初中锐角三角函数专题
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目录
课题:锐角三角函数课件 ........................................................................................................................................ 1 解直角三角形应用题 ................................................................................................................................................ 5 解直角三角形的方法技巧 ...................................................................................................................................... 10 锐角三角函数考点 .................................................................................................................................................. 15 锐角三角函数 课后检测 . (18)
课题:锐角三角函数课件
【引题】
例题1:操作与探究
(1)度量下列一组直角三角形30度角所对的边与斜边,计算它们的比值,发现什么规律? (2)度量下列一组直角三角形45度角所对的边与斜边,计算它们的比值,发现什么规律? (3)猜想:当∠A 取其它一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比值是否定值?为什么? (4)用同样的方法探讨∠A 的邻边与斜边、∠A 的对边与邻边的比有什么规律?为什么?
45?
45?
45?
C 2
B 2
A 2
A 1
B 1
C 1B
★【归纳与总结】
三角函数的定义:如图,在RtΔABC 中,∠C=90°,
例题2:如图:利用特殊直角三角形求特殊角的三角函数。
(1)已知,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,求30°角、60°角的三角函数,并填出表格。 (2)已知,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=45°,求45°角的三角函数,并填出表格。 (3)分析上面特殊角的三角函数,你能从表格中发现什么规律?
A
C
B
45?
60?
C B
A
30?
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★【归纳与总结】
例题3:如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,求sinA 、cosA 和tanA 的值.
13
54
3
C
B A
C
B A
例题4:如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=6,5
3
sin =
A ,求A cos 、
B tan 的值. B
A
C
★【归纳与总结】
例题5:计算: (1)
cos 45sin 301
cos60tan 452
?-??+?
(2)?-?++?-?+?30tan 365sin 160cos 260cos 25sin 2
22
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P(a,b)
α
y
x https://www.360docs.net/doc/4c17332983.html,
O
★【基础与训练】
1.如图1,已知点P的坐标是(a,b),则sinα等于()
A.a
b
B.
b
a
C
D
2.在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,则tanB的值是()
A.3
4
B.
4
3
C.
3
5
D.
4
5
(1)
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=
5
13
,则sinB等于()
A.12
13
B.
13
12
C.
5
12
D.
5
13
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,sinB=2
5
,BC的长是().
A.
.4
50 B C D
★【巩固与提高】
1.如图1,两条宽度都为1的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为α,则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为().
A.
11
.
sin cos
B
a a
C.sina D.
1
https://www.360docs.net/doc/4c17332983.html,
D
C
B
A
αD
C
B
A
C
B
A
(1) (2) (3) (4)
2.如图2,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BDC=90°,且AD=3,sin∠ABD=
3
5
,sin∠DBC=
12
13
,则AB,BC,CD长分别为().
A.4,12,13 B.4,13,12 C.5,12,13 D.5,13,12
3.如图3,菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,∠ABD=a,则下列结论正确的是().A.sina=
4
5
B.cosa=
3
5
C.tana=
4
3
D.tana=
3
4
4.如图4,为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离,在距A点17米的C处(AC⊥AB)测得∠ACB=50°,则A、B间的距离应为().
A.17sin50°米B.17cos50°米C.17tan50°米D.34cot50°米
5.如图,∠C=90°,∠DBC=30°,AB=BD=2,利用此图求tan75°和tan15°.
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图6
6.如图,∠POQ=90°,边长为2cm 的正方形ABCD 的顶点B 在OP 上,C 为CQ 上,且∠OBC=30°,分别求点A ,D 到OP 的距离.
★【提高与拓展
1.如图4,沿AE 折叠矩形纸片ABCD ,使点D 落在BC 边的点F 处.已知8AB =,10BC =,则t a
n EFC ∠的值为( ) A.34 B.43 C.35 D.4
5
2.如图5,在直角坐标系中,将矩形OABC 沿OB 对折,使点A 落在1,则
点1A 的坐标是____________.
