锐角三角函数--讲义资料
初三数学锐角三角函数知识精讲
初三数学锐角三角函数知识精讲锐角三角函数1. 锐角三角函数的定义直角三角形中有两条直角边和一条斜边，从这三条边中适当取两条边可以得到不同的比，这些比值的大小显然只与直角三角形中锐角的大小有关，这样便定义了直角三角形中锐角的三角函数，常用的有正弦函数sin A a c =余弦函数cos A bc =正切函数tan A ab =余切函数cot A ba=BCAcab2. 互余角的三角函数间的关系sin cos()cos sin()tan cot()cot tan()αααααααα=︒-=︒-=︒-=︒-909090903. 同余角三角函数间的关系 （1）倒数关系tan cot αα⋅=1（2）商的关系tan sin cos cot cos sin αααααα==， （3）平方关系sin cos 221αα+=4. 三角函数值角度三角函数0°30°45°60°90°sin α 0 12 22 32 1 cos α1 32 22 120 tan α 0 33 13 不存在 cot α不存在3133 0（2）锐角三角函数值的变化情况 <1>锐角三角函数值都是正数且当090︒<<︒α时，01101<<>>+>sin cos sin cos αααα，，，tan α>0，cot α>0。
<2>当角度在090︒︒~间变化时正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）我们利用以上锐角三角函数的定义及性质，可以解决一些求值、化简以及等式证明等问题。
例（1999某某）已知∆ABC 的两边长a c ==35，，且第三边长b 为关于x 的一元二次方程x x m 240-+=的两个正整数根之一，求sinA 的值。
锐角三角函数讲义
锐角三角函数讲义【知识点拨】知识点一：锐角三角函数的概念：锐角三角函数包括正弦函数，余弦函数，和正切函数，如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b ，c ． ∠A 的正弦=A asin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注意：我们说锐角三角函数都是在直角三角形中讨论的！若没有直角，要想方设法构造直角。
课堂练习：1. 把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ＇B ＇C ＇，那么锐角A.A ＇的余弦值的关系为（ ）．A.cosA ＝cosA ＇B.cosA ＝3cosA ＇C.3cosA ＝cosA ＇D.不能确定 2. 已知中，AC =4，BC =3，AB =5，则（ ）A ．B ．C ．D ．3. 三角形在正方形网格纸中的位置如图1所示，则sin α的值是（ ）Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45α图14.在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，则sin B＝（）A． B． C． D．5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cos A＝，sin B＝，tan B＝，6.⑴如图1－1－7①、②锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律；⑵根据你探索到的规律，试比较18○、34○、50○、61○、88○这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．知识点二：特殊角三角函数值的计算知识点三：运用三角函数的关系化简或求值 1．互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A tan （900－A ）＝ctan A ； ctan （900－A ）＝tan A2．同角的三角函数关系． ①平方关系：sin 2A+cos 2A=l ② 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin A AA A A A==sin cos a a += ③倒数关系： tgα·ctgα=1．课堂练习：1. 如α∠是等腰直角三角形的一个锐角，那么cos α的值等于（ ）Ａ．12Ｄ．12. 45cos 45sin +的值等于（ ） A. 1B. 2C. 3D.213+ 3. 下列计算错误的是（ ）A ．sin 60sin 30sin 30︒-︒=︒B ．22sin 45cos 451︒+︒=C ．sin 60cos 60cos 60︒︒=︒D ．cos30cos30sin 30︒︒=︒4. 已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于（ ）A 20°B 30°C 40°D 50°5. 若tan(a+10°)=3，则锐角a 的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50°6. (兰州市)如果sin 2α＋sin 230°＝１那么锐角α的度数是（ ）Ａ．１５° Ｂ．３０° Ｃ．４５° Ｄ．６０° 7. 已知α为锐角，且sin α－cos α=12 ，则sin α·cos α=___________8. cos 2α+sin 242○ =1，则锐角α=______.9. tan30°sin60°＋cos 230°－sin 245°tan45°10. 22sin30cos60tan 60tan30cos 45+-⋅+︒．11. 22sin 45cos30tan 45+-知识点四：锐角三角函数的增减性三角函数的单调性1． 正弦和正切是增函数，三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．2． 余弦是减函数，三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。
