济南大学高数下1习题课
济南大学高等数学下历年考题答案
得f x ( x, x) f x ( x, x) x 2
y( x) -2e 2 x f ( x, x) x 2e 2 x
一阶线性微分方程
P( x) 2
Q( x ) x 2e 2 x
P ( x ) dx
ye
P ( x ) dx
[C Q( x )e
B( x, y )
在 整 个 xoy面 内2 xydx x 2dy是 某 个 函 数 的 全 微 分
取积分路径，如图：
则u( x, y )
2
( x, y)
( 0, 0 )
2
2 xydx x dy
2
2 2
OA
xy dx x ydy xy dx x ydy
2
AB
A( x ,0)
2 xdv 2 ydv 0 （由对称性）
上式 dv
2
0
d
1 rdr 2 dz 0 r 2
1
1
3、计算曲面积分 I x 2 dydz y 2 dzdx ( z x)dxdy ，其中 为抛物面 z
1
) ( x n1 )
n 0
(
1 x ) (1 x ) 2 1 x
1
( x 6 y)dxdy，其中 D 是由 y x
D
y 5x 和 x 1 ，
y 5x
所围成的闭区域.
dx ( x 6 y )dy 0
x
1
5x
y x
0
1
2. ( 2 xy3 y 2 cos x )dx (1 2 y sinx 3 x 2 y 2 )dy ，其中
济南大学2009～2010学年第一学期课程考试试卷(A卷)答案
概念 极限 性质 计算方法
概念 连续 基本结论 性质 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
左右极限
第二章主要内容回顾
导数的概念、几何意义 定义求导 导数 求导方法 基本公式、四则运算、复合求导 反函数求导 特殊函数求导 隐函数求导 高阶导数
0
证明至少存在一点 (0,1) ，使得 f ( )(1 ) f ( x)dx
证:
令F ( x) (1 x) f (t )dt
0
x
F ( x) f (t )dt (1 x) f ( x)
0
x
显然，F ( x)在[0,1]上连续，在 0,1)内可导，且 (0) F (1), ( F
原积分
xdf ( x )
2
2
xf ( x)
f ( x)dx
2
4
1
五、解答题（8分）
y f ( x)
的极值。
dy t 2 1 2 0 dx t 1
由参数方程
x t 3 3t 1 3 y t 3t 1
确定，求
f ( x)
3 1 x 3 2 x x
x0 x0
5．设
x ln(1 t an t )dt 0 f ( x) x2 a
2
在原点处连续，则
a
0
lim
x 0
x2 0
ln( tan t )dt 1 x
2
2 x ln( tan | x |) 1 lim x 0 2x
高等数学下册习题课(27)
习 题 课 二 十 七1．设⎰⎰⎰Ω=dV z y x f I ),,(，其中Ω是由4222≤++z y x 和z y x 322≤+围成的区域，试在直角坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下分别将I 化为三次积分。
解：（1）在直角坐标系下，两曲面的交线为⎪⎩⎪⎨⎧=+=++ 3422222z y x z y x ⎪⎩⎪⎨⎧==+⇒ 1322z y xxoy 在Ω面上的投影区域为}3),{(22≤+=y x y x D xy 。
⎰⎰⎰--+----=224322232333),,(y x yx x x dz z y x f dy dx I 。
（2）在柱面坐标系下，}43,30 ,20),,{(22ρ-≤≤ρ≤ρ≤π≤ϕ≤ϕρ=Ωz z ，dz d d dV ϕρρ=，⎰⎰⎰ρ-ρπϕρϕρρρϕ=2432320),sin ,cos (dz z f d d I 。
（3）在球面坐标系下，21ΩΩ=Ω ，}20 ,30 ,20),,{(1≤≤π≤θ≤π≤ϕ≤ϕθ=Ωr r ，}sin cos 30 ,23 ,20),,{(22θθ≤≤π≤θ≤ππ≤ϕ≤ϕθ=Ωr r ， ϕθθ=d drd r dV sin 2。
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ+==21),,(),,(),,(dV z y x f dV z y x f dV z y x f Idr r r r r fd d ⎰⎰⎰θϕθϕθθθϕ=ππ202020)cos ,sin sin ,cos sin (sin 3drr r r r f d d ⎰⎰⎰θθπππθϕθϕθθθϕ+2sin cos 3022320)cos ,sin sin ,cos sin (sin2．将直角坐标系下的三次积分⎰⎰⎰---+++=10)(302222222)(y y y y y x dz z y x f dx dyI ，分别化为柱面坐标系和球面坐标系下的三次积分。
解：对应的三重积分区域⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤--+≤≤Ω .10,,)(30:2222z y y x y y y x z上顶为锥面)(322y x z +=， 下底为平面0=z 上的圆，侧面为圆柱22y y x -=即222)21()21(=-+y x 。
济南大学高数考试试题0405高等数学A(二)参考答案