3.如图6,在等腰直角三角形ABC ?中,90C ∠=?,6AC =,D 为AC 上一点,若1
tan 5
DBA ∠= , 则AD 的长为____________. 4.已知sina+cosa=m ,sina·cosa=n ,则m ,n 的关系是_______________. 5.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a+b=4
S △ABC =2,则c=_______.
6.将cos21°,cos37°,sin41°的值按从小到大的顺序排列为_____________________________. 7.tan1°tan2°tan3°…tan89°=___________.
8.在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠CAB=60°,AD 平分∠CAB ,得
AB AC
CD CD
-的值为_______. 9.在△ABC 中,∠C=90°,且AC>BC ,CD ⊥AB 于D ,DE ⊥AC 于E ,EF ⊥AB 于F ,若CD=4,AB=10,则EF :AF 等于_______.
A
D E C B
F
图4
图5
30?
Q
P
https://www.360docs.net/doc/4c17332983.html,
O D
C
B
A
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解直角三角形应用题
1.如图1,一架飞机在空中P 处探测到某高山山顶D 处的俯角为60°,此后飞机以300米/秒的速度沿平行于地面AB 的方向匀速飞行,飞行10秒到山顶D 的正上方C 处,此时测得飞机距地平面的垂直高度为12千米,求这座山的高(精确到0.1千米)
2.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB 的坡
角∠BAD=
60,坡长AB=m 320,为加强水坝强度, 将坝底从A 处向后水平延伸到F 处,使新的背水坡 的坡角∠F=
45,求AF 的长度(结果精确到1米, 参考数据:
414.12≈,732.13≈).
3.
棵树间水平距离AB =4米,斜面距离BC =4.25米,斜坡总长DE (1)求坡角∠D 的度数(结果精确到1°);
(2)若这段斜坡用厚度为17c m
(2题图)
(第3
题)
图1
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A
B
E F Q
P
4. 在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN (如图),在码头西端M 的正西19.5 km 处有一观察
站A .某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处;经过1小时20分钟,又测得该轮船位于A 的北偏东60°,且与A
相距
的C 处.
(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果);
(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正
好行至码头MN 靠岸?请说明理由.
5. 如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,
使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. (1)求新传送带AC 的长度;
(2)如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道,试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走,并说明理由.(说明:⑴⑵的计算结果精确到0.1米,参考数据:
2≈1.41,3≈1.73,5≈2.24,
6≈2.45)
第5题
6. 如图,大海中有A 和B 两个岛屿,为测量它们之间的距离,在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP =74°,∠BEQ =30°;在点F 处测得∠AFP =60°,∠BF Q =60°,EF =1km .
(1)判断ABAE 的数量关系,并说明理由;
(2)求两个岛屿A 和B 之间的距离(结果精确到0.1km ).(参考数据:3≈1.73,sin74°≈,
cos74°≈0.28,tan74°≈3.49,sin76°≈0.97,cos76°≈0.24)
东
l
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7.图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图,图2为其示意图,吊臂AB 与地面EH 平行,测得A 点到楼顶D 点的距离为5m,每层楼高3.5m,AE 、BF 、CH 都垂直于地面,EF=16m,求塔吊的高CH 的长.
8.在一个阳光明媚、清风徐来的周末,小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后,将两个风筝的引线一端都固定在地面上的C 处(如图).现已知风筝A 的引线(线段AC )长20m ,风筝B 的引线(线段BC )长24m ,在C 处测得风筝A 的仰角为60°,风筝B 的仰角为45°.
(1)试通过计算,比较风筝A 与风筝B 谁离地面更高? (2)求风筝A 与风筝B 的水平距离.
(精确到0.01 m ;参考数据:sin45°≈0.707,cos45°≈0.707, tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732)
9. 为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状,交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌(如
图).已知立杆AB 高度是3m ,从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°.求路况显示牌BC 的高度.