锐角三角函数精品讲解
第28章：锐角三角函数一、基础知识1.定义：如图在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ； a sinA c=把锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ；cos b A c =把锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA 。
tan a A b=把锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cosA 。
cos b A a=2、三角函数值（2）锐角三角函数值的性质。
锐角三角函数的大小比较：在︒<<︒900A 时，随着A 的增大，正弦值越来越大，而余弦值越来越小. 即：A sin 是增函数，A cos 减函数。
○1锐角三角函数值都是正数。
○2当角度在090间变化时:正弦、正切值随着角度的增大而增大；余弦、余切随着角度的增大而减小。
3、 同角、互余角的三角函数关系：1、同角三角函数关系：1cos sin 22=+A A .sin tan cos ∂∂=∂；cos cot sin ∂∂=∂；tan cot 1∂∙∂=2、互余锐角的三角函数关系：)90cos(cos sin A B A -︒==，A-)==。
B︒90sin(sincos A解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
知识梳理：二、精典例题第一部分：锐角三角函数的运算一、直角三角形中锐角的正弦、余弦的概念与表达式：例1：如图所示，则()()()()====E E D D cos ,sin ,cos ,sin 。
例2：在ABC ∆Rt 中，如果各边长度都扩大4倍，则锐角A 的正弦值和余弦值（）（A ）都没有变化 （B ）都扩大4倍 （C ）都缩小4倍 （D ）不能确定 例3：已知：A ∠为锐角，并且5sin 12A =，则A cos 的值为 . [考点透视]本例主要是考查锐角三角函数的定义。
《锐角三角函数》 讲义
《锐角三角函数》讲义一、锐角三角函数的定义在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比值叫做正弦（sin），锐角的邻边与斜边的比值叫做余弦（cos），锐角的对边与邻边的比值叫做正切（tan）。
以一个锐角为 A 的直角三角形为例，假设其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c。
那么，sin A ＝ a ／ c，cos A ＝ b ／ c，tan A ＝ a ／ b 。
需要注意的是，锐角三角函数的值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关。
二、特殊角的三角函数值我们要牢记一些特殊角的三角函数值，这在解题中会经常用到。
30°角：sin 30°＝ 1 ／ 2，cos 30°＝√3 ／ 2，tan 30°＝√3 ／ 3 。
45°角：sin 45°＝√2 ／ 2，cos 45°＝√2 ／ 2，tan 45°＝ 1 。
60°角：sin 60°＝√3 ／ 2，cos 60°＝ 1 ／ 2，tan 60°＝√3 。
三、锐角三角函数的应用锐角三角函数在实际生活中有广泛的应用。
比如，测量物体的高度。
如果我们知道一个物体与我们的水平距离，以及我们观测物体顶部的仰角，就可以通过三角函数来计算物体的高度。
假设我们站在水平地面上，距离一个建筑物为 d 米，观测建筑物顶部的仰角为α，那么建筑物的高度 h 就可以通过tanα ＝ h ／ d 来计算，即 h ＝d × tanα 。
再比如，测量河流的宽度。
我们可以在河的一岸选择一个点，然后测出对岸一个目标点与这个点的连线和河岸的夹角，以及这个点到河岸的垂直距离，从而计算出河流的宽度。
四、锐角三角函数的性质1、取值范围正弦和余弦的值域都在-1, 1之间，而正切的值域是全体实数。
2、增减性在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，余弦函数值随着角度的增大而减小，正切函数值随着角度的增大而增大。
锐角三角函数知识点
锐角三角函数知识点锐角三角函数：一、基本概念：1、什么是锐角三角函数：锐角三角函数是一类特殊的函数，涉及到角度和角度对应的三角函数值，用于计算平面向量在多边形中和求解三角形的面积。
2、锐角三角函数的定义：锐角三角函数是基于角度θ，从而定义的三角函数值。
一般情况下，它用半圆线直叙指函数如下所示：sinθ，cosθ，tanθ，cotθ，secθ，cscθ。
3、锐角三角函数的基本关系：cosθ= sin (π/2-θ)；sinθ= cos (π/2-θ)；tanθ=cot (π/2-θ)；cotθ=tan (π/2-θ)；secθ=csc(π/2-θ)；cscθ=sec (π/2-θ)。
二、圆周角：1、什么是圆周角：圆周角是指以圆等分线在a轴上的量度，即由圆心和两个点确定的弧的长度。
