四维几何基础知识(二)
点在四维空间画法几何中的表示
点在四维空间画法几何中的表示
点在四维空间画法几何中的表示，为建筑增添了新的可能性。
四维空间几何学的崛起为建筑提供了一种新的视角，并展示出独特的可能性。
四维空间几何学的理念基于点，在这种空间中，点可以通过三个方向（长、宽和高）的基本元素来反映出建筑物的错综复杂的结构和外观。
首先，点可以用来展示建筑物内外部空间的管理。
管理空间可以进一步产生复杂的结构，并在点之间进行互动，从而将管理空间中的形式、性质及其功能有机地结合在一起。
其次，点可以用来表示建筑物的传输函数。
在传输函数中，可以用点来表示外部传播耦合的数量和形式。
空间几何学同样可以用来表示内部传播耦合的数量及形式。
此外，点也可以用来表示阴影和光线的分布与变化，以及建筑物屋面表面的形状与结构。
点在高级建筑设计中，可以灵活地组织平面元素，赋予建筑物动态的量感。
同时，设计者可以利用多种点定义和几何变换，让建筑更具表现力，增添艺术气息。
总的来说，点在空间几何学中的运用，大大拓展了建筑的可能性与灵活性，为建筑提供了丰富的表达形式，使建筑物赋予了强烈的三维效果与想象力。
只有细心的运用，才能真正发挥出点的潜在能力，从而促进建筑发展，满足信息时代个性化需求。
初识四维空间
旋转中的超立方 体在三维的投影
• 我们可以看成两个 正方体相互叠加， 但是每个顶点又是 和相对应的顶点相 连的。
方法一：展开
• 正方体的展开图：
超立方体展开图
共有261种展开方式
方法二： 球极投影
假设球体是透明的，而光线也是沿直线前进 的。然后在球的最高点放置一个投影点，在 最低点放置一个平面，让光源向平面发光， 这样就可以在平面上看到除最高点之外球面 上所有点的投影了。
正方体球极投影：让多面体膨 胀，使其顶点和棱处于同一球 面，然后用球极投影将它投影 到平面上
样的
超立方体在四维空间里 球极投影，投影在三维 空间的透视图。
超立方体旋转时 三维的投影
有兴趣的同学可以去看视频《数 学漫步-维度》。
谢谢大家！
小鹿和小兔的故事
四维空间
• 一、四维时空（闵可夫斯基时空） 指爱因斯坦在他的广义相对论和狭义相对论中 提及的四维时空，就是三维时空加时间。
• 二、四维空间（欧几里得四维空间） 指一个有四个空间性维数的空间（“纯空间性” 的四维空间），或者说有四个两两正交的运动方 向的空间。这种空间就是数学家们用来研究四维 几何物体的空间。
四维空间
类比下…
画出任意两点，然后连线，我们 可以得到一条直线 画出两两不共线的三个点，然后 连线，我们可以得到一个三角形 画出两两不共线的四个点，然后 连线，我们就得到立体的三棱锥
如果我们画出五个两两不共线的点，是不是就 可以画出最简单的四维图形？
这不就是四棱锥吗？
最简单的四维图形— 单纯形，又称五胞体。
附录 二、 闵可夫斯基四维空间(“世界”)
附录二、闵可夫斯基四维空间（“世界”）
［补充第１７节］
如果我们引用虚量１．ｃｔ．代替ｔ作为时间变量，我们就能够更加简单地表述洛伦兹变换的特性。
据此，如果我们引入：对带撇号的坐标系Ｋ’也采取同样的方式，那么为洛伦兹变换公式所恒等地满足的必要条件可以表示为：
亦即通过上述“坐标”的选用，（１１ａ）就变换为这个方程。
我们从（１２）看到，虚值时间坐标ｘ４与空间坐标ｘ１，ｘ２，ｘ３，是以完全相同的方式进入这个变换条件中的。
正是由于这个事实，所以按照相对论来说，“时间”ｘ４应与空间坐标ｘ１，ｘ２，ｘ３，以同等形式进入自然定律中去。
用“坐标”ｘ１，ｘ２，ｘ３，ｘ４描述的四给连续区，闵可夫斯基称之为“世界”，他并且把代表某一事件的点称作“世界点”。
这样，三维空间中发生的“事件”按照物理学的说法就成为四维“世界”
的一个“存在”。
这个四维“世界”与（欧几里得）解析几何学的三维“空间”很近似。
如果我们在这个“空间”引入一个具有同一原点的新的笛卡儿坐标系（ｘ’１，ｘ’２，ｘ’３）那么ｘ’１，ｘ’２，ｘ’３就是ｘ１，ｘ２，ｘ３的线性齐次函数，并且恒等地满足方程：这个议程与（１２）完全类似。
我们可以在形式上把闵可夫斯基“世界”看作（具有虚恰时间坐标的）四维欧几里得空间；洛伦兹变换相当于坐标系在四维“世界”中的“转动”。
四维几何基础知识(一)