10.如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处,测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高,在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°,在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°,两栋楼之间的距离为30m ,
第19题图
A
B
(第19题
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则电梯楼的高BC 为______米(精确到0.1).(参考数据:
414.12≈ 732.13≈)
82.0
11. 首届中国国际航空体育节在莱芜举办,期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图,有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时,仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°,底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼,气球应至少再上升多少米?(结果精确到0.1米)
(参考数据:,
75.037tan ,80.037cos ,60.037sin ≈?≈?≈?
73.13≈)
12. 摩天轮是嘉峪关市的标志性景观之一.某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度.如图,他们在C 处测得摩天轮的最高点A 的仰角为45?,再往摩天轮的方向前进50 m 至D 处,测得最高点A 的仰角为60?. 求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB
( 1.732, 结果保留整数).
13.小明想知道西汉胜迹中心湖中两个小亭A 、B 之间的距离,他在与小亭A 、B 位于同一水平面且东西走向的湖边小道l 上某一观测点M 处,测得亭A 在点M 的北偏东30°, 亭B 在点M 的北偏东60°,当小明由点M 沿小道
l 向东走60米时,到达点N 处,此时测得亭A 恰好位于点N 的正北方向,继续向东走30米时到达点Q 处,此时
亭B 恰好位于点Q 的正北方向,根据以上测量数据,请你帮助小明计算湖中两个小亭A 、B 之间的距离.
A
45°
60° 第(12)题
(第11题图)
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14. 小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ,AB =80米.为测量这座居民楼与大厦之间的距离,小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°,大厦底部B 的俯角为48°.求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度.(结果保留整数)
(参考数据:o o o o 33711sin37tan37sin 48tan48541010
≈≈≈
≈,,,
)
15.如图,某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸,测绘员在A 处测得要安装天然气的
M 小区在A 市东偏北60°方向,测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处,测得小区M 位于C 的北偏西60°方向,请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ,使到该小区铺设的管道最短,并求AN 的长.
第15题图
B
37° 48°
D
C
A
第10页
解直角三角形的方法技巧
例1.如图1,若图中所有的三角形都是直角三角形,且∠==A
AE α,1,求AB 的长。
图1
思路1:所求AB 是Rt ABC ?的斜边,但在Rt ABC ?中只知一个锐角A 等于α,暂不可解。而在Rt ADE
?中,已知一直角边及一锐角是可解的,所以就从解Rt ADE ?入手。
解法1:在Rt ADE ?中,因cos A AE
AD
=
,且∠=A α,AE =1 故
AD AE A =
=
cos cos 1
α
在Rt ADC ?中,由cos A AD AC =,得AC AD A ===cos cos cos cos 1
1
2
ααα 在Rt ABC ?中,由cos A AC AB =,得AB AC A ==
=cos cos cos cos 1
123ααα
思路2:观察图形可知,CD 、DE 分别是Rt ABC ?和Rt ACD ?斜边上的高,具备应用射影定理的条件,
可以利用射影定理求解。
解法2:同解法1得AD =
1
cos α
在Rt ACD ?中,由AD AE AC 2
=?,得AC AD AE ==221
cos α
在Rt ABC ?中,由AC AD AB 2
=?,得AB AC AD ==23
1
cos α
点拔:本题是由几个直角三角形组合而成的图形,这样的问题,可先解出已经具备条件的直角三角形,从而
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逐步创造条件,使得要求解的直角三角形最终可解。值得注意的是,由于射影定理揭示了直角三角形中有关线段的数量关系,因而在解直角三角形时经常要用到。
例2.如图2,在Rt ABC ?中,∠=C
90 ,AD 是BC 边上的中线。
(1)若BD =2,∠=B 30 ,求AD 的长。
(2)若∠=∠=ABC
ADC αβ,,求证:tan tan βα=2
图2
分析:(1)由AD 是BC 边上的中线,只知DC 一条边长,仅此无法直接在Rt ADC ?中求解AD 。而在
Rt ABC ?中,由已知BC 边和∠B 可以先求出AC ,从而使Rt ADC ?可解。
(2)α和β分别为Rt ABC ?和Rt ADC ?中的锐角,且都以直角边AC 为对边,抓住图形的这个特征,根据锐角三角函数可以证明tan tan β
α=2
解:(1)在Rt ABC ?中,BC BD ==222,∠=B 30
∴==?