圆周角定义在一个圆的周围，与半径的长度有关，可以用角度μ来表示。
2、单位：圆周角的单位是弧度rad，又称为radian，表示当一个圆的半径为1时，圆周角的长度。
三、锐角的余弦定理：1、锐角余弦定理是用弦和角定义的三角形问题，可以求解共有三角形A、B、C三个锐角所对应边长a、b、c满足关系：a²=b²+c²-2bc cosA；b²=a²+c²-2ac cosB；c²=a²+b²-2ab cosC。
2、此外，锐角余弦定理也可以利用三角形所有边长求解A、B、C三个锐角所对应的角度值，记为A=cos-1[(b²+c²-a²)/2bc]；B=cos-1[(a²+c²-b²)/2ac]；C=cos-1[(a²+b²-c²)/2ab]。
四、锐角的正弦定理：1、锐角正弦定理是求解三角形的已知一边和两个对边角的问题，满足条件如下：a=b sinA/sinB；b=a sinB/sinA；c=a sinC/sinA，c=bsinC/sinB。
初中数学锐角三角函数综合复习讲义
初中数学锐角三角函数综合复习讲义一、研究概念1、产生的背景：直角三角形的边与角之间的关系2、明确概念：正弦阐述概念：在直角三角形中，锐角A 的对边与斜边的比叫做锐角A 的正弦，记作sinA 3、本质：特殊的实数 4、知识点产生的条件： [直角三角形] 直角三角形中任意两边和任意一锐角5、特征： 正弦 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦 →[表示法] sinA=∠A 的对边斜边[特殊字母] sinA=a c sinB=bc(∠A+∠B=90°) 余弦 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦→[表示法] cosA=∠A 的邻边斜边[特殊字母] cosA=bccosB=a c (∠A+∠B=90°)sinA=ac = cosB= cos (90°—∠A) cosA=bc= sinB= sin (90°—∠A)定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切→[表示法] tanA=∠A 的对边邻边特殊字母] tanA=abtanB=b a (∠A+∠B=90°)余切 [定义] 在△ABC 中，∠C 为直角，我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切→[表示法] cotA=∠A 的邻边对边[特殊字母] cotA=b a cotB= ab(∠A+∠B=90°) tanA=ab= cotB= cot (90°—∠A) CBA c bacotA=ba= tanB= tan (90°—∠A) [文字] 一个角的正弦等于它余角的余弦 一个角的余弦等于它余角的正弦一个角的正切等于它余角的余切一个角的余切等于它余角的正切[勾股] sin 2 A+ cos 2A= 1 sin 2 B+ cos 2B= 1[运算] tanA ·cotA=1 tanB · cotB=1[正弦、余弦] tanA=sin A cosA cotA=cos AsinA tanB=cos A sinA cotB=sin AcosA[特殊值] sin30°=cos60°=12sin45°=cos45°=2若α、β是锐角，且α＞β，则sin60°=cos30°α＞sin β cos α＜cos βtan30°=cot60°α＞tan β cot α＜cot β tan45°=cot45°= 1tan60°=cot30°6、系统找下位含有特殊角的斜三角形∍内角是特殊角∍15°，30°，45°，60°，90° 外角是特殊角∍15°，30°，45°，60°，90°二、应用、例题讲解（一）直角三角形中，已知两边求锐角三角函数 1、在中，∠C 为直角，已知a=3，b=4，则cos B= （ ） (A 级)对象：cos B 角度：cos B=a c分析：a=3，b=4 [勾股] c=5 cos B=a c =35（二）直角三角形中，已知一锐角的三角函数求锐角的其它三角函数 2、∠A 为锐角，且sinA=135，则tanA 的值为 （ ） （A 级） A 、512 B 、1213 C 、1312 D 、125对象：tanA 角度 ： tanA=sin AcosA分析：sinA=135 [sin 2 A+ cos 2A= 1] cos 2A= 1－ sin 2A cosA=1312 [tanA=sin A cosA ] tanA= 1253、设x 为锐角，且满足 sin x=3cos x ，则sin x ·cos x 等于 (B 级)对象：sin x ·cos x 角度：sin 2x+ cos 2x= 1分 析：sin x=3cos x [sin 2x+ cos 2x= 1] (3cos x)2＋cos 2x= 1 cos 2x=101 sin x ·cos x= 3cos 2x=103 4、如果x= tanA+1,y=cotA+1(A 为锐角)，那么y 等于 (B 级) 对象： y 角度：tanA · cotA=1分析：x= tanA+1,y=cotA+1 [tanA · cotA=1] （x-1）(y-1)=1y=1-x x 5、如果A 为锐角，且 sinA=54，那么 （ ） (B 级) A 、0°〈 A ≤30° B 、30°〈A ≤45° C 、45°〈A 〈60° D 、60°〈A 〈90°对象：A 角度：sinA=54 分析：22〈54〈23 sin 45°〈sinA 〈sin60° ∵A 为锐角 ～ 0°〈 A 〈90° 此时 sinA 是增函数 ∴ 45°〈A 〈60°6、已知A 为锐角，且2cos sin 