八年级数学上册《实数》
八年级数学上册14.3《实数》
问题1:无理数是否也可以用数轴上的点来表示吗?
如图，直径为１个单位长度的圆从原点O沿数轴向
Байду номын сангаас
右滚动一周，圆上一点从原点到达Ａ点，则OＡ的长
度是 点A表示的数就是
。
-4 -3 -2 -1 0O 1 2 3A 4
可以用数轴上的点来表示.
有两个边长为1的小正方形，请大家 拿出剪刀把它剪成四个同样大小的直 角三角形，设法拼成一个大得正方形。
大正方形的面积是 2 ，边长
是
2
。
我们把这个正方形的一个顶点和原点O重合，一条 边恰好落在数轴的正方向上，其另一个顶点为数轴 上的点A.
线段OA的长是多少？ 点A 在数轴上对应的数哪个数？
面积为5
面积为2
O
A
-1 2
0
1
2B
可以用数轴上的点来表示.
回顾：一个有理数的相反数的概念
首先回顾 有理数的相反数在数轴上的特点：
冀教版数学 八年级上册
§14.3 实数（二）
承德市双桥区双峰寺镇中学 李振江
昨日点滴
(1)无限不循环小数叫做__无__理__数__ (2)无理数的常见三种形式： ①圆周率π及一些含有π的；如 5π
②开不尽方的数，如 2 ；
③有一定的规律，但不循环的无限小数，如 0.101 001 000 1… （3）
也就是说有理数关于相反数的概念同样适用于无理数。
2+ 2 = 0
的相反数是
3 8 的相反数是
回顾：一个有理数的绝对值的概念 我们再来回顾有理数的绝对值的概念：
-2
0
2
一个数的绝对值是该数在数轴上所对应的 点到原点的距离
八年级上册数学《实数》(含答案)
第1节 实数、平方根【基本知识】1、 有理数 包括有限小数和循环小数，有理数都可以表示为分数形式；2、 无限不循环小数，成为 无理数 ；3、平方根：（1）定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
（2）性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（3）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 。
（4）一个非负数x 有两个平方根a 和b ，则a+b = 0（5）运算：2a = ||a 2)(a = a ；2)(a -= a类型1A ：【求下列各数的平方根】（1）324 （2）9624 （3）3.61 （4）971 （5）289【答案】（1）18± （2）21± （3）9.1± （4）34± （5）17±类型1B ：【求下列各数的算术平方根】（1）64 （2）2)3(- （3）49151（4） 21(3)- 【答案】（1）8 （2）3 （3）78 （4）31类型2：【已知平方数或平方根，求数】（1）平方等于256的数是 16±（2）若3是x 的一个平方根，则x = 9（3）若一个正数的平方根为12-a 和a -4，则a = －3 ，这个正数为 49 .（4）一个数的平方等于9，则这个数是 3±（5）一个负数的平方等于100，则这个负数是 10-（6）已知2a －1的平方根是3±，3a+b －1的平方根是4±，则a = ，b = 2 5类型3：【开平方，求下列各式中x 的值】（1）09252=-x （2）x 2－144 = 0 （3）（2x ）2 = 16【解】 （1）53±=x （2）12±=x （3）2±=x（4）32-=x （5）32=x （6）225360x -=【解】（4）无实根 （5）3±=x （6）56±=x（7）9x 2－1= 0 （8）16)1(2=+x （9）（21x ）2 = 1【解】（7）31±=x （8）35或-=x （9）2±=x类型4：【计算】（1）= 3= 5= 7（2） =-2)4( 4 =2)182( 91 =2)5( 5（3）94±=32±-169.= －1.3102-=101（4）81±= 9± 16-= －4 259= 53（5）44.1= 1.2 36-= －6 4925± =75±（6）2)25(-= 25 2)4(-= 4类型5：【化简】（1）已知｜x －4｜+y x +2= 0，那么x =_______4_，y =________－8（2）=________π-4,)2x ≤=________x -2类型6：【根式的意义】1、如果1-x ＋x -9有意义，那么代数式|x －1|＋2)9(-x 的值为 8.类型6：【平方数与平方根相关训练】（1）21++a 的最小值是 ________2，此时a 的取值是 ________－1（2）如果一个正数的两个平方根为1a +和27a -，则这个正数是 9（3）若2+x = 2，则2x + 5的平方根是 3±（4）若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为 0类型7：【能力提升训练】（1）已知501.6=x ，650.12 = 422630，则x = 42.263（2）已知2+x ＝3，则2)2(+x 等于 81（3）已知12++-b a ＝0，则a ＋b 的值是 1（4）一个自然数的算术平方根是x（5）一个正偶数的算术平方根是m ，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是 