广州市初中数学锐角三角函数的解析

广州市初中数学锐角三角函数的解析

一、选择题

1．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺的交点，B 为光盘与直尺的交点，AB =4，则光盘表示的圆的直径是( )

A ．4

B ．83

C ．6

D ．43

【答案】B

【解析】

【分析】 设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.

【详解】

设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，

由切线长定理知，AB =AC =3，AO 平分∠BAC ，

∴∠OAB =60°，

在Rt △ABO 中，OB =AB tan ∠OAB =43，

∴光盘的直径为83．

故选：B ．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.

2．如图，AB 是O e 的弦，直径CD 交AB 于点E ，若3AE EB ==，15C ∠=o ，则OE 的长为( )

A 3

B ．4

C ．6

D ．33

【答案】D

【解析】

【分析】

连接OA ．证明OAB ?是等边三角形即可解决问题．

【详解】

如图，连接OA ．

∵AE EB =，

∴CD AB ⊥，

∴??AD BD

=， ∴230BOD AOD ACD ∠=∠=∠=o ，

∴60AOB ∠=o ，

∵OA OB =，

∴AOB ?是等边三角形，

∵3AE =， ∴tan 6033OE AE =?=o ， 故选D ．

【点睛】 本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

3．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ）

A 5

B ．35

C 2

D ．23

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ???，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性

质可得到BED CDF ∠=，设1CD =，CF x =，则2CA CB ==，再根据勾股定理即可求解．

【详解】

解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成，

∴△DEF ≌△AEF ，∠A ＝∠EDF ，

∵△ABC 是等腰直角三角形，

∴∠EDF ＝45°，由三角形外角性质得∠CDF +45°＝∠BED +45°，

∴∠BED ＝∠CDF ，

设CD ＝1，CF ＝x ，则CA ＝CB ＝2，

∴DF ＝FA ＝2﹣x ，

∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得，

CF 2+CD 2＝DF 2，

即x 2+1＝（2﹣x ）2， 解得：34x =， 3sin sin 5CF BED CDF DF ∴∠=∠=

=． 故选：B ．

【点睛】

本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．

4．如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ?沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP OF =，则cos ADF ∠的值为（ ）

A ．1113

B ．1315

C ．1517

D ．1719

【答案】C

【解析】

【分析】

根据折叠的性质可得出DC=DE 、CP=EP ，由∠EOF=∠BOP 、∠B=∠E 、OP= OF 可得出△OEF ≌AOBP(AAS)根据全等三角形的性质可得出0E=OB 、EF=BP ，设EF=x ，则BP=x 、DF=4-x 、BF=PC=3-x ，进而可得出AF=1+x ，在Rt △DAF 中，利用勾股定理可求出x 的值，再利用余弦的定义即可求出cos ∠ADF 的值．

解：∵矩形纸片ABCD ，点P 在BC 边上，将CDP ?沿DP 折叠，点C 落在点E 处， 根据折叠性质，可得：△DCP ≌△DEP ，

∴.DC=DE=4， CP= EP ，

在△OEF 和△OBP 中

90 EOF BOP B E OP OF ∠=∠??∠=∠

=???=?

∴△OEF ≌△OBP(AAS)

∴ОE=OB ， EF= ВР.

设EF=x,则BP=x ，DF= DE-EF=4-X ，

又∵ BF=OB+OF=OE+ OP=PE=PC, РС=ВC-BP=3-x,

∴AF=AB-BF=1+x.

在Rt △DAF 中，AF 2+AD 2= DF 2，即(1+x) 2+32= (4-x)2

解得: x=35

∴DF=4-x=175

∴cos ∠ADF=

1517AD DF = 故选: C.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x ，求出AF 的长度是解题的关键．

5．如图，在△ABC

中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为（ ）

A ．23

B ．3

C ．33

D ．3

【解析】

【分析】

【详解】

设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=3x，所以BD=BA=2x，即可得CD=3x+2x=（3+2）x，

在Rt△ACD中，tan∠DAC=

(32)

32 CD x

AC x

+

==+，

故选A.