2cos 2sin 3=-+AA AA ，那么tanA 的值等于 (B 级)对象：tanA 角度：tanA=sin AcosA分析：2cos sin 2cos 2sin 3=-+A A A A 3 sinA+2cosA=4sinA -2cosA sinA=4cosA sin AcosA=4=tanA7、在 中，c 为斜边，a 、b 为直角边，则a 3 cosA+b 3cosB 等于 （B 级）对象：a 3 cosA+b 3cosB 角度 ：cosA=∠A 的邻边斜边勾股定理分析 ：a 3cosA+b 3cosB = a 3·b c + b 3·a c =cabc 2 = abc8、计算： （A 级）对象： 角度 ：特殊角的三角函数值分析：=213222∙+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=231+ 9、计算：sin 248°+sin 242°-tan44°·tan45°·tan46°= （B 级）对象：sin 248°+sin 242°-tan44°·tan45°·tan46°角度：sinA= cos (90°—∠A) tanA= cot (90°—∠A)分析：sin48°=cos(90°－48°)=cos42° tan 44°=cot(90°－44°)=cot46°原式= cos 242°+ sin 242°－cot46°·tan46°·tan45°=1－1·1=010、如图，CD 是平面镜，光线从A 点出发经CD 上点E 反射到B 点，若入射角为α（入射角等于反射角），AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC=3，BD=6，CD=11。
最新锐角三角函数讲义
一、锐角三角函数【基础知识精讲】一、正弦与余弦，正切：1、 在ABC ∆中，C ∠为直角，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ，⋅=∠=caA A 斜边的对边sin锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos .cbA A =∠=斜边的邻边cos锐角A ∠的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作A tan 。
的邻边的对边A A A ∠∠=tan =ab2、当A ∠为锐角时， 1sin 0<<A ，1cos 0<<A ，0tan >A 。
二、特殊角的三角函数值：三、增减性：当0900<<α时，sin α、tan α随角度α的增大而增大；cos α、cot α随角度α的增大而减小。
【例题巧解点拨】例1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5（1）求AB 的长。
（2）求sinA ，cosA 的值。
（3）求的值。
（4）比较sinA 与cosB 的大小。
（5）比较tanA 与AAcos sin 的大小。
例2. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （3，0） 和点B （0，－4）， 则cos ∠OAB 等于（ ）A.43B.－43C. 53D. 54例3. 已知a 为锐角，且aa aa a cos 2sin cos sin ,3tan +-=求的值.例4.如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC. (1)求证：AC=BD ； (2)若sinC=54，BC=12.求AD 的长.例5、如图，在△ABC 中，∠C=90°，ED ⊥AB 于D 点，若tan ∠BED=34，cosA=1312，CE=1333，求DE 的长。
例6、如图，M 是正方形ABCD的边AD 的中点，BE=3AE 。
求sin ∠ECM 的值。
CDE【夯实基础】1.化简：+；2、△ABC 中，若cosB=23，tan A=，且 ∠A 、∠B 为锐角，则△ABC 是 三角形； 3、若αα，则锐角）110tan(3=︒+的度数为 ； 4、已知β是锐角，且cos β=23，则tan(90°-β)= ； 5.在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 。
锐角三角函数—知识讲解
锐角三角函数—知识讲解责编：康红梅【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c ∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边；锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边.同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边．要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成Ca b，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0．要点二、特殊角的三角函数值要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC 的正切值是（）A ．2B ．C ．D ．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC 、AB 的长，根据正切函数的定义，可得答案． 【答案】D ． 