22+m（6）自由下落物体的高度h （米）与下落时间t （秒）的关系为29.4t h =，有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要 2 秒（7）若一个数a 的平方根等于它本身，数b 的算术平方根也等于它本身，则a b +的平方根 为 0或1±类型8：【比较实数大小】1、平方法：（1; （2）534< 11; （3） 2、求差法:215- < 13、求商法：23平方根 (作业)一、写出下列各数的平方根：（1）2)6(- （2）2)36(- （3）8116（4）16 （5）2)7(-【解】（1）6± （2）6± （3）94±（4）2± （5）7± 二、已知平方数或平方根，求数：（1）一个数的平方为719，这个数为 34±（2）一个数x 的平方根为9±，则x = 81（3）若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则a = －1 ，这个正数是 9三、开平方，求下列各式中x 的值：（1）2732=x （2）2516902x -= （3）()12892-=x【解】（1）3±=x （2）513± （3）1816或-=x（4）（x +5）2 = 144 （5）009.02=-x【解】（4）177-=或x （5）3.0±=x（6）（x +1）2=36 （7）27(x +1)3=64【解】（6）75-=或x （7）31=x四、化简：1、若x ＜2，化简|3|)2(2x x -+-的正确结果是 x 25-2、当21≤a 时，化简|12|4412-++-a a a = a 42-3、已知实数a 、b 在数轴上表示的点如上图，b a ++2)1(+-b a = 12-b化简五、平方数与平方根相关训练：（1）若2m －10与3m 是同一个数的平方根，则m 的值是 2（2）使3+-x 有意义的x 的取值范围是 3≤x。
北师大版数学八年级上册2.6《实数》教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
-实数的定义：理解实数的概念，掌握实数包括有理数和无理数。
-实数的性质：掌握实数的封闭性、有序性、完备性等核心性质。
-实数的运算：熟练掌握实数的四则运算，特别是乘方和开方的运算规则。
北师大版数学八年级上册2.6《实数》教案
一、教学内容
本节课选自北师大版数学八年级上册第二章第六节《实数》。教学内容主要包括以下几部分：
1.实数的定义：有理数和无理数的统称，包括整数、分数以及无限不循环小数等。
2.无理数的概念：介绍无理数的定义，如π、e等，以及无理数的性质和表示方法。
3.实数的性质：探讨实数的封闭性、有序性、完备性等特性。
-实数与数轴的关系：理解实数与数轴上点的对应关系，能够用数轴表示实数。
举例：重点讲解无理数的概念，如π和e，并强调它们是实数的一部分，通过具体的例子（如圆的周长与直径比是π）来加深学生对实数性质的理解。
2.教学难点
-无理数的理解：无理数的概念对学生来说是抽象的，难以直观理解。
-实数的运算：特别是无理数的运算，学生对运算规则和步骤不够熟悉。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调实数的定义和性质这两个重点。对于难点部分，如无理数的理解，我会通过举例（如π、√2等）和比较（无理数与有理数的区别）来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与实数相关的实际问题，如无理数的估算、实数在数轴上的表示等。
-实数与数轴的联系：学生可能难以将实数的概念与数轴上的点联系起来，对数轴上的无理数位置把握不准确。
八年级数学 实数
一、基础测试1．算术平方根：如果一个正数x 等于a ，即x 2=a ，那么这个x 正数就叫做a 的算术平方根，记作 ，0的算术平方根是 。
2．平方根：如果一个数x 的 等于a ,即x 2=a 那么这个数a 就叫做x 的平方根（也叫做二次方根式），正数a 的平方根记作 ．一个正数有 平方根，它们 ；0的平方根是 ；负数 平方根． 特别提醒：负数没有平方根和算术平方根．3．立方根：如果一个数x 的 等于a ，即x 3= a ，那么这个数x 就叫做a 的立方根，记作 ．正数的立方根是 ，0的立方根是 ，负数的立方根是 。
4、实数的分类_________⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎭⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎫⎧⎨⎬⎪⎩⎪⎭⎩______整数____________有限小数或循环小数______实数负分数____________________________________________5．实数与数轴：实数与数轴上的点______________对应．6．实数的相反数、倒数、绝对值：实数a 的相反数为______；若a,b 互为相反数，则a+b=______；非零实数a 的倒数为_____(a ≠0)；若a ，b 互为倒数，则ab=________。