一、二题：选择题：ABCAC ，DACDA填空题：1、0)3()1(4)1(2=---+-z y x ；2、dy y x f dx x ⎰⎰010),(3、⎰⎰⎰3042020sin dr r d d ϕϕθππ 4、R x n x n x x x x n n n n n ∈+-=++-+-+-∑∞=++,)!12()1()!12()1(!5!30121253 5、x x e C e C y 221+=-三、四题：三、求偏导数1、22yx x x z +=∂∂……………………………………………………………….3分 2222)(2y x xy y x z +-=∂∂∂………………………………………………………3分 2、方程两边分别求x 的导数得：033=--x x z xyz yz z e ………………….2分 xye yz z z x 33-=……………………………2分 e xy e yz z z z x333,1)1,0()1,0()1,0(=-==……………………..2分 四、解：xQ y P x Q xy P ∂∂=∂∂==22故曲线积分与路径无关……………………………..3分 设A )0,2(π 选折线段，原积分=⎰⎰+ABOA …………………………………….2分 42π=………………………………………………..3分 (其他方法参考本过程给分)五、六题：五、解：n n n n nx a x n ∑∑∞=∞==+11))12( 112321−−→−++=∞→+n n n n n a a 收敛半径R=1………………………………………………..2分由于1±=x 时级数发散，故收敛区间为(-1，1)………………..2分 在区间(-1，1)上，设和函数为)(x s ，则∑∞=+=1))12()(n n x n x s∑∑∑∑∞=∞=-∞=∞=+=+1111122n n n n n nn n x nx x x nx ∑∑∞=∞=+'11)(2n n n nx x x ＝xx x x x -+'-=1)1(2………………………………3分 )11(,)1(31)1(2222<<---=-+-=x x x x x x x x …………………………………….3分 (其他方法参考本过程给分)六、解：设容器的底两边分别为x 、y ，高为z ，则无盖长方体容器的容积为为xyz V = 其中0,,36223>=++z y x yz xz xy …………………………….4分令 )36223(-+++=yz xz xy xyz F λ362230)22(,0)23(,0)23(=++=++==++==++=yz xz xy x y yx F z x xz F z y yz F z y x λλλ …………………………………….3分 得唯一驻点，(2，2，3)，由问题最值的存在性，知该点为最值点，即当容器的长宽高分为2、2、3米时，容器体积最大。
济南大学高数试题及答案
济南大学高数试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分值是：A. 0.5B. 1C. 0D. 22. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)4. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 3D. 275. 以下哪个选项是二阶可导的？A. f(x) = |x|B. f(x) = x^(1/3)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)6. 以下哪个级数收敛？A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1 + 2 + 3 + 4 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=2x+3的反函数是______。
2. 定积分∫(0到1) x dx的值是______。
3. 函数f(x)=x^2-4x+3的极小值点是______。
4. 曲线y=x^2在点(2,4)处的法线方程是______。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最大值和最小值。
2. 计算定积分∫(0到π/2) sin(x) dx。
3. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
4. 证明函数f(x)=x^2-2x在区间[1,2]上是增函数。
5. 求曲线y=x^2-4x+3在点(2,-1)处的切线方程。
答案：一、选择题1. A2. B3. B4. C5. C6. C二、填空题1. f^(-1)(x) = (x-3)/22. 0.53. x=34. y=-x+6三、解答题1. 最大值：f(3)=2，最小值：f(1)=-22. ∫(0到π/2) sin(x) dx = 13. 单调递增区间：(2,+∞)，单调递减区间：(-∞,2)4. 证明略5. 切线方程：y=2x-5。
习题册下册(2009参考解答)
+
cos 2x 8
。■
注： y1* 也容易由观察法获得。
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∫ 3、设曲线积分 [ f ′(x) + 2 f (x) + ex ]ydx + f ′(x)dy 在全平面内与积分路径无关，其中 f (x) L
二阶可导，且 f (0) = 0 ， f ′(0) = 1 ，求 f (x) 。
z
。
【解】∵αr // βr ⇔ x = 5 = − 1 ，∴ x = 15, z = − 1 。■
31 z
5
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习题 8－2 向量的乘积
ex 。 =1
⑵求微分方程通解：
∵特征方程为 r 2 − r − 2 = 0 ，特征值为 r = −1,2 ，
∴对应齐次微分方程通解为
F (x) = C1e−x + C2e2x 。
由观察法（也可用待定系数法确定）易知原微分方程有特解 f *(x) = − 1 ex 。 2
于是，原方程通解为
f
(x)
=
=
1
，即
C1
=
−
1 6
,
C2
=
2 3
，故所求特解为
f (x) = − 1 e−x + 2 e2x − 1 ex 。■ 632
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4、一根长度为 a 米的均匀链条放置在一个水平面光滑的桌面上，假定滑动开始时链条在桌边
