解背包问题
遗传算法求解背包问题程序实现一、背包问题描述背包问题是著名的NP 完备类困难问题,对这个问题的求解前人已经研究出了不少的经典的方法,对该问题确实能得到很好的结果。
近年来蓬勃发展起来的遗传算法已被广泛地应用于优化领域,其全局最优性、可并行性、高效性在函数优化中得到了广泛地应用遗传算法克服了传统优化方法的缺点,借助了大自然的演化过程,是多线索而非单线索的全局优化方法,采用的是种群和随机搜索机制. 本程序将遗传算法应用于背包问题。
二、实验程序1、编程语言：C++2、开发环境：Microsoft Visual Studio 20053、程序整体流程：步1初始化过程1. 1确定种群规模scale、杂交概率pc、变异概率pm、染色体长度chN及最大进化代数maxgen。
1. 2取x1′(0) = u (0 ,1) , x2′(0) = u (0 ,1) , …, xchN′(0) = u (0 ,1) ,其中函数u (0 ,1) 表示随机地产生数0 或1 ,则x (0) = ( x1 (0) , x2 (0) ,⋯, xN (0) ) .若不满足约束条件,则拒绝接受. 由(1. 2) 重新产生一个新的染色体; 如果产生的染色体可行,则接受它作为种群的一名成员,经过有限次抽样后, 得到scale个可行的染色体xj (0) , j =1 ,2 , ⋯, M ,设xj (0) 的染色体编码为vj (0) ,并记为v (0) = ( v1 (0) , ⋯, vchN (0) ) .1. 3计算各个染色体的适值1. 4 置k = 0步2选择操作2. 1采用转轮法选择下一代。
.步3杂交变异操作3. 1 事先定义杂交操作的概率pc ,为确定杂交操作的父代,从j = 1 到M 重复以下过程:从[0 ,1 ] 中产生随机数r ,若r < pc ,则选择cj′( k)作为一个父代.3. 2 产生两个[1 , N ] 上的随机整数i 、j ,变异的结果为染色体vj′( k)的第i 位基因的值变为其第j 位基因的值,同样将染色体的vj′( k)第j 位基因的值变为其第i 位基因的值.3. 3 检验该染色体的可行性,若可行则作为变异的结果;如不可行,重复3. 2 直至该染色体可行.3. 4 事先定义变异概率pm ,对经过杂交操作的中间个体进行变异操作: ,如果r < pm ,则选择vi″( k) 作为变异的父代.3. 5 产生一个[1 , N ] 上的随机整数i ,及随机地产生数0 或1 , 记为b , 变异的结果为染色体vi″( k) 的第i 位基因的值变为b.3. 6 检验该染色体的可行性,若可行则作为变异的结果:如不可行,重复3. 5 直至该染色体可行.3. 7 计算新个体的适应值,并把它们同时放回,和步2 选择操作中剩余的个体一起构成新一代种群v ( k + 1) = { v1 ( k + 1) , v2 ( k + 1) , ⋯, vM ( k + 1) } .步4 终止检验如果达到最大进化代数maxgen 则终止演化,否则置k : = k + 1 ,转步2.4、程序流程图程序流程图5、程序代码1）主程序代码：KnapsacksProblem.cpp文件#include "GAonKP.h"#include <iostream>using namespace std;void main(){FILE* fp;CGAonKP gakp;int scale; //种群规模double MaxWeight; //背包允许最大财宝质量double pc; //杂交概率double pm; //变异概率int maxgen; //最大进化代数char filename[256];cout<<"遗传算法解决背包问题程序使用说明："<<endl;cout<<"1、该背包问题采用遗传算法"<<endl;cout<<"2、-1编码的方法，其中代表选中所对应的物品，代表不选中该物品"<<endl;cout<<"3、背包允许最带重量，种群规模（解空间大小），";cout<<"杂交概率，变异概率，最大进化代数需自己给";cout<<"定，程序会提示输入"<<endl;cout<<"4、程序提供一个输入示例"<<endl;cout<<"5、输入文件可加单行或多行注释"<<endl;cout<<"例如：#添加单行注释内容#"<<endl;cout<<"例如：#添加多行注释内容"<<endl;cout<<" 添加多行注释内容#"<<endl;cout<<"6、输入文件头位置需指定物品个数为int型数据。