7.______(0)||______(0)a a a ≥⎧=⎨<⎩ 8. 数轴上两个点表示的数，______边的总比___边的大；正数_____0，负数_____0，正数___负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而____。
9．实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．_______(0,_______(0,0).a b a b =≥≥=≥>二、专题讲解：专题1 平方根、算术平方根、立方根的概念若a ≥0，则a的平方根是a；若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a【例1______【例2】327 的平方根是_________【例3】下列各式属于最简二次根式的是（ ） A【例4】（2010山东德州）下列计算正确的是（Ａ）020=（Ｂ）331-=- （Ｃ） （Ｄ）【例5】（2010A ．3B ．3-C ．3±D ． 9 专题2 实数的有关概念无理数即无限不循环小数，初中主要学习了四类：含π的数，如：12,2ππ等，开方开不尽010 001…等；某些三角函数，如sin60o ，cos45 o等。
八年级数学上册实数计算题
八年级数学上册实数计算题一、实数计算题20题。
1. 计算：√(4) + sqrt[3]{-8}- 解析：- 先分别计算各项。
- 因为√(4)=2，sqrt[3]{-8}=-2（因为(-2)^3 = -8）。
- 所以√(4)+sqrt[3]{-8}=2+( - 2)=0。
2. 计算：√(9)-√(16)- 解析：- 先计算根号下的数。
- √(9) = 3，√(16)=4。
- 则√(9)-√(16)=3 - 4=-1。
3. 计算：√(25)+√(36)- 解析：- √(25)=5，√(36)=6。
- 所以√(25)+√(36)=5 + 6=11。
4. 计算：√(1)-√(0)- 解析：- 因为√(1)=1，√(0)=0。
- 所以√(1)-√(0)=1-0 = 1。
5. 计算：√(121)-√(144)- 解析：- √(121)=11，√(144)=12。
- 则√(121)-√(144)=11-12=-1。
6. 计算：√(169)+√(196)- 解析：- √(169)=13，√(196)=14。
- 所以√(169)+√(196)=13 + 14=27。
7. 计算：√(49)-√(64)- 解析：- √(49)=7，√(64)=8。
- 所以√(49)-√(64)=7-8=-1。
8. 计算：√(81)+√(100)- 解析：- √(81)=9，√(100)=10。
- 所以√(81)+√(100)=9 + 10=19。
9. 计算：sqrt[3]{27}+sqrt[3]{-1}- 解析：- 因为sqrt[3]{27}=3（因为3^3 = 27），sqrt[3]{-1}=-1（因为(-1)^3=-1）。
- 所以sqrt[3]{27}+sqrt[3]{-1}=3+( - 1)=2。
10. 计算：sqrt[3]{64}-sqrt[3]{125}- 解析：- sqrt[3]{64}=4（因为4^3 = 64），sqrt[3]{125}=5（因为5^3 = 125）。
八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习
第二章：实数【无理数】1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。
2. 常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如： 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。
如：2-π是无理数 （4）无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。
如2π,（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π）（3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例：（1）下列各数：①、②……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。
（填序号） （2）有五个数:…,…,-π,4,32其中无理数有 ( )个 【算术平方根】：1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39=。
特别规地，0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根。
2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。
（2）算术平方根本身是非负数。
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个例：（1）下列说法正确的是 （ ）A ．1的立方根是1±；B ．24±=；（C ）、81的平方根是3±； （D ）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（ ）A 、981±=B 、14.314.3-=-ππC 、3927-=-D 、235=- （3）2)3(-的算术平方根是 。