【解析】 解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC 为直角三角形， ∴tan ∠B==，故选：D ．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC 、AB 的长，再求正切函数． 举一反三：【高清课程名称：锐角三角函数 高清ID 号： 395948 关联的位置名称（播放点名称）：例1（1）-（2）】【变式】在Rt ΔABC 中，∠C =90°，若a =3，b =4，则c = ，sinA = ， cosA = ，sinB = ， cosB = ．【答案】c = 5 ，sinA = 35 ， cosA =45，sinB =45， cosB =35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模） 6tan 230°﹣sin60°﹣2sin45°； (2)（2015•乐陵市模拟） sin60°﹣4cos 230°+sin45°•tan60°；Ca bc(3)（2015•宝山区一模）+tan60°﹣．【答案与解析】解：（1）原式==122-．(2)原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+=63-；(3)原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=322+．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【高清课程名称：锐角三角函数高清ID号：395948关联的位置名称（播放点名称）：例1（3）-（4）】【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=22，cosA=22，sinB=22，cosB=22．类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足（1﹣tanA ）2+|sinB ﹣|=0（1）试判断△ABC 的形状． （2）求（1+sinA ）2﹣2﹣（3+tanC ）0的值． 【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA ）2+|sinB ﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC 是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，且AB ＝10，CD 是⊙O 的弦，AD 与BC 相交于点P ， 若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°， 又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴PC CDPA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====．【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD ＝AB ＝5a ，由3sin 5BC A AB ==得BC ＝3a ， ∴ 22(5)(3)4AC a a a =-=，∴ CD ＝5a-4a ＝a ，22(3)10BD a a a =+=， ∴ 10sadA 5BD AD ==． 【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA ＝1；(2)在图①中设想AB ＝AC的长固定，并固定AB 让AC 绕点A 旋转，当∠A 接近0°时，BC 接近0，则sadA 接近0但永远不会等于0，故sadA ＞0，当∠A 接近180°时，BC 接近2AB ，则sadA 接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A 放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．。
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锐角三角函数 讲义一、基础知识点: 1.定义:如图在△ABC 中，∠C 为直角,我们把锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A ；ca A =sin 把锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A ;cb A =cos 把锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tan A ;ba A =tan 2、三角函数值(1）特殊角的三角函数值角度 三角函数 0° 30° ４5° ６０° 90° s ｉｎA 0 12 22 32１cosA １ 32 22 12 0ｔanA313不存在(２）锐角三角函数值的变化：（1)当α为锐角时，各三角函数值均为正数,且0<s ｉｎα＜1，0<c ｏs α＜1,当0°≤α≤45°时，sin α，tan α随角度的增大而_＿_____,ｃo ｓα随角度的增大而____＿__.（3）当0°<α<45°时,ｓin α__＿＿_c ｏs α;当45°＜α<90°时,ｓin α______c ｏs α.3、 同角、互余角的三角函数关系:(1)同角三角函数关系：1cos sin 22=+A A .； AA A cos sin tan =；(２)互余锐角的三角函数关系:)90cos(cos sin A B A -︒==，)90sin(sin cos A B A -︒==。