济南大学高等数学下历年考题答案共111页文档
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
高等数学-数学科学学院-济南大学
授课计划2016— 2017学年第一学期学院：信息学院机械学院经济学院课程名称：高等数学（一）W课程编码：09A00020课程类别：专业基础课计划学时：64（理论：64 实验：0 ）学分： 4授课时间：授课地点：教学班：授课教师：填报日期：2016 年9 月15 日高等数学（一）W课程授课计划一、课程内容简介与教学目的（一）主要内容：函数的概念、函数的极限、函数的连续性；一元函数微分学，主要是一元函数导数和微分的计算及其应用；一元函数积分学，包括不定积分的计算、定积分的计算及其应用；常微分方程，主要是一阶微分方程的解法及其应用。
（二）通过本课程的学习，能使学生获得微积分和常微分方程的基本知识，基本理论和基本运算技能，逐步增加学生自学能力，比较熟练的运算能力，抽象思维和空间想象能力。
同时强调分析问题和解决问题的实际能力。
使学生在得到思维训练和数学素养提高的同时，为后继课程的学习和进一步扩大数学知识面打下必要的数学基础。
二、课程要求及教学活动项目（一）课程要求该课程以理论教学为主，要明确每一堂课的教学重点与难点，围绕重点内容配以一定数量的例题进行由浅入深的讲解。
每一章上一次习题课，每一次课都要布置与当堂课所学知识相关的课后作业，要求教师进行批改并给出成绩，通过该教学环节以期让学生进一步深入理解、巩固每一章的知识体系、重点内容和解题方法。
该课程组教师轮流值班在答疑室进行答疑，每位教师每周至少到答疑室给学生答疑或质疑一次。
（二）教学活动项目及学时分配本课程的任课教师要按期参加教研活动，讨论教材处理和教学进度；使学生参与教学活动，并在课堂上踊跃发言，课下课上积极探讨；学生作业要按时独立完成，可以探讨但不可以抄袭。
每次课后要指出下次课要求学生预习的内容，并布置与课程内容相对应的书后习题。
各章学时分配如下：高等数学预备知识教程理论教学4学时。
第一章函数与极限理论教学12学时，习题课2学时。
第二章导数与微分理论教学8学时，习题课2学时。
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第五节 极限运算法则
济南大学数学科学学院
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第一章 函数与极限
习题 1-5
1（14）lim( x1 1
1
x
1
3 x
3
).
解
lim( x1 1
1
x
1
3 x3
)
lim
x1
x2 1
x x3
2
lim
x1
(1
( x 2)( x)( x2
x
1) x
1)
lim x1
x2 x2 x
lim
x0
tan x(cos x 1) 1 x2 1 sin x
32
x( 1 x2 )
lim
x0
2 1 x3
6
3
5
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习题 1-9
第一章 函数与极限
3（6）lim sin x sin a
xa x a
xa xa
解： lim sin x sin a
2 sin lim
1 x
1
证：
1 x
1
1 x
1 x
,
1
x
x
1 x
1,
lim
x0
x
1 x
1
4
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第一章 函数与极限
习题 1-7
4（4） lim
sin x tan x
x0 (3 1 x2 1)( 1 sin x 1)
解：lim
sin x tan x
x0 (3 1 x2 1)( 1 sin x 1)
2
8
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作业
济南大学数学科学学院
总界面 结束
解：lim 1 tan x 1 sin x x0 x 1 sin2 x x
lim tan x sin x
1
x0 x( 1 sin2 x 1) 1 tan x 1 sin x
1 2
lim
x0
tan x(1 cos 1 x sin2 x
x)
lim
x0
x
1 x2 2 x3
1 2
1
1.
2
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第一章 函数与极限
习题 1-6
4（1）证明：lim 1 1 1
n
n
证：
1
1 1 n
1
1 n
1 4n2
1 1 2n
由于 lim（1 1 ） 1
n
2n
所以 lim 1 1 1
n
n
3
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第一章 函数与极限
4（5）lim x0
x
2
cos
2
xa x a
xa
xa
cosa
（7） lim ( x2 x x2 x ) x
解：lim ( x2 x x2 x )
x
lim
2x
1
x x2 x x2 x
6
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第一章 函数与极限
4（4）lim(1 3tan2 x)cot2 x x0
解：lim(1 3tan2 x)cot2 x
x0
lim(1
3 tan 2
1
x ) 3 tan2
x
3
e3Байду номын сангаас
x0
x1
x1
（5）
lim x
3 6
x x
2
lim x
1
6
3
x
2
lim 1 x
3 6 x
6 x
3
3( x1) 2(6 x )
3
e2
7
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第一章 函数与极限
（6） lim 1 tan x 1 sin x x0 x 1 sin2 x x