苏科版数学八年级上册4.3《实数》教学设计1
苏科版数学八年级上册4.3《实数》教学设计1一. 教材分析苏科版数学八年级上册 4.3《实数》是学生在学习了有理数和无理数的基础上，进一步对实数进行系统性的认识和理解。
本节课主要内容包括实数的分类、实数与数轴的关系、实数的运算等。
通过本节课的学习，学生能够更好地理解实数的内涵和外延，为后续的数学学习打下坚实的基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对有理数和无理数有一定的了解。
但是，学生对实数的认识还比较片面，对于实数与数轴的关系、实数的运算等知识点的理解还不够深入。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生从实际问题出发，通过观察、思考、操作、交流等活动，深化对实数概念的理解。
三. 教学目标1.理解实数的定义，掌握实数的分类。
2.理解实数与数轴的关系，能正确地在数轴上表示实数。
3.掌握实数的运算方法，能熟练地进行实数的运算。
4.培养学生的抽象思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.实数的分类2.实数与数轴的关系3.实数的运算五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
2.数形结合法：利用数轴直观地表示实数，帮助学生理解实数与数轴的关系。
3.合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。
4.练习法：通过适量练习，巩固所学知识，提高学生的实际操作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助教学。
2.数轴教具：准备数轴教具，方便学生直观地理解实数与数轴的关系。
3.练习题：准备适量练习题，用于课堂练习和课后巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引导学生思考实数的概念，例如：“小明家距离学校2.5公里，小红家距离学校3公里，小明和小红家分别位于学校的哪个方向？他们两家之间的距离是多少？”2.呈现（10分钟）教师利用课件呈现实数的定义和分类，实数与数轴的关系，实数的运算等知识点，引导学生初步认识实数。
3.操练（10分钟）教师引导学生分组讨论，利用数轴表示实数，并进行实数的运算。
八年级数学上册 第二章 实数
第二章实数目录第二章实数 (1)第一课时：实数的认识 (1)知识要点一：认识无理数 (1)知识要点二：平方根 (2)知识要点四：算术平方根 (2)拓展：随机的n (3)知识要点五：立方根 (4)知识要点五：估算无理数的大小 (5)知识要点六：实数的概念 (6)知识要点七：实数的性质 (6)知识要点八：实数与数轴 (7)知识要点九：实数的比较大小 (9)知识要点10：实数的运算 (10)总练习题 (10)C 基础巩固 (10)B 能力提升 (11)A 拔尖训练 (13)第二课时：二次根式的性质、化简与运算 (14)知识要点一：二次根式的概念 (14)知识要点二：二次根式有意义的条件 (15)知识要点三：二次根式的性质与化简 (15)知识要点四：最简二次根式 (16)知识要点五：分母有理化 (17)知识要点六：二次根式的乘除法 (18)知识要点七：同类二次根式 (19)知识要点八：二次根式的加减法 (20)知识要点九：二次根式的混合运算 (20)知识要点十：二次根式的化简求值 (21)知识要点十一：二次根式的应用 (22)总练习题 (23)C 基础巩固 (23)B 能力提升 (24)A 拔尖训练 (24)第一课时：实数的认识知识要点一：认识无理数伟大的数学家——毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了.可是不久就出现了一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m 等于多少？是整数呢，还是分数？这个问题引起了学派成员希帕斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希帕斯断言：m 既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数．希帕斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础，为此引起了他们的恐慌．为了维护学派的威信，他们残忍地将希帕斯扔进地中海．这样，无理数的发现人被谋杀了！定义1 无限不循环小数叫做无理数。
常见的无理数的类型：（1）有规律但不循环的小数；（2）有特定意义的符号，如π；（3）方开不尽的数（见知识要点二之开方的概念）。
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2
7
负实数： 2,3.14,39；
有理数：1,0,15, 4,3.14,22,327;
2
7
无理数： 2,π,3 9.