1、 解直角三角形:由直角三角形中除直角以外的两个已知元素(其中至少有一条边),求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型如下表： 已知条件 解法 一条边和一个锐角 斜边ｃ和 锐角Ａ290,sin ,cos ,sin cos B A a c A b c A S c A A ο=-===直角边a 和锐角A 90,,,tan sin a aB A b c A Aο=-==两条边两条直角 边a 和b 22c a b =+,1,90,2A B A S ab ο=-=直角边ａ和 斜边c22,sin ,,90ab c a A A B A cο=-==-备注:a 、ｂ、c 为三角形的三边;A 、B 、C 为三角形的三个内角、S 为三角形的面积 三、典型例题：1． 锐角三角函数的相关概念例1、如图１，在RT △A ＢＣ中，∠C=９0°,si ｎA ＝53,则tanB 的值为（ﻩ）A ．34ﻩ B.54 ﻩC ．45 ﻩﻩD ．43例5例2、如图,⊙O 是△A ＢC 的外接圆,A Ｄ是⊙Ｏ的直径,若⊙O 的半径是23，AC=２,则ｓinB 的值是（ )Ａ.32ﻩﻩ B.23ﻩﻩﻩC ．43 ﻩﻩD ．34ﻩ例3：已知在Rt ABC △中,∠C 为直角，A Ｃ = ４cm ，ＢＣ = 3cm ，sin ∠A ＝ ． 例4：在Rt ABC △中,90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A = ．例5:如图,在Rt △ABC 中,∠C ＝9０°,ＡB =5,AC ＝２，则cos Ａ的值是( ) A.错误! B.错误! C.错误! D ．错误!A CB图1A BCDO例2ACB ACBDBACDE 例6：如图2,在△ABC 中,∠C =９0°，ＡB =1０cm ,sinA =54，则B Ｃ的长为 __＿c ｍ． 例6例７:正方形网格中，AOB ∠如图3放置，则cos AOB ∠的值为（ ）A.55ﻩ Ｂ．255ﻩ C.12ﻩﻩD.2 典型例题题型一：求锐角三角函数的值例1 在Ｒt △ＡＢC 中,∠C ＝90°，sin Ｂ=35,点D 在ＢＣ边上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠ＢAD 的正切值.变式训练1 如图,在ABC △中,90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ,若23AC =,32AB =,则tan BCD ∠的值为（ ) A.2 B ．2C ．6ﻩD ．3变式训练2如图,在等边△ABC 中,D 为BC 边上一点,E 为AC 边上一点,且∠ＡDE=6０°,BD=4,CE=43，则△ABC 的面积为( )A.83B.１5ﻩC.3D.3题型三:化简计算例1(1））计算：20113015(1)()(cos68)338sin 602π---+++-.ABO例7变式1图 变式2图变式:已知α是锐角，且s ｉn(α+15°）＝32。
计算10184cos ( 3.14)tan 3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭。
特殊角的三角函数值例１菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示,452AOC OC ∠==°，，则点B 的坐标为( )A.(21)，B ．(12)，C ．(211)+， Ｄ.(121)+， 变式训练2. 如图,直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点Ｏ (0,０)，B 是y 轴右侧⊙Ａ优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( ).A ．12 B. 34 Ｃ. 32 D.45概念巩固练习1.已知ABC ∆中,A Ｃ＝4,BC =3,AB =5,则sin A =（ ） A ． 35B ．45 C. 53 D ． 342.已知α为锐角,且23)10sin(=︒-α，则α等于( ） A.︒50 Ｂ.︒60 Ｃ.︒70 Ｄ．︒803.如图，已知直角三角形ABC 的斜边AB 长为m ,40B ∠=,则直角边BC 的长是( ） Ａ.sin 40m ﻩﻩＢ.cos 40m ﻩC ．tan 40m D ．tan 40m４.正方形网格中，AOB ∠如图放置，则sin AOB ∠=( )AB O例1图变式1图第3图第4图Ａ．55 Ｂ.255 C ．12D ．2 5.在△A ＢC 中,∠Ｃ＝90°，ｔａn A ＝31，则sin B =( ） Ａ.1010 B.32 Ｃ.43 Ｄ．101036.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ,则tan CBE 的值是( ） A ．247ﻩ B ．73 C.724D.137、如图,A Ｂ是⊙O 的直径，Ｃ、D 是圆上的两点(不与Ａ、B 重合），已知BC ＝2，tan ∠ADC =1,则A Ｂ＝__________.2、锐角三角函数的应用性问题 (1)求线段长、面积、周长例1如图，测量河宽AB (假设河的两岸平行），在C 点测得∠ACB =30°,D 点测得∠A ＤＢ＝60°,又CD =6０m,则河宽AB 为 m(结果保留根号).变式１如图，一个小球由地面沿着坡度ｉ＝1∶2的坡面向上前进了10 m,此时小球距离地面的高度为( )A ．