遗传算法求解0-1背包问题(JAVA)
遗传算法求解0-1背包问题一、问题描述给定n种物品和容量为C的背包。
物品i的重量是wi，其价值为vi。
问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?二、知识表示1、状态表示（1）个体或染色体：问题的一个解，表示为n个比特的字符串，比特值为0表示不选该物品，比特值为1表示选择该物品。
（2）基因：染色体的每一个比特。
（3）种群：解的集合。
（4）适应度：衡量个体优劣的函数值。
2、控制参数（1）种群规模：解的个数。
（2）最大遗传的代数（3）交叉率：参加交叉运算的染色体个数占全体染色体的比例，取值范围一般为0.4～0.99。
（4）变异率：发生变异的基因位数所占全体染色体的基因总位数的比例，取值范围一般为0.0001～0.1。
3、算法描述（1）在搜索空间U上定义一个适应度函数f(x)，给定种群规模N，交叉率Pc和变异率Pm，代数T；（2）随机产生U中的N个个体s1, s2, …, sN，组成初始种群S={s1, s2, …, sN}，置代数计数器t=1；（3）计算S中每个个体的适应度f() ；（4）若终止条件满足，则取S中适应度最大的个体作为所求结果，算法结束。
（5）按选择概率P(xi)所决定的选中机会，每次从S中随机选定1个个体并将其染色体复制，共做N次，然后将复制所得的N个染色体组成群体S1；（6）按交叉率Pc所决定的参加交叉的染色体数c，从S1中随机确定c个染色体，配对进行交叉操作，并用产生的新染色体代替原染色体，得群体S2；（7）按变异率P m所决定的变异次数m，从S2中随机确定m个染色体，分别进行变异操作，并用产生的新染色体代替原染色体，得群体S3；（8）将群体S3作为新一代种群，即用S3代替S，t = t+1，转步3。
三、算法实现1、主要的数据结构染色体：用一维数组表示，数组中下标为i的元素表示第（i+1）个物品的选中状态，元素值为1，表示物品被选中，元素值为0表示物品不被选中。
种群：用二维数组表示，每一行表示一个染色体。
动态规划解决背包问题和旅行商问题
动态规划解决背包问题和旅行商问题动态规划（Dynamic Programming）是一种解决复杂问题的算法思想，它通过将问题划分为多个子问题，并记录子问题的解来解决原始问题。
在背包问题和旅行商问题中，动态规划是一种常见且高效的解决方法。
1. 背包问题背包问题是一个经典的优化问题，可以用动态规划的方法解决。
给定一组物品，每个物品有自身的价值和重量，同时给定一个背包的容量，要求在不超过背包容量的前提下，选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大化。
动态规划的思路是定义一个二维数组dp[i][j]，其中i表示从第1个到第i个物品，j表示背包的容量。
dp[i][j]表示在前i个物品中，容量为j的背包中能够放入的物品的最大价值。
通过状态转移方程可以求解dp[i][j]，其中状态转移方程为:dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])其中w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。
通过计算dp[i][j]，最终可以得到在背包容量为j的情况下的最大价值。
可以通过回溯的方法找到具体放入背包的物品。
2. 旅行商问题旅行商问题是一个典型的组合优化问题，它要求在给定的一组城市中，寻找一条最短的路径使得旅行商经过每个城市一次后返回起始城市。
动态规划可以通过建立一个二维数组dp[S][i]来解决旅行商问题，其中S表示城市的集合，i表示当前所在的城市。
dp[S][i]表示从起始城市出发经过集合S中的城市，最后到达城市i的最短路径长度。
对于dp[S][i]，可以通过以下状态转移方程来计算：dp[S][i] = min(dp[S-{i}][j] + d[j][i])其中S-{i}表示从集合S中去除城市i，d[j][i]表示从城市j到城市i的距离。
通过计算dp[S][i]，最终可以得到从起始城市出发经过所有城市一次后返回起始城市的最短路径长度。
同样可以通过回溯的方法找到具体的最短路径。
ACM背包问题
背包问题