导读本<四维几何基础知识>系列文章一共有五章,分别为:第一章名词术语和简单的夬第二章位置关系第三章投影第四章面轴第五章曲体这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣,请在百度文库中查找.在本系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,例如:五胞体→五体夬,正八胞体→正方夬,超球体→圆夬.其原因已在<前言>中说明,在此不再重复.感谢您的关注,希望<四维几何基础知识>系列文章能够为您的学业有所帮助.作者正文四维几何基础知识(201802第一次更新)第一章名词术语和简单的夬名词术语在本章的开始,我们先熟悉一下本系列文章中将要用到的几何名称和相关的术语.首先介绍一下四维坐标系.图中有四个坐标轴,两两垂直,其中xyz轴是我们熟知的,在本文中以这三根轴所代表的三维空间作为参照空间,简称”底空间”.以W轴作为第四维的方向,代表第四维的空间, 坐标轴已画出部分为轴的正方向,从原点O之后,未画出部分为轴的负方向.本系列文章中设定的”底空间”指代平直的参照立体空间O-XYZ. 请大家注意,这个简称会经常用到.本系列文章中设定的”底体”是指四维夬上与底空间最接近的体, 其概念与正方体中的底面,正方形中的底边为类似.在本系列文章中,我们约定L表示线段长度,S表示面积,V表示体积,J表示夬积.在三维几何中,方形体通常有三个参数:长,宽,高,分别用字母a,b,h,表示.在四维几何中增加一个新的概念:”四维高”,用”叠”字代称,字母为d,寓意为无数个三维物体在第四维方向上叠加,形成四维夬.这个新概念若要精确描述则比较复杂,在这里我们简单的理解成”正方夬的长,宽,高,叠”四个参数之一就可以了.下面初步介绍几类简单的四维夬.一>五体夬正式名称为”五胞体”,是四面体的类比.如何得到一个五体夬,有很多种方法,本例用的是”中心牵引法”,为了解释这个方法,我们先看看从三角形得到四面体的过程,下图一是一个四维坐标中的等边三角形.这个正三角形看上去很”歪”,比三维坐标中的正三角形还要”歪”,我们要在二维平面中表现四维图形,只能将图形尽量压缩.把正三角形的中心点连接三个顶点,得到三条线段,这就是要形成的四面体的另三条棱.用一根线”系住”中心点,向上牵引,同时中间三条棱的一端也向上抬升(图二)..条棱,然后把中心点向第四维正方向牵引.(图四)将中心点向第四维正方向牵引距离为棱长的(√10)/4后,得到一个正五体夬.(图五)这个图是五个正四面体围合成一个五体夬,但这样挤在一起是很难看清楚的,可以把它”炸开”看看.(图六)这五个体全是正四面体,只是看上去有一些变形.蓝色的”底体”在O-XYZ立体空间中,如果把这个空间看成我们生活的宇宙空间,另四个带绿棱的正四面体就在我们”摸不着”的四维空间中.二>正方夬有了以上的经验,介绍正方夬的形成就容易多了.先看一个四维坐标中的正方体.将正方体原地复制,整体向第四维轴,即W轴正方向牵引,距离为一个棱长.(图八)把两个正方体的八个顶点,一一对应的连接起来,形成了六个正方体,这八个体围合成一个正方夬.(图九)“炸开”看看.(图十)(图十)中的八个正方体,黑色的是底体(在xyz轴的体空间中),和它在W轴正方向上的平行体,另六个彩色的侧体分别处在x,y,z轴方向上,正负方向各一个,它们都处于W轴正方向的四维空间中,紧靠着底空间,并且各有一个面,与底空间中的底体连接.侧体可以看作是:正方体从底空间向W轴正方向牵引的过程中,六个面所形成的路径.三>圆夬我们先看看四维坐标中的球体,它看上去是个扁的,(图十一),这是因为坐标的关系,它在平面显示时被压缩了.现在我们把这个球体想象成无数个”球壳”,从大到小,一层层的套在一起,组成了这个实心的球体.用一条线的一端连接球心,连带着这无数个球壳向W轴正方向牵引,在此过程中,球壳从大至小,逐层剥落.注意, 剥落的过程不是匀速的,这个值和sin的值有关系,而且这些球壳的面积有一定量的拉伸(图十二).当牵引的距离达到球的半径R时,所有的球壳剥落完毕,最小的”球壳”,就是原来的中心点,现在它移动了R的距离.这些在W轴方向上,按大小顺序排列的无数个球壳,围合成了半个圆夬.用同样的方法,向W轴负方向牵引,得到另半个圆夬.