济南大学2012～2013学年第一学期课程高数考试试卷(A卷)
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济南大学2012～2013学年第一学期课程考试试卷（A 卷）
课 程 高等数学A （一） 考试时间 2012 年 12 月 31 日
………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………
一、填空题（每小题3分，共15分）
(1) 曲线x e y =在点)1,0(处的切线方程为 ． (2) 设x x y sin 2=，则=dy ． (3) 曲线x x x y 4323+-=的拐点是 .
(4) =+⎰-1
1cos 2dx x
x
.
(5) =⎰
∞
+1
1dx x
x ．
二、选择题（每小题2分，共10分） (1) 对于数列}{n x ，下列结论正确的是
(A) 若}{n x 有界，则}{n x 收敛. (B) 若}{n x 收敛，则}{n x 有界. (C) 若}{n x 单调，则}{n x 收敛. (D) 若0>n x ，则0lim >∞
→n n x .
(2) 设x
x x f 1)1()(-=，则0=x 是函数)(x f 的
(A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与2x 是同阶无穷小的是
(A) x tan . (B) )1ln(x +. (C) 2cos x . (D) 12
-x e . (4) 下列等式正确的是
(A) ⎰=)()(x f x df . (B) C x f dx x f dx d
+=⎰
)()(. (C) dx x f dx x f d )()(=⎰. (D) )()(x f dx x f =
'⎰.
(5) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点可微的
(A) 充分条件. (B) 必要条件. (C) 充分必要条件. (D) 以上都不对. 三、计算下列极限、导数（每小题5分，共15分） (1) x
x dt
e x t x sin lim
22
⎰
-→.
(2) 求由方程1-=+y x e xy 所确定的隐函数的导数
dx
dy . (3) 设⎩⎨⎧-=+=t
t y t x arctan )1ln(2，求：dx dy
.
四、计算下列积分（每小题8分，共32分）
(1) ⎰+dx x
x
2
1arctan . (2) ⎰xdx x ln 2. (3) ⎰
+30
3
2)9(x dx . (4)
⎰
20
sin π
xdx e x .
五、综合题（每小题10分，共20分）
(1) 讨论函数⎪⎩⎪
⎨⎧≤>-=00cos 1)(2x x x x
x
x f ，
，在0=x 处的连续性和可导性. (2) 设直线ax y =)10(<<a 与抛物线2x y =所围成图形的面积为1S ，它们与直线1=x 所围成图形的面积为2S . (Ⅰ) 求面积21S S +；（Ⅱ）问a 为何值时，21S S +最小？并求出最小值.
六、证明题（8分）设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且0)1(=f ，证明至少存在一点)1,0(∈ξ，使得0)()(2='+ξξξf f .。
2012-13-1高等数学试题参考答案及评分标准(A卷)
2012-13-1高等数学（A ）期末考试参考答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、()2,3--2、()0f x '-3、04、()()x x f e e f x ----5、8π 二、选择题 (本大题共5小题，每小题4分，共20分)1、C2、A3、C4、D5、B三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题6分，共18分) 1、解：原式=tan 2tan 00011sec 1lim lim lim sin cos sin x x xx x x x x e x e e x x x x x --→→→=--⋅=⋅-……………每步2分 2、解：令sin x t =，则cos dx tdt =， 原式2sin cos cos t tdt t=⎰………………………………………………………………………2分 21cos 211sin sin 2222t tdt dt t t c -⎡⎤===-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰………………………………………4分 [].1arcsin 212c x x x +--=…………………………………………………………6分 3、解：1(),P x x =sin (),x Q x x =于是所求通解为： 11sin dx dx x x x y e e dx C x -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰=⋅+⎰ln ln sin x x x e e dx C x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⋅+⎰1(cos ).x C x =-+……每步2分 四、解答下列各题(本大题共3小题，每小题7分，总计21分)1、解：当000x t y ===，，，()1(0)2t x t e x ''=+= ………………………………3分cos sin 0,(0)0y y e y t e t y y '''-+==…………………………………………6分 故，00x dy dx ==……………………………………………………………………7分 2、证明：()()()a TT a T a aT f x dx f x dx f x dx ++=+⎰⎰⎰………………………………………2分 00()()()a Ta a T x t T f x dx f t T dt f t dt +=+=+=⎰⎰⎰对后者，令，=⎰f x dx a ()0…………5分 所以，f x dx f x dx f x dx a a T a T a ()()()+⎰⎰⎰=+0=⎰f x dx T()0。
济南大学大一上学期高等数学试题