如果给你一个背包，要你从许多东西里选择一些装进来，只要这个包装得下，你就可 以将包里的东西全部拿走了，那么你会如何选择物品呢？这里你需要考虑的是背包的体积 和承重限制，当然最重要的是你拿走的东西的总价值最大。这样的问题就是背包问题，许 多问题都可以转化为背包问题来考虑。背包问题是一个在运筹学领域里常见的典型 NP-C 难题，对该问题的求解方法的研究无论是在理论上，还是在实践中都具有一定的意义。
while (goods[0].flag<goods[i].flag) {
goods[i+1]=goods[i]; i--; } goods[i+1]=goods[0]; } ///////////////////////////////////////////
·78·
第 4 章 背包问题
cout<<"最优解为:"<<endl; for(i=1;i<=n;i++) {
4.3.1 〖案例 2〗0/1 背包
需对容量为 c 的背包进行装载。从 n 个物品中选取装入背包的物品，每件物品 i 的重 量为 wi，价值为 pi。对于可行的背包装载，背包中物品的总重量不能超过背包的容量，最 佳装载是指所装入的物品价值最高。限制：每个物品不能被分割，要不被装载，要不不被 装载。
第一行物品个数，接下来分别为物品价值，再接下来分别为物品的价值。再接下来分 别为物品的重量，最后为背包的容量。
数据结构与算法： 不需要特殊的数据结构 算法采用贪婪法 首先输入物品信息和背包容量,然后每次选比重最大的装载。
struct goodinfo
{ float p; float w; float X; int flag;
著名算法matlab编程 贪心算法 背包问题 递归算法 Hanoi塔问题 回溯算法 n皇后问题
10/22
在命令窗口输入：>> [n,s]=hanoi(3,1,2,3) n= 7 s= 1 2 1 3 1 2 1 1 1 3 1 2 2 1 3 2 2 3 1 3 3
1
1 2 3
2 3 3 3 1
2
3
1
2 1 2
1
1 2
2
3
3
1
2 3
1 2 3
11/22
5/22
A
B
C
1
2
n
6/22
问题分析： 把柱C作为目标柱子，设an为n块金片从其中一柱移 到另一柱的搬运次数，则把n块金片从A移到C，可 以先把前n-1片移到B，需搬an-1次；接着把第n片从 A称到C，再从B把剩下的n-1片搬到C，又需搬an-1 次。所以从A到n块金片称到柱C，共需次数为： 2an-1+1次。 显然，当n=1时，a1=1，所以Hanoi塔的移动次数相 当于一个带初值的递归关系：
有 旅 行 者 要 从 n 种 物 品 中 选 取 不 超 过 b公 斤 的 物 品 放 入 背 包 ， 要 求 总 价 值 最 大 。 设 第 i 种 物 品 的 重 量 为 a i， 价 值 为 c i，i 1, 2 , n )。 定 义 向 量 [ x 1 , x 2 , , x n ]， 当 选 第 i ( 种 物 品 往 背 包 放 时 取 x i 1， 否 则 取 x i 0。 于 是 所 有 选 取 的 物 品 的 总 价 值 为 ： c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n， 总 的 重 量 为 ： a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n。 问 题 可 描 述 为
回溯法01背包问题
回溯法解决01背包问题
if(currentWeight+weight[i]<=c) { //将物品i放入背包，搜索左子树 bestAnswer[i] = 1; currentWeight += weight[i]; bestPrice += price[i]; Backtracking(i+1); //完成上面的递归，返回到上一结点，物 品i不放入背包，准备递归右子树 currentWeight -= weight[i]; bestPrice -= price[i]; } bestAnswer[i] = 0; Backtracking(i+1); }
回溯法解决01背包问题
0—1背包问题是一个子集选取问题，适合 于用子集树表示0—1背包问题的解空间。 在搜索解空间树是，只要其左儿子节点是 一个可行结点，搜索就进入左子树，在右 子树中有可能包含最优解是才进入右子树 搜索。否则将右子树剪去。
问题分析：