(图十三)这个圆夬,看上去还是一个圆球,其实,不论圆周,圆面,圆球,还是圆夬,它们都是圆的,画在纸上不会是其它形状,我们只能将它想象成无数个球体叠加,球半径由底空间的最大圆球开始,向W轴方向以cos值减小.(图十四)四>参数以上介绍了四维空间中比较简单的三个几何形,下面是它们相关的一些参数.正五体夬5体10面10棱5顶点设棱长为1: 侧体高(√6)/3 叠(四维高)(√10)/4 内切圆夬半径(√10)/20 外接圆夬半径(√10)/5夬积J=(1/4)*d*V=(√5)/96其中d为叠(四维高),V是底体的体积.正方夬8体24面32棱16顶点设棱长为1: 内切圆夬半径1/2 外接圆夬半径为 1夬积 1对角体:1*1*(√2) 对角面:1*(√3) 对角线 2圆夬设半径为r.表体积2(π∧2)(r∧3) 夬积 1/2(π∧2)(r∧4)夬积公式夬积有两种计算方法J=d*V ; J=S1*S2 具体用哪个公式,以所知道的条件来决定.五>例题例一:已知一等腰五体夬,它的底体为棱长为1的正四面体,它的外接圆夬半径为2,求此五体夬的夬积.(图十五)答: 设底体的中心点为P, 底体的一个顶点为O,在三维坐标中,我们可以计算得到棱长为1的正四面体的体积为(√2)/12, 计算得到OP的长度为(√6)/4.在等腰五体夬中,它的叠(四维高)d是经过外接圆夬夬心的,所以圆夬心C在叠d 上,CO为圆夬半径,CP⊥OP,可求得CP=(√58)/4 ,所以此等腰五体夬的夬积:J=(1/4)d*V=(1/4) *(2+(√58)/4)*(√2)/12=(√2)/24+(√29)/96例二: 用牵引法的原理,验证圆夬的夬积公式.答:我们先用牵引法计算半个圆夬的夬积.半圆夬的底部最大球的体积是(4/3)πR ∧3,在牵引的过程中,球半径逐渐变小,球半径r与牵引距离H的关系是:r∧2+H∧2=R∧2,其中R是最大球的半径,也是圆夬的半径.(图十六)将从大到小的圆球体积累加起来,就能得到半个圆夬的夬积,下面是积分公式:再将J1*2=(1/2)(π∧2)(R∧4),得到圆夬的夬积公式.。
四维空间图解
一颗蓝色的星球,表面附著著一群用两条腿走路并且会说话的动物,她们管自己叫作人。
她们对於这个世界早已习以为常,安然无事地吃喝拉撒,日复一日,年复一年,为了生活而生活著。
夜深人静,万籁俱寂。
蓝色星球东半球亚洲一发展中国家的南方临海某市的一间单身宿舍里,一个被定义为打工仔的人,抓住了几只不幸的低等动物——蚂蚁,在昏暗的灯光下,把它们放到一张白纸上,任其爬行。
三维世界的人居高临下地瞧著二维世界的动物(把蚂蚁假定为二维生物),人陷入了沉思……蚂蚁在平展的白纸上木然地爬行著,在它们的视野中,世界如此宽阔平坦,一望无边。
世界只有前后左右,没有上下的概念。
这就是一个纯粹的二维世界。
这些可怜的生命,由於它们生理结构的局限,永远地被宿命在一个只有XY轴而没有Z轴的平面世界里。
在这个荒凉的平面世界里,时时刻刻发生著出人意料的事情。
人注视著蚂蚁的每一个行为,正如上帝注视著人的世界。
人准备与蚂蚁开个玩笑,然而这对於蚂蚁来说却就是天灾。
人拿起一块小石头,正对著一只正在爬行的年轻蚂蚁的头顶,然后轻轻松手。
在蚂蚁的世界里,灾难发生了。
一个不明物体不知从何而来,结束了年轻蚂蚁短暂的一生。
同伴相继赶来,围观这庞大的不明物体,它们无法用现有的理论去解释这桩离奇的事件,因为事发之时,年轻蚂蚁的前后左右均未发现可疑危险,在如此安全的环境下竟然突然出现一个形状怪异的物体,简直不可思议。
(当然它们就是瞧不见石头的厚度的,只能瞧见石头与它们的平面世界接触到的一个封闭平面区域)对於这个莫名其妙的灾难,蚂蚁们只能求助於它们想像中的宗教与神灵,进而得出了结论:这就是上苍的旨意,年轻的同伴命中注定今日死去,“阎王让您三更死,哪个敢留到五更”,苦命的孩子啊！人自信地注视著这一切,仿佛有一种莫名的成就感。
生活在三维世界就是多麼的优越,前后左右上下,四面八方,可以尽收眼底,比起悲哀的蚂蚁,人类就是何等安全。
然而设身处地思考了蚂蚁世界的处境后,人把自己与蚂蚁做了一个对比,把时空由二维推广到三维,结果令人沮丧,原先的优越感与成就感刹那间一扫而空。
四维