6．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC

V如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE

∠的值是（）

A．24

7

B．

7

C．

7

24

D．

1

3

【答案】C

【解析】

试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，

解得x=25

4

，故CE=8-

25

4

=

7

4

，

∴tan∠CBE=

7

24 CE

CB

=.

故选C.

考点：锐角三角函数.

7．如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AE⊥BD，垂足为E，∠BAE＝30°，则tan∠DEC的值是（）

A．1 B．1

2

C．

3

2

D．

3

3

【答案】C 【解析】

先根据题意过点C 作CF ⊥BD 与点F 可求得△AEB ≌△CFD （AAS ），得到AE ＝CF ＝1，EF ＝323-=33，即可求出答案 【详解】 过点C 作CF ⊥BD 与点F ．

∵∠BAE ＝30°，

∴∠DBC ＝30°，

∵BC ＝2，

∴CF ＝1，BF ＝3 ，

易证△AEB ≌△CFD （AAS ）

∴AE ＝CF ＝1，

∵∠BAE ＝∠DBC ＝30°，

∴BE ＝3 AE ＝3， ∴EF ＝BF ﹣BE ＝3 ﹣

3＝233 ， 在Rt △CFE 中，

tan ∠DEC ＝323CF

EF ==， 故选C ．

【点睛】

此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等

8．如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则此时轮船所在位置B 与灯塔P 之间的距离为( )

A ．60海里

B ．45海里

C ．3

D ．3

【解析】

【分析】

根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．

【详解】

解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，

故AB=2AP=60（海里），

则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP=22303

AB AP

-=（海里）

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．

9．如图，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60°，A、B、C都是格点，则tan ABC

∠=（）

A．3

B．

3

6

C．

3

D．

3

【答案】A

【解析】

【分析】

直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用EC

tan ABC

BE

∠=得出答案．

【详解】

解:连接DC，交AB于点E．

由题意可得:∠AFC=30°, DC⊥AF,

设EC=x,则EF=x =3x tan 30?, ∴BF AF 2EF 23x === EC x 13tan ABC BE 923x 3x 33=

===+∠, 故选:A

【点睛】

此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF 的长是解题关键．

10．如图，某建筑物的顶部有一块标识牌 CD ，小明在斜坡上 B 处测得标识牌顶部C 的仰角为 45°， 沿斜坡走下来在地面 A 处测得标识牌底部 D 的仰角为 60°，已知斜坡 AB 的坡角为 30°，AB ＝AE ＝10 米．则标识牌 CD 的高度是( )米．

A ．15－53

B ．20－103

C ．10－53

D ．53－5

【答案】A

【解析】

【分析】 过点B 作BM ⊥EA 的延长线于点M ，过点B 作BN ⊥CE 于点N ，通过解直角三角形可求出BM ，AM ，CN ，DE 的长，再结合CD ＝CN ＋EN?DE 即可求出结论．