济南大学大一上学期高等数学试题1(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高等数学（上）模拟试卷一一、 填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x =-的定义域是 ；2、设函数20() 0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在点0x =连续，则a = ；3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是 ；4、已知3()f x dx x C =+⎰，则()f x = ；5、21lim(1)x x x →∞-= ；6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ；7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ；8、曲线x y xe =的拐点是 ；9、201x dx -⎰= ；10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+，且a b ⊥，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ； 12、311lim xx x -→= ；13、设()f x 可微，则()()f x d e = 。
二、 计算下列各题（每题5分，共20分）1、011lim()ln(1)x x x →-+2、y =，求y '； 3、设函数()y y x =由方程xy e x y =+所确定，求0x dy =；4、已知cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩，求dy dx 。
三、 求解下列各题（每题5分，共20分）1、421x dx x +⎰2、2sec x xdx ⎰3、40⎰4、2201dx a x +四、 求解下列各题（共18分）：1、求证：当0x >时，2ln(1)2x x x +>- （本题8分）2、求由,,0x y e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
济南大学2009～2010学年第一学期课程考试试卷(A卷)答案
概念 极限 性质 计算方法
概念 连续 基本结论 性质 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
左右极限
第二章主要内容回顾
导数的概念、几何意义 定义求导 导数 求导方法 基本公式、四则运算、复合求导 反函数求导 特殊函数求导 隐函数求导 高阶导数
0
证明至少存在一点 (0,1) ，使得 f ( )(1 ) f ( x)dx
证:
令F ( x) (1 x) f (t )dt
0
x
F ( x) f (t )dt (1 x) f ( x)
0
x
显然，F ( x)在[0,1]上连续，在 0,1)内可导，且 (0) F (1), ( F
原积分
xdf ( x )
2
2
xf ( x)
f ( x)dx
2
4
1
五、解答题（8分）
y f ( x)
的极值。
dy t 2 1 2 0 dx t 1
由参数方程
x t 3 3t 1 3 y t 3t 1
确定，求
f ( x)
3 1 x 3 2 x x
x0 x0
5．设
x ln(1 t an t )dt 0 f ( x) x2 a
2
在原点处连续，则
a
0
lim
x 0
x2 0
ln( tan t )dt 1 x
2
2 x ln( tan | x |) 1 lim x 0 2x
2010级数学(A卷2013.01.04used)
system
x′(t
)
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 1
2 −1
−1 2
⎟ ⎟⎟⎠
x(t
).
… … … … …
… …
2. (14 points) Show that if a, b are positive constants, then every solution to the equation
…
ห้องสมุดไป่ตู้
此
(i) Find a fundamental matrix to the system; (ii) Find the general solution of the system. …
…
济南大学 2012～2013 学年第一学期课程考试试卷（A 卷）
problem
…
… …
课
程 常微分方程(双语)
授课教师 孙书荣
dy = x2 + y2 , y(0) = 0 (1)
…
dx
…
…
…
… …
考试时间 2013 年 01 月 04 日
…
… …
学
号
考试班级 姓名
is certain to exist on the interval [− 1 , 1 ]; 22
…
…
…
…
… … … …
(2)
dy
=
y
+
e
y x
;
dx x
…
…
(3) (3x3 + y)dx + (2x2 y − x)dy = 0 ;
…
(iii) Let y = y( x) be the solution of the initial value problem
2012-2013年高等数学工科试题A
再修 学院：_____________
装
订
线
辽宁石油化工大学考试题 2012 -- 2013 学年 第 一 学期
课程名称：
高等数学（1）
考试形式： 闭 卷
授课学院：
理学院
第4页
共5页
姓名：______________ 学号：______________ 班级：______________
考试性质：首修、重修、 再修
学院：_____________ 装
22．用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁皮盒时，在铁皮的四个角各 截去一个面积相等的小正方形(如图)，然后把四边折起，就能焊成铁盒，问在四 个角各截去多大的正方形，才能使铁盒的容积最大？
dx 4
.
线
第3页
共5页
四．解答题（第 1 题 6 分，第 2-4 题 8 分，共 30 分，请将计算过程写在题目的下方）
2
19．求定积分 sin 2 x cos5 xdx .
0
20．求由曲线 y x2 与 y x 2 围成图形的面积.
21．求微分方程 y 2 y 3y e3x 的通解.