首先，这是三个长方体，这是三个十分普通的长方体：（图一）（图二）（图三）接下来，我用一种奇妙的方法将他们拼起来：（图四）这是一个很奇妙的，在三维世界中不存在的图形，将它进行拓展，延伸，得到以下图形：（图五）图中的每一个蓝点都引出四条线，通过简单地几何推理即可证明这四条线两两垂直，互不重合。
二维坐标系的基本性质为：两条直线两两垂直，互不重合。
三维坐标系的基本性质为：三条直线两两垂直，互不重合。
故n维坐标系的基本性质为：n条直线两两垂直，互不重合。
∴这四条直线构成四维坐标系，我们可以这个图形存在于四维宙间（新定义量）中。
接下来我们可以通过一、二、三维图形的基本性质找到某些规律，进而证明它是四维图形。
这是二、三维图形的得到过程：（图六）两条直线交于一点（图七）两个平面交于一线则n维图形的得到过程为：n维图形由两个（n-1）维图形交于一个（n-2）维图形得到的（点可以看做0维）。
在图五中取出一部分：（图八）两个三维图形交于一个平面∴这是一个四维图形。
接下来，我们可以画出一、二、三维图形的基本图形：（图九）有两个端点，由两个0维的点构成，每个点引出一条线（图十）有三个端点，由三个一维的线构成，每个点引出两条线（图十一）有四个端点，由四个二维的面构成，每个点引出三条线则有（n+1）个端点，由（n+1）个（n-1）维图形构成，每个点引出n条线的图形为最基本的n维图形。
下面，我们可以由图五演变为由三棱锥构成的图形：该图形有五个端点，由五个三维的体构成，每个点引出四条线，所以该图形为最基本的四维图形。
证明过程到此可以告一段落，由上面的推理过程及我们学习数学的经验可得如下几条定理（如果在将来得到证实，就是维度公理）：1、在数学中，对于维度的研究不存在物理中“时间”这一维，且不会影响任意一个物理定论。
2、对于一个n维图形，必有m（m∈{m|m ≤n}）维图形存在于n维图形中。
3、n维图形由两个（n-1）维图形交于一个（n-2）维图形得到的。
四维几何基础知识（二）
四维几何基础知识（二）导读本<四维几何基础知识>系列文章一共有五章,分别为:第一章名词术语和简单的夬第二章位置关系第三章投影第四章面轴第五章曲体这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣,请在百度文库中查找,或光临本人的微博: “四维几何基础知识”,里面有打包下载的更新链接.在本系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,例如:五胞体→五体夬,正八胞体→正方夬,超球体→圆夬.其原因已在<前言>中说明,在此不再重复.感谢您的关注,希望<四维几何基础知识>系列文章能够为您的学业有所帮助.作者四维几何基础知识(201802第一次更新)第二章位置关系一>低维理论的升级下面是一些关于四维几何的公设,这些公设若要证明是非常复杂,但基于我们通常的数学认知,可以认为这些公设是正确的.1>在四维空间中,一条不与立体空间平行的直线,与此空间有且只有一个交点.2>在四维空间中,不与立体空间平行的平面,与此空间相交于一条直线.3>在四维空间中,两个互不平行的立体空间,相交于一个平面.4>在四维空间中,若立体A平行于立体B, 立体B平行于立体C,则立体A平行于立体C.5>在四维空间中,若直线a垂直于立体V, 直线b也垂直于立体V,则直线a平行于直线b.…………………其实我们之前学习的二维和三维的几何理论,大部分在四维空间中都是适用的.在这里先例举一些,希望能够达到举一反三的效果.二>平行三维几何中平行的概念只包含直线和平面,在四维几何中平行概念得以进一步扩充,本节讨论直线与立体平行,平面与立体平行,立体与立体平行.1>在四维空间中,一条与参照立体空间平行的直线,与此空间是没有交点的.这条直线上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.设直线a平行于立体空间O-XYZ,在直线a上任取两点,作垂直于参照空间的垂线与空间相交于两点,连接此两点形成直线b,则直线a平行于直线b.在参照立体空间内,任何平行于直线b的直线都平行于直线b在空间外的平行直线a.在参照立体空间内,任何平行于直线b的平面都平行于直线b在空间外的平行直线a.图一(1)2>在四维空间中,与参照立体空间平行的平面,与此空间没有相交线.