实数与数轴的关系
1.如图1所示，将面积分别为2和3的两个正方形放置在 数轴上，使得正方形的一个顶点和原点O重合，一条 边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点分别为数 轴上的点A和点B.
无限不循
负_无__理__数_ 环小数
按照正负性分类：
正
实
数
正
正
有 无
理 理
数 数
实
数
0
.
负
实
数
负
负
有 无
理 理
数 数
例1 把下列各数分别填入相应的圈：
1 ,0 ,1 5 , 4 ,2 ,π ,-3 .1 4 ,2 2 , 39 ,32 7 .
2
7
…
…
…
…
正实数
负实数
有理数 无理数
解：正实数：1,15, 4,π,22,327；
在实数范围内 ，相反数、倒数、绝对值的意义 ，和有理数范 围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
谢谢！
结论
实数和数轴上的点是一一对应的，即每 一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一个点都表示一个实 数.
实数的性质
参照有理数的有关概念，谈谈实数的下列概念： (1)实数的绝对值. (2)互为相反数的实数. (3)—个实数的倒数.
在有理数范围内的一些基本概念(如绝对值、相反数、
倒数)在实数范围内依然适用．
(1)绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实
数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
a (a 0 ),
即：|a|＝
0
(
a
0 ),
a ( a 0 ) .
(2)相反数：实数a的相反数为－a，若a，b互为相反数，
则a＋b＝0；
(3)非零实数a的倒数为 1 ，若a，b互为倒数，则ab＝1. a
14.3 实 数
第十四章 实 数
第2课时 实数的性质
回顾旧知
学习有理数时，我们知道 和整数_____分数统
称为有理数.
任意一个整数都可以看成一个有限小数，任
意一个分数都可以化成有限小数或无限循环
小数.所以说 有限和小_数____无__限_循__环称小为数 有理数.
叫做无理数.
和 无限不统循称环小为数实数.
有理数
无理数
现阶段，学到的数已经达到 实数，你能试着对实数进行分 类吗？
类比我们对有理数分类的方法对实数进行分类：
按照定义分类：
实数
正整数
整数 _____ 0
有__理__数__
分数 ____
负__整__数_ _正__分__数_ _负__分__数_
有限小数 或无限循 环小数
无理数 正无理数 ______
例2 :
1、-5的相反数是
，绝对值是
.
2、- 的相反数是
，绝对值是
.
3、 2 的相反数是
，绝对值是
.
4、- 的倒数是________ .
2
实数的分类
按照定义分类：
实数
正整数
整数 _____ 0
有__理__数__
分数 ____
负__整__数_ _正__分__数_ _负__分__数_
有限小数 或无限循 环小数
无理数 正无理数 ______
无限不循
负_无__理__数_ 环小数
实数的分类
按照正负性分类：
正
实
数
正
正
有 无
理 理
数 数
实
数
0
.
负
实
数
负
负Hale Waihona Puke 有 无理 理数 数
实数与数轴上的点
1.实数与数轴上的点是一一对应的. 2.每一个实数都可以用数轴上的点来表示； 3.反过来，数轴上的点都表示一个实数. 实数的倒数、相反数及绝对值
(1)线段OA，OB的长分别是多少？ (2)点A，B在数轴上对应的数分别是哪两个数?
2.如图2所示，设一枚5角硬币的直径为1个单位长度， 将这枚硬币放置在平面内一条数轴上，使硬币边缘 上的一点P与原点O重合.让这枚硬币沿数轴的正方向 无滑动滚动一周，这时点P转到数轴上点P′的位置.
(1)线段OP′的长是多少？ (2)在数轴上与点P′，对应的数是哪个数？