=AC BC B tan 223326
3
在Rt ADC ?中,DC BD ==2
∴=
+=
AD AC DC 22423
(2)证明:在Rt ABC ?中,由tan ∠=
ABC
AC
BC
,∠=ABC α,得AC BC =tan α
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在Rt ADC ?中,由tan ∠=
ADC AC
DC
,∠=ADC β 得
AC DC =tan β
故BC DC tan tan α
β=,又因BC =2DC ,故tan tan βα=2
点拔:在解直角三角形的问题中,经常会遇到这样的图形,如图2,它是含有两个直角三角形的图形。随着D 点在BC 边上位置的变化,会引起直角三角形中有关图形数量相应的变化,从而呈现出许多不同的解直角三角形问题。
例3.如图3,在Rt ABC ?中,∠=C
90 ,AD 是∠BAC 的平分线。
(1)若
AB
BD
=3,求∠B (2)在(1)的条件下,若BD =4,求S ABC ?
图3
分析:在(1)中已知AD 是∠BAC 的平分线,又知AB 、BD 这两条线段的比为3,应用三角形内角
平分线的性质定理,就能把已知条件集中转化到Rt ADC ?中,先求出∠DAC 即可求得∠B 。
解:(1)由AD 是∠BAC 的平分线,得
AB AC BD CD =,即AB BD AC
CD
==3 在Rt ADC ?中,由cot ∠=
=DAC
AC
CD
3,得∠=DAC 30 ∴∠=∠=BAC DAC 260 ,∠=-∠=B BAC 9030
(2)由
AB
BD
BD ==34,,得AB BD ==343
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由∠=B 30 ,得AC AB =
=1
2
23。又BC AB B ==cos 6 ∴=
?=??=S BC AC ABC ?121
2
62363 点拨:解直角三角形时,要注意三角形中主要线段的性质,利用平面几何的有关定理,往往能够建立已知与未知的联系,从而找到解决问题的突破口。
例4.如图4,在Rt ABC ?中,∠=C 90 ,D 为BC 上一点,∠=ABC 45 ,∠=ADC 60 ,BD =1,求
AB 。
图4
分析:已知的角告诉我们,Rt ABC ?和Rt ADC ?都是特殊的直角三角形,抓住这个特点设未知数,根
据线段间的数量关系,可以列出一元一次方程求解
解:在Rt ADC ?中,设DC x =,由∠=ADC 60 ,可知∠=DAC 30 ,得AD x =2,AC x =3
在Rt ABC ?中,由∠=ABC
45 ,BD =1,BD DC BC AC +==,得13+=x x
得x =
+312
∴===
+AB AC x 26326
2
点拨:解直角三角形时,要注意发掘图形的几何性质,利用线段和差的等量关系布列方程,还要熟练地掌握特殊锐角的三角函数值,以使解答过程的表述简便。
第14页
训练题:
如图5,在?ABC 中,D 、F 分别在AC 、BC 上,且AB AC ⊥,AF BC ⊥,BD
DC FC ===1,求AC 。
图5
(提示:?ABC 是直角三角形,AF 为斜边上的高线,CF 是直角边AC 在斜边上的射影,AC 又为所求,已知的另外两边都在?BDC 中,且,即?BDC 是等腰三角形,因此,可以过D 作DE BC ⊥,
从而找到解题思路。由于D E 、A F 同垂直于B C ,可以利用比例线段的性质,逐步等价转化求得A C )
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锐角三角函数考点
考查重点与常见题型
1. 求三角函数值,常以填空题或选择题形式出现,如:
在Rt △ABC 中,∠C =90°,3a = 3 b ,则∠A = ,sinA = 2. 考查互余或同角三角函数间关系,常以填空题或选择题形式出现,如: (1) sin53° cos37°+cos53° sin37°=