平面上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.设平面S1平行于立体空间O-XYZ,则平面S1内任意直线皆平行于立体空间O-XYZ.在平面S1上任取三点,作垂直于参照空间的垂线与空间相交于三个交点,过此三交点作一平面S2,则平面S2平行于平面S1.在参照立体空间内,任何平行于平面S2的直线都平行于平面S2在空间外的平行平面S1.在参照立体空间内,任何平行于平面S2的平面都平行于平面S2在空间外的平行平面S1. .图一(2)3>在四维空间中,与参照立体空间平行的立体,与此空间没有相交面. 立体上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.设立体V1平行于立体空间O-XYZ,则立体V1内任意直线或平面皆平行于立体空间O-XYZ, 空间O-XYZ内任意直线或平面也平行于立体V1.在之后的章节,以上概念和推论将直接应用,不会再作相应的叙述.三>相交本节讨论四维空间中三种相交状况:直线与立体相交,平面与立体相交,立体与立体相交1>直线与立体相交,有且只有一个交点.在四维空间中有一直线AP与立体空间O-XYZ相交于点P,过点A 作垂线垂直于空间O-XYZ且与空间相交于点B,连接PB,则∠APB是直线AP与空间O-XYZ 的夹角.特殊情况,当∠APB等于90度时, 直线AP垂直于立体空间O-XYZ,同时也垂直于此空间内所有的直线和平面.在立体空间O-XYZ内,过点P作平面S垂直于PB,则直线AP也垂直于平面S. 图二(1)2>平面与立体相交于一条直线.在四维空间中有一平面S1与立体空间O-XYZ相交于直线L,在平面S1上任取一点A作垂线垂直于直线L且与L相交于点P, 过点A作垂线垂直于空间O-XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则∠APB是平面S1与空间O-XYZ的夹角.当∠APB等于90度时, 平面S1垂直于立体空间O-XYZ.在立体空间O-XYZ内,过直线L作平面S垂直于PB,则平面S1也垂直于平面S. 图二(2)3>立体与立体相交于一个平面.在四维空间中有一立体V1与立体空间O-XYZ相交于平面S,在立体V1内任取一点A作垂线垂直于平面S且与S相交于点P, 过点A作垂线垂直于空间O-XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则PB垂直于平面S,∠APB是立体V1与空间O-XYZ的夹角.当∠APB等于90度时, 立体V1垂直于立体空间O-XYZ.例一:求正五体夬表体之间的夹角.答:图三是一个正五体夬,设棱长L=1.它的表体是五个正四面体,选取其中两个四面体:O-ABC和D-ABC.可见这两个表体有公共面即三角形ABC. 三角形ABC是等边三角形,选取其中心点P,连接DP和OP,则DP垂直于三角形ABC, OP也垂直于三角形ABC, ∠OPD就是两表体之间的夹角.不难求得DP=OP=(√6)/3,OD=1,代入余弦定理得: ∠OPD=arccos(1/4)例二: 图四是一个四维坐标系,在底空间中有直线a,b,c,在此空间之外有四面体D-ABC,其中棱AC平行于直线a, 棱AD平行于直线b, 棱BC平行于直线c,这三条棱不在同一平面上.求证四面体D-ABC平行于底空间.(图四1)证明:首先采用反证法,假设”四面体D-ABC的棱AC不平行于底空间”.延长棱AC 使其与底空间相交于点M,在底空间内,过点M作直线MN平行于直线a,按照四维空间的平行定义, 直线MN必平行于直线a 的平行线AC,但事实上直线MN与棱AC的延长线相交,所以”棱AC不平行于底空间”不成立,即棱AC平行于底空间.(图四2)同理可证棱AD,棱BC也平行于底空间.在四面体D-ABC中有三角形的两边AC,BC平行于底空间Z,则三角形ABC平行于底空间.设三角形ABC与底空间的距离为d,因为棱AD 平行于底空间,所以棱AD到底空间的距离也为d.将三角形ABC作为参照底面,把四面体D-ABC分解成无数个平行于三角形ABC 的三角面,每一个三角面都与棱AD相交.取其中任意一个三角形面A’B’C’,点A’在棱AD上,所以点A’到底空间的距离为d,因为三角形面A’B’C’平行于三角形ABC也平行于底空间,所以三角形面A’B’C’到底空间的距离也为d,这样就可以证得四面体D-ABC内所有的点到底空间的距离均为d,原题得证.