9．设
lim
1
k
1
xx
e2 ，则 k
______。
x0
10． f x0 0 是可微函数 f x 在 x0 取得极值的
条件。
11.定积分 2 x3 1 4 x2 dx _________。 2
12．反常积分 dx 的收敛性是_________。
1x
13.由曲线 y cos x x 与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转
高数文C1期末A卷(12级)参考答案
y' (1 y' )e
x y ……3
e y ……3 分 x y 1 e 1 y
5、解：原式=
x
2
1 1 dx 2 d ( x 2 1) ……3 分， 1 x 1
arctanx ln(x2 1) C ……3 分
( x a) ( x) lim ( x) (a ) ……3 分 xa xa xa 1 6、解：原式 xd sin 2 x ……2 分， 2 1 ( x sin 2 x sin 2 xdx ) ……2 分， 2 1 1 x sin 2 x cos 2 x C ……2 分 2 4 lim
高等数学 C1 期末 A 卷参考答案及评分标准
2012~2013 第一学期 一、单项选择（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8
C
D
A
1 4 x
A
D
C
二、填空题（共 8 空，每空 2 分，共 16 分）
1、 2
x
。 2、 1 。
3、e 。 4、3 。 5、0。6、250。7、
左=
0
1
(1 t )2 t10dt (1 t )2 t10dt x10 (1 x)2 dx =右……3 分
0 0
1
1
-1-
。8、 ex (2x2 1) C 。
2
三、计算题（共 9 小题，每小题 6 分，共 54 分）
1、解：
lim sin x x lim x0
sin x x ……2 分， x2
x sin x
x 0
lim
济南大学大一上学期高等数学试题
高等数学（上）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共42分）1、函数的定义域是；2、设函数在点连续，则；3、曲线在（-1，-4）处的切线方程是；4、已知，则；5、= ；6、函数的极大点是；7、设，则；8、曲线的拐点是；9、= ；10、设，且，则= ；11、，则，；12、= ；13、设可微，则= 。
二、计算下列各题（每题5分，共20分）1、2、，求；3、设函数由方程所确定，求；4、已知，求。
三、求解下列各题（每题5分，共20分）1、2、3、4、四、求解下列各题（共18分）：1、求证：当时，（本题8分）2、求由所围成的图形的面积，并求该图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
（本题10分）高等数学（上）模拟试卷二一、填空题（每空3分，共42分）1、函数的定义域是；2、设函数在点连续，则；3、曲线在处的切线方程是；4、已知，则；5、= ；6、函数的极大点是；7、设，则；8、曲线的拐点是；9、= ；10、设，且，则= ；12、= ；11、，则，；13、设可微，则= 。
二、计算下列各题（每题5分，共20分）1、2、，求；3、设函数由方程所确定，求；4、已知，求。
5、6、，求；7、已知，求8、设函数由方程所确定，求；三、求解下列各题（每题5分，共20分）1、2、3、4、1、2、3、4、四、求解下列各题（共18分）：1、求证：当时，2、求由所围成的图形的面积，并求该图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
（本题10分）3、求证：当时，（本题8分）4、求由所围成的图形的面积，并求该图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
（本题10分）高等数学(一)模拟试卷(一)一、选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。
1 、设f( -1)=，则f(x)为( )A. B. D.2、设f(x)=在点x=0连续，则( )=0 b=1 =0 b=0 =1 b=0 =0 b=13、已知函数f(x)在x0的导数为a,则等于( )C. D.2a4、设+c，则为( )+c B.(1-x2)2+c C.+c +c5、若a=3i+5j-2k,b=2i+j+4k,且λa+2b与Z轴垂直，那么λ为( )二、填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共406、求=_____________.7、若y=，则y(n)=___________.8、若x=atcost,y=atsint,则=__________.9、=、=_________________.11、已知空间两点P1(1，-2，-3)，P2(4，1，-9)，那么平行于直线段P1P2，且过点(0，-5，1)的直线方程是______________.12、设u=f(x2-y2,e xy)可微，则=_____________.13、将积分改变积分次序，则I=_____________.14、幂级数的收敛半径R=_____________.15、方程y"-2y'+y=3xe x的特解可设为y*=____________.三、计算题与证明题：本大题共10个小题，每小题6分，共60分。
高数试卷A2013～2014(答案)
济南大学2013~2014学年第一学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）课程名称：高等数学A （一）一、填空题(1) e 1．(2) dx x x x )(sec )21(22++. (3) )6,1(-. (4) 2π．(5) 1．二、选择题(1) A ．(2) A . (3) B . (4) C ．(5) D ． 