(2) 在Rt △ABC 中,∠C =90°,下列各式中正确的是( ) (A) sinA =sinB (B)sinA =cosB (C)tanA =tanB (D)c0tA =cotB 3. 求特殊角三角函数值的混合运算,常以中档解答题或填空题出现,如: 1-2sin30° cos30°=
考点训练
1.Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =6,AC =2,则sinA =( )
(A ) 13 (B )23 (C )23 2 (D )2
3
2.在△ABC 中,∠C =90°,sinA =3
5
,则tanA ·cosA 的值是( )
(A )
35 (B )45 (C )925 (D )1625
3.已知∠A +∠B =90°,则下列各式中正确的是( )
(A )sinA =sinB (B)cosA =cosB (C)tanA =cogB (D)tanA =tanB 4.若0° (A )sina>cosa (B)cosa>sina (C)cota<1 (D)tana>cota 5.Rt △ABC 中,∠C =90°,AC ∶BC =1∶ 3 ,则cosA= ,cotA = 6.设a 为锐角,若sina = 32 ,则a = ,若tana =3 3 ,则a = 7.查表得cot56°42ˊ=1.5224,2ˊ的修正值为0.0019,则cot56°44ˊ= 8.已知a 为锐角,若cosa =1 2 ,则sina = ,tan(90°-a)= 9. 已知sina=12 13 , a 为锐角,则cosa = ,tana = ,cota = 10.用“>”或“<”连结: cos18° cos18°3ˊ; tan31° tan32°; tan29°30ˊ cot60°29ˊ sin39° cos51°;cot30° sin89°;sina +cosa 1(a 为锐角) 第16页 11.计算:(1)12 sin60°+2 2 cos45°+sin30°·cos30° (2)3 tan30°-1-2 tan60°+tan 2 60° +cos0°·cos45° 12.△ABC 中,∠BAC =90°,AD 是高,BD =9,tanB =4 3 ,求AD 、AC 、BC 13.已知方程x 2 -5x ·sina +1=0的一个根为2+ 3 ,且a 为锐角,求tana 的值。 解题指导 1. 计算:(1)sin45°·cos45°+ sin60°·cot45° cos0°·tan60° +3cot 2 60°+cos90°cos30° (2)-tan 260°+2 cos45°-cot 2 30°+tan10°·tan80° sin 223°+sin 2 67° 2. 若a 为锐角,tga =3,求 cosa -sina cosa +sina 的值。 3. 在Rt △ABC 中,∠C =90°,求证:a 3 cosA +b 3 cosB=abc 4. 方程x 2 - 2 x +m =0的两根是一个直角三角形中两锐角的余弦cosA 和cosB ,求A 、B 的度数和m 的值。 5. 若方程2x 2 -2x ·cosa +12 错误!未指定书签。cosa (cosa +4)=0的两个根x 1、x 2满足(x 1-1)(x 2-1) =109 100 ,求sina 的值。 6.△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =36°,AD 是BC 边上的高,BE 是∠ABC 的平分线,BC =1,试利用这个三角形求出sin18°的值。 7.已知sin θ和cos θ是方程a 2x 2 +a 3 x +1=0的两根,求a 的值。 独立练习 1.在Rt △ABC 中,∠C =90°,sinA ∶sinB =3∶4,则ctgA 的值( ) (A ) 34 (B )43 (C )35 (D )45 2.若2cosa - 3 =0,则锐角a =( ) (A ) 30°(B )15° (C )45°(D )60° 3. 已知a=sin25°,b=tan46°,c=cot17°,m=cos20°,则a 、b 、c 、m 的大小关系( ) (A ) a 4.在Rt △ABC 中,各边的长度都扩大两倍,那么锐角A 的各三角函数值( ) (A ) 都扩大两倍(B )都缩小两倍(C )没有变化(D )不能确定