例三: 求正方夬中,对角体,对角面,对角线与底体的夹角. (图五)答:1>从图五(左)中看到,对角体与底体相交于面OABC,对角体是一个长方体,所以DO⊥面OABC,在底体中, EO⊥面OABC,所以∠DOE等于对角体与底体的夹角,它的值是π/4.2>图五(中)中对角面与底体相交于棱OA,对角面为长方形, 所以FO⊥OA,因为FP垂直于底体交点为P,所以FP⊥OP, PO⊥OA, ∠FOP等于对角面与底体的夹角,它的值是arccos((√6)/3).3>图五(右)中对角线GO与底体相交于点O, GH垂直于底体交点为H,所以∠GOH等于对角线与底体的夹角,它的值是arccos((√3)/2)= π/6.四>与圆夬的位置关系1>相切这个概念与圆的切线类似,在四维空间中有立体和圆夬相交于一点,定义为此立体与圆夬相切.图六(1)连接圆夬心和相交点的线段,垂直于此立体(也可称之为切体).2>相交立体与圆夬相交,相交部分为一个圆球.若立体是有形状和边界的,则相交部分视实际条件来判定. 图六(2)3>外接圆夬外接圆夬的概念类似于立体的外接圆球.因为不在同一平面的四点可以确定一个圆球表面,在圆球外任取一点,和此圆球就可以确定一个圆夬,五体夬有五个顶点,可以推断任意的五体夬都有一个外接圆夬. 图七(1)长方夬和正方夬也有外接圆夬,判断四维夬是否有外接圆夬的必要条件是,必须存在一个点,到此四维夬所有顶点的距离都相等.4>内切圆夬内切圆夬的概念类似于立体的内切圆球.已知任意的五体夬和正方夬都有内切圆夬.判断任意四维夬是否有内切圆夬的必要条件,是在此四维夬的内部必须存在一点,到此四维夬所有的表体的距离都相等. 图七(2)。
从一到无穷大中对四维空间的见解
从一到无穷大中对四维空间的见解四维空间在数学和物理学领域中一直是一个令人着迷的概念。
它超越了我们日常生活中所经验到的三维空间，引入了时间这一第四维，为我们打开了通向无限可能性的大门。
在本文中，我将以从简到繁、由浅入深的方式来探讨从一到无穷大中对四维空间的见解，以便读者能更深入地理解这一概念。
1. 什么是四维空间？在我们开始讨论四维空间之前，我们先来了解一下什么是四维空间。
在几何学中，我们习惯将空间分为三维空间，即长、宽和高。
但当我们引入时间这一第四维时，我们就得到了四维空间。
这个概念源自爱因斯坦的相对论理论，它描绘了时空如何被引力所扭曲，从而产生了引力波等现象。
2. 对四维空间的直观理解对于我们这些生活在三维世界的人来说，很难直观地理解四维空间。
但我们可以借助一些类比来帮助我们理解。
我们可以想象一个二维的世界，它只有长度和宽度，而没有高度。
现在，我们引入第三维，即垂直于二维世界的方向，我们就得到了三维空间。
同样的，引入第四维，即时间，我们就得到了四维空间。
这种类比虽然并不能完全还原四维空间的复杂性，但可以帮助我们建立一定的直观认识。
3. 四维空间对我们的影响四维空间的概念不仅仅存在于数学和物理学中，它也深刻地影响着我们的生活。
在艺术和文学作品中，我们常常可以看到对四维空间的想象和表现。
对四维空间的探索也推动了科学技术的发展，比如在相对论、量子力学等领域的研究中，四维空间始终扮演着重要的角色。
4. 我对四维空间的个人观点对于我个人来说，四维空间是一个充满了未知和想象的领域。
它超越了我们日常生活中的经验，挑战着我们的想象力和理解力。
正是由于这种挑战，我对四维空间充满了好奇和兴趣。
我相信随着人类对这一领域的不断探索，我们将会揭开更多关于宇宙和时空的神秘面纱。
总结回顾通过本文的探讨，我们对从一到无穷大中对四维空间的见解有了更深入的理解。
我们从四维空间的定义开始，探讨了对其直观理解和对我们生活的影响，最后共享了个人观点。
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导读
本<四维几何基础知识>系列文章一共有五章,分别为:
第一章名词术语和简单的夬
第二章位置关系
第三章投影
第四章面轴
第五章曲体
这是其中的一章.如果您对其他章节感兴趣,请在百度文库中查找,或光临本人的微博: “四维几何基础知识”,里面有打包下载的更新链接.