三、计算下列极限、导数 (1) 解：)13)(2()13)(13(lim 213lim2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 62)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x(2) 解：)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222x x xx x x x --=-→→ππππ 812sin lim 41sin 12cos lim 4122-=---=⋅--=→→x x x x x x πππ(3) 解：两边对x 求导得：01)1(ln ='+-'+y y y ，所以：yy ln 21+='3222)ln 2(1)ln 2(y y y y y dx y d +-=+'-= 四、计算下列积分（每小题8分，共32分）(1) 解：C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰)2cos(21)2()2sin(21)2sin(2222(2) 解：令t x sin =，2||π≤t ，则：⎰⎰=-tdt dx x 22cos 1C t t t C t t dt t ++=++=+=⎰cos sin 2122sin 412)2cos 1(21 C x x x +-+=2121arcsin 21 (3) 解：⎰⎰+-=10210101]arctan [arctan dx x xx x xdx 2ln 214)]1ln(21[4102-=+-=ππx (4) 解：令x t =，则2t x =，tdt dx 2=，⎰⎰=112dt te dx e t x22][221101=-==⎰⎰dt e te tde t t t五、综合题（每小题10分，共20分）(1) 解：23124tte dx dy t+=，令0=dx dy ，得0=t ，代入得：1=x 。
山东省济南市2013届高三上学期期末考试 文科数学 Word版含答案
2013年1月高三教学质量调研考试文 科 数 学本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页. 训练时间120分钟，满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：柱体的体积公式：V S h =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．复数31ii+=+ A ．i 21+ B ．i 21- C ．i +2 D ．i -2 2．已知集合{}320A x x =+>，()(){}130B x x x =+->，则A B ＝A ．(),1-∞- B. 21,3⎛⎫--⎪⎝⎭ C. 2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()3,+∞ 3．设()2,02,0x x x f x x ⎧<=⎨≥⎩，则()1f f -⎡⎤⎣⎦=A. 1B. 2 C4 D. 84．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122-=n S n ， 则=3aA. -10B. 6C. 10D. 145．在ABC ∆中，若ab b c a 3222=+-，则C=A. 30° B . 45° C. 60° D. 120° 6．如图在程序框图中，若输入6n =, 则输出k 的值是A ．2B ．3C ．4D ．57．设a R ∈，则“1a =”是“直线1:210l ax y +-=与直线()2:140l x a y +++=平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横 坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是 A ．sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin(2)6y x π=-D ．sin(2)6y x π=+ 9．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+01033032y y x y x , 则目标函数y x z +=2的最大值是A ．6B ．3C ．23D ．1 10．若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是A. 36 cm 3B. 48 cm 3C. 60 cm 3D. 72 cm 311．已知函数()22x f x =-，则函数()y f x =的图象可能是12．已知椭圆方程22143x y +=,双曲线的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为11:8:6，从中抽取200名职员作为样本，则应抽取青年职员的人数为____________． 14．若()()1,2,,1a b x =-=，且a b ⊥，则x = .15．圆心在原点，并与直线34100x y --=相切的圆的方程为 . 16．定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),22f x f x f x f x -=--=+，且()2,0x ∈- 时，()122x f x =+，则()2013f = . 三、计算题：本大题共6小题，共74分. 17．(本小题满分12分)已知向量31sin ,,,cos 2x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭a =b ,()f x =⋅a b . （1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数()y f x =的单调递增区间.18. (本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24a =，3417a a +=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b +=，证明数列{}n b 是等比数列并求其前n 项和n T .19. (本小题满分12分)如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AC BC =，,M N 分别是棱1,CC AB 中点．（1）求证：CN ⊥平面11ABB A ； （2）求证：//CN 平面1AMB ．20. (本小题满分12分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[]17,18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率.（第19题）21.(本小题满分13分)如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知点2M 在椭圆上, 且点M 到两焦点距离之和为4.（1）求椭圆的方程； （2）设与MO (O 为坐标原点)垂直的直线交椭圆于,A B （,A B 不重合），求⋅的取值范围.22. (本小题满分13分)已知函数()()12ln 2(0)f x a x ax a x=-++≤. （1）当0a =时，求()f x 的极值； （2）当0a <时，讨论()f x 的单调性；（3）若对任意的()[]123,2,,1,3,a x x ∈--∈恒有()()()12ln32ln3m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围.2013 届高三教学质量调研考试（第21题）文科数学参考答案一、选择题1.D2. D3. B4.C5.A6.B7. A8.D9. A 10. B 11. B 12. C 二、填空题13.88 14.2 15. 