【详解】

解：过点B 作BM ⊥EA 的延长线于点M ，过点B 作BN ⊥CE 于点N ，如图所示．

在Rt △ABE 中，AB ＝10米，∠BAM ＝30°，

∴AM ＝AB?cos30°＝3BM ＝AB?sin30°＝5（米）．

在Rt △ACD 中，AE ＝10（米），∠DAE ＝60°，

∴DE＝AE?tan60°＝103（米）．

在Rt△BCN中，BN＝AE＋AM＝10＋53（米），∠CBN＝45°，

∴CN＝BN?tan45°＝10＋53（米），

∴CD＝CN＋EN?DE＝10＋53＋5?103＝15?53（米）．

故选：A．

【点睛】

本题考查了解直角三角形?仰角俯角问题及解直角三角形?坡度坡脚问题，通过解直角三角形求出BM，AM，CN，DE的长是解题的关键．

11．把Rt ABC

三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）

A．扩大为原来的3倍B．缩小为原来的1

3

C．扩大为原来的9倍D．不变

【答案】D

【解析】

【分析】

根据相似三角形的性质解答．

【详解】

三边的长度都扩大为原来的3倍，

则所得的三角形与原三角形相似，

∴锐角A的大小不变，

∴锐角A的余弦值不变，

故选：D．

【点睛】

此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．

12．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，∠DOE＝120°，DE ＝1，则BD＝（）

A 3

B

23

C．3D．3

【答案】B

【解析】

【分析】

证明△OBE是等边三角形，然后解直角三角形即可．

【详解】

∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，CD=BC．

∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，∴OE=OD=OB．

∵∠DOE=120°，∴∠BOE=60°，∴△OBE是等边三角形，∴∠DBC=60°．

∵∠DEB=90°，∴BD=

23 sin603 DE

=

?

．

故选B．

【点睛】

本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

13．如图，△ABC的外接圆是⊙O，半径AO=5，sinB=2

5

，则线段AC的长为（）

A．1 B．2 C．4 D．5

【答案】C

【解析】

【分析】

首先连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，又由

⊙O的半径是5，sinB=2

5

，即可求得答案．

【详解】

解：连接CO并延长交⊙O于点D，连接AD，

由CD是⊙O的直径，可得∠CAD=90°，

∵∠B和∠D所对的弧都为弧AC，

∴∠B=∠D，即sinB=sinD=2

5

，

∵半径AO=5，∴CD=10，

∴2sin 105

AC AC D CD =

==， ∴AC=4，

故选：C.

【点睛】 本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.

14．如图所示，Rt AOB ?中，90AOB ∠=? ，顶点,A B 分别在反比例函数()10y x x =>与()50y x x

=-<的图象器上，则tan BAO ∠的值为（ ）

A 5

B 5

C 25

D 10

【答案】B

【解析】

【分析】

过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ，于是得到∠BDO=∠ACO=90°，根据反比例函数的

性质得到S △BDO =

52

，S △AOC =12，根据相似三角形的性质得到=5OB OA =，根据三角函数的定义即可得到结论．

【详解】

解：过A 作AC ⊥x 轴，过B 作BD ⊥x 轴于D ， 则∠BDO=∠ACO=90°，

∵顶点A ，B 分别在反比例函数()10y x x =

>与()50y x x =-<的图象上， ∴S △BDO =52

，S △AOC =12，

∵∠AOB=90°，

∴∠BOD+∠DBO=∠BOD+∠AOC=90°，∴∠DBO=∠AOC，

∴△BDO∽△OCA，

∴

251

5

22 BOD

OAC

S OB

S OA

??

==÷=

?

??

△

△

，

∴5

OB

OA

=，

∴tan∠BAO=5

OB

OA

=.

故选B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的性质以及直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质．解题时注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．

15．“奔跑吧，兄弟！”节目组，预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经A、B、C、D四地．如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向．C地在A地北偏东75°方向．且BD=BC=30m．从A地到D地的距离是（）

A．3B．5C．2m D．6m

【答案】D

【解析】

分析：过点D作DH垂直于AC，垂足为H，求出∠DAC的度数，判断出△BCD是等边三角形，再利用三角函数求出AB的长，从而得到AB+BC+CD的长．

详解：过点D作DH垂直于AC，垂足为H，由题意可知∠DAC=75°﹣30°=45°．∵△BCD是

等边三角形，∴∠DBC=60°，BD=BC=CD=30m，∴DH

=

3 2

×30=153，∴

AD=2DH=156m．故从A地到D地的距离是156m．

故选D．

点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．

16．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－

1

2

x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝

1

2

x刻画，下列结论错误的是( )

A．斜坡的坡度为1: 2

B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势

C．小球落地点距O点水平距离为7米

D．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m

【答案】D

【解析】

【分析】

求出抛物线与直线的交点，判断A、C；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出当7.5

y=时，x的值，判定D．

【详解】

解：

2

1

4

2

1

2

y x x

y x

?