５ m B.25m C.45ｍ D.310m变式2 如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为O ,直径AB 是河底线,弦CD 是水位线，CD ∥ＡB ，且ＣD ＝ ２4 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得s ｉｎ∠D ＯE =1213. （１）求半径OD ；（2)根据需要,水面要以每小时0.5 m 的速度下降,则经过多长时间才能将水排干？6 8CEABD（第6题）ABCDOEC D 第7图 例1图例2如图,菱形ABＣD的边长为1０cm，DＥ⊥ＡB，3sin5A=,则这个菱形的面积＝ｃｍ２．（2）测量问题例２、某学校宏志班的同学们五一期间去双塔寺观赏牡丹,同时对文宣塔的高度进行了测量,如图2,他们先在A处测得塔顶C的仰角为３0°;再向塔的方向直行80步到达B 处，又测得塔顶C的仰角为60°,请用以上数据计算塔高。
(学生的身高忽略不计，1步＝0.８m,结果精确到1m）（３）、航海问题例3、如图3,灯塔A在港口0的北偏东55°的方向，且与港口的距离为８0海里，一艘船上午９时从港口0出发向正东方向航行，上午１1时到达B处，看到灯塔A在它的正北方向,试求这艘船航行的速度（精确到０.０１海里/小时）(供选数据:ｓｉn55°＝0.81９２,cos55°＝０.5７36，taｎ５5°=1.428１）四、巩固练习:1.如图，在Rt ABC△中，ACB∠=Rt∠，1BC=,2AB=,则下列结论正确的是( ）A.3sin A=Ｂ.1tan2A= C.3cos B= D.tan3B=BCAABO北东西南)552. 如图,在坡屋顶的设计图中,AB=AC,屋顶的宽度l 为１0米,坡角α为３5°,则坡屋顶的高度h 为 米.（结果精确到0．1米)3. △AB Ｃ中，∠C ＝９0°，ＡB ＝8，cos Ａ=43，则AC 的长是 ；4.先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么这两树在坡面上的距离AB 为( ）A. αcos 5 Ｂ. αcos 5 C ． αsin 5 D. αsin 55.如图１0,已知R ｔ△AB Ｃ中,ＡC=3，ＢC= 4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB,垂足为A １，再过A １作Ａ1C 1⊥BC,垂足为C 1,过C 1作C 1A 2⊥ＡB,垂足为A ２,再过Ａ２作A 2Ｃ２⊥BC,垂足为Ｃ2,…,这样一直做下去,得到了一组线段CA 1,A 1C １,12C A ，…，则CA 1= ,=5554C A A C第５题图 填空第１题图 填空第2题图6.某人沿着有一定坡度的坡面前进了１0米,此时他与水平地面的垂直距离为52米,则这个破面的坡度为____＿＿＿＿＿_.7.如图所示，小华同学在距离某建筑物６米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为５2°和35°，则广告牌的高度BC 为_＿_____＿_____米(精确到０.1米).(sin35°≈０.５7,ｃｏs35°≈0.８2,tan35°≈0.70；ｓin52°≈0.７9，co ｓ5２°≈0.6２，t ａn52°≈1.2８)8. 104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---＝_＿_＿__．9. (１) 计算2(2)tan 452cos 60-+-。
= (2）计算：()02cos602009π9--+°=五、课后练习1．如图，小颖利用有一个锐角是３0°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离ＢE 为５m,AB 为１．5m （即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是B A ED C30图A BCD 6米 52° 35°(第7题图)CBA( ) A.（53332+)m Ｂ．（3532+）m C. 533ｍ D ．4m 2．如图,在等腰R ｔ△AB Ｃ中，∠Ｃ=90o ,AC =6，D 是AC 上一点,若tan∠ＤBA ＝51，则AD 的长为（ )（Ａ) 2 (B ）3 （C ）2 (Ｄ）１ 3.已知在ABC △中，90C ∠=，设sinB n =,当B ∠是最小的内角时,n 的取值范围是A.202n <<B ．102n << C ．303n << D.302n << 4.如图，每个小正方形的边长为１,A 、B 、C 是小正方形的顶点,则∠ABC 的度数为( ） A.90° B ．６0° C.45° Ｄ．30°５．如图，矩形ＡＢCD 中,AB ＞AD ，ＡＢ=a ,AN 平分∠DAB ,D Ｍ⊥ＡN 于点Ｍ,CN ⊥A Ｎ于点N ．则ＤM ＋CN 的值为（用含a 的代数式表示）( ） A ．a B ．a 54Ｃ.a 22 D ．a 23 6．在△ABC 中,∠Ｃ＝90°,s ｉnA=45，则ｔanB=( ） A ．43 B ．34 C.35 Ｄ．457．在正方形网格中,ABC △的位置如图所示,则cos B ∠的值为( ）Ａ．12ﻩ Ｂ．22C ．32ﻩﻩD ．33８.计算2sin 45°的结果等于＿___＿___.9.在Rt△ABC 中,∠C=90°，若ＡC ＝２ＢC,则si ｎ A 的值是( ) A ．12B ．２ Ｃ．5 Ｄ.5 10．在Rt △ABC 中,∠Ｃ=90°，AC=2，B Ｃ=1,则ｔａｎB= ，ｓinA ＝ 。