首先是将可供选择的物品的个数输入程序，将物品排成一列，计 算总物品的体积s，然后输入背包的实际体积V，如果背包的体积 小于0或者大于物品的总体积s，则判断输入的背包体积错误，否 则开始顺序选取物品装入背包，假设已选取了前i 件物品之后背包 还没有装满，则继续选取第i+1件物品，若该件物品"太大"不能装 入，则弃之而继续选取下一件，直至背包装满为止。但如果在剩 余的物品中找不到合适的物品以填满背包，则说明"刚刚"装入背包 的那件物品"不合适"，应将它取出"弃之一边"，继续再从"它之后" 的物品中选取，如此重复，直至求得满足条件的解。 因为回溯求解的规则是"后进先出"，所以要用到栈来存储符合条件 的解，在存储过程中，利用数组来存储各个物品的体积，然后用 深度优先的搜索方式求解，将符合条件的数组元素的下标存入栈 里，最后得到符合条件的解并且实现输出。
遗传算法求解0-1背包问题
一、实例一：1.问题描述假设：背包最大重量为300，物品的数量为10，物品的价值：[95 75 23 73 50 22 6 57 89 98]，物品的重量：[89 59 19 43 100 72 44 16 7 64]2.Matlab代码（1）参数初始化，导入本问题的物品的价值和重量数据，并设定背包最大重量。
wei=[9575 23 73 50 22 6 57 89 98];val=[89 59 19 43 100 72 44 16 7 64];w=300; %总重量约束值（2）随机产生数量为30的种群。
生成30*10的0-1矩阵。
So =round(rand(30,10));So=hardlim(So); %So为随机产生的矩阵,值为0或1[ZQ,Y] = size(So);（3）迭代次数为50代，交叉概率为90%，变异概率为5%.ds = 50; pc = 0.9; pm = 0.05;（4）设置适应度函数，利用惩罚函数降低不合格解的适应度，惩罚因子设为1.5.pu=1.5;syd =So*val'-pu*So*val'./(So*wei').*((So*wei'-w)>0).*(So*wei'-w);figure(1);hold on;（5）用轮盘赌进行选择操作，用选择出的个体构成的种群替代旧的种群better1=1; ip = 1; updatef=-10; %betterl为当前算出的总价值，ip为代数whileip<= dsfori=1:ZQfi(i)=syd(i)-min(syd)+1;endfori=1:ZQsp(i)=fi(i)/sum(fi);endfori=2:ZQsp(i)=sp(i-1)+sp(i);endfori=1:ZQp=rand(1); sindex=1;while p >sp(sindex)sindex=sindex+1;endnewSo(i,:)=So(sindex,:);endfori=1:ZQSo(i,:)=newSo(i,:);end（6）设置的交叉概率pc为90%，产生要配对的父代的序号，经过50次顺序调换，将原有顺序打乱，使相邻两个个体作为交叉的父代fori=1:ZQweiindex(i)=i;endfori=1:ZQpoint=unidrnd(ZQ-i+1);temp=weiindex(i);weiindex(i)=weiindex(i+point-1);weiindex(i+point-1)=temp;endfori=1:2:ZQp=rand(1);if(p<pc)point=unidrnd(Y-1)+1;for j=point:(Y-1)ch=So(weiindex(i),j);So(weiindex(i),j)=So(weiindex(i+1),j);So(weiindex(i+1),j)=ch;endendend（7）设置变异的概率为5%，产生50*10的0-1矩阵，对1的位置进行变异M=rand(ZQ,Y)<=pm;So=So-2.*(So.*M)+M;（8）产生精英染色体，you1是适应度最大的染色体，you2为适应度最小的染色体，最优解为不超过背包容量的适应度最大的syd2数组，better3即为每代的最优值，并用粉色星号画出来。
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背包问题贪心方法 实验日志
实验题目：
1）求以下情况背包问题的最优解：n=7，M=15，（71,,p p ）=（10，5，15，7，6，18，
3）和（71,,w w ）=（2，3，5，7，1，4，1）。
实验目的：
1. 掌握贪心方法算法思想；
2. 熟练使用贪心算法之背包问题解决相应的问题。