在本系列文章中,有个非常重要的问题要说明,那就是”多胞体”这个名称用”夬(jué)”字暂代了,例如:五胞体→五体夬,正八胞体→正方夬,超球体→圆夬.其原因已在<前言>中说明,在此不再重复.
感谢您的关注,希望<四维几何基础知识>系列文章能够为您的学业有所帮助.
作者
四维几何基础知识(201802第一次更新)
第二章位置关系
一>低维理论的升级
下面是一些关于四维几何的公设,这些公设若要证明是非常复杂,但基于我们通常的数学认知,可以认为这些公设是正确的.
1>在四维空间中,一条不与立体空间平行的直线,与此空间有且只有一个交
点.
2>在四维空间中,不与立体空间平行的平面,与此空间相交于一条直线.
3>在四维空间中,两个互不平行的立体空间,相交于一个平面.
4>在四维空间中,若立体A平行于立体B, 立体B平行于立体C,则立体A平
行于立体C.
5>在四维空间中,若直线a垂直于立体V, 直线b也垂直于立体V,则直线a
平行于直线b.
…………………
其实我们之前学习的二维和三维的几何理论,大部分在四维空间中都是适用的.在这里先例举一些,希望能够达到举一反三的效果.
二>平行
三维几何中平行的概念只包含直线和平面,在四维几何中平行概念得以进一步扩充,本节讨论直线与立体平行,平面与立体平行,立体与立体平行.
1>
在四维空间中,一条与参照立体空间平行的直线,与此空间是没有交点的.这条直线上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.
设直线a平行于立体空间O-XYZ,在直线a上任取两点,作垂直于参照空间的垂线与空间相交于两点,连接此两点形成直线b,则直线a平行于直线b.
在参照立体空间内,任何平行于直线b的直线都平行于直线b在空间外的平行直线a.
在参照立体空间内,任何平行于直线b的平面都平行于直线b在空间外的平行直线a.图一(1)
2>
在四维空间中,与参照立体空间平行的平面,与此空间没有相交线.平面上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.
设平面S1平行于立体空间O-XYZ,则平面S1内任意直线皆平行于立体空间O-XYZ.
在平面S1上任取三点,作垂直于参照空间的垂线与空间相交于三个交点,过此三
交点作一平面S2,则平面S2平行于平面S1.
在参照立体空间内,任何平行于平面S2的直线都平行于平面S2在空间外的平行平面S1.
在参照立体空间内,任何平行于平面S2的平面都平行于平面S2在空间外的平行平面S1. .图一(2)
3>
在四维空间中,与参照立体空间平行的立体,与此空间没有相交面. 立体上的任意一点,到参照立体空间的距离都相等.
设立体V1平行于立体空间O-XYZ,则立体V1内任意直线或平面皆平行于立体空间O-XYZ, 空间O-XYZ内任意直线或平面也平行于立体V1.
在之后的章节,以上概念和推论将直接应用,不会再作相应的叙述.
三>相交
本节讨论四维空间中三种相交状况:直线与立体相交,平面与立体相交,立体与立体相交
1>
直线与立体相交,有且只有一个交点.
在四维空间中有一直线AP与立体空间O-XYZ相交于点P,过点A作垂线垂直于空间O-XYZ且与空间相交于点B,连接PB,则∠APB是直线AP与空间O-XYZ 的夹角.
特殊情况,当∠APB等于90度时, 直线AP垂直于立体空间O-XYZ,同时也垂直于此空间内所有的直线和平面.
在立体空间O-XYZ内,过点P作平面S垂直于PB,则直线AP也垂直于平面S. 图二(1)
2>
平面与立体相交于一条直线.
在四维空间中有一平面S1与立体空间O-XYZ相交于直线L,在平面S1上任取一点A作垂线垂直于直线L且与L相交于点P, 过点A作垂线垂直于空间O-XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则∠APB是平面S1与空间O-XYZ的夹角.
当∠APB等于90度时, 平面S1垂直于立体空间O-XYZ.