224x y += 16. 1- 三、解答题17. 解：（1）()f x =⋅ab 1sin 2x x =……………………… 2分 sin coscos sin33x x ππ=+ ……………………… 4分sin()3x π=+. ……………………… 6分 （2）由22232k x k πππππ-+≤+≤+,k Z ∈ ……………………… 8分得52266k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈ ……………………… 10分 ∴函数()y f x =的单调递增区间是5[2,2]66k k ππππ-++,k Z ∈ ……12分18. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .由题意知3411212317,4,a a a d a d a a d +=+++=⎧⎨=+=⎩ ……………………… 4分解得，11a =，3d =，∴32n a n =-(n N *∈) ……………………… 6分（2）由题意知， 2322n a n n b +==(n N *∈)，3(1)33122n n n b ---==(,2n N n *∈≥) ……………………… 8分 ∴333312282nn n n b b --===(,2n N n *∈≥)，又18b =∴{}n b 是以18b =，公比为8的等比数列. ……………………… 10分()()818881187n nn T -==--. ……………………… 12分19. （1）证明：∵三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC .又CN ⊂平面ABC ， ∴1AA CN ⊥. ………………………………… 2分 ∵AC BC =，N 是AB 中点， ∴CN AB ⊥. …………………………………………………… 4分∵1AA AB A =I ,1AA ⊂平面11ABB A ,AB ⊂平面11ABB A∴CN ⊥平面11ABB A ． ……………………………………………………… 6分（2）证明：取1AB 的中点G ，连结MG ，NG ，∵N ，G 分别是棱AB ，1AB 中点，∴1//NG BB ，112NG BB =. ………………… 8分 又∵1//CM BB ，112CM BB =，∴//CM NG ，CM NG =. ∴四边形CNGM 是平行四边形.∴//CN MG . …………………………………………………………… 10分 ∵CN ⊄平面1AMB ，GM ⊂平面1AMB ，∴//CN 平面1AMB ． ……………………………………………………… 12分20. 解：（1）由频率分布直方图知，成绩在[14,16)内的人数为：500.28500.3632⨯+⨯=（人）… 3分所以该班成绩良好的人数为32人. ……………………… 5分 （2）由频率分布直方图知，成绩在[13,14)的人数为500.042⨯=人，设为x 、y ；… 6分成绩在[17,18) 的人数为500.084⨯=人，设为A 、B 、C 、D …… 7分 若,[13,14)m n ∈时，有xy 1种情况； ……………………… 8分 若,[17,18)m n ∈时，有,,,,,AB AC AD BC BD CD 6种情况； …………… 9分若,m n分别在[13,14)和[17,18)内时，共有种情况. ……………………… 10分所以基本事件总数为15种，事件“||1m n->”所包含的基本事件个数有8种.∴P（||1m n->）158=. ……………………… 12分21．解：（1）∵2a=4, ∴a=2. ………… 2分又2M在椭圆上，∴231142b+=………… 4分解得:22=b,∴所求椭圆方程12422=+yx. ……………………… 6分（2）66=MOk，∴6-=ABk.设直线AB的方程：mxy+-=6,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==+mxyyx612422消去y得：042641322=-+-mmxx.……………… 8分)261312(8)42(134)64(2222>+-=-⨯-=∆mmmm,∴262<m.136421mxx=+，1342221-=mxx. ……………………… 10分设),(),,(2211yxByxA,则13283)(672221212121-=++-=+=⋅mmxxmxxyyxx. ………………… 12分∴OBOA⋅的取值范围2850[,)1313-. ……………………… 13分22．解：（1）当0a=时，()()22121212ln,(0).xf x x f x xx x x x-'=+=-=>……… 1分由()2210x f x x -'=>,解得12x >. ……………………… 2分 ∴()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上是增函数. ……………………… 3分 ∴()f x 的极小值为122ln 22f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，无极大值. ……………………… 4分 （2）()()()()2222221121212(0)ax a x ax x a f x a x x x x x +--+--'=-+==>. …… 6分 ①当20a -<<时，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数；………7分 ②当2a =-时，()f x 在()0,+∞上是减函数； ……………………… 8分 ③当2a <-时，()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭和10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数，在11,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数.…… 9分（3）当32a -<<-时，由（2）可知()f x 在[]1,3上是减函数， ∴()()()()()1221342ln 33f x f x f f a a -≤-=-+-. ……………………… 10分 由()()()12ln32ln3m a f x f x +->-对任意的()[]123,2,,1,3a x x ∈--∈恒成立， ∴()()()12maxln32ln3m a f x f x +->- ……………………… 11分即()()2ln 32ln 342ln 33m a a a +->-+-对任意32a -<<-恒成立， 即24m <-+对任意32a -<<-恒成立， ……………………… 12分。