=-+

??

?

?=

??

，

解得，1

10 0

x y =

?

?

=?，

2

2

7

7

2

x

y

=

?

?

?

=

??

，

7

2

∶7=1∶2，∴A正确；

小球落地点距O点水平距离为7米，C正确；

2

1

4

2

y x x

=-

2

1

(4)8

2

x

=--+，

则抛物线的对称轴为4

x=，

∴当4

x>时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，

当7.5

y=时，2

1

7.54

2

x x

=-，

整理得28150

x x

-+=，

解得，13

x=，

2

5

x=，

∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，D错误，符合题意；

故选：D

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．

17．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（）

A．

1

4

B．

1

6

C．

2

6

D．

3

10

【答案】B

【解析】

【分析】

过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=

1

2

x，

CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．

【详解】

解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，

∴BC＝AD，

设AB＝2x，则BC＝x．

如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．∵BE∥AC，CE∥BD，

∴四边形BOCE是平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OB＝OC，

∴四边形BOCE是菱形．

∴OE与BC垂直平分，

∴EF＝1

2

AD＝

1

2

x，OE∥AB，

∴四边形AOEB是平行四边形，

∴OE＝AB＝2x，

∴CF＝

1

2

OE＝x．

∴tan∠EDC＝

EF

DF

＝

1

2

2

x

x x

+

＝

1

6

．

故选：B．

【点睛】

本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．

18．如图，一架飞机在点A处测得水平地面上一个标志物P的俯角为α，水平飞行m千米后到达点B处，又测得标志物P的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为()

A．

cot cot

m

αβ

-

千米B．

cot cot

m

βα

-

千米C．

tan tan

m

αβ

-

千米D．

tan tan

m

βα

-

千米

【答案】A

【解析】

【分析】

根据锐角三角函数的概念进行作答.

【详解】

在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O ，由锐角三角函数知，AO=PO cot α，BO=PO cot β，又AB=m=AO-BO= PO cot α- PO cot β= cot cot m αβ

-. 所以答案选A. 【点睛】

本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.

19．如图1，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，动点P 从点B 开始沿边BA 、AC 向点C 以恒定的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以恒定的速度移动，两点同时到达点C ，设△BPQ 的面积为y （cm 2）．运动时间为x （s ），y 与x 之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC 的中点时，PQ 的长为（ ）

A ．2

B ．4

C ．3

D ．3【答案】C

【解析】

【分析】 点P 、Q 的速度比为33x ＝2，y ＝3P 、Q 运动的速度，即可求解．

【详解】

解：设AB ＝a ，∠C ＝30°，则AC ＝2a ，BC 3a ，

设P 、Q 同时到达的时间为T ，

则点P 的速度为3a T ，点Q 3a ，故点P 、Q 的速度比为33 故设点P 、Q 的速度分别为：3v 3，

由图2知，当x ＝2时，y ＝3P 到达点A 的位置，即AB ＝2×3v ＝6v ， BQ ＝3＝3，

y ＝12?AB ×BQ ＝12

?6v 3v ＝3v ＝1， 故点P 、Q 的速度分别为：33AB ＝6v ＝6＝a ，

则AC ＝12，BC ＝3

如图当点P 在AC 的中点时，PC ＝6，

此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ＝3x＝43，CQ＝BC﹣BQ＝63﹣43＝23，过点P作PH⊥BC于点H，

PC＝6，则PH＝PC sin C＝6×1

2

＝3，同理CH＝33，则HQ＝CH﹣CQ＝33﹣23＝

3，

PQ＝22

PH HQ

+＝39

+＝23，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

20．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则⊙O的半径为（）

A．3B．23C．3

2

D．

23

【答案】A

【解析】

连接OC，

∵OA=OC，∠A=30°，

∴∠OCA=∠A=30°，

∴∠COB=∠A+∠ACO=60°，∵PC是⊙O切线，

∴∠PCO=90°，∠P=30°，∵PC=3，

∴OC=PC?tan30°

故选A