在立体空间O-XYZ内,过直线L作平面S垂直于PB,则平面S1也垂直于平面S. 图二(2)
3>
立体与立体相交于一个平面.
在四维空间中有一立体V1与立体空间O-XYZ相交于平面S,在立体V1内任取一点A作垂线垂直于平面S且与S相交于点P, 过点A作垂线垂直于空间O-XYZ 且与空间相交于点B,连接PB,则PB垂直于平面S,∠APB是立体V1与空间O-XYZ的夹角.
当∠APB等于90度时, 立体V1垂直于立体空间O-XYZ.
例一:求正五体夬表体之间的夹角.
答:图三是一个正五体夬,设棱长L=1.它的表体是五个正四面体,选取其中两个四面体:O-ABC和D-ABC.可见这两个表体有公共面即三角形ABC. 三角形ABC是等边三角形,选取其中心点P,连接DP和OP,则DP垂直于三角形ABC, OP也垂直于三角形ABC, ∠OPD就是两表体之间的夹角.
不难求得DP=OP=(√6)/3,OD=1,代入余弦定理得: ∠OPD=arccos(1/4)
例二: 图四是一个四维坐标系,在底空间中有直线a,b,c,在此空间之外有四面体D-ABC,其中棱AC平行于直线a, 棱AD平行于直线b, 棱BC平行于直线c,这三条棱不在同一平面上.求证四面体D-ABC平行于底空间.(图四1)
证明:首先采用反证法,假设”四面体D-ABC的棱AC不平行于底空间”.延长棱AC 使其与底空间相交于点M,在底空间内,过点M作直线MN平行于直线a,按照四维空间的平行定义, 直线MN必平行于直线a的平行线AC,但事实上直线MN与棱AC的延长线相交,所以”棱AC不平行于底空间”不成立,即棱AC平行于底空间.(图四2)
同理可证棱AD,棱BC也平行于底空间.
在四面体D-ABC中有三角形的两边AC,BC平行于底空间Z,则三角形ABC平行于底空间.设三角形ABC与底空间的距离为d,因为棱AD平行于底空间,所以棱AD到底空间的距离也为d.
将三角形ABC作为参照底面,把四面体D-ABC分解成无数个平行于三角形ABC 的三角面,每一个三角面都与棱AD相交.取其中任意一个三角形面A’B’C’,点A’在棱AD上,所以点A’到底空间的距离为d,因为三角形面A’B’C’平行于三角形ABC也平行于底空间,所以三角形面A’B’C’到底空间的距离也为d,这样就可以证
得四面体D-ABC内所有的点到底空间的距离均为d,原题得证.
例三: 求正方夬中,对角体,对角面,对角线与底体的夹角. (图五)
答:
1>从图五(左)中看到,对角体与底体相交于面OABC,对角体是一个长方体,所以
DO⊥面OABC,在底体中, EO⊥面OABC,所以∠DOE等于对角体与底体的夹角,它的值是π/4.
2>图五(中)中对角面与底体相交于棱OA,对角面为长方形, 所以FO⊥OA,因为
FP垂直于底体交点为P,所以FP⊥OP, PO⊥OA, ∠FOP等于对角面与底体的夹角,它的值是arccos((√6)/3).
3>图五(右)中对角线GO与底体相交于点O, GH垂直于底体交点为H,所以∠
GOH等于对角线与底体的夹角,它的值是arccos((√3)/2)= π/6.
四>与圆夬的位置关系
1>相切
这个概念与圆的切线类似,在四维空间中有立体和圆夬相交于一点,定义为此立体与圆夬相切.图六(1)
连接圆夬心和相交点的线段,垂直于此立体(也可称之为切体).
2>相交
立体与圆夬相交,相交部分为一个圆球.若立体是有形状和边界的,则相交部分视实际条件来判定. 图六(2)
3>外接圆夬
外接圆夬的概念类似于立体的外接圆球.因为不在同一平面的四点可以确定一个圆球表面,在圆球外任取一点,和此圆球就可以确定一个圆夬,五体夬有五个顶点,可以推断任意的五体夬都有一个外接圆夬. 图七(1)
长方夬和正方夬也有外接圆夬,判断四维夬是否有外接圆夬的必要条件是,必须存在一个点,到此四维夬所有顶点的距离都相等.
4>内切圆夬
内切圆夬的概念类似于立体的内切圆球.已知任意的五体夬和正方夬都有内切圆夬.判断任意四维夬是否有内切圆夬的必要条件,是在此四维夬的内部必须存在一点,到此四维夬所有的表体的距离都相等. 图七(2)。