13高数A期末一真题与答案
第１页 共2页淮 海 工 学 院12 – 13 学年 第 二 学期 高等数学A （2） 期末试卷（A 卷）1．向量(1,1,0)a =，(0,1,1)b =-所成夹角为----------------------------（C ） （A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π2．2(,)(2)tan(23)f x y x y x y =+-+，则(,2)xx f x =--------------------------------（B ） （A ）1 （B ）2 （C ）x （D ）x 2 3. 3sin xu e y z =-+在点(0,0,1)-处沿下列哪个方向的方向导数最大--------（D） （A ）)1,1,0(- （B ）(0,1,1)- （C ）(3,1,1)- （D ）(3,1,1)- 4．二次积分1ln 10(,)x edx f x y dy ⎰⎰的另一种积分次序为----------------------（B ） （A ） 011(,)ye dyf x y dx -⎰⎰（B ）011(,)y e dy f x y dx -⎰⎰（C ）1(,)ye dyf x y dx -⎰⎰（D ）011(,)y edy f x y dx -⎰⎰5．设L 为椭圆2251x y +=，其周长为l ，则()(5)Lx y x yd s ++=⎰----------------（B ） （A ） 5l （B ） l （C ） （D ） 5l6．若级数1(65)nn p ∞=-∑收敛，则p 的取值范围是------------------------------------------（B ）（A ）(,2-∞ （B ）(2 （C ）(1,32) （D ）(32,)+∞ 7．若幂级数21(4)n nn a x ∞+=-∑在7x =处条件收敛，则其收敛半径为-----------------（A ）（A ）3 （B ）9 （C ）11 （D ）1218．12xy C C e -=+是下列哪个微分方程的通解------------------------------------------（C ） （A ）0='-''y y （B ）0=-''y y （C ）0='+''y y （D ）0=+''y y二、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分） 1．设(,)f u v 是二元可微函数，=(,)z f y x x y ，求+x y xz yz .解：21x u v y z f f x y =-+----------------------------------------------------------------------------2 21y u v xz f f x y=-----------------------------------------------------------------------------3故+0x y xz yz =.------------------------------------------------------------------------------22．求22xy De dxdy +⎰⎰D :2214x y ≤+≤.解: :02,12,D r θπ≤≤≤≤--------------------------------------------2 则原式2221r d e rdr πθ=⎰⎰----------------------------------------------22221r e dr π=⎰4()e e π=-.-----------------------------------------------------------33．设空间闭区域Ω{(,,)0x y z z =≤≤，∑是Ω的整个边界曲面的内侧，用高斯公式计算3222()3()(1)xz dydz y z x dzdx z z dxdy ∑++-+-⎰⎰．解: 3222,3(),(1)P x z Q y z x R z z =+=-=---------------------------------------1Ω是半径为1的半球体 --------------------------------------------------------------------2 则 原式()xyz Pdydz Qdzdx Rdxdy P QR dxdydz ∑Ω=++=-++⎰⎰⎰⎰⎰-------------2dv Ω=-⎰⎰⎰23π=-． ---------------------------------------------------------------24．求解微分方程111y y x x'-=++． 解: 公式法， 11111[(1)]dx dx x x y e e dx C x-++⎰⎰=++⎰------------------------------------------3 ln(1)ln(1)1[(1)]x x e e dx C x+-+=++⎰------------------------------------------21(1)()x dx C x=++⎰(1)(ln )x x C =++．---------------------2第２页 共2页三、计算题（本大题8分）设方程0132=--xz y z 确定了),(y x z z =，求（1）)1,0,1(-dz；（2）曲面),(y x z z =在点)1,0,1(-处的切平面方程. 解: 令1),,(32--=xz y z z y x F则1)1,0,1(=-x F ，1)1,0,1(=-y F ，3)1,0,1(-=-z F ---------------------------------2（1）=-)1,0,1(dz dx F F z x )1,0,1()1,0,1(---)(31)1,0,1()1,0,1(dy dx dy F F z y +=----------------------2（2）切平面的法向量 )311(-=，，n--------------------------------------------2 切平面方程为 0)1(3)1(=+-+-z y x .----------------------------------------2 四、计算题（本大题8分）和建制造，乐在共享。