实验思想：
贪心方法是一种改进了的分级处理方法。
它首先根据题意，选取一种量度标准。
然后按这种量度标准对这n 个输入排序，并按排序一次输入一个量。
如果这个输入和当前已构成在这种量度意义下的部分最优解加在一起不能产生一个可行解，则不把此解输入加到这部分解中。
这种能够得到某种度量意义下的最优解的分级处理方法称为贪心方法。
1．背包问题
（1）背包问题的描述：已知有n 种物品和一个可容纳M 重量的背包，每种物
品i 的重量为i w 。
假定将物品i 的一部分i x 放入背包就会得到i i x p 的效益，这里，10≤≤i x , 0>i p 。
显然，由于背包容量是M ，因此，要求所有选中要装入背包的物品总重量不得超过M.。
如果这n 件物品的总重量不超过M ，则把所有物品装入背包自然获得最大效益。
现需解决的问题是，这些物品重量的和大于M ，该如何装包。
由以上叙述，可将这个问题形式表述如下：
极 大 化
∑≤≤n i i x p 1i
约束条件 M x w n i i ≤∑≤≤1i
n i w p x i i i ≤≤>>≤≤1,0,0,10
（2）用贪心策略求解背包问题
首先需选出最优的量度标准。
不妨先取目标函数作为量度标准，即每装
入一件物品就使背包获得最大可能的效益值增量。
在这种量度标准下的贪心
方法就是按效益值的非增次序将物品一件件放到背包中去。
如果正在考虑中
的物品放不进去，则可只取其一部分来装满背包。
但这最后一次的方法可能
不符合使背包每次获得最大效益增量的量度标准，这可以换一种能获得最大
增量的物品，将它（或它的一部分）放入背包，从而使最后一次装包也符合
量度标准的要求。
算法如下所示。
算法2．1 背包问题的贪心算法
procedure GREEDY-KNAPSACK(P,W,M,X,n)
//P（1：n）和W（1：n）分别含有按P（i）/W（i）≥P（i+1）/ W （i+1）排序的n件物品的效益值和重量。
M是背包的容量大笑，而X（1：
n）是解向量。
//
real P(1：n)，W（1：n）,X（1：n），M，cu；
integer i，n;
X←0 //将解向量初始化为零
cu←M //cu是背包剩余容量
for i←1 to n do
if W(i)>cu then exit endif
X(i) ←1
cu←cu-W(i)
repeat
if i≤n then X(i) ←cu/W(i)
endif
end GREEDY-KNAPSACK
实验代码：
#include<iostream>
using namespace std;
void beibao(double *w,double *v,double *x,double n,double *C)
{
int i,j,temp;
for(i=0;i<n-1;i++)
for(j=i+1;j<n;j++)
if(v[i]/w[i]<v[j]/w[j])
{
temp=v[i];
v[j]=temp;
temp=w[i];
w[i]=w[j];
w[j]=temp;
}
for(i=0;i<n;i++)
x[i]=0;
for(i=0;*C!=0;i++)
{
i f(w[i]<*C)
{
x[i]=w[i];
*C=*C-w[i];
}
e lse
{
x[i]=*C;
*C=*C-*C;
}
}
}
void main()
{
int i;
double *w,*v,n,C;
double *x;
cout<<"请输入物品数"<<endl;
cin>>n;
w=new double(n);//动态分配内存
v=new double(n);
x=new double(n);
cout<<"请输入背包的容量"<<endl;
cin>>C;
cout<<"请分别输入"<<n<<"个物品的重量:"<<endl; for(i=0;i<n;i++)
cin>>w[i];
cout<<"请分别输入"<<n<<"个物品的价值:"<<endl; for(i=0;i<n;i++)
cin>>v[i];
beibao(w,v,x,n,&C);
cout<<"装入的物品为:"<<endl;
for(i=0;i<n;i++)
{
c out<<"其装的重量为："<<x[i]<<" 其价值为："<<v[i];
}
cout<<endl;
}
}
实验结果：
心得体会：
通过本次使用让我了解了什么是贪心法，什么事背包问题以及如何运用背包问题解决问题。